Асимптотика спектра вариационных задач на решениях вырождающихся эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ 0. Предварительные сведения и обозначения

§ I. Весовые пространства Соболева. Уравнение связи.

Теоремы вложения.

§ 2. Псевдодифференциальные формы и ПДО.

§ 3. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая невырожденная связь

§ 4. Вспомогательные сведения из теории операторов в гильбертовом пространстве

§ 5. Формулировки и доказательства основных теорем.

Модельный случай.

§ 6. Формулировки основных теорем. Общий случай

§ 7. Формулировки основных теорем. Задача с вырождающейся связью.

§ 8. Регулярность решений эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на границе области. Доказательство теоремы 7.

§ 9. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая вырождающаяся связь. Доказательство теоремы 7.

I, Диссертация посвящена задачам об асимптотике спектра одного класса операторов в гильбертовом пространстве. Характерной особенностью рассматриваемых задач является то, что это гильбертово пространство Н0 представляет собой подпространство более широкого пространства Н и выделяется условием типа Н0= кея, где ^ - некоторый (вообще говоря, неограниченный) оператор в Н , ООО1'ип Н0 = + оо Сам оператор, спектр которого исследуется, задается в вариационной постановке, т.е. с помощью отношения двух квадратичных форм

Вм/А[и]деН0, (I)

Точнее, речь идет об операторе Т в Н0 , таком, что АСТи.Л , Уи,(ГеН0.

Здесь предполагается, что форма А положительна на Н0 ; сами формы А , В могут быть заданы на всем Н . Более конкретно: форма А имеет вид

А = кш , о» где

АдШ = \р%) (3)

О. иЮ^Ав(00) , (4) д£1 Ц1+1 <Ь2\*2р1

Числа р и - целые, 2 б > - \ , О. - ограниченная область в ит+4 , дПеС°°} ЦеП, Х&дП, координаты в окрестности дП , р - регуляризованное расстояние до д-О , интегрирование в (4) ведется по площади поверхности дО

Форма В имеет сходный вид с тем отличием, что числа р , р1 , 5 заменяются соответственно на ¿¡, , ^ , <э . Коэффициенты в интегралах, выражающих Вп » В^ обозначим

Ьа л , Ь. п . Далее, во введении, для упрощения

Л Р^ У2 * формулировок предполагается, что 2(р-о)2 Рр^Н, .

В качестве Н рассматривается, естественным образом связанное^ формой А , весовое пространство Соболева » - Н^' (Д) » подпространство Н0= Н^' (П., Ь) выделяется "уравнением связи"

Ьи= 0 , (5) где Ь - эллиптический дифференциальный оператор в Л или вырождающийся оператор дивергентного вида

Здесь 0<сС < 1 , ^ = , ^ - гладкие в

П вещественные функции;

2. Если задачу о спектре отношения (I) рассматривать на всем соболевском пространстве, то ей соответствует задача о спектре некоторой граничной задачи для дифференциального уравнения = в -О (см. [26], [31]).

Если на функции сравнения накладывается связь типа 1,11 = О (эллиптически полная связь), то задача сводится к нахождению асимптотики спектра псевдодифференциального оператора (ПДО) на д£1 • При этом связь со спектральной задачей для дифференциального уравнения в £1 теряется. К задачам с эллиптически полной связью сводится, например, задача о нахождении асимптотики спектра оператора А - А0 , где операторы 1 и 10 суть операторы однородных задач Дирихле и Неймана для дифференциального оператора . (Более подробно см. пример 3 в [б], пример в [21]).

Промежуточной является ситуация, в которой подпространство Н 0 пространства Н определяется неполной системой связей. Известным примером, в котором возникает неполная система связей является задача о нахождении асимптотики спектра отношения I VUl ] Ш

1 Л на вектор-функциях ие Н (I)) , и = (1Ц , Щ , Щ) , удовлетворяющих условию ¿М5 И= 0 ~ задача Стокса. Такие задачи изучались в [I], Ц2], [43], [44]. Для них характерно то, что асимптотика спектра имеет тот же порядок, что и при отсутствии связей; изменяется только асимптотический коэффициент.

3. Задача о спектре отношения квадратичных форм при наличии полной системы эллиптических связей подробно исследована М.Ш. Бирманом и М.З.Соломяком (ВО - [7]). Ими разработана техника, позволяющая сводить задачу на границу, получены явные формулы главных символов тех ЦЦО на границе, которые при этом возникают; на этой основе найдены формулы асимптотики спектра. В вышеупомянутых работах рассматривалась ситуация, в которой как формы А и В , так и связь = О не содержат вырождения.

Целью диссертации является распространение результатов работ М.Ш.Бирмана и М.З.Соломяка на вырождающийся случай.1 Рассматриваются два типа задач. В обоих случаях предполагается, что квадратичные формы А^ и В^ могут вырождаться на ЭО (т.е., например, Ьф 0 в (3)]. В первом случае эллиптическое уравнение связи невырождено, во втором - оператор Ь , задающий связь, является вырождающимся эллиптическим оператором дивергентного типа. Эти задачи неодинаковы по трудности. Первая из них решается фактически в рамках схемы работ [5] - [7]. Основную трудность здесь представляет изучение неко^сршх свойств "граничного оператора" для случая р < 5 . Более сложной является вторая задача. Это обусловлено недостаточностью имеющихся в литературе результатов о регулярности решений первой краевой задачи для операторов вида (6).

Хотя задачам с вырождением эллиптичности посвящено много работ ([4], [13], [15], [17], [29], [37] - [41]), априорные оценки старших производных для уравнений, порождаемых операторами вида (6) были получены лишь в случае натурального порядка вырождения об . Операторы с нецелым порядком вырождения подробно исследовались П.И.Лизоркиным и С.М.Никольским [23], [24], и А.И.Паролем [18].

Результаты работ [23], [24] для нас недостаточны, поскольку в них весовой класс, которому принадлежит решение уравнения 1,11=1 с оператором вида (6), жестко связан с порядком вырождения. Мы опираемся на работу А.И.Кароля, в которой для исследования оператора (6) были введены специальные весовые классы. На основе развитой в [18] техники автор исследовал вопрос о повышении гладкости решений. Отметим, что сам этот вопрос для операторов с нецелым порядком вырождения существенно сложнее, чем для операторов без вырождения (а также с вырождением целого порядка). Дело здесь в том, что уже решения однородного уравнения имеют на границе особенности, и любые теоремы о повышении гладкости обязаны учитывать их характер.

Оба типа задач различаются не только степенью трудности, но и характером результатов: порядок вырождения квадратичных форм АЛ и непосредственно отражается на порядке асимптотики спектра задачи, в то время как вырождение оператора связи на асимптотику не влияет, но ограничивает шкалу пространств, на которых может быть поставлена задача.

Основные результаты диссертации изложены в параграфах 1-9. Им предпослан нулевой параграф, в котором собраны основные обозначения и некоторые предварительные сведения, используемые . на протяжении всей работы. В § I проведено изучение свойств оператора Ь и связанного с ним пространства Н (.0,10. Пусть Ь - правильно эллиптический оператор порядка Я1 Известно (см., например, [3], [25], [27]), что для Н~в> > 1-Уя имеют место теорема о следах и теорема о продолжении для пространств Н ' (Л) или И (£>) с одной стороны и пространства НН в ^(Э.0) 0 другой. Для случая И - в < Ь ~У% (исключая дискретное множество значений П~0 ) подобные соотношения установлены для пространств Н П 6(О., Ю и Н (д-О) . (см. [25], [28]). В диссертации аналогичуь в ные результаты получены для пространств Н (Г), Ь) . В § 3 и § 9 проведено сведение квадратичных форм вида А и В на границу для задач с невырожденной и вырождающейся связью соответственно. Доказано, что при наличии эллиптической связи формы, задаваемые интегралами по границе, в главных членах совпадают с формами некоторых ИДО на ЭИ . Ашарат, используемый в § 3 и § 9 разработан в § 2. Главное отличие от соответствующих результатов работы [5] заключается в том, что допуская вырождения мы должны учитывать пространства Соболева в XI с дробными показателями, в то время как в [5] фактически достаточно рассматривать пространства с целыми показателями. Основные результаты работы, т.е. теорема об асимптотике спектра отношения форм В/А' , а также теорема, указывающая алгебраическое условие положительности формы А , сформулированы и доказываются в§5-§7.В§5 рассматривается "модельная" ситуация: формы А и В заданы интегралами по области, уравнение связи, определяемое правильно эллиптическим скалярным дифференциальным оператором, имеет тривиальное ядро. Обобщению задач, решаемых в § 5, посвящен параграф 6. Формы А и В представляются линейной комбинацией интегралов по области и его границе, причем в форме А (так же для В ) старшей может быть как форма А^ , так и , а также они могут быть равноправны. Уравнение связи задается эллиптическим оператором (системой), от требования правильной эллиптичности можно отказаться. Здесь изложение носит обзорный характер. В § 7 сформулированы результаты задачи с вырождающейся связью. Здесь же анонсируется основная для этого случая теорема о гладкости решений первой краевой задачи для вырождающегося на Ъ£1 эллиптического оператора второго порядка, доказательству которой посвящен § 8.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В формулировках будут фигурировать: конечномерное пространство - пространство убывающих при 1;->+оо решений уравнения на

LeCa.I,ä)t)f(t) = 0, хедП ,?eT*(9D)\{0} (7) порождаемого главным символом оператора L » определенная на F (X, I) квадратичная форма где с

25 dq d2 а [J> L ,(а) t (! +&) > а^Ш-1 ^öja+av'icttii-ä^Jct)! I, если p-£>= p4+ % , P-l "" I 0, если р-б=»р,) + 1/2 индуцированная формой А ; а также квадратичная форма ^ получаемая аналогичным образом из ß . Форма А считается "старшей", это требование выражается условием

Ц „ эг = (p-6)-(q,-6)>0 . (9)

00

Также предполагаем, что множество {tieС (Л)'* LU/-Of - тривиально.

Первая задача. (Уравнение связи порождается эллиптическим оператором порядка 21 ). б

Первый результат касается пространства Н ' (-Q,L) и не связан с формами A.B.

7 rV,D

ТЕОРЕМА I. Для любой функции Ue Н (jQ,L) при

- 10

H€iZ+ и ®>~У2 таких, что tV-0-4-% выполнено соотношение

IItiII

ТЕОРЕМА 2. Пусть для любого 11G Н ' (12, L) выполнено условие

А ад * 1Ы1р g. ао)

Тогда при всех & е ЪО. , f е Тж (ÜQ)\{ 0} а ЛП>0, VfeF(x,5) , (И)

Обратно, если выполнено условие (II), то (10) имеет место на некотором подпространстве конечной коразмерности в п (.Í2,

L).

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнено условие (10). Тогда при

Анн-о имеет место асимптотическое равенство:

N±(AK<2rt) J í n±(h-,x,l)ál¿x = дП !еТх(Ю)

-Щ, -vygg . Г (2Jt) X J J dídx. дП 5еТ*(Э£0

Здесь Н+(Х; X ,1) - функция распределения положительных и отрицательных собственных чисел конечномерной задачи о спектре отношения Ь Г|3 , Iе N(A) - функция распределения собственных чисел отношения (I).

Вторая задача. (Уравнение связи задается оператором описываемым формулой (6)).

ТЕОРЕМ 4. Оператор

2,ги о,ъ я-<ь-г-у2

0>Н (Ю) является оператором с индексом, если

У2 <2-1-4 . (12)

Из (9) и (12) вытекает ограничение которое ниже считается выполненным. Теоремы 2, 3 в целом переносятся на рассматриваемый случай. Б формулировках возникают некоторые упрощения ввиду того, что уравнение связи имеет второй порядок и поэтому Аллп р (X, §)= \ .

В качестве координатной оси выбирается направление конорма-ли для оператора Ь . В этом случае уравнение (7) имеет вид

Тогда пространство р(3&,§) порождается функцией (Ы)/2 Кк^м и

К^^у^а) } К^ - функция Макдональда.

ТЕОРЕМА 5. (Аналог теоремы 2),

Р б

Пусть для любого Н ' (0,1*) выполнено условие кш * Ш $ , (13)

Тогда при всех X С дО , 1с Т^ а(х, %)> о • см)

Обратно, если выполнено условие (14), то (13) имеет место на некотором подпространстве конечной коразмерности в Н '

Здесь а(ГЕ,1) , и ниже Ь(Х,Ъ) - значения форм О, ,

О К

Ьх ^ вида (8) на функции | (и) .

ТЕОРЕМА 6. (Аналог теоремы 3).

Пусть выполнено условие (13). Тогда при А —> + 0 имеет место асимптотическое равенство

-т ГГ., до. 2ае

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [20] - [22], докладывались на семинаре в Ленинградском государственном университете, на конференциях в Киргизском государственном университете и Фрунзенском политехническом институте.

1. Алексеев А.Б., Бирман M.1.I. Асимптотика спектра эллиптических граничных задач с разрешимыми связами. - ДАН СССР, 1976, 230, Jfc 3, 505-507.

2. Алексеев А.Б., Бирман М.Ш. Вариационная постановка задачи о колебаниях резонатора, заполненного анизотропной слоистой средой. Вестник ЛГУ, 1977, № 7, 9-15.

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, "Наукова думка", 1965, 798 с.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Кудрявцев Л.Д., Лизоркин П.И., Никольский С.М. Теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных. В кн.: Дифференциальные уравненияв частных производных. М., "Наука", 1970, 1-252.

5. Бирман rf.in., Соломяк М.З. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических уравнений. Сиб. мат. ж., 1979, 20, № I, 3-22.

6. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Об асимптотике спектра вариационных задач на решениях эллиптических уравнений. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды конференции по дифф. ур-ям и выч. мат-ке. Новосибирск, 1980, 221-224.

7. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических систем. Зап.научн.сем. ЛОМИ АН СССР, 1982, 115, 23-39.

8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории. В кн.: Десятая математическая жола. Киев, 1974, 5-189.

9. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. Итоги науки и техники. Сер. Матем.анализ. 14, М., ВИНИТИ, 1977, 5-58.

10. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. -I. Тр.Моск.мат. об.-ва, 1972, 3-52.

11. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л., изд-во ЛГУ, 1979, 264 с.

12. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропно-однородными символами. Вестник ЛГУ, 1977, № 13, 13-21.

13. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Мат.сборник, 1969, 80, £ 4, 455-491.

14. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., И.Ф.-М.Л., 1963, 340 с.

15. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж, 1972, 193 с.

16. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений. Мат.сборник, 1977, 102, Л I, 124-150.

17. Грушин В.В., Савсан М.А. Гладкость решений краевых задач некоторого класса эллиптических уравнений произвольного порядка, вырождающихся на границе области. Вестник Моск.ун-та, 1975, № 5, 33-41.

18. Кароль А.И. 0 регулярности решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка. В кн.: Проблемы мат.анализа. 8. Л., 1981, 48-62.

19. Кузьмин P.O. Бесселевы функции. М.-Л., ОНТИ, 1935, 244 с.

20. Кыдыралиев С.К. Об асимптотике спектра вырождающихся вариационных задач с эллиптической связью. Тезисы докл. конф. по распространению упругих и упругопластических волн. I. Фрунзе, 1983, 22-24.

21. Кыдыралиев С.К. Об асимптотике спектра вариационных задач с вырождающейся эллиптической связью. Вестник ЛГУ, 1983, № 19, 94-97.

22. Кыдыралиев С.К. О гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений. Деп. в ВИНИТИ, № 4691-83, от 26.08.83, 10 с.

23. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод. -Труды МИАН СССР, 1981, 157, 90-118.

24. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью. Труды МИАН СССР, 1983, 161, 157-183.

25. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., "Мир", 1971, 372 с.

26. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М., "Наука", 1970, 512 с.

27. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., "Наука", 1977, 456с.

28. Ройтберг Я.А. О существовании предельных значений обобщенных решений эллиптических уравнений на границе области. -Сиб.мат.ж., 1979, 20, № 2, 386-396.

29. Слободецкий Л.Н., Соломещ И.А. О первой краевой задаче для некоторых вырождающихся эллиптических уравнений. Известия ВУЗов, Математика, 1961, № 3, II6-I26.

30. Соломяк М.З. О линейных эллиптических системах первого порядка. ДАН СССР, 1963, 150, В I, 48-51.

31. Тащиян Г.М. Классическая формула асимптотики спектра эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. -Мат. заметки, 1981, 30, JI 6 , 871-880.

32. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М., "Мир", 1980, 664 с.

33. Фохт А.С. Весовые теоремы вложения и оценки решений уравнений эллиптического типа. Дифференц.уравнения, 1982, 18,8, 1440-1449.

34. Фохт А.С. Некоторые неравенства для решений уравнений эллиптического типа и их производных вблизи границы области в метрике ¿^ . Труды МИАН СССР, 1969, 105, 230-242.

35. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М., ИЛ, 1948, 456 с.

36. Bolley P., Camus J. Régularité pour une classe de problèmes aux limites elliptiques dégénérés variationnels. C.R.Acad. Sci. Paris, 1974, v.279, ser.A, 651-653.

37. Bolley P., Camus J. Rédularité pour une classe de problèmes aux limites elliptiques dégénérés variationnels. C.R.Acad. Sci.Paris, 1976, v.282, ser.A, 45-4-7.

38. Lax P.D., ïïirenberg L. On stability for difference schemes, a sharp form of Garding inequality. Communs Pure and Appl. Math., 1966, 19, N 4, 473-492.

39. Métivier G. Valeurs propres de systèmes aux limites elliptiques définis .sur des sous-espaces. C.R.Acad.sci.Paris, 1976, 282, H 24, 1421-1423.

40. Métivier G. Valeurs propres d'opérateurs définis par la restriction de systèmes variationelles a des sous-espaces. J. Math.pures et appl., 1978, 57, N 2, 133-156.