Трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕНКОВ ВЛАДИМИР ВИТАЛЬЕВИЧ

ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

01.01.01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

003459029

Работа выполнена на кафедре математического анализа Смоленского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

РАСУЛОВ Карим Магомедович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

АКСЕНТЬЕВ Леонид Александрович

доктор физико-математических наук, доцент АДУКОВ Виктор Михайлович

Ведущая организация: Брянский государственный университет

имени академика И.Г. Петровского

Защита состоится 4 февраля 2009 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, д. 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «23 » декабря 2008 года.

Учёный секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Е.К. Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной теории функций комплексного переменного одной из важнейших областей исследований является теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и их различных обобщений.

В настоящее время теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций, благодаря фундаментальным работам JI.A. Аксентьева, Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова, Э.И. Зверовича, P.C. Исаханова, Д.А. Квеселава, Г.Ф. Манджавидзе, Л.Г. Михайлова, Г.С. Мих-лина, Н.И. Мусхелишвили, Л.И. Чибриковой и многих других известных математиков, приняла уже завершенный вид.

Однако, для решения некоторых прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Поэтому при постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой, граничные задачи в классах различных обобщений аналитических функций и т.д.

Так, например, в последнее время, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) наблюдается интерес к краевым задачам в классах функций, являющихся различными обобщениями класса аналитических функций комплексного переменного (например, полианалитических, метааналитических, регулярных решений так, называемого уравнения Бауэра-Пешля и т.д.). В частности, это явление обусловлено тем, что, как было обнаружено Г.В. Колосовым, эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить так называемые бианалитические функции. Кроме того, теория краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений, теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны и другими разделами современной математики и механики.

Большой вклад в развитие указанного направления внесли В.М. Адуков, И.А. Бикчантаев, A.B. Бицадзе, В.А. Габринович, М.П. Ганин, Ф.Д. Гахов, В.И. Жегалов, K.M. Расулов, B.C. Рогожин, P.C. Сакс, И.А. Соколов, М. Canak, В. Damjanovich, C.R. Shoe и др.

Представленная работа относится к этому направлению развития математического анализа. Она посвящена исследованию трёхэлементных линейных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге, т.е. в классах функций, являющихся решениями дифференциального уравнения вида

^Ж^о, О,

дг дг

где а0, а, - некоторые комплексные числа.

Пусть Т* = {г :| г |< 1} - единичный круг на плоскости комплексного переменного 2 = х + гу. Обозначим границу круга Т* через Ь, а область, дополняющую замкнутый круг Т* и Ь до расширенной комплексной плоскости -через Т~.

Задача (гй, м.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции Р(г) = {/г+(7),/г~(г)} класса ^(Г^пЯ^^А), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на ¿ = {/ :|/|=1} граничным условиям:

дх ах ох

ду ду ду

где (I), gk(t) (к = 1, 2; ] = 1,2) - заданные на Ь функции, удовлетворяющие условию Н(Ь) (Гёльдера), причем Ск1(1) ^ 0 на £.

Задача СД2 м.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции

= {.Р+(г),/г~(г)} класса М2(Т±)глНт(Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь граничным условиям:

Г(1)=с, юг«)+с„(/)г-(о+а<о, (4)

<5)

дп+ оп_ дп_

где д/Зп+ (д/дп_) - производная по внутренней (внешней) нормали к /,, (/), £к(0 (А = 1, 2; у = 1,2) - заданные на £ функции, удовлетворяющие условию Н(Ь) (Гёльдера), причем Ск\{с) * 0 на /_

Прежде всего заметим, что при условии Gn(t) = G22(l) = 0 задачи <7/?, м и GR2 м впервые были поставлены Ф.Д. Гаховым в классе полианалитических функций как некоторые естественные обобщения краевой задачи Рима-на для аналитических функций1.

В случае Gu(t) = G2J(i) = 0 и когда L = {z:\z\=\) задачи GR} м и GR2 м

были решены И.А. Соколовым в 60-х годах прошлого века при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами. Позднее K.M. Расулову совершенно иным методом удалось решить задачи GRX м и GR2M (при G12(i) = <j22(/) = 0)

в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами как в классах бианалитических (полианалитических) функций, так и в классах ме-тааналитических функций и некоторых их обобщений.

Впервые краевые задачи вида GRt м и GR2 м в классах кусочно полианалитических функций (без дополнительного условия G]2(t) = G22(t) = 0) были сформулированы K.M. Расуловым2 в качестве естественных и важных обобщений основных (двухэлементных) краевых задач типа Римана для полианалитических функций.

В работах Н.Г. Анищенковой задачи GRt м и GR2 м были исследованы

в классах кусочно бианалитических функций. Но поскольку многие качественные свойства метааналитических функций существенно отличаются от свойств бианалитических функций, то при исследовании краевых задач GlI, м и GR2 M в классах кусочно метааналитических функций возникает

необходимость в использовании совершенно новых подходов и дополнительных математических средств (в частности, аналитической теории дифференциальных уравнений). Поэтому, разработка методов решения задач GÄ, м и GR2 м в классах метааналитических функций является актуальной

проблемой.

Целью работы является развитие общих методов решения краевых задач GR{ м и GR2 м в классах кусочно метааналитических функций, построение картин их разрешимости и выявление их частных случаев, допускающих решения в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Методика исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений (сингуляр-

' Гахов Ф.Д Краевые задачи. - М: Наука, 1977. - 640 с.

2 Расулов К М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения - Смоленск: СГПУ, 1998. -343 с.

ных и типа Фредгольма второго рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, существенным образом задействована теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций.

Научная новизна. В диссертации впервые разработаны методы решения трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитиче-ских функций в круге, исследованы картины их разрешимости и установлены условия их нётеровости. Выделены частные случаи, когда рассматриваемые задачи допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Важно отметить, что предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены и при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом, четырехэлементных краевых задач и т.д.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность.

2. Необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач и установление их нётеровости.

3. Определение частных случаев, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге допускают решения в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Практическая значимость результатов. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованием краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов Смоленского, Казанского, Белорусского, Новосибирского и др. университетов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 87 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 116 страниц.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них 3 работы выполнены совместно с научным руководителем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007 г.), на научно-практической конференции «Математика. Физика. Методика преподавания» (Смоленск, 2007 г.), на 8-й и 9-й международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 20072008 г.г.), на 14-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2008 г.)., на 5-й Межрегиональной научно-технической конференции студентов и аспирантов (Смоленск, 2008 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» в Смоленском государственном университете (руководитель — профессор K.M. Расулов, Смоленск, 2005-2008 г.г.).

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы и кратко изложено основное содержание диссертационной работы.

Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из трех разделов. В разделе 1.1 вводятся наиболее часто используемые определения и понятия. Основными из них являются понятие кусочно метаанали-тической функции и класса M2(T±)r\Hm(L), в котором ищутся решения поставленных задач.

В разделе 1.2 излагается один из методов конструктивного решения вспомогательной обобщенной краевой задачи Римана с интегральными членами в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функ-~ ций, состоящей в отыскании всех кусочно аналитических функций {<p+(z);ç~(z)} с линией скачков L = {/ :| 11= 1}, непрерывно (в смысле Гёльде-

ра) продолжаемых на L, граничные значения которых удовлетворяют краевому условию

<p\t)+ ¡A(t,T)ç>*(r)dT+ \B(t,T)<p*(r)dT = Gx(t)<p-(t) + G2(t)<p-{t) + L L

+ \D(t, T)<p-{T)dr + \E{i, xW(f)dx + Q{t), tzL, (6)

L L

где G,(/), G2(î), Q(t) - заданные на L функции класса H(L), причем на L; A{t,r), B{t,г), D(I,t), E(î,t) - заданные на LxL фредголь-мовы ядра.

Указанная задача играет важную роль при исследовании трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций второго типа в случае круговой области, которые рассмотрены в третьей главе настоящей диссертации.

Раздел 1.3 посвящен краткому обзору литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.

Вторая глава «Основные трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций первого типа в круговой области» посвящена исследованию первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций первого типа с линией скачков Ь = {/ :| /1= 1}, т.е. функций вида

где Л — единственный (двукратный) корень характеристического уравнения дифференциального уравнения (1); (р*й (г), (<Рд(г), - произвольные

аналитические в Т+ (Т~) функции; т — фиксированное натуральное число, т> 2.

Данная глава состоит из четырех разделов.

В разделе 2.1 дается точная постановка первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций, которые в дальнейшем, ради краткости, будем называть задачами С/?, м

и СЛ2 м соответственно. Здесь также устанавливается, что так как граничные

свойства метааналитических функций первого и второго типа существенно отличаются, то методы и результаты исследования краевых задач в классах метааналитических функций первого и второго типа также существенно разнятся друг от друга.

Раздел 2.2 посвящен решению и исследованию картины разрешимости первой основной трёхэлементной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций первого типа в круговой области.

С учетом представления (7), а также того, что на окружности /_, имеет место тождество / =1//, рассматриваемая задача сводится к решению двух обобщенных краевых задач Римана с сопряжением вида

где С7ц(0 = С*,(0ехр{Л//",+1-Л/г}, вк2{г) = /26*2(0ехр{ Л/т+1 - Л//}, gk(t) = tgk(t)exp{-Л/t}, а функции Ф*(г) и Ф~к{г) (к = 1,2) - аналитические

{РоОО + ^ГОО]ехр{Д-2 / г""}. геТ~,

(7)

Ф;(/)=ои(0Ф;(0+Он(/)Ф;(0+&(0, * =

(8)

в областях Т+ и Т~ соответственно, связанные с аналитическими компонентами искомой кусочно метааналитической функции по следующим формулам:

ФГ(7) = + + (-1)4"1 [Лг9£(2) + (Я + *)^(*)], (9а)

Л(г2+(-!)* т) ..

сЬ

(к

+1--+ г

-<Ро(2) +

<Р'Лг)

(96)

Таким образом, решение задачи СЛ, м по сути сводится к решению двух

обобщенных краевых задач Римана с сопряжением (8) (при значениях параметра к = 1,2) в классах исчезающих на бесконечности аналитических функций с линией скачков Ь. Относительно задач вида (8) доказывается следующее утверждение.

Лемма 2.1. Если = |с*2(')|. ' е т0решение обобщенной краевой

задачи Римана с сопряжением вида (8) (при фиксированном значении параметра к) сводится к последовательному решению двух обычных скалярных краевых задач типа Римана в классах кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности:

(10а) (106)

где

Л, С):

¿суо

вк1(г) =-

42(') = -

<С«(0

Ва(0--

^й(')-

оИ(0 —■ с„(0"" С*,(0

Если же выполняется условие |С74](/)| ^ |^2(')|> ' € то решение задачи (8)

сводится к последовательному решению обобщенной и обычной скалярных задач Римана в классах кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечно-

сти:

ф С) -р:—-+ ¡ЫФКг)^ = а2(0,

р*|(0| -|0„(/)|

(10в)

Ф;(0= МЧ?» <'>Г Ф;(0^Л^ЛШО; (10г) с*,(0 ои(0 <5*1(0

где функции Вк (!,т), <2*2 (') определенным образом выражаются через коэффициенты дИ(1), дк2(1), £*(')■

Итак, решая задачи вида (8) (при фиксированном значении параметра к = 1,2), находим (в случае их разрешимости) функции Ф*(г) и Ф*(г).

Далее, отдельно рассматриваем 2 случая: 1) Л = О и 2) Л* 0. В каждом из них показываем, как по найденным функциям ФЦг) и Ф*(г) из формул (9а)-(9б) можно определить аналитические компоненты искомой кусочно ме-тааналитической функции. В первом случае получен следующий результат.

Теорема 2.1. Пусть ¿ = {/:|/| = 1} и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1) имеет один (двукратный) корень Л = 0. Тогда:

если |с?4|(0| = |<^2(')| "а ^ (к = \,2), то решение задачи С/?1М сводится

к решению в классах кусочно аналитических функций четырех обычных скалярных задач Римана вида (Юа)-(Юб);

еслиже |сА|(0| на £ (Л = 1,2), то решение задачи СЯ, м сводит-

ся к решению в классах кусочно аналитических функций двух обобщенных скалярных задач Римана вида (10в) и двух обычных скалярных задач Римана вида (Юг).

При этом задача (57?, м разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы указанные скалярные задачи Римана для кусочно аналитических функций и выполняются условия

<к

Во втором случае (Л * 0) установлен результат.

Теорема 2.2. Пусть ¿ = {<:|*| = 1} и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1) имеет один (двукратный) корень Лф 0. Тогда:

если |с*1(0| = |^*2(0| на Ь (к = 1,2), то решение задачи 67?1М сводится

к решению в классах кусочно аналитических функций четырех обычных скалярных задач Римана вида (Юа)-(Юб);

еслиже ^¡(О^С^О] на ^ = 1,2), то решение задачи <?/?|М сводится к решению в классах кусочно аналитических функций двух обобщенных ска-

мрных задач Римана вида (10в) и двух обычных скалярных задач Римана вида (Юг).

Кроме того, задача GR] м разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы указанные задачи Римана для аналитических функций и дифференциальное уравнение

d(pl(z) Л

где (р[ (z) - искомая аналитическая в круге Т* функция, f{z) - вполне определенная аналитическая в круге Т+ функция.

При этом в работе получены некоторые необходимые и достаточные условия разрешимости указанного дифференциального уравнения.

Далее на основе теорем 2.1 и 2.2 и приведенных выше рассуждений проводятся исследования картины разрешимости задачи GR{ м в классах метаа-

налитических функций первого типа, которые подытоживают следующие теоремы.

Теорема 2.3. Пусть 1 = {/:|/| = 1}, |ёи(/)| = |Си(/)|, teL k = 1,2 и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1) имеет один {двукратный) корень Л. Тогда числа I линейно независимых решений однородной задачи GR®^ и р условий разрешимости неоднородной задачи GR, м конечны, т.е. задача GRt м является нётеровой.

Теорема 2.4. Пусть L = {t:\t\ = l}, |с*,(/)| Ф |Gi2(/)|, £ = 1,2 и ха-

рактеристическое уравнение дифференциального уравнения (1) имеет один (двукратный) корень Л. Тогда числа I линейно независимых решений однородной задачи Ciî,0M и р условий разрешимости неоднородной задачи GR, м конечны, т.е. задача GRt м является нётеровой

В разделе 2.3 устанавливается, что если Z. = {/ :| /1 = 1} и функции Gk[(/) и ^ = 1)2, являются рациональными и |сл(/)|*|о^2(/)|, /е£, то задача GR, м в круге допускает решение в замкнутой форме.

В заключение раздела 2.3 предложенный метод решения задачи GRX м иллюстрируется на конкретном примере.

Раздел 2.4 посвящен решению и исследованию картины разрешимости задачи <?Л2 м в классах метааналитических функций первого типа. Основная цель этого раздела — показать, что разработанные в разделе 2.2 методы исследования задачи Сй, м могут быть использованы и при исследовании других краевых задач для метааналитических функций первого типа, в частности, задачи СД2 м.

В третьей главе «Основные трёхэлементные краевые задачи типа Рима-на в классах метааналитических функций второго типа в круговой области» исследуются первая и вторая основные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций второго типа с линией скачков Ь = {/ :|/|= 1}, т.е. функций вида

, ЦЧ^ехр^гН^фехрЦ-г}, , ч

= < _ _ (11) (г)ехр{Л0 • г I гт} л-(р^ -г/г™}, г б Т~\

где \ и Л, - различные корни характеристического уравнения дифференциального уравнения (1); <Ро(г), (р^ (г) (^о(г), <р\ (г))- произвольные аналитические в Т+ (Т~) функции; т - фиксированное натуральное число, т> 2.

В разделе 3.1 разработан конструктивный метод решения задачи С/?1М в классах метааналитических функций второго типа в круговой области. Суть его в следующем.

Используя представления (11) для искомой кусочно метааналитической функции второго типа, представим граничное условие (2) в виде

ф0+(о=с11(о-ф^о+ё12(о-ф;(о+а(о, (12)

где

к = 0,1,

о, (0 = - ехр{(/1, - Л,) /• Ф| (0 + С, ,(г) ехр{Л / - ^ / г} • Ф7(Г) +

+ Юп (/) ехрЦ • /и+' - Я, / (} ■ Ф^(0+ (/) ехр{-А, / />.

Временно считая функцию известной, равенство (12) можно рас-

сматривать как краевое условие обобщенной краевой задачи Римана с сопряжением относительно аналитических функций Ф*Аг) и Фо(2)- Решая за-

дачу (12), например, методом, предложенным в доказательстве леммы 2.1, найдем (в случае ее разрешимости) выражения граничных значений аналитических функций Ф„(г) и Oô(z) через граничные значения временно неизвестных функций Ф|Хг) и Ф|Ч2):

<I>J(0 = -exp{V/-V/K(0+ \A\t,T)Ct>\{T)dT+ {в+('.г)ФЙ7ут +

L L

+ \D4t,T)0-(T)dr+ ¡E\t,TWb)dt + g4t), (На)

L L

и

Ф;(/) = -ехр{(4-Л,)/Г+,}ФГ(0+ \A-(t, т)Ф\{т)с!т+ |д-(/,г)Ф^/г +

L L

+ jD-(/,r)®r(r)rfr+ \E-{t,TW^7)dT + g-(t), (146)

L 1.

где функции A±(t,r), Я*(/,т), D'(î,t), E'{t,r) e H?\LxL), a g^OeH^L).

Далее, на основании формул (13), из соотношений (14а) и (146) получаем выражение граничных значений аналитических компонент <рЦг) и (р'й (г) искомой кусочно метааналитической функции через граничные значения временно неизвестных компонент <р* (z) и (р\ (z).

Принимая во внимание указанные выражения, граничное условие (3) (с учетом представлений (11)) можно записать в виде

Я+С)+ \A(t,T)ri{T)dT+ \B{t,T)ti(7)dT = L L

= О2,(0й"(0 + ёи(0й (0+ \D(t,z)ri(T)dT+ \E(t,T)<p;(r)dT+Q(t), (15)

L L

где при условиях Gtl(t), С1;(/)бЯ(Я)(1), gk(t)eH0)(L) функции A(t,г), B(t,г), Dit,r), E{t,t)eHÎl){LxL),aG2l{t), G22(t) и Q{t)eHm{L).

Равенство (15) есть граничное условие обобщенной краевой задачи Ри-мана относительно кусочно аналитической функции {çf(z), ^"(z)}, исчезающей на бесконечности, которая подробно исследована в разделе 1.2 первой главы настоящей диссертации.

Решая задачу (15) (в случае ее разрешимости) определим аналитические компоненты q>\{z) и q\(z) искомой кусочно метааналитической функции F(z). После этого, подставляя найденные аналитические функции <p*{z) и

<Pi~(z) в правые части равенств (13), найдем функции Ф*(г) и Ф["(г). Далее, подставив в свободный член краевого условия (12) граничные значения Ф*(') и Ф|"(/) функций O^(z) и Oj~(z), а затем решив обобщенную краевую задачу Римана (12), определим функции Ф£(г) и Фô(z), а следовательно и аналитические компоненты Çg(z) и %(z) искомой кусочно метааналитической функции F(z).

Таким образом," получен следующий результат.

Теорема 3.1. Если ¿ = {/:|/| = 1), а функции Gkl(t), Gn{t) е H(3'k)(L), gk(t)eHm(L) ( k = 1, 2 ), и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1) имеет два различных корня, то решение задачи GRiu

сводится к последовательному решению обобщенной краевой задачи Римана с интегральными членами (15) « обобщенной краевой задачи Римана (11) в классах кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности.

В разделе 3.2 на основе результатов, полученных в разделе 3.1, проводится исследование картины разрешимости задачи GR, м в классах метаана-литических функций второго типа. При этом оказывается целесообразным рассмотрение двух случаев: 1) ¡¿^(О) =|g^2(0|, teL\ 2) |<541(/)|*|<5i2(/)|, teL (к —1,2).

Подытоживает все рассуждения этого раздела следующая теорема.

Теорема 3.2. Если L = {t :\t\= 1} и выполняются условия С')] — teL, или |Gil(/)|*|G,2(0|, teL, ¿ = 1,2, то задача GRiM является нётеровой.

В разделе 3.3 установлено следующее утверждение.

Теорема 3.3. При выполнении условий

Gn(t) = G2l(t) = G,(0 и G2l(t) = G22(t)^G2(t), teL, решение задачи GRt м для кусочно метааналитических функций вида

F( -) = К(Г) СХр{Я '+ г е Г '

\<p-{z)zMX-zlzm} + cp;{:), zeT-,

исчезающих на бесконечности, сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных краевых задач Римана с сопряжением в классах кусочно аналитических функций, исчезающих на бесконечности.

Таким образом, в этом случае решение задачи GÄ, м в классах метаана-литических функций второго типа упрощается, т.е. задача GRt м допускает эффективное решение.

Полученные в разделе 3.3 результаты проиллюстрированы на конкретном примере.

Раздел 3.4 посвящен решению и исследованию картины разрешимости задачи Сй2м в классах кусочно метааналитических функций второго типа. Показано, что, используя логическую схему метода решения задачи GR{ м, разработанного в разделе 3.1, можно исследовать и задачу GR1M .

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору K.M. Расулову за постановку задач и внимание, оказанное при работе над диссертационным исследованием.

Список работ автора по теме диссертации

1. Алексеенков В.В. Трехэлементная задача типа Римана для бианалитических функций в случае полуплоскости / В.В. Алексеенков, K.M. Расулов // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. / Смоленский гос. ун-т. -Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2005. - Вып. 6. - С. 3-9. (0,43/0,27 пл.)

2. Алексеенков В.В. О решении трехэлементной краевой задачи типа Га-земана для бианалитических функций в односвязной области / В.В. Алексеенков // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. / Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2006. - Вып. 7. - С. 3-15. (0,87 п.л.)

3. Алексеенков В.В. Об одном методе решения второй трехэлементной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / В.В. Алексеенков // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции (14-16 мая 2007 г.) / Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. - Вып. 8. - С. 130-135. (0,4 п.л.)

4. Алексеенков B.B. Об одном частном случае трехэлементной краевой задачи Газемана для уравнения второго порядка, порожденного оператором Коши-Римана, допускающем эффективное решение / В.В. Алексеенков // Математика. Физика. Методика преподавания: материалы науч.-практ. конф. (23-24 мая 2007 г.) / Военная академия ПВО ВС РФ им. маршала Советского Союза A.M. Василевского. - Смоленск: Изд-во Военной академии, 2008. - С. 4-7. (0,24 п.л.)

5. Алексеенков В.В. О решении трехэлементной краевой задачи типа Газемана для некоторых обобщений бианалитических функций / В.В. Алексеенков // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского / Казан, матем. общество, Казан, гос. ун-т. - Казань: Изд-во Казан, матем. общества. - 2007. - Т. 35: Теория функций, её приложения и смежные вопросы: материалы Восьмой международной Казан, летней научной школы-конференции (27 июня -4 июля 2007 г.). - С. 20-22. (0,06 п.л.)

6. Алексеенков В.В. Обобщенная краевая задача типа Римана в классе метааналитических функций в круге / В.В. Алексеенков // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. / Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007.-Вып. 8.-С. 3-15. (0,87 п.л.)

7. Алексеенков В.В. Обобщенная краевая задача типа Римана для одного класса метааналитических функций в полувырожденном случае /

B.В. Алексеенков // Современные проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 14-й Сарат. зимней школы, посвящ. памяти акад. П.Л. Ульянова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. - С. 9-10. (0,06 п.л.)

8. Алексеенков В.В. Трехэлементная краевая задача типа Римана для метааналитических функций в круге / В.В. Алексеенков, K.M. Расулов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2008. - Т. 8, Вып. 1. -

C. 3-9. (0,62/0,48 п.л.)

9. Алексеенков В.В. О решении второй основной обобщенной краевой задачи типа Римана для одного класса метааналитических функций в круге / В.В. Алексеенков // Информационные технологии, энергетика и экономика: сб. трудов V Межрегиональной науч.-техн. конф. студ. и асп. (10-11 апреля 2008 г.). В 3 т. Т. 1. / Филиал МЭИ (ТУ) в г. Смоленске. - 2008. - С. 116-118. (0,2 п.л.)

10. Алексеенков В.В. Вторая основная обобщенная краевая задача типа Римана для метааналитических функций в круге / В.В. Алексеенков // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной

конференции (19-21 мая 2008 г.) / Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2008. - Вып. 9. - С. 123-129. (0,47 п.л.)

11.Алексеенков В.В. О решении трехэлементной краевой задачи типа Газемана для метааналитических функций в круге / В.В. Алексеенков, K.M. Расулов // BecHiK Гродзенскага дзяржаунага ушвератэта ¡мя Яни Купали. Серьи 2, Матэматыка. Ф1зша. 1нфарматыка, вьипчальная техшка i упрауленне. Б1ялопя. - Гродно, 2008. - № 2 (68). - С. 10-16. (0,52/0,44 п.л.)

В.В. АЛЕКСЕЕНКОВ

ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 10.12.08. Формат 60x84 1/16. Печать ризографическая. Усл. п. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 107. _Дата сдачи в печать 15.12.08._

Отпечатано в ИТЦ Смоленского государственного университета 214000 г. Смоленск, ул. Пржевальского, 4.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Основные обозначения и понятия.

1.2. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.

ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

2.1. Постановка основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций.

2.2. Решение и исследование картины разрешимости задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа в круговой области.

2.3. О некоторых частных случаях задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа, допускающие решение в замкнутой форме.

2.4. Решение и исследование картины разрешимости задачи GR2 м в классах метааналитических функций первого типа в круге.

ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Решение задачи GRlM в классах метааналитических функций второго типа в круговой области.

3.2. Исследование картины разрешимости задачи GRX м в классах метааналитических функций второго типа.

3.3. Об одном частном случае задачи GRX M в классах метааналитических функций второго типа, допускающем эффективное решение.

3.4. Метод решения и исследование картины разрешимости задачи GR1U в классах метааналитических функций второго типа в круговой области.

В современной теории функций комплексного переменного одной из важнейших областей исследований является теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и их различных обобщений.

В настоящее время теория краевых (граничных) задач в классах аналитичеdF(z) ских функций, т.е. решений уравнения Коши-Римана =0, благодаря

О Z фундаментальным работам JI.A. Аксентьева [4], Б.В. Боярского [22], И.Н. Векуа [24], Н.П. Векуа [26], Ф.Д. Гахова [29], Э.И. Зверовича [34], P.C. Исаханова [35]-[36], Д.А. Квеселава [38], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г.Михайлова [51], Г.С. Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [54], Л.И. Чибриковой [76] и многих других известных математиков, приняла уже завершенный вид.

Однако, для решения некоторых прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Поэтому при постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классах различных обобщений аналитических функций и т.д.

Так, например, в последнее время, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) наблюдается интерес к краевым задачам в классах функций, являющихся различными обобщениями класса аналитических функций комплексного переменного (например, полианалитических, метааналитических, регулярных решений так называемого уравнения Бауэра-Пешля и т.д.) [21], [44], [47], [57]-[65], [67]-[68], [73]-[74], [79], [84]-[85]. В частности это явление обусловлено тем, что, как было обнаружено Г.В. Колосовым [39], эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить так называемые бианалитические функции, т.е. решения дифференциального уравнения ——1^- = 0. Кроме того, теория dz краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [17], [77], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [24] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [25], [37], [40], [43], [45], [53], [56]-[57], [66], [73], [78], [87].

Большой вклад в развитие указанного направления внесли В.М. Адуков [1]-[2], И.А. Бикчантаев [19], A.B. Бицадзе [20], В.А. Габринович [27], М.П. Га-нин [28], Ф.Д.Гахов [29], В.И. Жегалов [32]-[33], K.M. Расулов [57]-[61], B.C. Рогожин [67], P.C. Сакс [68], И.А. Соколов [71]-[72], М. Canak [80]-[81], В. Damjanovich [82]-[83], C.R. Shoe [86] и др.

Данная диссертация посвящена исследованию трёхэлементных линейных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге, т.е. в классах функций, являющихся решениями дифференциального уравнения вида d2F(z) dF(z) dz2 1 dz fiT^ + fli + = (0.1) где а0,а1 — некоторые комплексные числа.

Пусть Т+ :\г\<1} - единичный круг на плоскости комплексного переменного г ~х + 1у. Обозначим границу круга Т+ через Ь, а область, дополняющую замкнутый круг Т+ и Ь до расширенной комплексной плоскости - через Т~.

Задача <*й1>м.

Требуется найти все кусочно метааналитнческне функции Е(г) = (г),(г)} класса2 М2(Т± )пЯ(1) (Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь = {t:\t\~l} граничным условиям:

1 Краевые задачи комплексного анализа называются трёхэлементными, если их краевые условия содержат три различных элемента (граничных значений) неизвестных функций (более подробно см., например, [46], с. 220.)

2 Определение класса М2(Т±)пНт(Ь) см. нас. 18-19.

0.2) ох ох ох

03) ду ду ду где <3^(0. gk(,t) (А = 1,2;} = 1,2) - заданные на Ь функции, удовлетворяющие условию Н(Ь) (Гёлъдера), причем Ск1(1) Ф 0 на Ь. Задача GR2U.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции F(z) = {F+(z),F(z)} класса М2(Т±) П Н^(Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь граничным условиям:

F+ (0 = Gn(t)F-(t) + C, ,U)F (,) + g, (Г), (0.4) l=G2lit)s-nü+Gn(tfpl + gÄt), (0.5) дп+ дп оп где д/дп+ (д/дп) - производная по внутренней (внешней) нормали к L, Gkj-(t), gk (t) {k = 1,2; j -1, 2) - заданные на L функции, удовлетворяюгцие условию

H(L) (Гёлъдера), причем Gk] (t)^Q на L.

Прежде всего заметим, что при условии Gn(t) = G22(t) = 0 задачи GRX м и

GR2 м впервые были поставлены Ф.Д. Гаховым в классе полианалитических функций как некоторые естественные обобщения краевой задачи Римана для аналитических функций (см. [29], § 32).

В случае Gl2(t) = G22(t) = 0 и когда L = {z:\z\=\} задачи GR1M и GR2M были решены И.А. Соколовым в 60-х годах прошлого века при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами [71]-[72]. Позднее K.M. Расулову (см., например, [57]) совершенно иным методом удалось решить задачи Gi?, м и GR2 м (при

Gl2(t) = G22(t) = 0) в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами как в классах бианалитических (полианалитических) функций, так и в классах метааналитических функций и некоторых их обобщений.

Впервые краевые задачи вида м и СЛ2,м в классах кусочно полианалитических функций (без дополнительного условия Сг12(0 - ^ггСО = 0) были сформулированы К.М. Расуловым в монографии [57] в качестве естественных и важных обобщений основных (двухэлементных) краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.

В работах Н.Г. Анищенковой [15]-[16] задачи С/?1>м и м были исследованы в классах кусочно бианалитических функций. Но, поскольку многие качественные свойства метааналитических функций существенно отличаются от свойств бианалитических функций (см., например, [18], [23], [77], [86]), то при исследовании краевых задач (х/?, м и <77?2 М в классах кусочно метааналитических функций возникает необходимость в использовании совершенно новых подходов и дополнительных математических средств (в частности, аналитическую теорию дифференциальных уравнений). Поэтому разработка методов решения задач С1?, м и (71?2 м в классах метааналитических функций является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является развитие общих методов решения краевых задач 67?! м и Сг1?2 м в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление их частных случаев, допускающих решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность. Эти методы основаны на представлениях кусочно метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных краевых задач Римана в классах кусочно аналитических функций. При этом в работе существенно использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений (сингулярных и типа Фредгольма второго рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, активно применяется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций.

При помощи разработанных методов решения рассматриваемых задач установлены необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также их нётеровость. Кроме того, в работе выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены и при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом, четырехэлементных краевых задач и т.д.).

Среди результатов, полученных в диссертации, к основным относятся следующие:

1. Разработаны методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность.

2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, а также их нётеровость.

3. Выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

1. Адуков В.М. Матричная задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия. 2003. - Вып. 3, №6 (22). - С. 20-35.

2. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Адуков Виктор Михайлович. Челябинск, 2006. - 314 с.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. / Э.Л. Айне; под ред. А.М. Эфроса. Харьков: ГНТИУ, 1939. - 719 с.

4. Аксентьев JI.A. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения / JI.A. Аксентьев, Н.Б. Ильинский и др. // Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ. Т. 18. - М.: ВИНИТИ, 1980. - С. 67-124.

5. Алексеенков В.В. О решении трехэлементной краевой задачи типа Газе-мана для некоторых обобщений бианалитических функций / В.В. Алексеенков //

6. Анищенкова Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. — 120 с.

7. БалкМ.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. - М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

8. Балк М.Б. О метааналитических функциях / М.Б. Балк, М.Ф. Зуев // Материалы научн. конф. Смоленского пед. ин-та, посвященной 50-летию ин-та. -Смоленск, 1971. С. 250-258.

9. Бикчантаев И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. -Казань, 1972. 89 с.

10. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / A.B. Бицадзе // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, Вып. 6. - С. 211-212.

11. Болотин И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. - 110 с.

12. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25, Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

13. ВекуаИ.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1988.-509 с.

14. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1991. - 255 с.

15. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. -М.: Наука, 1970.-379 с.

16. Габринович В.А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. д-ра физ.-мат. наук. Минск, 1977.

17. ГанинМ.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. -М: Наука, 1977. 640 с.

19. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. М.: Наука, 1966. - 436 с.

20. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

21. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1976. -Вып. 13.-С. 80-85.

22. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12. - С. 50-57.

23. Зверович Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания / Э.И. Зверович // Сибирский матем. журнал. 1973. -Т. 14, № 1.-С 64-85.

24. Исаханов P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР. 1958. - Т. 20, №6. - С. 659-666.

25. Исаханов P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Исаханов Рагим Сулейманович. -Тбилиси, 1983.-281 с.

26. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973.-303 с.

27. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисского матем. ин-та. 1948. - Т. XVI. - С. 39-90.

28. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г.В. Колосов. М.-Л.: ОНТИ, 1935.-224 с.

29. Коэн Д.Б. Граничные задачи в теории массового обслуживания / Д.Б. Коэн. М.: Мир, 1987. - 272 с.

30. Краснов М. Л. Интегральные уравнения / М.Л.Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

31. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.-432 с.

32. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. -М.: Наука, 1973. 736 с.

33. Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. -Одесса, 1991.-142 с.

34. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лех-ницкий. М.: Наука, 1977. - 415 с.

35. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М: Наука, 1977. - 448 с.

36. Манджавидзе Г.Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г.Ф. Манджавидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. 174 с.

37. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. Т. 1. / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1967. - 620 с.

38. Медведев Ю.А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Ри-мана для бианалитических функций / Ю.А. Медведев, K.M. Расулов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. - Вып. 7. -№7(62)-С. 54-58.

39. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. Смоленск, 2007. - 115 с.

40. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. Душанбе, 1963. - 192 с.

41. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин. -М.Л.: ГИТИ, 1949.-378 с.

42. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

44. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 337 с.

45. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И.А. Прусов. -Минск, 1987.-182 с.

46. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

47. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. — Минск, 1995.-241 с.

48. Расулов K.M. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Смоленск, 1980. - 125 с.

49. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / K.M. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №2. - С. 320-327.

50. Расулов K.M. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге / K.M. Расулов, В.В. Сенчилов // Дифференц. уравнения. 2005. - Т. 41, №3. - С. 415-418.

51. Расулов K.M. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Карлемана в классах бианалитических функций в круге / K.M. Расулов, O.A. Титов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. - Т. 46, №3. - С. 413-426.

52. Расулов K.M. О решении одной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / K.M. Расулов, Б.Ф. Фатулаев // Дифференц. уравнения. -2002. Т. 38, №1. С. 1-5.

53. Рева Т.Л. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь с упруго-пластической задачей / Т.Л. Рева // Прикладная механика. Киев, 1972. -Т. 8,Вып. 10.-С. 65-70.

54. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения/B.C. Рогожин//Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн. 4. - С. 71-93.

55. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / P.C. Сакс. Новосибирск, 1975. - 160 с.

56. Самко С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с аналитическими ядрами / С.Г. Самко // Изв. Сев.-кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. - № 4. - С. 86-94.

57. Сенчилов В.В. Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метаана-литических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Сенчилов Владислав Владимирович. Смоленск, 2006. - 101 с.

58. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И.А. Соколов // Вестник Бел. гос. ун-та. Сер. 1. 1971.-№2. - С. 21-23.

59. Соколов И.А. О краевых задачах типа Римана для полианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук / Соколов И.А. Минск, 1970.

60. ТихоновА.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, A.A. Самарский. М: Наука, 1972. - 735 с.

61. Усманов Н. Сингулярные граничные задачи сопряжения: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Усманов Нурулло. Душанбе, 2004. - 312 с.

62. Фатулаев Б.Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для ме-тааналитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Фатулаев Бу-ба Фатулаевич. Смоленск, 2000. - 107 с.

63. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. - 302 с.

64. Balk M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.

65. Bauer K.W. Uber einer der Differentialgleichung (1 + zF)2fF,F + ±n{n +1 )W = 0 zugeordnete Functionentheorie / K.W. Bauer // Bonner math 1965. -Schrften 23.

66. Begehr H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletin de la Asociation Matematica Venezolana. 2005. - Vol. 12, №1. - P. 65-85.

67. Canak M. Einige Ergebnisse zur Theorie polyanalytischer Differentialgleichungen / M. Canak, Lj. Protic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). 2000. -Vol. 52.-P. 19-25.

68. Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

69. Davis P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. Washington, 1974.-219 p.

70. Rasulov K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis. 2004. Vol. 9, №3. - P. 223-228.

71. Shoe C.R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C.R. Shoe // Cyxak. 1986. - № 3. - P. 29-33.

72. Stein M.E. Singular integrals and differentiability properties of functions / M.E. Stein. Princeton, 1970. - 303 p.