Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .:.

ГЛАВА Г. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ , И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ .;.

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Некоторые вспомогательные краевые задачи типа Римана и типа Гильберта в классах аналитических и бианалитических функций

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций

ГЛАВА II ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Точная постановка первой основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций

2.2. Решение задачи GRu в общем случае

2.3. Решение задачи GRu в вырожденном случае

2.4. Решение задачи GR\2 в полувырожденном случае

2.5. Решение второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана

ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ

ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

3.1. Решение задачи GjRi2 в общем случае

3.2. Об одном частном случае, когда задача GR\% решается эффективно

3.3. Решение задачи GRyi в вырожденном случае

3.4. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в общем случае

В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б.В.Боярского [11], И.Н.Векуа [12], Н.П.Векуа [13]-[14], Ф.Д.Гахова [20], Э.И.Зверовича [24], Г.С.Литвинчука [33]—[35], Н.И.Мусхелишвшш [40] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.

В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного.

Данная диссертация посвящена исследованию трехэлементных ли-, нежных краевых задач (типа Римана) в классах бианалитических функций.

Определение 0.1. Функция F(z) = U(x,y) + iV(x,y) называется бианалитической в области Т плоскости- комплексного переменного 2 = х -f iy. если она в Т имеет непрерывные частные производные по х и у до второго порядка включительно (т.е. F{z) 6 С2(Т)) и удовлетворяет там уравнению d2F{z)/dz2= 0, (0.1) где djdz = {д)дх + id/dy)/2 - дифференциальный оператор Кощи-Римана.

Действительная и мнимая части бианалитической в области Т функции F{z) = U(x,y) +iV(x, у) являются бигармоническими в этой области, т. е.

AAU{x,y) = 0 и AAV(x,y) = 0, д2 д2 где А = + оператор Лапласа (см., например. [8], [20]). дх1 dyL

Изучение многоэлементных ' краевых задач для аналитических функций комплексного переменного началось с работ А.И.Маркушевича [36]; и Н.П.Векуа [13]. Большой вклад в развитие теории многоэлементных краевых задач для аналитических функций внесли Б.В.Боярский [11], И.Н.Векуа [12], Р.С.Исаханов [25], Г'.С.Литвинчук [33]—[35], Л.Г.Михайлов [37]-[38], К.М.Расулов [51], И.Х.Сабитов [57]-[59], Н.Б.Симоненко [60], Э.Г.Хасабов [66] и др.

Одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для: аналитических функций являются задачи с похожей структурой в более широких классах функций (полианалитических, ме-тааналитических и др.). Интерес к такого рода задачам в течение последних тридцати лет постоянно растет. Это связано с тем, что многоэлементные краевые задачи в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций находят приложения в таких разделах математической физики, как теория бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [12], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости pi плоской теории упругости [39].

Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящены работы С.В.Левинского [30]-[32], Б. Дамяновича [69]-[70]. Однако в указанных работах рассматривались задачр1 так называемого треугольного вида (см., например, [50], с. 19), которые по самой постановке сводятся к решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций. Тогда как наиболее важные многоэлементные краевые задачи общего (т.е. не треугольного) вида в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам относятся следующие две трехэлементные краевые задачи.

Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного z — х + iy, ограниченная простым гладким замкнутым контуром L, уравнение которого имеет вид: t = x(s) + iy(s), 0 < s < I, где s - натуральный параметр. Для определенности будем считать, что начало координат принадлежит Т+, Через Т~ обозначим дополнение Т+ U L до полной комплексной плоскости.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F(z) = = {F+(z), F~(z)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при t £ L следующим краевым условиям:

Задача I. ' дх gx дх - ffi(t), (0.2)

G2„(t)^ + G2lW^ + G22W« = 52W; (0.3)

Задача II.

GlQ(t)F+(t) + Gn(t)F~(t) + Gn(t)F-(t) = 9l(t)4 (0.4) где д/дп+ (djdnJ) ~ производная no внутренней (внешней) нормали к контуру L; Gkj(t), 9k{i) [к = 2; j — 0, 1, 2) - заданные на L функции класса H{L) (Гельдера).

Отметим, что впервые граничные задачи вида I и II были сформулированы К.М.Расуловым в монографии [50] в качестве естественных и важных обобщений основных краевых задач типа Римана для биа-налитических функций, поставленных Ф.Д.Гаховым в его известной книге [20].

Важно заметить, что в частном случае, когда Gio(£) = G^{t) = 0 и Gki(t) = Gki{t) = 1 (к — 1, 2) задачи I и II представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой основной бигармонической задачей и второй" основной бигармонической задачей [29], [39], [64] и имеющие многочисленные приложения в математической физике и механике. Поэтому в дальнейшем задачи I и II будем называть первой и второй основными трехэлементными краевыми задачами для биа-налитических функций.

В случае, когда,в равенствах (0.2)—(0.5) выполняются условия

G1Q(t)=G2Q(t) = l и Gii(f)#0, G2i(t)? 0, teL, (*) и

G12(t) = G22(t)=0, teL, (**) задачи I и II представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, подробно исследованные в работах [46]—[47], [50].

Однако в случае, когда выполняются (-*) и не выполняются, условия (**), задачи I и II представляют собой основные трехэлементные краевые задачи типа Римана, в дальнейшем называемые, для краткости, задачами GRu и GR?2 соответственно.

Поскольку задачи GR\2 и GR22 до сих пор оставались не исследованными, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является- разработка методов решения: основных трехэлементных краевых задач типа Римана (задач GR\4 pi G-R22) в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость, а также выявление случаев, когда эти задачи допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7], [52] и докладывались на международной конференции "Системы компьютерной математики и лингвистики" (Смоленск, 2000 г.), на V Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2001 г.), на международной конференции " Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2001 г.), на международной конференции "Геометрическая теория функций и краевые задачи" (Казань, 2002 г.), на семинаре по математическому анализу при РГПУ им. А.И.Герцена (руководитель - профессор В. Д. Будаев), на семинаре при кафедре математического анализа МГУ (руководитель -профессор И. X. Сабитов), на Минском городском семинаре по математическому анализу и его приложениям (руководитель - профессор Э. И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям при Смоленском госпедуниверситете (руководитель - профессор К. М. Ра-сулов).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 72 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (2.1) (или теорема 2.1) означает первую формулу (теорему) во второй главе. Общий объем работы составляет 1-20 страниц, подготовленных с использованием издательской системы LATEX.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю К.М.Расулову за постановку задач и помощь, оказанную при выполнении данной работы.

Глава I

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР

1.1. Основные понятия и обозначения

2. Всюду в дальнейшем класс бианалитических в области Т функции будем обозначать через А<2(Т), а через А(Т) класс аналитических (голоморфных) в Т функций.

3. Во всех рассуждениях, где значения показателей Гелъдера ц и v не играет роли, вместо H^{L) и H{™j (L х L) будем писать H{L),

4. H^m\L) и H^m\L х L) соответственно.

5. Пусть функция ip(z) является аналитической в некоторой области Т~, содержащей бесконечно удаленную точку.

6. Определение 1.1. Число га будем называть порядком функции p(z) в точке z — оо и обозначать ZT{(/?, oo}, если разложение в ряд функции ip(z) в окрестности этой точки имеет вид11

7. Cm— + 0^!-^ + ., Ст ф 0. (1.2)о а/

8. Как известно 8., [33], [50], всякую однозначную бианалитическую в области Т+ функцию F+(z) можно представить в виде1. F+(z)=^(z)+z>pt(^ (1.3)где z = х — iy, a (г = 0, 1) однозначные аналитические функции в Т+.

9. Аналогично всякая бианалитическая в Т функция представима в виде

10. F-(z)=<Po(z) + ztf{z), (1.4)где z = х — iy, а ipj(z) (г" ^ ^ 1) ~ однозначные аналитические функции в Г~, причем >2.

11. При этом кусочно-бианалитическую функцию F(z) будем называть исчезающей на бесконечности, если > 1.

12. F+(t) = Gi(t) • F~(t) + G2{t) ■ F4t) + g(t), t e L, (1.6)где G\(t),G2(t),g(t) заданные на L функции класса H{L), причем Gi{t) uaL.

13. Ниже приводятся формулировки основных результатов 51., которые будут использованы при исследовании основных краевых задач типа Римана для бианалитических функций.

14. F~(t)+ JN{t1T)F-(T)dT = Q(t) + X-{t)PIB-l{t), teL,Lx-it)2т{т!{а))'1. Г a1. G2(t) G2(t) X+-(r) X+(t1. G2(t)1т — tr-t f-t1. X+(t2Gi(t2m 'L Х+(т) r — f {Х+(.г), Х~(.г)} каноническая функция задачи Римана вида:1. F+(t)=G1(t)F~(t).

15. При выполнении этих условий общее решение задачи (1.6) определяется по формулам:т — z1. F+(z) =1. X+(z) fG2(T)F-(T)+g{r) dr2m1. Х+(т)т —1. X+(z)P^.где F (t) находится по формуле:

16. F~(t) = Q{t) + /7(f, T)Q(r)dr + F0~(t),zeT~, (1.9) г e T+, (1.10)1.11)здесь 7(i,т) обобщенная резольвента ядра уравнения (1.8), a F0 (t) - общее решение интегрального уравнения

17. F~(t)+ J N{t,r)F-{r)dr = X-^P^t). (1.12)L

18. Общее решение задачи (1.6) при эе > О линейно зависит от / = 2se + и — г+ произвольных действительных постоянных v > г+).

19. Если же ге < 0 (см., например, 51.), то для разрешимости краевой задачи (1.6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия вида:

20. Re J Q(t)cjj{t)dt = 0, j = l,2,.,z/, (1.13)Lгде u>i(t),., ujv(t) полная система линейно независимых (над полем R) решений однородного уравнения, союзного с (1.8), и совместности системы алгебраических, уравнений вида:V

21. Y, Bjkh mj, j = 1,., -ж, (1.14)iгде Bjk, rrij числа, определенным образом выражающиеся через заданные функции G\{t), G-i{t), gt).

22. При выполнении этих условий общее решение задачи (1.6) задается формулами (1.9)—(1.10), где F~ (t) определяется по формуле:

23. F-{t) = Q{t)+ J7(t, T)Q(r)dr + F'i(t), (1.15)Lгде 7(t, т) обобщенная резольвента ядра уравнения (1.8), a Ff (t) -общее pemeHPie однородного уравнения

24. F~(t) + J N(t,r)F~(r)dT = 0. (1.16)L

25. Ait, г), B(t,r), D(t,r), E(t, т) G H*(L x L).

26. Пусть ае = IndGit) < 0. Тогда решение задачи (1.17) будем искать в виде (см., например, 50., с. 42):г) =-L/ifilldT, г 6 Т+, (1.18)al\l j т ~ z1 / l-L(T) dr ^ /2тп JL &{т) т — zгде fi(t) пока неизвестная комплекснозначная функция, n(t) G Н(Ь).

27. Нетрудно проверить, что ядра Ki(t,r), K-2(t,r) принадлежат H,{L x £).

28. Наоборот, если ju(t) решение интегрального уравнения (1.20), то пара функций cp+(z) и cp~(z), определяемая через fi(t) по формулам (1.18)—(1.19), образует решение задачи (1.17). Введем в рассмотрение однородное уравнение:

29. К'фЩ = ф(1) + / A"i(r, £)'0(r)<fr + J K2(rrt)tlj{T)dT = 0, (1.22)1.Lсоюзное с уравнением

30. K/z)(f) = //(0 + J Ki(t, r)ft{r)dr + J K-2(t. t)fi(r)dT = 0. (1.23)1. Z L

31. Тогда, как известно (см., например, 40., с. 372), для разрешимости неоднородного уравнения (1.20) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

32. Re J Q(t)ipj(t)dt — 0, j — 1,. z/q, (1.24)Lгде ф\(£),., ipUo{t) полная система линейно независимых (над полем R) решений союзного уравнения (1.22).

33. А; = 1, о) произвольные действительные постоянные.

34. Заметим, что при эе < 0 число щ линейно независимых (над полем R) решений однородного уравнения (1.23), вообще говоря, не совпадает с числом I линейно независимых (над R) решений однородной задачи (1.17). Из формулы (1.21) видно, что / = z/0 2|зэ.

35. Наконец, подставляя в (1.18)-(1.19) вместо /j(t) ее выражение, найденное по формуле (1.25), с учетом сделанного выше замечания получим:

36. Итак, справедлива следующая теорема.

37. Рассмотрим подробно случай, когда зе > 0. В этом случае решение задачи (1.17) будем искать в виде (см., например, 50., с. 42):

38. P+(z) / ^dT + £ ckzk, z е Т+, (1.28)2тгг т-z к=0-( \ 1 / dT r-rp- /т oml/где n{t) пока неизвестная комплекснозначная функция, ск - произвольные комплексные постоянные.

39. Наоборот, если /z(0 решение уравнения (1.30) (при некоторыхзначениях параметров ai,.,cv2ae)i то пара функций ^(z) и определяемая по формулам (1.28)—(1.29), дает решение задачи (1.17).

40. Согласно теории интегральных уравнений типа Фредгольма (см., например, 40.), уравнение (1.30) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняются условия:

41. ReJ ^Q(f) Е = 0, j = l,.,z/0, (1.32)где (£),.,^2/(0 полная система линейно независимых над полем R решений уравнения (1.22).

42. Условия (1.32) можно переписать в виде:2эе

43. Ajkak = Bj, j = l,.,z/0, (1.33)i=lгде Ajk = ReJ qk(t)ij>j{t)dt, Bk = Re J Q(t)^j(t)dt.1.L

44. Пусть r = rank\\Ajk\\, причем 0 < r < min(z/o,2se). Известно 28., что система (1.33) совместна тогда и только тогда, когда г = г, где f ранг расширенной матрицы. А это равенство, в свою очередь, означает:

45. Re J Q{t)j>j{t)dt ± 0, j = l,.,.z/0-7v (1.34)Lгде ^j(i) (j — 1, Щ — т) ~ некоторые линейно независимые решения уравнения (1.22).

46. Заметим, что при ае > 0 число гп = 2as-f l>o — г линейно независимых (над полем R) решений уравнения (1.30) совпадает с числом I линейно независимых (над R) решений однородной задачи (1.17) {Q{t) = 0), т.е. I = 2ае + щ — г.

47. Следовательно, общее решение задачи (1.17) будет задаваться формулами (1.2б)-(1.27), где / = 2as + щ — г.

48. Таким образом, в этом случае справедлива следующая теорема.

49. Далее рассматривается следующая краевая задача.

50. Требуется найти все кусочно-аналитические функции ^o(z) = {<p+(z), ip~(z)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим условиям:

51. J A(t, r)<p+(r)dT + j E{t,T)^(TjdT =l l

52. B{t:T)^p-(T)dr + J D{t,T)'^)dT + Q(t), (1.36)l lгде Gk{t) (k = 1, 2), Q(t) заданные на контуре L функции класса Гельдера, причем G\{t) ф 0 на L; функции A(t,r), B{t,r), D(t,r), E(t,T) - заданные фредгольмовы ядра. т. е.

53. A(t,r), B(t,r), D{t,r). Et,r) 6 x L).

54. Перепишем краевое условие (1.36) в виде:р+(*) + J A(t,T)v+{r)dr + jE(t,T)v4yjdT = G(t)ip-(t)+1.L

55. J B{t1T)if'{r)dr + J + (1.37)1.Lгде

56. Q1(t) = Q(t)+G2(t)^{t). (1.38)

57. Временно считая Q\{t) известной функцией, равенство (1.37) можно рассматривать как краевое условие вспомогательной задачи вида (1.47).

58. Re /(Q(t) + G2{t)9-(t))4>j{t)dt = 0, j = 1 ,.,i/0, (1.41а;Lгде 4'j(t) (j = полная система линейно независимых (над

59. R) решений однородного уравнения вида (1.22).

60. Если же sei > 0. то при выполнении щ — г условий вида:

61. Re J (Q{t) + G2(t)<p-{t))i>J{t)dt = 0, j = 1,г/Q — г, (1.416)Lобщее решение задачи (1-37) также задается формулами (1.39)—(1.40), где /о = 2eei 4- щ — г.

62. Mv~){t) = <p-(t) + J M1(t1T)<p-(r)dT + jM2(t,T)<p-(r)dr = Q2(t) +1.Lk=ii.43)где1. M2(t,T} =

63. M^r) = -J^(t,T)G2(ry} r'2(a) G2(t) G2(f)?^2тггr ff t1. Ri(t,T)G2(r)

64. Q'2{t) = -f / ~z\dT + / Ri(t, r)Q{r)dr + J R2(t, r)Q(r)dr.1.T L L

65. Нетрудно проверить, что Mi(t,r), M2(t,r) фредгольмовы ядра. Следовательно, уравнение (1-43) представляет собой интегральное уравнение типа Фредгольма (см., например, 40.). Таким образом, справедлива следующая лемма.

66. Введем в рассмотрение однородное уравнение: (MVi)"(f) =^i(f)+ /Mi(r,t)0i(r)dr + J М2{т^)щ(т)с1т = Q, (1.44)1.Lсоюзное с уравнением1. MvO(t)=0. (1.45)

67. Известно (см., например, 40., с. 272), что для разрешимости неоднородного уравнения (1-43) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

68. Re J(Q2(t) + £ 5kdk{tmu(t)dt =.0, j = (1.46)1.k=lгде ibij(t) (j = l,.,i/i) полная система линейно независимых (над R) решений уравнения (1.44).

69. Перепишем условия (1.46) в виде:о

70. J2$kCkj = Dj, j = l,.,z/b (1.47k= 1где C'kj = Re J Dj = ~Re J Q2{^ij(t)dt.1.L

71. Пусть aei > 0 и r+ = rank\\Ckj\\, причем 0 < r+ < min(/o,^i). Известно 28., что система (1.47) совместна тогда и только тогда, когда г+ = г~ЛГ, где г^Г ранг расширенной матрицы. В свою очередь, равенство r+ = г^Г означает:

72. Re J Q2(t)^lj(t)dt = 0, j = 1,., z/. — r+, (1.48)Lгде 4'ij{t) ~ некоторые линейно независимые (над R) решения уравнения (1.44).

73. Если система (1.47) совместна, то общее решение интегрального уравнения (1.43) находится по формуле:i?-t) = Q2{t)+hl(t,T)Q2(T)dT+ 72 (t,r)Q2(r)dr+ £ PtftW,1.L *=11.49)lo +Vl-r+где E РкФк^) ~ общее решение интегрального уравнения вида: *=iк=1

74. Подставляя вместо (p~(t) ее выражение из (1.49) в левую часть (1.41Ь), получим систему алгебраических уравнений относительно параметров /Зк:

75. Е Alj/3; = B*, j = l,.,v0-r, (1.50)к= iгде A*kj, Bj определенные числа, выражающиеся через заданные функции.

76. Заметим, что часть из этих уравнений будут удовлетворены за счет выбора произвольных постоянных (Зк.

77. Далее, подставляя найденную функцию <p~(t) в равенства (1.39)-(1.40), можно найти функции (p+{z) и

78. Замечание 1.2. Отметим, что в случае, когда

79. Рассмотрим краевые условия, полученные из (1.52)—(1.53) переходом к комплексно сопряженным значениям:d$-(t) y^-jTv d$-(t)1. Gi(t) —r^ + Qiit). (1.54дх дхd$~(t) т^ттт^Ф ~(t)1. G2(t)~^-iQ2(t). (1.55)ду dyдФ-it)

80. Исключая —-- из (1.52) и (1.54), а из (1.53) и (1.55) функциюдФ-it), получим равенства: ду

81. IGiWI2) ^^ = + Q\{t), (1.56)1 \G2(t)\2) = + <?2(*))• (1.57)

82. Для полного исследования рассмотрим три различных случая: Случай 1. Пусть хотя бы для одного значения параметра к (к — 1, 2) выполняется условие \Gk{t)\ = 1, но Gk{t)Qk{t) + Qk(t) Ф О, teL. Тогда задача (1.52)—(1.53) не разрешима.

83. Случай 2. Пусть выполняются условия |G'fc(t)| ф 1 (к = 1, 2), t € L. Тогда равенства (1.56)—(1.57) можно переписать в виде:дФ~{*. =qi(t), teL, (1.58)дхдф-Ш дуiq2(t), teL, (1.59)

84. Учитывая (1.4), а также соотношения (0.8), равенствам (1.58) и (1.59) можно придать вид:fM + t-M + yr(t) = gi(t), teL.at at1.60)at at

85. Вычитая из (1.60) равенство (1.61), будем иметь:teL. (1.62)где1. Фг 0) = (1.62а)

86. Если выполняется условие (1.63), то решение задачи (1.62) можно представить в следующем виде:1. Ф-Ы = -L / mdT. (L64)2ттг JL т — ~

87. Учитывая обозначения (Г!62а), найдем функцию (г):

88. Далее, подставив вместо <Pi(t) граничные значения найденной по формуле (1.65) функции tfii (z) в равенство (1.60), получим:1. Po(t)=q2(t), (1.66)гдеz) = zdtpo(z)/dz, q2(t)=tq1(t)-t(d¥>r(t)/dt)-rt(t). (1.66а)

89. Для разрешимости задачи (1.66) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:1. JJ

90. При выполнении условия (1-67) общее решение задачи (1.66) дается формулой:1.

91. Учитывая обозначения (1.66а), из формулы (1.68) можно найти функцию d(pQ(z)/dz:zer. (i.69)az 2ттг J т — z1.

92. И, наконец, из равенства (1.69) с учетом Ф~(со) = 0 интегрированием по г найдем функцию1. Уо (г) = У dz dz>где Г~ произвольная гладкая кривая, соединяющая точки ^ и оо.

93. Тогда если выполняются оба условия (1.63) и (1.67), задача (1.52)-(1.53) имеет единственное решение, которое определяется по формуле:

94. Если же хотя бы одно из'условий (1.63) или (1-67) не выполнено, то задача (1.5*2)—(1.53) не разрешима.

95. Случай 3. Рассмотрим наиболее важный случай, когда выполняются следующие условия:

96. Gk(t)\ = 1 и Gk{t)Qk(t) + Qk(t) = 0, teL, к = 1, 2. (1.71)

97. В дальнейшем числа = IndGk(t) (к = 1, 2) будем называть частичными индексами задачи (1.52)-(1.53). Известно 33., что nppi выполнении равенства (1.71) числа ззк четные, т.е. эе^. = 2тк.

98. Учитывая (1.4), а также соотношения (0.8), перепишем краевые условия (1.52)—(1.53) в следующем виде:1.72)cvo (»)+1 vnt)=Gi{t) Щй+шп. ^ -+Qs(t).dt dt

99. Введем обозначения: -d(fi(t)dt1. Qo{t) = ~itdtв^Щр- + tGi(t)ifi(t) + tQ^t).dt1. V^o M = G0(t) =dztG^t)1.74)

100. Тогда краевое условие (1.72) примет вид:

101. Pt{t) = G0(t)w(t) + Q0(t). (1.75)

102. Покажем, что при выполнении условий (1.71) верны тождества:

103. GQ(t)\ = l и G0{t)Q0{t) + Q0{t) = 0, tel. Действительно, учитывая обозначение (1.74), будем иметь:1. Go(t)\ =tG\{t)1*1|G!(0l = i;tGi{t)<pT(t) tipl(t) + tQi(0} = t{Gi{t)Qi{t) + Qi(t)} = 0.

104. Временно считая Qo(t) известной функцией, равенство (1.75) можно рассматривать как краевое условие обычной задачи Гильберта относительно аналитической в области Т~ функции исчезающей на бесконечности.

105. Мро)(t) = -Mt) + I M(t,T)w(T)dT = гъ, (1.77)i 1 Ао Кг)яг, ч 1/1 т'Ца M(t, т) =2тп \т — t т — t Если же ski > 0, то в формуле (1.76) следует положить1. Зо = А = = ^Й12 = 0.

106. В этом случае задача (1.52)—(1.53) имеет единственное решение при выполнении сё. -Ь 1 действительных условий разрешимости:1. Ь = ImL у -= 0,L

107. Re j nQ(r)Tj-ldr = 0, (1.78)l'1. j !л0(т)т' Чт = 0, j = 1, .,тпьгде yjQ(t) общее решение союзного уравнения (MVo)(0 = 0.

108. Подставляя вместо fio(t) ее значение из (1.79) в равенство (1.76), получим:1. Щ (-) =zmiXo{z) f Q0{r) dr2m1. Ruiz, г1. Qo{1.76')где