Краевые задачи для системы Моисила-Теодореску тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Полунин Виктор Александрович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОИСИЛА-ТЕОДОРЕСКУ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 6 ОПТ 2011

Белгород - 2011

4856699

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

доктор физико-математических наук, профессор

Солдатов Александр Павлович

доктор физико-математических наук, профессор

Алхутов Юрий Александрович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Жура Николай Андреевич

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН.

Защита диссертации состоится 21 октября 2011 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан «20» сентября 2011 года Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Прядиев В. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность работы. В связи с исследованием краевых задач для обобщенных систем Коши—Римана в диссертации рассматриваются вопросы интегрального представления решений системы Моисила— Теодореску в ограниченной области трехмерного пространства.

Краевые задачи для эллиптических уравнений и систем играют важную роль в математической физике. Несмотря на то, что, уже начиная с восемнадцатого века, большое число работ было посвящено граничным задачам этого типа, теория краевых задач для общих эллиптических систем была развита только во второй половине двадцатого века. В основе этой теории лежат работы И. Г. Петровского, М. И. Вишика, Я.Б.Лопатинского, В.С.Виноградова, А.И.Кошелева, Ю.М.Березан-ского, В. А. Солонникова, М. С. Аграновича, С. А. Назарова, Б. А. Пламе-невского, А. И. Янушаускаса, Л. Хёрмандера, С. Агмона, А. Дуглиса, Л. Ниренберга, Ф. Браудера, М. Шехтера, Я. А. Ройтберга и других.

Особая роль в исследовании общих краевых задач для эллиптических систем принадлежит Я. Б. Лопатинскому.1 В его работе впервые было получено условие согласования коэффициентов системы уравнений с коэффициентами граничных операторов, достаточное для сводимости граничной задачи общего вида к регулярным интегральным уравнениям. В настоящее время это условие называют условием Шапиро—Лопатинского или условием дополнительности. В этой работе Я. Б. Лопатинский описал метод сведения граничной задачи в ограниченной выпуклой области к системе регулярных интегральных уравнений при помощи построенных им потенциалов. Ранее подобный метод применяла 3. Я. Шапиро для систем с постоянными коэффициентами.

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимают обобщенные системы Коши—Римана. В пространстве М3 для вектор-функции и(х) = («1,^2,^3,1(4) это системы

ди ди д и „ <11^ + а2—+ а3—= 0, сц £ К4х4, ох 1 ах 2 ох з

для которых характеристическая матрица М(£) = сц£1 + аг£г + аз£з обладает свойством М(£)МТ(£) = |£|2, где Т - символ матричного транс-

1 Лопатинский Я. Б. Об одном-способе приведения граничных задач для системы дифференци-

альных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям// Укр. мат. жури.

- 1953. - Т. 5, №2. - С. 123-151.

полирования. Простейший аналог этой системы впервые был предложен и исследован в работе Гр. К. Моисила и Н. Теодореску.2

Повышенный интерес к исследованию этих систем объясняется особой их значимостью как в математике: в теории аналитических функций нескольких переменных, функциональном анализе, геометрии векторных полей, теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, так и в физике: в квантовой механике, теории поля, теории геофизических полей.

Обобщенным системам Коши—Римана посвящен ряд исследований, содержащихся в работах А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, В. С. Виноградова, Е. И. Оболашвили, И. Р. Шафаревича, Гр. К. Моисила и Н. Теодореску, А. А. Дезина, А. П. Солдатова, А. Д. Джураева, В. И. Шевченко и других.

В современной теории эллиптических краевых задач важное место занимает решение проблемы нахождения эллиптических систем с нете-ровыми или фредгольмовыми задачами. Эта проблема была поставлена в монографии А. В. Бицадзе.3 Именно в ходе известных работ А. В. Бицадзе впервые началось изучение краевых задач для трехмерных аналогов системы Коши—Римана. При этом в качестве представителя такой системы выбиралась система Моисила—Теодореску. Важно отметить, что исследования этих задач касались, в основном, случая полупространства.

В диссертационной работе основное внимание уделяется исследованию разрешимости задачи Римана—Гильберта для системы Моисила— Теодореску в ограниченной области. В связи с этим проводится анализ условия Шапиро—Лопатинского, которое обеспечивает фредгольмовость этой задачи. Анализ этого условия позволил установить однозначную разрешимость задачи типа Шварца и найти новое интегральное представление решений рассматриваемой эллиптической системы.

Цель работы.

1. Исследовать условие дополнительности задачи Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.

2. Для оператора Моисила—Теодореску найти постановку задачи, сопряженной к задаче Римана—Гильберта.

3. Исследовать граничные свойства обобщенных интегралов типа Коши в трехмерном пространстве.

2Moisil Gr. С., Theodorescu N. Fonctions holomorphcs dan l'espace// Mathematica. - 1931. - V. 5. -P. 142-153.

3Бицадзе A. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966.

4. Получить новое интегральное представление общего решения системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.

Научная новизна.

1. Впервые дано явное описание условия дополнительности задачи Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску.

2. Найдена постановка сопряженной задачи Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску.

3. Исследованы граничные свойства обобщенных интегралов типа Ко-ши в классах Гельдера.

4. Впервые предложена постановка задачи типа Шварца для системы Моисила—Теодореску и доказана ее однозначная разрешимость.

5. Получено новое интегральное представление общего решения системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы методы теории функций и функционального анализа, сингулярных интегральных уравнений и теория интеграла типа Коши.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития общей теории краевых задач для эллиптических систем в ограниченных областях.

Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на VI-VIII школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», в рамках, соответственно, Российско-Азербайджанского (Нальчик-Эльбрус, 2008), Российско-Абхазского (Нальчик-Эльбрус, 2009), Российско-Болгарского (Нальчик-Хабез, 2010) сипозиумов; на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, 2009); на конференции, посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Новосибирск, 2010); в ходе Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2010); на международной конференции, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2011) и восьмом международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011). Также результаты диссертации были представлены на первой Всероссийской конференции молодых ученых (КБР, Терскол, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Публикации [2]-[5] выполнены в изданиях из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. В совместных с А. П. Солдатовым статьях [2]-[7] научному руководителю принадлежат постановка задач и выбор методик исследования, а соискателю - реализация указанных методик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации составляет 94 страницы, библиография - 81 наименование.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А. П. Солдатову за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор используемой литературы, изложены актуальность темы, цель работы, методы исследования, научная новизна, публикации по теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, апробация работы, значимость, структура и содержание работы.

В главе I исследован вопрос о фредгольмовости задачи Римана— Гильберта для системы Моисила—Теодореску

М

Ьи{х)

о, М(0

( 0 6 6 £з \

0 -6 6

Ь 0 -6

со -6 £1 0 /

(1)

В ограниченной области Б С К3 с гладкой границей 5 для оператора Ь = М(д/дх) в классе С{Б) П С1 (И) рассматривается задача

Ьи = 0, В(у)и(у) = 1(у), у

(2)

где заданными являются 2x4- матрица В = В (у) 6 С(5) ранга два и двухкомпонентная вектор-функция /(у) € С(5).

Как известно, задача (2) может оказаться нефредгольмовой в том смысле, что не выполнены известные альтернативы Фредгольма о разрешимости задачи. Из классической теории краевых задач для эллиптических систем первого порядка следует, что критерием фредгольмовости задачи (2) является условие дополнительности.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В нем приведены основные объекты исследования, обозначения и сведения. Здесь рассматривается условие дополнительности задачи (2). Как известно, это условие может быть записано в разных формах.4 Применительно к рассматриваемой задаче оно состоит в следующем.

Пусть £ = £(у) - касательный, а п = п(у) - нормальный векторы к поверхности S в точке у. Обозначим через т+ корни характеристического полинома п, z) = det М(£ + zn) с положительной мнимой частью и п, z) - произведение сомножителей z — u, где v пробегает множество всех корней взятых с учетом кратности. Пусть далее M*(rj) означает матрицу, сопряженную к матрице M(rj). В этих терминах условие дополнительности формулируется так: для каждого вектора Л = (АЬА2) соотношение \BM*(£ + zn) = 0 mod (d+) влечет А = 0. Последнее означает, что элементы [ВМ*(£ + гп)]ц, [BM*(£ + zn)]2j, 1 < j < 4, столбцов матрицы ВМ*(£ + zn) линейно независимы по модулю полинома d+, т.е. для некоторых многочленов Pj(z), 1 < j < 4, из соотношений

A i[W(£ + гп)]у + А 2[ВМ*{^ + zn)]2j = d+(п, z)Pj{z),

следует Ai = A2 = 0.

В параграфе 1.2 исследован вопрос о том, как непосредственно в терминах матрицы В описать условие дополнительности задачи (2). А именно, рассмотрим вектор s = (si,s2,s3) с компонентами = б12 + б34, s2 = б13 - Ь24, s3 = Ьи + Ь2г, где bki = BlkB2j - BxjB2k означают соответствующие миноры матрицы В.

Теорема 1. Условие дополнительности выполнено тогда и только тогда, когда скалярное произведение sn ^ 0 всюду на поверхности S.

В дальнейшем все рассмотрения будут вестись в рамках классов Гельдера Cv. Напомним, что для заданной на множестве £ функции ip ее норма в этом классе определяется равенством \tp\v£ = Мо,£ + [И^;

iRoitberg Ya. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. - Netherlands: Kluwer acad. publishers, 1996.

где положено

хе£ хфу \Х~У\

Если множество 8 является замкнутой областью, то можно ввести класс С1'"{£) непрерывно дифференцируемых функций <р условиями <р,<р' Е С"(8), где <р' означает любую из частных производных.

Пусть далее 5 является поверхностью Ляпунова и принадлежит классу С1'". Это означает, что для любой точки у 6 Б существует гомео-морфное отображение у = 7(£) = (71(^)172единичного круга В = {£ 6 К2, < 1} на некоторую окрестность этой точки, которое принадлежит классу С1'" (В) и ранг матрицы Якоби (1>7)(£) равен двум в каждой точке.

В условиях задачи (2) приведем классический результат общей теории эллиптических уравнений для неоднородной задачи

Ьи = Р, В(у)и(у) = /(у), уеБ, (3)

который гарантирует ее фредгольмовость в классах Гельдера.5

Теорема 2. Пусть 5 £ С1,д и В € С1^(5), так что оператор задачи (3), действующий из С1,д(£>) в С1''1 (5) хС(Д), ограничен. Тогда фредгольмовость этого оператора равносильна тому, что матрица В удовлетворяет условию дополнительности.

Объектом изучения в параграфе 1.3 является сопряженная к (3) задача, постановка которой зависит от выбора такой 2 х 4-матрицы В* 6 С (5), для которой ортогональной является матрица

/ Вп ■■■ Ви \

в=С

В 21 ■ • #24

Вп ■ • ви

О* V В 21 • ■ В24 )

В случае произвольной поверхности 5 дополнить В до ортогональной матрицы В не всегда удается. Тем не менее, это построение можно всегда осуществить локально (с сохранением гладкости матрицы В).

Лемма 1. Пусть Е есть множество всех матриц В £ М2х4, строки которых образуют пару ортонормалъных векторов и Е^, 1 <

5Назаров С. А., ПламеневскийБ. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. - М.: Наука, 1991.

i < j < 4, состоит из матриц В € Е, у которых i-ый и j-ый столбцы линейно независимы. Тогда существует такое гладкое отображение h : Eij —► Е, что для В G Eij матрица В с В* — hB ортогональна.

Введем теперь понятие слабого решения задачи (3). Функцию и G L2(D) будем называть слабым решением, если выполнено тождество

(F, v)D - (и, L*v)d ш (/, BMT(n)v)s, для любой функции v G CÏ(D), удовлетворяющей краевому условию

B*MT{n)v\s = 0.

Из леммы 1 следует, что каждая точка поверхности S обладает такой ее открытой окрестностью G С S, что существует матрица В* G C(G), для которой матрица В ортогональна в каждой точке у G G. При этом если В 6 G''(G) или В 6 G^G), то и В* принадлежит соответствующему классу. В соответствии с этим понятие слабого решения и G L2(D), удовлетворяющего краевому условию только на G, естественно ввести с помощью предыдущего тождества, в котором функция v G Cl(D) обращается в нуль на S \ G, а на G удовлетворяет условиям B*MT(n)v\G = = 0. В этом случае справедлив результат о локальной гладкости вплоть до границы.6

Теорема 3. Пусть S G С1'11, В G C^(S) и выполнено условие дополнительности. Пусть множество G С S открыто и матрица В* G C^{G) такова, что матрица В ортогональна на G. Тогда любое слабое решение и G L2(D), удовлетворяющее на G краевому условию Bu\G = g с правой частью g G С (G), принадлежит С^(К) на любом компакте К Ç D, для которого К Л 5 Ç G. Если дополнительно В G C^(S) и g G Cl^{G), то и G Cl»{K).

В соответствии с леммой 1 рассмотрим открытое покрытие поверхности S конечным числом множеств Gi,..., Gn так, чтобы для любого г существовала матрица Bf G G(Gj), дополняющая В до ортогональной матрицы Bi на всем G*. На основании теоремы 3 справедливо утверждение.

Теорема 4. Пусть S G G1^, В G G/i(S'), выполнено условие дополнительности и аналогичное условие rang + in)] = 2 всюду на

6AgmonS., DouglisA., NirenbergL. Estimâtes near the boundary for solutions of elliptic partial differential équations satisfying général boundary conditions// II. Comm. Pure Appl. Math. - 1964. V. 17. - P. 35-92.

С}, 1 < 3 <п. Тогда любое слабое решение и Е Ь2(Б) задачи (3) с правыми частями Г Е С* (£>),/ € С (5) и любое решение V Е С(5) П С1 (И) однородной сопряженной задачи

принадлежат классу Если В,/Е С1'',(5); то и,у Е С1^(р).

Применительно к слабым решениям теорема 2 допускает аналог.7 Теорема 5. В условиях теоремы 4 задача (2) и однородная сопряженная к ней задача имеют конечное число линейно независимых решений, соответственно, и1,...щ Е С*1 (Б) и ... щ Е С(р). Неоднородная задача (3) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности у)о~ (/, ВМТ(п)у^)3 = О, I < 1 < к'. При этом разность к - к' совпадает с индексом оператора теоремы 2.

Глава II посвящена исследованию граничных свойств обобщенных интегралов типа Коши в трехмерном пространстве. Решение этого вопроса имеет важное значение при исследовании краевых задач для рассматриваемых эллиптических систем.

В параграфе 2.1 проводится исследование граничных свойств интегралов вида

где йву означает элемент площади на Б. Здесь область Д С I3 ограничена гладкой поверхностью 5 = дО, непрерывная функция (¿(х,у,£) переменных х Е В, у Е Б, £ £ М3, £ ^ О, однородна степени -2 и нечетна по С, т. е. у гО = г~2(^(х, у;£), г > 0, и (^{х, у, -£) = -(¿(х, у £). В случае, когда ядро <3 зависит только от справедливо утверждение.

Лемма 2. Пусть функция <3(£), £ ф 0, непрерывно дифференцируема, нечетна и однородна степени -2. Пусть заданы плоскость Р с единичной нормалью п и полупространство С с границей <9(7 = Р, для которого п является внутренней нормалью. Тогда сингулярный интеграл

Ь*у = О, В*МТ(п)ь\с^ =0, 1 < г < п.

7Ройтберг Я. А., Шефтелъ Э. Г. Теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем и ее приложения// Матем. сборник. - 1969. - Т. 78, № 3. - С. 446-472.

который понимается в смысле главного значения на бесконечности как предел при R оо интегралов по Р П {\у\ < R}, существует и не зависит от х £ G. Для произвольной точки уо £ Р можно также положить

Я= J Q{y-yo- n)dsy+

РПЦу-уо |<l}

+ J [Q(y — 2/0 — та) — Q(y - yo)]dsy,

РП{\у-у0\>1}

где интегралы существуют в обычном смысле.

Пусть Я!!2 означает класс функций Q(£) £ Сп, £ ф 0, однородных степени —2. Обозначим CV(£-,H"2) класс функций Q(u;£), которые при фиксированном и принадлежат Н"2, а относительно первой переменной вместе со своими частными производными по £ принадлежат классу Гельдера С" (£), причем конечна норма

|Q|<"> = sup |

|?|=1, k<n

где означает набор из всех частных производных функции Q{u-,£) порядка к по переменным £ь£2,£з-

В соотношении для предельных значений ф+(уо) функции ф(х) в граничных точках уо участвует сингулярный интеграл

Ф*{Уо) = / Q{yo,y,y~ yo)<p(y)dsy, уо £ 5, Js

который понимается в смысле главного значения как предел при £ —> 0 интегралов по S П {|у — уо\ > е}.

Теорема 6. Пусть область D ограничена поверхностью S £ С1'" и задана функция Q{x,y\^) £ C"(D х нечетная по £ при х =

у £ S. Тогда для (р £ С1 (5), 0 < д < и, функция ф(х) непрерывно продолжима на S и принадлежит классу C(Z?). При этом для ее предельных значений справедлива формула

Ф+Ы = Я(УОЫУО) + Ф*(Уо), Уо е S,

где q{yo) определяется как и в лемме 2 относительно функции Q(yo, уо', плоскости Р = (dS)(yo) и внутренней (по отношению к D) нормали п{у0).

u(x.

Объектом исследования в параграфе 2.2 являются граничные свойства решений системы (1). Рассмотрим ограниченную область П+ С М3 с кусочно-гладкой границей Б = сШ+ и вектор внешней нормали п(у) к поверхности 5 в точке у. Для точек у £ 5 введем матрицу-функцию

Если вектор-функция <р(у) € С1 (Б) задана лишь на поверхности Б и удовлетворяет системе (1), то вектор-функция

= / <2(.У,У - х)1р{у)й8у, (4)

Js

имеет смысл в каждой точке х € й3 \ 5 и также удовлетворяет (1).

Теорема 7. Пусть область ограничена замкнутой поверхностью Ляпунова 5 £ С1''1, 0 < Н < 1, функция € С7(5; #"2), О < /л < 7, и <р(у) 6 С°''|(5'). Тогда функция и(х) в соотношении (4) непрерывно продолжима на Б и существуют предельные значения

г^Ы = Ппг + и(х), у0 £ Я, =Ш3\ В+, определяемые равенствами

и+(уо) = ! Я(у, У - Уо)Ыу) ~ ¥>Ы)еЦ, + 2<р(у0),

и~(уо) = / Я(у, у - уа)(<р(у) - <р(у0))<Ц,.

Js

Теорема 7 позволяет установить связь между предельными значениями и±(уо) функции и(х) и сингулярным интегралом

/ <2(2/; у - уоМу)<Ц| = <рЫ + / <2(у; у - уо)Му) - ¥>Ы)сЦ,,

которая имеет вид

и

Ы + И (i/o) = 2 / Q(y\у - y0)(ß(y)dsy, и+{у0) - и (уа) = 2¡р(у0). Js

Эти выражения являются аналогами формул Сохоцкого—Племеля.

В главе III продолжается исследование задачи (1), (2). Здесь получено новое интегральное представление общего решения системы (1).

В параграфе 3.1 рассматривается задача Римана—Гильберта

Иьш-ш m = (5)

для системы (1) в классе C(D) П Cl(D). Из теоремы 1 следует, что эта задача является фредгольмовой. При этом справедливо утверждение.

Теорема 8. Для системы (1) в односвязной области D задача (5) однозначно разрешима.

В параграфе 3.2 изложены результаты относительно интегрального представления решений системы Моисила—Теодореску (1). Как известно, фундаментальным решением оператора этой системы является матрица-функция МТ(х)/\х\г. В связи с этим, для непрерывной вектор-функции ф, заданной на поверхности S = 8D, интеграл типа Коши

(Щ(х) = ±-J М\уУ_~х?^ М(п(у)Жу)д8у, x£S, (6)

где dsy - элемент площади на поверхности S, п(у) - единичная внешняя (по отношению к D) нормаль, определяет вне этой поверхности решение системы (1).

К оператору I в (6) можно применить результаты, полученные во второй главе, согласно которым в предположении S Е С1'^"1"0 этот оператор ограничен при действии из Cß(S) в Cß(D±), где для единообразия введены обозначения D+ = D, D~ = R3\D, и для предельных значений и±{уо), Уо £ S, функции и — 1ф справедлив аналог формул Сохоцкого— Племеля

и±(у0) = ±ф(у0) + (Щ(у0), (7)

где интеграл (1ф)(у0) понимается как сингулярный в точке уо-

Исследование задачи (1), (5) позволило решить вопрос об интегральном представлении решений системы (1). Для этого был рассмотрен интегральный оператор (6) со специально выбранной плотностью 1о<р = /(#т</?), где ц>(у) = (<pi,<p2) £ Cß(S). В соответствии с (7) подстановка и = Iq(p в (5) приводит к системе интегральных уравнений

(p + KV = f,

для неизвестной плотности где интегральный оператор

(К<р)(Уо) = / Цуо, У,У- yoMy)dsy, у0 S S, Js

к{уо,у,0= * ' ПЫС °

и [•, •] означает обычное векторное произведение.

Лемма 3. Пусть Б 6 0 < /л < 1. Тогда функция

ко(Уо,у) = \У~ Уо\2Куо,у,у -уй) 6 С^З х 5), /с0(г/, г/) = 0.

Основной результат этого параграфа состоит в следующем. Теорема 9. Пусть поверхность 5 = дБ принадлежит классу С2,+0. Тогда любое решение и & С^ (£>) системы (1) единственным образом представимо в виде и = 1(НТ<р), с некоторой вектор-функцией V €

Из теоремы 9 следует, что задача (1), (2) эквивалентным образом сводится к системе сингулярных интегральных уравнений

СЫ<РЫ+ / Я{уо,у,у-уоЫу)й8у = /(уо), Js

где введены обозначения

С = ( п,11 1 ), ек = (Вк2,Вкз,Вк4), \ #21 е2п у

ПГ.1 7/-Л = —ВпЫп(^+[е1Ы,пШ е!(2/)е Л 2тг|е|3 V В21(уо)П(УК+ Ыу,)ЛУШ еШ ) '

Публикации автора по теме диссертации

[1] Полунин В. А. Граничные свойства трехмерного аналога интеграла типа Коши// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2008. - Т. 10, №1. - С. 47-53.

[2] Полунин В. А., Солдатов А. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши// Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47, №3. - С. 366-375.

[3] Полунин В. А., Солдатов А. П. Задача Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску в ограниченной области// Неклассические уравнения математической физики. Сб. науч. работ. - Новосибирск: Изд-во ин-та математики. - 2010. - С. 192-201.

[4] Полунин В. А., СолдатовА. П. Об условии Шапиро—Лопатин-ского в задаче Римана—Гильберта для эллиптической системы первого порядка// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010. -№17 (88). - Выпуск 20. - С. 91-100.

[5] ПолунинВ.А., СолдатовА.П. О сопряженной задаче Римана— Гильберта для системы Моисила—Теодореску// Научные ведомости Бел-ГУ. Математика. Физика. - 2011. - №5 (100). - Выпуск 22. - С. 106-111.

[6] ПолунинВ.А., СолдатовА.П. Об интегральном представлении решений системы Моисила—Теодореску// Тезисы докладов Междунар. конф., поев. 110-ой годовщине со дня рожд. И. Г. Петровского. - М.: Изд-во МГУ. - 2011. - С. 308-309.

[7] ПолунинВ. А., СолдатовА. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши с непрерывной по Гельдеру плотностью// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2008. - №13 (53). - Выпуск 15. - С. 95-103.

[8] Полунин В. А. Обобщенный интеграл типа Коши системы Моисила—Теодореску// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2009. - Т. 11, №1. - С. 56-60.

Подписано в печать 20.09.2011. Times New Roman. Формат 60 х 84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 185. Оригинал-макет тиражирован в ИПК НИУ «БелГУ» 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

Введение.

Глава 1. Задача Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску.

1.1 Задача Римана—Гильберта.

1.2 Критерий фредгольмовости задачи Римана—Гильберта.

1.3 Сопряженная задача Римана—Гильберта.

Глава 2. Граничные свойства решений обобщенных систем

Коши—Римана.

2.1 Обобщенные интегралы типа Коши в трехмерном пространстве.

2.2 Интеграл типа Коши системы Моисила—Теодореску.

Глава 3. Интегральное представление решений системы

Моисила—Теодореску.

3.1 Задача типа Шварца.

3.2 Интегральное представление решений системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.

Эллиптические краевые задачи играют важную роль в математической физике. Начиная с восемнадцатого века, огромное число работ было посвящено граничным задачам этого типа. Теория общих эллиптических краевых задач в гладких областях была развита во второй половине двадцатого века в работах И.Г.Петровского [39], Я. Б. Лопатинского [32], М. И. Вишика [18], Л. Хёрмандера [56, 66], С.Агмона [60, 61], С. Агмона, А.Дуглиса, Л. Ниренберга [62, 63], Ф.Браудера [64, 65], М. Шехтера [6973], А. И. Кошелева [29], Ю. М. Березанского [8, 9], В. А. Солонникова [53], Я. А. Ройтберга [41-45], Я. А. Ройтберга, 3. Г. Шефтеля [46, 47], С. А. Назарова, Б. А. Пламеневского [37], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [1], Л. Р. Во-левича [20] и многих других.

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимают обобщенные системы Коши—Римана. В пространстве М3 для 4— компонентных искомых вектор-функций и это системы ди ди ди п ах---\-а2---1- аз—— = 0, а,- €

ОХ\ ОХ2 ОХз

4x4 для которых характеристическая матрица М{£) = а^х + а2^2 + обладает свойством

М(£)МТ(0 = 1С12, (1) где Т - символ матричного транспонирования. В некоторой литературе такие системы также называют "нормальными". Простейший аналог этой системы 0 6 & 6 \ м(~У«(х) = о, М(0 =

6 0 -6 6 6 6 0 -6 6 0 )

2) впервые был предложен и исследован в работе румынских математиков Гр. К. Моисила и Н. Теодореску [67].

Повышенный интерес к исследованию этих систем объясняется особой их значимостью как в математике: в теории аналитических функций нескольких переменных [2-5,26], функциональном анализе [30, 31], геометрии векторных полей [6], теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [10], так и в физике: в квантовой механике, теории поля [34], теории геофизических полей [28].

Обобщенным системам Коти—Римана посвящен ряд исследований, содержащихся в работах А. В.Бицадзе [10-14], А. А. Дезина [21-23], И.Н.Векуа [15], А.Д.Джураева [24-26], А. П. Солдатова [49], В.С.Виноградова [16], Гр. К. Моисила и Н.Теодореску [67], И. Р. Шафаревича [57], М.З.Соломяка [52] и других.

В монографии И. Р. Шафаревича [57] исследуется проблема эллиптичности систем первого порядка, которая формулируется так: какими должны быть размерность пространства независимых переменных и число неизвестных функций в эллиптической системе дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, чтобы она существовала. Решение проблемы эллиптичности было анонсировано М. 3. Соломяком [52] без доказательства. В работе В. Е. Балабаева [6] на основе иного подхода дано конструктивное решение этой проблемы.

В современной теории эллиптических краевых задач важное место занимает решение проблемы нахождения эллиптических систем с фредгольмовыми задачами. Эта проблема была поставлена в монографии А. В. Бицадзе [10]. Именно в ходе работ А. В. Бицадзс впервые началось изучение краевых задач для трехмерных аналогов системы Коши— Римана. При этом в качестве представителя такой системы выбиралась система Моисила—Теодореску [10, 12, 59, 67]. В этих работах исследования касались, главным образом, случая полупространства. В работе А. В. Бицадзе [13] для постоянной матрицы в полупространстве х% > 0 с границей 5" подробно рассмотрен пространственный аналог известной задачи Римана—Гильберта [36] для системы Моисила—Теодореску (2). С помощью двумерного интеграла типа Коши с непрерывной по Гельдеру плотностью А. В. Бицадзе установил однозначную разрешимость этой задачи.

В общем случае произвольной матрицы В £ СМ(М2), 0 < [I < 1, фредгольмовость задачи (2), (3) в классе функций, граничные значения которых принадлежат р > 2//х, аналогичным методом была доказана В. И. Шевченко [58].

В статье Е. И. Оболашвили [38] задача (3) исследована для полупространства .0 (жз > 0) по отношению к обобщенной системе Моисила— Теодореску где щ(х) - скалярная функция, и(х) = {и^щ^и^) - вектор-функция, А = (аьа2> а»), С = (С1,С2, сз) - заданные вектор-функции. В случае А = С = 0 эта система является системой Моисила—Теодореску. Если щ = аз = сз = 0 и и не зависит от жз, то (4) будет обобщенной системой Коши—Римана [15]. По отношению к задаче (4), (3) вектор д(х) = («1,^2, Щ, щ), удовлетворяющий системе (4) и исчезающий на бес

В{у)и+(у) =/(у), уев,

3) сНу и + Аи = 0, grad щ + гоИ7 + [£/, С] + щА = 0, (4) конечности, единственным образом определяется через граничные значения его любых двух компонент класса С^(ВиЗ) на плоскости 5" (,тз = 0). В этой работе также отмечено, что если область I) ограничена замкнутой гладкой поверхностью <9, то вектор д, удовлетворяющий системе (4) в этой области, уже не определится единственным образом через краевые значения его любых двух компонент на границе б1.

В статье Э. Н. Сатторова [48] рассмотрена задача восстановления решений системы (4) по их значениям на куске границы. С помощью метода матрицы Карлемана построено приближенное решение этой задачи.

Следует отметить, что в отличие от систем (2) и (4), в общем классе аналогов системы Коши—Римана краевые задачи изучены достаточно мало. В связи с этим, в работе А. Т. Усса [54] рассмотрены вопросы о фредгольмовости и индексе задачи Римана—Гильберта для произвольной обобщенной системы Коши—Римана в Ё3. В частности, здесь показано, что индекс этой задачи для односвязной области равен минус единице. Ранее этот факт для системы Моисила—Теодореску был установлен В.И.Шевченко [58]. Для соответствующей системы в М4 задача Римана—Гильберта не является фредгольмовой [54, 55].

Целыо данной работы является получение нового интегрального представления решений системы Моисила—Теодореску в ограниченной области. Это представление позволяет исследовать задачи типа Римана—Гильберта для рассматриваемой системы и построить новые аналоги известных краевых задач теории аналитических функций.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. Теоремы и леммы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая I на номер теоремы (леммы) внутри параграфа.

В первой главе исследуется вопрос фредгольмовости задачи (2), (3) в ограниченной области D С R3. Важность этого вопроса состоит в том, что эта задача может оказаться нефредгольмовой [33, 39, 62]. Это значит, что в общем случае не выполняются альтернативы Фредгольма о разрешимости задачи. Из классической теории краевых задач для эллиптических систем первого порядка следует, что критерием фредгольмовости рассматриваемой задачи является условие дополнительности которое также называют условием Шапиро—Лопатинского [33, 39, 62, 68].

В параграфе 1.1 первой главы рассматривается условие дополнительности задачи (2), (3), которое состоит в следующем. Пусть £ = £(у) - касательный, а п — п(у) - нормальный векторы к поверхности S в точке у. Обозначим через т^ корни характеристического полинома d(£,n,z) = detM(£ + zn) с положительной мнимой частью и пусть z) - произведение сомножителей z — z^, где и пробегает множество корней т* взятых с учетом кратности. Пусть далее М*(г}) означает матрицу, присоединенную к матрице M{rj). В этих терминах условие дополнительности формулируется так: для каждого вектора Л = (Ai,A2) соотношение АВМ*(£ + zn) = 0 mod (d+) влечет А = 0.

В соответствии с условием дополнительности можно привести примеры краевых задач [59], для которых это условие всегда выполнено или может нарушаться. Простейшим из них является классическая задача Римана— Гильберта для системы Коши—Римана в области D С М2 с границей 8D — Г где а, Ь, / - заданные функции. Эта задача исследована при довольно общих предположениях не только для системы Коши—Римана, но и для ди dv ди dv О, Щ£) = системы с младшими членами, и всегда фредгольмова [15]. Естественным аналогом этой задачи для трехмерного (система Моисила—Теодореску) и четырехмерного

6 -6 \ б ех 6 б и 6 -6 -6 & & ) обобщений системы Коши—Римана является задача отыскания регулярного в области решения, удовлетворяющего на границе условию (3). Задача Римана—Гильберта для системы N4 = 0 не удовлетворяет условию Шапиро—Лопатине кого для любой матрицы В [17, 52].

В случае ограниченной области условие дополнительности задачи (2), (3) в общем случае, может нарушаться. Более того, как показано в работе Е.И.Оболашвили [38], задача (2), (3) с постоянной матрицей В, один из миноров которой всюду отличен от нуля, сильно недоопределена.

В параграфе 1.2 исследован вопрос о том, как в терминах матрицы В из (3) описать условие дополнительности задачи (2), (3) в ограниченной области В С К3. Для этого рассмотрим вектор б = (51, 62,5з), где

8! = ЪП + ЬМ, = б13 - б24, 53 = Ь1А + б23, и Ькэ = ВцсВъэ — В^В2к означают соответствующие миноры матрицы В. Следуя В. И. Шевченко [58], вектор б называют вектором условия (3). По отношению к этому вектору справедливы следующие утверждения [77].

Лемма 1.1. Для заданной матрицы В ранга два вектор 5 отличен от нуля в каждой точке у € в.

Теорема 1.1. Условие дополнительности задачи (2), (3) выполнено тогда и только тогда, когда скалярное произведение вп ^ 0 всюду на поверхности Б.

Из этой теоремы, в частности следует, что для постоянной матрицы В краевого условия (3) условие дополнительности заведомо нарушено, что соответствует результатам, полученным Е. И. Оболашвили [38]. При этом, в случае полупространства > 0 неравенство вп ф О сводится к ¿з ф 0, что согласуется с результатом В. И. Шевченко [58].

В общем случае ограниченной поверхности Б как правило ни один из миноров 6У матрицы В не может быть всюду отличен от нуля, если зп ф 0. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Введем функцию 1 < г < 3 < 4, со значениями £12 = £34 = 1, £13 = £24 = 2, £и = £2з = 3. Обозначим ОС (в) - класс непрерывных функций, всюду отличных от нуля, которые сохраняют постоянный знак на поверхности 5.

Лемма 1.2. Если минор Ъгпринадлежит СС(б') и к = е^, то найдется такая функция А е ОС (Б), что Хвк — + |з|2 е СС(5).

Следующая теорема показывает, что если матрица В удовлетворяет условию дополнительности, то вопрос о принадлежности классу СС(5") одного из ее миноров зависит от геометрической структуры поверхности 5. Рассмотрим на этой поверхности для заданного номера к = 1,2,3 открытое множество = {?/| ± Пк{у) > 0}, где Пк(у) -компоненты вектора единичной внешней нормали в точке у € Б.

Теорема 1.2. Пусть матрица В удовлетворяет условию дополнительности и для заданного номера к = 1,2,3, и каждого знака одна из компонент множества (обозначим ее Б±) односвязна и ограничена гладким контуром дЗ±, касательная к которому не выходит в направление оси Хк■ Тогда при е^ — к минор матрицы В принимает на Б значения разных знаков.

Пусть £ является гладкой границей области И С Ж3. В параграфе

1.3 дана постановка задачи, сопряженной к задаче Римана—Гильберта Ьи=Ъ в(у)и(у) = ¡(у), у е 8, (5) где Ь = М(д/дх)} вектор-функции / б Р е С»(5) [78].

Будем говорить, что в замкнутой области £ с!3 непрерывно дифференцируемая функция ср Е Сг'м(£), 0 < < 1, если (р,<р' Е См(£), где </?' означает любую из частных производных этой функции.

В дальнейшем предполагается, что Б является поверхностью Ляпунова и принадлежит классу С1'". Последнее означает, что для любой точки й Е 5 существует гомеоморфное отображение у — 7(2) = (-ух, 72(¿), 7з(£)) единичного круга В = {£ Е К2, < 1} на некоторую окрестность этой точки, которое принадлежит классу С1^{В) и ранг матрицы Якоби (2>у)(£) равен двум в каждой точке.

Классический результат общей теории эллиптических уравнений для задачи (5) в классах Гельдера состоит в следующем [37, 47].

Теорема 1.3. Пусть <£> Е С1^ и В Е С1^(3), так что оператор задачи (5) ограничен —» х Тогда фредгольмовостъ этого оператора равносильна тому, что матрица В удовлетворяет условию дополнительности.

Рассматривая сопряженный по Лагранжу оператор Ь* — —МТ(д/дх)) для любых вектор-функций и, у 6 С1 (И) имеем соотношение

Ьи)у - и(Ь*у) = -§-[{Мки)у) = КМ*тг/)] , где выражения в квадратных скобках означают обычное скалярное произведение двух четырехкомпонентных векторов. Тогда, по формуле Грина справедливо тождество

Ьи, у) о - (и, и у) о = (и, Мт{п)у)3. (6)

10 где (•, ■) означает скалярное произведение, соответственно, в пространствах вектор-функций Ь2(£)) и Ь2(3). Соотношение (6) позволяет определить слабое решение и Е Ь2{Б) уравнения Ьи = Т7 с правой частью Р Е которое должно удовлетворять равенству = (.Р, и)£>, для любой функции V Е V, обращающейся в нуль на в. Известно [37, 62], что в случае Р £ любое слабое решение и является классическим и принадлежит классу С1^{К) на каждом компакте К С I).

Постановка сопряженной к (5) задачи зависит от возможности выбора такой 2x4- матрицы В* Е 6^(5), что ортогональна матрица

В = в И #21 в?

14

24

73* #14

7)

21 ••• #24/

С учетом (7) для скалярного произведения векторов р, д 6 I4 можно записать рд = (Вр)(Вд) = (#р)(#д) + (#*р)(#*</). Применительно к векторам р = ии д = Мт(п)у в правой части тождества (6), имеем

- (и,Ь*у)в = {Ви,ВМт(п)у)3+ {В*и,В*Мт(п)у)3

В соответствии с этим функция и Е Ь2(0) есть слабое решение задачи (5), если

Р, - (гг, Г^д = (/, Мт(п)и)5, (8) для любой функции у Е С1 (И), удовлетворяющей краевому условию

В*Мт(п)у\3 = 0. (9)

В общем случае произвольной поверхности в дополнить В до ортогональной матрицы (7) не всегда удается. Следующая лемма показывает, что это построение можно всегда осуществить локально (с сохранением гладкости матрицы В).

Лемма 1.3. Пусть Е есть множество всех матриц В Е М2х4; строки которых образуют пару ортонормалъных векторов и Е^, 1 < 2 < 3 < 4, состоит из матриц В € Е, у которых г—ый иу—ый столбцы линейно независимы. Тогда существует такое гладкое отображение 1г : Ец —> Е, что для В Е Еу матрица (7) с В* = НВ ортогональна.

Из этой леммы следует, что каждая точка поверхности 3 обладает такой ее открытой окрестностью С С что существует матрица В* Е С'(С), для которой матрица (7) ортогональна в каждой точке При этом если В Е или В Е С1'11 (С), то и В* принадлежит соответствующему классу. В соответствии с этим понятие слабого решения и Е £2(1)), принимающего краевое условие только на С, естественно ввести с помощью тождества (8), где функция V Е С1 (О) обращается в нуль на £> \ С, а на С удовлетворяет краевому условию (9), т. е.

В*МТ(п)у\0 = 0, у\зхс = 0.

При этом справедлив следующий результат о локальной гладкости вплоть до границы [37, 62].

Теорема 1.4. Пусть в Е С1-^, В Е и выполнено условие дополнительности. Пусть множество С С 5 открыто и матрица В* Е такова, что матрица (7) ортогональна на С. Тогда любое слабое решение и Е Ь2(0), принимающее на С краевое условие Ви|с = д с правой частью д Е С^С), принадлежит С^(К) на любом компакте К С Б, для которого К П 5 С О. Если дополнительно В Е С],1Х(3) и д Е С^С), тоиЕ С1*{К).

В соответствии с леммой 1.3 рассмотрим открытое покрытие поверхности 3 множествами Сх,., Сп, так, чтобы для любого i существовала матрица Е С(Сг), дополняющая В до ортогональной матрицы В{ на всем С,. На основании теоремы 1.4 справедливо утверждение.

Теорема 1.5. Пусть S G Cl,lL, В G Cfl(S), выполнено условие дополнительности и аналогичное условие rang [Z?jM(£ + in)] = 2 всюду на Gj, 1 < j < п. Тогда любое слабое решение и G L2(D) задачи (5) с правыми частями F G Cl±{D), f G См(5) м любое решение v G C(D) П C1(D) однородной сопряженной задачи принадлежат классу С>1(П). Если В, / е С1,/х(5')? то и и,у £ С1'11 (И).

Применительно к слабым решениям теорема 1.3 допускает следующий аналог [37, 47].

Теорема 1.6. В условиях теоремы 1.5 однородная задача (5) и однородная сопряженная задача (10) имеют конечное число линейно независимых решений, соответственно, иу\,. у^ С

С^{р). Неоднородная задача (5) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности

При этом разность к — к' равна индексу оператора теоремы 1.3.

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Успехи матем. наук. - 1964. - Т. 19. - Выпуск 3(117). - С. 53-161.

2. Байкой В. А. О граничных свойствах и особых множествах регулярных кватерниониых функций: дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МОПИ, 1969.

3. Балабаев В. Е. Кватериионный аналог системы Коши—Римана, в четырехмерном комплексном пространстве и некоторые его приложения// ДАН СССР. 1974. - Т. 214, №3. - С. 489-491.

4. Балабаев В. Е. Комплексные эллиптические системы первого порядка// Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №5. - С. 818-832.

5. Балабаев В. Е. Об одной системе уравнений в октавах в восьмимерном евклидовом пространстве// Фунд. и прикл. матем. 1995. - Т. 1, №2. - С. 517-523.

6. Балабаев В. Е. Канонические эллиптические системы первого порядка// Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, №4. - С. 628-637.

7. Балабаев В.Е. Нормальные эллиптические системы первого порядка// Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, №1. - С. 71-83.

8. Березанский Ю. М. Пространства с негативной нормой// Успехи ма-тем. наук. 1963. Т. 18. - Выпуск 1(109). - С. 63-96.

9. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова Думка, 1965.

10. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

11. Бицадзе A.B. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его приложения// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1953. - Т. 17, №6. - С. 525-538.

12. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1972.

13. Бицадзе A.B. О двумерных интегралах типа Коши// Сообгц. АН Груз. ССР. 1955, Т. 16, №3. - С. 177-184.

14. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

15. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

16. Виноградов В. С. Исследование граничных задач для эллиптических систем первого порядка: дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: МИАН, 1972.

17. Виноградов B.C. Об одной эллиптической системе, не имеющей нетеровых граничных задач// ДАН СССР. 1971. - Т. 199, №5. -С. 1008-1010.

18. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Матем. сборник. 1951. Т. 29(71), №3. - С. 615-676.

19. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

20. Волевич JI. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Матем. сборник. 1965. Т. 68(110), №3. - С. 373-416.

21. Дезин А. А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи// Труды МИАН СССР. 1962. - Т.68. - С. 3-88.

22. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

23. Дезин А. А. Многомерный анализ и дискретные модели. М.: Наука, 1990.

24. Джураев А. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987.

25. Джураев А. О формулах Гильберта для систем Моисила—Теодореску// ДАН Тадж. ССР. 1977. - Т. 20, №10. - С. 3-5.

26. Джураев А. О задаче Коши для неоднородных систем Коши—Рима-на// ДАН СССР. 1991. - Т. 319, №6. - С. 1292-1296.

27. Егоров Ю. В. Лекции по уравнениям с частными производными. -М.: Наука, 1985.

28. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984.

29. Кошелев А. И. Априорные оценки и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем// Успехи матем. наук. 1958. - Т. 13. -Выпуск 4(82). - С. 26-88.

30. Кристалинский Р. X. Регулярные кватернионные функции и их обобщения: дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МОПИ, 1967.

31. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967.

32. Лопатипский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям// Укр. мат. журн. 1953. -Т. 5, №2. - С. 123-151.

33. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев: Наук, думка, 1984.

34. Маврычев Ю.С. О комплексной группе Лоренца// Изв. высш. уч. заведений. Физика. 1972. - Т.2. - С. 57-59.

35. Миранда К. Уравнения с частными производными из эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

36. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

37. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

38. Оболашвили Е. И. Пространственные обобщенные голоморфные векторы// Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 28, №4. - С. 108-115.

39. Петровский И. Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными// Успехи матем. наук. 1946. - Т. 1. - Выпуск 3-4(13-14). - С. 44-70.

40. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- М.: Физматгиз, 1961.

41. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости обобщенных решений вплоть до границы// ДАН СССР. 1964. - Т. 157, №4. - С. 798-801.

42. Ройтберг Я. А. Теоремы о гомеоморфизме и формула Грина для общих эллиптических граничных задач с граничными условиями, не являющимися нормальными// Матем. сборник. 1970. - Т. 83(125), №2(10). - С. 181-213.

43. Ройтберг Я. А. О значениях на границе области обобщенных решений элиптических уравнений// Матем. сборник. 1971. - Т. 86(128), №2(10). - С. 248-267.

44. Ройтберг Я. А. Теорема о полноте изоморфизма для эллиптических систем Дуглиса-Ниреиберга// Укр. матем. журн. 1975. - Т. 27, №4.- С. 544-548.

45. Ройтберг Я. А. О существовании граничных значений обобщенных решений эллиптических уравнений// Сиб. матем. журн. 1979. - Т. 20. - С. 386-396.

46. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Формула Грина и теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем// Успехи матем. наук. 1967.- Т. 22. Выпуск 5(137). - С. 181-182.

47. Ройтберг Я. А., Шефтель З.Г. Теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем и ее приложения// Матем. сборник. 1969. - Т. 78(120), №3. - С. 446-472.

48. Сатторов Э. Н. О восстановлении решений обобщенной системы Мо-исила—Теодореску в пространственной области по их значениям на куске границы// Изв. вузов. Метематика. 2011. - №1. - С. 72-84.

49. Солдатов А. П. Граничные свойства интегралов типа Коши// Дифферент уравнения. 1990. - Т. 26, №1. - С. 131-136.

50. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа, 1991.

51. Солдатов А. П. Элементы функционального анализа и теории функций. Белгород: Изд-во БелГУ, 2005.

52. Соломяк М. 3. О линейных эллиптических системах первого порядка// ДАН СССР. 1963. - Т. 150, №1. - С. 48-51.

53. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле Дуглиса—Ниренберга// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. - Т. 28, №3. - С. 665-706.

54. Усс А. Т. Краевая задача Римана—Гильберта для трехмерных аналогов системы Коши—Римана// Докл. Нац. АН Беларуси. 2003. -Т. 47, №6. - С. 10-15.

55. Усс А. Т. О краевых задачах для четырехмерных аналогов системы Коши—Римана с действительными коэффициентами// Докл. Нац. АН Беларуси. 2003. - Т. 47, №5. - С. 5-8.

56. Хермандер JT. О регулярности решений граничных задач// Математика. 1960. - Т. 4, №4. - С. 37-73.

57. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т.1. М.: Наука, 1988.

58. Шевченко В. И. Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве// ДАН СССР. 1964. - Т. 154, №2. - С. 276-278.

59. Янушаускас А. И. Методы теории потенциала в теории эллиптических уравнений. Вильнюс: Мокслас, 1990.

60. Agmon S. The approach to the Dirichlet problem// I. Ann. Scoula Norm. Sup. Pisa. 1959. - V. 13. - P. 405-448.

61. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems// Van Nostrand Mathematical Studies, Princeton New Jarsey-Toronto-New York-London, 1965.

62. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions// II. Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17. - P. 35-92.

63. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions// I. Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 12. - P. 623-727.

64. Browder F. E. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1959. - V. 45. - P. 365372.

65. Browder F. E. A priori estimates for solutions of elliptic boundary value problems// I, II, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetenschap. 1960. - V. 22.- P. 145-159, 160-196; III, Indag. Math. 1961. - V. 23 P. 404-410.

66. Hormander L. Linear partial differential operators// Springer, BerlinGottingen-Heidelberg, 1963.

67. Moisil Gr.C., Theodoresco N. Fonctions holomorphes dan l'espace// Mathematica. 1931. - V. 5. - P. 142-153.

68. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions// Math, and its appl. 1996, Kluwer acad. publishers.

69. Schechter M. Integral inequalities for partial differential operators and functions satisfying general boundary conditions// Comm. Pure Appl. Math. 1959. - V. 12. - P. 37-66.

70. Schechter M. Negative norms and boundary problems// Ann. Of Math.- 1960. V. 72. - P. 581-593.

71. Schechter M. A local regularity theorem// J. Math. Mech. -1961. V. 10. - P. 279-287.

72. Полунин В. А. Граничные свойства трехмерного аналога интеграла типа Коши// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10, №1. - С. 47-53.

73. Полунин В. А., Солдатов А. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши// Дифференц. уравнения. 2011. - Т. 47, №3. - С. 366-375.

74. Полунин В. А., Солдатов А. П. Задача Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску в ограниченной области// Неклассические уравнения математической физики. Сб. науч. работ. Новосибирск: Изд-во ин-та математики. - 2010. - С. 192-201.

75. Полунин В. А., Солдатов А. П. Об условии Шапиро—Лопатинского в задаче Римапа—Гильберта для эллиптической системы первого порядка// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2010. -№17(88). - Выпуск 20. - С. 91-100.

76. Полунин В. А., Солдатов А. П. О сопряженной задаче Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску// Научные ведомости Бел-ГУ. Математика. Физика. 2011. - №5(100). - Выпуск 22. - С. 106-111.

77. Полунин В. А. Солдатов А. П. Об интегральном представлении решений системы Моисила—Теодореску// Междунар. конф., поев. 110-ой годовщине со дня рожд. И. Г. Петровского. М.: Изд-во МГУ. -2011. - С. 308-309.

78. Полунин В. А., Солдатов А. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши с непрерывной по Гельдеру плотностью// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2008. - №13(53). - Выпуск 15. - С. 95103.

79. Полунин В. А. Обобщенный интеграл типа Коши системы Моисила—Теодореску// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. - Т. 11, №1. - С. 56-60.