Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.54, 517.968.23

Медведев Юрий Анатольевич

ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ 175256

Санкт-Петербург - 2007

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Смоленский государственный университет».

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор РАСУЛОВ Карим Магомедович

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук, профессор ШАМОЯН Файзо Агитович

кандидат физико-математических наук, доцент ВАСИН Андрей Васильевич

Ведущая организация -

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Диссертационного совета К 212.199.02 в Российском государственном

педагогическом университете им. А.И. Герцена по адресу:

191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд. ? г ^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГПУ им. А.И. Герцена.

Автореферат разослан 3 октяьря 2007 года.

Ученый секретарь

Защита состоится « ¡4

»

2007 г. в часов на заседании

диссертационного совета кандидат физ.-мат. н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Теория краевых (граничных) задач является важнейшей областью современного комплексного анализа и математической физики

Благодаря трудам Б В Боярского, И Н Векуа, Н П Векуа, Ф Д Гахова, Г С Литвинчука, НИ Мусхелишвили и многих других известных математиков теория линейных граничных задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершённый вид

В то же время, для решения части прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным, классической теории последних оказывается недостаточно При постановке задач возникает необходимость в расширении предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи При этом исследования ведутся в различных направлениях обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, для более широкого класса заданных и искомых функций, рассматриваются различные задачи со сдвигом, задачи, содержащие производные искомых функций, задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой, граничные задачи в классе обобщённых аналитических функций

Одним из естественных обобщений аналитической функции комплексного переменного являются бианалитические функции Бианалигаческие функции зародились в математической теории упругости Г В Колосов обнаружил, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции вида <р(2)+яр(г), где ср{2), - аналитические функции Плодотворные применения этой идеи в механике в замечательных исследованиях Г В Колосова и Н И Мусхелишвили, а также их последователей широко известны

В диссертационной работе исследуются четырехэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, которые являются одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций

Интерес к изучению многоэлементных краевых задач в классах аналитических, полианалитических и метааналилгических функций постоянно растёт, так как к задачам такого типа приводят разнообразные физические и технические проблемы плоская теория упругости, задачи теории поверхностей и теории оболочек

Исследованию многоэлементных задач в классах бианалитических и полианалигических функций посвящено множество работ (В А Габринович, С В Левинский, Б Дамьянович и др ) Однако изученные ранее задачи в своей исходной формулировке имеют так называемый треугольный вид1 Эта особенность их постановки позволяет свести решение рассматриваемых задач к

1 Расулов, К М Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения /КМ Расулов -Смоленск СГТТУ, 1998 - 343 с

последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций

Изучению многоэлеменгных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы КМ Расулова, НГ Аншценковой, И Б Болотина В этих работах исследованы трёхэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций, которые являются естественным обобщением задач, исследованных ранее

Пусть на плоскости комплексного переменного г = х+гу простой гладкий замкнутый контур Ь, заданный уравнением ¿=*(ег)+/у(<т), где сг - дуговая абсцисса (натуральный параметр), ограничивает односвязную область т* Область, дополняющую Т* и I до полной плоскости, обозначим через Т~ и будем считать для определенности, что начало координат находится в Т

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции = |/г+(г), ^"(г)} с линией скачков Ь, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим граничным условиям

Задача СЯ4]

(1)

дх дх дх дх

А^Щ^ + ^^О^^ОА^+Ш, (2)

ду ду ду ду

Задача С/?«

4. СУ* (0 + (0 = Си(0Р-(0++(0, (3)

ЬП^+Ы^-Ы^+а.^+ьЮ. (4)

ои+ дп+ оп_ дп_

где gli(t) (¿ = 1,2, у = 1,2) - заданные на контуре X функции класса Н{Ь)

(Ггльдера), (1 - производная по внутренней (внешней) нормали к Ь дп+ \дп,)

Сформулированные задачи будем называть соответственно первой и второй основными четырехэлементньши краевыми задачами типа задачи Римана в классах бианалитических функций или короче -задачами ОК41 и Ф/?«

Следует отметить, что в частном случае, когда коэффициенты краевых условий удовлетворяют соотношениям

л,(о = л2(о = о, окт н оп{1)(а=1, 2), (5)

задачи ОК^ и 0^42 представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой и второй основными бигармоническими задачами

Если в равенствах (1)-(4) выполнены условия

Л.(О■ 1 . 42(0-Ок2(1) = 0 (¿ = 1,2), (6)

то задачи 0Р.4ь представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, которые были поставлены Ф Д Гаховым в его известной монографии2 При выполнении указанных условий задачи ОН«, 01^42 в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследованы в работах К М Расулова3

При условии, что на контуре Ь

4,(0 = 1 и ЛЛО-О (А = 1,2), (7)

сформулированные задачи представляют собой основные трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций, постановку которых дал К М Расулов При выполнении последних условий поставленные задачи были достаточно подробно исследованы в работах Н Г Анищенковой4

Поскольку в общем случае (когда на коэффициенты краевых условий не наложены ограничения вида (5), (6) или (7)) задачи вИ« и в^г до сих пор оставались не изученными, то разработка методов их решения является актуальной проблемой современного комплексного анализа

Объект и предмет исследования Объектом исследования являются первая (задача ОКи) и вторая (задача О^г) основные четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, а предметом исследования - методы решения этих задач, а также условия их разрешимости

Цель работы Разработка методов решения основных четырехэлементных краевых задач типа Римана в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, установление условий нётеровости и выявление случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах)

Методика исследования В работе использованы методы теории функций комплексного переменного (аналитические методы исследования), задействована теория скалярных и матричных краевых задач типа Римана для аналитических функций, теория интегральных уравнений - сингулярных и типа Фредгольма

Научная новизна. В диссертации впервые исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций

2 Гахов, Ф Д Краевые задачи / Ф Д Гахов - М Наука, 1977 - 640 с

3 Расулов, К М Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / КМ Расулов - Смоленск СГПУ, 1998 -343с

4 Ашпценкова, Н Г Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций дис канд физ-мат наук 01 01 01 / Аншценкова Надежда Геннадьевна -Смоленск, 2002 - 120 с

Разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены условия их разрешимости, условия нётеровости

Теоретическая значимость В диссертации исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана общего вида в классах бианалитических функций, разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также условия нётеровости

Практическая значимость Работа носит теоретический характер Полученные в работе результаты и предложенные методы исследования могут быть применены при решении краевых задач, отличных от изученных Кроме того, рассматриваемые в работе задачи могут найти приложения в тех областях, где используются краевые задачи для аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, например, в теории упругости и теории фильтрации

Рекомендации по использованию Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для аспирантов, магистров и студентов Смоленского, Казанского, Ростовского и др университетов

Достоверность результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами

Основные положения, выносимые на защиту

1) методы решения основных четырехэлементных краевых задач типа Римана ОЯ41 и 01*42 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами,

2) необходимые и достаточные условия разрешимости задач И^н и С!^, условия их нетеровости,

3) специальные методы решения краевых задач ОБ^ и вЯ^г в случае окружности на основе уравнения Шварца,

4) определение случаев, когда задачи вК^ и И^ю допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах)

Личный вклад соискателя Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя В совместных работах [1], [4], [5], [7], [8] постановки задач и методика исследования картин разрешимости принадлежит научному руководителю Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации

Апробация работы Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10] и докладывались на 13-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006 г), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г), на международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения»

(Смоленск, 2004-2007 г г ), на 2-й Межрегиональной научно-технической конференции студентов и аспирантов (Смоленск, 2005 г ), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям в Смоленском государственном университете (под руководством профессора К М Расулова)

Публикации По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1], [4], [5], [7], [8] выполнены совместно с научным руководителем

Структура и объём диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования Нумерация формул сквозная в каждой главе Например, (12) (или теорема 1 2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе Общий объем работы составляет 115 страниц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, научная новизна и научно-практическая значимость полученных результатов, кратко изложено основное содержание работы

Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из трёх разделов В первом разделе вводятся основные обозначения, понятия и формулируются вспомогательные теоремы Во втором разделе рассматриваются некоторые вспомогательные краевые задачи типа Римана в классах аналитических функций Третий раздел представляет собой краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций по теме диссертации

Вторая глава «Первая и вторая основные четырехэлементные краевые задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае окружности» посвящена исследованию первой и второй основных четырёхэлементных краевых задач для бианалитических функций при условии, что контур L есть единичная окружность с центром в начале координат Глава состоит из восьми разделов

В разделе 21 дается точная постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций (задача GR41) На основе представления неизвестной кусочно-бианалитической функции в виде

F±{z) = <pt{z) + ~z(pf{z),zeT\ (8)

где (ßtiz), <pi(z) - аналитические соответственно в областях Т* и Т~ функции, в разделе 2 2 доказана следующая теорема

Теорема 2.1. Если на контуре L = {; |rj = 1} выполняются условия

3,(0= Л.СШО-4в(0Ои(0 *0, се£, к = 1,2, (9)

то решение задачи САи сводится к решению следующих двух векторно-матричных задач Римана относительно кусочно-аналитических вектор-фунщий =

(Ю)

гое

г

Ф£(г) = г

а&г .12

+ (-1 )ыг<р?(г), г^Т*

АС)

-АС) |4,(ОГ-|42(ОГ) А (0 = г3 Й^ООв (0 - Лп (оад),

N

<4(0

Далее на основании известных фактов о решении векторно-матричных задач Римана для каждой из задач (10) (А = 1,2) рассмотрены отдельно два основных случая

I. Для всех точек с на контуре Ь выполняются условия

Ии(оМ Дй«! и |с?я(о|*|<зи(о|, «€¿,¿=1,2, (п)

II. Для всех точек г на контуре Ь выполняется одно из условий

МФ[0И(4|4,ММ4и(4 ! е I, к - 1,2, (12)

КиЫлМКо^в^Ь и, (13)

|0„(ф|Ои(4|4,(фК2(4 <е£,* = 1,2 (14)

В разделах 2 3, 2 4 приводится подробное исследование векторно-матричных задач Римана вида (10) отдельно для каждого из случаев I и II, после чего в соответствии с приведенной классификацией и на основании теоремы 2 1 сформулированы и доказаны теоремы о решении и картине разрешимости исходной задачи 01141 (раздел 2 5) При этом выделены следующие случаи

1) Общий случай, когда обе векторно-матричные задачи (10) удовлетворяют условию (11) В этом случае справедлива следующая теорема

Теорема 2.2. Если на контуре = £ Щ = 1} выполняются условия (9) и (11), то решение задачи ОК41 сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана (с интегральными членами) и двух

обычных скалярных задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков Ь

2) Вырожденный случай, если каждая векторно-матричная задача вида (10) удовлетворяет одному из условий (12)-(14) В этом случае имеет место следующая теорема

Теорема 2.4. Если на контуре I = {г |/| = 1} выполняются условие (9) и одно из условий (12)-(14), то решение задачи ОИ^ сводится к последовательному решению четырех обычных скалярных задач Римана относительно исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков I

3) Полувырожденный случай одна векторно-матричная задача вида (10) удовлетворяет условию (11), а другая - одному из условий (12)-(14) Здесь справедлива теорема 2 6

Теорема 2.6. Если на контуре 1 = \ |/) = 1} выполняется условие (9), то в полувырожденном случае решение задачи сводится к последовательному решению одной обобщенной скалярной задачи Римана (с интегральным членом) и трех обычных скалярных задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков Ь

Далее с учётом теоремы 2 1 и, основываясь на рассуждениях разделов 2 3, 2 4 о разрешимости векторно-матричных задач (10), для каждого случая приводится качественное исследование задачи вКц и вывод о её нетеровости

Раздел 2 6 посвящен конструктивному решению задачи Ой», а также исследованию возможности получения решения поставленной задачи в замкнутом виде (те в квадратурах) На основе теоремы 21 получены следующие результаты

Теорема 2.8. Пусть Ь = \ ¡¿| = 1} Если коэффициенты векторно-матричных задач (10) имеют вид <5*(0 = (¿ = 1,2), где - матрица,

элементы которой есть краевые значения функций, аналитических в области Т*, - матрица, элементы которой есть краевые значения

функций, аналитических в области Т' (п,т = \,2), то задача СЕ-4! разрешима в квадратурен

Следствие 2.1. Пусть I = ^ И = О Если Д&(0> в^) {к = 12, у = 1,2) -рациональные функции, то задача ОЯ4] разрешима в квадратурах

В разделе 2 7 приводится постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций (задача в^г)

Решение и качественное исследование задачи ОК42 основано на теореме 2 9, доказанной в разделе 2 8 Используя представление неизвестной кусочно-бианалигаческой функции в виде (8) получена следующая теорема

Теорема 2.9. Если на ¡/| = l} выполняются условия (9), то решение задачи GR42 сводится к решению двух векторно-матричных задач Римана вида vl(t) = Gk{t)y:(t)+Qk(t), teL, k = U

относительно кусочно-аналитических вектор-функций = y*2(z))

(к=\,г)

Полученный результат о возможности редукции задачи GR42 к двум векторно-матричным задачам Римана с краевыми условиями того же типа, что и в случае задачи GR41 (в первую очередь важно, что главные миноры матриц-коэффициентов этих задач совпадают с точностью до множителя t), позволяет на основании рассуждений п п 2 3, 2 4 практически без изменения распространить все факты относительно эффективного получения решения и установления условий разрешимости задачи GR41 на задачу GR42

Предложенные во второй главе методы решения задач GR41, GR42 иллюстрируются на конкретных примерах (примеры 2 1-2 3)

В третьей главе, которая называется «Первая и вторая основные четырёхэлеменгные краевые задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае произвольных одаосвязных областей», поставленные задачи исследуются в случае, когда L - произвольный простой замкнутый контур Ляпунова Глава состоит из трех разделов

Раздел 31 полностью посвящен сведению решения задачи GR41 к последовательному решению двух обобщённых задач Римана для аналитических функций Суть используемого метода в следующем Представление искомой кусочно-бианалитической функции F(z) в виде (8) позволяет получить из краевого условия (1) краевое условие четырёхэлементной краевой задачи типа

задачи Римана относительно кусочно-аналитической функции Ф*(г) = d'Pa ^

dz

41(0ФЧ0+42(0ФЧ0 = Оп(0Ф-(0+Ов(г)Фг0)+80(0, teL (15)

При этом функция g0(t) выражается через неизвестные функции <p*(t), ç>[(t) Временно принимая функцию g0(t) за известную, на основе теории, изложенной в разделе 1 2 и при условиях

4,(0*0, Gu(t)*0, tel, (16)

получено решение задачи (15), которое выражается через функции <(/) и (p~{t) После этого рассматривается второе краевое условие задачи GR41 С учетом

введённого обозначения Ф*(г) - ^ из граничного равенства (2) получено

dz

условие второй обобщённой задачи Римана относительно неизвестной кусочно-аналитической функции (p^z) = {¡¡^(z), <pî(z)} с линией скачков L

л*

ей*

-т,

1 ь

где ак{1\ Ък{(), ск(1\ /(0 - определенные функции класса Н (Ь), а Ак(1,т), вк(1,т), Сц.(?,г), - известные функции класса Н.(ЬхЬ)

Таким образом, получен следующий основной результат третьей главы

Теорема 3.1. Если выполняются условия (16), то решение задачи ОК41 в классах кусочно-бианалитических функций сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач типа Римана (17) и (15)

относительно кусочно-аналитических функций <р\ (г) и Ф±(г) = ^!

еЬ

соответственно При этом задача йК^ разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы задачи (17) и (15)

Далее в разделе 3 2 на основе доказанной теоремы, а также метода решения задач (15) и (17), изложенного в первой главе, приводится исследование картины разрешимости задачи О^н и вывод о её нётеровости

В конце раздела 3 2, в качестве применения разработанной теории, приводится решение конкретного примера (пример 3 1)

Раздел 3 3 посвящен исследованию задачи в!^ в общем случае, когда контур I является произвольной простой замкнутой кривой Ляпунова В этом случае получена теорема 3 3 аналогичная теореме 3 1 для задачи ОК4|

Теорема 3.3. Если выполняются условия (16), то решение задачи СК42 в классах кусочно-бианалитических функций сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач типа Римана

|г0(г,т)<( г)

(г>/г +

•/зд.

ТЖ Д (I, т)(р; (тУт=т,

I

относительно кусочно-аналитических функций ^(г) и ср^г) соответственно При этом задача йК^ разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы указанные задачи

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту

1 Разработаны методы решения задач й^ц и ОК42 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами

2 Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости задач ОН« и 01^2, установлена их нетеровость

3 Разработан специальный метод решения задач йЯ^ и в случае круговой области сведением их к векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций

4 Выявлены частные случаи, когда задачи вЬ^и и в^ю допускают решение в замкнутой форме (т е в квадратурах)

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Медведев, Ю А О решении второй четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Ю А Медведев, К M Расулов // Системы компьютерной математики и их приложения Материалы международной конференции / СГПУ - Смоленск, 2004 - Вып 5 - С 146-153 (0,47/0,28 п л)

2 Медведев, Ю А Об устойчивом случае первой четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций / Ю А Медведев // Труды математического центра имени H И Лобачевского Материалы международной научной конференции - Казань Издательство Казанского математического общества, 2004 -Т 25 -С 177-179 (0,13 п л)

3 Медведев, Ю А Один случай решения в замкнутой форме первой четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классе бианалитических функций / Ю А Медведев // П-я Межрегиональная науч -техн конф студентов и аспирантов Материалы докладов в 4-х т Смоленск филиал ГОУ ВПО «МЭИ(ТУ)» в г Смоленске, 2005 -Т 2 - С 9-10 (0,13 п л)

4 Медведев, Ю А О решении четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае произвольного контура / Ю А Медведев, К M Расулов // Системы компьютерной математики и их приложения Материалы международной конференции - Смоленск СГПУ, 2005 -Вып 6-С 145-148 (0,19/0,13 п л)

5 Медведев, Ю А О решении первой четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае окружности / Ю А Медведев, К M Расулов // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям / Смоленский гос ун-т - Смоленск, 2005 -Вып 6 -С 83-93 (0,66/0,53 п л)

6 Медведев, Ю А Первая четырехэлементная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций для произвольного контура / Ю А Медведев // Системы компьютерной математики и их приложения Материалы международной конференции - Смоленск СГПУ, 2006 - Вып 7-С 114-119 (0,3 п л)

7. Медведев, Ю. А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для биапалитических функций / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Вестник Южно-Уральского государственного университета, Серия «Математика, физика, химия». - Челябинск, 2006. - Вып. 7. - №7(62) - С. 5458. (0,28/0,18 п. л.)

8 Медведев, Ю А О решении второй четырехэлементной краевой задачи типа Римана для биапалитических функций в круге / Ю А Медведев, К M Расулов // Литовский математический журнал - Вильнюс, 2006 - Т 46, №3 - С 377-385 (0,53/0,28п л)

9 Медведев, Ю А О решении второй основной четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае произвольного контура / Ю А Медведев // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям межвуз сб науч тр / Смоленский гос ун-т - Смоленск, 2006 - Вып 7 - С 87-93 (0,41 п л )

10 Медведев, Ю А О второй основной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю А Медведев // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы конференции / Воронежский гос ун-т - Воронеж, 2007 (январь) -С 152-153 (0,06 п л)

АВТОРЕФЕРАТ Медведев Юрий Анатольевич

Подписан в печать 02.10.07. Печать ризографическая..Бумага офсет. Объем 1,2 п.л. .Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО «Печатный Дом» 191186,г. Санкт-Петербург,наб. реки Мойки д.48,корп.10,телефон:(812)571-16-39

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Основные обозначения, понятия и вспомогательные теоремы.

1.2 Некоторые вспомогательные краевые задачи в классах аналитических функций.

1.3 Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций.

ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ОКРУЖНОСТИ

2.1 Постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

2.2 Сведение решения задачи 0&ц к решению двух векторно-матричных задач Римана для аналитических функций.

2.3 Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае 1.

2.4 Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае II.

2.5 Решение и исследование картины разрешимости задачи вЬ^я.

2.6 Некоторые случаи решения задачи в!^] в замкнутой форме.

2.7 Постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

2.8 Решение второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае окружности.

ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 3.1 Сведение решения задачи GR41 к решению двух обобщённых скалярных задач типа задачи Римана относительно кусочно-аналитических функций.

3.2 Исследование картины разрешимости задачи ОИ^.

3.3 О решении второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

Теория краевых (граничных) задач является важнейшей областью современного комплексного анализа и математической физики.

Благодаря трудам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [13], Н.П. Векуа [14]

18], Ф.Д. Гахова [22]-[24], Г.С. Литвинчука [44]-[46], Н.И. Мусхелишвили [65], [66] и многих других известных математиков теория линейных граничных задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершённый вид.

В то же время, для решения части прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным, классической теории последних оказывается недостаточно. При постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, для более широкого класса заданных и искомых функций; рассматриваются различные задачи со сдвигом; задачи, содержащие производные искомых функций; задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классе обобщённых аналитических функций.

Одним из естественных обобщений аналитической функции комплексного переменного является бианалитическая функция. Бианалитические функции зародились в математической теории упругости. Г.В. Колосов [35] обнаружил, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции вида <p(z) + nf/{z), где (p{z), if/(z) - аналитические функции. Плодотворные применения этой идеи в механике в замечательных исследованиях Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили, а также их последователей широко известны (см., например, [35], [47], [65], [66]).

В данной диссертационной работе исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, которые являются одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций.

Интерес к изучению многоэлементных краевых задач в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций постоянно растёт, так как к задачам такого типа приводят разнообразные физические и технические проблемы: плоская теория упругости (см., например, [65]), задачи теории поверхностей и теории оболочек (см., например, [13]).

Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящено множество работ (В .А. Габринович

19], [20], C.B. Левинский [42], [43], Б. Дамьянович [90] и др.). Однако изучаемые ими задачи в своей исходной формулировке имеют так называемый треугольный вид (см. [68], с. 19). Эта особенность их постановки позволяет свести решение рассматриваемых задач к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций.

Изучению многоэлементных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы K.M. Расулова, Н.Г. Анищенковой, И.Б. Болотина. В этих работах исследованы двухэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций ([9]-[11], [68], [69]) и трёхэлементные задачи (типа Римана) для бианалитических функций ([1]-[5]). Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций, которые являются естественным обобщением задач исследованных ранее.

Пусть на плоскости комплексного переменного z = x + iy простой гладкий замкнутый контур L, заданный уравнением t = x(<j)+iy(a), где а — дуговая абсцисса (натуральный параметр) ограничивает односвязную область Т. Область, дополняющую Т vjL до полной плоскости, обозначим через Т~ и будем считать для определённости, что начало координат находится в Т+.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции f{z) = {f+(z), F~(z)] с линией скачков l, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим граничным условиям:

Задача GR4i Ai (0—r-^ = Gu + Gi2(t)~-^ + gx(t), (0.1) ox ox ox ox

0.2) ду ду ду dy

Задача GR42

An{t)F+ (0 + Au (t)F+ (/) = Gn(t)F-(0 + Gn (t)F~ (t) + gl (t), (0.3)

0-4) on+ on+ on on где Ak (t),Gkj(t), gk(t) (£ = 1,2; У = 1,2) — заданные на контуре L функции класса 3

H(L) (Гёлъдера), д производная по внутренней (внешней) нормали к дп+ \дп ) X.

Сформулированные задачи будем называть соответственно первой и второй основными четырёхэлементными краевыми задачами типа задачи Римана в классах бианалитических функций или короче - задачами (Ж// и &142.

Следует отметить, что в частном случае, когда коэффициенты удовлетворяют условиям

Akl(t) = Akl(t) s 0, Gkx(t) s Gkl{t) = 1 (k = \, 2), (0.5) задачи GR41 и GR42 представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой и второй основными бигармоническими задачами ([41], [65], [82]).

Если в равенствах (0.1)-(0.4) выполнены условия

Akl(t) ш 1, Ak2(t) ^ Gk2{t) ш 0 (k = 1,2), (0.6) то задачи GR41, GR42 представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, которые были поставлены Ф.Д. Гаховым в его известной монографии [22] (с. 319). При выполнении указанных условий задачи GR41, GR42 в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследованы в работах K.M. Расулова (см. [68] и имеющуюся там библиографию).

При условии, что на контуре L

Ai(0 = l и Ak2(t) = 0 (к = 1,2), (0.7) сформулированные задачи представляют собой основные трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций, постановку которых дал K.M. Расулов (см. [68], с. 286). При выполнении последних условий поставленные задачи были достаточно подробно исследованы в работах Н.Г. Анищенковой (см. [1]-[5]), а также в совместных работах [10], [11].

Поскольку в общем случае (когда на коэффициенты краевых условий не наложены ограничения вида (0.5), (0.6) или (0.7)) задачи GR41 и GR42 до сих пор оставались не изученными, то разработка методов их решения является актуальной проблемой современного комплексного анализа.

В соответствии с этим целью настоящей работы является разработка методов решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, установление их нётеровости и выявление случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены методы решения первой (задача ОЯ») и второй (задача ОБ^) основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана для бианалитических функций в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами, которые основаны на представлении неизвестных бианалитических функций через их аналитические компоненты, а также на теории обобщённых краевых задач Римана в классах кусочно-аналитических функций. В работе выведены необходимые и достаточные условия разрешимости, а также условия нётеровости задач ОЯ^ и вЯ^.

Показано, что в частном случае, когда граница представляет собой окружность, исследуемые задачи допускают достаточно простое решение, основанное на возможности задания окружности уравнением Шварца г = —. г

В этом случае задачи ОЯ^ и ОЯ^ редуцируются к невырожденным векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций, на основе чего получены конструктивные методы решения задач вЯ^ и ОЯ42 и указаны случаи, при которых решение будет задаваться в квадратурах.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы решения задач вЯц и ОЯ*2 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости задач ОЯ41 и ОЯ42, установлена их нётеровость.

3. Разработан специальный метод решения задач ОЯц и ОЯ*2 в случае круговой области сведением их к векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций.

4. Выявлены частные случаи, когда задачи ОЯ41 и вЯ^ допускают решение в замкнутой форме (т.е. в квадратурах).

1. Анищенкова, Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. - 120 с.

2. Анищенкова, Н.Г. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Н.Г. Анищенкова, Э.И. Зверович, К.М. Расулов // Докл. НАН Беларуси. 2001. - Т. 45. - № 6. - С. 22-25.

3. Анищенкова, Н.Г. Об одной обобщенной задаче типа Римана для бианалитических функций в случае круговой области / Н.Г. Анищенкова, К.М. Расулов / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 2000. - 11 е.- Деп. в ВИНИТИ 18.09.2000.-№2424-В00.

4. Балк, М.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. -М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

5. Бикчантаев, И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. Казань, 1972. - 89 с.

6. Бикчантаев, И.А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа / И.А. Бикчантаев // Тр. семинара по краев, задачам. Казанск. ун-т. 1971. - Вып. 8. - С. 31-40.

7. Болотин, И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. - 110 с.

8. Боярский, Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25. - Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

9. Векуа, И.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1988. - 509 с.

10. Векуа, Н.П. Граничные задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций с рациональными коэффициентами / Н.П. Векуа. // Труды Тбилисского математического института. Тбилиси: Мецниереба, 1989. - Т. 88.-С. 64-68

11. Векуа, Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1991. - 255 с.

12. Векуа, Н.П. Об одной задаче теории функции комплексного переменного / Н.П. Векуа // Докл. АН СССР. 1952. - Т. 86, №3. - С. 457-460

13. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 379 с.

14. Векуа, Н.П. Об одной краевой задаче теории функций комплексного переменного и её применении к решению системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа, Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисск. Матем. Ин-та, Т. 9,1941. С. 33-48

15. Габринович, В. А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.01 /В.А. Габринович Минск, 1977

16. Габринович, В.А. Об одной задаче сопряжения для полианалитических функций на окружности / В.А. Габринович // Вестник АН Бел. ССР, серия физ.-мат. наук, 1974. №1. - С. 29-36

17. Ганин, М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. -С. 313-316.

18. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

19. Гахов, Ф.Д. О краевой задаче Римана для системы п пар функций / Ф.Д. Гахов // Докл. АН СССР. 1949. - Т. 67, №4. - С. 601-604.

20. Гахов, Ф.Д. Аналитическое продолжение метод решения функциональных уравнений / Ф.Д. Гахов // Современные проблемы теории аналитических функций. - М.: Наука, 1966. - С. 73-83.

21. Гурвиц, А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант; перевод М.А. Евграфова. М.: Наука, 1968. - 648 с.

22. Жегалов, В.И. Об одном обобщении полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-та 1975. -Вып. 12.-С. 50-57.

23. Исаханов, P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1958. т. 20, №6. - С. 659-666.

24. Исаханов, P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Рагим Сулейманович Исаханов. Тбилиси, 1983. - 281 с.

25. Исаханов, P.C. О некоторых дифференциальных граничных задачах теории аналитических функций / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1958. Т. 21, №1.-С. 11-18.

26. Исаханов, P.C. Об одной общей задаче для голоморфных функций / P.C. Исаханов // Тр. Тбилиского матем. ин-та. 1980. - Т. 65. - С. 99-109.

27. Исаханов, P.C. Об одном классе дифференциальных граничных задач / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1960. Т. 25, №5. - С. 517-524.

28. Исаханов, P.C. Об одном классе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Докл. АН СССР, 1960. Т. 132, №2.-С. 264-267.

29. Каландия, А.И. Математические методы двумерной упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 303 с.

30. Квеселава, Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д.А. Квеселава // Тр. Тбилиского матем. ин-та. 1948. - T. XVI. - С. 39-90.

31. Колосов, Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости / Г.В. Колосов. Юрьев, 1909. - XIX, 187 с.

32. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / M.JI. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

33. Крикунов, Ю.М. О решении обобщённой краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю.М. Крикунов // Докл. АН СССР, 1952. Т. 85, №2. - С. 269-272.

34. Крикунов, Ю.М. О решении обобщённой краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю.М. Крикунов // Учен. зап. Казанского гос. ун-та, 1952. Т. 112, кн. 10. - С. 191199.

35. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Издательство «Лань», 2005. - 432 с.

36. Лаврентьев, М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. -702 с.

37. Лаврентьев, М.М. Методы теории функций комплексного переменного / М.М. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

38. Левинский, C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. Одесса, 1991. - 142 с.

39. Левинский, C.B. Краевая задача для функций, полианалитических в нескольких многосвязных областях / C.B. Левинский //В кн.: Современный анализ и его приложения. Киев: Наукова думка, 1989. - С. 107-111.

40. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М.: Наука, 1977. - 448 с.

41. Литвинчук, Г.С. Об одной задаче, обобщающей краевую задачу Карлемана / Г.С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139, №2. - С. 290293.

42. Литвинчук, Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г.С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 174, №6. -С. 1268-1270.

43. Манджавидзе, Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения общего вида со смещениями / Г.Ф. Манджавидзе // Тр. Тбилисск. матем. ин-та, Т. 33, 1967, С. 76-81.

44. Манджавидзе, Г.Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г.Ф. Манджавидзе // Тбил. гос. ун-т им. И.Н. Векуа. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. - 174 с.

45. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1968. - 620 с.

46. Медведев, Ю. А. О решении второй четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. - Т. 46, №3.-С. 377-385.

47. Медведев, Ю. А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. -Вып. 7. - №7(62) - С. 54-58.

48. Михайлов, Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. Душанбе, 1963. - 192 с.

49. Михайлов, Л.Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / Л.Г. Михайлов // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 139, №2. - С. 294-297

50. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

51. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

52. Примачук, Л.П. О краевой задаче с сопряжением / Л.П. Примачук // Изв. АН БССР, Сер. физ.-мат. наук. 1967. - №4. - С. 59-62

53. Расулов, K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.115

54. Balk, M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.

55. Begehr, H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletin de la Asociation Matematica Venezolana, Vol. 12, №1. 2005. - P. 65-85.

56. Damjanovic, B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Матем. вестник (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

57. Davis, P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. -Washington, 1974. 219 p.

58. Rasulov, K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis, Vol. 9, №3. 2004. - P. 223-228.

59. Stein, M.E. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions / M.E. Stein. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970. - 303 p.