Обобщенно эллиптические операторы и задачи математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ оъ^^М — ЪчЩоу

У ' ¿Р* ' л -у

/ - ч/ , сС О {.. 4 ^

X

Башкирский государственный университет

На правах рукописи

Сакс Ромэн Семёнович

ОБОБЩЁННО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Уфа

ТТ

I президиум. ВАК России

| (решение от" " 19 3? г„ № % ЬЬ • :пРй Судил ученую степень АОг<Г*г~1 '

4 |8 * * — -

гчальник управления БАК '

н___^АУчр^—

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание................................................... 2

Введение........................................................ 4

Глава 1. Обобщенно эллиптические псевдодифференциальные операторы на замкнутом многообразии..................................... 43

§ 1. Класс el(X) эллиптических ПДО на многообразии X и класс EL(X) эллиптических ПДО, действующих между сечениями векторных расслоений над X..................................................... 44

§ 2. Класс EFL(U) операторов, допускающих эллиптическую в U факторизацию доминантной

части.................................................................... 62

§ 3. Класс GEL(X) обобщенно эллиптических ПДО 111 § 4. Класс REL(U) операторов, приводимых к локально эллиптическим ПДО............................... 120

§ 5. Класс REL(X) операторов, приводимых к локально эллиптическому виду повсеместно на

Т'(Х).................................................................... 166

§ 6. Разрешимость обобщенно эллиптических уравнений.................................................................. 170

Глава 2. Обобщенно эллиптические краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений........................... 177

§ 1. Эллиптические краевые задачи........................ 178

§ 2. Обобщенно эллиптические краевые задачи..... 191

Typeset by Да^-Т^Х

Глава 3. Обобщенно эллиптические системы дифференциальных уравнений и их свойства............................................................ 206

§ 1. Определение обобщенной эллиптичности дифференциального оператора.................................. 207

§ 2. Гипоэллиптичность слабо эллиптического оператора................................................................... 222

§ 3. Алгебра операторов Грина.................................. 224

§ 4. Краевые задачи для обобщенно эллиптических

систем.................................................................. 234

Глава 4. Нетерово разрешимые краевые задачи для некоторых стационарных систем уравнений математической физики 246

§ 1. Краевые задачи для систем уравнений, главная

часть которых совпадает с оператором ротора... 246 § 2. Краевые задачи для стационарных систем ура-

нений Максвелла и кристаллооптики................ 263

§ 3. Краевые задачи для системы уравнений Сток-

са.......................................................................... 278

§ 4. Краевые задачи для системы уравнений акустики..................................................................... 283

§ 5. Краевые задачи для системы уравнений Соболева...................................................................... 300

Библиография............................................... 308

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена изучению класса систем псевдодифференциальных уравнений, которые мы называем обобщенно эллиптическими системами (операторы из этого класса мы обозначаем ОЕЬ(Х)). Этот класс выделен в классе Ь(Х,Е,Е) классических ПДО. Он включает в себя системы дифференциальных уравнений эллиптические по Петровскому, системы эллиптические по Даглису-Ниренбергу, равномерно неэллиптические системы (или приводимые к эллиптическим, в смысле Б. Р. Вайнберга и В. В. Трушина [1]), а также композиции систем этих классов. Класс СЕЬ(Х) был выделен нами в работе [27] и исследован в работах [28,29,42,43]. В главе .1 мы даем определение этого класса и доказываем ряд важных его свойств: инвариантность относительно линейных невырожденных преобразований уравнений и зависимых переменных, относительно композиций операторов системы, а также взятия па-раметрикса, кроме того, доказывается независимость обобщенно эллиптической системы от выбора весовых порядков. Далее мы изучаем разрешимость о. э. системы псевдодифференциальных уравнений на многообразии без края в функциональных пространствах, которые строятся на базе пространств С. Л. Соболева, соответствующих заданным весам (мы их будем называть пространствами Соболева).

Одним из основных результатов главы 1 является теорема о том, что на многообразии без края обобщенная эллиптичность системы псевдодифференциальных уравнений достаточна, и, в некоторых случаях, необходима для ее нетеровой разрешимости в указанных выше пространствах.

Typeset Ьу Дм^-Т^Х

На основе этого результата в главе 2 выделяется класс нете-рово разрешимых краевых задач для эллиптических по Даглису-Ниренбергу систем дифференциальных уравнений на многообразии с краем, для которых условие Лопатинского не выполняется.

Эти краевые задачи сводятся к (нетерово эквивалентным) системам псевдодифференциальных уравнений на граничном многообразии, причем для них условие Лопатинского эквивалентно условию эллиптичности граничных ПД уравнений. Условие же обобщенной эллиптичности системы ПДУ на границе выделяет класс краевых задач, называемых обобщенно эллиптическими, которые являются нетерово разрешимыми в пространствах Соболева.

Класс обобщенно эллиптических задач шире класса равномерно неэллиптических задач, изученных в работе Б. Р. Вайнберга и В. В. Грушина [2].

В главе 3 исследуются свойства обобщенных эллиптических систем дифференциальных уравнений: приводится еще одно определение обобщенной эллиптичности, использующее только дифференциальные операторы, доказывается гипоэллиптичность обобщенных эллиптических систем с бесконечно дифференцируемыми и аналитическая гипоэллиптичность систем с аналитическими коэффициентами. Изучаются постановки корректных краевых задач для некоторых подклассов в классе обобщенных эллиптических систем дифференциальных уравнений на многообразии с краем. Условиями дополнительности, аналогичными условиям Лопатинского, выделяется класс краевых задач, которые нормально разрешимы в соответствующих пространствах.

Наконец, в главе 4 дается приложение этой теории к исследованию различных краевых задач для систем уравнений математической физики (в случае установившихся процессов): таких, как системы Максвелла, Стокса, Соболева, акустики и кристаллооптики. Для каждой из этих систем найдены широкие классы краевых условий и функциональные пространства, в которых краевые задачи являются нетерово разрешимыми.

Для систем Максвелла, Соболева и акустики в областях, выпуклых в заданных направлениях, найдены постановки краевых задач, при которых различные компоненты решения задаются на подмногообразиях границы различных размерностей. Для задач этого типа доказываются теоремы о нетеровой, фредгольмовой или даже

безусловной и однозначной разрешимости задачи (в зависимости от значений параметра) в соответствующих пространствах Гельде-ра.

Используя свойство независимости обобщенной эллиптичности от выбора весов, мы показываем, что при исследовании краевой задачи можно начинать с любого допустимого набора весовых порядков системы и получать нетеровые задачи в заданных пространствах для неизвестных вектор-функций, и затем находить пространства наиболее подходящие данной системе и краевым условиям.

Класс эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных был выделен И. Г. Петровским в его работе "Об аналитичности решений систем уравнений с частными производными" [1] (1939 г.) в связи с решением 19-ой проблемы Д. Гильберта. Для этого класса (в линейном и нелинейном случае), он доказал, что если система образована аналитическими функциями, то все достаточно гладкие решения ее аналитичны. В конце работы И. Г. Петровский привел простой пример линейной системы, не являющейся эллиптической в его смысле, но обладающей, тем не менее, тем же важным свойством, что и эллиптические, а именно аналитичностью всех достаточно гладких решений.

Более общее определение эллиптичности систем дифференциальных уравнений было предложено А. Даглисом и Л. Ниренбергом [1] в 1955 г. Аналитичность всех (достаточно гладких) решений линейных систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами, эллиптических по Даглису-Ниренбергу, была доказана К. Морри и Л. Ниренбергом [1] в 1957 г.

Приведем эти определения эллиптичности в линейном случае. В области С 6 1п, га ) 2, рассматривается система уравнений с частными производными вида

I

= /¿(ж), г = 1,...,/; ж<Е(3 (1)

где

^ (*,£)= £ а»(х)Па,

Н^Ш».,-

в принятых теперь обозначениях:

а = («1,.. .,«„), а| = «1 Н-----1- ап,

Ва = Я?1 ... ,

В матричной записи система выглядит так:

А(ж,£>)и(ж) = /(ж), же <2,

где и = и / = (/!,...,/г) — вектора, а

= 7=1.....,

(1')

(2)

— ее матричный оператор.

Число т = т&хгпц называется (скалярным) порядком системы

и обозначается т = ог<1А. Кроме того, системе (1) ставится в соответствие пара целочисленных векторов в и £ с компонентами и Ь, удовлетворяющих неравенствам

(обычно таких, что хотя бы для одного значения г, ] имеет место равенство и ввиду неоднозначности выбора я и £ можно предполагать, что вз ^ 0 и тахЗг = 0). Такие пары векторов (з,£) мы назы-

г

ваем допустимыми и говорим, что система (1) имеет (весовой или векторный) порядок ($,£). Он обозначается так: = ъи — огйА. По каждой допустимой паре (з, £) определяется матрица

ггц! ^ + tj для всех = 1,...,/

(3)

где

=

У] " при ГГЩ = ^ + ^

'3 '

а; | =вг

Ч-^'

0 при га^,- < 5г- + tj

(4)

'3 '

которая называется (я, ¿)-главным символом системы (1).

Система (1) называется эллиптической по Даглису-Ниренбергу в области (7, если можно подобрать допустимую пару так, что

VЖ£G, £е!Г\0. (5)

Система эллиптическая по Петровскому выделяется требованиями, чтобы для нее неравенства (5) были справедливыми при 5 = 0; = (0,..., 0), Ь = (9711,... ,771/), где ту = тахт^.

г

Если неравенства (5) выполняются при в = 0;, £ = т^ = (га,... , т). где т — порядок системы (1), то она является эллиптической системой порядка га.

Л. Р. Волевич [1,2] нашел полезный признак принадлежности системы классу систем эллиптических по Даглису-Ниренбергу. Пусть

Я = тах(т171 + • • • + гп1Ъ),

7

где 7 = (71,...,7/) пробегает все перестановки чисел 1,...,/, и пусть г — степень полинома (по £), являющегося определителем полного символа системы, а Хг(®5 0 — его старшая однородная часть, то есть

сЫ; Ац(х,£) || = Хг(®>£) + младшие члены (по £).

Л. Р. Волевич называет систему (1) невырожденной, если Я = г, и общей эллиптической, если Я = г и

ХйМ)^о \fxeG, £еГ*\о.

Он показал в работе [2], что в невырожденном случае существует допустимая пара векторов такая, что определитель (заглавного символа системы совпадает с функцией хдО^О? то есть

аекЦА^я.оЦ =хд(®,0-

Классы эллиптических систем, выделенные Петровским, а также Даглисом и Ниренбергом, обладают одним существенным недостатком: они неинвариантны относительно линейных невырожденных

преобразований зависимых переменных и^{х) (т. е. относительно замены и = Ву с с1е1 В ф 0 в (3). Указанная операция переводит эллиптическую систему в систему, которая, вообще говоря, не является эллиптической ни в каком из указанных смыслов. В связи с этим А. Даглис и Л. Ниренберг делают замечание, что "систему, собственно говоря, следует называть эллиптической, если после определенных невырожденных преобразований уравнений и зависимых переменных она становится эллиптической в указанном выше смысле".

Отметим, что при композиции систем эллиптических по Дагли-су-Ниренбергу также можно получить систему, не принадлежащую этому классу.

В дальнейшем системы класса Дуглиса-Ниренберга мы будем называть еще (й, ¿)-эллиптическими, а класса Петровского — (0, эллиптическими.

С появлением теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) понятие (я, ¿)-эллиптичности было перенесено на системы ПДУ и доказана следующая

Теорема 1. Условие (б, -эллиптичности необходимо и достаточно для нетеровой разрешимости (I х Г)-матричного оператора А (на компактном многообразии X без края) в пространствах

А : Нк+ь{Х) —* нк-3(х), к еМ, (6)

где, скажем, Нк+ь(Х) есть прямое произведение пространств Соболева Нк^(Х).

(см. Л. Хермандер [1] (1966), а также А. С. Дынин [1], Р. Сили [1] и М. С. Агранович [1] (1965), где имеется обзор предшествующих работ)

Аналитичность решений эллиптических псевдодифференциальных уравнений и систем доказана в работах Кре и Буте дэ Монве-ля [1] (1967) и Л. Р. Волевича [5] (1971).

Этим работам предшествовали труды многих авторов, посвященные проблеме нетеровой разрешимости в различных функциональных пространствах систем одномерных и многомерных сингулярных интегральных уравнений нормального типа (эллиптическим в терминологии ПДО) (см. монографии Н. И. Мусхелишвили [1],

И. Н. Векуа [1],Н. П. Векуа [1], Ф. М. Гахова, С. Г. Михлина [1], С. Г. Михлина и 3. Пресдорфа [1]). Эти исследования имеют длинную историю, связанную, в частности, с изучением краевых задач для эллиптических уравнений с частными производными и с приложениями.

Условия нормальности одномерного сингулярного интегрального уравнения найдены Ф. Нетером [1] в 1921 г. Им же были установлены общие свойства сингулярных интегральных уравнений, известные теперь как теоремы Нетера. Теория систем одномерных сингулярных уравнений нормального типа (на основе свойств интеграла типа Коши) построена в начале 40-х годов в работах Н. И. Мусхе-лишвили и Н. П. Векуа. Что касается теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, то ее становление началось в середине 30-х годов с работ Ж. Жиро [1,2] и С. Г. Михлина (см. его книгу [1]), который ввел в 1936 году фундаментальное понятие символа сингулярного интегрального оператора. Тем самым был выделен класс эллиптических сингулярных интегральных уравнений и систем. В работах С. Г. Михлина [1], А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [1,2], И. И. Гохберга [1], Р. Сили [1] было доказано, что условие эллиптичности сингулярного интегрального оператора необходимо и достаточно для его нетеровой разрешимости в пространствах 1>2р0 (важный случай общего утверждения 1, который мы отметили). Указанные работы сыграли существенную роль в становлении теории эллиптических систем псевдодифференциальных уравнений.

Отметим, что в первых работах автора [1,2,4,5,6] при исследовании влияния младших членов эллиптической системы дифференциальных уравнений на плоскости на разрешимость ее задачи Дирихле возникли системы одномерных сингулярных интегральных уравнений на границе области, не принадлежащие к нормальному типу (но обобщенно эллиптические в нынешней терминологии). Эти системы удалось редуцировать к эквивалентным системам СИ уравнений нормального типа и доказать для них аналоги теорем Нетера. В работах [3,18,20,24] автор развивал теорию одномерных сингулярных интегро-дифференциальных операторов, которая аналогична теории обобщенно эллиптических ПДО, но основана на свойствах интеграла типа Коши. Эти работы сыграли свою роль при выделении класса обобщенно эллиптических операторов и в

определении их свойств.

Приведем определение (s, ¿)-эллиптичности системы классических псевдодифференциальных уравнений на гладком многообразии. Для скалярного классического псевдодифференциального оператора a(x,D) порядка m (из класса 1т(Х)) также как для дифференциального, определяются полный и главный символы сг(а) и сгт(а). В случае системы псевдодифференциальных уравнений

Au = /, (7)

где А = |i4j¿(a;,.D)|| — матрица псевдодифференциальных операторов Aij порядков не выше также как и раньше, определяется пара допустимых целочисленных векторов s и t, удовлетворяющих неравенствам (3): m¿j ^ s¿+tj. По каждой такой паре определяется (s, ¿)-главный символ системы

v(sMA) = IK+ti(4<¿)||> (8)

причем dSi+tj(Aij) = 0, если m¿¿ < + tj.

Система (7) называется (s, £)-эллиптической на X, если матрица (8) невырождена всюду на кокасательном расслоении многообразия X без нулевого сечения (которое мы обозначаем через Т'(Х)), то есть если

тщам(А)(х,0 = 1 V(®,£) G Т'(Х). (9)

Это определение легко переносится на переопределенные системы с матрицей А, имеющей li строк и ¿2 < h столбцов. Условие (8) заменяется требованием, чтобы ранг матрицы cr(e>t)(A) равнялся Ь всюду на Т'(Х) (см., например, JI. Хермандер [1]).

Пусть А = (1-А)1/2, где Д — скалярный оператор Лапласа на X. Оператор А имеет первый порядок и эллиптичен, так как его главный символ cri (А) = |£| (в соответствующей римановой метрике на X). Используя оператор А и его целочисленные степени, сформулируем условие (s, ^-эллиптичности в другой более наглядной форме. Целочисленному вектору s = (si,..., s¿) сопоставим (l х I) — матричный диагональный оператор Js, у которого по главной диагонали стоят операторы ASi,i = 1,...,/, а остальные элементы равны нулю.

Любой (I х I)-матричный псевдодифференциальный оператор А порядка не выше (я,£) (из класса Ь^'^(Х) ) представим в виде

Л = (10)

где

А0 = = ЦЛ-^Л-уА"^ || (11)

— оператор не выше нулевого порядка, а порядок Т равен минус бесконечности (то есть его полный символ сг(Т) = 0 в Т'(Х)).

Оператор А является (з, ¿)-эллиптическим тогда и только тогда, когда оператор А0 нулевого порядка (11) эллиптичен.

Теперь мы перейдем к определению обобщенной эллиптичности системы псевдодифференциальных уравнений (6) на компактном многообразии X без края. Это определение задает ограничения как на главный символ, так и на некоторое число последующих членов полного символа сист�