Интегральные представления решений для одного класса переопределенной системы дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

МИРЗОЕВ НЕЪМАТУЛЛО ХАКИМОВИЧ

Интегральные представления решений для одного класса переопределенной системы дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами

01.01.02- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Душанбе - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функции Таджикского государственного национального университета

Научный руководитель: - академик АН РТ, доктор физико-математических наук, профессор Раджабов Нусрат Раджабович

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Сатторов Абдуманон Сатторович

- доктор физико-математических наук Исмати Мухамаджон

Ведущая организация: Российско - Таджикский (Славянский)

университет

Защита состоится 4 ноября 2004 в /4 °° часов на заседании диссертационного совета К 737.004.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском государственном национальном университете (734025, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета.

Автореферат разослан «Л » О/С&ьзи^г2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф. - м. н., профессор Р- Мустафокулов

2004-4 25356

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений.

Многие задачи прикладного характера приводят к рассмотрению переопределенных систем дифференциальных уравнений. Поэтому исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящено много работ.

Особый интерес представляет изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами достаточно разработана в работах Якоби и др. Дальнейшее развитие эффективных методов исследования совместности переопределенных систем уравнений в частных производных и построение многообразия решений как с регулярными, так и с сингулярными коэффициентами получили в работах Л.Г. Михайлова.

В частности, в работах Л.Г. Михайлова, опубликованных в ДАН России в 1997 г., найдены формулы представления для переопределенной системы

где п - целое положительное число.

Фундаментальные результаты по теории дифференциальных уравне-

эллиптическим и гиперболическим уравнениям, получены в работах М.В. Келдыша, А.В. Бицадзе, М.М. Смирнова, Л.Г. Михайлова, В.Ф. Волкодавова, Н. Раджабова, З.Д. Усманова, А.Д. Джураева, М.М.

ний с сингулярными коэффициентами, вырождающимися

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА / С.Петербург

Салахитдинова, R.P. Gilbert, R.W. Carroll, R.E. Showalter, B.H. Врагова, С.А. Терсенова, А.И. Янушаускаса, А.М. Нахушева и их учеников.

Некоторые вырождающиеся системы первого порядка рассматривались в работах A.C. Янушаускаса, A.B. Бицадзе, Н. Раджабова, Т.В. Чекмарева, М.И. Лернера, И.Е. Плешинской.

Имеется ряд работ, посвященных изучению переопределенных систем первого порядка с сингулярными линиями и сингулярной точкой.

Существенные результаты по переопределенным системам с регулярными и сингулярными коэффициентами получены в работах Л.Г. Михайлова, А.Д. Джураева, Н.Р. Раджабова, Э.Рузметова, Р. Пирова, Ф.Шамсиддинова и других авторов.

В частности, в работах Н. Раджабова была исследована переопределенная система первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями и сингулярной и сверхсингулярной точкой. Там же ставится задача о нахождении многообразия решений для переопределенных систем первого порядка, когда одно из уравнений системы имеет сингулярную линию, а второе уравнение имеет сингулярную точку. Кроме того, представляет большой интерес изучение таких систем, когда порядок особенности больше, чем единица, то есть когда одно из уравнений системы имеет сверхсингулярную линию, а второе уравнение имеет сверхсингулярную точку.

Основной целью настоящей диссертации является исследование таких систем. В дальнейшем через D обозначим прямоугольник D={0<x<c, 0<y<d} . Соответственно обозначим Г1={0<х<с, у=0 }, Г2={х=0, 0<y<d}. Кроме того, через D0' обозначим область D01={(x,y): -с<х<с, 0<y<d} . Соответственно обозначим Г1°={-с<х<с, у=0 } , Г1'={-с<х<0,у=0}. D]={(x,y): -с<х<0,0<y<d}, D2={(x,y): 0<х<с, 0<y<d}.

Соответственно в областях ОиБо рассмотрим переопределенные системы дифференциальных уравнений первого порядка следующих видов:

ди а(х,у)

дх a U X

ди yb(x,y)

ду Р г

ди Мх>У)

дх И

ди bi(x,y)

х2+у2

х

м

ж' +>-

(1)

(2)

где а(х,у), b(x,y), fi(x,y), f2(x,y) - заданные функции в области D, г2=х2+у2, a=const>0, P=const>0, ai(x,y), bi(x,y), f3(x,y), f4(x,y) - заданные функции в области Do'\ Г2

Цель работы - найти многообразия решений переопределенной системы (1) в зависимости от показателей особенностей а и Р; изучение поведения решений в окрестности особых многообразий; выяснение корректных постановок задач и их исследование.

Система (2) также изучена в области ЦД Г2, при: l)bi(x,y)=yboI(x,y);2)bi(x,y)e C(D),6,(0,0) * 0; ЪЩх,у) = гЬ,(х,уУ,.

В настоящей работе в зависимости от числа a(a<l; a=l; a>l), (3((3<2; (3=2; (3>2), а также значения знака коэффициентов системы (1) в точке (0,0), т.е в зависимости от знака значения a(0,0), Ь(0,0), получены многообразия решений системы (1) через произвольные постоянные. Изучено свойство решений в каждом случае. Полученные интегральные представления можно использовать для корректной постановки граничных задач и их исследования.

Для системы (2) при условии 1) и 2) получено многообразие решений через две произвольные постоянные. Заметим, что на характер решения существенно влияют знаки чисел а, (±0,0), ¿>,(±0,0), Ь2 (0,0). Изучены всевозможные случаи.

Доказано, что для переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, в зависимости от дополнительных условий на сингулярных многообразиях, можно получить решения с различными условиями на особых многообразиях.

Методика исследований. В диссертации применены современные методы исследования, разработанные для сингулярных и сверхсингулярных дифференциальных уравнений и переопределенных систем.

Научная новизна. Переопределенная система дифференциальных уравнений, когда одно уравнение имеет сингулярную или сверхсингулярную линию, а другое уравнение имеет сингулярную или сверхсингулярную точку, рассматривается впервые. Заметим, что при нахождении многообразия решений системы (1) большую роль играет степень особенности. В диссертационной работе системы (1) исследуются во всех случаях. В зависимости от степеней особенности получено девять утверждений, где приводятся представления многообразия решений системы (1) в зависимости от чисел аир.

Система (2), т.е. переопределенная система, с внутренней сингулярной линией также исследуется во всевозможных случаях в зависимости от значений Ь°(±0,0), 6, (±0,0), 62(0,0). Эта система изучается в

области О0'\ Гг, т.е. когда линия Г2 находится внутри рассматриваемой области. В этом параграфе существенно используются результаты, полученные для системы (1).

Кроме того, исследуется поведение полученных решений в окрестности особых многообразий. Полученные интегральные представления применяются для выяснения постановок граничных задач и их исследования, когда соответствующие условия заданы на особых многообразиях.

Практическая значимость работы. В работе получены явные формулы для многообразия решений, которые дают возможность решать конкретные примеры, являющиеся важными для конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Настоящая работа охватывает результаты, полученные автором в течение 9-лет. Основные положения диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на городских семинарах, руководимых профессором Н.Р. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре математического анализа и теории функции Таджикского государственного национального университета (1996, 1999, 2002, 2003). Кроме того, работа была доложена на Международной конференции по дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. (Душанбе, Таджикистан, 17-19 ноября 1996), на апрельских конференциях ТГНУ (1997, 1998), на семинарах факультета экономики и управления ТГНУ (1997, 1999, 2000) , на семинаре в Институте математики АН РТ (22.10.2002), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения», посвященной 10-летию Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики, (г. Худжанд, 29-31 мая 2003 г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-публикациях автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 10 параграфов, библиографии. Работа изложена на 110 страницах машинописного текста. Библиографический список представлен 67 работами, из которых 12 на иностранных языках.

Содержание диссертации. Во введении обосновывается актуальность задач, исследованных в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, а также приводятся основные результаты работы. В первом параграфе исследуется система (1) при а<1, |3<2. Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть в системе (1) а<1, Р<2, функции а(х,у), Ь(х,у) , /¡(х,у), /г(х,у) удовлетворяют условиям

а(х,у),/Хх,у) € С1у(0),Ь(х,у),/2(х,у) е С\ф) (3)

ЭвСщО еуьоьй (4)

ду х дх гр

д гМх,у) уЪ(х,у)/Хх,у) _ д ;Мх,у) а(х,у)/7(х,у)

•X е>1 0 а а.1- 0 * а В V '

ду х гр х дх г х гр

Тогда любое решение системе (1) из класса С1 (О) представимо в

виде

2Щх,у) = ехр[-#7 (х, у) - И7/ (0, у)]с1 + )ехр[ЖД/, (*,>)] х

о

х + ехр[-!Г/ (х, у) - ¡У: (хЩсг +

« о

- + )ехррг;(0,5) - >Р/(0 ,у) - Ш:{х,у))Щ^с1* +

t о 5

+ )ехр №(х,з)-1¥ь'(х,у)]Щ^<1з, (6)

о р

где

О « О Р

С] = С2=С- произвольное постоянное число.

Второй параграф посвящен нахождению общего решения системы (1) при «<7,р=2. Эта система имеет одну слабую сингулярную линию и одну сингулярную точку. В этом параграфе доказана следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть в системе (1) а<1, Р=2, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (.3),(4),(5'). Кроме того, пусть Ь(х,у) удовлетворяет условию

\Ь{х,у)-Ь{т\^Нгг', ту0 . (7)

и Ь(0,0)>1 Тогда любое решение системы (1) из класса С1 (В)

представимо в виде

2 Щх,у) = схр[-Ж; (*,;,)] {ехр[-^, (О,^)]^0'0' (с, + +

о ^

о »

х + с,) + )ехр Ых,*)^, (8)

О ' О

где

о Р

С] = с2=с- произвольное постоянное число.

Третий параграф найдено общее решение системы (1) при а~1, Р<2. Эта система имеет одну слабую сингулярную точку и одну сингулярную линию. В этом параграфе доказана следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть в системе (1) а=1, Р<2, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (3),(4),(5). Кроме того, пусть а(х,у) удовлетворяет условию

\а{х,у)-а(т\±Н^, м>-0 (9)

и а(0,0)>0. Тогда любое решение системы (1) из класса С1 (О) представимо в виде

о I

ехр[ К С. У)Г™<й) + ехр[-И? (х, у)] {ехр[ (х,0)]*-°(М>

(с, + )ехр[^1, (г,0)]/, + )ехр[^/ (х,*)] Щ сЬ}, (10)

О О р

где

о »

С; = С2=С- произвольное постоянное число.

В четвертом параграфе в явном виде приводится общее решение системы (1) при аг=/,|3=2. Эта система имеет одну сингулярную линию и одну сингулярную точку. В этом параграфе доказана следующее утверждение:

Теорема 4. Пусть в системе (1) а=1, Р=2, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (5), (4), (5), (7), (9), а(0,0)>0, Ь(0,0)>1.

Тогда любое решение системы (1) из класса С'(Б) представимо в

виде

2 Щх,у) = х-™ еМ-К(х>УЫУ~Н0Л) ехрЬ^СО.уЖ +

о *

X ехр Ю^ЯЙ} + ехр[-^1(х^)]г-4(0'0,{ехр[^<|(х,0)]хк<0'°>-°<0'01

(¡¿ШецРГ^О +с2)+ |ехр[^, (х,5)]/>'<00) Щ^сЬ), (11)

о I о Р

где с; = С2=с- произвольное постоянное число.

и

Пятый параграф посвящен исследованию системы (1) при а>1, Р<2. Эта система имеет сверхсингулярную линию и слабую сингулярную точку. В этом параграфе доказано следующее утверждение:

Теорема 5. Пусть в системе (1) а>1, р<2, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (3),(4),(5). Кроме того, пусть а(0,0)>0 и а(х,у) удовлетворяют условию Гельдера, т. е

\а(х,у)-а(0,0)|<Я,х", (12)

Тогда любое решение системы (1) из класса C'(D) представимо в виде

2U(x,y) = Sxp[-W;,(x,y) + fl(0,0K(x)]{exp[-r/(0,^)]c1 + } expp¥¿(t,y)-

о

- a(0,0)o)a(t)]^^-dt} + ехр[-^/(х,>0]{ехр[а(0,0)©e(*) - W^xfi)]^ +

o tap

где

й>„(х) = —Ц-х1" ,

а-1

С] = с2=с- произвольное постоянное число.

В шестом параграфе найдено общее решение системы (1) при а>1, Р=2. Эта система имеет сверхсингулярную линию и сингулярную точку. В этом параграфе доказана

Теорема 6. Пусть в системе (1) а>1, Р=2, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (3),(4),(5), (7),(12). Кроме того, пусть а(0,0)>0 , Ь(0,0)>1 и функция а(х,у) в окрестности начала координат удовлетворяет условию Гельдера с показателем а-1. Тогда любое решение системы (1) из класса C'(D) представимо в виде

2 Щх,у) = ехр[а(0,0К (х) - W't (х, у)} {ехр[-0£ (0, +

+ ]ЩУ>ехр[1Г;л«,у) - а(то>Л№) + г"4'0'0' ехр[-^, (х,у)]

о t

х"<00){ехр[а(0,0)юа (*) - ^ (*,0)]( Jexp[^ (/,0) - а(0,0)юо (Г)]

о

Щ^-dt + с2) + (14)

tap

где с1 = С2-с- произвольное постоянное число.

Седьмой параграф посвящен проблеме нахождения общего

решения системы (1) при а<1, |3>2. Эта система имеет слабую

сингулярную линию и сверхсингулярную точку. В этом параграфе

доказано следующее утверждение:

Теорема 7. Пусть в системе (1) а<1, Р>2 коэффициенты и правые

части удовлетворяют условиям (3),(4),(5). Кроме того, пусть Ь(0,0)>0 и

функция Ь(х,у) в окрестности начала координат удовлетворяет условию

Гелъдера с показателем {L2, т. е

| Ъ{х,у) - Ь(0,0)| <Н2г\ Х>р-2 (15)

Тогда любое решение системы (1) из класса С1 (D) представимо в

виде

2U(x,y) = expi-W* (х, _у)] {ехр[А(0,0)юд (0, у) - <(0^)](с, + {ехрВДО,*) -

о

-¿(0,0)^(0,^)]^^^) + )exp[w; (t,y)}^-dt) + txp[b{ma>f{x,y) -

S о *

^(^У)]{ехр[-ж;(х,0) + г.(0,0)^(х,0)](с2 + )txV[w:it,m^P-dt +

о t

+ )ехр[^С (*,*)] - b(0fi)a)fi(x,s)£^ds}, (16)

О р

г2'"

где т. (х, у) =-

' р-2

С/ = С2~с- произвольное постоянное число.

Восьмой параграф посвящен исследованию системы (1) при ог=7,р>2. Эта система имеет сингулярную линию и сверхсингулярную точку. В этом параграфе доказана следующее утверждение:

Теорема 8. Пусть в системе (1) а=1, р>2 коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (3), (4), (5),(9), (15). Кроме того, пусть а(0,0)>0 ,Ь(0,0)>] и функции а(х,у) ,Ъ(х,у) в окрестности начала координат удовлетворяют условию Гельдера с показателем Р-2 . Тогда любое решение системы (1) из класса С'(В) представимо в виде

Ш(х,у) = ехр[-^, {ехрНГ^ (0, у) + Ь( 0,0)*, (0>7)]с, +

+ ШУ^ехр {ГГ^МГ™*} + ехр [~Жь%х,у) + 6(0,0)©, (ж, .у)]

о <

{ехр[К0,0)^(ж,0) - Ж;, (*,0)](с2 + )ехр[^,М^Л) +

о '

+ |ехр[^(ж,*)-6(0,0)©Дж,5)];%^Л}, (17)

о Р

где

С] = С2=с- произвольное постоянное число.

Девятый параграф посвящен исследованию системы (1) при

а>7,Р>2.

Эта система имеет сверхсингулярную линию и сверхсингулярную точку. В этом параграфе доказана следующая

Теорема 9. Пусть в системе (1) а>1, Р>2 коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (3), (4), (5), (12), (15). Кроме того, пусть а(0,0)>0 ,Ь(0,0)>0 и функции а(х,у) и Ъ(х,у) в окрестности начала координат удовлетворяют условиям Гельдера с показателями а-1, Р-2 . Тогда любое решение системы (1) из класса С1(й) представимо в виде

2Щх,у) = ехр[я(0,0Н (*) ~ К (Х>УУ\ {«РН^?. (0, У) + К 0,0)6), (0, у)]с, +

+ (*>У) ~ ата^Ш + ехр[Ьф,0)о,(х,у) - (х,у)] х

О I

х {ехрН>(0,0)й>, (*,0) + а(0,0Н (х) - ^ (лг,0)](с2 + }ехр[»£ (/,0) -

о

- а(0,0)гва + }ехр[^ (*,*) - 6(0,0)ю, (х, (18)

' О Р

где С] = с2 —с -произвольные постоянные числа.

Десятый параграф посвящен исследованию системы (2). Эта система имеет сингулярную линию и сингулярную точку. В этом параграфе, в частности доказана следующая теорема:

Теорема 10. Пусть в системе (2) Ь1(Х,у)=уЬ0'(х,у) функции а^х.у), Ьо(х,у), fэ(x,y), £(х,у) удовлетворяют следующим условиям: 1). а,(х,у), £)(х,у) 6 \Г2),Ъ[ {х,у),их,у) е С.\(01 \ Г2). Функции а,(х,у), Ьо'(х,у) на Г2 могут иметь разрывы первого рода, а1(-0,0)<0,.а1(+0,0)>0, Ь0'(±0,0)>1,

Ъ^Ьт-уЩ^ ,в0;\Г2; (19)

ду \х| ах г

ъ 8 гМы1л х уК(х>у) А(х,у) _ д г/4(х,Я1 , а,(х,у)/А(х,у) ,

' аГ1 и г ПГ~~ яГ1- 2 П Г" > вио 2' \ги)

ду Ьс г х дх г Ы г

Функции а1(х,у), Ь0'(х,у) в окрестности начала координат удовлетворяют следующим условиям

К (Х>У) ~ а\ (-Ю,0)| < Н, |х|г', у,У 0 (21)

| Ь\ (х,у) - Ь\ (Т0,0)| < Н2\х\", у2>0 (22)

при (х,у) у (±0,0).

Функция £»(х,у) при х—> ±0 может обращаться в бесконечность и ее поведение соответственно при х-> -0 И х-» +0 определяется из следующих асимптотических формул

/Л*,У) = 0( К'''"'01), при х-*-О (23)

Мх,у) = 0(\Хр<^)), при х-*+0 (24) и существуют следующие пределы

Ш = Ш<\* Г™ а*.У)) е С(Г\), (25)

/» = А(Х>У)) е С(Г\), (26)

тогда любое решение системы (2) из класса С'(£)^\Г2) представимо в виде

тт, ч \К'Лс»Мх-У),/ЛУ)Ъ при -с<х<О ^(*»>0 = 1 , , (27)

{КА^МХ-У),/ЛУ)1 при -с<х<0

где СьСг-произвольные постоянные числа.

В (27) интегральные операторы К-~л,К*ш1 определяются из следующих равенств:

+ fc*^ЧхрНГЛО,*)]/^)- ^Г^'ехрНС-<f,y)]f}(t,y)dtl

О X

K,:,[c2,/3(*,y),//00] ^ exp [-Wj-(x,y)x-'^°b'KM-0) ехр (0^)(с2 + + У"'^2 ехр[Ж; (0,Î)]/»A) + У'(+оон ехр^Ч^Ш^Э],

о 1 о

где

х |i| О t

Y[b[(x,S)-b[{±Qfi)

К (x> У) = J-ЗТЗ-

о л "Г S

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Раджабов Н.Р., Мирзоев Н.Х. К теории одного класса переопределенной линейной системы первого порядка с особыми коэффициентами. //Тез. докл. Междунар. конф. дифференц. уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Таджикистан, 17-19 ноября 1996 г., с.72.

2. Мирзоев Н.Х. Об одном случае линейной переопределенной системы первого порядка с сингулярными коэффициентами. //Материалы научно - теоретической конференции профессорско -преподаватель-ского состава и студентов, посвященной 1100-летию государства Саманидов. Душанбе, 1999., с.22.

3. Мирзоев Н.Х. Об одном случае линейной переопределенной системы первого порядка с особыми коэффициентами. //Материалы научно -теоретической конференции профессорского - преподавательского состава и студентов, посвященной 10-летию 16 сессии Верховного Совета Республики Таджикистан 12-го созыва. Душанбе, 2002, с. 16.

4. Мирзоев Н.Х. Об одном случае линейной переопределенной системы первого порядка с особьми коэффициентами. // Вестник Национального университета, № 2, Душанбе 2003, с. 3-8.

5. Мирзоев Н.Х. К теории линейной переопределенной системы первого порядка с особыми коэффициентами. //Доклады АН Республики Таджикистан, 2003 том ХЬУ1, № 3-4. с. 34-40

6. Мирзоев Н.Х. Об одном случае линейной переопределенной системы первого порядка с особыми коэффициентами. //Материалы Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения», посвященной 10-летию Таджикского

государственного университета права, бизнеса и политики, г. Худжанд, 29-31 мая 2003 г. с. 79-81.

7. Мирзоев Н.Х. Об одном случае линейной переопределенной системы первого порядка с особыми коэффициентами. //Материалы Республиканской научной конференции «Совершенствование экономического анализа и статической информации в отраслях народного хозяйства» (21-22 мая 2003 г). Душанбе, 2003, стр.125126.

8. Раджабов Н.Р., Мирзоев Н.Х. К теории одного класса линейных переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка с внутренней особой линией и особой точкой. //Вестник Национального Универтета (Серия математика). 2004 № 1, Душанбе, с.84-101.

Подписано к печати 1.10.2004 г. Печатано с оригинала автора на ризографе GR 2710 Усл. печ.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №437. Per. №25

Общество с ограниченной ответственностью «Диловар-ДДМТ» 734012, г. Душанбе, ул. Лохути 2., тел: 218675

РНБ Русский фонд

2004-4 25356

Введение

§1.1. Интегральные представления решений для переопределенных систем со слабыми сингулярными коэффициентами ( а<1,|3<2).

§1.2. Случай, когда система имеет одну слабую сингулярную линию и одну сингулярную точку ( а<1,(3=2).

§1.3. Случай, когда переопределенная система имеет одну слабую сингулярную точку и одну сингулярную линию ( а=1,(3<2).

§1.4. Случай, когда система имеет сингулярную линию и сингулярную точку ( а=1,(3=2).

§1.5. Случай, когда система имеет сверхсингулярную линию и слабую сингулярную точку (а>1,р<2).

§1.6. Случай, когда система имеет сверхсингулярную линию и сингулярную точку ( а>1,р=2).

§1.7. Случай, когда система имеет слабую сингулярную линию и сверхсингулярную точку ( а<1,Р>2).

§1.8. Случай, когда система имеет сингулярную линию и сверхсингулярную точку ( а=1,Р>2).

§1.9. Случай, когда система имеет сверхсингулярную линию и сверхсингулярную точку ( а>1,(3>2).

§1.10. Интегральные представления многообразия решений для линейных переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка с внутренней особой линией и особой точкой.

Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений.

Многие задачи прикладного характера приводят к рассмотрению переопределенных систем дифференциальных уравнений.

Поэтому исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящено много работ.

Особый интерес представляет изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами достаточно разработана в работах Якоби и др. Дальнейшее развитие эффективных методов исследования совместности переопределенных систем уравнений в частных производных и построение многообразия решений как с регулярными, так и с сингулярными коэффициентами получили в работах Л.Г. Михайлова [20-23 ].

В частности работах Л.Г. Михайлова опубликованных в ДАН России в 1997 найдено формулы представления для переопределенной системы п ди / ч п ди г / ч г — = а(х,у) , г — = Ь(х,у) ох ду где n-целое положительное число.

Фундаментальные результаты по теории дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, вырождающимся эллиптическим и гиперболическим уравнениям, получены в работах М.В.Келдыша [16], A.B. Бицадзе [4], М.М. Смирнова [53], Л.Г. Михайлова [21], В.Ф. Волкодавова [6], Н. Раджабова [28]-[34] З.Д. Усманова [56], А.Д. Джураева [14], М.М. Салахитдинова [52], R.P. Gilbert [13], R.W. Carroll [12], R.E. Showalter [12],

В.Н.Врагова [9], С.А.Терсенова [55], А.И. Янушаускаса [61], A.M. Нахушева [24] и их учеников.

Фундаментальные результаты по гиперболическим уравнениям с сингулярными коэффициентами и вырождением того или иного порядка получены в работах A.B. Бицадзе [5], М.М. Смирнова [54], М.М. Салахитдинова [52] , В.Ф. Волкодавова [7], В.Н. Врагова [10], O.A. Репина [51], Н. Раджабова [35]- [45] и других авторов.

Некоторые вырождающиеся системы первого порядка рассматривались в работах A.C. Янушаускаса [61] ,А.В. Бицадзе [2],Н. Раджабова [49], Т.В. Чекмарёва [60], М.И. Лернера [18] и И.Е. Плешинской [26].

Имеется ряд работ, посвященных изучению переопределенных систем первого порядка с сингулярными линиями и сингулярной точкой.

Существенные результаты по переопределенным системам с регулярными и сингулярными коэффициентами получены в работах Л.Г. Михайлова [21], А.Д. Джураева [14], Н.Р. Раджабова [46], Э.Рузметова [50], Р. Пирова [27], Ф. Шамсиддинова [61] и других авторов .

В частности, в работах Н. Раджабова была исследована переопределенная система первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями и сингулярной и сверхсингулярной точкой. Там же ставится задача о нахождении многообразия решений для переопределенных систем первого порядка, когда одно из уравнений системы имеет сингулярную линию, а второе уравнение имеет сингулярную точку. Кроме того, представляет большой интерес изучение таких систем, когда порядок особенности больше, чем единица, то есть когда одно из уравнений системы имеет сверхсингулярную линию, а второе уравнение имеет сверхсингулярную точку.

Основной целью настоящей диссертации является исследование таких систем.

В дальнейшем через Б обозначим прямоугольник 0={0<х<с, 0<у<ё} . Соответственно обозначим Г1={0<х<с, у=0 } , Г2={х=0, 0<у<ё}. Кроме того через Бо1 обозначим область В01={(х,у): -с<х<с, 0<у<(1} . Соответственно обозначим Г1°={-с<х<с, у=0 } , Г11={-с<х<0,у=0}. Б!={(х,у): -с<х<0, 0<у<с1} В2={(х,у): 0<х<с, 0<у<ё>.

Соответственно в областях Б и Бо' рассмотрим переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка следующих видов: а&Я Г №

Х X X оу г г дх \х\ х О ди Ьх(х,у) + и(х,у) =

Г^у)

2)

2 2 X +у ду х2+у2 где а(х,у), Ь(х,у), ^(х,у), Г2(х,у)-заданные функции в области Б, г2=х2+у2 , а=сопБ1>0, (3=сопз£>0, а!(х,у), Ь1(х,у), fз(x,y), £4(х,у)-заданные функции в области БоЧ Г2.

Цель работы - найти многообразия решений переопределенной системы (1) в зависимости от показателей особенности а и Р; изучение поведения решения в окрестности особых многообразий; выяснение корректных постановок задач и их исследование.

Система (2) также изучено в области О0'\ Г2 , при 1) Ь^у^уЬо^у), 2)Ь,(х,у)е С(2>Ш0,0)*0, 3)Ъх{х,у) = гЪ2{х,у).

В настоящей работе в зависимости от числа а(а<1; а=1; а>1), (3(Р<2;3=2; |3>2), а также значении знака коэффициентов системы в точке (0,0), т.е в зависимости от знака значении а(0,0),Ь(0,0) получены многообразия решений системы (1) через произвольные постоянные.

Изучено свойство решений в каждом случае. Полученные интегральные представления можно использовать для корректной постановки граничных задач и их исследования.

Для системы (2) при условии 1) и 2) получено многообразия решений через две произвольные постоянные. Заметим, что на характер решения существенно влияют знаки чисел ^ (±0,0), ¿,(±0,0), Ь2 (0,0). Изучено всевозможные случаи.

Доказано, что для переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами в зависимости от дополнительных условиях на сингулярных многообразиях, можно получить решений с различными условиями на особых многообразиях.

Ниже приводим необходимые в дальнейшем результаты из теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Пусть Ь={а<х<Ь} - интервал вещественной оси. На Ь рассмотрим обыкновенное линейное уравнение первого порядка следующего вида 0 = 7^ ' И х-а) (х-а) где р(х)^(х)-заданные функции в Ь, а^сошР-О.

В случае, когда в уравнении (3) а<1, оно называется обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка с одной левой слабой сингулярной точкой.

При а=1 оно называется линейным уравнением первого порядка с левой сингулярной точкой.

При а>1 это уравнение называется линейным уравнением первого порядка с левой сверхсингулярной точкой.

Как следует из [31] , для уравнения (3) имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если в уравнении (3) а<1 , р(х),д(х) еС{Ь), то любое решение уравнения (2) из класса С1 (Ь) представимо в виде у(х)= ехр[~№г1(х)\{с1 + |ехр[Жр(0]' где (3.1)

ЦГа{х) = ] Р({) Ж,

УУ р !^-а)а С] -произвольная постоянная.

Теорема 2. Пусть в уравнении (3) а—1, р(х) еС{Ь) и удовлетворяет условию Гелъдера, ц(х)- непрерывная функция. Допустим, что выполнено одно из условий:

1. р(а)>0

2. В окрестности точки х=а, р(х)=0((х-а)^), Р>|р(а)| ир(а)<0. Тогда любое решение уравнения (3) из класса С1(Ь ) представимо в виде:

У{х) = ехр[^(х)](х-а)"КО)(с2 + ]ехр|^(0](Г-А)Р(в)-^/Г), а "/ где (3.2) а с2 - произвольная постоянная.

Теорема 3. Пусть в уравнении (3) а>1, р(х) в окрестности точки х=а удовлетворяет условию Гелъдера с показателем а-1, т.е, р(х)~ р{а)\<Нх5,5 > а д(х)-непрерывная функция. Кроме того допустим, что выполнено одно из условий р(а)>0 или р(а)<0, д(х) при х—>а обращается в нуль и её поведение определяется из асимптотической формулы

4 (х) = о[ехр(-|/?(я)|й>" (х))(х -а)г],у> а-1. Тогда любое решение уравнения (3) из класса С1 (И) представимо в виде:

Я*) = ехр р{а)соаа{х)-]уар{х)\{съ + }ехр цгар(0 -р(а)а>"(/)] ц!^« Ж), где (3.3)

ГМЧ^фл , <(*)= 1 Ъ {г-ау ' {а-1\х-а)а-1 '

Сз - произвольное постоянное число.

В частности, при а=о, уравнение (2) на Ь={0<х<Ь} имеет следующий вид уХх)+ту(х)=2М (4)

ОС X

Для этого уравнения, согласно [2], в случае а>1 имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть в уравнении (4) а>1. р(0)>0 ир(х) прих—>0 удовлетворяет условию р{х)-рЩ<Н1ХХ, АУа-1. (4.1)

Тогда любое решение уравнения (4) из класса С1 (И) можно представить в виде у(х) = ехр р(0)фа (х) - цгар (х)] (с4 + )ехр угар (0 - р(0)юа (о]^Г где (4.2) р > а (а-\)ха-1

С4~произволъная постоянная

Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка с сингулярной линией.

В области В рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка следующего вида : + = (5) а 4 ' а ' ^ '

X X где а=сопз1>0,а(х,у),^(х,у)-заданные функции в области И

Это уравнение при а<1 называется линейным дифференциальное уравнением в частных производных первого порядка со слабой сингулярной линией.

При а=1 уравнение (5) называется линейным дифференциальное уравнением в частных производных первого порядка с сингулярной линией.

При а>1 уравнение (5) называется линейным дифференциальное уравнением в частных производных первого порядка со сверхсингулярной линией.

Теорема 5. Пусть в уравнении (4) а<1. а(х,у), /¡(х,у) еС (£)). Тогда любое решение уравнения (4) из класса С](П) представимо в виде: и(х, у) = ехр [- ЦГа (х, Уу\ {у/ (у) + |ехр [ ЦТ (*, у)] Л), о 1 где (5.1)

О t

1(у)-произвольная непрерывная функция точек Г2.

Теорема 6. Пусть в уравнении (5) а>1 и а(х,у), /](х,у) еС (D). Кроме того, пусть а(0,0)>0 и функция а(х,у) удовлетворяет условию я(х,;и)-а(0,0}<#хг , <5у а-1 (5.2)

Тогда любое решение уравнения (4) из класса С 1 (О) представимо в виде: о ? где (5.3) у/2 (у) - произвольная непрерывная функция точек Гг.

Теорема 7. Если в уравнении (4) а=1 и функция а(х,у) удовлетворяет условию (5.2).а(0,0)>0 функции/(х,у) еС{0) .То любое решение уравнения (5) из класса С1 (И) можно представить в виде и{х,у) = ехр[^: (Х,у)] х-"(0'0) (у/, (у) + )ехр^ С> , (5,4) о ? где тТГ«, Л х(аЦ,у)-а(0,0) . о . I у/з(у)~ произвольная непрерывная функция точек Г2. Некоторые сведения из теории линейных уравнений с частными производными первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой

В прямоугольнике Б рассмотрим уравнение первого порядка (6) ду г гр

2 2 2 — где Р=сопб1>0, г =х +у ,Ь(х,у)^2(х,у)-заданные функции в области £>.

Это уравнение при р<2 назовем уравнением первого порядка в частных производных со слабой сингулярной точкой.

При р>2 уравнение (6) назовем линейным уравнением первого порядка в частных производных со сверхсингулярной точкой.

При (3=2 назовем его линейным уравнением первого порядка в частных производных с сингулярной точкой.

Для уравнения (6) имеют место следующие утверждения: Теорема 8. Пусть в уравнении (б) @<2, коэффициенты Ь(х,у), ]](х,у') еС{0) . Тогда любое решение уравнения (5) из класса С1 (О) представгшо в виде: и{х, у) = ехр[- ЦГ*Ь (х, у)] (<рх (х) + )ехр|^ (х, я)]^^ Ж), где (6.1) р, V , 2 2 2

Ж Л*,у) = \ 1 & ,р2=х2+52,

О рР р](х)-произвольная непрерывная функция точек Г[.

Теорема 9. Пусть в уравнении (6) /3>2,Ь(х,у),/2(х,у) еС (Б ), и Ь(х,у) в начале координат удовлетворяет условию Гельдера с показателем /3-2. Тогда любое решение уравнения (6) из класса С1 (И) представимо в виде ехр[6(0,0) щ (х, у) - ЦТ? (х, у)](<р2 (у) + еХр[^ (х, 5) - Ъ{0,0) щ (х, , о Р где

6.2)

0 (Х2+52)2

Р2(х)-произвольная непрерывная функция точек Г].

Теорема 10. Пусть в уравнении (6) [3=2, Ь(х,у), /2(х,у) еС(О). Допустим, что Ъ(х,у) удовлетворяет условию Гельдера. Тогда любое решение уравнения (6) из класса С1 (Б) представимо в виде и{х, у) = ехр[- ЦГ1 (X, у)^™ {<ръ (X) + /ехр^ (х, *)}рь™ Щ1 ¿5), о Р где (6.3)

1Уь (х>у) = I--2-р = X + 5 ' о Р

Рз(х)-произвольная непрерывная функция точек Г).

Методика исследований. В диссертации применяются современные методы исследования, разработанные для сингулярных и сверхсингулярных дифференциальных уравнений и переопределенных систем.

Научная новизна. Переопределенная система дифференциальных уравнений, когда одно уравнение имеет сингулярную или сверхсингулярную линию, а другое уравнение имеет сингулярную или сверхсингулярную точку, рассматривается впервые. Заметим, что при нахождении многообразия решений система (1) большую роль играет степень особенности. В диссертационной работе системы (1) исследуется во всех случаях. В зависимости от степеней особенности получено девять утверждений, где приводятся представления многообразия решений системы (1) в зависимости от чисел аир.

Система (2), т.е. переопределенная система, с внутренней сингулярной линией также исследуется во всевозможных случаях в зависимости от значении ¿>°(±0,0), ¿,(±0,0), ¿>2(0,0). Это система изучается в области БоЧ Г2, т.е, когда линия Г2 находится внутри рассматриваемой области. В этом параграф, существенно используя результатов, полученных для системы (1), исследуется система (2).

Кроме того, исследуется поведение полученных решений в окрестности особых многообразиях. Полученные интегральные представления применяются для выяснения постановок граничных задач и их исследования, когда соответствующие условия заданы на особых многообразиях.

Практическая значимость работы. В работе получены явные формулы, для многообразия решений, которые дают возможность решать конкретные примеры и тем самым довести до нахождения явных решений , являющихся важным для конкретной прикладной задачи.

Апробация работы. Настоящая работа охватывает результаты, полученные автором в течение 9-лет. Полученные результаты неоднократно были доложены на городском семинаре, руководимым профессором Н.Р. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре математического анализа и теории функции Таджикского государственного национального университета (1996,1999,2002,2003). Кроме того, работа была доложена на международный конференции по дифференциальным уравнения с сингулярными коэффициентами. (Душанбе, Таджикистан, 17-19 ноября 1996), на апрельских конференциях ТГНУ, на семинаре в институте математики АН РТ (22.10.2002), на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения» посвященной 10-летию Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики, (г. Худжанд, 29-31 мая 2003 г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения , 10 параграфов, библиографии. Работа изложена на 110 страницах машинописного текста. Библиографический список представлен 69 работами, из которых 12 на иностранных языках.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - Москва. Наука, 1978.-351с.

2. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М. Наука, 1981,-448 стр.

3. Бицадзе A.B. «Уравнение математической физики». -М.: 1982.-336 стр.

4. Бицадзе A.B. , Нахушев A.M. «К теории вырождающихся гиперболических уравнений». //Докл. АН СССР.- 1972.-т.204.с. 1289-1291.

5. Бицадзе A.B. «Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка». -М.:Наука,1966.

6. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. «Краевые задачи для ЭПД».-Куйбышев, 1984,- 80 с.

7. Волкодавов В.Ф., Специн B.JL, Федоров Ю.И. «Краевые задачи для одной системы уравнений в жестко пластических телах вращения. //Дифференциал. Уравнения. -Куйбышев, 1980.-е.36-45.

8. Врагов В.Н. «Аналитичность решений задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения».// Дифференц. уравнения. -1974.-т.10,№1 . с.36-40.

9. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений. // Дифференц. уравнения.-1972.т.8,№ 1.-е.7-16.

10. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1983.

11. R.W. Carroll., R. Е. Showalter. Singular and Degenerate Cauchy problems. Academic Press. New York , San Francisco , London, 1976,333 p.

12. R.P. Gilbert. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations, Academic Press. New York and London,1969, 313 p.

13. Джураев А.Д. Об одном случае вырождения эллиптической системы первого порядка на плоскости . //Докл. АН ТаджССР ,-1972,-т.15,№11,-с.З-5.

14. Келдыш M.B. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области. // Докл. АН СССР.-1951.Т.77,№2.-с.181-183.

15. Курант Р. Уравнения с частными производными . -М.:Мир. 1964.830 с.

16. Лернер М.И. Принципы максимума для гиперболических уравнений, систем уравнений и уравнений смешанного типа. Дис. д-ра физ.мат наук,-Новосибирск, ИМ.СОАН СССР, 1989.-185 с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.:Гостехиздат, 1953.778 с.

18. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе: Дониш, 1986,115 с.

19. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками, ДАН России ,1992, т.322, № 4, 646-650.

20. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Из-во АН Тадж. ССР, -Душанбе ,1963. -183 с.

21. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающего гиперболического уравнения. // Докл. АН СССР, -1969.Т.187, № 4 . -с. 736-739.

22. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений. //Дифференц. уравнения .-1971.-т.187,№ 1.-С.49-56.

23. Плешинская И.Е. Об эквивалентности некоторых классов эллиптических и гиперболических систем первого порядка и уравнения второго порядка с частными производными.//Дифференц.уравнения.-1987,-т.23,-с. 1634-1637.

24. Пиров Р. Об интегральном представлении решения сингулярной системы трех линейных дифференциальных уравнений, частично разрешенные относительно производных. // Межд. конф. дифференц. уравнения и их приложения . Душанбе, 1998. с. 85

25. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярными линиями или сингулярными поверхностями. -Душанбе. Изд.ТГУ.1980.-Ч.1. -127 е.; Ч.П.1981,170 е.; 4.III. 1982,170 с.

26. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линия-ми.//Докл. АН СССР.-1985.-т.281,№ 3, -с.534-539.

27. Раджабов Н.Р. Об одном методе представления многообразия решений общего линейного гиперболического уравнения второго порядка с ре-гулярными и сингулярными коэффициентами на плоскос-ти.//Изв.Тадж.ССР.Отд-ние физмат.,хим.и геол.наук .-1984.№4.-с.8-14.

28. Раджабов Н.Р. и Шевчук В.О. О дифференциальных уравнениях со сверхсингулярными коэффициентами // Тез. докладов всесоюзн. конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, 28-30 сентябрь ,часть 3, Душанбе ,1987.с.70-71.

29. Раджабов H. и Шевчук B.K. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений со сверхсингулярной точкой // Докл. АН ТаджССР ,т.32,№ 7.с 506-510.

30. Раджабов Н.Р. Об одном уравнении гиперболического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями.// Дифференц. уравнения.-1988,-т24, № 12. -с.2129-2133.

31. Rajabov N. linear huporbolic equations with super-singular point // Funktionen theoretische Methadone bee partiellen Differential undo Intergralgleicliangen 4.2. bis 10.2. 1990. P.13.

32. Раджабов Н.Р. Линейные гиперболические системы второго порядка со сверхсингулярной точкой // Дифференциальные уравнения и оптимальное управление:Тез.докладов Всесоюзн.конференции,4-6 окт.1990 г.Ашхабад, Ылым,с. 109-110.

33. Rajabov N. linear hyperbolic equations with two super singular lines// Integral equations and boundary value problems (Beijing Ghina 2-7 September 1990).World scientific. Singapore. New Jersey-London-Harg Kong. P. 170-175.

34. Rajabov N. Many-Dimensional linear hyperbolic equations with supper singular coefficients // International Conference on Applied Mathematics, Tehran, Iran, June 18-20, 1991, p.56-58.

35. Раджабов Н.Р. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе 1992, 236 с.

36. Rajabov N. Rieman-Hilbert boundary value problems for the second order linear elliptic systems with singular coefficients //Complex Analysis and its Application to partial Differential Equations, 1990, London, p. 12-27.

37. Раджабов H.P. К теории одного класса линейных гиперболических уравнений с двумя сверхсингулярными линиями \\ Докл. АН.ТаджССР.1989.т.32, № 9. С. 573-577.

38. Раджабов Н.Р. Об одном классе линейных гиперболических уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой \\Докл. АН ТаджССР. 1989.Т.31, №10.с.630-634.

39. N. Radjabov Integral representations for a certain equations with two singular lines and their application, 142.International conference on complex analysis and applications Varna, May 5-11, 1985 Symmaries.

40. Rajabov N. An Introduction to the theory of partial differential equations wits super-singular coefficients , Tehran University publishers,Tehran, 1997 , 230 p.

41. Rajabov N., Introduction to ordinary differential equations wits super-singular coefficients , Dushanbe, 1998 , 160 p.

42. Раджабов H.P. Об одном классе линейных гиперболических уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой \\ Докл. АН Тадж.ССР,1988. Т.31,№ 20,с.830-834.

43. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе ДГПУ , 1994. с. 241

44. Репин О.А. Решение краевых задач на плоскости и в пространстве для уравнений с сингулярными коэффициентами: Дис. канд.физ мат. наук. -Куйбышев, 1979. с. 107

45. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966.-292с.

46. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. -М.:Высш.шк., 1985.-304 с.

47. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнения вырождающихся на границе. Новосибирск : изд-во НГУ. с. 170

48. Усманов З.Д. Первая краевая задача для одного класса систем дифференциальных уравнений с сингулярной линией. // Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами. — Душанбе, 1969,-с.92-101.

49. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике.-М.:Науке,1973,-711с

50. Чаплыгин С.А. О газовых струях :Сбор. соч. -М.-Л: Гостехиздат, 1948.--т.2. с. 144

51. Чекмарев Т.В. Обобщение модельное системы уравнений смещенного типа. //Изв. высш. уч. заведений: Математика.-1972.№11.-е.72-79.

52. Чекмарев Т.В. Нелокальные задача для систем уравнений типа Гельмголь-ца.//Дифференц. уравнения. -1988.-24,№ 4.-С.724-726.

53. Шамсуддинов Ф.М. Интегральное представление решений для общего линейного эллиптического уравнения второго порядка с одной сверхсингулярной линией.// Межд. конф. Дифференц. Уравнения и их приложения . Душанбе, 1998. с. 85

54. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. -Новосибирск.: Наука, 1979.-190 с.

55. Мирзоев Н.Х. Об одном случае линейной переопределенной системы первого порядка с особыми коэффициентами. Вестник Национальный Университет.!^. Душанбе 2003 стр. 3-8.

56. Мирзоев Н.Х. «К теории линейной переопределенной системы первого порядка с особыми коэффициентами». Доклады Академии Наук РТ, том ХЬУ1, №3-4. стр. 34-40