Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Расулов, Кахриман Мирземагомедович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Минск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1996
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РГ6 од
Б ДЕ'Л Г'
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УДК 517.54, 517.968.23
РАСУЛОВ Кахриман Мирземагомедович
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫХ ИХ ОБОБЩЕНИЙ
01.01.01 — математический анализ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Минск 1996
Работа выполнена на кафедре теории функций Белорусского государственного университета и на кафедре математического анализа Смоленского государственного педагогического института
Научный консультант -—доктор физико-математических наук,
профессор ЗВЕРОВИЧ Эдмунд Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор ЖЕГАЛОВ Валентин Иванович
доктор физико-математических наук,' профессор КАКИЧЕВ Валентин Андреевич
доктор физико-математических наук, профессор ШЕШКО Михаил Антонович
Оппонирующая организация - Ростовский государственный
университет
Защита состоится " ^^ Р 1696 года в ^ У часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 в Белорусском государственном университете по адресу: 220080, г.' Минск, проспект Ф.Скорины, 4, главный корпус, ауд. 206.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосункверситета.
Авторефераг разослан
Ученый секретарь совета по защите диссертаций, доктор физико-математических наук,
профессор (¿у о):
В.И.Кораюк
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различных их обобщений.
Как известно1,2, в классе аналитических функций основными являются две задачи: задача Гильберт и задача Римана (по терминологии, принятой в монографии 15 ).
В настоящее время, благодаря фундаментальным работам Б.В.Боярского, И.Н.Векуа, Н.П.Векуа, Ф.Д.Гахова, З.И.Зверовича, В.А.Какичева, Г.С.Литвинчука, С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелишвили, И.И.Привалова, Б.В.Хведелидзе, Л.И.ЧиСриковой и многих других известных математиков, теория линейных краевых задач для аналитических функций приняла завершенный вид.
Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного z -х + iy являются полианалитические (или п-аналитические) функции в области ТЕС, т.е. реиения в 7 обобщенного уравнения Коши-Римана
anF(2)/a2n - о , (1)
где э/эё ( а/Эх + ia/Эу vz, п е м, п > г.
Известно 1'3, что всякую однозначную п-аналитическую в области Т функцию F(z) можно представить в виде
п-1
F(z) - £ 2k ч>к(2), (2)
к-О
где 2 - x-iy, a ?k(z) (к-0,1,...,п-1 ) - однозначные аналитические функции В Т. При ЭТОМ ФУНКЦИИ <Уо(2), ?l(z), .... Фп-1 (2) называются аналитическими компонентами полианалитической функции F(z) - соответственно нулевой, первой. ...,( п-1 )-й.
За последние годы как в СНГ, так и за его пределами (КНДР,
1Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.:Наука, 1977.
2Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.-.Наука, 1968.
^Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр.- Т.85. - М. :ВИТ1ТИ. 1991. - С. 187-246.
ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи для полианапитических функций и некоторых их обобщений (для решений уравнений более общего вида, чем (1) ). Интерес к этим задачам объясняется связями с другими математическими теориями (например, теорией дифференциальных уравнений с частными производными, теорией~приближения-функций-)—а-такхе-мно=_
гообразными приложениями в математической физике и механике.
В дальнейшем краевую задачу для п-аналитических функций будем называть классической, если в ней требуется найти решения уравнения (1) по п независимым краевым условиям; в противном случае назовем ее неклассической.
Систематическое исследование классических и неклассических краевых задач для полианалитических функций началось с работ - A.B.Бицадзе4-5, М.П.Танина6-7 и В.С.Рогожина0. Однако" основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для полианалитических функций и их обобщений, был выполнен в течение последних двух десятилетий • математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для полианалитических функций и их обобщений внесли Ф.Д.Гахов, А.В.Бицадзе, И.А.Бикчантаев, В.А.Габривович, М.П.Ганин. В.И.Жегалов, C.B.Левинский,В,И.Показеев,И.А.Соколов, B.C. Рогсжин, Н.Т.Хоп, Б.Дамянович и др.
Пусть гладкий контур L делит полную комплексную плоскость С на конечную область Т+ и область Т-, содержащую точку z =
Среди классических краевых задач для^полианалитических функций наиболее часто встречающимися в математической литературе и важными в приложениях являются _ следующие три задачи
4Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // УМН. - 1948. - Т.3,Вып.6,- С.211-212.
5Бицадзе A.B. Нормально разрешимые эллиптические краевые задачи // Докл.АН ССР,- 1965.- T.164.N 6,- С.1218-1220.
^анин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций// Учен.зап. Казанск. ун-та.-1950.-Т.111,кн.Ю.- С.9-13.
7Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций// Докл. АН СССР. - 1951. - T.80.N 3. - С.313-316.
8Рогозшн B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен.зап. Казанск. ун-та.- 1950.- Т. 110, кн. 3. - С. 71-93.
типа Гильберт: требуется найти п-аналитическую в области Т+ (ми Т" ) функцию F(z) « U(x,y)+iV(x,y), удовлетворяющую следующим условиям на контуре L :
Задача Гя,п-
ReiGk(t)AkF(t)> - qk(t). MM,... .n-1; (3)
Задача Г1, n.
/ S^FCt) >
Re Gk(t)- = qk(L), k-1.2.....n; (4)
3xn-kayk_1 J
Задача Гг.п-
( 3kF(t) ч
Re<Gk(t)- > - qic(t), k-0.1.....n-1; (5)
t 3n* )
где Л = Э2/Эх2 + Э2/Зу2 - оператор Лапласа, Э/Эп - производная по внутренней (внешней) нормали к L. a Gk(t), qk(t) - заданные функции точек контура L, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (2п-к-2)-го порядка,причем LeC2""1 (т.е. контур L задается уравнением t - x(s)+ lyCs), где x(s) и y(s) - функции дуги s, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до порядка 2п-1 включительно) и GkitX).
Впервые задачи Tr. П-Гг, п были рассмотрены в начале 50-х годов в работах B.C.Рогожина8 и М.П.Ганина6-7 .
Следует отметить, что в частном случае, когда Gk(t) ■ 1 задачи fR.n, J4. п и Гг.п представляют собой основные классические задачи теории полигармонических функций, называемые соответственно задачей Рикье, первой основной задачей и второй основной задачей, которым посвящены многочисленные оригинальные работы. Интерес к этим задачам в основном вызван тем, что они находят различные приложения при решении многих проблем математической физики и механики сплошной среды.
Известны также три классические задачи пипа Римана, находящиеся к задачам Tr, n. Ti.n и Гг.п в таком «се отношении, как задача Римана для аналитических функций к задаче Гильберта, и состоящие в отыскании двух функций: F+(z) - полианалитической порядка п в области Т+, и F"(z) - полианалитической порядка п в области Т", граничные значения которы^ F+(t) и F~(t) удовлетворяют на L следующим п условиям:
Задача Рр„п-
&KF+(t)- Gk(t)AkF'(t) + fflcft), к=0,1,...,n-l; (6)
Задача Pi.n-
_a""1^«)_6n_1F_CtJ
-- = Gk(t)--+ gktt), k=l,...,n,-(7)-
8хП-кЭук-1 ^n-kgyk-l
Задача Рг.г,-
3kF+(t) 9kF~(t)
--GkCt)- + 8k(t). k-0,l,...,n-l; (8)
9n+k Эп-к '
где Э/йп+ (Э/Эп-) - производная по внутренней (внешней) нормали к L, a Gk(t), gk(t) - заданные на L комллекснозначные функции,-удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (2n-k-2)-ro порядка, причем L £ с£п~2 и Gk(t) * 0.
Отметим также, что впервые задачи типа Римана для полианалитических функций ставились и изучались в работах И.А.Соколова9, 10 . Достаточно обстоятельное изложение результатов М. П. Галина6,7. B.C.Рогожина8 и И.А.Соколова9'10 можно найти в цитированной на стр. 1 монографии Ф.Д.Гахова1К
В дальнейшем будет установлено, что задачи I*i.n и Гг. п (соответственно Pi,п и Р?..п ) близки как по степени их сложности, так и по методам их решения. Однако задача Fr. n (PR.n ) су- ■ щественно отличается от задач Г1,п, Гг, п ( соответственно Pi.n, Pi. п ) своей простотой уже по самой постановке. Это отличие заключается в том, что для дифференциальных операторов Дк к 4kQ2k / Э2ксёк определяющих краевые условия задачи Гр>, п (Pfi.n )• в соответствии с формулой (2) выполняются равенства: п-1 pl
д¥(г) - 4k £ -zp"k Фр,ю(г), к=0,1,... ,п-1; (9)
р"к (р-к)!
(здесь iPr - F ). В силу этих равенств краевые условия (3) при
9Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для подиана-литических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер.физ. мат. наук. - 1969.- К 5. - С. 64-71.
10Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура // Вестник Белорусского ун-та.Серй 1 1970. - N 2.- С.20-23.
к - п-1, п-2,..., О соответственно можно записать в виде
«геа^Чп-и! 5п-аа) »(«> - <Ь-1а). (101)
(п-1)1 _
неап-2вп-2(1)С(п-2)! <^~г)а) + —— -
- чп-га). (Юг)
йкеоакм« + ... + ^-Чп-низ) - Чоа). (юп)
Теперь заметим, что краевые условия (101) - (Юп) в совокупности имеет "треугольный" вид в том смысле, что краевое условие (Ю1) содержит граничное значение лишь одной (п-1)-ой аналитической компоненты фп-1(г) искомой полианалитической функции, а (Юг) - граничные значения лишь двух'аналитических компонентов ^-1(2), Фп-г(г) и т.д. Поэтому, решая последовательно п краевых задач Гильберта (Ю1), (Юг)..... (Юп) относительно аналитических в Т+ функций ^ю(2) (к«п-1. п-2,.,.,0), можно определить все функции <р0(2). ?1(г).... ,<рп-1(2), а зна-
п-1
чит и искомую полианалитическую функцию Г(2)- Е гкФк(г). Таким
I к-О
образом, задача Гя. п фактически сводится к совокупности п краевых задач Гильберта относительно аналитических функций Фк(2) =. Фк(Ю(2), к-0,1.....п-1.
В то же время особенности дифференциальных операторов £>к1=дп_1/Зхп~кЭук~1 и 0к2«Эк/Эпк . определяющих краевые условия задач Г1.п и Гг.п ( /Ч.п и Рг.п). таковы, что условия (4) и (5) ( (7) и (8)) не имеют треугольного вида в указанном выше смысле. Поэтому, вообще говоря, задачи Г1.п, Гг.п С1.п. Рг.п ) не сводятся к совокупности п обычных краевых задач Гильберта (Римана) для аналитических функций.
Таким образом, задачи Гя. п и Рр. п относятся к классическим задачам треугольного вида, а Гг.п, Г'г.п и Р1,п. Рг.п -к задачам общего {прямоугольного) вила.
В течение последних двух-трёх десятилетий опубликовано значительное число оригинальных работ, в которых исследуются те или иные линейные классические краевое задачи для полианалитических функций и их обобщений (см.. например, обзорную ра-
боту11' и указанную гам библиографию). Подавляющее большинство из этих работ посвящены исследованию лишь краевых задач треугольного вида, а задачи общего вида изучаются только для • областей типа круга Kr = <z:|zi<r, г >0 > или полуплоскости С+ - i z: Ira z > 0 }.
В случае простешш одкосвязных областей с аналитическими-
границами (типа круга КТ и полуплоскости С+ ) существует достаточно простой метод сведения любой классической краевой задачи относительно полианалитической функции F(z) вида (2) к системе из п скалярных краевых задач (Гильберта или Римаиа) для аналитических функций.В основном это удается сделать из-за того, что в случае круга Кг и полуплоскости С+ на границе L выполняются следующие соотношения г - г2 / z и z - z соответственно. В силу этих соотношений граничные значения полна-' налитической функции F(z) вида (2) совпадают с граничными значениями следующих аналитических функций соответственно: п-1
Ф (z) » Е r2k ij>k(2) , если L - окружность |z| - г, к-0
п-1
? (z) « Е 2к 9k(z) , если L - вещественная ось 1ш 2 » 0. к-о
Сказанное остается справедливым и в случае областей, отображающихся на круг (или полуплоскость ) с помощью рациональных функций. _ {•
Однако ситуация существенно усложняется в случае произвольных (односвязаых или ыногосвязных) областей, так как полианалипические функции порядка л (п ) 2), вообще говоря, не инварианты отоситажъно конформных преобразований.
Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что разработка методов исследования классических краевых задач общего (а не только треугольного) вида для полианалитических функций и их обобщений в произвольных конечносвязных областях является актуальной задачей.
пГабринович В. А. .Соколов И. А. Об исследованиях по краевым задачам для полианалитических функций // Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75-летию со дня рождения академика АН БССР Ф.Д.Гахова. - Минск.:Изд-во "Университетское", 1935. - С. 43-47.
В частности, отсутствием указанных методов объясняется тот факт, что наиболее важные и широко известные задачи ri.n Г2. п и Pi.п. Рг.п, рассмотренные уже в первых работах по краевым задачам для полианалитических функций, а также в монографии1 2), до сих пор оставались не исследованными в случае произвольных {олносъязтх и тогосвяэкых) областей. Как справедливо отмечал Ф.Д.Гахов, "решение таких краевых задач представляет вопрос весьма сложный" (см. 12), с. Э05 ).
Лишь недавно, с помощью принципиально нового подхода к решению классических краевых задач общего вида для полианалитических функций и их обобщений, разработанного автором, удалось решить сформулированные выше задачи (см. [13, [2], [5-7], [11-13], [15], [17], [19] ). Подробному изложению этих результатов посвящены павы 2-4 настоящей диссертации.
В 1948 году A.B.Бмцадзе13 впервые обнаружил одно важное обстоятельство, состоящее по существу в том, что задача отыскания бианалитической функции F(z) (т.е. решения эллиптической системы 32F(z)/3z2 = О ) в круге Кг - < z: |z| < г, г>0> по следующему краевому условию
F(t) - о, t е г, (И)
где т - <t: Uhr > и F(t) - lim F(z), имеет бесконечное
2-t
множество линейно независимых решений. Следовательно, задача (11) в круге Кг не является ни фредголъиовоО, ни нетеровой. В то же время оказалось, что соответствующая (11) неоднородная задача Дирихле
F(t) - f(t), t е Т. (12)
где f(t) заданная на окружности г непрерывная функция, является нормально разрешимой по Хаусдорфу, т.е. необходимые условия разрешимости являются также и достаточными.
Позже в работе Н.Т.Хопа14 было установлено,что существуют такие односвязнье области, в которых однородная задача (11)
12См. цитированную на стр. 1 монографию С.Д.Гахова1'.
1ЭСм. цитированную на стр. 2 работу 45.
14Хоп Н.Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы //Дифференц. уравнения.-1*366. - Т.2, N 2.- С. 214-225.
для одного класса бианалитических функций имеет лишь нулевые решения, причем не для всякой области Т£С' неоднородная задача Дирихле (12) является нормально разрешимой по Хаусдорфу.'
В связи со сказанным возникает следующий основной вопрос:
какова доосна быт односвязная область 7, чтобы в ней однород-_
ная задача (11) для полианадшпических функций порядка п (п>2 ) имела лишь нулевое решение ? Полный ответ на ,этот вопрос в классе п-аналитических функций произвольного порядка и областей с аналитическими границами получен недавно в £43.[83,£103,[23).
Вообще для правильной (корректной) постановки граничных еадач типа задачи Дирихле важное значение имеет так называемое множество единственноот решений, т.е. такое множество В с ЭТ, что из Пв - О следует Г ■ О в Т.
Выявлению множеств единственности решений краевых задач типа Дирихле для полианалитических функций и разработке методов решения названных задач посвящена пятая глава диссертации.
Таким образом, настоящая диссертация посвящена исследованию основных классических и неклассических линейных краевых еадач для полианалитическмх функций и их обобщений (решений уравнений более обдего вида, чем (1) ) в произвольных конечно-связных областях. При этом в данной диссертации особое внимание уделяется алгоритмичности при решении задач, а также отысканию случаев (достаточно общей природы), для которых исследуемые задачи допускают решения в замкнутой форме (в квадратурах). Для единообразия изложения все задачи в основном изучаются в классах Нд(Ь) (Геяьдера).
Связь работы с крупными научными темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций Белгосуниверситета и кафедре математического анализа Смоленского госпединститута в рамках научно-исследовательских тем Министерства Образования и Науки Республики Беларусь и Министерства Образования Российской Федерации "Краевые задачи комплексного анализа и связанные с ними интегральные уравнения", "Граничные свойства аналитических и полианалитических функций".
Цель работы. Разработка сбщих методов решения основных классических краевых задач типа Римана и типа Гильберта для полианалитических функций и некоторых их обобщений в производь-
ных конечносвязных областях. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач. Выявление случаев (достаточно общей природы), при которых исследуемые задачи допускают решения в замкнутой форме (в квадратурах). Решение неклассической задачи типа Дирихле для полианалитических функций в областях с аналитическими границами.
Научная новизна. В диссертации предложен и развит новый подход к исследованию линейных краевых задач типа Римана и типа Гильберта для полианалитических функций, базирующийся на теории так называемых обобщенных задач Римана и Гильберта для аналитических функций; на основе этого подхода впервые получены решения основных краевых задач Р1.п , Рг.п . ГЧ. п и Гг. п для полианалитических функций и некоторых их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей; выявлены новые классы рассматриваемых задач, допускающих полное исследование. Получено решение неклассической задачи Дирихле для полианалитических функций произвольного порядка п (п>2 ) в областях с аналитическими границами. Установлены новые граничные теоремы единственности для полианалитических функций.
Практическая значимость. Изложенные в диссертации результаты в основном имеют теоретическую направленность. Разработанные в ней методы являются общими для всего класса линейных краевых задач типа Римана и типа Гильберта для полианалитических функций. Кроме того, результаты диссертации могут найти применение при изучении свойств полианалитических функций и их обобщений, при исследовании задач типа Римана и типа Гильберта для аналитических векторов и реяений систем эллиптических дифференциальных уравнений, порожденных оператором Коши-Римана. Исследованные в диссертации задачи и предложенные в ней методы могут найти приложения в задачах математической физики и механики сплошной среды.
Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями краевых задач комплексного анализа, теорией приближения функций, интегральных и дифференциальных уравнений и их приложений: в Белорусском, казанском, Московском, Новгородском, Новосибирском, Одесском, Ростовском университетах, в Смоленском педагогическом институте.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
- Методы решения краевых задач типа Римана Р±.п и Рг.г для полианадитических функций и их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей;---
- Выявление частных случаев задач Pi,n и Pz.z, допускающих решения в замкнутой форме (в квадратурах);
- Методы решения задач типа Гильберта Га. п и Гг. 2 Для полианалитических функций и их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей;
- Анализ частных случаев вадач Гц, п и Гг. г, сводящихся к последовательному решению обычных задач Гильберта для аналитических функций;
- Необходимые и достаточные условия существования ненуде-' бых решений у однородной задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с аналитическими границами;
- Решение неоднородной задачи Дирихле для полианалитических функций в одно^вязных областях, границы которых являются алгебраическими кривыми;
- Решение векторно-матричной задачи Римана для аналитических функций в случае, когда G(t) £ Мн<и;
- Решение векторно-матричной задачи Гильберта для аналитических функций в случае, когда G(t) е «н *и.
Вклад автора в разработку проблемы. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Опубликованные научные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск - 1988 ), на V Конференции по комплексному анализу (Галле -1988), на XV Национальной летней школе по приложениям математики (Варна -1989), на V Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса -1991), на VI Конференции математиков Беларуси (Гродно -1992), на Международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Минск-1992 ),на Международной конференции "Алгебра и Анализ", посвя-
и
ценной 103-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань-1994), на школе-конференции по теории функций и её приложениям (Казань-1995), на Международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление" (Минск - 1996), на семинарах механико-математического факультета МГУ по обратным задачам анализа и математической физики (руководители- чл.-корр. РАН В.А.Садовничий и профессор А.И.Брилепко), по теории функций (руководитель - чл.-корр. РАН П.Л.Ульянов), по граничным свойствам функций (руководитель - профессор Е.П.Долженко), по предельным множествам (руководитель - профессор В.И.Гаврилов), по геометрии в целом (руководители- И.Х.Сабитов, Э.Р.Розендорн, Е.В.Шикин), на семинаре по краевым задачам при Казанском университете (руководитель - профессор В.И.Жегалов), на научном семинаре кафедры теоретической и специальной физики Новгородского университета (руководитель - профессор Радциг Ю.Ю.), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ростовского университета (руководитель - профессор Н.К.Карапетянц), на семинаре "Функциональный анализ и дифференциальные уравнения" при БГУ (руководители - профессора А.Б.Антоневич, П.П.Забрейко, Я.В.Радыно), на семинаре Белорусского математического общества (руководитель- академик И.В.Гайгаун), на семинаре кафедры высшей математики БГУ (руководитель - профессор В.Н. Русак ) и неоднократно на Минском городском семинаре по краевым задачам имени Ф.Д.Гахова (руководитель - профессор Э.И.Зверович), а также на Смоленском городском семинаре по комплексному анализу (руководитель - профессор М.Б.Балк).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора (1 - 24].
Структура и объем диссертации. Диссертация' состоит из введения, общей характеристики, пяти глав, выводов, списка использованных источников, содержащего 159 наименований, и двух приложений. Нумерация формул (теорем) сквозная в каждой главе. Например,(4.7) (или теорема 4.7) означает 7-ю формулу (теорему) 4-й главы. Общий объем работы составляет 241 страницу машинописного текста.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводятся общие постановки классических и
неклассических-краевых-задач_типа Гильберта и типа Римана для
полианалитических функций и их обобщений, а затем дается обоснование необходимости разработки методов решения этих задач в случае произвольных конечносвязных областей.
Первая глава "Обзор литературы по краевым задачам для полианалитических функций и разработка общей методики проведения исследований " состоит из четырех разделов. В разделе 1.1 вводятся наиболее часто используемые обозначения и, для удобства ссылок, приведен ряд известных фактов из теории функций комплексного переменного и теории краевых задач для уравнений в частных производных.1 Разделы 1.2 и 1.3 посвящены обзору литературы по теме диссертации и выбору направления исследований,а в разделе 1.4 излагается общая методика проведения исследований.
Во второй главе "Обобщенные скалярные задачи Римана и Гильберта для аналитических функций" (состоящей из двух разделов) в основном излагается вспомогательный материал. В раз-деде 2.1 подробно исследуется задача, состоящая в отыскании кусочно аналитической функции Ф(г) - <Ф+(г), Ф~(г)> с гладкой линией скачков I, исчезающей на бесконечности и удовлетворяющей на Ь условию
4>*(t) - D(t)«T(t) +
A(t,t)i>+(t)dx +
B(t,T)0'(T)dt - g(t), (13)
L L
где D(t), g(t) - заданные на L функции класса H(L) (Гельдера), a A(t,t), B(t,t) - заданные на L*L фредгольмовы ядра, причем D(t) * О на L.
Для удобства задачу (13) будеи называть обобщенной задачей Римана для аналитических функций (или короче - задачей Р ).
Задача Р является хорошо известной в теории краевых задач для аналитических функций. В случае односвязных областей известны также различные подходы к её решению. Однако до сих пор не была изучена структура общего решения задачи Р . Но именно подученные в результате изучения структуры общего решения этой задачи формулы существенным образом используются
в последующих главах при исследовании основных краевых задач типа Римана для полианалитических функций. В связи с этим в разделе 2.1 в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами предлагается метод решения задачи Р (с выяснением структуры её общего решения), суть которого состоит в непосредственном сведении задачи Р к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. При этом используются установленные в приложении 1 специальные интегральные представления для кусочно аналитических функций (лета П. 1.1).Далее доказывается, что структура общего решения задачи Р имеет вид (теоремы 2.1, 2.2):
1 г г(-с)
Ф+(2) - —-dt +
ZtVt -
l
2ltl
e(t) dt
D(t) X - 2
Ri(z,t)g(t)dt + L ßkdk(z), k-1
1
RÎ(z,t)g(i)dt + £ Mk(2), k-1
(14)
L
где g(t) - свободный член краевого условия (13), а Ri^te.t), dk"(z) - определенные функции, выражаемые через D(t), g(t), A(t,T ), B(t,t); ii, Иг, ... , <H - произвольные комплексные постоянные, причем l=®t-v-r,если х>0, и 1<*тах{0,у-|з|>,если зе<0; здесь зе - Ind D(t), a v и r - целые неотрицательные числа, v)r. Кроме того, в разделе 2.1 исследуется характер непрерывности решений задачи Р, приводится подробное решение рассматриваемой задачи в случае вырожденных ядер A(t,T), B(t,t) и устанавливается, что в этом случае задача Р допускает решение в квадратурах (теорема 2.3 и следствие 2.1 ).
Раздел 2.2 второй главы посвящен исследованию следующей краевой задачи: требуется найти однозначную аналитическую в произвольной (р+1)-связной области Т+ с ляпуновской границей L функцию 9(2), удовлетворяющую на L условию
Re|ca(t)-lb(t)3î>(t)+
Ai(t,t)î»(t)dt +
Bi(t,t)i?(t)dtJ -c(t), (15)
где a(t), b(t), c(t) - заданные на L действительные функции класса H(L), a Ai(t,t ), Bi(t.t) - заданные фредгольмовы ядра.
Сформулированную задачу будем называть обобщенной задачей Гильберта для аналитических функций (или короче - задачей Г ).
Поскольку структура общего решения эадачи Г будет играть существенную роль при исследовании всех основных краевых задач типа Гильберта для полианалитических функций и их обобщений,-то в разделе 2.2 предлагается метод решения задачи Г в произвольной конечносвязной области (с выяснением структуры ее об— щего решения), который в методическом плане аналогичен способу решения задачи Р. А именно, используя интегральные представления Гахова - Хасабова для аналитических функций в многосвяаных областях (лемма П.1.8 ). сначала задачу Г сводим непосредственно к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, а затем устанавливаем, что структура её общего решения имеет вид (теорема 2.6):
1 г Fit) г 1
9(2)---dt + Ri(z,t)e(T)ch: + £ rkflk(z), (16J
zx\H - z *
ь l
где g(t) - 2c(t)/ta(t) - ib(t)), a Ri(z,t), Пк (г) - функции, определенным образов выражаемые через заданные в (15) функции; Т1.Г2.--.» VI - произвольные действительные постоянные, причем ]«®tv-r-p+l, если а£0. и 1-иах{0, v-|as|-p+l>, если as<0; здесь гг « Ind {ta(r)+ib(T)Vta(r)-lb(t)3>, a v и r - целые неотрицательные числа, v>r. Далее, в разделе 2.2 исследуется задача Г в случае выравненных ядер Ai(t,t), Bi(t,t). Установлено, что в этом случае решение задачи Г сводится к решению обычной задачи Гильберта для аналитических функций и определенной системы линейных алгебраических уравнений (теорема Z.7 ). Кроме того, в этом разделе изучается характер яелрермеяоаш решений задачи Г.
Третья глава "Краевые задачи шла Римаяа для полиаяаяида-ческих функций и их обобщений" (состоящая из разделов 3.1-3.5) посвящена исследованию основных классических краевых задач типа Римана Pi,n и Рг.п жш полианалитических функций и некоторых их обобщений.
В разделе 3.1 даются точные постановки задач Pi.n и Рг.п для псаианадитических функций произвольного порядка п (п>2 ) в случае многосвяаных областей.
Прежде чем приступить к изложению основных результатов данной главы, отметим одно важное обстоятельство.
Замечание 3.1. Общее представление полиавамшической порядка п функции F(z) через п гшклишических функций ?0(z),i>i(z).
• ■ •, Фп-1 (2) С™- Формулу (2) на с. 1 ) формально позволяет свести каждую краевую задачу типа Римана, исследуемую в данной главе, к некоторой обобщенной векторно-матричной задаче Римана относительно неизвестного кусочно-аналитического вектора ф"*(г) = = ( Фо(2),|рГ(2), .... 9гГ-1(2) ). Однако получаемые при этом векторно-матричнне задачи оказываются вырожденными, т.е. определители матриц, являющихся коэффициентами краевых условий, равны тождественно нулю на контуре I,. Поясним сказанное на примере задачи Р1 п при п=2. Нетрудно проверить, что при п=2, с
± X ± —
учетом Г (2) = Ф0(г) +■ 2-<?1(2) и д/ду = Кд/дг - 3/95), Э/Эх -= З/Эг + 3/35, краевые условия задачи Pt,z мохно переписать в виде
+ t
dt
dt
Gi (t)
dt
<toj"(t)
+ t -
dt
+?>;(t)
<*£(t)
+ t
dtp, (t)
dt
dt
-9,+ (t)= G2(t)
dtp-(t) d^it)
-+ t-
■ dt dt
-<p;(t)
+■ ei(t).
(17) -iB2(t).
S свою очередь, в векторно-матричных обозначениях краевые условия (17) можно записать так:
d<n+(t) ■ d<T(t) Aj(t)- + Ao(t)</-(t) - Bi(t)- + B0(t)<f(t) + g(t), (18)
dt
где
Ф"(2) =
<P0~<2>
. Ai(t)
Bi(t)
rGi(t) tGi(t)-
432(t) tGz(t).
dt
1 t s
, Ao(t)
1 t
О Gi(t)
1
0 -1
, B0(t)
О -G2(t)
Bit)
Ki(t) -ifâ(t)
Легко проверить, что det Ai(t) »0 и det Bi(t) » 0, t£L, т.е. векторно-матричная задача Римана (18) является вырожденной. Поскольку вырожденные задачи не подчинятся известной теории векторно-матричных задач Римана (нормального типа} для аналитических функций, то возникла необходимость в разработке собственных методов исследования для рассматриваемых в диссертации задач типа Римана для полианалитических функций и их обобщений.
В данной главе диссертации предложен и развит новый общий подход к исследованию линейных краевых задач типа Римана для полианалитических функций и некоторых их естественных обобщений, базирующийся на общем представлении (2) полианалитических функций и теории обобще}шой скалярйой_задач1ГРимана~(13)~для_анали-_ тических функций.
Для большей ясности в разделе 3.2 подробно исследуется задача Pi.п для бианалитических функций (т.е. при п=2 ). Суть метода решения задачи Pi. 2. предложенного в диссертации, состоит в следующем. Сначала, используя общее представление кусочно бианалитических функций F~(z) = cpö(z)+- ztpi(z), краевые условия рассматриваемой задачи Pi, г приводим к виду (17). Далее, вводя обозначения Фо(2) * d<Po(z)/dz и
Qo(t) = tGi(t)dtpi(t)/dt + Gi(t)?i(t)- td<f>l(t)/dt- ?í(t)+ gi(t),-первое из условий (17) переписываем в виде
íb(t) = Gi(t)5>ó(t) + Qo(t), t£L. (19)
Считая временю Qo(t) известной функцией и решая обычную задачу Римана (19), по известным формулам определяем аналитические функции $>o(z) и ®¿(z). Подставляя граничные значения найденных таким образом функций ®o(z)=dtp¿(z)/dz и <D¿(z)=dtí>0(z)/dz во второе из условий (17) доказываем, что относительно функций ?í(z)
и q>I(z) получаем следующую обобщенную краевую задачу Римана:
♦ f -
<Pi(t) - a2(t)<pi(t)+ SAii(t,T)?i(t)d'C + ÍBii(t,T)9iOC)dt = Qi(t), Ь L. (20) где An(t,T), Bii(t,-C), Qi(t) - функции, которые несложным образом выражаются через заданные в условии задачи Pi .г функции Gk(t), gK(t), k= 1, 2. Отсюда, в свою очередь, относительно задачи Pi.2 получается следующий основной результат раздела 2.2.
Георема 3.1. Задача Pi. г кусочно бианалитических функций равносильна системе из обобщенной и обычной задач Римана
портального mina относительно неизвестных кусочно аналитиче-+ + -*-
ских функций 4>i(z) и <*>Z(z) соответственно, где <J>0(z)=d<?5(z)/dz, i ±
a <Po(z), Pi (z) - аналитические компонент искомой кусочно биа-налитической функции. При этом обобщенная задача Римана для <¡>i(z) не зависит от Ф3(г), а в свободный член краевого условия задачи Римана для <5>o(z) входят граничные значения функций <Pi(z) и dpi (z) /dz. '
Из этой теоремы видно, что решение задачи Ра.2 сводится к последовательному решению обобщенной задачи Римана (20) относительно ф!(г) и обычной задачи Римана (19) относительно Ф^(г).
Далее на основании теоремы 3.1 и картин разрешимости задач Римана (обобщенной и обычной) для аналитических функций исследуется картина разрешимости задачи Ра. г при различных значениях индексов зе^ = 1пс1 Б^Си, к = 1, 2. В общем случае как число ч условий разрешимости неоднородной задачи Ра. 2> так и число 1 линейно независимых решений соответствующей однородной задачи Р1°2 зависят от рангов определенных матриц. Однако при любых значениях индексов числа ч и 1 конечны, т.е. задача Ра. 2 является нетеровой.
В силу теоремы 3.1 задача Р1.2 . вообще говоря, не решается в замкнутой форме (в квадратурах), так как решение обобщенной задачи (13) в общем случае сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Поэтому для задачи Ра. 2 является актуальной проблема выявления её частных случаев, допускающих решения в замкнутой форме. В этом направлении для задачи Ра, 2 установлены следующие результаты: 1) если относительно коэффициентов <3к(1), К = 1, 2, краевых условий (7) выполняются соотношения Ба(и = 62 (I) = в^), то решение задачи Ра. 2 сводится к последовательному решению двух обычных задач Римана для аналитических функций и, следовательно, решается явно в интегралах типа Коши (теорема 3.2 ); 2) если область Т+ есть круг, го задача Ра, 2 также решается в замкнутой форме (теорема 3.3 и следствие 3.1 ). Полученные результаты иллюстрируются на конкретном примере (пример 3.1 ).
В разделе 3.3 исследуется вторая основная задача Римана Р'2. п для кусочно бианалитических функций (т.е. при п = 2). Основной результат этого раздела содержится в следующей теореме.
Теорема 3.4. Задача Р2. г равносильна системе из обобщенной и обычной задач Римана относительно неизвестных кусочно аналитических функций <у|(г) и 9о(г) соответственно, где <р¿(г), <Р1(2) - аналитические номлоненпы искомой кусочно бианаяиточе-ской функции. При этом обобщенная задача Романа для <?а (2) не зависит от <р£(г), а краевое условие задачи Римана для Фо(г) зависит от граничных значений ФаХг).
С помошыо теоремы 3.4 задачу Рг.г удается изучить с той же полнотой, что и Р\,г (см. теоремы 3.5 и 3.6 )
Раздел 3.4 посвящен исследованию задачи Ра, п Для полиана-
литических функций произвольного порядка п (п>3 ). Здесь, развивая идею полученного в разделе 3.2 метода решения этой задачи при п = 2, удается установить следующий основной результат.-Теорема 3.7. Задача Р1.п для полианалитических функций порядка п—равносильна системе - из п-1 обобщенных и-одной обычной задач Римана нормального типа относительно неизвестных кусочно аналитических функций Фп-1(2), Фп-г(2), ..., ФГ (2) и С£(г) соответственно, где Фч(г)= [^(г)] (п_ч"1), я=0,1, ■ ■ ■ »п-1, а ф|(2)- аналитические компонент искомой кусочно полианалитической функции. При этом лишь обобщенная задача Римана относительно Фп-1(2) не зависит от других, а краевое условие задачи Римана для функции Ф^-^Сг), у=2,...,п, содержит граничные значения кусочно аналитических функций Фп-1 (2) , <?п-г(2).....
Ф^-у-ы (г). -
Важно отметить, что при доказательстве теоремы 3.7 попутно получен алгоритм конструктивного решения рассматриваемой задачи.
Далее исследоган вопрос о разрешимости задачи Р^. п в зависимости от значений индексов щ. = 1пс1 бк^). к - 1,..., п; получены оценки числа произвольных постоянных, входящих в общее решение задачи. Кроме того, установлено, что задача Р\шП является нетеровой. В подразделе 3.4.3 найдены некоторые частные случаи задачи Р1,п. допускающие решения явно в интегралах типа Коши. А именно доказаны следующие две теоремы.
Теорема 3.8. Пусть для коэффициентов рк(^), К - 1,...п, краевых условий (7) задачи Р\. п выполняются соотношения
<*(« - ва). к -1.....п. и. кроне того. 6(1),ек(Ое Н(П_1)(Ь),
к -1,2.....п, а Ь - гладкий контур. Тогда решение задачи Р^, п
сводился к последовательному решению л обычных задач Римана для аналитических функций.каждая из которых содержит лить одну пару искомых функций, последовательно Ф^-г(г), 0^-2(2). .... «1(2), Фо(г), где Фд(г) - [^(г)]'""4"".
Теорема 3.9. Если Т+ является кругом, по решение задачи Р1.п сводится к последовательному решению п-1 обобщенных задач Римана с вырояденнши ядрами и одной обычной задачи Римана, кахдая из которых содержит лишь одну неизвестную кусочно аналитическую функцию.
Таким образом, все результаты, полученные в разделе 3.2 для задачи Р1.2 в классе Окаталитических функций, распространены на задачу Р1.п для полианпиитических функций произвольного
порядка п (п > 3).
В разделе 3.5 рассматриваются функции, являющиеся решениями дифференциального уравнения З^Сг) ЭФ(2)
- * Аа(2)- + Ао(2)'Ф(2) = О, (21)
дгг дг
где 9/92 » СЗ/Эх + 13У9у]/2 , а коэффициенты Ао(г), А1(2) -кусочно аналитические функции с.линией скачков Ц задаваемые следующим, образом:
, ак , если г е Т+,
Ак(2) -
^ , если т. € Т", к = 0, 1,
причем Эо, а1 - некоторые постоянные; здесь Т+ - содержащая начало координат конечная односвязная область, ограниченная произвольным гладким замкнутым контуром Ь, а Т~ = С\(Т+и.).
Следуя и.Б.Балку15, решения уравнения (21) в области Т* (Т~ ) будем называть метааналитическими функциями в Т* (Т~ ).
Основная цель раздела 3.5 - показать, что методы решения классических краевых задач типа Римана в классе полианалитиие-ских функций, разработанные в предыдущих разделах настоящей главы, вполне могут быть использованы и для решения таких задач в более общих классах функций. Для этого решается (в качестве
модельной) следующая задача Рхи: требуется найти все кусочно
+
метааналитические функции Ф~(г) с линией скачков Ь,исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим условиям:
ЭФ+а)/Эх - б1а)ЭФ"(и/Эх +•. д^«;
(22)
ЭФ+СЬ)/ЭУ = б2а)ЗФ-(1)/эу + е2а), где 8Гк(1), к=1,2, - заданные на Ь функции, удовлетворя-
ющие условию Гедъдера вместе со своими производными, причем Ь е С^ и (*(!)»« 0 .
Заметим, что краевая задача Р1.м является обобщением задачи Ра. г в том смысле, что метааналитические функции составляют более широкий класс функций, чем бианалитические.
Известно, что кусочно метааналитические функции можно задавать в виде
15См. цитированную на стр. 1 работу3'.
Ф+(г) = ф0+(2)ехр-{Х1г> + «п^фехрагг), г£Т+, Ф(г) = { (23)
_ФЛг1^_Фо~(2)ехр{Лгё> + <|>1~(2)ехр«22>, гВТ,
или
/ Ф+(г) = Е(Ро+(2) + 2-?>1+(2)]ехр<Л02>, геТ+, Ф(2) - | _ (24)
где Фк+(2) (Фк~(2) ), к=0Д,- аналитические в Т+ ( Т") функции; и >2 - простые корни, а - кратный корень уравнения X2 + ах* + ао => 0. Обычно функции <р0~(2) и (з) в (23) или (24) называют аналитическими компонентами метааналитической функции Ф~(г).
Далее, учитывая (23) (или (24) ) и применяя ту же логическую схему, которая была использована при решении задачи Рх.2 для бианалитических функций, устанавливаем следующий основной результат (теоремы 3.10 и 3.11):
Решение задачи сводится к последовательному решению
обобщенной задачи Римана нормального типа относительно кусочно аналитической функции <ц~(г) и' дифференциальной задачи Римана нормального типа относительно кусочно аналитической функции Фо"(2), где ч>0"(2) и <!>1~(г) - аналитические компоненты искомой кусочно метааналитической функции. При этой задача Римана ошо-сительно 91'(г) не зависит от <Ро~(2), а свободный член краевого условия дифференциальной задачи Римана для <р0~(2) содержит граничные значения Ф1~(г) и её производной.
Следует, однако, заметить, что при доказательстве приведенного выше результата попутно указан ноеый подход к решению дифференциальной задачи Римана, состоящей в отыскании кусочно аналитической функции (р0~(2), удовлетворяющей на Ь условию ¿95(1) с^О-)
-+ мпич&и) + 01(1)-+ мга)<?5а) = сьа), (25)
сИ (11
где М^), 61(1), Н1(1), <}0(Ь) - заданные на Ь функции класса Н(Ь), причем В^Ь) * 0 (см. лемш 3.2 и 3.3 ).
В четвертой главе "Краевые задачи типа Гильберт для полианалитических функций и их обобщений" (состоящей из разделов 4.1 - 4.5) исследуются основные классические краевые задачи типа Гильберта Г},п и Гг.п Для полианалитических функций и
некоторых их обобщений.
В разделе 4.1 приводятся точные формулировки задач Ti.n и Г2.п Для полианалитических функций порядка п (п > 2).
Здесь важно отметить следующее обстоятельство.
Замечание 4.1. В силу общего представления (2) полианалитических порядка п функций F(z) через п аналитических функций Фо(2), tpi(z),..., ?>n-l(z), рассматриваемые в данной главе краевые задачи типа Гильберта для полианалитических функций формально можно свести к некоторым обобщенным вектюрно-матричнт задачам Гильбергаа относительно аналитического вектора tp(z) =
- ( <?o(z), <Pi(z)_____ 9n-i(z) ). Но, как и в случае задач типа
Римана (си. замечание 3.1 на с. 14 ), получаемые при этом век-но-матричные задачи Гильберта оказываются вырожденными. Следовательно, к исследуемым в данной главе диссертации задачам не применима ' известная теория векторно-матричных задач Гильберт нормального типа для аналитических функций. Поэтому в настоящей главе предложен и развит новый общий подход к исследованию краевых задач типа Гильберт для полианалитических функций и некоторых их естественных обобщений, базирующийся на общем представлении (2) полианалитических функций и теории обобщенной скалярной задачи Гильберт (15) для аналитических функций.
Раздел 4.2 посвящен исследованию задачи ¡ri,n для бианали-тических функций (т.е. п=2) в случае произвольных односвязных областей. Основной результат этого раздела содержится в следующем утверждении:
Теорема 4.1. Задача Г1.2 для бианалитических функций равносильна системе из обобщенной и обычной задач Гильберт нормального типа относительно неизвестных аналитических в т* функций ?>i(2) и Ф0(2) соответственно, где Ф0(2) = d?0(z)/d2, a <?o(z) и q>i(2) - аналитические компонент/ искомой бианалит-ческой функции. При этом обобщенная задача Гильберта для í>i(z) не зависит от <p0(z). а краевое условие задачи Гильберта для Фо(2) содержит граничные значения <п(2) и её производной.
Таким образом, согласно теореме 4.1, решение задачи Ti, 2 сводится к последовательному решению обобщенной задачи Гильберта относительно <Pi(z) и обычной задачи Гильберта относительно Ф0(2). Далее в разделе 4.1 исследуется картина разрешимости задачи Ti,2 в зависимости от значений индексов щ = = Ind Gj (t) и зе2 = Ind G2(t) коэффициентов краевых условий, а также устанавливается нетеровость рассматриваемой задачи.
Кроме того, здесь же указываются частные случаи, когда решение задачи Г1.2 сводится к последовательному решению двух обычных ~задач~Гидьберта-дла-аналитических_фу_нкции (теоремы 4.2 и 4.3 ). Однако особо следует здесь подчеркнуть роль теоремы 4.2~Т~в~ которой устанавливается, что в областях Т+, являющихся рациональными образами круга, решение задачи Г1.2 сводится к последовательному решению двух обычных задач Гильберта в круговых областях и,следовательно, в этом случае рассматриваемая задача допускает решение в замкнутой форме. Тем самым из предложенного метода решения задачи Г1.2 (в указанном в теореме 4.2 частном случае) получаются все ранее известные результаты, относящиеся к этой задаче16.
В разделе 4.3 по схеме исследования задачи Гг. 2 изучается вторая основная задача типа Гильберта Гг. п в случае п=2 и произвольных односвязных областей. Основной результат этого раздела содержится в следующей теореме:
Теорема 4.4. Задача Гг. г в классе бианалитических функций равносильна системе из обобщенной и обычной задач Гильберта относительно неизвестных аналитических в Т+ функций и
Ф0(г) соответственно, где <р0(2) и 54(2) - аналитические компонент искомой бианалитической функции. При этом обобщенная задача Гильберта относительно VI(г) не зависит от ф0(г), а свободный член краевого условия задачи Гильберт относительно Фо(2) содержит граничные значения функции ч>1(г).
Раздел 4.3 посвящен распространению результатов 4.2 на случай произвольного п (п > 2 ) и многосвязных областей, т.е. здесь исследуется задача Г^.п для полианалитических функций произвольного порядка п в случае многосвязных областей. Основной результат раздела 4.4 содержится в следующей теореме.
Теорема 4.7. Задача Г1,п ДО? полианалитических функций ло-рядка п равносильна системе из п-1 обобщенных и одной обычной задач Гильберта нормального типа относительно неизвестных аналитических в Г+ функций Фп-2(2),..., $1(2) и Ф0(2)
соответственно, где = V = 0, 1, ..., п-1,
а V = 0, 1, ... ,п-1, - аналитические компоненты искомой
подиаиалитической функции. При этом лишь задача Гильберта относительно (г) не зависит от других, а краевое условие задачи Гильберт для функции Фп-Л2)« ^ = 2,...,п, содерхит граничные
1бСм., напр., §32 цитированной на с. 1 книги Ф.Д.Гаховаи.
гз
значения функций Фп-1(2), Фп-2(2),
Здесь важно отметить, что в доказательстве теоремы 4.7 содержится конструктивный способ решения рассматриваемой задачи.
Далее на основании картш разрешимости задач Гильберта (обычной и обобщенной) для аналитических функций и теоремы 4.7 изучается картина разрешимости задачи 14. п. а также устанавливается. что она является нетеровой. Кроме того, в этом разделе выявлены частные случаи задачи 14. п, когда она допускает решение в замкнутой форме. А именно, установлены следующие теоремы: Георама 4.8. Пуст для конечной односвязной облает Т+, ограниченной просты зачкнутл/ контуром ьес" существует рациональная функция 2 - и (О, конформно и однолистно отображающая единичный круг К\ - <£.:к|<1> на Т+. Тогда решение задачи Г1, л сводится к последовательному решению п-1 обобщенных задач Гильберта 'вида (15) с вырожденными ядрами и одной обычной задачи Гильберт относительно аналитических в К1 функций.
Теорема 4.9. Пусть Т* - произвольная ( р+1 )-связная
р
область, ограниченная простым контуром Ляпунова I. - и Ц, и
¡-о
для коэффициентов Бк(Ь), к - 1,...,л, краевых условий задачи Г 1,п выполнятся соотношения бк(Ь) = 6(Ь), к = 1, 2, ..., п. Тогда решение задачи 14, п сводится к последовательному решению п обычных задач Гильберлв относительно аналитических'в Т+ функций Фп-1(2), Фп-2(г),..., <?о(2) соответственно, где Фя(г) -- С9д(2)](п-ч~1), а рч(2), q - О, 1, ....п-1, - аналитические компонент искомой полианалипгической функции. При этом лишь задача Гильберт относительно Фп-1 (2) - фп-1 (г) не зависши от других, а свободный член краевого условия■ задачи Гильберта относительно Фп^(г), у»2,3,...,п, содержит граничные значения
функций Фп-1 (г) , Фп-2(2).....Фп^+1(2).
Тагам образом, все основные утверждения, полученные в разделе 4.1 для случая п-2, естественным образом распространяются и на общий случай.
В разделе 4.5, чтобы показать, что разработанные в диссертации методы решений задач типа Гильберт для полианалипте-ских функций могут быть распространены и на аналогичные задачи в более общих классах функций, исследуется задача типа Гг. 2 для решений дифференциального уравнения (19) с аналитическими в области Т+ коэффициентами Ао(2), А1(2). Используя общее представление решений указанного дифференциального уравнения
через аналитические функции (см. формулы (23) и (24) ) и разработанный в разделе 4.3 метод решения задачи Гг.2. удается получить общий метод решения рассматриваемой задачи в указанном выше классе функцшЛ(теоремгГ~4710^П --
Пятая глава "Неклассическая задача типа Дирихле для полианалитических функций" (состоящая из разделов 5.1-5.3) посвящена исследованию задачи Дт, которая в общем виде может быть сформулирована следующим образом: требуется найти все п-аналитические в односвязной Жордановой области Г функции F(z).удовлетворяющие почти всюду на границе Г области Т условию
F(t) - f(t). t6L. (26)
где F(t) - угловые граничные значения искомых функций, a f(t) -заданная почти всюду на L функция.
Ясно, что здесь точный смысл условия (26) каждый раз должен быть уточнен в зависимости от предположений о кривой Г и о классах функций, которым принадлежат F и f .
Заметим, что, согласно приведенной выше классификации краевых задач для полианалитических функций, задача Дт является неклассической задачей типа задачи Дирихле. В то же время задачу Дг можно было бы рассматривать как некоторый аналог задачи аналитического продолжения для полианалитических функций. Однако, пользуясь более установившейся в литературе терминологией, задачу (26), как и раньше, будем называть задачей Дг (задачей Дирихле для п-аналитических функций в области Т ), а соответствующую однородную задачу (f(t) =0 ) - задачей Дт°.
Важно отметить, что многие прикладные задачи комплексного анализа сводятся к задачам типа Дт в классах полианалитических и полигармонических функций17,18.
Введем в рассмотрение некоторые классы аналитических и полианалитических функций, которыми в дальнейшем будем часто пользоваться.
Обозначим через Р(Т+Г) класс аналитических в области т
"Лаврентьев М.М. Внутренние задачи для дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения с частными производными. -Новосибирск.:Наука, 1986,- С. 126-129.
18Лаврентьев М.М..Романов В.Г.,Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М.:Наука, 1980.
функций, имеющих почти всюду на Г конечные угловые (некасательные) граничные значения.
Будем говорить, что п-аналитическая в области Т функция F(z) вида (2) принадлежит классу Ер(п"1)(Т+Г), если все её аналитические компоненты q>k(2) £ Ер (определение класса Смирнова Ер> р > О, см., например, в 19), с. 422 ). ■
Если же все аналитические компоненты ф|<(2) £ Р(Т+Г), то будем говорить, что ?(г) принадлежит классу Р(Т1-1) (Т+Г).
Наконец, будем говорить, что п-аналитическая в области Т функция F(z) принадлежит классу Pin_1)(T+D, если она имеет почти всюду на Г конечные угловые граничные значения.
Как недавно показал Е. П.Долженко20, класс Ptn_1>(Т+Г) является собственным подклассом pin_1>(T+r). Поэтому, в силу Ерс Р(Т+Г) и формулы (2), связь между введенными выше классами функций выражается следующим образом:
ЕР(П~П(Т+Г) С Pin-1) (Т+Г) С РСп-г)(Т+Г). (27)
В разделе 5.1 приводятся необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные сведения. Раздел 5.2 посвящен исследованию однородной задачи Дирихле ( f(t) » 0). Основной результат этого раздела содержится в следующем утверждении.
Теорема 5.3. Среди оцносвязных областей, ограниченных аналитическими кривыми, однородная граничная задача Дирихле Дт° в классе Р(п'1У(Т + Г) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда функция ' z « х(ы), реализующая конформный гомеоморфизм единичного круга Кх = { ы: |ы| < 1 > на область Т является: 1) либо однозначной ветвь/о алгебраической функции степени не выше п-1; 2) либо однозначной ветвью алгеброидной функции степени не выше п-1 над кольцом P(A'i~ + п). где К\~ • <u: 1<|и|<®>, а п • -(и: Ju|»l }.
Следует, однако, заметить, что на самом деле в этом разделе доказано следующее более. сильное утверждение, являющееся аналогом известной в теории аналитических функций теоремы единственности Лузина-Привалова для полианалитических функций
19Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.:Наука, 1965.
20Долхенко Е.П. 0 граничном поведении компонент полианалитических функций //Докл. РАН.-1994.- T.338.N 5.- С. 585-588.
в областях с аналитическими границами:
Теорема 5.3'. Пусть Т - односвязная область, ограниченная ■замкнутой аналитической кривой Г, и функция F(z) класса p(n-i)имеет нулевые угловые граничные значения на некотором множестве Е С Г положительной меры. Лдя того чтобы было F(z) » 0 в 1, необходимо и достаточно, чтобы функция z = Х(ш), реализующая конформный гомеоморфизм единичного круга Кг = i«:|u|<l> на область Т, не являлась ни однозначной ветвью алгебраической функции степени ниже п, ни однозначной ветвью алгеброидной функции степени ниже п нал кольцом P(Ki~ + Ti), где Ki" - {и: К|и|<°° >.
Кроме того, в конце раздела 5.2 показано, что утверждение теоремы 5.3 (в несколько уточненной форме ) справедливо и в классе Р(п_1)(Т+Г) (теорема 5.4.).
В заключительном разделе 5.3 получено полное решение неоднородной задачи Дирихле Дт в случае одного достаточно широкого класса областей с аналитическими границами и в следующей уточненной постановке: требуется найти все п-аналитические в области Т функции F(z) класса Е()п~1) (Т+Г), угловые граничные значения которых F(t) почти всюду на Г удовлетворят условию F(t) = f(t), где f(t) - заданная функция класса Li(Г) ( т.е. f(t) - интегрируемая в смысле Лебега на Г функция ).
Всюду в дальнейшем содержащую начало координат конечную односвязную область Т с аналитической границей Г будем называть областью типа М, если характеристическое уравнение кривой Г имеет вид:
2 - [P(z)/Q(z)3Gi(z), (28)
где P(z), Q(z) - взаимно простые многочлены, все нули которых находятся внутри области Т,а Gi(z)- аналитическая в Т функция, не имеющая в ней нулей.
Основной результат этого раздела содержится в следующем утверждении.
Теорема 5.5. Для разрешимости неоднородной задачи jfr в областях типа М необходимо и достаточно, чтобы функция f(t) была представима в виде
I v
f(t> > g+(t) +--£ cktk. (29)
CQ(t))n-i
где g+(t) - граничное значение произвольной аналитической в Т
функции класса Е1, с0, С1, ..., с? - произвольные комплексные постоянные, \>= п(п-1)-1, а т- степень многочлена 0(1). При выполнении условия (29), общее решение задачи Дт можно представить в виде:
Г (г) * 1Ц(2)г- Р(2)Й1(2)]Рг,-1(2) + ?х(г),
где Гп-1(2) - произвольная (п-1)-аналитическая в Т функция класса Е,(п_2) (Т+Г), удовлетворяющая условию
Рп-1 (2) - 0( 1/(2 - в(2) ) ) При 246 Г, а (г) - функция вида
1 р д+(Х) ( и(2) Ч V
р1 (2) = — 2Я1
йт + Шг) + 2п_1-> Е Ск2к ;
т - 2 V ^(г)]"-1^-0
здесь и(г) и У(г) - многочлены, удовлетворяющие равенству [р(2)]п~1и(2) + са(2)]п_1у(2) = 1.
Важно отметить, что из теоремы 5.5, в частности, следует, что задача Дт в областях типа М не является ни фредгольмовай, ни нетеровоО (так как здесь ни число решений однородной задачи Дт°, ни число условий разрешимости неоднородной задачи Дт не являются конечными ). В то же время из теоремы 5.5 видно, что задача Дт в областях типа И является нормально разрешимой по Хаусдорфу (т.е. здесь необходимые условия разрешимости являются также и достаточными).
В приложении 1 "0 некоторых интегральных представлениях аналитических функций " приводятся доказательства интегральных представлений для аналитических функций, используемых во второй главе при исследовании обобщенных задач Р и Г .
Приложение 2 "Об одном, методе решения веклюрно-магпричных задач Римана и Гильберт для аналитических функций" состоит из разделов П.2.1 - П.2.3. Основная цель данного приложения -показать, что идеи и методы, разработанные в главах 2-4 настоящей диссертации, могут быть успешно использованы для получения конструктивных методов решения достаточно широких классов векторно-матричных задач Римана и Гильберта для аналитических функций.
В разделе П.2.1 даются постановки векторно-матричных задач Римана и Гильберта в гельдеровских классах и вводится в рас_смотрение класс_Мн0.) всех квадратных матриц-функций G(t) порядка п с элементами из Н(0~1ГУдовлетворяющих~условию:--
i
все главные миноры Mjj(t) = det|Gkq(t)||k.q-i, 3=1,...,n, матрицы G(t) не обращаются в нуль на контуре L .
В разделе П.2.2 изучается векторно-матричная задача Римана в случае, когда коэффициент G(t) её краевого условия принадлежит классу Мши- Основной результат этого раздела содержится в следующей теореме.
Теорема П. 2.1. Если G(t)£AÎH(u векторно-матричная задача Римана
<P+(t) = 0(t)<T(t) + er(t). t£L, (30)
+ + + +
где <T(t) = ( q>i"(t), (t),..., Jpn'Ct) ) - граничные значения искомого кусочно аналитического вектора <р"(2), a g-(t) = - ( ei(t), 52(t), .... gn(t) ) - заданная на L вектор-функция, равносильна системе из п-1.обобщенных и одной обычной скалярных
задач Римана нормального типа относительно неизвестных кусочно
t + + аналитических функций <pn (z),..., yg' (z) и <Pi (z) соответственно. При этом лишь скалярная задача Римана относительно q>R(z) не зависит от других, а краевое условие скалярной задачи Римана относительно q>n-v(z), v = 1, 2, ..., п-1, содержит граничные значения функций ipâ(z), Фп-iCz) .• • • .«Prv-v+ite).
Поскольку в общем случае решение обобщенной скалярной задачи Римана сводится к решению интегрального уравнения Фред-гольма второго рода, то, согласно теореме П.2.1, векторно-матричная задача (30) при G(t)6%(L). вообще говоря, не решается в замкнутой форме ( в квадратурах ). Поэтому важно выделять те частные случаи, когда решение задачи (30) при можно
получить с помощью квадратур.
В качестве непосредственного следствия из теоремы П.2.1 получается следующее важное утверждение.
Теорема П.2.2. Если G(t) е и элементи первых п-1
строк матрицы G(t) являются рациональными функциями, то задача (30) решается в замкнутой форме (в квадратурах ).
В разделе П.2.3 получено решение векторно-матричной зада-
2*2
чи Гильберта в случае п=2 и G(t) t Мн<и- Основной результат этого раздела состоит в следующем:
Теорема П.2.3. Если 6(1)6 Мнсы. то векторно-матричная задача Гильберта
Ке{ба)ф+(и> = с(и. (31)
где = <<рГ (Ь), ФгН)) - граничные значения искомого аналитического вектора <?(2) = (^(г) ,(¡>2(2)), а с(Ц> (Й1(Ь) ,сг(1)) -заданная на контуре Ь вектор-функция, равносильна системе из обобщенной и обычной скалярных задач Гильберта нормального типа относительно аналитических функций <?2 (2) и я (г) соответственно. При этом обобщенная задача Гильберта для Фг(2) не зависит от Ч>1 (г), а краевое условие задачи Гильберта для <ц (г) содержит граничные значения <?г (г).
В заключение важно отметить, что разработанные в данном приложении алгоритмы точных решений векторно-матричных задач Римана и Гильберта ориентированы на дальнейшую их численную реализацию на ЭВМ, с помощью известных приближенных методов решения краевых задач и сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах.
ВЫВОДЫ
В диссертационной работе предложен и развит новый подход к исследованию линейных краевых задач типа Римана и Гильберта для полианалитических функций и некоторых их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами, который базируется на общем представлении полианалитических функций и их обобщений через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных задач Римана и Гильберта для аналитических функций. Кроме того, в данной работе получен полный ответ на вопрос о существовании ненулевых решений у однородной неклассической задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с аналитическими границами. Разработанные в диссертации методы позволили решить ряд актуальных проблем теории краевых задач комплексного анализа. Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:
1.Методы решения краевых задач типа Римана Р\,п и Рг. 2 для полианалитических функций и их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей. Установление необходимых и достаточных
условий разрешимости и нетеровости для задач Pi.n и Р&.г.
2. Выявление частных случаев задач Pi.n и Рг. 2. допускаю-щих-решения-в-замкнутой_форме__(в интегралах типа Коши).
3. Методы решения задач типа Гильберта 14, п и ГгТг для~ полианалитических функций и их обобщений в случае произвольных конечносвязных областей. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости для задач и Гг. г-
4. Анализ частных случаев задач Fi. п и Гг. г. сводящихся к последовательному решению обычных задач Гильберта для аналитических функций. Доказательство разрешимости в замкнутой форме задач Fi. п и Гг. г в областях, являющихся рациональными образами единичного круга.
5. Выявление необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений у однородной задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с аналитическими границами.
6. Решение неоднородной задачи Дирихле для полианалитических функций в односвязных областях, границы которых являются алгебраическими кривыми. Установление ее нормальной разрешимости по Хаусдорфу.
7. Метод конструктивного решения векторно-матричной задачи Римана для аналитических функций в случае, когда G(t)£MH(u (см-Приложение 2 ).
8. Метод конструктивного решения векторно-матричной задачи Гильберта для аналитических функций в случае, когда 6(Ь)ОИн(£> (см. Приложение 2J.
РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
.1. Расулов K.M. О решении некоторых краевых задач типа Римана для полианалитических функций // Докл. АН СССР.- 1980.-Т.252, N 5. - С. 1059-1063.
2. Расулов K.M. Краевые задачи типа Римана для одного дифференциального уравнения высшего порядка // Совр. вопросы теории функций и функц. анализа.-Караганда, 1980.- С. 113-120.
3. Расулов K.M. Краевые задачи типа Римана для полианалитических функций,разрешаемые в замкнутой форме // Докл. АН СССР.- 1933.- 1.270.N 5,- С. 1061-1065.
4. Расулов K.M. О решении краевых задач типа Дирихле и Шварца для полианалитических функций // Исследования по полиа-
налитическим функциям и их обобщениям.-Смоленск,1988.- С.41-54.
5. Расулов K.M. Об одной модельной краевой Задаче типа Римана для полианалитических функций // Всесоюзная конференция по геометрической теории функций,Новосибирск,окт.1988 г.: Тез. докл.- Новосибирск,1988,- С. 81.
6. Расулов K.M. О краевых задачах для полианалитических функций // 5-я конференция по комплексному анализу. Галле, дек. 1988 г.: Тез. докл.- Гале (ГДР),1388.- С.70.
7. Расулов K.M. 0 решении краевых задач типа Римана для полианалитических функций в случае многосвязных областей // Докл. АН СССР,- 1989,- T.306.N 1,- С. 41-46.
8. Расулов K.M. О решении краевых задач типа задачи Дирихле для лолианалитических функций // Докл. АН СССР. - 1989.-T.309.N &•- С. 1309-1313.
9. Расулов K.M. 0 правильной постановке некоторых граничных задач для полианалитических функций и методах их решения // 15 Национ. летн. школа по приложен, матем. в технике, Варна, авг. 1989 г.: Сб. докл. и научн. сообщ.-София,1989.-С. 192-195.
10. Расулов K.M. О единственности решений задач типа Дирихле для полианалитических функций // Годикник на висшит-е учебни заведения. Приложна математика ( Болгария ). - 1989. -Т.25. Книга 3. - С. 99-103.
11. Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитическмх функций // Докл, АН СССР,- 1991.-Т.320,N 2.- С. 284-288.
12. Расулов K.M. Об основных краевых задачах типа задачи Гильберта для бианалитических функций 1/ Некоторые вопросы теории полианалитических функций и их обобщений. - Смоленск, 1991,- С. 56-64.
13. Расулов K.M. Основные краевые задачи типа Гильберта для полианалитических функций и их применение в теории упругости // Тез. докл. Y Всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики". Одесса, сент. 1991. - Одесса, 1991. - С. 89-90.
14. Расулов K.M. О задачах типа Дирихле для одной эллиптической системы уравнений, порожденной оператором Коши-Римана // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т.28, N 2.- С. 355-357.
15. Расулов K.M. О разрешимости в замкнутой форме задач типа Гильберта для полианалитических функций // Тез. докл. VI Конференции математиков Беларуси. Часть 2. Гродно, сент.1992.-
Гродно, 1992. -'с. 58.
16. Расулов K.M. Об одном методе эффективного решения векторных задач Римана и Гильберта для аналитических функций /
Смоленск, гос. пед. ин-т. - Смоленск, 1992. - 42 с. - Деп. в-
ВИНИТИ 11.11.92. - N 3224 - В92.
17. Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для полианалитических функций в многосвязных областях // Докл. АН Беларуси. - 1992. - Т.36, N 9-10. - С. 782-785.
18. Расулов K.M. Об одной граничной теореме единственности для лолианалитических функций // Тез. докл. международной науч. конф., посвящен. 200-летию со дня рожд. Н.И.Лобачевского. Часть II. Минск, дек. 1992.- Минск, 1993. - С. 11. .
19. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классический краевых задач для полианалитических функций и их обобщений Дифференц. уравнения.-1993.- Т.29,N2. - С.320-327.
20. Расулов K.M. Об одной дифференциальной граничной задаче Римана для аналитических функций // Вестник Белорусского ун-та. Серия 1. - 1994. - N 1. - С. 44-47.
21. Расулов K.M. Об одном методе решения векторной задачи Римана // Докл. АН Беларуси.- 1994.- T.38.N 2. - С. 23-26.
22. Расулов K.M. О решении задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с алгебраическими границами // Тез. докл. международной науч. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева. Часть II. Казань, 5-11 июня 1994 г. -Казань, 1994. - С. 105.
23. Расулов K.M. 0 решении задачи Дирихле для полианалитических функций в областях с алгебраическими границами // Дифференц. уравнения. - 1995. - Т.31, N 1,- С. 106-113.
24. Расулов K.M. Об одном методе решения краевых задач для полианалитических функций в областях, ограниченных аналитическими кривыми // Тез. докл. школы-конференции "Теория функций и ее приложения".Казань,15-22 июня 1995 г.-Казань,1995.- С. 55.
Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту Эдмунду Ивановичу Зверовичу за поддержку, оказанную при выполнении данной работы.
РЕЗШЕ
РАСУЛОВ КАХРИМАН МИРЗВМГСШГОВИЧ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫХ ИХ ОБОБЩЕНИЙ
Ключевые слова: полианалитическая функция, краевая задача, конформное отображение, обобщенные задачи Римана и Гильберта, индекс задачи, интегральные представления, аналитическая кривая, задача Дирихле.
Диссертация посвящена разработке общих методов решения линейных краевых задач для полианалитических функций и их обобщений. В ней предложен и развит новый подход к исследованию краевых задач типа Римана и типа Гильберта в классах полианалитических функций, базирующийся на теории так называемых обобщенных задач Римана и Гильберта для аналитических функций. На основе этого подхода впервые получены решения основных краевых задач типа Римана и типа Гильберта для полианалитических функций и некоторых их обобщений в случае произвольных конечносвяз-ных областей; выявлены новые классы рассматриваемых'задач, допускающих полное исследование. С помощью методов теории функций комплексного переменного установлены необходимые и достаточные условия существования ненулевых решений у однородной задачи Дирихле для полианалитических функций произвольного порядка п (п>2 ) в областях с аналитическими границами, а также получено решение неоднородной задачи Дирихле в областях с алгебраическими границами. В качестве одного из важных приложений, разработанных в диссертации методов, получены конструктивные решения достаточно широких классов векторно-матричных задач Римана и Гильберта для аналитических функций.
Все основные результаты работы являются новыми. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких областях математики как краевые задачи комплексного анализа, теория приближения функций, интегральные и дифференциальные уравнения, а также при решении различных задач теории упругости и математической физики.
РЭЗКМЭ
РАСУЛАУ-КАХРШАНМТРЗЕМАГАМЕДАВ1Ч_
КРАЯВЫЯ ЗАДАЧЫ ДЛЯ ПОЛ 1АНАЛIТЫЧНЫХ ФУНКЦИЙ 1 НЕКАТОРЫХ IX АБАГУЛЬНЕННЯУ
Ключавыя словы: пол! анал!тычная функция, краявая задача, канформнае адлюстраванне, абагульненыя задачы Рымана 1 Пльберта, 1ндэкс задача, 1нтзгральные выяуленн!, анал!тычная кривая, задача Дырыхле.
Дысертацыя прысвечена распрацоуцы агульньк метадау рашэння л1нейных краявых задач для пол1анал1тычных функцый 1 1х абагуль-ненняу. У ёи прапанаваны 1 разв!ты новы падыход да даследавания краявых задач тылу Рымана 1 типу Пльберта у класах пол!анал1-тычных функцый, як1я баз!руюцца на тзоры! так званых абагульне-ных задач Рымана I Пльберта для анал1тычных функцый. На аснове гэтага падыходу упершыню атрыманы рашзнн1 асноуных краявых задач тыпу Рымана 1 тыпу Пльберта для полганалЮТных функцый 1 некаторых ¿х абагульненняу у вьшадку адвольных канечназвязных абсягау; выяулуны новыя класы разглядаваных задач, як1я дапус-каюць поунае даследаванне. 3 даламогай метадау тэорьп функцый камплекснай зменнай установлены неабходныя 1 дастатковыя умовы 1снавання ненуляЕых рашэнняу у аднароднай задачи Дырыхле для пол 1анЕштычных функцый адвольнага парадку п (п)2) у абсягах з анал!тычным1 гран1цам1, а таксама атрымана рашэнне неаднароднай задачы Дырыхле у абсягах з алгебра1чными гран1цам1. У якасщ аднаго з важных прымяненняу распрацаванных у дысертацы! метадау атрыманы канструктыуныя рашэнн! дастаткова широких класау вектарна-матричных задач Рымана 1 Пльберта для анал1тычных функцый.
Усе аснауныя вынж! работы з'яуляюцца новыми Метады 1 вынШ дысертацьи можна выкарыстоуваць у тзарэтычных даследа-ваннях у так!х гал1нах матэматыцы, як краявыя задачы камплекс-нага анал1зу, тэорыя набЛ1жэння функцый, 1нтэградьныя 1 дыфе-рэнцыяльныя раунанн!, а таксама при рашэнн1 розных задач тэоры1 пруткасц! 1 матзматычнай ф!з!цы.
35 Summary
Rasulov Kakhriman Mlrzemagomedovich
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR POLYANALYTIC FUNCTIONS AND SOME OF THEIR GENERALIZATIONS '
Keywords: polyanalytic function, boundary value problem, conformal mapping, generalized Riemann and Hilbert problems, index of the problem, integral presentation, analytic curve, Dlrichlet problem.
The thesis is devoted to new methods of solving of the linear boundary value problems . for polyanalytic functions and their generalizations. A new approach to the investigation of the Riemann and Hilbert boundary value problems for polyanalytic functions , based on the the theory of the so-called generalized Riemann and Hilbert problems for analytic functions is proposed and developed. On the basis of this approach were obtained for the first time the solutions of the main boundary value problems of the Riemann and the Hilbert types for polyanalytic functions and some of their generalizations for arbitrary finitely connected domains; some new classes of these problems, admitting complete investigation have been discovered. By use of methods of Complex Analysis necessary and sufficient conditions of the existence of the nonzero solutions of the homogeneous Dirichlet problem for polyanalytic functions of the arbitraty order n (n>2) in domains with analytic boundaries were obtained, as well as the solution of the nonhomogeneous Dirichlet problem in domains with algebraic boundaries. As one of important supplements of the methods, worked out in the thesis, the constructive solutions of sufficiently wide classes of the vector-matrix Riemann and Hilbert problems for analytic functions were found.
All the main results of the thesis are new. The methods and results of the thesis can be used in the theoretic investigations in such fields of mathematics as Boundary Value Problems , Theory of Approximations, Integral and Differential Equations, as well as in solving some problems of elasticity theory and mathematical physics.
