Некоторые двумерные сингулярные интегральные уравнения и их приложения к дифференциальным уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Худжаназарова Гулшод Худжаназаровна

НЕКОТОРЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 2004

о

Работа выполнена на кафедре функционального анализа к дифференциальных уравнений Таджикского государствен ного национального университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физ.-мат. ваук, снс

ДЖАНГИБЕКОВ Гулходжа

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: ■ академик АН РТ, доктор

физ.-мат. наук, профессор МИХАЙЛОВ Леонид Григорьевич * доктор физ.-мат. наук, доцент

ИСМАТИ Мухамаджон

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Российско - Таджикский

славянский университет

А ¿¿её

Защита состоитсй " ^ " , 2004 г в _ часов на

заседании диссертационного. совета К.737.004.03 при Таджикском государственном национальном университете по адресу: 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект Рудаки, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета

Автореферат разослан * ........ "....... 2004 г._

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н., профессор Мустафокулов Р.

8422 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Известно, что наиболее полные и тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными были получены на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений. •

Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения соприкасаются с направлением, связанным с новым классом интегральных уравнений, введённых в рассмотрение Л.Г.Михайловым при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Речь идет о многомерных интегральных уравнениях с ядрами, однородными порядка (—п), удовлетворяющих определенному условию суммируемости. •

С другой стороны, исследуемые интегральные уравнения примыкают к направлению, связанному с теорией многомерных сингулярных интегральных операторов (С. Г. Михлин, А. Кальдерон и А. Зигмунд, И. Б. Симо-ненко, А. Джураев, Р. В. Дудучава, И. И. Комяк, Н. Л. Василевский, В. М. Бильман, Г. Джангибеков), в частности, они включают в себе двумерные сингулярные операторы, которые, как показано в известной монографии И.Н.Векуа, а также монографии А.Джураева и в работе В. Боярского, играют важную роль в теории краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При этом следует особо отметить, что А. Джураевым впервые был обнаружен эффект влияния границы области на нетеровость и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области.

Хорошо известно (А. Бицадзе), ^то задача Дирихле корректна не для всякой системы уравнений эллиптического типа; существуют эллиптические системы второго порядка, для которых в некоторой области задача Дирихле не является даже нетеровой, т.е. подпространство решений однородной задачи Дирихле и подпространство условий разрешимости неоднородной задачи имеют бесконечные размерности. Поэтому исследования

рос. национальная!

ЬИЬЛИОТЕКА | С.Петербург |

200 ф К _I

разрешимости задачи Дирихле эллиптических систем высокого порядка на плоскости является актуальными.

Цель работы. Исследование некоторых классов двумерных сингулярных интегральных уравнений, содержащих в ядре однородные функции, удовлетвряющие условию суммируемости, построении теории нетера новых * типов двумерных интегральных операторов, представимых в виде конечной суммы сингулярных интегральных операторов с четной характеристикой оо ограниченной области и интегралов с ядрами типа Бергмана с непрерывными коэффициентами, исследование разрешимости задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений четвертого порядка на плоскости.

Метод исследования. При обосновании полученных в диссертации результатов используются методы комплексного анализа, методы функционального анализа, включая теорию банаховых алгебр, локальный метод в теории операторов, метод Фурье. <

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

а) Изучены некоторые классы двумерных сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области, содержащих в ядре однородные функции, удовлетворяющие условию суммируемости, для которых получены необходимые и достаточные условия нетероности в лебеговых пространствах с весом и формулы дня вычисления индекса. В модельных случаях подсчитаны числа решений однородных уравнений и числа условий разрешимости неоднородных уравнений.

б) Найдены эффективные необходимые и достаточные условия нете|кь вости довольно широких классов двумерных операторов, представимые в виде конечной суммы сингулярных интегральных операторов с четной характеристикой и интегралов с пали-керн ядрами типа Бергмана нроизволь-ного порядка с непрерывными коэффициентами; даны формулы для вычисления индекса операторов через приращение аргумента вдоль границы области некоторых конкретных функций, которые даются посредгтном алгебраических операций над коэффициентами.

в) На основе результатов по сингулярным интегральным уравнениям получены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровосги и формулы индекса задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений четвертого порядка с непрерывными коэффициентами на плоскости; показано, что нарушение условий ненрерммжктн к<, )ффн-

циентов сильно влияют на нетеровость и индекс задачи Дирихле. Более того, в этом случае разрешимость задачи будет зависеть от показателя р -дебетового пространства V .

Апробации работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, ТГНУ, 2003 г.), иа научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава ТГНУ ( 2003 г.), а также на семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |1-8). Статьи |1), |3], [5-8] написаны в соавторстве и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на семь разделов со сквозной нумерацией. Общий объем работы составляет 91 страниц. Библиография состоит из 78 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведено описание основных результатов диссертации.

В первой главе работы в серии банаховых пространств функций изучаются некоторые классы двумерных сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области, содержащих в ядре однородные функции, удовлетворяющие условию суммируемости. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс указанных уравнений. Особое внимание уделяется тем частном случаям, где удается подсчитать число решений однородных уравнений и ,число условий разрешимости неоднородных. Это достигается посредством дедукции исходного уравнения к бесконечной совокупности одномерных интегральных уравнений с ядрами, однородными порядка (-1), относительно коэффициентов Фурье неизвестной функции. Применительно к суммируемым однородным ядрам эта ме- , тодика разработана Л. Г. Михайловым . \

Раздел 1 первой главы носит вспомогательныкхарактер. В нем описаны используемые в работе пространства функций и приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах.

В разделе 2 рассматривается интегральное уравнение

«М/М~1{ц)ПIf Q«-$}f(0<is< = Ф), ze D, (1)

D

где z = re'9, Ç = pe,a— комплексные обозначения точек плоскости, D -конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова Г, п- целое число, Q(z, С)- непрерывная функция при всех z,Ç£ D, а функция h(a) удовлетворяет следующим требованиям:

a). h{a) удовлетворяет условию Гельдера в точке «7 = 1, т.е.

|Л(а) — Л(1)| < с|«7 — 1|', когда |<7 — 1| < ео> где ео- некоторое малое фиксированное число:

b).

ff \h{a)\\a\-pdsa + Ц \h((r)\\a\-^0dsa < оо, И<1 Н>1

где fi- некоторое число из интервала (0,2).

Ранее уравнение (1) было изучено Г. Джашибекомым лишь в частном случае a(z) s 1, Q(z,C) = А = const. Пусть |а(0)| Ф |ft(0)|. Введем следующее обозначение

= RflFpke [|а(0)|2 - "-»(*:/*>],

тг

— при четном п, п — 1

—-— при ничепюм п, где

= KmMvU+X^ix +Q(0,0) И H(o)c-—|«7|-fl+"dS„,

|ст|<оо

Ч,(х-,0) = + Щ II H{ô)e-"mW\-Mu<l*-

|<т|<00

Теорема 2.1. Для того, чтобы уравнение (1) было нетеровым в L^_2fp{D) (1 < р < оо, /3 - число из интервала (0,2)), необходимо и достаточно выполнение условий;

|а(г)| ф |Л(1)||<2(г, z)\ при z eD, a(t) ф 0 при t С Г, (2)

к = по,по + 1,-

-00 < X < ОО, »0 =

9к(х\/3) ф 0, -00 < х < оо, к = По, По + 1, • • • , (3)

причем индекс уравнение (1) равен

М>

х = -{2Шга(1) + 2 Т 1п<1 дк(х;0) + ц 1п<1 £„.(*;/3)},

к=по+1 •

где N0 - некоторое натуральное число, ц = 1, если п четно, и ц — 2, если п нечетно.

Теорема 2.2. Если условия (2) и (3) нарушены, то оператор А, не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов в

Пункт 2.2 раздела 2 посвящен более детальному исследованию уравнения (1) для некоторых частных случаев функции Л(сг). В этих случаях выписываются раздельные формулы для подсчета числа линейно-независимых решений однородного уравнения и числа условий разрешимости неоднородного уравнения в случае а(г) — а(0), ¿¿(г, () — (¿(0,0).

Случай 1. Рассматривается интегральное уравнение

<тг)М('УЦ «й,Л0*.(=9(,),(4)

ю<1

где п > 1, функция удовлетворяет требованиям а) и Ь) из пункта 2.1 и имеет вид Н(сг) = Л^Н)/^^), где Лг((т)- является аналитической функцией в области |<т| > 1. Исследование уравнения (4) ведется в серии банаховых пространств функций V : Ср,

Мр (1 < р < оо, /3— число из ус^вия Ь)).

Теорема 2.3. Пусть в (4) п > 1, £> = {*: \г\ < 1}, функция Н(ех) удовлетворяет требованиям а) и Ь) из пункта 2.1 и имеет вид к(а) = Л1(|<г|)/»2(<т), где Аг(<г)- является аналитической функцией в области |<г| >1.

Тогда для того, чтобы уравнение (4) былЬ нетеровым в серии банаховых пространств функций V : Ср, Мр, (1 < р < оо, ¡3— число из интервала (0,2)), необходимо «чдостаточно выполнение условий

М0)|^|Л(1Ш(0,0)|пригеД (5)

9к{х-,Р) #0, -оо < X < со, п0 < к < N0, (6)

причем и и определяются по формулам

п-2

£ хк, ус~22 *к.

к=но п-1 </к<Ло п-1 <*<ЛГ0

где

= —2 1п(1 Р), если п — нечетное число,

-„<,«» ^

= — 1пс1 </|_|(аг,/3), если к = — — 1,и п — четное число,

Случай 2. Предполагается, что в уравнении (4) п < 0, а функция Л(с) удовлетворяет условиям, а) и Ь) из пункта 2 1 и имеет вид И{о) — /11(|<т|)Л2(<т), где к2{(г)- является аналитической функцией !; круге \а\ < 1.

Теорема 2.4. Пусть в (4) п < 0, П = {г : \г\ < 1}, функция Н{а) удовлетворяет требованиям а) и Ь) ил пункта 2.1 п нме.ип чид Н(а) = Л1(|ст|)/12(сг), где кг{сг)- является аналитической функцией п круге |<т| < 1 Тогда для того, ■чтобы уравнение (4) было нетеровым в серии бапахо вых пространств функций V : Щ-г/Р' % (I < р <

оо, число из интервала (0,2)), необходимо и достаточно выполнение условий (5) и (6), причем х+ и определяются по формулам

-1

= х*> х ~ УЗ ** ~ ¿С

п-1 <к<ЛГ0 к-п0 п-1<к<\0

где Хк— определены в (7).

В теоремах (3.1) и (3.2) раздела 3 предыдущие результаты обобщаются для сингулярных интегральных уравнений с четной характеристикой-

аШг)+ЦС-£// = »й,«£». .8.

й

где тп— целое положительное число, в — агд(( - г), «функция (?(.г,() -непрерывная функция при всех г, С € Д а ичмеримая на всей млискос I и функция к(<г) удовлетворяет требованиям а) и 1)) нч пункт 2 1

Во второй главе работы в весовом пространстве Ьр изучаются операло-ры, представимые в виде конечной гуммы двумерных еннгучярпыу ише-гральных операторов с четной характеристикой и иш¡тралов с ноли-ке|)н

ядрами типа Бергмана произвольного порядка. Построена алгебра довольно широкого класса таких операторов с непрерывными коэффициентами г на основе эчого и терминах символа оператора построена теория неае-ра и вычислен индекс операторов из указанной алгебры. Эти результаты существенно обобщают полученные раннее результаты Г. Джаигибекова .

В пространствах (1 < р < оо,0 < 0 < 2) рассматриваются

двумерные сингулярные интегра пьные операторы вида

А з о/ + ЬК + (с! + ¿К)Бт + (е/ + ЛА')5_т-1-+ ]ГЦу-п1 + »аК)В-» + (Мп1 + М-»К)Вп] + Т, (9)

П=1

где о(г), ¿(г), с(г), с1(г), е(г),_/г(г), ^-„(г), ип(г), ^(г), Ц-п(г) (п = 1,2,...,т) - непрерывные в £> = РиГ комплеконозначные функции, I - тождественный оператор, (Kf)(z) =- /(г), черта над функцией означает переход к комплексно - сопряженным значениям, Т - вполне непрерывный в Ьр„1(0) оператор;

(&,/)(*) = /[ 0 = аге(С - г), г € Д

о

- элемент плоской меры Лебега, интеграл понижается в смысле главного значения по Кош и;

(Вт/)(*) = и Вт(*, 0/(0&с> = К8тК, В-т КВтК,

о

п , л___' а2т<?т(г,С)

М 4тг((т -1)1)2 дгтдСт '

£»т(г, С) - функция Грина для степени оператора Лапласа Дт в области Р. Ранее, оператор изучался Г. Джангибековым лишь в часлшм случае, когда е = к = ц„ = /1_„ = 0, (п = 1,2,..., т)

Исследование оператора А ведется по следующей схеме. Сначала в разделе 4 изучается алгебра операторов частного вида А, где Ь = с = е = к~ 0. Затем, в разделе 5 оператор А эквивалентным образом сводится к более простым операторам и далее указанные операторы представляются в виде композиции обратимых операторов и операторов изученных в разделе 4.

В итоге получены эффективные необходимые и достаточные условия

нетеровости оператора А в Ьрв_г(0) в виде неравенств, содержащих алге-

■ *

браические операции над коэффициентами оператора А. В разделе 4 главы 2 изучается алгебра операторов М\

т

М = а1 + йЭ-тК + + ипК)В^п + (//„/ + ц-пК)В,) + Т, (10)

П=1

в лебеговых пространствах (1 < р < оо, 0 < /3 V' 2). Рас-

сматривая алгебру И, порожденную всеми действующими в пространстве 1Л г(й) (1 <р<оо,0</3<2) операторами вида М из (10) обнаруживается, что она не исчерпывается одними операторами вида М При описании этой алгебры % возникает необходимость в изучении онерагоров более сложной природы, а именно операторов вида

Л = а1 + dS-mK+

+ + vnK)B-n + (//„/ + ti-nK)Bn + (<L„/ -I- 6nK)B-„Sm+ (11)

n=l

+ S_mJ3_n(7„/ + 7-пЮ 4- rnS_mB_nSffl] + T,

где здесь a(z), d(z), v~u(z), vn(z), /¿„(г^М-Дг) Д,(2)' ¿_п(г).7_п(г),7„(г), т„(г) (и = 1,2,..., ттг) - непрерывные в D функции T е J, а че[к> i J обозначен идеал содержащихся в 1t вполне непрерывных операторов. Каждому оператору Л & % сопоставим в качестве символа блочпо-диагональпую матрицу-функцию порядка Зт + 2 вида

/Д (г) 0 ... О \ 0 Щ1) ... о

0A(Z,Î) =

0

0

где

_ Ш ЬЩ - \Цг) a(z)J '

.. Vm(t)J

z е75;

vn (t) =

MO + _JX„n-kW__IX,,

EZU«*(*) «(«) + MO d(t) + Z'L, m

ET=n MO d{t) + 7-*(0 a(t) + El" „ (t)j

t G Г (п = 1,2,..., i е. блочная матрица ф.> и-.ци i a^(z, t) немрррыпи. на компакте DиГ. Множество так опред» <> ;шых ( нмнолои обозначатся через Л/".

Теорема 4.5. Для того, чтобы, произвольный оператор А из алнбрн К был нетсровым о просщжюпве LP„,(D)( 1 < р < оо,0 < /3 <

необходимо и достаточно, чтобы det a^{z,t) ф 0 на 75 U Г, т.е.

т

|a(z)| ^ |ф)| при zeD, det !>„(<) ^ О при t е Г. (13)

П=1

При выполнении этих условий индекс оператора А равен

1

* = -]T][argdetZ>n(t)]r,

П = 1

где матрицы Т>п определены в (12) .

В разделе 5 для оператора A in (9) доказана следующая Теорема 5.1. Для негперовости оператора А в пространствах Lp.j(D) (1 < р < оо,0 < 0 < 2) необходимо и достаточно выполне-

^ г

ние одно г о u,i еле дую щи i (исключающих друг друга) условий: |4i(~)l > А(~') + >Лг(*) + \m(z)\2 - |A,(z)P + |%(г)|2 - |Аз(г)|2

т

для оеех z € Д JJdet t>'(t) ф 0, для всех t € Г; (14)

П=1

|Д2(-)1 > *(*) + vV (*) + Ы*)\2 - |А,(2)Р + М*)|' - |Аа(г)|2

in

для нге.г z е D, JJ det Vl{t) ф 0, для всех t € Г; (15) >1=1

№)1 > Х(г) + у/х2(*) + \m(z)\2 - |Аз(г)|г + \m(z)\* - |А,(*)|*

т

для всех z € ~D, Д det T>l(t) ф 0, для всех t € Г, (16) «=1

<)<■ функции, входящие в указанные условия, определены в разделе 5.

При этом, если выполнено (Ц), то индекс оператора А равен х — 2 Y^n--1 Indi (lct P,'(i); если выполнено (15), то ус — 2 fndf det "D2(t),

и ее in выполнено (16).

то к — I 2_,п-1

Indi'detD^(i).

И

Хорошо известно (И. Н. Векуа, Б. Боярский, А. Джурюв) , что теория двумерных сингулярных ННТС1 рольных операторов тсс >м связана с теорией красных задач для эллиптических систем дифференциальные уравнений на плоскости. В частности методом сингулярных интегральных уравнений В. Боярский и А. Джурасв показали, что для сильно эллиптических систем второго порядкам двумя независимыми переменными задача Дирихле фредгольмона.

В третьей главе работы даются приложения полученных результатов периьк двух глав по сингулярным интегральным уравнениям к исследованию задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка на плоскости. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс указанной задачи для широкого круга эллиптических систем четвертого порядка с непрерывными коэффициентами и показано, что нарушение условий непр; рывности коэффициентов сильно влияют на нетеровость и индекс задачи Дирихле: Более того, в этом случае разрешимость задачи будет зависеть от показателя р лебегового пространства 1Р.

Пусть I) = {г : < 1} - единичный круг комплексной плоскости г — х + гу. Рассматривается дифференциальное уравнение 4-го порядка

i=0 3 - .... - " <17>

+ '

*+/=о

где u(z) = u(x,y)+iv(x,y), коэффициенты уравнения akj{z), bkj{z) (k,j = 0,..., 4) будем считать непрерывными в "Б, g(z) € LP(D), 2 < р < оо, ~

дИ~2\дх+%

*ду)' " dz 2Vaz %ду)'

Задача Дирихлё. Найти функцию ы(г) из класса 1Ур (О) ПС(Г>), удовлетворяющую внутри <7 уравнению (17), а иа ее границе Г двум краевым

условиям

/М „ дш

«(*)1г=0. дИ

— 0) (18)

где - очначает пронзв'у^ую по направлению внешней нормали i ках контура Г. Доказывается, что у,va:, шная задача эквивалентна : ■ ¡нешчо следующего двумерного епк.уля'мл-о интегральна., о уравнения:

(а2,2/ + b2,2K)f+

t- (а.;,п/ + Ь,АК) (S2f - Зг2В2/ + 4z1L'i / - 4zîS1B1/) + + (ао.,1 + bii0K)(S-2f - Зг2В_2/ + 4г4В_,/ - ; (19)

i (a3,i/ + b,i3K)(S1/ + 2ï2B1/)+ + (ai,3/ + ) (5-,/ + 2 z2B_,/) + (Т/)(*) = s,

где здесь /(г) - искомая, д(г) - заданная функции класса LP{D) (1 < р < го) ;>. (Kf)(z) = /(г) - оператор перехода к комплексно-сопряжс^яым значениям, Т - вполне iienpepi чшый оператор.

В раздело 6 исел<\ ¡»«.шы те случаи системы (17), для которых критерии нетеровостн н индекс задачи (18) можно будет сформулировать в эффективном виде в терминах коэффициентов системы.

Теорема 6.1. Пусть в системе (17) а^з = азд = bij = Ьзд = 0. Тогда для того, чтобы задача Дирихле (18) для эллиптической системы (17) была пстгровой, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий:

|Д1(*)| > х(г) + т/хЧг) + Ыг)\2 ~ \Ш\2 + Ы*)\2 ~ |А3(*)|2 _

для всех z е D; (20)

|Д2(*)1 > Х(*) + у/\2П + Ыг)Р - |А,(г)|» + М*)|2 - \Ш\2

для всех г € D, Xi{t)\2{t) + A2{t)rn(t) ф 0, для всех■ t € Г; (21)

|Дз(г)| > x{z) + vW) + |Ч5(*)Р - \Ш\2 + Ы*)12 ~ |Ла(г)|»

для всех z е D, \2{t)Ht) - A3{t)T]3(t) ф 0, для всех t 6 Г. (22)

При .mm» если выполнено (20), то задача фредголъмова (т.е. ее индекс ранен uyiw); если выполнено (21), то индекс задачи равен х = 4/7fd|-(Ai(i)A2(f) + A2(i)rçj(t)); если выполнено (22), то х =

-4/пс/г(А2(0Аз(0 - Лз(Ф/з(0)-

В теореме 6.2 получены аналогичные (мгзультаты для уравнения (17) в случае, когда г!(0 = «о i = (>\п = Ы ( = 0. Дадгч1 доказывается

Теорема 6.3. Пусть в системе. (17) а4,о - «3,1 = а^з = оц,) - 0. Тогда для того, чтобы задача Дирпхге (18) для эллиптич'гкой системы (17) была петеле ной, необходи мо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий: 4

|а2,2(г)! > | У* 6 А 1*1 = 1 ши когда

'Г _ 4 (23)

|а2.2(*)| < 1V* € Д и 1п6щ=1 ]Г Ъ]АЧ(г)1*~* = 2; >=0 ;'=0 4

|аад(*)| < I£ V* € Ъ, Щ = 1

(24)

и для Уг е Г а2>2(г) ф 0, когда /пй1((=1 ^^-¡(г)^4 ф 2.

¿=о

При этом, если выполнено (23), то задача фредгольмова (т.е. ее индекс равен нулю); если выполнено (24), а система (17) принадлежит гомо~ топическим классам e^ или ео, то индекс задачи соответственно равен и = ±4/т/ра(0> если выполнено (24), а система (17) принадлежит гомотопическим классам £3 или а, то индекс задачи соответственно равен к = ±2/пЛга(0> где гомотопические классы (У = 0,... 5) описаны в разделе б главы 3.

Далее в разделе б рассматривается следующая система дифференциальных уравнений

Л Г . .^ш ^ , , . (25)

где <р = агдг,п— це^ое число, а функции 02,2(2), 61,3(2) непрерывны в I). Как

видно из (25), коэффициент при производной лдр в точке г = 0 по всем лучам, выходящим из начала координат, имеет разные пределы.

Теорема 6.6. Для того , чтобы задача (18), (25) в классе И2 < .р < оо была нетеровой, необходимо и достаточно выполнение условий

|ог,2(2)1 ф |Ь13(2)| для всех 2 615, а2(2^) ф О для всех * € Г, (26)

|А| ф Лр(А), к целое, к>пц,кф ^(1 + згдпп) - 1, (27)

причел« индекс задачи равен х = -2/пйга(0 + *р(А), где числа Хр(Х) определены в разделе 6.

В разделе 7 рассматривается задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с коэффициентами, имеющими существенный разрыв в начале координат.

В пункте 7.1 в единичном круге И = {г : |г| < 1} рассматривается следующая эллиптическая система

а+ * а? + а'(г) № + ь,(г)Т*+ &+ (28)

+ + е\{г)ш + кх(г)ш = д(г),

где г = х + iyl и = и(х,у) + п>(а:,у), ч> — а^г, коэффициенты а(г),Ь{2) и т.д. являются непрерывными функциями в 15,-ад(г) € 1/{В),1 <р< оо.

Как видно ни (28), коэффициент при производной ^ в точке г = 0 по всем лучам, выходящим из начала координат имеет разные пределы.

Задача Дирихле. Найти непрерывные решения системы (28) в области О из класса 11^(0), 2 < р < оо, удовлетворяющие на границе Г условию

(0|г= (»)

Чо|>ез А) обозначим число, равное для |А| < 1 количеству значений к. при которых йр(А:) < |А), а для )А] > 1 равное количеству значений к, при которых Яр{к) > |А|, где по прежнему А = Ь(0)/а(0). Переходом к двумерным сингулярным интегральным уравнениям с разрывным коэффициентом установлена следующая основная

Теорема 7.4. Для того , чтобы задача (28), (29) в классе 2 <

р < оо была нетеровой, необходимо и достаточно выполнение условий

|а(г)| ф |6(г)| для всех г 6 "5, а(<) ф 0 для всех < € Г, (?>))

N

и*

причем индекс задачи равен х = — 4- *Р(А).

4(1 -*)

к2-?

Публикации автора по теме диссертации

1. Об одном классе интегральных уравнений с особенностями //Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с. 57-62. (совм. с Г. Джангибековым).

°2. О задаче Дирихле для одной эллиптической системы с разрывном коэффициентом. //-Труды межд. науч. кпнф. по диффер. и интегр. уравнениям с сингулярными коэффициентами Душанбе, 2003, с. 57-62.

3. О нетёровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области. // Труды межд. научной конф. по диффер. и интегр. уравнениям с сингулярными коэффициентами Душанбе, 2003, с. 57-62. (совм. с Г. Джангибековым).

4. Об одном классе интегральных уравнений с особенностями.// Матер, научно-теор. конф. ТГНУ, Душанбе, 2003, с. 15.

5. О нетеровости и индексе одной эллиптической системы с разрывном, коэффициентом. // Вест. ХоГУ, 2003, серия 1,1М.

6. О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости. // Вест. нац. университета, 2004, серия математика, №1. с. 43-54. (совм. с Г. Джангибековым^.

7. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области. // ДАН России, 2004, т. 394, №6. (совм. с Г. Джангибековым).

8 О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости.// ДАН России, 2004. т. 395, №1. (совм. с Г. Джангибековым).

1в

)

Подписано к печати 3 04 2004г ОбъСм I п.л. Тираж 100 -иа. Заказ № 330 Адрес г Душанбе, ул Турсунмде. 30. РТС У

Ч'

i

lj

0

f-\

*

»

'S

РНБ Русский фонд

2004-4 8422

1. Бильман Б. М., джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых особых двумерных интегральных уравнений.// ДАН СССР, 1990, т. 312, №, с. 15-19.

2. ВАСИЛЕВСКИЙ Н. JI. Банаховы алгебры, порожденные двумерными интегральными операторами с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. ВУЗов Матем.-1986, №2,-с. 12-21.

3. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О нетеровости и идексе одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами // ДАН СССР, 1988, т. 300, №2, с. 272-276.

4. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости // Док. РАН, 1993, т. 330, №, с. 415-417.

5. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах // Матем. заметки, 1989, т. 46, №46, с. 91-93.

6. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Нетеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // Изв. ВУЗов, матем. 1991, №1, с. 19-28.

7. ДЖАНГИБЕКОВ Г., ХУДЖАНАЗАРОВА Г. О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости // ДАН России, 2004, т. 397,, №

8. ДЖАНГИБЕКОВ Г., ХУДЖАНАЗАРОВА Г. О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости // Вестник Национального Университета, серия математика, 2004, №1, с. 43-54.

9. ДЖУРАЕВ А. Д. Об одном методе исследования сингулярных интегральных уравнений по ограниченной плоской области // ДАН СССР. 1971, т. 197, №6, -с.1251-1254.

10. ДЖУРАЕВ А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987, 415 с.

11. ДЖУРАЕВ А. Д.О некоторых системах двумерных сингулярных интегральных уравнений с полиномиальными характеристиками в ограниченной области // Докл. АН Тадж ССР.-1974, т. 17, №9, с. 3-6.

12. ДЖУРАЕВ А. Д.Применение эллиптических краевых задач к иследо-ванию сингулярных интегральных уравнений по ограниченной плоскости // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. -Тбилиси. -1972. т. 2, с. 104-118.

13. ДЖУРАЕВ А. Д. О некоторых двумерных интегральных уравнениях по ограниченной области // В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Краевые задачи. -Тбилиси. -1979, с. 89-94.

14. КРЕЙН С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М. 1971, 103 с.

15. КОМЯК И. И Общее решение одного двумерного сингулярного интегрального уравнения // Докл. АН БСССР.-1977, т. 21, №2, с. 1074-1077.

16. КОМЯК И. И Об условиях нетеровости и формуле индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН БССР, 1978, т.22, №6, с. 488-491.

17. КОМЯК И. И Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнений с ядром Бергмана //Докл. АН БССР, 1979, т. 23, №1, с. 8-11.

18. КОМЯК И. И Условия нетеровости и формула индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений по круговой области // Дифферент уравнения.-1980, т. 16, №2, с. 328-343.

19. КОМЯК И. И О некоторых классах двумерных интегральных уравнений // В сб.: Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75-летию со дня рождения акад. АН БССР Ф. Д. Гахова.- Минск, 1985,с. 64-68.

20. МИХАЙЛОВ Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.- Душанбе, Дониш, -1963, -183 с.

21. МИХАЙЛОВ Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1, Душанбе, Дониш, 1966, 49 с.

22. МИХАЙЛОВ Л. Г. О некоторых многомерных интегральных операторах с однородными ядрами // ДАН СССР, -1967, т. 176, №2, с. 263-265.

23. МИХАЙЛОВ Л. Г. О некоторых двумерных интегральных уравнениях с однородными ядрами // ДАН СССР, -1970. т. 192,№2, -с. 272-275.

24. МИХАЙЛОВ Л. Г. Об одном интегральном уравнений теории обобщенных аналитических функций в сингулярном случае // ДАН СССР, -1970. т. 190. №3, с. 531-534.

25. МИХАЙЛОВ Л. Г. Многомерные интегральные уравнения с однородными ядрами // Труды симпоз. по механике сплошной среды и родственным пробл. анализа.- Тбилиси.- 1973, т. 1, с. 182-191.

26. Михайлов Л. Г., Бильман Б. М. Об условиях полной непрерывности опреаторов с особенностью типа однородной функции степени -1. // Докл. АН ТаджССР. -1965, т. 8. №9, с. 3-7.

27. МИХЛИН С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 254 с.

28. МИХЛИН С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977, 431 с.64. михлин С.Г. О вычислении индекса системы одномерных сингулярных уравнений // ДАН СССР, 1968, т. 168, №6.

29. МУРТАЗОЕВ Д. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения по ограниченной области // Докл. АН ТаджССР. -1975, №7, с. 3-6.

30. ПРЕСДОРФ 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. -М.: Мир. -1979, -494 с.

31. ХУДЖАНАЗАРОВА Г. Об одном классе интегральных уравнений с особенностями //Материалы научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава. ТГНУ, 2003, ч.2, с. 13.

32. ХУДЖАНАЗАРОВА Г. О задаче Дирихле для одной эллиптической системы с разрывным коэффициентом. // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе, 2003, с.165-169.

33. ХУДЖАНАЗАРОВА Г. О нетеровости и индексе одной эллиптической системы с разрывным коэффициентом // Вестник ХоГУ, серия 1, 2003, №6, с.

34. ШИФФЕР M. Экстремальные проблемы и вариационные методы в кон-фрмном отображении //В кн.: Международной математический конгресс в Эдинберге (обзорные доклады). М.: Физматгиз. -1962, с. 193218.

35. BERGMAN S.The kerner function and conformai mapping // Math. Surveys Amer. Math. Soc.-1950, №5, p. 161.

36. Bergman S., Schiffer M. Kernell funstions and elliptic differential equations in mathematical pfysisc. New. York: Acad. Press, 1953. -432p.

37. CALDERON A.,ZlGMUND A.On the existense of certain singular integrals // Acta math.-1952. -v.88. -M. p. 85-139.76. calderon A.,Zigmund A. On singular integrals //American j. math. -1956. -78.-P. 289-309.

38. ZlGMUND A. On singular integrals // Rend. math, eapplic. -1957.-V. 5-16. -fass 3-4.-p. 468-505.

39. STEINE M. Note on singular integral // Proc. Amer. Math. Soc. -1957. -8, №2. p. 250-254.