Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингульярными линиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

003163193

ОРИПОВ ТУРДИКУЛ САФАРОВИЧ

ФОРМУЛЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ И ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ - 2007

003163193

Работа выполнена на кафедре высшей математики Таджикского технического университета имени академика М С Осими

Научный руководитель: академик Академии Наук Респуб-

лики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор Михайлов Леонид Григорьевич.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Сатторов Абду-маннон Сатторович.

кандидат физико-математических наук, доцент Шарипов Бобоали.

Таджикский государственный педагогический университет имени С Айни

1

,2007 г в

1к

0/0

часов на заседании

Защита состоится «-С » диссертационного Совета К 737 004 03 при Таджикском государственном национальном университете по адресу 734025, Республика Таджикистан, г Душанбе, проспект Рудаки, 17

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета

Автореферат разослан «р/ » 2007 г

ертационного математических

Мустафокулов Р.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Квазилинейные переопределенные системы уравнений в частных производных с одной искомой функцией, включая системы в полных дифференциалах (п д.-системы), изучались в трудах Якоби, Фробениу-са, Гурса, а также И В Гайшун (Минск) и других

В Таджикистане исследования по переопределенным системам были начаты Л Г Михайловым в 1971 г , о чем можно судить по его монографии «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями» изд Дониш, Душанбе 1986 г

Л Г Михайловым была развернута еще и другая научная подпроблема переопределенные системы с сингулярными точками и линиями, в работе над которой за 15-30 лет была создана достаточно крупная научная школа Определенные результаты в данной области получены Л Г Михайловым, Н Раджабо-вым, Э Мухамадиевым, Э Рузиметовым и их учениками А С Сатаровым, Р Пировым, Б Шариповым, М Холовым, Р Сайдуллаевой и другими В работах А И Перова, В Г Задоржнова, Ф Н Назарова в многомерном пространстве рассмотрены уравнения в полных дифференциалах первого порядка

Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и точками посвящена монография академика АН РТ Н Раджабова «Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1992 г, 236 с), в которой методы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами В 1994 году в монографии Э Рузметова «Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных» (Душанбе, 1994, 241 с ) были получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и многообразиями Применением системы уравнений в частных производных первого и второго порядка (с регулярными правыми частями) к решению некоторых задач гидро- и газодинамики занимались В Н Манахов, М М Лаврентьев и их ученики

В предлагаемой диссертационной работе изучаются некоторые классы дифференциальных уравнений и системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными многообразиями, имеющие важное значение в математической физике, мало изучены В связи с этим проблема полу-

чения многообразия решений и исследование некоторых задач для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями является актуальной

Цель предлагаемой диссертационной работы. Исследовать полные дифференциалы второго порядка с сингулярными линиями и решения соответствующих систем уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными линиями

Практическая и теоретическая ценность. Работа является чисто теоретической Исследуются переопределенные системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями, которые до сих пор не рассматривались Результаты, полученные в работе, являются новыми Результаты диссертации можно применить в решении задач математического анализа для определения углов наклона касательных, выпуклостей, для определения поля скоростей, в задачах электро- и гидродинамики и других отраслях науки

Методы исследования. Методика данного исследования базируется на классическом вещественном двумерном анализе и теории дифференциальных уравнений с новыми ее приложениями для переопределенных систем, изложенными в монографии Л Г Михайлова «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями»

Научная новизна работы. Установлен ряд новых теорем существования и единственности решений задач Коши для тех или иных переопределенных систем (трех или двух) уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями В ряде случаев для решений найдены явные интегральные представления

Апробация работы. Отдельные ее части докладывались на научных семинарах академика Л Г Михайлова, которые он проводил в Таджикском государственном педагогическом университете в прежние годы, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском техническом университете, в институте Предпринимательства и сервиса, на Республиканских конференциях в Кургантюбинском государственном педагогическом университете, а также работа была доложена на международных научных конференциях в ТГНУ, ТГПУ, ТТУ, ИСП (1997,2001, 2002, 2004, 2005, 2006,2007 гг)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце автореферата Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы Работа изложена на 114 страницах машинописного текста Библиография насчитывает 36 наименований

ОБЗОР РАБОТЫ

В §§ 1, 2 приведены теоремы существования и единственности решений задачи Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения и для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

В § 3 описывается классический полный дифференциал второго порядка в регулярном случае для общих квазилинейных п д -систем второго порядка

и'„,иа,и-„=РЧх,у,и,и'х,и,). ' = 1,2,3 (3)

Л Г Михайловым в § 5 его монографии «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями» была разработана общая теория представления решений, каторая состоит в том, что, вводя две новые искомые функции

и'х=У, иу=\К, (А)

удается привести систему уравнений к двум, а вместе с (А) даже к трем, п д -системам первого порядка

Ух,Уу=Г(х,у,и,У ДП 1 = 1,2 (В)

\¥х,\Уу=Г(х,у,и,У,\У), 1= 1,2 (С)

Решая сначала п д -систему (С), затем (В) и затем (А), мы получим решение исходной системы (3), соответственно этому ставятся и начальные условия задачи Коши Потребовав выполнения соответствующих условий совместности, мы придем к основной теореме существования и единственности решения для п д -системы (3)

В пункте 4 1 § 4 диссертации рассматривается регулярная п д -система и"хх,и"ху,и"уу=Р1(х,У,и,их,и'у), * = 1,2,3 (411)

и для нее задача Коши

=С0, (£/,). =С2, 0/})„=с3 (4 12)

»=»0

Вводя две новые искомые функции 1/х = У,1/ „ = \У, придем кпд -системе типа (А), (В), (С)

Теорема 4.1 Пусть в системе (4 11) и & С2(П) Р е С'(П), I =1,2,3, где П -является прямоугольником П -П(а,Ь) = {\х-х0\<а, \у~у0\<Ь, ¡V-У0\<Ь,\и ~ио\<Ь,\\У-\У0\<Ь}

Если ог<ш1п я,— ], М = тах^1!,^2!,^3!}, и выполнены условия полной \ М) 11

интегрируемости

= (И) = (N0,

то задача (4 1 1)-(4 1 2) на П(а,Ь) имеет и притом единственное решение В пункте 4 2 рассматривается система двух уравнений первого типа ияс,иг)=Р,(х,у,и,1/х,и)), г =1,2 (4 2 1)

Система (4 2 1) после перекрестного дифференцирования дополняется до трех уравнений (4 11)

Теорема 4.2. Пусть П = П(а,Ь) - является прямоугольником и С/еС3(Я),/ггбС2(Я), , = 1'2 Если и

М = тах|/*"|, г = 1,2, и условия (Ы) и (N1), выполняются тождественно, то на П(а,Ь) задача (4 1 1)-(4 1 2) имеет, и притом единственное, решение

В пункте 4 3 рассматривается регулярная система двух уравнений второго типа

и„>и'уу=Р'(х,У,и,ихМу) 1 = 12 (4 3 1)

Введем три новые неизвестные функции, полагая

их'=У, (/у'=1У, и„=<2 (4 3 2)

для них можем записать с помощью (4 3 1) п д -систему £/х'=У, иу'=\М, УХ=Р', У/=(2, \¥х=0, \Уу=1^, й^йуР1, (4 3 3)

Для последней пары имеем

О^Д^ (4 3 4)

Начальные данные £/о=с;, Уо=сг. И^=С}, 0о=с4 преобразуются к виду

i/o =с„ (Ux)0=c2, (£/,)„ =с3, (£/J0=С4

(4 3 5)

Теорема 4 3. Пусть в системе (4 31), где F1 - заданные функции

U(x,y)e С*(П) F' = Сг(П), i =1,2, и а<пп

М = maxjF'|, 1 = 1,2 Если

отношение Д,,/7' =йР2 выполняется тождественно по £/,£/г,£/1,£/1, то на

у у хх х у ху

П(а,Ь) п д - система (4 31), -(4 3 5) имеет и притон единственное решение

В §5 изучаются полные дифференциалы и системы уравнений с частными производными второго порядка с одной сингулярной линией

В п 5 1 рассмотрено уравнение в полных дифференциалах х"с12и = а(х, у)с1х2 + хЬ(х, у)с1хс1у + х2с(х, у)<1уг или равносильная ему п д -система

д2Ц _ а(х,у) Э2Ц _ Ь(х, у) дх2 ~

д2л

Ъу2

с(х, у)

(5 1 1)

(5 12)

х" дхду х"'1 сly- х"

Теорема 5.1 Если в полном дифференциале второго порядка (511), либо в пд -системе второго порядка (5 1 2), функции а,Ь,сВ С2(П) и удовлетворяют необходимым условиям совместности

D,

а(х,у)' х" Ь(х,у) L х"-1 J (N1) Dy \b(x,y)~\ [ x"~l J c(x,y) L J

(N2)

то первообразная к полному дифференциалу второго порядка (51 1), либо решение п д -системы второго порядка (512) дается формулой

х О О * t х t Ъ

с, =£/,(1,0). с2 =£/,(1,0), с3 =£/(1,0) Аналогично (5 1 1), (5 1 2) рассматривается уравнение у"(12и = у2а(х, у)(1х2 + уЬ(х, у)(1хс1у + с(х, у)с1у2 или равносильная ему п д -система

(5 14) (5 15)

дги _а(х, у) д2и J{x,y) Э 2U ^cjx,у) дх2 у""2 ' дхду у'-1 ' ду2 у" ( j

где п-целое число п> 2, а,Ь,се С2 (77), U еС4 (Я0) П = ((*, ;у) / 0 < х < 1,0 < >> < 1) /70 - тоже квадрат, но без линии у = О Для (5 1 5) и (5 1 6) получаем необходимые условия совместности b'x=yav'-(n-2)a (N3)

c'x=yb\-(n-l)b (N4)

Теорема 5.1'. Пусть задано уравнение в полных дифференциалах второго порядка вида (5 1 5), причем в нем а,Ь,се С2(П) и удовлетворены условия совместности N3 и N4 Тогда п д -система второго порядка (516) разрешима и многообразия ее решений выражаются соответствующей формулой

U(x,y)=ci +c2x+c,(.l-y) + -^))a(T,y)dtdT+x)^-dT+ '¡f^dvla (5 1 7)

У О О у * у а Ъ

или

U(x,y)=cl +с2х+с3(1-.у)+ ]~]b(t,T)dt+ lf^-dTda+-^)dt)a(a)dC (5 1 8)

О V о У О О

где с1, с2, Сз - произвольные постоянные

В пункте 5 2 рассматривается уравнение

x"d2U = х"а(х, y)dx2 + b(x, y)dxdy + х"с(х, y)dy2 (5 2 1)

и равносильная ему система

Э 2U . д 2U Ь(х, у) d2U

—Т = а(х,у), —— =-f-, -^~2=с(х,у) (522)

дх дхду х ду

для которой удовлетворены условия совместности

nb = xbx - jc"+1 ау, пс = хсх - xn+l b'y (N5)

Теорема 5.2. Пусть задана система уравнений в полных дифференциалах второго порядка вида (5 2 2), причем в ней Ье С\П), а,се С2{П) Если для соответствующей п д - системы выполнены условия совместности (Ns), тогда эта п д - система разрешима и многообразия ее решений выражаются соответствующей формулой

1 dtу xi

U (х, ;у) = с, + с2 (1 - л:) + с3;у + J— ¡b(t,T)dr+ ¡dt ja(£,0)dC +

xt" о 0 0

У г + jdT\c(0,a)dcr

о о

В пункте 5 3 рассмотрена п д - система (х-х0У £/„ =a(x,y),(x-x0)ß U'xy = Ь(х,у),(х-х0У Uyy = с(х,у) (5 3 1)

Приравнивая смешанные частные производные третьего порядка, получаем необходимые условия совместности системы (5 3 1)

э а(х,у) д ' Ь(Х,У) '

fy _(х~х0)а дх Sx-x0f_

д Ь(х, у) д с(х, у)

ду _(х-х0У _ дх _{х-х0 У _

(5 3 2)

всюду в области П за исключением точек линии х=х0 Для (5 3 1) исследованы три различных случая В случае 1 а = 1, ß>0,y>0, получена теорема 5 3 1 В случае II а = 2, ß > 0, у > 0, получена теорема 5 3 2 В случае III а = п > 3, ß > 0, у > 0, получена теорема 5 3 3 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решений и их интегральные представления

а, ß, у - целые положительные числа и во всей дальнейшей работе считаются целыми положительными числами.

Если условия совместности системы (5 3 1) выполняются для любого (Л) за исключением точек линии х=хо, то многообразие ее решений для всех ос=п, ß, у> 0 принимает вид

U(x,y) = \dt[

а(д,у)-а(х0,у)

(S-Xo У

dg +

а(х0,у)

(п - 1)(и - 2)

1

1

(х-х0у;2 (~х0у

ЫоУ

■¡b(0,T)dT + cl

(5 3 3)

1

х +-- \dr jc(0,a)da+c2y + сг

ЫоУ

или

u(X,y) = )dt)a{Z'y]-a{*ry)di+

а(х0,у)

(п-1)(л —2) а(дс0,0)

1

1

1

п-2

ЫоГ1

(5 3 4)

+ --Г7+ \dT\c(P,a)dcr + cxx + c2y + cb

(л - 1)(и — 2) (-*„)"-' (~х0У о о где ci, сг, Сз - произвольные постоянные

Теорема53 Пусть в системе (5 3 1) а-п>3, /3,у>0-

а)а(х,у)Мх,у),с{х,у)еС2(П), UеС\П0),П ={(х,у)\0<х<х„0<у<у,},

б) функция а(х,у) в точках линии х = х0 удовлетворяет условию Липшица

|а(х, у) -а(х0, >>)| < К\х - дг0| К = const > О Для совместности системы (5 31) необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие (5 3 2) в П за исключением точек линии х = х0 При этом любое решение системы (5 31) определяется формулами (5 3 3) или (5 3 4) Причем, решение системы при а= 1 всюду в П является непрерывной, при

а = 2, а = п>3 почти всюду в П непрерывной, а на линии х = х0 соответственно имеет логарифмическую особенность и особенность (п - 2) -го порядка

В пункте 5 4 рассмотрена система двух уравнений с одной сингулярной линией

(х-х0)а ихх=а(х,у),(х-х0)<> и'ху=Ь(х,у) (5 4 1)

Приравнивая смешанные частные производные второго порядка, получаем необходимые условия совместности

(5 4 3)

д а(х, у) д Их, у)

ду (х-х0)\ дх М~х0)\

всюду в области П за исключением точек линии х=Хо, для которой исследованы три различных случая

В случае I, когда а = 1, /3 > 0, получена теорема 5 4 1 В случае II, когда а - 2, /? > 0, получена теорема 5 4 3 В случае III, когда а-п>Ъ, /? > 0, получена теорема 5 4 5 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждение о существовании решения и их интегральные представления

Если условия совместности системы (5 4 1) выполняется \/(х,у)е II за исключением точек линии х = х0, то многообразие ее решений при а = 1 имеет вид

и{х, у)=+ а(-у°'у) г г (£-*„)" (и- 1)(и-2)

а(х0,у) х

1

1

(х-х0)"

(-*„Г2

(п-1) (-*„)" или

-^~]ь(0,ту1т + Сх + <р(у)

\ хо> о

(5 4 5)

Щх, у) = 'У) с1д+-

(я- 1)<л-2)

1

1

(х-хаг2 (-х0У'2 (~хау

(5 4 6)

о о + Сх+<р(у)

где с — произвольная постоянная

<р(у) - произвольная дифференцируемая на отрезке 0< у < >>0 функция Теорема 5.4. Пусть в системе пд (5 41)

а) а = п>3, /?>0 (целые числа), а(х,у)е С\П), Ье С'(П) заданные функции

б) функция а(х, у) удовлетворяет условию Липшица, т е

|а(*>.У)_я(.*0,>>)|< К=соп50 0, при а> 2

Тогда для совместности системы (5 41) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие совместности системы всюду в прямоугольнике

П=Цх,у)

0<х<х0 0<У<Уо

, за исключением точек линии х=хо При этом любое ре-

шение системы определяется формулой (5 4 5) или (5 4 6) Причем решение системы (5 41) при а = 1, всюду в П - непрерывно, при а = 2 на линии х=хо имеет логарифмическую особенность, а при а>Ъ имеет особенность (п-2)-го порядка

В пункте 5 5 рассмотрена система

(5 5 1)

(*-*„)" £/„ =а(х,у), (х-хаУ Uуу =с(х,у)

Исследованы три различных случая В случае I, когда а = 1, /3 > 0, получена теорема 5 5 1 В случае II, когда а = 2, /? > 0, получена теорема 5 5 2 В случае III, когда а = п>Ъ, > 0, получена теорема 5 5 3 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решения и их интегральные представления

Если условия совместности системы (5 5 1) выполняются \/(х, у) е (77), за исключением точек линии х=хо, то многообразие ее решений при а = п имеет вид

u(x,y) = )dt)a^-a[xry)dg-

а(х0,у)

1

1

(х-х0)"

или

(f-Ло)" ' (п-1)(п-2)

у

J6(0, g)dg + (с1у + с2)х + с3у + с4

о

г г, ч \ с(х,а) , xCj 'га(а,0)-а(х0,0) ,

U(x'y) = W J r V, d<y +

О О ло) 0 0 \и Х0)

а(х0,0)

(5 5 2)

+

(п - 1)(п - 2)

1

1

(х-х0)'-2 (-х0)"~

(5 5 3)

+ (cix + c2)y + c3x + ci

где С/, с2, сз, с4 — произвольные постоянные

Теорема 5.5. Допустим, что в системе (5 51)- а>Ъ, ß>0 (целые числа)

а) а(х,у), Ь(х,у)е С2(Я),

б) а(х,у) в окрестности точек линии х=х0 удовлетворяет условию Липшица, т е

\а(х, у)-а(х0, ;у)| < К\х — jc0j, К = const > 0 Для совместности системы (5 51) необходимо и достаточно, чтобы всюду в П выполнялись условия совместности

(5 5 4)

э2 а(х,у) Э2 с(х,у)

дх2 _{х-ха)р _

за исключением точек линии х=х0- Тогда для любого решения системы (5 51) даны формулы представления при а = 1, при а = 2, при а>Ъ Причем решение системы при а = 1 всюду в П является непрерывным, при а = 2 на линии х=хо имеет логарифмическую особенность и при СС = п~>Ъ имеет особенность (п-2)-го порядка по переменной х

В §6 изучаются полные дифференциалы и системы второго порядка с двумя сингулярными линиями

В пункте 6 1 рассмотрена система

дх2

а(х,у)

d2U _ Ь(х,у) д2Ц _ с(х,у)

(6 11)

(х-хаУ' дхду {х-ха)а' ду2 (у-у0)'" для которой исследованы три различных случая

В случае I, когда т = п = 1, а> О, получена теорема 6 11 В случае II, когда т = п = 2, а>0, получена теорема 6 12 В случае III, когда т>3, п > 3, а> 0, получена теорема 6 13 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждение о существовании решения и их интегральные представления

Пусть условия совместности системы выполняются V(x, у) е П за исключением точек линий х=хо и у-уо

ду

д_ ду

а{х, у) (х-х0)"

Ь(х,у)

_(х-х0)а_

д_ дх

д_ дх

Ь{х, у) 1(х~хаГ с(х,у) .(У-Уо)"

(6 12)

Тогда интегрируя систему (6 11) получим

О 0\1 Х0) 0 0 х0>

а(х0,0)

1

(х-х0 Г 1

1

(n-l)(n-2) с(0,уо)

«7-УоУ

(m-l)(m-2)

(6 13)

(У-Уо)""' (-Уо)"

+ с2у + с}

где си С2, сз - произвольные постоянные Теорема 6.1. Пусть в системе (611)

а) а(х, у), Ь(х, у), с(х, у)еС2(П),(П = {(*, у)|0 <х<х0,0 <у<у0})

б) функции а(х,у), Ь(х,у), с(х, у) в окрестности точек линии х-хо и у=уо удовлетворяют условию Липшица вида

|а(дс, у) - а(х0, ;у)| < М, \х- х0|, |с(лг, у)-с(х, у0)\<М2\у- у0|, Л/,, М2 = const Тогда для совместности системы (611) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия совместности системы всюду в П за исключением точек линий х=х0, y=yo- При этом решение системы представимо формулой вида (613) Причем полученное решение при п,т = \ в П остается непрерывным, при п,т = 2 на линиях х = х0,у = у0е П имеет логарифмическую особенность, а при п,т>Ъ имеет особенность порядка (п-2) по х, (т-2) по у В некоторых случаях особенность степени а по х устраняется

В пункте 6 2 рассмотрена система

и„ =

а(х,у) ¿К*,?)

' * (х-ЛоГ^-Уо/

^ с(х,у) ' " {У-УОГ

(6 2 1)

где а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) - заданные функции

Приравнивая смешанные частные производные третьего порядка, получаем необходимые условия совместности системы (6 2 1)

ду

д_ ду

а(х, у)

(х~х0Г

д_ дх

Их, у)

Цх-Ь)" (У-УоГJ

b(x, y)

(.х-х0)а (у-у0У

д_ дх

с(х, у)

(6 2 2)

(У-УоГ.

всюду в области П, за исключением точек линий х=хо, у—уо

Для п д -системы (6 2 1) исследованы три различных случая В случае I, когда m = n = l, а>0, ß>0, получена теорема 6 2 1 В случае II, когда m = n = 2, а>0, ß>0, получена теорема 6 2 3 В случае III, когда m > 3, л > 3, а > О, /? > О получена теорема 6 2 5 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решения и их интегральные представления

Теорема 62 Пусть в системе (6 2 1) т>3, п > 3, а>0, ß>0'

а) ае С'""1 (Я), be С1 (77), се Ст~\П),

б) функции а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) в окрестности точек сингулярных линий х-хо, у=у0 удовлетворяют условию Липшица

\а(х,у) - а(ха,у)\< М х M¡ = const >0

\с(х,у)-с(х,у0)\<М2 \у-у0\, М2= const > 0 Для совместности системы (6 21) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (6 2 2) всюду в области 77, за исключением точек линии х=хо, у—уо При этом любое решение системы (6 2 1) из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные третьего порядка, представимо в виде либо (6 2 3), либо (6 2 4), либо (6 2 5)

(С-Хо)"

(т — 1)(т — 2)

1

1

(х-х0) (~х0Т

'fc(O,tr)-c(O,y0)

(ff-Л)"

da+-

с(0,у0)

U(x,y)=jdrJ о

, с(х,Уо)

(п-1)(п-2)

Т;С(Х, <J)-C(X, у0)

1

1

(п-1)(п-2)

(V-УоУ 1

dcr-

(У-УоГ2 (-УоГ2. с(О.Уо) >

(6 2 3)

+ с1х+с2у + с}

1

(п-1)(п-2) (~у0)

У

(У-УоГ2 (-Уо У (-Ус)"

(6 2 4)

+ с,х + с2у + с3

у) = '¡¿¡«х^-с^у,) (1а+ С(х,у0) г 0 (<т-уяу (и—1)(л-2)

Ю'-УоГ (-Уо)"

(/п-1)(/и-2)

1

1

(6 2 5)

-к^у + с^+сз

(х-^)"" (-¿¿у" гс)е С/, С2, о - произвольные постоянные

Причем решение системы (6 2 1) при п = т = [,а>0,/3>0 в П остается непрерывным, при п = т = 2,а>0,/3>0 на линиях х-хо, у-уо имеет логарифмическую особенность, а при п,т>3,а>0,/?>0 имеет особенность порядков т-2,п-2 по х и по у, соответственно

В пункте 6 3 рассмотрен полный дифференциал

утхЧ2и = у'"а(х, у)(1х2 + Ь(х, у)с!хйу + хпс(х, у)с1у2

и равносильная ему система уравнении в п д второго порядка Э2Ц__а(х,у) д2и _ Ь(х,у) д21/ _ с(х,у) Эх2

(6 3 1) (6 3 2)

х" ' дхду х"-' ут'1' ду2 у'" ' получены необходимые условия совместности

ут~1ау = хЪх-(п-\)Ь, (Мб)

хп-1Сх = УЬу-(т-1)Ь (К7)

Теорема 6 3. Пусть в уравнении (6 31), либо в пд - системе (6 3 2) а,Ь,се С'(П), и е С4(П0)и удовлетворяются необходимые условия совместности системы (N5), (N7) Тогда решение (6 31) дается формулой

и(х, у)=с}+ с, (1 - х) + сг (1 - у) + + (1 - х) +

Л „т

(6 3 3)

где сI, С2, сз - произвольные постоянные

В пункте 6 4 рассмотрен полный дифференциал второго порядка

хку"с!2и = упа( х, у)с!х2 + Ь(х, у)с1х<1у + хкс(х, у)с!у2 (6 4 1)

или равносильная ему система уравнений д2Ц _ а(х,у) д2Ц _Ь(х,у) дх2 ~ хк ' дхду ~ хк у" ' где а,Ь,се С2(П), иеС\П), к.пеЛ'

д2Ц _с(х, у) Ьг У"

(6 4 2)

Условия совместности системы уравнений (6 4 2) имеет вид kb-x(bx-y"ay) = О

пЬ-у(хСх-уЪу) = О (N8)

"'_ к У ауу х Схх

Теорема 64. Пусть в уравнении (6 41) или системе (64 2) а,Ь,с& С2(П), U е С3(/7) Если для (6 4 2) выполнены условия совместности, тогда исходная задача Коши разрешима и многообразие ее решений выражается формулой

X у $ у * у Т V

либо равносильной ей другой формулой

U(x,y) = c1+c,(l-x) + c2(l-y)+ + )dr)C-^p-da +

'rit ; ; a

y * y (6 4 6)

♦ M

x I Ç

В пункте 6 5 рассмотрен полный дифференциал второго порядка

xky"d2U = xka(x,y)d2 у + y"b(x,y)dxdy + xky"c(x,y)dy2 (6 5 1) или равносильная ему система уравнений в полных дифференциалах d2U _ а(х, у) d2U _ b(x,y) d2U

дх2 у" ' дхду х* ' ду2

= с(х,у) (6 5 2)

Для любого (х, у) € П получим условия совместности у"*\хЪх - к.Ь) - хк+1(Уау ~па) = 0

ЬУ-ХСх = 0 (N9)

Теорема 6.5. Пусть в системе уравнений (65 2) а,Ь,се С2(П), Vе С3(П0) Если условия совместности (N9) выполняются, тогда система уравнений (6 5 2) разрешима и многообразие ее решений выражается формулой

и(х,у) = \\*)а{С,у)<1£ + х)ь{1,т)<1т+ 1<*т)с(+

У х I у у г Э

+ с3 + с1(1-д:) + с2(1-у) где с\, С2, сз — произвольные постоянные

В пункте 6 6 рассмотрены п д -системы двух уравнений второго порядка а(х,у) _ Их, у)

Uxx (У-УоГ(Х-Х0У' Uxy (х-х0У(у-у0у

(6 6 1)

для которых исследованы три различных случая

В случае I, когда т = п = 1, а > 0, ß > О, получена теорема (6 6 1) В случае II, когда т = п = 2, а > 0, ß > 0, получена теорема (6 6 3) В случае III, когда т > 3, п > 3, а > 0, ß > 0, получена теорема (6 6 4) Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решения и их интегральные представления

Приравнивая смешанные частные производные второго порядка, получаем необходимое условие совместности системы (6 6 1)

Ь_

ду

а(х,у)

_(У-УоУ(Х-Х0)"

дх

Их, у)

(6 6 2)

_(х-х0)р(у-у0У всюду в области Я, за исключением точек линии х=хл у=уо

Теорема 6 6 Пусть в системе уравнений (6 61) а(х,у), Ь(х,у)Е С2(П), (а,Р,п,т = \,2,Ъ ) и усювия совместности (6 6 2) выполняются всюду в Пза исключением точек линий х=хо, у=уо- Если в П а(х, у) и Ь(х, у) удовлетворяют условиям

а) а(;\х,у), Ь<'\х,у)е С\П), и{х,у)е С3(/70)

б) в окрестностях особых линий х=х0 и у=уо удовлетворяют условию Липшица

в)

|а(х, у) -а(х0,у)\ < tfjx- х0|, \b(x,y)-b(x,y0)\<K2\y-yü\,

э а(х, у) э Фо'У)

ду 1(У-УО)". дх Ь-^оГ]

д ' Их, у) ' Э Их,у0) 1

дх (х-х0/_ дх

<К3\х-

г)

существуют lim — *->хя дх

Их, у о) (х-х0/

, lim^-

у->уо dy

а(хо, у) (У-УоГ

то данная система (6 61) разрешима и многообразия ее решений, выражающиеся через одну произвольную постоянную и одну произвольную функцию, представимы формулой

--^^--1 1

(У~Уо)

а(Хо,у)

U(x,y)

(С-ьУ

(п-1)(п-2)

гХ+~

1

]^т)-ыр,Уо)dT wy0)

(.Х-ХоТ 1

{-ХоТ

{т-УоТ

m—1

1

(у-уаг {-УоТ

х}+ (6 6 3)

(n-DU)"4

+cx+\j/(y)

где с¡— произвольная постоянная,

у/(у) - произвольная дифференцируемая функция

Причем полученное решение при п,т = 1, а,/3>0 по переменной х является в П непрерывной, по у имеет особенность порядка а, при п,т = 2 решение системы (6 6 1) на линиях х-х0, у=уо имеет логарифмическую особенность по х, особенность порядка а> 1 по у, а п,т> 3 при имеет особенность (п-2)-го порядка по х, noy - особенность порядка се. В пункте 6 7 рассмотрена система

а(х,у) Ь(х, у)

U" (х-х0У U» (у-у0Г (b/i)

для которой исследованы три различных случая

В случае I, когда а = ß = 1, получена теорема 6 7 1 В случае II, когда а = ß = 2, получена теорема 6 7 2 В случае III, когда а=т>Ъ, ß = п>Ъ, получена теорема 6 7 3 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решения и их интегральные представления

Приравнивая смешанные частные производные второго порядка, получаем необходимое условие совместности системы

(У-Уо/ ау(х,у) = (х-х0У Ь'х(х,у) (6 7 2)

всюду в области П, за исключением точек линии х=хо, y=yo

Теорема 6.7.3. Пусть в системе (6 71) а = т>Ъ, ß = n>3

а) а(х,у),Ь(х,у)е С\П), U(x,y)e С\П0),

б) а(х,у) и Ь(х,у) в точках линий х = х0,у = у0 удовлетворяют условию \а(х,у)-а(хй,у)\<М1\х-хй\, \b(x,y)-b(x,yü)\<M2\y-y0\, Mi,M2=const(bl 3)

Для совместности системы (6 71) необходимо и достаточно, чтобы выполняюсь условие (6 73) всюду в области П, за исключением точек линий х = х0, у = у0 При этом любое решение системы (6 71) из класса С3(Я) пред-ставимо формулами вида (6 74), либо (6 7 5)

У' > (д-х0У Ъ * (т-v.y

о о

а(х0<у)

(т-\)(т-2)

хЬ(0,Уо)

(х-х0Г2 (~х0 У"2

(т-Уо)" а(х0,у)х ' (-*„ Г' '

и-1

1

1

(у-уо)"-1 (-л)"

+ сх + у/(у)

(6 7 4)

либо

о о (Г-Уо) 1-1

)Ла(д,0)-а(ха,0) _ а(х0,О)

О1 0] (д-х0 У 5 (т - 1)(т - 2)

1

1

(У-УОГ1 (-лГ1 1 1

¡Ь(1,у0)Л + а(х0,Р)х

+ 4 " +(675)

(-*0Г'

(х-х0У~г (~х0У + сх+щ(у)

где с - произвольная постоянная, Ц/(у) - произвольная дифференцируемая функция

В пункте 6 8 рассмотрена система

и„ =

а(х,у) (х~х0У

П Кх,у) уу~(У'УоУ

(6 8 1)

Пусть существует решение системы (6 8 1) из класса функций, имеющих в П непрерывные частные производные четвертого порядка Тогда приравнивая смешанные частные производные четвертого порядка, получаем необходимое условие совместности системы (6 8 1)

(У ~ Уо)ра„(х,у) = (х- х.УЬ^х, у) (6 8 2)

всюду в области П, за исключением точек линии х=хо, у-уо Исследованы три различных случая В случае I, когда а = ¡3 = 1, получена теорема 6 8 1 В случае И, когда а = /3 = 2, получена теорема 6 8 3 В случае III, когда а = т> 3, /3 = п>3, получена теорема 6 8 6 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решения и их интегральные представления

Теорема 6.8. Пусть в системе (6 81) а = т>Ъ, (3 = п>Ъ

а) а(х,у), Ь(х,у)- заданные функции класса С1(П),

б) функции а(х,у), Ь(х,у) в окрестности точек сингулярных линий х=хд, У-У о удовлетворяют условию Липшица

\а(х,у)-а(х0,у)\< К\ = const > О,

|b(x, у) - b(x, у0 )| < К2 \у - у0 |, К2 = const > О

Для совместности системы (6 81) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (6 8 2) всюду в области П, за исключением точек линии х=х0, у=уа Тогда любое решение системы (6 8 1) из класса функций, имеющих в П непрерывные смешанные частные производные четвертого порядка пред-ставимо в виде (6 8 3)

0 0 (ь х0)

Фо,у)

(т-1)(т-2)

1

1

(Х-Х0Г2 (-х0)"

а(х0,у)

(ш-1)(-х0) 1

—+ С.У + С, ш-1 1у L

х +

]dT]b(o,*)-b(o,yo)da+ b(0,уо) ; 0J о (сг-у0)" («-!)(«-2)

(6 8 3)

1

+ (C3jc + C4)

_(У~УоУ'~2 (гУоУ где с1, С2, сз, С4 - произвольные постоянные

Причем это решение, при а ==!,/? = 1, всюду в П является непрерывной При а = /3 = 2 решение системы имеет логарифмическую особенность, при а=т>Ъ,Р = п>Ъ решение системы имеет особенность (т-2)-го порядка по переменной х и (п-2)-го порядка по у

В пункте 6 9 рассмотрена система

а(х,у) Г! _ Ь(х,у)

Ur=-

Uvy (х-х0У(у-у0У

(6 9 1)

(х~х0)"

где а(х,у), Ь(х,у) - заданные функции класса С2( П)

Пусть существует решение системы (6 9 1) из класса функции С4(Я ) Тогда, приравнивая смешанные частные производные четвертого порядка, получаем необходимое условие совместности системы (6 9 1)

ду2

всюду в области П, за исключением точек линии х=хо,у=уо, для которой исследованы три различных случая

а(х, у) Э2 Ь(х,у)

_(х-х0)" _ дх2 _(х-х0 у (у-

(6 9 2)

В случае I, когда п = т = 1, /? > 0, получена теорема 6 9 1 В случае И, когда п - т = 2, /? > 0, получена теорема 6 9 2 В случае III, когда и > 3, т > 3, /? > 0, получена теорема 6 9 3 Во всех этих случаях получены соответствующие утверждения о существовании решения и их интегральные представления

Теорема 6.9. Пусть в системе уравнений (6 9 1) п,т > 1, /?>0 и условия совместности системы выполняются всюду в П за исключением точек линий х=хо, у-уо- Если 1) Ь(х,у)е С2(П), а(х,у)е С2(Я), 2) а(х,у) и Ь(х,у) в окрестности линий х=хо, у=уоудовлетворяют условию Липшица

у)~'30|-М1-*о|> \Ь(х,у)-Ь{х,у0)\<Мг\у-у0\,М1,Мг=сот1 , то любое решение системы в классе С3(П) представимо формулой

где с/, с2, с}, с4 - произвольные постоянные

Полученные решения при п—1, т=1 всюду в П являются непрерывными, при п,т=2 и п > 3, т > 3 решение системы имеет соответственно логарифмическую особенность и особенность (п-2)-го порядка по переменной х и (т-2)-го порядка по у

Таким образом, в работе приводится целый ряд новых научных результатов по интегрированию уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями В полученных решениях анализируется поведение решений систем вблизи, на самих особых линиях и во всей замкнутой области П, а также находятся решения п д -систем, удовлетворяющие условиям задачи Коши

а(Хр,у) 1 1

+

__^___1+с

(т-тп-2)\{у-уйГг Н-оГ2][ 3'

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАННЫЕ В РАБОТАХ:

1 Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Научная конференция «Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения», 18-20 ноября 1997 г - Тез докл - Курган-Тюбе, 1997 г - С 50

2 Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных статей) - Душанбе, 1997 г -Вып 5 - С 50-56

3 Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных статей) - Душанбе, 1998 г - Вып 7 -С 40-44

4 Рузметов Э , Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений и задачи с начальными данными для некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Научная конференция «Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения», 18-20 ноября 1997 г - Тез докл -Курган-Тюбе, 1997 г - С 59-60

5 Рузметов Э , Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений некоторых однородных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных статей) - Душанбе, 1997 г -С 87-93

6 Рузметов Э , Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений некоторых однородных переопределенных систем уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Вестник педагогического университета (сер естествен наук) - Душанбе, 1998 - № 1 - С 26-36

7 Орипов Т С Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго

порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости //Труды Международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами - (Душанбе, 25-28 октября 2003 г ) - Душанбе, 2003 г - С 119-121

8 Орипов Т С Интегральные представления одного класса уравнения в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными коэффициентами //Паем (Сб науч ст) - Душанбе, 2004 г -№11 - С 13-16

9 Михайлов Л Г , Орипов Т С Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными линиями //Вестник национального университета (научный журнал) -Душанбе, 2005 г - № 2 - С 83-85

10. Орипов Т С Интегральные представления одного класса уравнений в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными коэффициентами //Перспективы развития науки и образования в XXI веке Материалы 1-ой меж нар науч -практ конф - 23-25 ноября 2004 г - Душанбе, 2005 г - № 1 - С 131-136

11 Орипов Т С Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями //Перспективы развития науки и образования в XXI веке Материалы 2-ой меж нар науч -практ конф - Душанбе, 2006 г - С 31-34

12 Орипов Т С О некоторых системах в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями, //Доклады академии Наук Республики Таджикистан, Душанбе, 2007, - т 50, - № 2, - С 11-13

Сдано в набор 4 04 2007 г Подписано в печать 28 04 2007 г Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз

Отпечатано в Типографии Министерства образования Республики Таджикистан г Душанбе, 1-й проезд, ул Лахути 6

Введение

§ 1 Некоторые предварительные сведения из теории диффе- 11 ренциальных уравнений

1.1. Теорема существования решений обыкновенного диф- 11 ференциального уравнения

1.2. Теорема существования для системы обыкновенных 12 дифференциальных уравнений первого порядка

§2 Полный дифференциал первого порядка и соответст- 14 вующая переопределенная система дифференциальных уравнений

2.1. Полный дифференциал функции двух независимых пе- 14 ременных

2.2. Системы уравнений в полных дифференциалах первого 17 порядка с одной искомой функцией от двух независимых переменных

§ 3 Классический полный дифференциал второго порядка 24 3.1. Определения

§ 4 Система уравнений в полных дифференциалах второго 27 порядка

4.1. Система трех уравнений в полных дифференциалах 27 второго порядка

4.2. Система двух уравнений первого типа

4.3. Система двух уравнений второго типа

§ 5 Системы в полных дифференциалах второго порядка с 31 одной сингулярной линией

5.1. Системы трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией 5.4. Системы двух уравнений в полных дифференциалах 47 второго порядка с одной сингулярной линией

§6 Системы в полных дифференциалах второго порядка с 62 двумя сингулярными линиями

6.1. Система трех уравнений в полных дифференциалах 62 второго порядка с двумя сингулярными линиями

6.2. Системы двух уравнений в полных дифференциалах 65 второго порядка с двумя сингулярными линиями

Актуальность темы. Квазилинейные переопределенные системы уравнений в частных производных с одной искомой функцией, включая системы в полных дифференциалах (п.д.-системы), изучались в трудах Якоби, Фробениу-са, Гурса, а также И.В. Гайшун (Минск) и других.

В Таджикистане исследования по переопределенным системам были начаты Л.Г. Михайловым в 1971 г., о чем можно судить по его монографии «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями» изд. Дониш, Душанбе 1986 г.

Л.Г. Михайловым была развернута еще и другая научная подпроблема: переопределенные системы с сингулярными точками и линиями, в работе над которой за 15-30 лет была создана достаточно крупная научная школа. Определенные результаты в данной области получены Л.Г. Михайловым, Н. Раджабо-вым, Э. Мухамадиевым, Э. Рузметовым и их учениками А.С. Сатаровым, Р. Пи-ровым, Б. Шариповым, М. Холовым, Р. Сайдуллаевой и другими. В работах А.И. Перова, В.Г. Задоржнова, Ф.Н. Назарова в многомерном пространстве рассмотрены уравнения в полных дифференциалах первого порядка.

Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и точками посвящена монография академика АН РТ Н. Раджабова: «Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1992 г., 236 е.), в которой методы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами. В 1994 году в монографии Э. Рузметова

Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных» (Душанбе, 1994, 241 с.) были получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и многообразиями. Применением системы уравнений в частных производных первого и второго порядка (с регулярными правыми частями) к решению некоторых задач гидро- и газодинамики занимались В.Н. Манахов, М.М. Лаврентьев и их ученики.

В предлагаемой диссертационной работе изучаются некоторые классы дифференциальных уравнений и системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями. Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными многообразиями, имеющие важное значение в математической физике, мало изучены. В связи с этим проблема получения многообразия решений и исследование некоторых задач для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями является актуальной.

Цель предлагаемой диссертационной работы. Исследовать полные дифференциалы второго порядка с сингулярными линиями и решения соответствующих систем уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными линиями.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является чисто теоретической. Исследуются переопределенные системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями, которые до сих пор не рассматривались. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Результаты диссертации можно применить в решении задач математического анализа для определения углов наклона касательных, выпуклостей, для определения поля скоростей, в задачах электро- и гидродинамики и других отраслях науки.

Методы исследования. Методика данного исследования базируется на классическом вещественном двумерном анализе и теории дифференциальных уравнений с новыми ее приложениями для переопределенных систем, изложенными в монографии Л.Г. Михайлова «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями».

Научная новизна работы. Установлен ряд новых теорем существования и единственности решений задач Коши для тех или иных переопределенных систем (трех или двух) уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями. В ряде случаев для решений найдены явные интегральные представления.

Апробация работы. Отдельные ее части докладывались на научных семинарах академика Л.Г. Михайлова, которые он проводил в Таджикском государственном педагогическом университете в прежние годы, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском техническом университете, в институте Предпринимательства и сервиса, на Республиканских конференциях в Кургантюбинском государственном педагогическом университете, а также работа была доложена на международных научных конференциях в ТГНУ, ТГПУ, ТТУ, ИСП (1997,2001,2002,2004,2005,2006, 2007 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы. Работа изложена на 117 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 36 наименований. При написании работы придерживались следующего правила. Для обозначения теорем и формул использовалась тройная нумерация. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер пункта, третья - текущий номер утверждения.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.т.1-3. М., Наука, 1970.

2. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Дониш, 1966.

3. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986.

4. Михайлов Л.Г. К сингулярной теории полных дифференциалов. Доклады АН Тадж. ССР, 1989, т. 32, №8

5. Михайлов Л.Г. Об одном системе сингулярных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1991, т. 321, №4, с. 681-686.

6. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками ДАН России, 1992, т. 332, №4, с. 646-650.

7. Михайлов Л.Г. К сингулярной теории полных дифференциалов ДАН РТ. 1997, т. 354, №1, с. 21-24.

8. Михайлов Л.Г., Сайдуллаева P.P. О системах в полных дифференциалах с сингулярными линиями, ДАН. Тадж., 1992, т. 38, № 4, с. 227-230.

9. Михайлов Л.Г. О некоторых переопределенных системах уравнений в частных производных с сингулярными точками. ДАН. 2004, т. 398, №2, с. 1-4.

10. Махайлов Л.Г. Формулы представления решений некоторых систем уравнений в частных производных со многими независимыми переменными. ДАН СССР, 1984, т. 270, №6, с. 1303-1309.

11. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов второго порядка с сингулярными точками. ДАН России, т. 406, №3,2006 г.

12. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, 1994, ДГПУ, с. 241.

13. Рузметов Э., Муродов Б. Интегральное представление многообразия решений некоторых однородных систем двух уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией на плоскости. ТГПУ, Выпуск 4 (сборник научных статей), 1996, с. 49-53.

14. Рузметов Э. Интегральные представления многообразия решений некоторых однородных систем двух уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости. ТГПУ, Выпуск 4 (сборник научных статей), 1996, с. 60-67.

15. Рджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, ч.1, 1980, с. 126, ч.2, 1981, с. 170, ч.З, 1982, с. 170.

16. Раджабов Н. Свойства решений одного класса сингулярного и сверхсингулярного нелинейного гиперболического уравнения на особых линиях. ТГПУ, Выпуск 5 (сборник научных статей), 1997, с. 71-78.

17. Раджабов Н.Р. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992, 236 с.

18. Рахимов P.M. К теории системы полных дифференциалах с двумя сингул-ными линиями от двух искомых функций на плоскости. Сборник статьей, посвященной 70 летию г. Душанбе ДГПУ, 1994, 70-74.

19. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, ТГПУ, 1994, с. 241.

20. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва, 1970,607 с.

21. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970, 720 с.

22. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск: Наука и Техника, 1983,271 с.

23. Гурса Э. Курс математического анализа. M.JL, ОНТИ, 1933, т. 2, 563 с.

24. Курант Р. Уравнения математической физики. М., Мир, 1964, 830 с.

25. Курант Р. Уравнения с частными производными. М., Мир, 1964.

26. Пиров Р. О некоторых линейных системах дифференциальных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями на плоскости. Докл. АН Тадж. ССР, 1983, том 26, №3, 138-142.

27. Пиров Р. Об одной переопределенной системе уравнений в частных производных второго порядка. Деп. В Тадж НИИНТИ, 1989, №22, 622.

28. Пиров Р. Интегральное представление решения одной системы трех дифференциальных уравнений с двумя сингулярными линиями. ТГПУ, Выпуск 7 (сборник научных статей), 1998, с. 45-48.

29. Михайлов Л.Г., Орипов Т.С. Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными линиями. Вестник (научный журнал) № 2, ТГНУ. Душанбе, 2005, с. 83-85.

30. Рузметов Э, Пиров Р, Муродов П. О севместности некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Изв. АН Тадж. ССР, 1988, №3,9-13.

31. Рузметов Э., Орипов Т.С. Интегральные представления многообразия решений некоторых однородных переопределенных систем уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями. Душанбе, 1998, ТГПУ, с. 26-36.

32. Орипов Т.С. Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости. Курган-Тюбе, Таджикистан, 18-20 ноября 1997 г., с. 49-50.

33. Орипов Т.С. Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости (сборник научных статей). Душанбе, 1997, выпуск 5, ТГПУ, с. 50-56.

34. Орипов Т.С. Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости. Душанбе, ТГНУ, Труды, 25-28 октября 2003, с. 119-121.

35. Орипов Т.С. Интегральные представления одного класса уравнения в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными коэффициентами (сборник научных статей). Душанбе, «Паем», 2004, ИПС № 11, с. 13-16.

36. Орипов Т.С. Интегральные представления одного класса уравнения в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 2005, Материалы 1-ой международной научно-практической конференции, ТТУ, с. 131-136.

37. Орипов Т.С. Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями. Материалы 2-й международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке». ТТУ, Душанбе, 2006, с. 31-34.

38. Орипов Т.С. О некоторых системах в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями. Доклады АН РТ, Душанбе, 2007, том 50, №2,11-13.