Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского

Емцева, Елена Дмитриевна

Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Емцева, Елена Дмитриевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского»

Автореферат диссертации на тему "Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского"

На правах рукописи

Емцева Елена Дмитриевна

СИНГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОБЛАСТЯХ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01.01 — математический анализ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

/3 132

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2009

003479132

Работа выполнена во Владивостокском государственном университете экономики и сервиса и в Институте прикладной математики ДВО РАН

Научные руководители доктор физико-математических наук,

профессор Катрахов Валерий Вячеславович

доктор физико-математических наук, профессор Алексеев Геннадий Валентинович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Пятков Сергей Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Шлык Владимир Алексеевич

Ведущая организация Институт математики Сибирского

отделения РАН

Защита диссертации состоится 22 октября 2009 г. в 1530 час. на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета /у

доктор физико-математических наук /О/хл^!^-—- Чеботарев А. Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К настоящему времени в основном построена теория краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем, рассматриваемых в областях с. гладкими границами. Нарушение условия гладкости границы в этих задачах приводит к появлению у решения особенностей в окрестностях нерегулярных точек границы. Одно из первых исследований в этом направлении было сделано Т. Карлеманом (1916). Основополагающей в этой области можно считать известную работу М.В. Келдыша (1951), в которой были указаны основные особенности постановки краевых условий для уравнения второго порядка со степенным вырождением. Как известно, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, которые правильно описывают особенности решения и его производных в окрестностях нерегулярных точек границы. Эти особенности в большинстве случаев являются степенными.

Изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского, В.А. Кондратьева, Е.А. Волкова, В.В. Фуфаева и других авторов.

В связи с потребностями приложений продолжает расти интерес к сингулярным эллиптическим краевым задачам. Сингулярные краевые задачи для общих эллиптических уравнений изучались многими авторами. Можно сослаться на работы С. М. Никольского, С. М. Никольского и П.И. Лизоркина, И.А. Киприянова. Одной из основных работ по этой тематике является монография С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, в которой дано подроб-

ное изложение теории эллиптических задач в областях с кусочно-гладкой границей. Фундаментальные результаты в исследовании асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем получены В. А. Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О.

A. Олейник, В.А Никишиным. Отметим также работы A.M. Ильина, Е.Ф. Леликовой. Эллиптическим уравнениям второго порядка посвящены работы

B.А. Кондратьева, Д. Гилбарга, Н. Трудингера, Т.Р. Мамтиева, А.К. Гущина, В.П.Михайлова, В.Н. Масленниковой, Ю.А. Алхутова и В.А. Кондратьева, Ф.Н. Гафурова, Р.М.Гобеджишвили. Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко. Весовая краевая задача Коши для эллиптических уравнений изучалась Г.Н. Яковлевым, А.И Янушаускасом и другими авторами. Краевые задачи с сильным вырождением возникают в теории особых точек решений эллиптических уравнений. Исследованию таких задач посвящены работы A.A. Новрузова, И.А. Шишмарева, А.И. Ибрагимова. Для указанных задач, в основном, рассматривались вопросы, связанные с нахождением условий, обеспечивающих устранимость особенностей. Для классических уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книге А.Н. Тихонова, A.A. Самарского.

Многие задачи физики и техники вызывают необходимость изучения эллиптических краевых задач в областях с негладкой границей. К таким областям относятся области, которые имеют на границе угловые или конические точки, ребра и т. д. Теория эллиптических краевых задач в негладких областях изложена в работах В.А.Кондратьева, В.Г Мазьи, М.В. Борсука, В.А. Рукавишникова, В.В. Катрахова, C.B. Киселевской.

Данная диссертация посвящена исследованию сингулярной эллиптической краевой задачи, рассматриваемой на плоскости Лобачевского. Возможная потеря гладкости решения эллиптических задач в особых точках приводит к необходимости изучения поведения решений вблизи особых точек и иссле-

дования вопроса о выборе специальных функциональных пространств, в которых порожденный краевой задачей оператор оказывается непрерывным. Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах и создание методов их решения являются актуальными.

Цель работы состоит в изучении сингулярной эллиптической краевой задачи в областях плоскости Лобачевского, которые могут содержать изолированные граничные точки. Основным результатом является доказательство однозначной разрешимости поставленной сингулярной краевой задачи в специально введенных функциональных пространствах.

Методы исследования. В данной работе используются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования. Основы этого метода были заложены в работах Ж. Дельсарта, Ж.Л. Лионса, Б.М. Левитана. Последний дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Почти одновременно с первыми работами Ж. Дельсарта X. Кобером и А. Эрдейи были введены другие операторы преобразования. История развития теории операторов преобразования достаточно полно изложена в работах С.Г. Самко, A.A. Килбаса, О.И. Маричева, A.A. Килбаса, С.А. Шлапакова. В работах В.В. Катрахова введены новые операторы преобразования, которые использовались в теории сингулярных эллиптических уравнений, в теории псевдодифференциальных операторов, теории комплексных степеней сингулярных эллиптических операторов. В диссертации метод операторов преобразования получил дальнейшее развитие. Это связано с построением на их основе новых функциональных пространств типа пространств С.Л. Соболева. Ранее подобные конструкции операторов преобразования в евклидовом случае встречались в работах В.В. Катрахова и его учеников. В данной работе вводятся, изучаются и применяются операторы

преобразования, построенные с применением гиперболических функций.

Научная новизна. В настоящее время существует теория общих и вырождающихся или сингулярных эллиптических краевых задач, в том числе и на областях многообразий общей природы. Однако в областях с выколотыми точками даже для простейших уравнений Лапласа (в евклидовом случае) и Лапласа-Бельтрами (для многообразий) значимых результатов до работы В.В. Катрахова и его учеников фактически не было по следующим двум причинам:

1) в полярных координатах рассматриваемое эллиптическое уравнение является сильно вырождающимся (сингулярным), поэтому для корректной постановки краевой задачи требуется введение нового нелокального по угловым переменным понятия следа, называемого сигма-следом;

2) отсутствовали функциональные пространства и операторы преобразования, служащие для теоретического анализа соответствующих сингулярных краевых задач.

В работе вводятся и изучаются новые функциональные пространства, которые вне особой точки совпадают с пространствами типа Соболева-Никольского-Бесова (см., например, работы С.Л Соболева, В.П.Михайлова, О.А.Ладыженской). Также вводится понятие сигма-следа в особой точке. В работах В.В. Катрахова были изучены сингулярные эллиптические краевые задачи в областях евклидовых пространств с изолированными граничными точками, в которых решение может иметь особенности, которые нельзя даже отнести к степенным, поскольку они структурно совпадают с изолированными особенностями аналитических или гармонических функций. В работах В.В. Катрахова и C.B. Киселевской аналогичные задачи рассмотрены в областях с угловыми точками и в областях на конусе. В представленной диссертации такие задачи рассматриваются в областях плоскости Лобачевского (пространстве с постоянной отрицательной кривизной).

Практическая значимость работы. Геометрия Лобачевского с успехом

используется, например, в математическом анализе, в теории относительности, в космологии, в теории гравитации, а также при изучении столкновений элементарных частиц и при исследовании ряда других вопросов теории ядра. Эллиптические краевые задачи для уравнения Пуассона относятся к классическим математическим моделям. Например, в электростатике особая точка моделирует точечный заряженный объект или в общем случае бесконечную комбинацию мультиполей различных порядков; в гидродинамике особые точки - это истоки или стоки различных порядков и их комбинации; в задачах упругости и пластичности механики сплошных сред - сосредоточенные нагрузки и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

1) систематически на семинаре кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством д.э.н. доц. Л.С. Мазелиса;

2) Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (г.Владивосток, 2005, 2007);

3) "Понтрягинских чтениях-XVII" (г. Воронеж, 2006 г.);

4) "VIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Интеллектуальный потенциал вузов - на развитие Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2006 г.);

5) объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В.Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н.Дубинина, чл.-корр. РАН М.А. Гузева (г. Владивосток, 2007, 2009).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 113 страницах компьютерного текста (набранного в системе М^Х) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор проблем и литературы по теме диссертации, описание исследованных в работе задач и полученных результатов.

Первая глава состоит из четырех разделов. В первом из них изложены некоторые классические и новые результаты по теории операторов Лиувилля.

Через С™)(0, оо) обозначается множество функций из С°°(0, оо), равных нулю в окрестности оо, возможно, имеющих произвольную особенность в самой

точке 0. Через С°°[е,оо), где е > 0, обозначается множество функций, состоящее из бесконечно дифференцируемых на замкнутой полупрямой

[е,оо) функций, имеющих на ней компактный носитель, а через С+[0,Я)

- множество "четных" функций, состоящих из всех функций / € С°°[0, R) таких, что D2Mf{0) = 0, к = 0,1,2, ....

На множестве С(^(0,оо) определён оператор Лиувилля Р по формулам

оо

/VW = щ!(р- ^Г 7(р) dp, г > о,

если Re(/n) > 0;

оо

Pf {г) = (-Dri»+mf(r) = r(J+/j) (-D)mJ (р-гГ+^ДрИр, Г > 0,

если Re(fi)<0 и тп 6 N таково, что m + Re(fj,)>0. Для введенных лиувиллевс-ких операторов справедлива формула /й(р£>)/(г) = (rD — ,ц)Р/(г). Введен лиувиллевский оператор по гиперболическим косинусам JA = С1ХЛ, А е С. Здесь С и А - взаимнообратные вспомогательные операторы замены переменных, определяемые формулами С : / (C/)(r) = /(ch(r)-l), г ^ 0, С'1 = Л : / (Af){t) = /(arcch(f + 1)), t ^ 0. Доказана

Лемма 1. Оператор Jß £ С, взаимнооднозначно отображает

о о

на себя множество оо) и "сингулярное" пространство С{^(0, оо)

соответственно. При этом обратным к оператору Jß является оператор J~ß, причем при натуральных т оператор J~m является дифференциалъ-

ным оператором вида

- (¡щг)"/и = (зад)"«-'=

где 3° - тождественный оператор. Кроме того, они образуют коммутативную группу:

Во втором разделе первой главы изучаются свойства сингулярного дифференциального оператора Д,)(1, введенного на интервале (0, оо) = К+ и названного оператором Лежандра-Гегенбауэра. Он имеет вид

= 3Ь-2»ВДЛг)Я) - -

бЬ(Г)

н(п-и Ои

= Г)* + 21/ сЛЬ(г)17Р — ■

_ Г)2 , п + -

8Ь2(г) ' с1

где V, ц € С, Х)г = —. Отметим, что в приложении к основным уравнениям аг

в пространстве Лобачевского И" параметр V описывается формулой 1/ = (п — 1)/2. Это означает, что V = 1/2 для Н2. В связи с этим в дальнейшем, считается, что V > 0, а ц ^ 0. В алгебраических переменных оператор

можно представить в виде

Ду./ф =С

+ ВД2 + (21/ +!)(* + 1)Д - ^^ 1)

л т.

В работе установлена следующая связь между операторами и =

эЬ'' .Г'1, где ц е С: = В^Ч, f е ¿£5(0, оо). Введены операторы

преобразования типа Сонина, обозначенные нами буквой 5 с различными

верхними и нижними индексами, т.е. операторы вида 1 Г°°

5^/(г)=Т>Тм) I {сНр) ~ сЧг)Г+"~1

где / € С{™(0, оо), а также более общий оператор = 1~1,~>1+х5^>1, и, наконец, оператор "нулевого" порядка <!>„,„ =

Доказано следующее соотношение для оператора Лежандра-Гегенбауэра: Вщ = бЬ* [Я„+(1,о + >г(2г/ + х)] бЬ-*, где я = ц или х = 1 — ц — 2и.

Кроме того, в этом разделе доказаны следующие формулы:

^л,^ = (Д2 - / е да оо),

Лт"(г/2) [1)гЧсЛ(г)Я-^] Л±м(г/2) = ^(г/2Щ^(г/2) = = Ф+^Ог ^

1Ь*"(г/2) [дг2+с1Ь(г)/?г-^] ^(г/г^д^ОД^Д., где

В третьем разделе первой главы выводится оценка норм операторов преобразования в естественных функциональных пространствах. Рассмотрен связанный с оператором преобразования вспомогательный оператор ,

действующий на множестве функций д 6 С°°(0,1) при А € N по формуле

¿Мг) = /М Р - сЬ т)^д(р) зЬ р Лр,

а при дробных А > 0 - по формуле

5а5(Г) = гЩ)^1~ ГУ'1 (¡МР- сЫ)^д(р)зЪ рАр) М = = гШ)^А] /; 9(р) вЬр (/„"(« - г)Х-\<Ьр - сЬ^Л) Ар, где А = [А] — А', 0 < А' < 1, [А] € N. Доказана следующая лемма.

Лемма 2. Для действительных значений А оператор допускает

расширение по непрерывности из множества С00 (0,1) ¿о ограниченного оператора, действующего из пространства ¿2,л(0> 1) в ¿2(0,1), причем имеет место оценка вида ИЗд/Ц^о,!) ^ аЛ||/||л2,л(0,1)' где а > 0 некоторая абсолютная постоянная.

Кроме того, получено следующее следствие для оператора Следствие 1. Оператор преобразования допускает расширение по

непрерывности из множества С°°{О, Я) до ограниченного оператора, действующего из пространства ¿2,|Д0> К) 6 пространство ¿2(0, Я), где 0 < Я < 1, причем имеет место оценка вида ИЗ^/И^о.д) ^ ^''Ц/Нхг.ло.д); а > 0-некоторая абсолютная постоянная.

Здесь и ниже через ¿2,а(0, Я) обозначается весовое пространство с нормой

шШм = и^тии*)=10н\/(г)\2зъ^(г)с1г.

В четвертом разделе первой главы вводится оператор типа Пуассона, обратный к оператору преобразования типа Сонина

Доказаны следующие предельные соотношения для функций / £ С00[0, оо): при целом 0, и V + ¡л> и

г=+0

при ^ = = 0.

Во второй главе изучаются сингулярные функциональные пространства, содержащие функции с существенными особенностями. Первый раздел носит вспомогательный характер, в нем рассматриваются функциональные пространства Соболева-Никольского-Бесова для функций одной и двух перемен-

ных. Обозначим через Н"(е, R), где целое s^O, 0^е<Д< оо, обобщенное

замыкание класса функций С°°[е, R) в ¿^(е, Д) по норме

11/11 ¿.(£_л) = liaviu**, = р-'Яыелу (1)

Пространство H3(e,R) представляет собой один из вариантов пространств Соболева-Никольского-Бесова.

о о

Через H*oc(0,R) обозначим обобщенное замыкание множества R)

по топологии, порожденной системой полунорм pe,s(f) — ||-Ds/||£2(£i0o) =

II/II ^ для любых 0 < е < R. Пространство Я,3ОС(0, R) является пространством Фреше (полным счетно-нормируемым пространством).

Считаем О, ограниченной областью в пространстве И2 с гладкой границей dQ. Начало геодезической полярной системы координат помещаем в одну из точек ii, в которой решение рассматриваемой далее задачи имеет сингу-

лярность. Через Qq обозначена область О \ {О}, через \J<i¡¡^ - открытый геодезический круг радиуса 2Яо с центром в точке О , такой, что справедливо включение [/гяо С О, где t/гло - замыкание i/гло- При этом, не ограничивая общности, считается, что 2Яо < 1.

Функциональное пространство Соболева-Никольского-Бесова HS(Q) при четном s ^ 0 определяется как обобщенное замыкание в лебеговом пространстве Li{£l) множества C°°(ii) бесконечно дифференцируемых в области П функций по норме

11/112г.(П) = 11/111(П, + 11Д'/ии- (2)

Здесь ||/||^(П) = |/|2<iQ, а оператор Д = Дн в геодезических полярных координатах г > 0,0 ^ ^ 2тг имеет вид д2 did2

Пространство HS(Q) определяется как замыкание в Н"(0) множества C°°(Sl) С Я'(П). В Н'(П) используется норма ||/||2. - ИД'/Н^п)' которую для круга i2 = Ur, 0 < Я < оо, можно определить через разложение функций по угловым гармоникам:

00 d* .. - 2

»!,,„„,=ЕЕ fc=0 ¡=1

где

ОО ¿ь ~2т\

/(г, = £ £ /¿ип'ы, /¿(г) = / /(г, да'и

Во втором разделе этой главы изучаются сингулярные функциональные

пространства функций одной переменной. Через С^(0, Я) обозначено множество функций /, допускающих представление / = Т*,цд, в котором д е ¿"»[О, Л), т.е. С™ (О, Л) = Л), а через - множество

о о

функций вида зЬ''(г)/(г), где / 6 С+[0, Я). Пространство О,Я) для

целых в^О определяется как обобщённое замыкание множества (7^(0,Я) в

H{JQ,R) no норме ИЛ1Н°;ДМ) = зУД^ЛН^я). где

= sup "ТТТп-= sup "iïTii-'

При четных значениях s через R) обозначено обобщенное замыкание

о о

в #foc(0, R) множества функций / £ С™+(О, R) по норме llfllk,M = ИР'гМЬм = jf | Bif(r)\2sh2"(r)dr.

Сингулярные решения краевой задачи лежат в пространстве R), а

регулярные решения - в Hf, +(0, R). Доказано, что имеет место непрерывное

о о

включение Hsvti+{Q,R) С R) и справедлива оценка

11/11°

Далее определяется весовой след функции /(г) при v ^ ц ^ 0 в точке г = 0 как предел

<rVJif|r=û = lim а^(г)/(г).

Здесь

[ th2"+"-1(г/2), если z/ + /i > = < _1 1 п

Справедлива следующая теорема о следе.

Теорема 1. Пусть 2и 6 N, ц G N0 = N U {0}, s ^ 2, R Ç (0,1). Тогда

1) для любой функции / € Л) существует аи -след в точке г = О и справедлива оценка

г(?е а > 0 - абсолютная постоянная, Cs^r > 0 - постоянная, зависящая только от s, v, R;

2) для любой функции / £ //¿/J + (0, /?) а^-след в точке г = 0 существует и равен пулю.

Результаты третьего раздела второй главы используются в четвертом разделе и в теории краевых задач, изучаемых в третьей главе.

Введем для удобства сокращенные обозначения для уже определенных функциональных пространств, дифференциальных операторов, операторов преобразования, весовой функции и констант, полагая

#*/2(1(0, Л) = Я*(0, Л), с-/2до, Я)=С-(0, Я), Я?/2м>+(0, Л)=Я*,+(0, Я), = В, = ^ + <*Ь(г)Р - ее ЕЕ 5,,

= а>" = V = с<" = =

В третьем разделе второй главы доказаны следующие леммы.

Лемма 3. При р, € С базис линейного пространства решений однородного дифференциального уравнения В^и(г) = 0 составляют две функции: в случае ¡1 ф 0 - функции 1Ъ±;'(г/2), а в случае р, = 0 - функции 1 и 1п •

Лемма 4. Пусть функция / достаточно гладкая в некотором геодезическом круге 11ц \ {0} радиуса Я > 0 с выколотым центром, например,

принадлежит классу 7д \ {О}). Тогда 00 ¿к

Дн/(г,¥>) = (3)

Ь=0 1=1

Здесь /¿(г) - коэффициенты Фурье разложения функции / по угловым гармоникам УЦф), = 1, если к = 0 и й/. = 2,если к > 0. Этот ряд сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из 17л \ {О}.

Основным результатом этого раздела является

Теорема 2. Любая гармоническая в геодезическом круге \ {С} радиуса Я > 0 с выколотым центром функция и(г, <р) разлагается на два гармонических слагаемых: и = у+гп. При этом "регулярная" (гармоническая во всем круге Цц ) функция имеет вид

оо ег*

= (4)

к—0 1=1

Здесь числовая последовательность {а{.} такова, что ряд (4) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из и и, а в остальном - произвольная, а "сингулярная" (гармоническая в

I!в. \ {С}) функция определяется формулой 1 00 2

Щг/^ к=1 1=1

где числовая последовательность Щ.} такова, что ряд (5) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из ик \ {О}, а в остальном - произвольная.

В четвертом разделе второй главы изучаются сингулярные функциональ-

ные пространства для функций двух переменных. На множестве С+(0; оо) определена вспомогательная функция Хп(г) = х(^), где х(г) = 1, если

О < г ^ 1, х(г) = 0, если г > 2. Через Т°°(£1о) обозначено множество функций / е С°°(П\ {О}) таких что

ХнЦГМ = £ Ёхд(г)Л(г)^Н.

к=0 (=1

Здесь функции /[ таковы, что

(вЬг)к?к(г)Ха(г) € СЧО.гйо). Натуральное число Ж— •%{/) свое для каждой функции /. Для каждого четного а ^ О, каждого вещественного 0 < Я < Щ и каждой функции X € X заданы на

Т°°(Г2о) следующие нормы

Пространство Н^ос(0.о), состоит из функций f таких, что (1 - Хд)/ 6 Н"(0.) при любом Я £ (0, Но). Топология, определяемая семейством полунорм РзАЛ = 11(1 ~ Хя)/Ия*(П)>° < Я < Но, превращает Я,аос(П0) в полное топологическое векторное пространство.

Основное в работе пространство Л/4(По) определяется как обобщенное

замыкание по топологии, порожденной системой норм (6), пространства

T^fio). Для введенных пространств доказана

Теорема 3. Для любого s ^ 0 справедливо вложение

Н°(П) с М°(П0) с ни^о).

Через Л(©) обозначается множество определенных на единичной окружности Ö функций ф{цо), которые вещественно-аналитичны на 6 и для которых при каждом h £ (0,1) конечны нормы

(00 dk \ г

£I>íl2ft-2fc , (7)

к=0 1=1 /

где - коэффициенты разложения функции ф по гармоникам Y¿. Л(6) является полным счетно-нормируемым топологическим пространством. Для

функции / € T°°(í2o) определяется сг-след с помощью формулы af\o = lim Г

где ядро Е соответствующего интегрального оператора имеет вид

Е(г ш) = -1 ( MQcos(y-^)-2r2(r) VSF \

V ' 2тг у 1 - 2т(г) coefa - у/) + т2(г) + ln(l/r(r)) J '

Далее понятие сх-следа распространяется на функции / £ М"(П<э).

Доказаны прямая и обратная теоремы о а - следах, которые являются

основными результатами второй главы.

Теорема 4. [Прямая теорема о ст-следах] Пусть s ^ 2. Тогда для каждой

функции f £ M"(Qo) существует a-след ст/|с7 € А{@). При этом оператор

f —> af\o непрерывно отображает пространство Ms(Clo) в -^(G).

Теорема 5. [Обратная теорема о ст-следах] Для любой функции i¡> £ A(Q)

существует функция /, гармоническая на всей плоскости И2 \ {О} с

выколотой точкой О и принадлежащая пространствам Ms(ílo) при любых

s ^ 0, для которой ip является ее a-следом. При этом для любого R G

(0,Ло) существует число h € (0,1) такое, что имеет место неравенство

ИЛкд ^ <#11*

с постоянной с > 0, не зависящей от выбора функции ф.

В третьей главе изучается краевая задача

Аи = /(х),х е По,д(х),х € ЭП,ои\0~ ф(у),<р € 6. (8)

Поставленная краевая задача порождает оператор следующего вида:

Л : и Ли = (Аи, сги\о) ■

Определяется пространство Ж3 = М$ (По)х#5+5 (ЭП)хА(в) с топологией прямого произведения. Из результатов предыдущей главы следует

Теорема 6. Оператор А непрерывно отображает пространство М8+2 (По) в при любых в ^ 0.

Во втором разделе третьей главы доказаны прямая и обратная теорема о ст-следах для гармонических функций.

Теорема 7. Для гармонической в По функции и существует а-след в точке О, который принадлежит пространству Л(0). Обратно, для любой функции ф € Л(0) существует единственная (с точностью до гармонической в окрестности О функции) гармоническая в По функция и, для которой ои\о = Ф-

В терминах ст-следа дана классификация изолированных особых точек гармонических функций: С>-устранимая особая точка, если ои\о = 0; О-особая точка типа полюса, если в разложении функции ф = ои\о в ряд по угловым гармоникам содержится конечное число слагаемых; в противном случае и имеет особенность типа существенной особой точки. Основным результатом второго раздела третьей главы является теорема единственности решения краевой задачи.

Теорема 8. [Теорема единственности] Пусть f 6 Ма(П0), д е Н"+ЦдП); ф Е А(0) и я 0. Тогда у краевой задачи (8) существует не более одного решения в пространстве М8+2(По).

В третьем разделе проводится доказательство теоремы, которая вместе с теоремой 6 является основным результатом всей диссертации.

Теорема 9. Оператор Л имеет обратный оператор Л-1, непрерывно отображающий пространство Ж8 на пространство М"+2(По) при любых четных в ^ 0.

Основные результаты диссертации

1) Введены новые операторы преобразования, построенные с применением гиперболических функций, и изучены их свойства.

2) Построены и исследованы новые функциональные пространства, которые вне особой точки совпадают с пространствами типа Соболева-Никольского-Бесова. Эти функциональные пространства определяются и изучаются методом операторов преобразования.

3) Для корректной постановки сингулярной краевой задачи определяется сигма - след в особой точке. Доказаны прямая и обратная теоремы о сигма-следах.

4) Сформулирована сингулярная краевая задача, которая определяется уравнением Пуассона, краевым условием на гладкой части границы области и

, сигма-следом в особой точке. Доказана однозначная разрешимость поставленной сингулярной краевой задачи.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Операторы преобразования, связанные с оператором Лапласа на пространстве Лобачевского, XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тез.докл,-Хабаровск, 2005. С. 77.

[2] Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Об одном классе операторов преобразования: Препринт ИПМ ДВО РАН. №5. Владивосток,2005,8с.

[3] Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Некоторые операторы преобразования, Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной мате-

матики и математического моделирования». Тез.докл.-Воронеж, 2005.С.112.

[4] Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Операторы преобразования на гладких функциях, Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения-XVII», Современные методы теории краевых задач. Тез.докл.-Воро-неж, 2006. С. 207-208.

[5] Емцева Е.Д.Весовые следы гладких функций, Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», посвященная 30-летию Челябинского государственного университета. Тез.докл.-Челябинск,2006.

[6] Емцева Е.Д.О решениях уравнения Гегенбауэра, VIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. «Интеллектуальный потенциал вузов - на развитие Дальневосточного региона России». Тез.докл-Владивосток, 2006.С.77-79.

[7] Катрахов В.В., Емцева Е.Д.Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 6. С. 736-738.

[8] Катрахов В.В., Емцева Е.Д.Сингулярная краевая задача в областях плоскости Лобачевского, Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения»,посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н.Векуа. Тез.докл.-Новосибирск, 2007. С. 191.

[9] Катрахов В.В., Емцева Е.Д.Об одном классе операторов преобразования //Дальневосточный математический журнал. 2007. Т. 7, Л11-2. С. 62-78.

[10] Емцева Е.Д. Сингулярные функциональные пространства:Препринт № ОЗ.-Владивосток: Дальнаука, 2007.-35 с.

[11] Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского //Сиб. жур.индустриальной математики. 2008. Т. XI, № 3(35). С. 71-85.

[12] Емцева Е.Д.Теоремы о сг-следах, XXX IV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тез.докл,- Хабаровск, 2009. С.28.

Елена Дмитриевна Емцева

Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости

Лобачевского

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать ^£2£^Формат 60*84 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл.п.л. 1.3. Уч.-изд. л. 1.1 Тираж 100 экз. Заказ /¿¿О.

Издательство Владивостокского государственного университета экономики

и сервиса (ВГУЭС) 690600, г. Владивосток, ул. Гоголя, 41 Отпечатано в типографии ВГУЭС 690600, г. Владивосток, ул. Державина, 57

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Емцева, Елена Дмитриевна

Введение

I 1. Операторы преобразования

1.1. Операторы дробного порядка типа Лиувилля.

1.1.1. Операторы дробного порядка Лиувилля.

1.1.2. Операторы дробного порядка по гиперболическим косинусам типа Лиувилля.

1.2. Общая теория операторов преобразования

1.3. Операторы преобразования на гладких функциях.

1.4. Весовые следы гладких функций.

2. Функциональные пространства

2.1. О функциональных пространствах 1 Соболева-Никольского-Бесова.

2.1.1. Одномерный случай.

2.1.2. Двумерный случай.

2.2. Сингулярные функциональные пространства в одномерном случае.

2.2.1. Основные понятия.

2.2.2. Теорема о весовых следах.

2.3. Разложение гармонических функций по угловым гармоникам

2.4. Сингулярные функциональные пространства в двумерном случае

2.4.1. Основные определения.

2.4.2. Теоремы вложения.

2.4.3. Теоремы о следах.

2.5. Заключительное замечание.

Краевая задача для эллиптических уравнений с особенностью в изолированных граничных точках

3.1. Постановка краевой задачи.

3.2. Изолированные особые точки гармонических функций и единственность решения сингулярной краевой задачи.

3.3. Существование и оценка решения сингулярной краевой задачи.

Введение диссертация по математике, на тему "Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского"

К настоящему времени в основном построена теория краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем, рассматриваемых в областях с гладкими границами. Нарушение условия гладкости границы в этих задачах приводит к появлению у решения особенностей в окрестности нерегулярных точек границы. Одно из первых исследований в этом направлении было сделано Т. Карлеманом [110]. Основополагающей в этой области можно считать известную работу М.В.Келдыша [46], в которой были указаны основные особенности постановки краевых условий для уравнения второго порядка со степенным вырождением. Было установлено, что при одних соотношениях между коэффициентами на характеристической части границы необходимо ставить условие Дирихле, при других соотношениях - условие ограниченности решения.

К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Как известно, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, где вес -некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы. Эти особенности в большинстве случаев являются степенными.

Изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского. Ими изучались решения эллиптических краевых задач в пространствах типа 1 < р < со, а также в пространстве Cfc'a(£2), состоящем из функций, у которых все производные порядка к в области Q удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а. Они получили коэрцитивные оценки решений и доказали теоремы о нормальной разрешимости [116], [74]. В работах [116], [70] В.Г. Мазья и Б. А. Пламеневский установили для решения однородного эллиптического уравнения справедливость принципа максимума Миранды - Агмона. В работах [71], [72], [115] ими получены формулы для коэффициентов в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе. Они выражаются через решения некоторых вспомогательных краевых задач для сопряженного уравнения. В работе [70] получены оценки и асимптотические формулы для функции Грина общих эллиптических краевых задач с коническими точками на границе. Эти же авторы в работе [69] впервые рассмотрели общие краевые задачи на многообразиях доовольно общей природы, подробные доказательства результатов этой работы изложены в статье [73]. Рассмотренный класс многообразий имеет многомерные особенности, например "ребра" различных размерностей и их всевозможные пересечения. Коэффициенты уравнений и граничных операторов могут иметь разрывы на некоторых многообразиях. В статьях [68], [69], [73] построена теория краевых задач для эллиптических по Дуглису-Ниренбергу систем уравнений на многообразиях такого рода.

Задача Дирихле для эллиптического уравнения вида п п aij{X)UXiXj + (Lj(x)uXj + a(x)u = f(x), (0.1) ij=1 j=1 коэффициенты которого - достаточно гладкие функции, с граничным условием Дирихле и\ш = Ф, (0.2) рассматривалась в работах О.А. Олейник [91] и Г. Тауца [118]. Основной результат этих работ состоит в том, что если х) £ С3'А(Г2), aj(x) 6 С2'А(Г2), а(х) £ С1,А(Г2), то для регулярности по Винеру граничной точки Р для уравнения (0.1) необходимо и достаточно, чтобы точка была регулярной для уравнения Лапласа.

В последующие годы требования гладкости коэффициентов оператора L, обеспечивающие совпадение регулярности по Винеру точек уравнения (0.1) и уравнения Лапласа, были снижены. Например, в работе Р. Эрве [112] коэффициенты оператора L удовлетворяют условию Гёльдера, а в работе Н. В. Крылова [57] - условию Дини. В работе А.А. Новрузова [89] показано, что поточечное условие Дини не обеспечивает совпадение множества регулярных по Винеру точек для уравнения (0.1) и уравнения Лапласа. При некоторых предположениях относительно собственных значений матрицы а^(х) и ее элементов, допускающих разрывы коэффициентов уравнения (0.1), Е.М. Ландис указал достаточные условия регулярности граничной точки [60]. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для некоторых классов уравнений вида (0.1) получены И. Т. Мамедовым [75]. В

Точка а;0 € dft называется регулярной по Винеру для уравнения (0.1), если при любой непрерывной функции ф имеем lim иф{х) = ф(х°),х £ ft.

Х->1°

Опишем один из способов построения, указанный, например, в работе [55], обобщенного по Винеру решения иф в области ft задачи (0.1), (0.2). Пусть ftm - последовательность областей с бесконечно гладкими границами, которая аппроксимирует область ft, причем ftm С Пт+1 с ft. Пусть Ф(ж) -непрерывная в ft функция, совпадающая с ф на dft. Через ит(х) обозначено решение уравнения (0.1) в ftm) удовлетворяющее условию ?/т|ап = которое по предположению существует. Обобщенным по

Винеру решением задачи (0.1), (0.2) называется иф = lim ит(х),х £ ft, т—>оо если такой предел существует и не зависит от выбора последовательности областей ftm и от способа построения функции Ф(ж). этот класс могут входить некоторые уравнения с разрывными коэффициентами.

Вопрос о регулярности по Винеру граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений, для уравнений с неотрицательной характеристической формой и нелинейных уравнений изучался во многих работах, например в [92], [90], [56], [117]. Впервые оценки модуля непрерывности решения уравнения (0.1) в регулярной по Винеру точке границы даны в работах В.Г. Мазьи [65], [66]. В работе А.А. Новрузова [88] оценки модуля непрерывности решения доказаны при условии, что коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют условию Дини.

Вопрос о регулярности граничной точки рассматривался и для уравнения п п

Lu=J2 (aij(x)uxj)xi + o-j{x)uXj + a(x)u = f(x). (0.3) i,j=l j-1

В работе В. Г. Мазья [67] установлены оценки модуля непрерывности обобщенного решения (0.3), (0.2) в регулярной граничной точке.

Большое число работ посвящено исследованию поведения в окрестности границы области решения задачи Дирихле для уравнений (0.1),(0.3) в кусочно-гладких двумерных областях. В работах С.М. Никольского [84], [85] установлены необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Никольского решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях с угловыми точками. Е.А. Волков [13], [14], [16] определил необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Ck,s решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона А и = / в случае, когда область Q - прямоугольник или параллелепипед. Дифференциальные свойства решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены, например, в работе [15].

В связи с потребностями приложений продолжает расти интерес к сингулярным эллиптическим краевым задачам. Сингулярные краевые задачи для общих эллиптических уравнений были изучены многими авторами. Можно сослаться на работы С. М. Никольского [86], С. М. Никольского и П.И. Лизоркина [63], [64], И.А. Киприянова [48]. Одной из основных работ по этой тематике является монография С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского [82], в которой дано подробное изложение теории эллиптических задач в областях с кусочно гладкой границей. Фундаментальные результаты в исследовании асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем получены В. А. Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О. А. Олейник, В.А Никишиным [25], [113], [52], [53], [54]. Отметим также работы A.M. Ильина, Е.Ф. Леликовой [31], [32]. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящены работы В.А. Кондратьева [50], Д. Гил-барга, Н.Трудингера [19], А.К.Гущина, В.П.Михайлова [24], Ю.А. Алхутова и В.А. Кондратьева [3]. Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П. Глушко и Ю.Б. Савченко [21]. В работе В.П. Глушко [20] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств Соболева. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. В этом случае в работах А. В. Бицадзе [7], [8] было предложено задавать на характеристической части не само решение или его производную, а их произведение с подобранной весовой функцией. Весовая краевая задача Коши для эллиптических уравнений изучалась Г.Н. Яковлевым [108], А.И Янушаускасом [119] и другими авторам.

В другой ситуации краевые задачи с сильным вырождением возникают в теории особых точек решений эллиптических уравнений. Исследованием таких задач посвящены работы А.А. Новрузова [89], И.А. Шишмарева [107], А.И. Ибрагимова [30]. Здесь, как правило, рассматривались вопросы, связанные с нахождением условий, обеспечивающих устранимость особенностей. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книге А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [103]. Оригинальный подход исследования сингулярных эллиптических краевых задач, основанный на введении понятия R„ - обобщенного решения, был развит в работах В.А. Рукавишникова (см. [94]-[99] и ссылки там). Эллиптические уравнения с малым параметром при старших производных изучены в работах

A. М.Ильина, Т.Ю. Зыряновой, Б.И.Сулейманова [33], [34], [35].

Многие задачи физики и техники вызывают необходимость изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким относятся области, которые имеют на границе угловые или конические точки, ребра и т. д. Теория эллиптических краевых задач в негладких областях изложена в работах В.А.Кондратьева [50], [51], В.Г Мазьи [114], М.В. Борсука [9]-[11], В.

B. Фуфаева [104], В. В. Катрахова [39], В.В. Катрахова и С.В. Киселевской [44], [45]. Более подробный список ссылок на работы в данной области можно найти в книге [2].

Данная диссертация посвящена исследованию сингулярной эллиптической краевой задачи, рассматриваемой на плоскости Лобачевского. Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор оказывается непрерывным. Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание методов их решения являются актуальными.

Научная новизна. К настоящему времени построена теория общих и вырождающихся или сингулярных эллиптических краевых задач, в том числе и на областях многообразий общей природы. Однако в областях с выколотыми точками даже для простейших уравнений Лапласа (в евклидовом случае) и Лапласа-Бельтрами (для многообразий) значительных результатов до работы Катрахова и его учеников фактически не было по следующим двум причинам:

В работе вводятся и изучаются новые функциональные пространства, которые вне особой точки совпадают с пространствами типа Соболева-Никольского-Бесова (см., например, работы С.ЛСоболева [101], В.П.Михайлова [79], О.А.Ладыженской [58]). Также вводится понятие сигма-следа в особой точке. В работе [37] изучены сингулярные эллиптические краевые задачи в областях евклидовых пространств с изолированными граничными точками, в которых решение может иметь особенности, которые нельзя даже отнести к степенным, поскольку они структурно совпадают с изолированными особенностями аналитических или гармонических функций. В работах [43]-[45] аналогичные задачи рассмотрены в областях с угловыми точками и в областях на конусе. В представленной диссертации такие задачи рассматриваются в областях плоскости Лобачевского (пространстве с постоянной отрицательной кривизной).

Практическая значимость работы. Эллиптические краевые задачи для уравнения Пуассона относятся к классическим математическим моделям. Например, в электростатике особая точка моделирует точечный заряженный объект или в общем случае бесконечную комбинацию мультиполей различных порядков; в гидродинамике особые точки - это истоки или стоки различных порядков и их комбинации; в задачах упругости и пластичности механики сплошных сред - сосредоточенные нагрузки и т.д. [1].

Методы исследования. В данной работе используются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования. Основы этого метода были заложены в работах Ж. Дельсарта, Ж.Л. Лионса, Б.М. Левитана. Последний дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Почти одновременно с первыми работами Ж. Дельсарта X. Кобером и А. Эрдейи были введены другие операторы преобразования. История развития теории операторов преобразования достаточно полно изложена в работах С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [100], А.А. Килбаса, С.А. Шлапакова [47]. Применение операторов Сонина и Пуассона в теории сингулярных гиперболических задач изучено Е.А. Ларионовым [61]. В работах В.В. Катрахова [36], [38], [37] введены новые операторы преобразования, которые использовались в теории сингулярных эллиптических уравнений, в теории псевдодифференциальных операторов, теории комплексных степеней сингулярных эллиптических операторов. В диссертации метод операторов преобразования получил дальнейшее развитие. Это связано с построением на их основе новых функциональных пространств типа пространств С.Л. Соболева. Ранее подобные конструкции операторов преобразования в евклидовом случае встречались в работах В.В. Катрахова и его учеников. В данной работе вводятся, изучаются и применяются операторы преобразования, построенные с применением гиперболических функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1) систематически на семинаре кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством д.э.н. доц. JI.C. Мазелиса;

2) Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (г.Владивосток, 2005, 2007);

3) "Понтрягинских чтениях-XVII", (г.Воронеж, 2006г.).

4) VIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Интеллектуальный потенциал вузов - на развитие Дальневосточного региона России", (г. Владивосток, 2006г.).

5) объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина, чл.-корр. РАН М.А. Гузева (г.Владивосток, 2007, 2009).

Публикации

1)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Об одном классе операторов преобразования: Препринт №5. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2005. 8с.

2)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 6. С. 736-738.

3)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Об одном классе операторов преобразования // Дальневосточный математический журнал. 2007. Т.7, № 1-2. С. 62-78.

4) Е.Д. Емцева. Сингулярные функциональные пространства: Препринт № 03. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2007. 35 с.

5)Е.Д. Емцева, В.В. Катрахов. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского // Сиб. жур.индустриальной математики. 2008. Т. XI, № 3(35). С. 71-85.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 113 страницах компьютерного текста (набранного в системе I^TgX) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 119 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Емцева, Елена Дмитриевна, Владивосток

1. Алексеев Г.В. Классические методы математической физики. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 2003. 416 с.

2. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008.364 с.

3. Алхутов Ю.А., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в выпуклой области // Дифферент ур-я. 1992. т. С. 806-818.

4. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука,1973. Т.1. 294 с.

5. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука,1974. Т.2. 294 с.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд. АН СССР, 1959. 164 с.

9. Борсук М.В. О разрешимости задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в области с коническими точками // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, №4. С. 176-177.

10. Борсук М.В. О разрешимости первой краевой задачи эллиптическихуравнений второго порядка в области с конической точкой // Мат. физ., анализ, геометрия. 1997. Т.4, №4. С. 428-452.

11. Борсук М.В. Вырождающиеся эллиптические краевые задачи второго порядка в негладких областях//Совр. мат. Фунд. напр. 2005. Т.13. С. 1-135.

12. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 400 с.

13. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН. 1962. Т.147, № 1. С. 13-16.

14. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.77. С. 89-112.

15. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.77. С. 113-142.

16. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений уравнений Лапласа и Пуассона на параллелепипеде и эффективных оценках погрешности метода сеток //Тр. МИ им. В.А. Стеклова. 1969. Т. 105. С. 46-65.

17. Волков Е.А. Об одном свойстве решений уравнения Пуассона на многоугольниках // Матем. заметки. 1999. Т.66, № 2. С. 178-180.

18. Волков Е.А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Тр. МИАН. 2001. Т.232. С. 102-114.

19. Гилбарг Д., Трудингер. Н Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит., 1989. 464 с.

20. Глушко В.П. Коэрцитивность в общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка // Функц. анализ и его прил. 1968. Т.2, № 3. С. 87-88.

21. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Матем. анализ. 1985. Т.23. С. 125-218.

22. Глушко В.П., Ярцева Н.А. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp // Мат. заметки. 1998. Т. 63, №4. С. 628-632.

23. Гущин А.К., Михайлов В.П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, №6. С. 787-810.

24. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1994. Т. 185, №1. С. 121 -160.

25. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Мат. сб. 1998. Т.189, № 3. С. 45—68.

26. Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Об одном классе операторов преобразования // Дальневосточный математ. журнал. 2007. Т.7, № 1-2. С. 62-78.

27. Емцева Е.Д. Сингулярные функциональные пространства: Препринт № 03. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2007. 35 с.

28. Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского J J Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11, № 3 С. 71-85.

29. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 584 с.

30. Ибрагимов А.И. О поведении в окрестности граничных точек и теоремы об устранимых множествах для эллиптических уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, №1. С. 25-28.

31. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений в неограниченных областях // Мат. сб. 1982. Т. 119, № 3. С. 307-324.

32. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений высокого порядка в конических областях // Мат. сб. 1984.Т. 125, т. С. 88-116.

33. Ильин A.M., Зырянова Т.Ю. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, вырождающиеся на границе области // Дифференц. ур-я. 1997. Т.34, № 8. С 1092-1099.

34. Ильин A.M., Ялышева Т.Ю.Эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных, вырождающиеся на границе области // Дифференц. ур-я. 1997. Т.ЗЗ, № 6. С. 847-848.

35. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, №3 С. 354-379.

36. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона // Мат. сб. 1991. Т. 182, №6 С.849-876.

37. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с особенностями произвольного порядка в граничных точках // Коррект. краев, задачи для некласс, ур-ий АН СССР. Ин-т мат. 1990. С. 109-123.

38. Катрахов В.В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений в областях с угловыми точками // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, №5. С. 1047-1050.

39. Катрахов В.В., Мазелис JT.C. Непрерывность, пополнение, замыкание в метрических пространствах. Владивосток: ДВГУ, 2000. 112 с.

40. Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Об одном классе операторов преобразования: Препринт №5. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2005. 8с.

41. Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. АН. 2007. Т. 412, № 6. С. 736-738.

42. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Функциональные пространства // Дифференц. ур-я. 2006. Т. 42, №3. С. 422-430.

43. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Краевая задача // Дифференц. ур-я. 2006. Т. 42, т. С. 548-555.

44. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Эллиптическая краевая задача в областях на конусе: Препринт №7. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 2004. 32с.

45. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т.77. С. 181 -183.

46. Килбас А.А., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразовании типа Бесселя и его композиции с интегральными и дифференциальными операторами // Докл. АН Беларусии. 1993. Т. 37, №4. С. 10-14.

47. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, Наука, 1997. 208с.

48. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624с.

49. Кондратьев В.А. Граничная задача для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. общества. 1967.16. С.227-313.

50. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. ур-я. 1970. Т.6, №10. С. 1831-1843.

51. Кондратьев В.А.Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 2006.25. С. 98-111.

52. Кондратьев В.А., Никишин В. А. Об асимптотическом поведении вблизи границы решений сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-я. 1990. Т.26, № 3. С.465-468.

53. Кондратьев В.А., Никишин В. А. Об асимптотике вблизи кусочно-гладкой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений // Мат. заметки. 1994. Т.56, № 1.С.50-56.

54. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи мат. наук. 1983. Т.38, №2. С. 3-76.

55. Крупская Д.А. О регулярности граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. ур-я. 1977. № 4. С.654-667.

56. Крылов Н.В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений // Дифференц. ур-я. 1967. Т. 3, № 2. С.315-325.

57. Ладынежская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576с.

58. Ладынежская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.408с.

59. Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности // Докл. АН. 1969. Т 185, № 3. С.517-520.

60. Ларионов Е.А. Дифференциальные уравнения гиперболического типа // Дифференц. ур-я. 1992. №1. С.91-96.

61. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем.наук.1951. Т. 6, №2.С.102-143.

62. Лизоркип П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением (случай обобщенных решений) // Тр. МИАН. 1981. Т.157. С. 90-118.

63. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. МИАН. 1983. Т.161. С. 157-183.

64. МазьяВ.Г. О регулярности на границе решений эллиптическихуравнений и конформного отображения //Докл. АН. 1963. Т.152, №6. С. 1297-1300.

65. Мазья В.Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы // Проблемы математического анализа. Изд-во ЛГУ. 1966. С. 45-58.

66. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Матем. заметки. 1967. Т.2, № 2. С. 209-220.

67. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно-гладкой границей // Труды Симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси. 1973. № 1. С. 171-181.

68. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН. 1973. Т.210, №3. С. 529-532.

69. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. О фундаментальных решениях эллиптических краевых задач и принцип максимума Миранда-Агмона в областях с коническими точками // Сообщ. АН Груз. ССР. 1974. Т. 73, № 2. С. 277-280.

70. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН. 1974. Т.219, Ш. С. 296-290.

71. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1975. Т. 52. С. 110-127.

72. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа. ЛГУ. 1977. № 6. С. 85-145.

73. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Весовые пространства с неоднородными нормами и краевые задачи в областях с коническими точками // Elliptische Differential-Gleichungen, Vortrage der Tagung in Rostok. 1977. № 10. C. 161-190.

74. Мамедов И.Т. О граничных свойствах решений задачи Дирихле для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка // Докл. АН УССР, сер. А. 1981. №2. С.18-22.

75. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977. 331с.

76. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504с.

77. Мирошин Н.В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференц. ур-я. 1988. Т.24, № 3. С. 455-464.

78. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392с.

79. Михайлов А.Г. О ргекоторых сингулярных уравнениях с частными производными // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, т. С. 46-52.

80. Михлин С.Г. Курс матеметической физики. С-Пб.: изд-во Лань, 2002. 576с.

81. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991. 336с.

82. Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., Б. В. Шульце. Спектральные краевые задачи и эллиптические уравнения на многообразиях с особенностями // Докл. АН. 1999.Т.367, №5. С.597-599.

83. Никольский С.М. Задача Дирихле в областях с углами // Докл. АН. 1956. Т. 109, Ш. С. 33-35.

84. Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных на областях с угловыми точками // Мат. сб. 1957. Т. 43, № 1. С.127-144.

85. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением па границе // Тр. МИ им. В.А. Стеклова. 1979. Т. 150. С. 212-238.

86. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциопальные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / / Известия высших учебных заведений. Математика. 1988. № 8. С. 3-30.

87. Новрузов А.А. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке // Матем. заметки. 1972. Т.12, № 1. С. 67-72.

88. Новрузов А.А. О задачах Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1979. Т.246, №1. С. 11-14.

89. Новрузов А.А. О необходимом и достаточном условии регулярности граничных точек для квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка // Докл. АН. 1975. Т.223, № 6. С.1311-1313.

90. Олейник О.А. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа // Мат. сб. 1949. Т. 24, № 1.С.З-14.

91. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. анализ. 1969. Итоги науки. М.: ВИНИТИ. 1971.

92. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука. Гл. ред. ФИЗМАТЛИТ, 1987. 272 с.

93. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Докл. АН. 1994. Т. 337, №4. С. 447-449.

94. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 1996.Т.32, № 3. С. 402-408.

95. Рукавишников В.А. О единственности Rv -обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных // Докл. РАН. 2001. Т.376, № 4. С. 451-453.

96. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. О коэрцитивности Rv -обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 2005. Т.41, № 12. С. 1680-1689.

97. Рукавишников В.А.,Кузнецова Е.В. Коэрцитивная оценка для краевойзадачи с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 2007. Т.43, № 4. С. 533-543.

98. Рукавишников В.А.,Кузнецова Е.В. О принадлежности Rv обобщенного решения краевой задачи с сингулярностью пространству W2tlp/2+k+i№,S) // Дифференц. ур-я. 2009. Т.45, № 6. С. 894-898.

99. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688с.

100. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808с.

101. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. 5 изд.,испр. М.: Наука, 1992. 431с.

102. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736с.

103. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // Докл. АН СССР. 1960. Т.131, Ж. С. 37-39.• 105. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. 735с.

104. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сб. 1993. Т. 184, №6. С. 99-150.

105. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: изд-во МГУ, 1979.184 с.

106. Яковлев Г.Н.Неограниченные решения вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. МИАН. 1978. Т.117. С. 312-320.

107. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

108. Т. Carleman. Uber das Neumann Poincaresche problem fur ein Gebiet mit Ecken.- Diss. Upsala, 1916.

109. Martin Costabel, Monique Dauge. Crack singularities for general elliptic systems // Math. Nachr. 2002. № 235. P. 29 49.

110. R.M. Herve. Recherches axiomatiques sur la theorie des fonctions surhar-moniques et du potentiel // Ann. Inst. Fourier. 1962. № 12. R 415-471.

111. Kondratiev V. A., Oleinik 0. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains //J. Part. Different. Equations. 1993. V. 6, №1. P. 10-16.

112. Kozlov V. A., Maz'ya V. G.,Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities // Math. Surveys Monogr. 1997. V. 52.

113. Maz'ya V.G., Plamenevskii B.A. On the coeffitients in the asymptotics of solutions of elliptic boundary value problems in domains with conical points // Math. Nachr. 1977. № 76. P. 29-60.

114. Maz'ya V.G., Plamenevskii B.A. Estimates in Lp and in Holder classes and Miranda-Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary // Math. Nachr. 1978. № 81. P. 59-82.

115. Oleinik O. A., Radkevich E.V. Second order equations with nonnegative characteristic form. New York London: AMS, Plenum Press. 1973.

116. G. Tautz. Zur Theorie der ersten Randwertaufgaben // Math. Nachr. 1949. № 2. P. 279-303.

117. Yan Zhimin. Differential operators and function spaces. //Several Complex Variables China-Providence(R.L). 1993. P.121-142.