Четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004615022

На праыосур/гкописи

БУКАЧЕВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 2 т

Екатеринбург - 2010

004615022

Работа выполнена на кафедре математического анализа Смоленского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

РАСУЛОВ Карим Магомедович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

АДУКОВ Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор НАСЫРОВ Семён Рафаилович

Ведущая организация: Брянский государственный университет

имени академика И.Г. Петровского

Защита состоится 10 декабря 2010 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. Софьи Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « » ноября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Н.Ю. Антонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и различных их обобщений является важнейшей областью современного комплексного анализа.

Благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова, Э.И. Звсровича, P.C. Исаханова, Д.А. Квеселава, Г .С. Литвинчука, Г.Ф. Манджавидзе, Л.Г. Михайлова, С.Г. Михлина, Н.И. Мусхелишвили, Л.И. Чибриковой и многих других известных математиков теория линейных краевых задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершенный вид.

Однако для решения ряда прикладных задач, сводящихся к уже подробно исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении классических предположений, касающихся классов заданных и искомых функций, классов рассматриваемых контуров и других параметров задачи. В соответствии с возникающими потребностями исследования ведутся в следующих направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широких классов заданных и искомых функций, для более широких классов контуров; рассматриваются задачи со сдвигом, а также задачи, содержащие производные искомой функции и граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой.

В частности, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) интенсивно изучаются краевые задачи для различных обобщений аналитических функций (таких как, например, полианалитические и метааналитические функции). Значительный вклад в развитие данного направления внесли A.B. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.А. Габрилович, М.П. Ганин, Ф.Д. Гахов, В.И. Жегалов, K.M. Расулов,

B.C. Рогожин, P.C. Сакс, И.А. Соколов, Н.Т. Хоп, М. Canak, В. Damjanovich,

C.R. Shoe и другие известные математики.

Представленная работа относится к этому направлению математического анализа и посвящена исследованию четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций, т.е. в классах функций Г (г), являющихся решениями дифференциального уравнения

82Г(г) дГ(г) . ,,

-~Г1 + '',-~ + а1>Р(2) = 0, , (1)

аг т

где 4: = -[ — + '—| - дифференциальный оператор Коши-Римана, а

дг 2\дх ду)

коэффициенты а, (¿ = 0,1)- произвольные комплексные постоянные.

Пусть Т* - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = *+/>, ограниченная простым замкнутым гладким контуром £, а Т~ = С\(г" где С - расширенная комплексная плоскость. В работе рассматриваются следующие краевые задачи. Задача Сй41.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции /^(7) = '(г),/7"^)} класса М2(Х±)г\НтЩ, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям:

ох дх ох ох

21 (О-Г-+ 22 (О-Г-= <>21VI-Г-+ С1г(1)---+ g1<t) , (1)

су ду ду су

где Лц(г), gk(t) (к -1,2; / = 1,2) - заданные на I функции,

удовлетворяющие условию Гёльдера. Задача С«,,.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции = класса Л/,(Гг)Г|//':1|(Л), исчезающие на бесконечности и

удовлетворяющие на I следующим краевым условиям:

А,,0)К'0) +■ л12( оЩ) = о„(0<г <0+ваи)гй)+г,(0, (4)

+ = + , (5)

сп^ оп+ оп_ оп_

где д/дп, (д1дп_) - производная по внутренней (внешней) нормали к I, а Л,С), g^(') (* = '. 2; 7 = 1,2) - заданные на £ функции,

удовлетворяющие условию Гёльдера.

Отметим, что при выполнении на контуре £ условий лп(о = л21(') = 1 и А12(()зА22(/) = С12(/) = С22(1) = 0 сформулированные выше краевые задачи СЯ4| и С,Ки в классах полианалитических функций были впервые поставлены в известной монографии Ф.Д. Гахова1 и в случае, когда ¿ = {/ф| = 1}, были решены И.А. Соколовым в 60-х годах XX столетия при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами. В случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами (при выполнении указанных выше условий) краевые задачи Ой41 и ОТ?42 в классах полианалитических функций были подробно исследованы в монографии К.М. Расулова2.

Впервые краевые задачи СД4| и ОИл1 без дополнительных условий Лм (г) н л21 (г) = 1 и Л12 (г) з А1г(1) з С]2(() з с12 (!) э 0 были сформулированы К.М. Расуловым в качестве естественных обобщений краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.

В диссертационной работе Ю.А. Медведева3 указанные задачи были исследованы в классах кусочно бианалитических функций как в случае круговых областей, так и в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

В настоящей работе краевые задачи О*,, и С/?4, исследуются в классе кусочно метааналитических функций с линией скачков = {< :|/| = 1}.

В силу существенного отличия качественных свойств метааналитических функций от свойств бианалитических функций при

1 Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М: Наука, 1977. - 640 с.

2 Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. - Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

3 Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дне. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. -Смоленск, 2007. - 115 с.

исследовании краевых задач СИ,, и Ой42 в классах метааналитических функций возникает необходимость разработки совершенно новых подходов к решению сформулированных выше задач и использования дополнительного математического аппарата, в частности, аналитической теории дифференциальных уравнений. Поэтому разработка методов решения краевых задач СЛ4| и СЯЛ2 в классах метааналитических функций является на сегодняшний день актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является разработка общих методов решения краевых задач стг,, и СЛа2 в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление частных случаев данных задач, допускающих решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Методика исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория сингулярных интегральных уравнений и уравнений типа Фредгольма второго рода, аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, существенным образом используется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций.

Научная новизна. В диссертации впервые разработаны методы решения четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций в круге, исследованы картины разрешимости и установлены условия нётеровости рассматриваемых задач. Выделены частные случаи, когда рассматриваемые задачи допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Основные положения, выносимые на защиту:

1) методы решения краевых задач СКп и 6У?4, в классах кусочно метааналитических функций первого и второго типов в случае круговых областей;

2) необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, условия нётеровости рассматриваемых задач;

3) определение частных случаев, в которых задачи С/?„, и СНп допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Практическая значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 85 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 128 страниц.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них 5 работ выполнено совместно с научным руководителем. Работы [7], [8] опубликованы в научных журналах из Перечня ВАК.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместных работах [2], [3], [6], [7], [8] постановки задач и методика исследования картин разрешимости принадлежат научному руководителю. Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2007-2009 г.г.), на научной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2009 г.), на Девятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи

комплексного анализа и их приложения» в Смоленском государственном университете (руководитель - профессор K.M. Расулов).

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы и кратко изложено содержание диссертационной работы.

Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из пяти разделов. В разделе 1.1 вводятся основные понятия и обозначения, формулируются вспомогательные теоремы. Раздел 1.2 посвящен изложению одного из известных подходов к решению следующей вспомогательной четырёхэлементной скалярной краевой задачи в классах аналитических функций:

требуется найти все кусочно аналитические функции ф(г)-\ф*(г),Ф"(2)} класса A(Tt)nH(L), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на контуре L следующему краевому условию:

А, (<)Ф*(/)+= <?,(<)Ф~(0 + ^(ОФЧО+ОД,), (6)

где At(t\ Gj(t) (j = ], 2), QJt) -заданныена L функции класса H(L).

Установлены следующие факты.

Теорема 1.7. Пусть L = {t: |r| = 1} и выполняется условие

¿(0 = Л(Г)С|(0-Л2(0С^)*0, tcL. (7)

Тогда:

1) при выполнении на L условия

|4(0И4(0|, |G,(0HC:(0|, (8)

решение краевой задачи (6) сводится к решению обобщенной краевой задачи Римана (с интегральными членами) и обычной скалярной краевой задачи Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций;

2) при выполнении на L одного из условий

|4(ф|4(0|, |G,(r)|^|G2(/)|, teL, (9)

\A,(t)\*\A2(t)\, |G,(0|=|G2(')|, 'si, (10)

|Л,(0НЛ2<0|, |G,(i)|-|G,(/)|, t*L, (11)

решение краевой задачи (6) сводится к решению двух обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций.

Изложенный в этом разделе подход к решению вспомогательной задачи (6) успешно используется далее в главах II и III настоящей диссертации при решении задач Gfi41 и GRi2 в классах кусочно метааналитических функций первого и второго типов.

В разделе 1.3 исследуется картина разрешимости задачи из раздела 1.2. В четвертом разделе предлагается один из подходов к решению следующей вспомогательной краевой задачи в классах аналитических функций, играющей важную роль при исследовании основных четырёхэлементных краевых задач в классах метааналитических функций второго типа: требуется найти все исчезающие на бесконечности кусочно аналитические функции ¡s(z) = {fp*(z), q>~(z)) класса A(T±)r\H(L), граничные значения которых удовлетворяют на I следующим двум краевым условиям-.

<р*0) + \4 С. +J 5, (/, = } О, (t, г )<p-(T)dz + j Et(t, r)V<T)dt + Q{t),

I. L L L

(12)

jA2(t,T)<p~(r)dT+jB2(t,T)p~(r)dT = p(t) + jD,(t,T)<p^T)dr + jE,(t,T)<p^r)dT + HO),

L L L L

(13)

где Q(i), H(t) - заданные на L функции класса Гёльдера, ЛД/.г), ЯД«, г), £>y(i,г), £.(/,r) (j = 1,2) - заданные на L*L фредгольмовы ядра. Здесь же строится теория разрешимости краевой задачи (12), (13).

Раздел 1.5 представляет собой краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.

Вторая глава «Основные четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций первого типа в круговой области» посвящена исследованию задач СКЦ и 6У?42 в классах кусочно метааналитических функций первого типа с линией скачков ¿ = {*:|г| = |}, т.е. функций вида

где <р;(г) (£ = 0,1) - произвольные аналитические в Г* функции, Л — двукратный корень характеристического уравнения дифференциального уравнения (1), т - произвольное, фиксированное натуральное число.

Глава состоит из пяти разделов. В разделе 2.1 дается точная постановка краевой задачи С7К„. Раздел 2.2 посвящен решению первой основной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций первого типа в круговой области и определению случаев, когда задача допускает

решение в замкнутой форме. Получены следующие результаты.

Теорема 2.1. Пусть /, = {г:|г| = 1}. Тогда решение краевой задачи СЯ41 в классе исчезающих на бесконечности кусочно бианалитических функций {т.е. функций вида (14) при Л = о) сводится к решению двух четырёхэлементных краевых задач Римана вида (6) для аналитических функций. При этом для разрешимости задачи сл41 необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы обе вспомогательные задачи Римана и выполнялись условия:

где Ф;(г) (л- = 1,2) - решения вспомогательных задач Римана вида (6).

Теорема 2.2. Пусть £ = {г= 1} и Л*0. Тогда решение краевой задачи в классе Л/2(Г±)о //"'(I) исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций первого типа сводится к решению двух

(г) = [<Р1 (г) + гя*(г)]ехр{Яг}, г 6 Т\

(14)

скалярных четырёхэлементных краевых задан Римана вида (6) для аналитических функций и линейного неоднородного дифференциального уравнения

аг г

При этом для разрешимости задачи 07?, необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы вспомогательные задачи Римана вида (6) и дифференциальное уравнение (16), а также выполнялись условия

|[ф|"(г-)-Ф^(г)]г'"1^г = 0, ; = 1,2,...,т-1. (17)

где Ф ,(г) ( у = 1,2 ) - решения вспомогательных задач Римана вида (6).

В следующем разделе исследуется картина разрешимости задачи СЯ41. Получены следующие результаты.

Теорема 2.3. Пусть 1 = {1: |/| = 1} и выполняются условия

= = 1,2, (19)

К,(ОИЛ2(')|, = 1,2. (20)

Тогда решение задачи ОИм сводится к решению двух обобщенных краевых задач Римана (с интегральными членами) и двух обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций. Задача СД41 разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы все вспомогательные краевые задачи и, кроме того, при Л = 0 выполняются условия (15), а при Л#0 - условия (17) и разрешимо дифференциальное уравнение (16).

Теорема 2.4. Если на £ = {с|<| = 1} выполняются условия (19) и (20), то число I линейно независимых решений однородной задачи 01°, и число р условий разрешимости неоднородной задачи Сй41 конечны, т.е. задача 0Т?41 является нётеровой.

Теорема 2.5. Пусть ¿ = {/:|/| = 1}, выполняются условия (19) и одно из условий

к,(0Жг(')|>0, |С(,(0ИС12(0|, (21)

|<7*|(0|=К2(')|>0, /<=/.,* = 1,2, (22)

К.<0|-к>(0|>0, |041(0| = |042(()!>0, 4 = 1,2. (23)

Тогда решение задачи СН41 сводится к решению четырёх обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций. Задача СН41 разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы все вспомогательные краевые задачи и, кроме того, при Л-0 выполняются условия (15), а при Я*0 - условия (17) и разрешимо дифференциальное уравнение (16).

Теорема 2.6. Если на £ = {/: |/| = 1} выполняются условия (19) и одно из условий (21) - (23), то число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости неоднородной задачи

конечны, т.е. задача СЯ4| является нётеровой.

Теорема 2.7. Пусть £ = {/: |/| = 1 [, выполняются условия (19) и при одном значении параметра к = 1,2 выполняются условия (20), при другом - одно из условий (21) - (23). Тогда решение задачи СЯ„ сводится к решению одной обобщенной краевой задачи типа Римана (с интегральными членами) и трёх обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций. Задача СЛ41 разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы все вспомогательные краевые задачи и, кроме того, при Л = 0 выполняются условия (15), а при X 0 — условия (17) и разрешимо дифференциальное уравнение (16).

Теорема 2.8. Если ¿ = {*:|<| = 1} и коэффициенты Л;1(/),С;1(0 (уд = 1,2) краевых условий задачи являются рациональными функциями, то

рассматриваемая задача разрешима в квадратурах.

Здесь же приводится решение конкретного примера, иллюстрирующего разработанную теорию краевой задачи (7Л4,.

В разделе 2.4 дается точная постановка краевой задачи 6'Л4,. И, наконец, последний раздел данной главы посвящен решению и исследованию картины разрешимости второй основной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций первого типа в круговой области.

Теорема 2.9. Пусть £ = {г:(г|=1}. Тогда решение краевой задачи 67^, в

классе М2(Г±)г\Я<|,(1) исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций первого типа сводится к решению двух скалярных четырёхэлементных краевых задач Римана вида (6). При этом для разрешимости задачи СЯ„ необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы вспомогательные задачи Римана вида (6) и выполнялись условия

| (Л + г)Ф*(г) -Ф; (г) ^ _ ^ (24)

|(УФ-(Г) + Ф;(Г)УЛ/г = О, У = 1,2, (25)

где Ф;(л) (.5 = 1,2) —решения вспомогательных задач Римана вида (6).

Следствие 2.2. Задача СКп в рассматриваемом случае нётерова тогда и только тогда, когда для коэффициентов краевых условий этой задачи выполнены условия (19).

Здесь же рассматривается конкретный пример, иллюстрирующий разработанную теорию краевой задачи С7?42 в классах метааналитических функций первого типа.

Третья глава «Основные четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций второго типа в круговой области» посвящена исследованию задач и СКк в классах кусочно

метааналитических функций второго типа с линией скачков £ = {с|/| = 1}, т.е. функций вида

(2)~ <р$(2) ехр +«'Г(2)ехР ■ 21

+ <р{ (г)ехр , геГ,

где ^(г) (А =0,1)-произвольные аналитические в г1 функции, л0, Л, -корни характеристического уравнения дифференциального уравнения (1) т - произвольное, фиксированное натуральное число.

Глава состоит из трёх разделов. Первый раздел посвящен исследованию первой основной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций второго типа в круговой области и построению её картины разрешимости. Разработан общий подход к решению многоэлементпых краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций второго типа, с использованием которого удалось установить следующий результат.

Теорема 3.1. Пусть ¿ = {/:|г| = 1}. Тогда решение краевой задачи СЛ41 в

классе М2(Тх)г\Н{и(Ц исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций второго типа сводится к решению краевой задачи вида (12) - (13) и двух скалярных четырёхэлементных краевых задач Римана вида (6) дня аналитических функций. При этом для разрешимости задачи необходимо и достаточно, чтобы были одновременно

разрешимы все указанные задачи для аналитических функций, а также выполнялись следующие условия (при т> 2):

где Ф^О), У* (¿г) - решения вспомогательных задач Римана вида (6).

Па основании теоремы 3.1 и картин разрешимости задач вида (6) и (12) -(13) установлена справедливость следующих утверждений, аналогичных теоремам 2.4 и 2.6.

число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости неоднородной задачи конечны, т.е. задача является нётеровой.

(27)

I.

Теорема 3.2. Если на I = {/ :|/| -1/ выполняются условия (19) и (20), то

Теорема 3.3. Если на /, = {/: |/| = 1} выполняются условия (19) и одно из условий (21) - (23), то число I линейно независимых решений однородной задачи ОН", и число р условий разрешимости неоднородной задачи 67?41 конечны, т.е. задача СЛ4| является нётеровой.

Во втором разделе третьей главы рассматривается один частный случай задачи 6'/?4| в классе Мг(Т±)г\И(х'(1.) исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций второго типа, допускающий эффективное решение. Найдены условия, при которых решение краевой задачи СЛ4, в классе кусочно метааналитических функций второго типа при \ = 0 сводится к решению двух двухэлементных векторно-матричных задач Римана нормального типа в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических вектор-функций (теорема 3.4).

Третий раздел посвящен исследованию второй основной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций второго типа в круговой области и построению её картины разрешимости. С использованием общего подхода к решению многоэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций, разработанного в разделе 3.1, установлен следующий результат.

Теорема 3.5. Пусть £ = {г:|/| = 1}. Тогда решение краевой задачи СИ^ в

классе Мг(Г*)п,Н(1>(Ь) исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций второго типа сводится к решению краевой задачи вида (12) - (13) и двух скалярных четырёхэлементных краевых задач Римана вида (6) для аналитических функций. При этом для разрешимости задачи СЛ4[ необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы все указанные вспомогательные краевые задачи для аналитических функций.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору K.M. Расулову за постановку задач и внимание, оказанное в ходе выполнения данной работы.

Список работ автора по теме диссертации

1. Букачев Д.С. Первая основная четырёхэлементная краевая задача типа Римана для метааналитических функций в случае окружности / Д.С. Букачев // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. / Смоленский гос. ун-т.

- Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. - Вып. 8. - С. 16-24.

2. Букачев Д.С. Вторая основная четырёхэлементная краевая задача типа Римана для метааналитических функций / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции (19-21 мая 2008 г.) / Смоленский гос. ун-т. -Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2008. - Вып. 9. - С. 133-135.

3. Букачев Д.С. Об одной четырёхэлементной краевой задаче типа Римана в классах метааналитических функций / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы / Воронежский гос. ун-т. - Воронеж: Издат.-полигр. центр Воронежского гос. ун-та, 2009. -С. 31-32.

4. Букачев Д.С. О решении одной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана для метааналитических функций / Д.С. Букачев // Актуальные проблемы анализа: материалы международной математической конференции.

- Гродненский гос. ун-т им. Янки Купалы. - Гродно, 2009. - С. 11-12.

5. Букачев Д.С. О решении первой основной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана для метааналитических функций в круге / Д.С. Букачев // Системы компьютерной математики и их приложения:

материалы международной конференции (18-20 мая 2009 г.) / Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. - Вып. 1 -С. 161-163.

6. Букачев Д.С. Об одной четырёхэлементной краевой задаче типа Римана для метааналитических функций в круге / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Известия Смоленского государственого университета. — Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. - №2 (6). - С. 129-145.

7. Букачев Д.С. Четырёхэлементная краевая задача типа Римана в классах метааналитических функций в круге / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Известия Смоленского государственого университета. -Смоленский гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2010. - №2 (10). -С. 89-99.

8. БукачевД.С. О решении одной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2010. - № 4. - С. 8-13.

БУКАЧЕВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 25.10.2010. Формат 60x84 1/16. Печать ризографическая. Усл. п. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 68. Дата сдачи в печать 29.10.2010.

Отпечатано в ИТЦ Смоленского государственного университета 214000 Смоленск, ул. Пржевальского, 4

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Основные обозначения и понятия.

1.2. Один метод решения четырехэлементной краевой задачи Римана в классах аналитических функций.

1.3. Исследование картины разрешимости четырехэлементной краевой задачи Римана в классах аналитических функций.

1.4. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций.

1.5. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.

ГЛАВА П. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

2.1. Постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций.

2.2. Решение задачи gru в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круговой области.

2.3. Исследование картины разрешимости задачи gru в классе кусочно метааналитических функций первого типа.

2.4. Постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций.

2.5. Решение и исследование картины разрешимости задачи gr42 в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круге.

ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Исследование задачи grai в классах метааналитических функций второго типа в круге.

3.2. Один частный случай задачи gr4l в классах метааналитических функций второго типа, допускающий эффективное решение.jq^

3.3. Исследование задачи grn в классах метааналитических функций второго типа в круге.

Теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и различных их обобщений является важнейшей областью современного комплексного анализа.

Благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [22], Н.П. Векуа [24], Ф.Д. Гахова [27], Э.И. Зверовича [33], P.C. Исаханова [34]-[35], Д.А. Квеселава [37]-[38], Г.С. Литвинчука [46], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г. Михайлова [51], С.Г.Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [53]-[54], Л.И. Чибриковой [77] и многих других известных математиков теория линейных краевых задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершенный вид.

Однако для решения ряда прикладных задач, сводящихся к уже подробно исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении классических предположений, касающихся классов заданных и искомых функций, классов рассматриваемых контуров и других параметров задачи. В соответствии с возникающими потребностями исследования ведутся в следующих направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широких классов заданных и искомых функций, для более широких классов контуров; рассматриваются задачи со сдвигом, а также задачи, содержащие производные искомой функции и граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой.

В частности, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) интенсивно изучаются краевые задачи для различных обобщений аналитических функций (таких как, например, полианалитические и метааналитические функции) [11], [44], [47], [58]-[65], [68], [69], [74], [76], [79], [82], [83]. Значительный вклад в развитие данного направления внесли A.B. Бицадзе [10], И.Н. Векуа [23], В.А. Габринович [25], М.П. Ганин [26], Ф.Д. Гахов [27], В.И. Жегалов [31]

32], К.М. Расулов [58]-[60], [63]-[65], B.C. Рогожин [67], Р.С. Сакс [69], И.А. Соколов [72]-[73], Н.Т.Хоп [76], М. Canak [80], В. Damjanovich [81], C.R. Shoe [84] и другие известные математики.

Кроме того, следует отметить, что теория граничных задач в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного, тесно связана с различными разделами современной математики и механики [1]-[2], [8], [23], [36], [40], [43], [45], [53], [55], [57], [58], [66], [74], [78], [85].

Настоящая диссертация посвящена исследованию четырёхэлементных краевых задач типа Римана (подробнее см., например, в [46], с. 220, 232) в классах метааналитических функций, т.е. в классах функций F(z), являющихся решениями дифференциального уравнения oz oz дифференциальный оператор Коши-Римана, а д 1 где —=dz 2 д^ я.,. дх ду коэффициенты ак (к- 0,1) - произвольные комплексные постоянные.

Напомним, что если а0=о,= 0, то решения уравнения (0.1) называются бианалитическими функциями.

Пусть Т+ — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = *+/>, ограниченная простым замкнутым гладким контуром I, а Т~ = С\(г+ иь), где С - расширенная комплексная плоскость. В работе рассматриваются следующие краевые задачи. Задача Сй41.

Требуется найти все кусочно метаанапитические функции Г (г) = класса М2(7,±)пЯ(П(^), исчезаюгцие на бесконечности и удовлетворяюгцие на Ь следующим краевым условиям: 4,(0^ - 0„ W^P + 0, (0.2) дх дх дх дх

0.3) где Ак](/), Ою{1), gk(0 {к = 1,2; у = 1,2) - заданные на Ь функции, удовлетворяющие условию Гёлъдера. Задача СЖ42.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции = класса М^Т^глН^Щ, исчезаюгцие на бесконечности и удовлетворяюгцие на Ь следующим краевым условиям'. где д/дп+ (д/дп) - производная по внутренней {внешней) нормали к L, а Akj{t), Gkj(t), gk (t) (k = 1,2; y = l,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гёлъдера.

Отметим, что при выполнении на контуре L условий An(t)^A2l(t) = l и ап (0 = а22 (?) = G12 (0 = g22 (/) = о сформулированные выше краевые задачи grai и gr42 в классах полианалитических функций были впервые поставлены в известной монографии Ф.Д. Гахова [27] и в случае, когда ¿ = {f:|i| = i}, были решены И.А. Соколовым в 60-х годах XX столетия при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами [72]-[73]. В случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами при выполнении указанных выше условий краевые задачи gr4l и grn в классах полианалитических функций были подробно исследованы в монографии К.М. Расулова [58].

Следуя [46], [58], краевые задачи gr4l и gr42 будем называть соответственно первой и второй основными краевыми задачами типа Римана в классах метааналитических функций.

An(t)F\t) + Ai2(t)F+{t) = Gu{t)F-{t) + Gi2(t)F-{t) + gx{t),

0.4)

0.5)

Впервые краевые задачи GR4l и GRn без дополнительных условий Au(t)sA2l(t) = l и Л]2 (0 = Л22 (0 = g',2 (/) = G22 (0 = о были сформулированы K.M. Расуловым в монографии [58] в качестве естественных обобщений краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.

В работах Ю.А. Медведева [49]-[50] указанные задачи были исследованы в классах бианалитических функций как в случае круговых областей, так и в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

В настоящей диссертации краевые задачи GRM и GRn исследуются в классе кусочно метааналитических функций с линией скачков ¿ = {/:|/| = i}.

В силу существенного отличия качественных свойств метааналитических функций от свойств бианалитических функций (см., например, [4], [7], [21], [78], [84]) при исследовании краевых задач GRAX и GRn в классах метааналитических функций возникает необходимость разработки совершенно новых подходов к решению сформулированных выше задач и использования дополнительного математического аппарата, в частности, аналитической теории дифференциальных уравнений. Поэтому разработка методов решения краевых задач GR4l и GRn в классах метааналитических функций является на сегодняшний день актуальной проблемой.

В соответствии с этим целью настоящей работы является разработка общих подходов к решению краевых задач GR4i и GRn в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление частных случаев данных задач, допускающих решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены методы решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана и СЯп в классах метааналитических функций в случае круговых областей, которые основаны на возможности задания окружности уравнением Шварца г = Я2 /г и на представлении метааналитических функций через их аналитические компоненты. При установлении полученных результатов существенным образом была использована теория так называемых обобщенных краевых задач Римана в классах аналитических функций, теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода, аналитическая теория дифференциальных уравнений. В работе получены необходимые и достаточные условия разрешимости, а также условия нётеровости указанных задач.

Показано, что в классе кусочно метааналитических функций первого типа с линией скачков £ = = исследуемые задачи допускают вполне конструктивное решение; указаны случаи, в которых задачи ОЯЛ1 и ОЯп допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Кроме того, разработан общий подход к решению задач ОЯ41 и СЯп в классах кусочно метааналитических функций второго типа с линией скачков ¿ = {/:|г| = 1}5 который может быть использован при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом).

Таким образом, получены следующие основные результаты:

1) разработаны методы решения краевых задач ОЯА1 и ОЯп в классах кусочно метааналитических функций первого и второго типов в случае круговых областей;

2) установлены необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, а также получены условия их нётеровости;

3) выявлены частные случаи, в которых задачи ОЯи и СЯЛ2 допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

1. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфиых матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. 1992. - Т.4, вып. 1. - С. 54-74.

2. Адуков В.М. Задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Весщ HAH Беларусь Сер. Ф1зжо-матэм. навук. 2004. - №4. -С. 55-61.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. / Э.Л. Айне; под ред. A.M. Эфроса. Харьков: ГНТИУ, 1939. - 719 с.

4. Алексеенков В.В. Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Алексеенков Владимир Витальевич. Смоленск, 2009. - 116 с.

5. Анищенкова Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. - 120 с.

6. Балк М.Б. О метааналитических функциях / М.Б. Балк, М.Ф. Зуев // Материалы научн. конф. Смоленского пед. ин-та, посвященной 50-летию инта. Смоленск, 1971. - С. 250-258.

7. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. -Т. 85.-М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

8. Бикчантаев И. А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. Казань, 1972. - 89 с.

9. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / A.B. Бицадзе // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, Вып. 6. - С. 211-212.

10. Болотин И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. — 110 с.

11. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25, Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

12. Букачев Д.С. О решении первой основной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана для метааналитических функций в круге /

13. Д.С. Букачев // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции (18-20 мая 2009 г.) / Смоленский гос. ун-т. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. - Вып. 10. - С. 161-163.

14. Букачев Д.С. О решении одной четырёхэлементной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций / Д.С. Букачев, K.M. Расулов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. - № 4. - С. 8-13.

15. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. -М.: Наука, 1988.-509 с.

16. Векуа И.Н. Об одном методе решения основной бигармонической краевой задачи и задачи Дирихле / И.Н. Векуа // Некоторые пробл. мат. и мех. Л.: Наука, 1970. - С. 120-127.

17. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 379 с.

18. Габринович В.А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук.-Минск, 1977.

19. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М: Наука, 1977. - 640 с.

21. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. М.: Наука, 1966. - 436 с.

22. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

23. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач / A.A. Дезин. -М.: Наука, 1980.-208 с.

24. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1976. - Вып. 13. - С. 80-85.

25. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций /

26. B.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12.-С. 50-57.

27. Зверович Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания / Э.И. Зверович // Сибирский матем. журнал. — 1973.-Т. 14, № 1.-С 64-85.

28. Исаханов P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР. 1958. - Т. 20, №6.1. C. 659-666.

29. Исаханов P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Исаханов Рагим Сулейманович. Тбилиси, 1983.-281 с.

30. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 303 с.

31. Квеселава Д.А. Решение одной граничной задачи теории функций / Д.А. Квеселава//ДАН СССР. 1946. - Т. 53, №8. - С. 683-686.

32. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисского матем. ин-та. 1948. - T. XVI. - С. 39-90.

33. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г.В. Колосов. М.-Л.: (ЖЩ 1935.-224 с.

34. Коэн Д.Б. Граничные задачи в теории массового обслуживания / Д.Б. Коэн. М.: Мир, 1987. - 272 с.

35. Краснов М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

36. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.-432 с.

37. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

38. Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. Одесса, 1991. - 142 с.

39. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. -М.: Наука, 1977.-415 с.

40. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М: Наука, 1977. - 448 с.

41. Манджавидзе Г.Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г.Ф. Манджавидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. 174 с.

42. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. Т. 1. / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1967. - 620 с.

43. Медведев Ю.А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю.А. Медведев, K.M. Расулов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. -Вып. 7. - №7(62) - С. 54-58.

44. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. Смоленск, 2007. — 115 с.

45. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. Душанбе, 1963. - 192 с.

46. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин. М.Л.: ГИТИ, 1949. - 378 с.

47. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

48. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

49. Насыров С.Р. Смешанная обратная краевая задача на римановых поверхностях / С.Р. Насыров // Изв. вузов. Математика. 1990. - №10. -С. 25-36.

50. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 337 с.

51. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И.А. Прусов. -Минск, 1987.-182 с.

52. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

53. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Минск, 1995. - 241 с.

54. Расулов K.M. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Смоленск, 1980. - 125 с.

55. Расулов K.M. Об одном методе решения граничной задачи Маркушевича в классе аналитических функций / K.M. Расулов //

56. Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям / Смоленский гос. пед. ун-т. Смоленск, 2001. - Вып. 3.- С. 98-109.

57. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / K.M. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №2. - С. 320-327.

58. Расулов K.M. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге / K.M. Расулов, В.В. Сенчилов // Дифференц. уравнения. 2005. - Т. 41, №3. - С. 415-418.

59. Рева Т.Д. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь с упруго-пластической задачей / Т.Д. Рева // Прикладная механика. -Киев, 1972. Т. 8, Вып. 10. - С. 65-70.

60. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения / B.C. Рогожин // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн. 4. -С. 71-93.

61. Рогожин B.C. О некоторых новых интегральных представлениях аналитической функции / B.C. Рогожин // Изв. высш. уч. завед., Математика. 1964. -№6. - С. 143-152.

62. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / P.C. Сакс. Новосибирск, 1975. - 160 с.

63. Самко С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с аналитическими ядрами / С.Г. Самко // Изв. Сев.-кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. - № 4. — С. 86-94.

64. Сенчилов В.В. Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Сенчилов Владислав Владимирович. Смоленск, 2006. - 101 с.

65. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И.А. Соколов //Вестник Бел. гос. ун-та. Сер. 1. 1971. -№2. - С. 21-23.

66. Соколов И.А. О краевых задачах типа Римана для полианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук / Соколов И.А. -Минск, 1970.

67. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М: Наука, 1972. - 735 с.

68. Фатулаев Б.Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Фатулаев Буба Фатулаевич. Смоленск, 2000. - 107 с.

69. Хоп Н.Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы / Н.Т. Хоп // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, N2.-С. 214-225.

70. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. - 302 с.

71. Balk M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.

72. Begehr H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletín de la Asociation Matematica Venezolana. 2005. - Vol. 12, №1. - P. 65-85.

73. Canak M. Einige Ergebnisse zur Theorie polyanalytischer Differentialgleichungen / M. Canak, Lj. Protic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -2000.-Vol. 52.-P. 19-25.

74. Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

75. Davis P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. -Washington, 1974. 219 p.

76. Rasulov K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis. 2004. Vol. 9, №3. -P. 223-228.

77. Shoe C.R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C.R. Shoe // Cyxak. 1986. - № 3. - P. 29-33.

78. Stein M.E. Singular integrals and differentiability properties of functions / M.E. Stein. Princeton, 1970. - 303 p.