Вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ВИХРЕВА Ольга Анатольевна

Вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 9 АПР 2009

Якутск - 2009

003466424

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Егоров Иван Егорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хлуднев Александр Михайлович, Институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск

доктор физико-математических паук, доцент Подгаев Александр Григорьевич, Тихоокеанский государственный университет, г. Хабаровск

Ведущая организация: Институт математики имени СЛ. Соболева

СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «30» апреля 2009 года в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при Якутском государственном университете имени М.К. Аммосова по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан « » марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В работах Лаврентьева М.А., Келдыша М.В., Векуа И.Н., Христиановича С.А., Чаплыгина С.А., Гудерлея Л.Г. и др. была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений привлекают внимание многих авторов.

Интерес к изучению граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вновь заметно возрос после появления работ Г. Фикера и О.А. Олейник. Фундаментальные результаты в этом направлении, как известно, принадлежат М.В. Келдышу. Полученные им результаты затем развивались и обобщались в работах OA. Олейник, Н.Д. Введенской, A.M. Ильина и др.

Изучение обобщенных решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка началось с работ С .Г. Михлина и М.И. Вишика. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М.И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго и более высокого порядка.

Довольно много работ и монографий посвящено разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, но не достаточно изучено поведение весов на различных частях границы области. Поэтому отметим последние исследования.

В работах Егорова И.В. и Тихонова Н.А в области Q, ограниченной в R" п (0 < х„ < а) границей Г, часть Г0 которой лежит в гиперплоскости хп = 0, а остальная часть 1\ - в полупространстве х„>0, рассматривается

эллиптическое уравнение £

ciXj

где (х) = aJf (х) - непрерывные функции в Q. Предполагается, что в уравнении (1) коэффициенты au,fc\ непрерывно дифференцируемы в Q* =Qn(xn >S), где S - любое положительное число, а функция с(х) непрерывна в О*. Считается выполненным условие

>0, VxeQn(xn>0), V<f€RnH|#|2>0.

1.J-1

Также выполняются неравенства

i.i=1

°2?'(Xn ) - amM ^ C240(xn),

n Д Lu = Y —

f * П Л J

+ XMx)-^-+c(x)u=f(x), (1)

U Sx,

где <p(t) - непрерывная положительная функция при 0< t < а, /р(0) = 0.

При таких предположениях эллиптическое уравнение (1) вырождается на Г0, поэтому краевые условия на Г0 ставятся в зависимости от сходимости

а ^

интеграла f— и младшего коэффициента b . Рассматриваются первая и >(t)

третья краевые задачи для данного уравнения с произвольным вырождением. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений краевых задач, и изучены спектральные свойства оператора первой краевой задачи, которые обобщают известные результаты для вырождения степенного характера.

Цель работы. Исследовать краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, вырождающихся с различной скоростью на разных частях границы области. Доказать существование и единственность обобщенных решений поставленных задач.

Методы исследования. Основными методами исследования являются: метод, основанный на теории вложения весовых функциональных пространств, и модифицированный метод Вишика. А также используются теорема о сжимающих отображениях и вариационный метод.

Научная новшна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Вводится определение одного класса весовых пространств C.JI. Соболева. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве в кубе. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи К для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.

2) Доказана обобщенная разрешимость первой краевой задачи для двух классов эллиптических уравнений, вырождающихся на различных частях границы с разными «скоростями» вырождения. При этом в первом случае доказана теорема вложения соответствующего весового пространства в L2[7(Q). Кроме того, доказана однозначная обобщенная разрешимость третьей краевой задачи для второго из указанных классов уравнений.

3) Доказана обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. При этом доказана теорема о компактности вложения соответствующего весового пространства в L2(Q).

4) С помощью теоремы о сжимающих отображениях и вариационного метода доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения.

Теоретическая н практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для уравнений смешанного типа, возникающих при решении

многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль такие уравнения играют в газовой динамике.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора И.Е. Егорова «Дифференциальные уравнения с частными производными» (НИИ математики при ЯГУ, г. Якутск), на семинаре профессора А.И. Кожанова «Неклассические уравнения математической физики» (ИМ СО РАН, г. Новосибирск), а также доложены на различных конференциях: Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка» (2004, 2005, 2006); Лаврентьевские чтения Республики Саха (Якутия) (2002, 2005); IV и V Международные конференции по математическому моделированию (2004, 2007); Республиканская научно - практическая конференция «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (2003); Всероссийская конференция «Космо - и геофизические явления и их математические модели» (2002). Работа поддержана грантом №8425 Ведомственной научной программы Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы» на 2005 год и грантом 2006-РИ-19.0/001/711 научной программы «Проведение научных исследований молодыми учеными» Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 65 страниц. Список литературы содержит 52 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность темы, сформулированы цели исследования, приводится содержание работы, а также дан краткий обзор использованной литературы.

Первая глава носит вспомогательный характер.

В этой главе дается определение одного класса весовых пространств С.Л. Соболева. Приведены теоремы вложения и компактности весовых пространств, ранее доказанные И.Е. Егоровым. А также доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе £2 = (0,а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.

Пусть О - куб со стороной а>0: О = (0,а)". Обозначим через

\Л/=\Л/'(0,/?,у) замыкание множества С0" {О) по норме

«р

dx

а через Ке = {хе0:0<хп <£} - приграничную полосу ширины <5>0. Здесь 1 < р < +оо, а весовые функции р, V удовлетворяют условию р б С(й), 6 1_р (О), р(х) > 0, Ух е О \ {х„ = О},

v s L'"(Q), Эс, 8 > 0: р(х) < cv(x), Vx е Кг.

В качестве W=Wp1(Q,p,v) примем

С" W = |u(x): u(x) е С"(LI), u(x) обращается в нуль вблизи Г* и ||u[|w < со

II-L

(2)

замыкание по норме

> гДе Г+ = {;х',х„):(х/,хп)бс?а\Г0), Г0 = Оп {*„ = 0}. Теорема 1. Если О - куб со стороной а". О = (0,а)п, и выполняется

условие (2), то для равенства \Л/ =\Л/ необходимо и достаточно выполнения условия ||р"р' +ур|| = со, где Ь - любой шар с центром в точках Г0.

11усть выполняются условия

акт(х) = аггк(х). к,т = 1,п,хеО,

с,

(3)

С^О.С^О.УсГеРГ Рассмотрим квадратичную форму

q(u,g)=i ]Г а^х)^—^- + v2(x)ug их, u,geC"(Q),

Q\k,m=i axm

которая определяет норму, эквивалентную норме при v>1. Через

и \.Е обозначим положительные самосопряженные операторы, порожденные

формой я на гильбертовых пространствах ЩС2,р, 1) и ЩП.р, 1) соответственно.

Теорема 2. Пусть выполняются условие (2), (3), (4) и у>1 в О. Тогда равенство 10 = 1_Е справедливо, если и только если

||р"2+У2|| =<» II Нц(Ог-Ь)

для любого шара Ь с центром на Г0.

Основной вопрос, который мы исследуем во второй главе - это однозначная обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения

1-й = ¿(^(1) + ¿¿-(а, (Х)и )+ а(хД) ^ + с(х, 1)и = f(xЛl (хД) е О = О х (0, а), (5) где функция <р(\) удовлетворяет условиям:

^)>0 - непрерывная функция при 0^<а, р{0) = 0\ а,,- вещественные измеримые в 5с функции (¡, ] =1,...,п), удовлетворяющие условию симметричности: ац(х) = ал(х), а с(хД) непрерывна в О , и а(хД) непрерывна в для 48 >0.

Предполагается, что выполнено неравенство

где реС(С!), р(х) >0 УхеО. Положим

I =Г-1-сЛ.

Введем вспомогательную функцию

И, К», о <р

<Р

При I = оо будем считать, что выполнено условие а > -С^ '^гХЭ^р, <?, > 0 вблизи П0. (6)

Пусть Н^О)- замыкание класса С„(0) по норме

МП, - [

а

^2 + 2>/и>А

¡.¡и

сЮ.

Для и е 1-1,(0) и и е \Л/21 (О) рассмотрим билинейную форму

В(и,и)=[

сю.

Определенно 1. Функция ие 4,(0) называется обобщенным решением первой краевой задачи для уравнения (5), если выполнено тождество

ДЛЯ любой Функции и б Н, = (о: и е Н „ обращается в нуль вблизи О0}.

Теорема 3. Пусть коэффициент а при I = <ю удовлетворяет неравенству

(6), а при I <оо

а > -С25~1(1) вблизи О0 и 1о"2|| <«>,

4 0 1Г Иц(Пг-Ь)

для любого шара Ь с центром на сО. Если

1

с(хД)--а, <0, (хД)е(2,

а( = О (а) вблизи П0, то первая краевая задача для уравнения (5) имеет единственное обобщенное решение для любой функции f е 12о_,(0), где весовая функция гт(хД) положительна в О и ег(хД) = О^/Г1^^2^)) вблизи П0.

Также доказана теорема о существовании и единственности

обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения

ы=К^Иг )+¿¿^(х)и^ (х)ё"+а(хД)1г+с(х,*)и=f (хД (х,1)е (7)

где функции ч/{\) удовлетворяют условиям:

ср(\.) > 0, ч/(<1) >0 - непрерывные функции при I > 0, <р{0) = у/(0) = 0; ау -

вещественные измеримые в О функции (¡,.¡=1......п), удовлетворяющие

условию симметричности: ац (х) = а^ (х). 11ри этом область й совпадает с областью, в которой рассматривается уравнение (1). Предположим, что выполнены неравенства

¡•1=1 (о)

с2р(хп)<ат(х)<С2<р(хп), хвО. Для доказательства существования обобщенных решений используется модифицированный метод В шпика, а для доказательства единственности обобщенного решения также используется схема М.И. Вишика. Положим

I = ? —А, д.

Введем вспомогательные функции

<00,

о V ! V

ад-

К .<«,

о <Р

Щ. .-«о.

<Р

При I = оо будем считать, что вблизи О0 выполнено условие а>-С2^1(1)|1п(5,(1))рг1,е1>0. (9)

При А =оо будем считать, что вблизи Б0 = Г0х(0,7') выполнено условие Ьп >-С252"1(хп)[1п(32(хп))рг,е2 >0. (10)

Пусть Н,(О)-замыкание класса С™(О) по норме

Ни», = \

+ Ра-

¡.1-1

Для и е Н,(0) п и е\Л/2'((Э) рассмотрим билинейную форму

В(и,«)=[

.и

Определение 2. Функция и е Н,(0) называется обобщенным решением первой краевой задачи для уравнения (7), если выполнено тождество

для любой функции иен, ={и:ие Н,, обращается в нуль вблизи Эд и I = 0}. Теорема 4. Пусть коэффициенты а, Ь„ при I = оо и Л = со удовлетворяют

неравенствам (9), (10), а при 3 < со в некоторой окрестности 1 = 0

а>-С23,-1(1),

И при I < 00 вблизи Г0

Ьп(х)>- С^х»),

Если

сМ-^-^Ьц <0, (х,1)6<3,

то первая краевая задача для уравнения (7) имеет единственное обобщенное решение для любой функции feLZг^(Q), где весовая функция о-(хД)

положительна в О и

вблизи 1 = 0 или СТХ' 0(«9-1(хп)^2(хп)) вблизи %

В третьей главе сначала изучается третья краевая задача для эллиптического уравнения (7). Доказывается существование и единственность её обобщенного решения.

При выполнении условий (8) эллиптическое уравнение (7) вырождается на части боковой поверхности и на основаниях цилиндрической области (вырождается по двум направлениям).

Краевая задача. Найти решение уравнения (7) в области О, такое, что

^-+Аи1 =д, и|- = 0, (11)

дп

где 3, = Эц и 8, при I < оо, Б, = при I = оо, О = О0 ^ От при и < ®, а = ат при Л = оэ, а п = (п,,...,^)- единичный вектор внешней нормали к Б,,

5и Л

— = > а. .и., п, , дп х' 1 '

А(х,{) - непрерывная функция на замыкании §,.

Пусть Н,(0) - замьнсание класса функций из С10 (О), равных нулю вблизи О0 и £2Т, по норме

К- - [

^12 + Еаии^их] +Г(Х)и2

¿0,

где у{х) > 0 - непрерьшная функция, отличная от нуля в некоторой окрестности внутренней точки х1 6 О.

Для и е Н,(0) и и е\Л4'(0) рассмотрим билинейную форму

В(и ,„) = [

и=1 ' 1=1 ¡=1 I М §

где (и,и)|- = .

Определение 3. Функция и е Н,(0) назьшается обобщенньм решением краевой задачи (7), (11), если выполнено тождество

вси.и^а.уЫд,^

для любой функции

и е Н, ={и : ие Н,, обращается в нуль вблизи Б0 при I = оо иО0 при J = со).

Теорема 5. Пусть выполнены неравенства (8), (9), (10) и

с(х) = О(ст), = 0(<т) при I < да , а, =О(сг0) при ,1<оо,

¡и

с(х,*) = с(х)-1а,-1£ь|Х( + у< О, 2 2 | = 1

1 Л

2|й

I - А(в) < 0 на в!

где <т(х)>0 для х„ >О, ст0(1)>0 для 1>0 и

ст(х) = [0(9>-1(хп)52-1(хп)|1п(82(хп))|-1-£°) вблизи Г о при \<со,е0>0

[ 0(^-1(хп)322(Хп)) вблизи Гц при I =оо,

сг0(1) = 0(уу2(1)) вблизи 1 = 0.

Тогда краевая задача (7), (11) может иметь не более одного обобщенного решения.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5. Тогда краевая задача (7), (11) имеет обобщенное решение при любых / еЦ^О) и д е Ц ,(§,),

где <т(х) > 0 в О

ст(х) = |0(^(хп)32-,(хп)|1п(32(хп))Г-) вблизи В0при 1<со,£0>0, [ 0(<р~1 (хп)3^2(х„)) вблизи §0 при I =00,

где /?(х) > О

[0(321(ХП))1 1=00, (рв2 < СО,

0(1), I <00.

Также в третьей главе доказана обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения (5).

Предположим, что выполнено неравенство

1' = согс*>0, (12)

При I = оо будем считать, что выполнено условие а > —С2Э-1 , е > 0 вблизи О0. (13)

Пусть Н, - замыкание множества комплекснозначных функций из класса С" (О), равное нулю вблизи I = 0 и Г, по норме

ИИГМ'+екгК

Краевая задача. Найти решение уравнения (5) в области О такое, что и|-=0, (ц-Мх)^ =0, (14)

Гопи.Г, при I <оо, _

где Г = ^ у и Г = Шх(0,д).

[ Г, при I = 00,

Теорема 7. Пусть выполнены условия (12) и Пт^ПЗ2^) = 0. Тогда ограниченное в Н,(0) множество компактно в 1-2(0).

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 4 и 1 1

I <оо, а2<с0(р, c--at<0, i»(T)//(x) + -a(x,T)<0. Тогда задача (5), (14) не

может иметь более одного обобщенного решения из H,(Q), и она

действительно разрешима в H,(Q) при любом f е L ., (Q), где <r(t)>0 при

t > 0 и <r(t) = 0(<р~1 (t)S J(t)) вблизи t = 0.

Теорема 9. Пусть выполнены неравенства (12), (13) и

lim^S2 =0, f e L _,(Q). Тогда для смешанной краевой задачи (5), (14) имеет

место альтернатива Фредгольма, а задача на собственные значения

Lu - Ли = 0, и|-=0, (ut-/flj)|QT =0

приводит к дискретному и конечномерному спектру.

В конце данной главы исследована задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения

+ I ^j(x,u,Vu)u )+a(x,t)^+c(x,t)u = f(x,t),(x,t)eQ (15)

где функция <р(t) удовлетворяет условиям: <?>(t)>0 - непрерывная функция при t>0, ср{0) = 0; Vu = (ux .....и^), аи- вещественные непрерывные в Q функции (i, j =1,...,п), удовлетворяющие условию симметричности: ay(x,u,Vu) = ajj(x,u,Vu) для и eC'0"(Q), a c(x,t) непрерывна в Q, и a(x,t) непрерывна в Q о {l > для V <5 > 0.

Пусть H^Q) - замыкание класса C*(Q) по норме

2

I д ( ^

¡нг

О ? П 2 ¡=1

Hi d

где р е C(Q), р(х) > О Vx е Q.

Предполагается, что выполнены неравенства

dQ,

vrai sup а.

vrai sup

xeQ

a,(x,ç>yç>)-aAx,ô,VS)

(x,çyç>)p-2{x)\<

<M

\p2Z to

Р2(х)

1,1=1

У<р,6 е Н,, где М —положительное число, не зависящее от <р, ■

При определенных условиях на коэффициенты уравнения с помощью теоремы о сжимающих отображениях и вариационного метода доказывается существование единственного обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (15).

Определение 4. Функция иеН,(0) называется обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (15), если выполнено интегральное тождество

I ац(х,и,Уфх ц. +аиц -(с-%)ии

.'■И

Мп2А.

а

Теорема 10. Пусть я = —— Ц^ <1 и пусть коэффициент а при I <оо

в некоторой окрестности 1 = 0 удовлетворяет условию

а>-С28-1(1) и ИММ)«»,

для любого шара Ь с центром на дО. Если

с(хД)-^а, <0, хеСЗ,

то для любой функции (е 1- _,(С!) существует единственное обобщенное

решение задачи Дирихле для уравнения (15).

Работы автора по теме диссертации

[1] Вихрева О А. Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева II Вестник СамГУ, 2007. Т. 56, №6. - С.194-202.

[2] Вихрева O.A. О весовом пространстве Соболева в кубе Q = (0,а)"П Сборник трудов аспирантов ЯГУ им. М.К. Аммосова / O.A. Вихрева // Под ред. В.Ю. Фридовского и др. - Якутск: Изд-во Якутского университета, 2004. - С. 29-34.

[3] Вихрева O.A. Краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева // Сборник трудов II Республиканской научно-практической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике». - Якутск: ЯГУ, 2003. - С. 113-118.

[4] Вихрева O.A. Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева И Тезисы докладов V Международной конференции по математическому моделированию. - Якутск, 2007. - С. 16-17.

[5J Вихрева O.A. Об одной краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева II Математические заметки ЯГУ, 2006. Т. 13, выпуск 1. - С. 58-67.

[6j Вихрева O.A., Егоров И.Е. Обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева // Сборник статей IX Лаврентьевских чтений, посвященных Международному году физики. Т.1.-Якутск: ГУ РОНПО, 2005. - С. 34-41.

[7] Вихрева O.A. О смешанной краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева // Тезисы докладов IV Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка». - Якутск, 2006. - С. 36-37.

[8] Вихрева O.A. Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева // Тезисы докладов IV Международной конференции по математическому моделированию. - Якутск, 2004. - С.11-13.

[9] Вихрева ОА. Задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения / O.A. Вихрева // Математические заметки ЯГУ, 2008. Т. 15, выпуск 1. - С. 39-44.

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ II СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

автореферат

ВПХРЕВА Ольга Анатольевна

Подписано в печать 18.03.2009 г. Формат 60 х 84/16 Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 3

Отпечатано в филиале издательства ЯГУ, Институт математики и информатики ЯГУ. Адрес: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112)496833

ВВЕДЕНИЕ

1. Некоторые весовые пространства С.Л. Соболева

§1.1 Теоремы вложения для одного класса весовых пространств

§1.2 О весовом пространстве Соболева в кубе.

§1.3 Об одном приложении весового пространства Соболева

2. Первая краевая задача для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка

§2.1 Теорема вложения и обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения

§2.2 Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для другого вырождающегося эллиптического уравнения.

3. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка

§3.1 Третья краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения.

§3.2 Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения

§3.3 Задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения.

Основным объектом изучения в работе являются вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства типа Соболева.

Имя Сергея Львовича Соболева (1908-1989) хорошо известно широкому кругу математиков как одного из создателей понятия обобщенных функций, глубоко изменившего облик современной математики. Связанные с его именем такие понятия, как обобщенное решение, обобщенная производная, теоремы вложения, пространства Wp \ стали общепринятыми. Теоремы вложения, сформулированные и доказанные C.JI. Соболевым еще в тридцатых годах прошлого столетия, оказались весьма полезным аппаратом функционального анализа и уравнений в частных производных.

В настоящее время классические разделы математики претерпевают значительные изменения под влиянием наплыва новых идей и методов, главным образом связанных с функциональным анализом. В первую очередь эти идеи коснулись теории дифференциальных уравнений: обыкновенных и в частных производных.

Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические системы уравнений первого порядка (см., например, работы A.B. Бицадзе, И.Н. Векуа, JI.C. Парасюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка, то к числу первых в этом направлении относится работа М.В. Келдыша (1951), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий, которые заменяются условием ограниченности решений. Позже A.B. Бицадзе в своей работе указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка является уравнение вида д2и ^ д2и ^ Jdu g (0 11) дх2 ду2 ду которое впервые было рассмотрено И.Л. Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позже P.C. Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.1.1) при тех же значениях а.

Отметим, что к вырождающимся эллиптическим уравнениям приводят прикладные задачи гидро - и газовой динамики, теории упругости, перенос нейтронов и другие процессы в физике и механике. Значительное количество примеров приведено в работе [20].

В данной работе дается определение одного класса весовых пространств C.JI. Соболева. Освещается вопрос о плотности множества финитных функций в данном весовом пространстве. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.

Центральное место занимает исследование первой, третьей и смешанной краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на различных частях границы цилиндрической области. Доказывается однозначная обобщенная разрешимость этих краевых задач в весовых пространствах C.JI. Соболева, также устанавливается фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Далее рассмотрена задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения.

В диссертации используются методы, позволяющие изучать уравнения неклассического типа второго порядка. К этим методам относятся: функциональный метод, модифицированный метод Вишика, теорема Рисса и три теоремы Фредгольма, теорема о сжимающих отображениях и вариационный метод.

Актуальность темы исследования

В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С.А. Христиа-новича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудерлея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магпитогидроди-намических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений привлекают внимание многих авторов.

Интерес к изучению граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вновь заметно возрос после появления работ Г. Фикера и O.A. Олейник. Фундаментальные результаты в этом направлении, как известно, принадлежат М.В. Келдышу [29]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались в работах O.A. Олейник [43], Н.Д. Введенской [6 и др.

Изучение обобщенных решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка началось с работ С.Г. Михлина [39] и М.И. Вишика [7]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М.И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго и более высокого порядка.

Довольно много работ и монографий посвящено разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, но не достаточно изучено влияние поведения весов на различных частях границы области. Поэтому отметим последние исследования.

В работах И.Е. Егорова и H.A. Тихонова [22] в области Q, ограниченной в Rn П (0 < хп < а) границей Г, часть Го которой лежит в гиперплоскости хп — 0, а остальная часть Ti - в полупространстве хп > 0, рассматривается эллиптическое уравнение

71 я / я \ п я = +£*(*)£+<**)« = /(*). (0-1.2) i,j=1 1 ^ / г=1 1 где dij(x) = a>ji(x)- непрерывные функции в Cl. Предполагается, что в уравнении (0.1.2) коэффициенты ац, bi непрерывно дифференцируемы в Я? = П (хп > S), где 5 - любое положительное число, а функция с(х) непрерывна в Qö. Считается выполненным условие п

X аи{хШз > 0 Vz е Ü П (жп > 0) V£ 6 Rn и |£|2 > 0. i,j = 1

Также выполняются неравенства

Фп)£ <С2 Е афШэ, Z G Rn, i,j = 1 cVO х) < С2(р(хп), где ip(t) - непрерывная положительная функция при 0 < t < а, </?(0) = 0.

При таких предположениях эллиптическое уравнение (0.1.2) вырождается на Гц. Рассматриваются первая и третья краевые задачи для данного уравнения с произвольным вырождением. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений краевых задач, и изучены спектральные свойства оператора первой краевой задачи, которые обобщают известные результаты для вырождения степенного характера [22].

В работе [24] И.Е. Егоров в области О, рассматривает уравнение (0.1.2), где 1р(€) удовлетворяет условию

Изучается краевая задача Е для данного эллиптического уравнения, и доказывается единственность ее обобщенного решения.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для уравнений смешанного типа, возникающих при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль такие уравнения играют в газовой динамике.

Историография вопроса.

Исследования по плотности финитных функций в весовых пространствах с достаточно произвольным весом ведут свое начало из работ Е.Т. Поульсе-на, применившего для доказательства теоремы о плотности финитных функций методы функционального анализа. Затем вопросы о плотности финитных функций рассматриваются в работах Л.Д. Кудрявцева, О.В. Бесова, В.Р. Портнова, Л.Н. Домышевой, Г.Н. Яковлева, П.И. Лизоркина, С.М. Никольского, А. Куфнера, М.О. Отелбаева и др.

Рассмотрим обзор последних (в 80-90 г.г. прошлого столетия) исследований по плотности финитных функций.

В работе О.В. Бесова [1] исследуется три случая плотности финитных функций в весовом пространстве С.Л. Соболева. а 0

В первом случае рассматривается пространство \¥р)а(С) функций и с нормой £ ЬП«и\\р^ = Е |/ И^аи{х)\Р ¿.х 1 . (0.1.3) а\<1 \а\<1 ;

Также рассматриваются вопросы существования граничных значений (следов) производных функций из Wp)j{G) на 8G и возможность сколь угодно точной аппроксимации функций из Wp)a{G) функциями с компактным носителем в G. При этом изучается возможность конструктивного построения аппроксимирующих функций с помощью срезающих функций, т.е. используется метод аппроксимации, не зависящий от индивидуальной функции. Далее устанавливаются две теоремы о пространстве функций, заданных в области с негладкой (липшицевой) границей, обладающих производными по всем переменным до порядка I и конечной нормой (0.1.3).

Во втором случае устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения для одномерного случая.

В третьем случае устанавливаются для липшицевого многообразия некоторые свойства геометрического характера.

К.Х. Бойматов [3] в своей работе о плотности финитных функций в весоо вых пространствах изучает вопрос о характеризации функций и(х) Е для гладких областей. Для этого рассматриваются пространства <7,6), функций и(х) (х Е fi), имеющих обобщенные по C.JI. Соболеву производные Dau, |а| < m, с нормами соответственно л i /р

Г j a{x)\Dau{x)\pdx +j a(x)5-rnp{x)\u(x)\pdx i , (0.1.4) a =m

П П

1/р а(аОЯ(|а|т)р(я)|ЯМ*)1Р^

0.1.5) а|<тп

Основные результаты относятся к случаю произвольного открытого множества С Яп- Рассматриваются теоремы о плотности множества Со°(Г2) в <7,6)и множества Со°(П) в а, д). Доказательство этих теорем сводится к проверке эквивалентности норм (0.1.4),(0.1.5).

В работе Л.Н. Домышевой [21] для функций из весовых полунормированных пространств строятся последовательности финитных бесконечно дифференцируемых функций, сходящихся по полунорме к данным функциям, и указываются скорости сходимости этих последовательностей. Также доказывается теорема о существовании такой бесконечно дифференцируемой по переменной хп, финитной относительно гиперплоскости К"1"1 при Л - 25.

В работе И.Е. Егорова [23] исследуется обобщение результатов теоремы вложения и компактности для пространства со степенным характером вырождения метрики, которая определяется неотрицательно определенной квадратичной формой. С этой целью рассматривается случай произвольного вырождения метрики на границе области.

В работе Л.Д. Кудрявцева [30] рассматривается вопрос о построении для функции /, определенной на числовой полупрямой и принадлежащей функции /; € Ьгр^п), что Ц(х) = 0 на и - Я; < яГпГ; П +1/; где /*- функция, определенная равенством некоторому весовому полунормированному пространству, сходящейся к ней последовательности бесконечно дифференцируемых финитных функций. В этой работе применяются прямые конструктивные методы приближения фиксированной функции финитными. Здесь имеет место теорема о том, что lim о и(х)[ 1 - фкЫ)], Lrp^{Rn) 0, из этой теоремы следует теорема о плотности множества бесконечно диффео ренцируемых функций в пространстве LrpiTnj(p

Этот подход к исследованию краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, впервые продемонстрированный в работе Л.Д. Кудрявцева, получил дальнейшее развитие в работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, C.B. Успенского, О.В. Бесова, X. Трибеля и других [1], [3].

Среди работ последних лет, посвященных изучению уравнений эллиптического типа второго порядка, необходимо отметить следующие: А. Kufner [31], M.И. Вишик и В.В. Грушин [8], С.А. Терсенов [50], В.П. Глушко [19], A.A. Вашарин и П.И. Лизоркин [5], М.В. Келдыш [29], В.А. Брюханов [4], В.В. Катрахов [28], И.Е. Егоров [25], H.A. Тихонов [51].

Вопрос о разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений был рассмотрен в работах [52], [25], [34], [32]. В этих работах для исследования краевых задач были использованы: метод априорных оценок, теоремы о неподвижных точках, геометрические методы, метод продолжения по параметру.

Краткое содержание диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер.

В этой главе дается определение одного класса весовых пространств С.Л. Соболева. Приведены теоремы вложения и компактности весовых пространств, ранее доказанные И.Е. Егоровым. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе ft = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.

Основной вопрос, который мы исследуем во второй главе - это однозначная обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения lu=§i (^§¡0 + £ h- (^ю+(°-L6) 1,3 = 1 1 с(х, t)u = f(x, t), (х, t) G Q, где функция <p(t) удовлетворяет условиям: (pit) >0 -непрерывная функция при 0 < t < а, ^(0) = 0; ац - вещественные измеримые в Г2 С Rn функции (i,j = l,., п), удовлетворяющие условию симметричности: ац — afc с(х, t) непрерывна в ft, и а(х, t) непрерывна в ft П {t > (5} для \/5 > 0. Предполагается, что выполнено неравенство

С1Р21£|2 < Oi&tj < с2р2 |£|2, aeRn, где peC(Q), |Vp| € р(х)> 0 Vx е ft, р > 1.

Также доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения

Lu=it +£ ш ^x)uj+£ bi(x)s+ (ол-7) du

-\-a(x,t)— + c(x,t)u = f(x,t), (x,t)eQ, где функции <p(t), ip(t) удовлетворяют условиям: tp(t) > 0, i/j(t) > 0 - непрерывные функции при t > 0, <¿>(0) = -0(0) — 0; а^ - вещественные измеримые в Г2 С ВТ1 функции (г, j = 1,., п), удовлетворяющие условию симметричности: ац = а

Предполагается, что выполнены неравенства рыеп < С2 Е С <Е Д", с2(р(хп) < апп(х) < С2(р(хп).

Для доказательства существования обобщенных решений используется модифицированный метод Вишика, а для доказательства единственности обобщенного решения используются методы из функционального анализа.

В третьей главе изучается третья краевая задача для эллиптического уравнения (0.1.7). Доказывается существование и единственность ее обобщенного решения. Также доказана обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения (0.1.6).

В конце данной главы исследована задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения

Ьи = Ъь (^§¡0 + ¿^ ^ и'+ ((и'8)

1 1 . ди где функции </?(£), ?/>(£) удовлетворяют условиям: > > 0 - непрерывные функции при t > 0, ср(0) = ф(0) = 0; Чи = (их ,., иХп), а^- вещественные измеримые в функции (г,у = 1, .,п), удовлетворяющие условию симметричности: аг-у(ж, гг, = и, \7м) для У и € Со°(Г2).

Предположено, что выполнены неравенства угаг эир \а^{х, (р, 1Ч^р)р~2{х)\ < +оо, vraisup x€ q

Oij (:X, C/9, Vy?) -- Vfl) n cVW < ann(x,<p,V(p) < C2y(xn) о 5 Е где М - положительное число, не зависящее от <£>, 6, х,

С помощью теоремы о сжимающих отображениях и вариационного метода доказывается существование единственного обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (0.1.8).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора И.Е. Егорова "Дифференциальные уравнения с частными производными" (НИИ математики при ЯГУ, г. -Якутск), на семинаре профессора А.И. Кожанова"Неклассические уравнения математической физики" (ИМ СО РАН, г. Новосибирск), а также доложены на различных конференциях: Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (2004, 2005, 2006); Лаврен-тьевские чтения молодых ученых и специалистов Республики Саха (Якутия) (2002, 2005); IV и V Международные конференции по математическому моделированию (2004, 2007); Республиканская научно - практическая конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (2003); Всероссийская конференция "Космо-и геофизические явления и их математические модели" (2002). Работа поддержана грантом №8425 Ведомственной научной программы Федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" на 2005 год и грантом 2006-РИ-19.0/001/711 научной программы "Проведение научных исследований молодыми учеными" Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ.

1. Бесов O.B. О плотности финитных функций в весовом пространстве С.Л. Соболева // Труды МИАН СССР, 1983. С.29-43.

2. Бойматов К.Х. О некоторых весовых пространствах // Функциональный анализ и его применения в механике и теории вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1984. С. 119-120 .

3. Бойматов К. X. Обобщенная задача Дирихле, связанная с коэрцитивной билинейной формой // Доклады РАН, 1993. Т. 330, №3. С. 285-290.

4. Брюханов В.А. О краевой задаче для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений // Применение методов теории функций и функц. анализа к задачам мат. физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат, 1978. С. 20-22.

5. Вашарин A.A., Лизоркин П.И. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с сильным вырождением на границе. ДАН СССР, 1961. Т. 137, №5. С.1015-1019.

6. Введенская Н. Д. Об одной краевой задаче для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области. ДАН СССР, 1953. Т. XCI, Ш. С. 711-714.

7. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Мат. Сборник, 1954. Т.35, №3. С. 513-568.

8. Вишик М.И., Грушин В.В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков // Мат. Сборник, 1969. Т.79, №1. С.3-36.

9. Вихрева O.A. О весовом пространстве Соболева в кубе = (0, )п// Сборник трудов аспирантов ЯГУ им. М.К. Аммосова / Под ред. В.Ю. Фридовского и др. Якутск: Изд-во Якутского университета, 2004. С. 29-34.

10. Вихрева O.A. Краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения // Сборник трудов II Республиканской научно-практической конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике". Якутск: ЯГУ, 2003. С. 113-118.

11. Вихрева O.A. Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов V Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 2007. С. 16-17.

12. Вихрева O.A. Об одной краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2006. Т. 13, выпуск 1. С. 58-67.

13. Вихрева O.A., Егоров И.Е. Обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Сборник статей IX Лаврентьевских чтений, посвященных Международному году физики. Т.1. Якутск, 2005. С. 34-41.

14. Вихрева O.A. О смешанной краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов IV Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка". Якутск, 2006. С. 36-37.

15. Вихрева O.A. Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов IV Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 2004. С.11-13.

16. Вихрева O.A. Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Вестник СамГУ, 2007. Т. 56, №6. С. 194-202.

17. Вихрева O.A. Задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2008. Т. 15, выпуск 1. С. 39-44.

18. Глушко В.П. Оценки в Li и разрешимость общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. Труды Московского мат. Общества, 1970. Т.23. С. 113-178.

19. Глушко В.П. Теорема разрешимости краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Труды семинара C.JI. Соболева, 1978. №2. С. 49-68.

20. Гринберг В., Ван дер Ми С.В.М., Цвайцель П.Ф. (Greenberg W., Van der Мее С.V.M., Zweifeel P.F.) Generalized kinetic equations//Integral equation. Operator Theory. 1984. -V.7, N 1. - P. 60-95.

21. Домышева Jl.H. О плотности финитных функций в весовом пространстве С.Л. Соболева // Труды МИАН СССР, 1983. С. 106-111.

22. Егоров И. Е., Тихонов H.A. О краевых задачах для вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2002. Т.9, выпуск 1. С. 33-43.

23. Егоров И.Е. Теоремы вложения и компактности для одного класса весовых пространств // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1993. С. 161-168.

24. Егоров И.Е. Весовые теоремы вложения и их применения // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1992. С. 114-117.

25. Егоров И. Е. Весовые пространства Соболевского типа и вырождающиеся эллиптические уравнения // Casopis pro pestovani matematiky. 1984, гос. 109. P. 74-85.

26. Искохов С.А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Доклады РАН, 1995. Т. 342, т. С. 20-22.

27. Искохов С.А. Вариационная задача Дирихле для вырождающейся на границе эллиптической системы дифференциальных операторов // Доклады АН СССР, 1992. Т. 322, № 1. С. 33-37.

28. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат.сб, 1980. Т.112, №3. С. 354-379.

29. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области//ДАН СССР, 1957. Т. 77, №2. С. 181-183.

30. Кудрявцев Л.Д. О плотности финитных функций в весовом пространстве С.Л. Соболева // Труды МИАН СССР, 1980. С. 121-129.

31. Kufner A. Weighted Sobolev Spaces. Leipzig, 1980. 152 P.

32. Красносельский M.A., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

33. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

34. Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

35. Лизоркин П.И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Труды МИАН, 1985. Т. 172. С. 235-251.

36. Матвеева И.И. О первой краевой задаче для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, №7. С. 1267-1281.

37. Мирошин Н.В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, №6. С. 1099-1111.

38. Мирошин Н.В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференц. уравнения, 1988. Т. 24, №3. С. 455-464.

39. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

40. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения // Вестник ЛГУ, серия "Матем., мех. и астр.", 1954. Вып. 8.

41. Мынбаев К.Т., Отелбаев М.О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.

42. Никольский С.М. Вариационные проблемы для уравнений эллиптического типа с вырождением на границе // Труды МИАН, 1979. Т. 150. С. 212-238.

43. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области//ДАН СССР, 1952. Т. LXXXVII, №6. С. 885-888.

44. Пятков С.Г. Об одном операторно-дифференциальном уравнении // Краевые задачи для нелинейных уравнений: Сб. научных трудов ИМ СО АН СССР. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1982.

45. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 589 с.

46. Рыбалов Ю.В. О краевой задаче в полупространстве с граничными условиями на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №12. С. 2193-2204.

47. Рыбалов Ю.В. Краевые задачи в полупространстве с граничными условиями в точке // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, №5. С. 834-845.

48. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М: Наука, 1966.

49. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической" физике. М.: Наука, 1988.

50. Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сибирск. мат. журнал, 1965. Т. 6, №5. С.1120-1144.

51. Тихонов H.A. Об обобщенной разрешимости третьей краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 1999. Т.6, выпуск 1. С. 54-59.

52. Чуешев A.B. Об одном нелинейном уравнении смешанного типа нечетного порядка // Вестник Новое, ун-та, серия "Математика. Механика. Информатика", 2001. Т.1. Выпуск 1.