Многомерные эллиптические системы первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. Н.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

УДК 517.95+517.983

БАЛАБАЕВ Владимир Евгеньевич МНОГОМЕРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук,

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Дезин

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дудинский

доктор физико-математических наук, доцент Е.А. Бадерко

Ведущая организация - Новгородский государственный университет

Защита состоится " % ^ " _ 1996 г.

в "ТУ^часов на заседании диссертационного совета Д. 053. 05.37 в Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносва по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы Горы, факультет Вычислительной математики и кибернетики МГУ, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ им.М.В.Ломоносова

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Е.И.Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Последние два десятилетия отмечены интенсивными исследованиями многомерных эллиптических систем первого порядка. Первыми важными работами в этом направлении явились работы A.B.Бицадзе [1] и А.А.Дезина [2,3]. А. В. Би-цадзе исследовал свойства трехмерного аналога интеграла типа Коши. А. А.Дезин изучил класс инвариантных эллиптических систем, обобщающих классическую систему Коши-Римана. Им найдены для них нетеровы граничные задачи. Многомерным эллиптическим системам первого порядка посвящен ряд работ Гр.Мойсила и Н. Теодореску [4], А.П. Солдатова [5], А.Д. Джураева [6], B.C. Виноградова [7],Б.В. Пальцева [8],А.И. Янушаускаса [9], М.З. Соломяка [10],H.H. Тарханова [11],И.С. Самойленко [12], автора [13 - 33] и др. Эта теория уже нашла многочисленные применения в теории аналитических функций нескольких переменных [6,15,27,29], геометрии векторных полей [25,32], теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [1], в теории уравнений с частными производными [7], а также в различных разделах физики [34,35].

Охарактеризуем основные направления и результаты исследований. Рассмотрим вначале общую проблему эллиптичности систем первого порядка, которая формулируется так: каковы должны быть числа тип, для того, чтобы существовали определенные эллиптические системы первого порядка с га неизвестными функциями от п независимых переменных. Опираясь на окончательное решение Дж.Ф.Адамсом [37] проблемы нахождения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах, М.З.Соломяк анонсировал в [10] решение этой проблемы. Однако, во-первых,доказательство теоремы существования до настоящего времени не опубликовано. Во-вторых, в приложениях важно иметь информацию о свойствах таких систем, которую невозможно получить из теоремы существования Соломяка. Поэтому представляется актуальной задача, поставленная А.Гурвицем: построить эллиптические системы первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых переменных. В диссертации строится класс канонических эллиптических систем, решающий проблему Гурвица. Предложенный метод решения позволяет получить ряд новых результатов и в теории векторных полей и в алгебре. В работе

вводится и исследуется класс нормальных эллиптических систем первого порядка, которые содержат в себе канонические эллиптические системы, в частности, систему Коши-Римана, систему Моисила-Теодореску-Бицадзе, инвариантные эллиптические системы Дезина и ряд других. Для изучения свойств решений нормальных систем в диссертации применяется аппарат теории дифференциальных форм. В своей монографии А.В.Бицадзе [1] поставил задачу отыскания эллиптических систем с нетеровыми или хаусдорфовыми задачами. Вот почему в работе особое внимание уделено отысканию таких систем. При помощи класса канонических систем удается получить окончательное решение в общем случае задачи построения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах. Полученные ранее отдельные результаты по этой задаче, представленные в монографии Ю. А.Аминова [38,гл.2], дают ее решение лишь для сфер размерности гщ-1, где п=2.4.8.16, ад- любое нечетное число. Кроме того в качестве приложения в диссертации приведено конструктивное решение обобщения известной алгебраической задачи "о сумме квадратов".

В диссертации исследуются также комплексные нормальные эллиптические системы первого порядка. В частности, изучен подкласс этих систем, которые порождаются оператором внешнего дифференцирования д . Исследуется также краевая задача Ко-ши следующего типа: найти решение канонической комплексной системы в ограниченной области по краевому условию и=0 на границе области. Задача оказывается нормально разрешимой по Хаусдорфу. Отметим, что для классической системы Коши-Римана на комплексной плоскости этот результат получен в 1993 году Ю. А. Дубинским [39]. Решение задачи Коши дает возможность получить решение подобной задачи для переопределенной неоднородной системы Коши-Римана в теории аналитических функций нескольких комплексных переменных. Следует отметить, что аналогичный результат был анонсирован в 1991 году А.Д.Джура-евым [6]. В диссертации получен также результат о восстановлении решения по своим компонентам. Для инвариантных эллиптических систем аналогичную задачу исследовал А. А.Дезин [2].

Имеется ряд работ общего характера по переопределенным

эллиптическим системам, обзор которых имеется в монографии [40]. В данной работе , ограничившись эллиптическими системами первого порядка, удалось получить ряд конкретных результатов о возможности продолжения решений, о граничных свойствах решений, о границе Шилова для пространства решений и др.

Цель работы. Основной целью работы является построение и изучение класса эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых переменных, которые имеют строение, аналогичное строению системы Коши-Римана. При этом главное внимание уделяется изучению некоторых классов этих систем, для которых существуют краевые задачи, нормально разрешимые по Хаусдорфу и которые имеют применения в геометрии векторных полей. Кроме того в работе исследуются переопределенные эллиптические системы первого порядка. Подробно рассматриваются свойства, отличающие их от определенных эллиптических систем: продолжение решений, описание естественных областей существования решений, продолжение решений с остова и др.

Общая методика исследований. Работа основана на методах многомерного комплексного анализа, теории обобщенных функций. теории сингулярных интегральных уравнений, аппарате внешних дифференциальных форм и разработанном автором методе построения эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций и любым числом независимых переменных.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В частности, впервые построен и исследован класс эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых переменных. Исследован класс нормальных эллиптических систем первого порядка. Для этих систем находятся краевые задачи, нормально разрешимые по Хаусдорфу. Для инвариантных эллиптических систем Дезина устанавливаются существование и единственность решения задачи Дирихле в полупространстве. Новизна

работы состоит также в том, что в пространствах любой размерности больше трех строятся примеры эллиптических систем второго порядка, для которых задача Дирихле не является не-теровой. При этом число уравнений в построенных примерах может быть и четным и нечетным. Для переопределенных эллиптических систем первого порядка получена теорема об одновременном продолжении решений. Найден аналог теоремы Гартогса о продолжении решений, а также аналог теоремы Бенке-Штейна. Построенные в работе канонические системы используются для окончательного решения задачи построения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах. Исследованы свойства этих полей.

Теоретическая и практическая ценность. Многие результаты работы нашли применение, как в теории эллиптических систем второго порядка, так и в теории аналитических функций нескольких комплексных переменных. Кроме того в диссертации получены применения полученных результатов в геометрии векторных полей и в алгебре.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на различных научных научных конференциях и семинарах: академика РАН, проф. В.А.Ильина, члена-корреспондента РАН, проф. А.А.Дезина, проф. Е.И. Моисеева в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, члена-корреспондента РАН, проф. А.В.Бицадзе, члена-корреспондента РАН, проф. А.А.Дезина, академика РАН, проф. В.А.Ильина в Математическом институте РАН им. В. А. Стеклова, члена-корреспондента РАН, проф. С.И.Похожаева, проф. Ю. А.Ду-бинского, проф. С.А.Ломова в Московском энергетическом институте.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в И работах .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 242 страницы. Список литературы состоит

из 158 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, обзор современного состояния теории многомерных эллиптических систем первого порядка и кратко изложено содержание глав диссертации.

В первой главе изучается класс нормальных эллиптических систем первого порядка. Характеристические матрицы таких систем удовлетворяют условию

кНК)Щ) = Е„( Z ti2 ),

1=1

где А* (4) - транспонированная матрица, а Е, - единичная матрица порядка т. Важное значение в исследовании этих систем играет интегральное представление их решений. Так же, как и интегральная формула Коши в теории аналитических функций в значительной степени является основой при решении многих задач в этой теории, интегральная формула для нормальных эллиптических систем является основным средством в исследовании этих систем. Данная работа показывает, что лишь при помощи конструктивного метода интегральных представлений можно решить ряд проблем в теории эллиптических систем, связанных, в основном, с граничными свойствами решений. Найденное интегральное представление удалось применить также для решения ряда задач, которые трудно решить, если опираться только на неконструктивные методы.

§1 главы I посвящен непосредственно интегральному представлению решений нормальных эллиптических систем. Устанавливаются аналоги теорем Коши, Гаусса, Кельвина, Вейер-штрасса, теорема об устранении особенностей коразмерности 1, формула Помпейю. Наиболее нетривиальным из результатов, рассмотренных здесь, является аналог теоремы Морера. При ее доказательстве пришлось применить иной метод, чем применявшиеся ранее при доказательстве теорем подобного типа для систем Дезина [8] и для системы Моисила-Теодореску-Бицадзе

[1]. Интегральная формула обобщается также на неограниченные области, границы которых - замкнутые ограниченные кусочно-гладкие поверхности.

В §2 исследуются граничные свойства решений нормальных систем. Найдены формулы для скачка интеграла, являющегося решением нормальной системы вне поверхности интегрирования. Из них следуют формулы Бицадзе [1] для двумерного интеграла типа Коши, а также аналогичные формулы, полученные В.С.Виноградовым [7] эллиптической системы первого порядка в И4. Получен критерий продолжения с границы заданного на ней вектора класса Гельдера. Выводится формула перестановки для сингулярных интегралов.

Теорема 1. Пусть й с - ограниченная область, С -гиперповерхность Ляпунова, Иу, г) класса с'0'111 (О по у и по г, тогда

|м(уД)|.

ЯпГ и, и

М(г, у) Пу, г) = ------+

Г2 (п/2)

М(г, им(г.у)Г(у.г)); (1)

~ Су 0 с С^ с1 Су

збесь М(у, Ъ) = А1 ((у-1)/|у-1|11)А(кйу), где * - оператор Ходжа, а ]С2 означает, что интегрирование производится по у и ъ соответственно.

Из формулы (1) вытекает формула Бицадзе [1] и формула Пуанкаре-Бертрана из комплексного анализа. Полученные результаты применяются при исследовании систем многомерных сингулярных интегральных уравнений. Для этих систем найдены формулы обращения, из которых получаются формулы обращения Бицадзе [1] для двумерных сингулярных интегральных уравнений. Здесь же устанавливается теорема о том, что каждая область в И" является естественной областью определения некоторого решения нормальной системы.

В §3 вводятся матрицы, обладающие свойствами кернфунк-ции Бергмана в теории аналитических функций. С их помощью решается краевая задача Коши: найти в области С решение не-

однородной нормальной системы, непрерывное в G, по краевому условию и|зG= 0. Находятся различные критерии разрешимости этой задачи.

Теорема 2. Решение и(х) нормальной системы

А(3/Эх) = F (х) (2)

в ограниченной области G с R" (п>2), непрерывное в G и удовлетворяющее краевому условию u|jc=0, существует тогда и только тогда, когда

Г(п/2) г

- А(д/дх)А1 (f/Sx)g(T,x)F(T)dV(t) = 0 ; x^G ,

2Лп/г J

G

зЗесь g(x,x) =(l/(2-n))|т-х|2_п + h(t,x), где Ь(т,х) - регулярная гармоническая функция в G, принимающая на G значения

-(1/(2-п))|т-х|2"п, x£G, tEtfG.

Теорема 3. 'Задача (2) разрешима тогда и только тогда, когда ее правая часть F(x)_ ортогональна подространству

N2(G)* = {f£L2 (G): A1 (i)/3x) f (x) =0, x£G}, т. е. задача (2) нормально разрешима no Хаусдорфу.

Отметим, что для системы Коши-Римана аналогичный результат другим способом был получен в 1993 году ¡0. А.Дубинс-ким [39].

§4 посвящен обобщенным решениям неоднородных нормальных систем и их оценкам.Находится общий вид решения неоднородной системы, когда ее правая часть принадлежит Lx(G). Найдены оценки решений неоднородной системы в Lp-метрике (п<р< ») и в равномерной метрике. Установлена принадлежность решений классу Гельдера с а =(р-п)/р, если правая часть принадлежит Lp (G), п<р< к), и с a=l-t для любого достаточно малого е>0, если правая часть непрерывна в G. Полученные результаты являются новыми не только для нормальных систем, но и для инвариантных эллиптических систем Дезина, а также для системы Моисила-Теодореску-Бицадзе.

В §5 рассматриваются инвариантные эллиптические системы Дезина в евклидовых пространствах. Выясняется структура характеристических матриц этих систем. Показывается, что они входят в класс нормальных систем, поэтому для них справедливы все результаты, полученные выше для этих систем. Кроме того в силу особенностей характеристических матриц этих систем для них устанавливаются существование и единственность решения задачи Дирихле в полупространстве при определенных краевых условиях.

В §6 демонстрируются приложения нормальных систем в теории векторных полей. Устанавливается, что векторные поля, порожденные этими системами, обладают рядом интересных свойств. В частности, линии тока любого из таких полей являются большими окружностями на сферах. Исследуется голоном-ность векторных полей, порожденных системами Дезина. Оказывается, что они могут быть как голономными, так и неголоном-ными. Например, в I?4 все они голономны, а в И8 все они него-лономны. Распределения пар и троек полей Дезина в И8 неголо-номны.

Глава II посвящена каноническим эллиптическим системам, играющим важную роль в приложениях. В частности, канонические системы используются при решении проблемы эллиптичности. Эта проблема в монографии И.Р. Шафаревича [36, с.288] формулируется так: при каких шип существуют эллиптические системы первого порядка с вещественными коэффициентами и т неизвестными функциями от п независимых вещественных перемен-ных?В диссертации дано конструктивное решение этой проблемы.

Теорема 4. Нормальные системы с п независимыми вещественными переменными существуют тогда и только тогда, когда число неизвестных функций ш кратно 2Г(П), где г(п) определяется равенством

(п-2)/2 (п-1)/2

п = 0 (той 8),

п з 1,7 (той 8),

п = 2,4,6 (той 8),

п = 3,5 (той 8).

г(п) = < п/2

(п+1)/2

У

Следствие. Эллиптические системы первого порядка с п независимыми вещественными переменным существуют тогда и только тогда, когда число неизвестных функций ш кратно 2Г(П), где г(п) определяется равенством (3).

Принципиальная возможность существования эллиптических систем первого порядка с вещественными коэффициентами и п независимыми вещественными переменными лишь при указанных выше значениях т. была анонсирована М. 3. Соломяком в ДАН СССР [10]. Однако, в приложениях важно иметь информацию о свойствах таких систем, которую невозможно получить из теоремы существования. В диссертации на основе иного подхода указывается конструктивное решение проблемы эллиптичности. Этот подход позволяет получить ряд новых результатов и в теории векторных полей и в алгебре.

В §1 дается конструкция характеристических матриц канонических систем. Построение проводится рекуррентно по размерности пространства. Показывается, что канонические системы являются нормальными системами. С их помощью решается проблема построения эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых вещественных переменных, поставленная А. Гурви-цем. В качестве следствия получаем следующий результат:

Теорема 5. Пусть га = (2а(т)+1)2к(т), где а(т))0, к(т)>0 целые числа. Нормальные системы с ш неизвестными функциями от п независимых вещественных переменных существуют тогда и только тогда, когда число п удовлетворяет неравенству 2 < п < п(т) , где п(ш) определяется равенством

п(т) =

2к(т) + 1, к(т) = 0 (той 4), 2к(т), к(т) =1,2 (той 4), 2к(т) + 2, к(т) = 3 (той 4).

(4)

Отсюда, в частности, имеем решение проблемы эллиптичности.

Теорема 6. Пусть ш = (2а(т)+1)2к(т>, где а(т)>0, к(т))0 целые числа. Эллиптические системы первого порядка с т неизвестными функциями от п независимых вещественных переменных

существуют тогда и только тогда, когда число п удовлетворяет неравенству 2 in < п(ш), где п(ш) определяется равенством (4).

Из этой теоремы вытекает, что нормальные системы, как и определенные эллиптические системы первого порядка, с равными друг другу числом независимых вещественных переменных п и числом неизвестных функций ш существуют лишь в случае, когда п = ш = 2,4,8.

В §2 исследуются основные свойства канонических систем. При числе независимых вещественных переменных n г 1,2,3,5 (mod 8), (п>2), в полупространстве получено решение задачи Дирихле и установлена его единственность. Когда п = 0,4,6,7 (mod 8), задача Дирихле уже не будет нетеровой в полупространстве. В ограниченных областях при любом п>3 задача Дирихле не будет нетеровой для канонических систем. С помощью канонических систем строится класс эллиптических систем второго порядка, для которых задача Дирихле не является нетеровой. Впервые пример системы такого рода для случая двух уравнений второго порядка с двумя вещественными переменными был построен А.В.Бицадзе [1]. Для размерностей п = 4 и п = 8 подобные примеры были построены соответственно Ю. Г. Антохиным [42] и Е.И.Кузьминым [43] и в случае четной размерности -В.С.Виноградовым [7]. Во всех предыдущих работах четномер-ность пространства существенно использовалась при построении соответствующих примеров, так как при этом применялся аппарат теории аналитических функций. В построенных нами примерах размерность может быть любой больше трех, а число уравнений и четным и нечетным.

В §3 вычисляется индекс любой канонической системы. При этом используются аналитическая формула для индекса, полученная Б.В.Федосовым [44], а также свойства матриц, порожденных каноническими системами. Оказывается, что индекс канонической эллиптической системы с п независимыми вещественными переменными не равен нулю лишь, когда п = 0 (mod 4). Отсюда следует, что в этих случаях множество эллиптических систем первого порядка с п 1 вещественными переменными и числом неизвестных функций, равным m = k-2r(n), где k - любое натуральное число , а г(п) определено равенством (1), имеет не меньше k + 1 компонент связности. В общем виде про-

блема нахождения компонент связности эллиптических систем была поставлена в докладе И.М. Гельфанда, И.Г. Петровского, Г.Е. Шилова [45] и имеет важное значение при исследовании граничных задач.

§4 посвящен построению максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах. Векторные поля, порожденные каноническими системами позволяют получить конструктивное решение этой задачи. Как известно, задача нахождения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах была окончательно решена дж.Ф.Адамсом [37] методами К-теории. Однако, из его теоремы существования нельзя извлечь информацию о свойствах таких полей, которая имеет важное значение в приложениях. До последнего времени проблема построения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей была решена лишь для п-мерных сфер размерности п = Кга - 1, где т - любое нечетное число, а к = 2,4,8,16 ( см. монографию [38]). В диссертации указывается способ построения максимально возможного числа таких полей в общем случае, т.е. дается окончательное решение этой задачи.

В §5 изучаются свойства построенных в §4 векторных полей, названных нами каноническими. В частности, вычисляются главные кривизны второго рода и их симметрические функции для каждого из этих полей. Находятся линии тока на сферах, вектор кривизны и степень отображения сферы Зг™"1, порождаемого каноническим полем на единичную сферу пространства Здесь же изучаются вопросы голономности канонических полей в Кт. Доказывается, что любое такое поле неголономно, а распределения пар канонических полей могут быть как голономными, так и неголономными. Причем, голономные распределения пар существуют лишь в пространстве И4.

В §6 рассматриваются приложения полученных выше результатов в алгебре, в частности в конструктивном решении расширенной задачи "о сумме квадратов". Постановка задачи следующая. Дано произвольное натуральное число т. Каким должно быть натуральное число п и как должны быть выбраны ш билинейных форм

.....хп;у!.....Ут).....Гт(х1.....хп;у,.....уга)

для того, чтобы было справедливо тождество

((Xl)2 + ...+ (Xj^üy,)2 + ...+ (Ут)2) = (F1)2 + ...+(Fm)2 (5)

Данная проблема оказывается связанной с каноническими эллиптическими системами. Следует отметить, что существование тождеств (5) при n<n(m), где n(m) определено равенством (4), без конкретного построения форм ....Fm в общем случае вытекает из работ А.Гурвица, И.Радона, Б.Экмана и Дж. Ф.Адам-са [37]. Если ш = п , то, как известно из результатов А.Гурвица эта задача имеет решение лишь тогда, когда m = n = 1, 2,4, 8, и формы F!_____ Fm в этом случае им были найдены.

Глава III посвящена комплексным нормальным эллиптическим системам, которые имеют применения в комплексном анализе. Для данных эллиптических систем справедливы все результаты, полученные в §§1-4 первой главы для вещественных нормальных систем. Поэтому в этой главе главное внимание уделяется новым свойствам этих систем.

В §1 конструктивно решается проблема существования этих систем. Из комплексных нормальных систем выделяется класс классических комплексных систем. Для систем данного класса вычисляется индекс. Оказывается, что он отличен от нуля лишь в четномерных пространствах R2k. Отсюда получается оценка числа компонент связности комплексных1 эллиптических систем.

§2 посвящен комплексным каноническим системам первого порядка, рассматриваемым в областях комплексного пространства. Для них устанавливаются свойства, аналогичные свойствам нормальных вещественных систем, полученные в §§1-4 главы I. Полученные результаты позволяют найти новые доказательства формулы Помпейю и формулы Мартинелли-Бохнера для аналитических функций нескольких комплексных переменных. Решается задача Коши для таких систем, аналогичная рассмотренной нами в §3 главы 1. Ее решение в данном случае дает возможность получить решение подобной задачи для переопределенной системы Коши-Римана в теории аналитических функций нескольких комплексных переменных. Заметим, что аналогичный результат был недавно анонсирован А.Д.Джураевым [6].

В §3 рассматриваются многомерные комплексные эллиптические системы, порожденные оператором внешнего дифференци-

рования 3 . Устанавливается, что эти системы являются нормальными комплексными системами, поэтому для них справедливы все свойства, полученные в §1 для таких систем. Выясняется структура характеристических матриц данных систем. Оказывается, что их строение аналогично строению характеристических матриц инвариантных эллиптических систем Дезина, и, следовательно, их можно считать комплексным аналогом этих систем. Характеристические матрицы рассматриваемых систем имеют вид

В( е/'Эг) =

->о. т О

-Ч . т \ , т

О

£ (6)

Вгк. т к + 1 , т 0

0 к + 2 . т Вг к + з, т

Последняя строка матрицы (6) имеет в зависимости от четности ш вид:

(0|•• • |0|Вт_2. т|Вт-1.т) . вСЛИШ ЧвТНО,

(О|•••101Вт_й_т) , если т нечетно. Здесь Вк _т - матрицы, определяемые рекуррентно по формуле

В, т(д/&)

Вк,га-1 (Э/&2) О

(-1)кЕ 3/3гга Вк-1.«-1 (й/й'г)

(7)

где Е - единичная матрица порядка ( к = 1,...,т~2,}, о1/0'г - дифференцирование по переменным _____гт_4, матрицы = -В*. т (й/дг). Исходными объектами, позволяющими построить Вк _ т (б/Эг) и Вк-т(Э/с)г) для любых кит, являются операторы

,.„(3/32) =

d/dZi tVi2n

Bn-i.n(3/32) = ((-l)n-4/32n, (n = 1.____m).

,-322,62! )

Это строение позволяет построить примеры комплексных эллиптических систем в комплексных пространствах, для которых задача Дирихле не нетерова.

Теорема 7. Пусть Ь = В1(й/Эг)В(й/йг). Тогда однородная задача Дирихле для эллиптической системы Lg = 0 в шаре

Б = {|21 |2 +...+ |гт |2<1?2}

имеет решение вида g={u, 0,.... 0), где

и = (R2-z1z1-...-zmzm)f((z1)2+...+(zm)2)

u f(w) - аналитическая относительно w функция в образе шара D при отображении w = (Zj)2 +...+ (zm)2 .

Следствие. Задача Дирихле для эллиптической системы Lg=0 в шаре D = {\zx |2+..,+|zm|2<R2} не является нетеровой.

Среди новых свойств, полученных для этих систем, отметим восстановление по компонентам.

Теорема 8. Пусть для области Dec™1 одномерная группа когомологий с голоморфными коэффициентами тривиальна: Н1 (D. 0) =0, и {f2.....fk} зЭе к = 2™~1, комплексный гармонический вектор в D, удовлетворяющий там системе

В1 (3/dz)

= 0.

(8)

гЭе В1(д/дг) - матрица, получающаяся из матрицы В(д/дг) (6) после выбрасывания т строк и первого столбца, тогда существует функция такая что вектор Г = {^^г.....Гк} удовлетворяет в области 0 системе

B(d/8z)f= 0.

(9)

Следствие. Пусть D с Сш - область голоморфности, и

{f2.....fk), где к =2т'1, комплексный гармонический вектор в

D, удовлетворяющий в D системе (8), тогда существует функция ft такая, что вектор f = {fj. f2.....fk} удовлетворяет системе (9) в D.

Для инвариантных эллиптических систем аналогичная проблема исследовалась А.А.Дезиным, где им были отмечены трудности, возникающие при постановке задачи в многомерном случае. В диссертации приводится пример, показывающий, что условие тривиальности первой группы когомологий в формулировке теоремы 8 является существенным.

Глава IV посвящена переопределенным эллиптическим системам первого порядка. В качестве модели выбрана система, состоящая из двух нормальных систем в R4. Переход к общему случаю не вносит качественных изменений. Таким образом, исследуется переопределенная эллиптическая система первого порядка с вещественными коэффициентами, состоящая из восьми уравнений с четырмя неизвестными функциями от восьми независимых переменных. Эту систему можно считать аналогом системы Коши-Римана для аналитических функций двух комплексных переменных. Ранее исследования в этом направлении проводились автором [13-20] и К.Ноно [41].

В §1 рассматривается аналог формулы Мартинелли-Бохнера для решений данной системы, аналог интегральной формулы Коши и ряд других свойств, используемых в дальнейшем.

В §2 исследуются граничные свойства решений данной системы. При этом, особый интерес представляют свойства, отличающиеся от свойств определенных эллиптических систем, рассмотренных выше. В областях, являющихся произведением четырехмерных областей, установлены формулы для скачка аналога интеграла типа Коши при переходе через остов области. Находится критерий продолжения с остова заданной на нем векторной функции класса Гельдера. Здесь же решаются системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами специального вида. В качестве приложения рассматривается краевая задача с условием:

aF++ (s, t) + bF+~ (s, t) + cF' + (s, t) + dF"(s, t) = f(s, t) на остове Г, где a,b, c.d - вещественные числа, причем

abcd*0. a f(s, t) - вектор класса Гельдера на Г. Решение задачи получено в замкнутой форме.

§3 посвящен исследованию эффекта принудительного продолжения решений в более широкую область, а также описанию естественных областей существования решений рассматриваемой системы. Выясняется, что переопределенность системы влечет за собой ряд принципиальных изменений свойств ее решений в отличие от определенных эллиптических систем. В частности, доказывается теорема об устранении компактных особенностей решений.

Теорема 9. Пусть G - открытое множество е R8 и К с G -компактное подмножество е G такое, что множество G \ К связно. Тогда для любого решения f(х,у) переопределенной эллиптической системы первого порядка

L(i)/dx) f (х, у) = О

(10)

R(iî/3y)f(x.y) = 0

е GNK, где Г(х,у)е С1(G\K), найдется функция F(x,у) с С1(G), которая удовлетворяет системе (10) в G и F(x,у) = Их,у) в G \ К.

Устанавливается также аналог известной в теории аналитических функций нескольких комплексных переменных теоремы Гартогса, показывающий, что при стирании компактных особенностей решений данной системы только одного применения теоремы об устранении компактных особенностей недостаточно. Отсюда в качестве следствия получаются некоторые новые утверждения для аналитического продолжения голоморфных функций четырех комплексных переменных. Вводится понятие выпуклости относительно решений исследуемой системы в данной области. Устанавливается связь введенной выпуклости с естественными областями существования решений. В частности, доказаны

Теорема 10. Если ограниченная область G является естественной областью существования некоторого решения системы (10), то она выпукла относительно семейства решений системы (10) е этой области.

Теорема 11. Пусть G - область существования некоторого решения системы (10) и множество К компактно принадлежит G,

тогда выпуклая оболочка К1К(С) множества К относительно семейства решений системы (10) в этой области - компакт, и

й(К. О > (КК^,,;), О > О.

где ц = 35л/(211-е) - постоянная, а й(-,-) - евклидово расстояние.

Получена также теорема о существовании решений неоднородной переопределенной системы данного типа в случае правых частей с компактными носителями. Показывается также, что найденный аналог интегрального представления Мартинелли-Бох-нера характеризует лишь решения рассматриваемой однородной переопределенной эллиптической системы первого порядка, т.е. если гладкая векторная функция представима аналогом интеграла типа Мартинелли-Бохнера в ограниченной области Б с кусочно-гладкой границей Зю, то она является решением системы (10) в этой области.

В §4 изучается граница Шилова для семейства решений рассматриваемой однородной переопределенной эллиптической системы первого порядка (10) в ограниченной области. Показывается, в частности, что в случае произведения четырехмерных областей граница Шилова составляет лишь часть всей топологической границы и совпадает с остовом этого произведения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.-М.: Наука, 1966.

2. Дезин А.А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи //Труды МИАН. - 1962,- Т. 68.

3. Дезин А.А. Многомерный анализ и дискретные модели. -М. : Наука, 1990.

4. Moisil G.С.,Teodorescu N. Fonctions holomorphes dans l'espace //Matematica, CluJ.-1931. - P.142-159.

5. Солдатов A.П. Граничные свойства интеграла типа Коши //Дифференц. уравнения.-1990. - Т.26, N 1,- С. 131-136.

6. Джураев А.Д. О задаче Коши для неоднородных систем Коши-Римана //Докл. АН СССР.-1991.- Т.319, N6.-С. 1292-1296.

7. Виноградов B.C. Исследования граничных задач для эллиптических систем первого порядка: Дис. докт. физ.-мат. наук: /МИАН.-М., 1972.

8. Пальцев Б.В. Многомерный аналог теоремы Морера //Сиб. мат. журн.- 1963,- Т. 4, N 6,- С. 1376-1388.

9. Янушаускас А.И. Некоторые обобщения голоморфного вектора //Дифференц. уравнения.-1982. - Т.18, N 4.- С. 699-705.

10. Соломяк М.З. 0 линейных эллиптических системах первого порядка //Докл.АН СССР,- 1963,- Т. 150, N 1,- С. 48-51.

И. Тарханов H.H. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов.-Новосибирск.-.Наука, 1990.

12. Самойленко И.С. О граничных задачах для системы М. 3. Соломяка //Матем. физика.-1975. - Т. 17,- С. 175-182.

13. Балабаев В.Е. Формула Мартинелли-Бохнера для гиперголоморфных функций нескольких кватернионных переменных и ее приложения //Полианалитические и регулярные кватернионные функции. -Смоленск:1973.- С. 55-69.

14. Балабаев В.Е. О полноте модуля гиперголоморфных функций //Полианалитические и регулярные кватернионные функции. -Смоленск:1973.- С. 90-92.

15. Балабаев В.Е. Кватернионный аналог системы Коши-Римана в четырехмерном комплексном пространстве и некоторые его приложения //Докл.АН СССР.-1974,- Т.214, N 3.-С.489-491.

16. Балабаев В.Е. Гиперплюрисубгармонические функции и гиперпсевдовыпуклость //Математический анализ и теория функций. -М., 1974.- С. 161-171.

17. Балабаев В.Е. Граница Шилова для некоторых классов функций нескольких кватернионных переменных //Математический анализ и теория функций.-М., 1974. - С. 212-218.

18. Балабаев В.Е. Граничные свойства гиперголоморфных функций и некоторые их приложения //Математический анализ и теория функций.-М.,1975. - С. 217-222.

19. Балабаев В.Е. Теорема Рунге для гиперголоморфных функций //Математический анализ и теория функций.-М.,1976.-С. 89-93.

20. Балабаев В.Е. Об одной системе уравнений в кватернионах в четырехмерном комплексном пространстве //Матем. заметки. -1978. - Т. 23. N 1.- С. 41-46.

21. Балабаев В.Е. Многомерный комплексный аналог системы Моисила-Теодореско //Качественные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль,1988.- С. 78-85.

22. Балабаев В.Е. Об одном пространственном аналоге системы Коши-Римана для аналитических функций двух комплексных переменных //Дифференц. уравнения.-1989.- Т. 25, N 5,- С. 823-833.

23. Балабаев В.Е. Аналог системы Коши-Римана в С3 //В. Е. Балабаев. Элементы топологии и анализа.-Ярославль: 1990,- ГЛ. VI,- С. 71-77.

24. Балабаев В.Е. Одно обобщение системы Коши-Римана в многомерном пространстве //Качественные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль, 1991,- С. 57-63.

25. Балабаев В. Е. Канонические эллиптические системы первого порядка //Дифференц. уравнения.-1991.- Т. 27, N 12,-С. 2082-2094.

26. Балабаев В.Е. Об одном классе многомерных эллиптических систем первого порядка //Дифференц. уравнения.-1992.-Т. 28, N 4,- С. 628-637.

27. Балабаев В.Е. Комплексные эллиптические системы первого порядка // Дифференц. уравнения,- 1993,- Т. 29, N 5. -С. 818-832.

28. Балабаев В.Е. Исследование краевых задач для канонических систем первого порядка //Дифференц. уравнения.- 1993. - Т. 29, N 8. - С. 1358-1369.

29. Балабаев В.Е. Комплексные канонические эллиптические системы //Докл. РАН.-1994.- Т. 334, N 4,- С. 407-412.

30. Балабаев В.Е. Об одной системе уравнений в октавах в восьмимерном евклидовом пространстве //Фундамент, и прикл. математика.-1995,- Т. 1. N2,- С. 517-521.

31. Балабаев В.Е. Нормальные эллиптические системы первого порядка //Дифференц. уравнения.-1995. - Т. 31, N 1.- С. 71-83.

32. Балабаев В. Е. Векторные поля, порожденные нормальными системами //Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. Математика. Информатика.- Ярославль, 1995,- С. 78-81.

33. Балабаев В. Е. 0 задаче Дирихле для инвариантных эллиптических систем Дезина //Докл. РАН.-1996.- Т. 336, N . -С.

34. Жданов М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей.-М. : Наука, 1984.

35. Imaeda К. A new formulation of electromagnetism //Nuovo Cimento. В. -1976,- V. 32.- P. 138-162.

36. Шафаревич И.P. Основы алгебраической геометрии. Т.1. -М. : Наука, 1988.

37. Adams J.F. Vector fields on spheres //Ann. of Math.-1962,- V. 75, N 3,- P. 603-632.

38. Аминов Ю.А. Теория векторного поля.-M.: Наука, 1990.

39. Дубинский Ю.А. Об аналитической нелинейной периодической задаче //Дифференц. уравнения.-1993. - Т. 29, N3,- С. 371-380.

40. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.-М.: Наука, 1967.

41. Nono К. Hyperholomorphic Functions of a Quaternion Variable //Bull. Fukuoka Univ. of Ed.-1982,- V. 32, Part III.

- P. 22-37.

42. Антохин Ю.Г. О некоторых некорректных задачах теории потенциала //Дифференц. уравнения.-1966. - Т. 2, N 4.- С. 525-532.

43. Кузьмин Е.И. О задаче Дирихле для эллиптических систем в пространстве //Дифференц. уравнения.-1967.- Т. 3, N 1.

- С. 155-157.

44. Федосов Б.В. Аналитические формулы индекса эллиптических операторов //Труды Моск. матем. об-ва.-1974.- Т. 30.-С. 159-241.

45. Олейник O.A., Паламодов В.П. Системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными //И.Г.Петровский. Избранные труды./Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия/.-М. : Наука, 1986.- С.427-434.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Балабаев В.Е. Кватернионный аналог системы Коши-Ри-мана в четырехмерном комплексном пространстве и некоторые его приложения //Докл.АН СССР.-1974.-Т. 214, N З.-С. 489-491.

2. Балабаев В.Е. Об одной системе уравнений в кватернионах в четырехмерном комплексном пространстве //Матем. заметки. -1978. - Т. 23, N 1.- С. 41-46.

3. Балабаев В.Е. Об одном пространственном аналоге системы Коши-Римана для аналитических функций двух комплексных переменных //Дифференц. уравнения.-1989.- Т. 25, N5.-0. 823-833.

4. Балабаев В.Е. Канонические эллиптические системы первого порядка //Дифференц. уравнения.-1991.- Т. 27, N 12.-С. 2082-2094.

5. Балабаев В.Е. Об одном классе многомерных эллиптических систем первого порядка //Дифференц. уравнения.-1992.-Т. 28, N4.-0. 628-637.

6. Балабаев В.Е. Комплексные эллиптические системы первого порядка //Дифференц. уравнения,- 1993,- Т. 29, N 5. -С. 818-832.

7. Балабаев В.Е. Исследование краевых задач для канонических систем первого порядка //Дифференц. уравнения.- 1993. - Т. 29, N8.-0. 1358-1369.

8. Балабаев В.Е. Комплексные канонические эллиптические системы //ДОКЛ. РАН.-1994.- Т. 334, N 4. - С. 407-412.

9. Балабаев В.Е. Об одной системе уравнений в октавах в восьмимерном евклидовом пространстве //Фундамент, и прикл. математика.-1995,- Т. 1, N 2.- С. 517-521.

10. Балабаев В.Е. Нормальные эллиптические системы первого порядка //Дифференц. уравнения.-1995.- Т. 31, N1.-0. 71-83.

И. Балабаев В.Е. Аналог системы Коши-Римана в С3 //В.Е.Балабаев. Элементы топологии и анализа.-Ярославль: 1990.- ГЛ. VI,- С. 71-77.