Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями

Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб

Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Душанбе МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями»

Автореферат диссертации на тему "Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями"

4851527

Мохамед Эльсаид Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб

Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем ренциальных

уравнений в частных производи , г, гржащих гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными сверхсингулярными линиями

01.01.02- Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2011

4851527

Работа выполнена в Таджикском национальном университете

Научные руководители : доктор физико-математических наук,

академик АН РТ, профессор Раджабов Нусрат

доктор физико-математических наук, доцент Раджабова Лутфня Нусратовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Усманов Нурулло

кандидат физико-математических наук, доцент Болтаев Карим Сатторович

Ведущая организация: Курган-Тюбинский государственный

университет им Н. Хусрава

Защита состоится 15 нюня 2011г. в 13 ч. 00 мин. иа заседании дне-ссртационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ но адресу: 734063, г.Душанбе, ул. АПнн 299/4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан "13" .ААлЯ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера из физики, гидродинамики, теории упругости и других разделов математической физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И.Н. Векуа, А.В.Бицадзс, М.М.Смирнова, Т.Д.Джураева, М.С.Салохидцинова, Л.Г.Михайлова, З.Д.Усманова, Н.Раджабова, Ф.Д.Гахова, H.Begehr, А.Д.Джураева и их учеников.

Другим важным направлением в теории уравнений с частными производными является изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными с регулярными и сингулярными коэффициентами.

Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы Л.Г.Михайлова, А.Д.Джураева, H.Begehr, Н.Раджабова, Э.Р.Рузметова, а также их учеников, Р.Пирова, Б.Шарипова, Ф.Шамсудинова, Б.Шоимкулова, Н.Мирзоева и других. Эти работы в основном посвящены переопределенным системам первого порядка с сингулярными коэффициентами и системам, приводящимся к системам первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Изучение переопределенных систем начали с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами посвящена монография Л.Г.Михайлова1. В работе Л.Г.Михайлова2 было найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой

гп^ = а(х,у), гп^ = Ъ(х,у), где n-целое положительное число.

Л.Г.Михайлов Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Изд-во «Дониш», Душанбе - 1986,115 с.

2 Л.Г.Михайлов К сингулярной теории полных дифференцалов//ДАН России т. 354, №1, 1997, с. 21-24.

Монография Н.Раджабова3 посвящена исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка и некоторых линейных переопределенных систем первого, второго порядка с одной либо с двумя сверхсингулярными линиями или сверхсингулярными точками. В этой же монографии исследуются некоторые многомерные линейные системы первого порядка с сингулярной или сверхсингулярной точкой и сверхсингулярными областями.

В монографии Э.Рузметова4 получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярной точкой, с сингулярными линиями и плоскостями.

Однако переопределенные системы, содержащие уравнения второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, мало изучены.

Основной целью настоящей диссертации является изучение переопределенных линейных систем трех уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащих гиперболическое уравнение второго порядка со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярные линиями, которые исследуются впервые.

Особо важным является изучение переопределенных линейных систем с переменными коэффициентами, этот случай исследован полностью. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнений системы. Сначала изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным способом. В этом случае решение найдено в явном виде. После изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой и тогда решение находится через резольвенту двумерного интегрального уравнения Вольтерра со слабоособыми линиями.

Подробно исследуется случай, когда коэффициенты системы уравнений являются постоянными с сингулярными линиями, найдено решение системы, представимое в виде обобщенного степенного ряда.

В работе также исследуется система трех линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка, зависящая от разных параметров степенного характера.

3Н.Раджабов Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе 1992, 236 с.

4Э.Рузметов Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе ДГПУ, 1994. 241 с.

Также в работе изучается переопределенная система двух линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями.

Цели и задачи исследования:

— Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

— Нахождение и изучение решения вырождающейся переопределенной системы трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, представимое в виде обобщенных степенных рядов по одному из переменных.

— Нахождение и изучение решения переопределенной системы двух линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабо-сингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

Методика исследования. Используется метод интегральных представлений многообразия решений для гиперболического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами и представление многообразия решений для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется переопределенная система трех линейных уравнений, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями, не изученная ранее. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и других разделов механики и физики.

Апробация работы: Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н.Раджабовым "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных" при кафедре Математического анализа и теории функций, 2008-2011г. ТНУ. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы

анализа и информатики "Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010 г., на научно - теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава и студентов, ТНУ, посвященных "18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан "и "Году памяти Имама Аъзама ", апрель 2009 г., апрель 2010 г., Душанбе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-ми публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографического списка (66 наименований), изложена на 167 страницах.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, исследованной в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, а также приводятся основные результаты исследования.

В дальнейшем через Б обозначим прямоугольник: Б = {(х,у): 0 < х < 6г, 0 <у < 62]. Соответственно обозначим: Гх = {0 < х < ¿1, у = 0}, Г2 = {х = 0, 0 < у < д2}. В области Б рассматриваются следующие системы дифференциальнных уравнений:

I + У)Х°Ш + Ь{х, у)у0% + схОг, у)и = /х(х, у), ха^ + а2(х,у)и = Мх,у), (1)

у^ + Ь2{х,у)и = Ых,у),

d'u I а\(х,у) ди , ¡>1 [х,у) ди . с, (х,у) _ /1 {х,у

дхду л F"9* f х- ду х у U

ди , _ Мх,у)

Ъ)^ У1 У '

(2)

где aj(x,y),bj(x,y),j = 1,2, fj(x,y)( 1 < j < 3), а(х,у)-заданные функции в D, и(х, у) 6 C%y(D)-искомая функция, а = const. > 0, /3 = const. >0,7 = const. > 0.

Для системы (1) в зависимости от параметров а,/3 (а < 1, /3 < 1; а = 1,/3 = 1; а > 1,/? > 1и другие возможные случаи), и от знаков ах(0,0), а2(0,0), ¿>х(0,0), Ь2(0,0) найдены условия совместности на коэффициенты и правые части системы, при выполнении которых общее решение данной системы находится в явном виде.

Аналогичные результаты получены и для системы (2).

Выделяются случаи, когда коэффициенты первого уравнения системы (1) или (2) между собой связаны формулой с\(х, у) = а1(х,у)Ь\(х,у) +

а также когда С1^у) ^ а^у^^у)

Заметим что, при с2(х,у) = а1(х,у)Ь1(х,у) + - с^х.у) Ф О,

задача о нахождении общего решения системы (1) или (2), в зависимости от значений а, Р, сводится к изучению двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с двумя слабыми особыми линиями, изученные раньше5.,

В первом параграфе первой главы рассматривается переопределенная система (1) при а < 1, /3 < 1, С2(х,у) = 0. В этом случае уравнения системы (1) имеют две слабые сингулярные линии.

В дальнейшем через С1у{Б) обозначим класс функций и(х,у), который внутри Д имеет непрерывные производные первого порядка и

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 1.1. Пусть в системе (1) а < 1, 0 < 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям:

1) сч(х,у),/3{х,у) £ С1{0),02(х,у),/2(х,у) £ Су(Б),Ьх(х,у),сх(х,у),

2) С1(х,у)=х»Щ^ + а1(х,у)-Ь1(х,уУ,

3) х= а1(х,у) = Ь2(х,у);

4) Функции ^(х,у)(1 < 3 < 3) удовлетворяют следующим условиям совместности:

I) У0Щ^-+а1(х,у)/2(х,у) = (а2(2г,у)-Ь1(х,у))ехр[-И^(х,у)]-

■(/з(0, у)+1 ехрТО, у)]ГаМ1, уЩ+Мх, у);

II) хоЩ^+Ь^х, у)Ь(х, у) = Мх, у), (х, у) £ Б.

5Н.Раджабов Интегральные уравнения типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. Изд-во «Дониш», Душанбе - 2007, 222с.

Тогда любое решение системы (1) из класса представимо в

виде

и(х,у) = ехр[-<(х,у)1{ехр[-^(х)0)](с+1

у X

+ /ехр^^-И^МК 5-<7З(0,5) + уех о о

где КР(х,у) = ¡Г^з, И^у) = /„'^Л, И^я.у) = с-произвольная постоянная.

Во втором параграфе первой главы система уравнений (1) изучена при а < 1, Р < 1, С2[х, у) 0..

В третьем параграфе первой главы рассматривается переопределенная система (1) при а = 1, ¡3 = 1, С'2(х, у) = 0. В этом случае система уравнений (1) называется переопределенной системой уравнений с двумя сингулярными линиями.

В случае, когда а — 1, Р = 1, С2(х,у) ф 0. доказана следующая теорема:

Теорема 1.4. Пусть в системе (1) а = 1, /3 = 1, коэффициенты удовлетворяют условиям 1, 3 теоремы 1.1, С2{х,у) ф 0, функции 01(2:, у), Ь^х, у),а.2(х, у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям Гельдера и условиям «1(0,0) > 0, 61(0,0) > 0, ог(0,0) > 0, 61(0,0) > аг(0,0). Кроме того, существуют пределы видов:

ад) = 1ип{^°'0>/2(*,7,)}, ад = Шхь^мх,у)}

у—> 0 х—>0

ад) € С(ГГ), ад) 6 С{Т2), функции Мх,у)(1 < з < 3) удовлетворяют следующим условиям совместности:

I) уЩ^ + а^уШх.у) = (а2(х,у)-Ь1(х,у))х-ь^ехр[-\Уь1(х,у)}-

■ Шу) + / г'"(вдЬ1ехр [Щ1(1<у)Ш1,у) + С2(1,у)и(1,у)Т2[е(1,у)\)Л)+ о

+ у) + Са(г,з/)и(х,у)Т2[£;(а:,у)]);

II) х"дЬ^у)+Ь1(х.. у)Д(х. у) = Мх, у)+с2(х, у)и(х, у)Т,[Е(х, у)], (х, у) € Я, функция С2(х,у) удовлетворяет условию:

с2{х,у) = 0[хсус], £>0, при (х,у) (0,0). Тогда любое решение системы (1) из класса сг1у(п) представимо в виде:

у X

и(х,у)=х-ь^у-а^{Е(х,у) + У^У Г(х,у;М)ЯМЛ}

о о

= Т2[Е{х,у)},

где

Е(х, у) = ^М-^ехрЬ^.Дгс.у) - И/О2(а;,0)]{с + ^

.ехр[И/„2(г,0)]^Л} +ехр[-\¥а1(х,у)} I ехр[Ша1(х,з)-

- ИЪОмЖ^М +1 о

Г(х, у\ (, в) -резольвента известного двумерного интегрального уравнения Волътерра с двумя слабоособыми линиями, с-произволъная постоянная, Па1(х, у) = /0У ^^ у) = £

В пятом параграфе первой главы рассматривается переопределенная система (1) при а > 1, /3 > 1, с2(х,у) = 0. В этом случае система уравнений (1) будет называться переопределенной системой уравнений со сверхсингулярными линиями.

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 1.5. Пусть в системе (1) а > 1, /3 > 1 , коэффициенты удовлетворяют условиям 1, 2, 3 теоремы 1.1, функции 0-1 у), Ьх (х, у), а2[х, у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют следующим условиям:

Ь(х, у) - «1(0,0)| < Я1УЛ 71 > Р - 1, Мх,!/) -61(0,0)| < Пгх™, 72 > а — 1, Мг,у)-а2(0,0)|<//зх'в1 7з > а - 1, и условиям 01(0,0) > 0,61(0,0) > 0,а2(0.0) > 0. Кроме того, существуют пределы видов:

/ад = 1ш{ехр[-а1(0,0)шв(у)]/2(х, у)}, Р3(у) = Кт{ехр[-М0,0)ыа(х)]Мх, у)},

у—«О I—»0

F2(x) e C(I\), e С'(Г2), функции fj(x,y)(l < j < 3) удовлетворяют следующим условиям совместности:

I) УвдМаХу'У) +al(x,y)f2(x,y) = (a2(x,y) - Ы:г,г/))ехр[ЫО,ОК(:г) - Wg(x,»)].

ii) x^fj^+b^mx-.y) = Л(х,г/), (x,y) 6 d.

Тогда любое решение системы (1) из класса C^y(D) представимо в виде:

и(х, у) = ехрМО, OH(V) - ЯГЦх, ?/)]{ехр[а2(0,0)ue(r) - W£(x, 0)](п + j exp[W°(t, 0)-

- a2(0, OK(t)]^-dt) + J expKfe s) - Ql(0,+ Ь,(0,0)ыв(х) - Wftx,«)]-

(3)

где с-произволъная постоянная, W£(x,у) = ft y) = /; йM^Mdi,

Wg[(x,v) = fibWfW )dt, My) = И^т, Ua(x) = (Sn^r. Замечание 1.4. Интегральное представление (3) остается в силе также при ai(0,0) < 0, аг(0,0) < 0, &i(0,0) < 0 и выполнения условий ^(0) = О и ^з(О) = 0 с асимптотическими поведениями:

F2{x) = о[ехр[-|а2(0,0)|ша(х)] • о;74], при, х —► 0, 74 > а - 1,

F3(y) = о[ехр[-1^(0,0)1^(2/)] • у*], при, у О, Ъ > ¡3 - 1, и /i(0,2/) = 0, /i(x,0) = 0 с асимптотическими поведениями:

fi(x,y) = о[ехр[-|Ы0,0)|шц(ж)] • х76], при, х 0, 76 > a - 1,

fi(x,y) = o[exp[-|ai(0,0)|^(y)] - у77], при, у 0, 77 > /3 - 1.

Следствие 1.4. При выполнении всех условий теоремы 1.5, любое решение системы (1) из класса C%y(D) на и Г2 обращается в бесконечность с асимптотическими поведениями

и{х, у) = 0[exp[oi(0,0)^(y)]], при у —* О,

и(х,у) = 0[ехр[а2(0,0)шц(а:)]], при х -* 0, (а2(0,0) > 6i(0,0)).

Следствие 1.5. При выполнении условий теоремы 1.5 и (а2(0,0) > h¡(0,0)), представление вида (3) обладает свойством

(u(a;, у) exp[-ai(0,0)шр{у) - а2(0,0)wa(x)])1=0,y=0 = с.

Пример 1.5. Пусть в системе (1) а > 1, /? > 1, ai(х, у) = Ъ2{х,у) = а2{х,у) = h(x,y) = а = const. > 0, и fi(x,y) = а2. Тогда ci(x,y) = а2, h(x,y) = h{x,y) = а.

Легко можно видеть, что в этом случае, решение системы (1) выражается формулой

и{х,у) = сехр[аЦз(у) + ша(х))] + 1.

В шестом параграфе первой главы система уравнений (1) изучена при а > 1, Р > 1, С2{х,у) ф 0.

Замечание 1.5. В первой главе для системы уравнений (1) также доказаны теоремы, подобные теаремам 1.1-1.6, когда:

а = 1. 0 < 1; а < 1, (3 = 1; а < 1, /9 > 1; а > 1, Р < 1; а > 1, /3 = 1; а = 1, 0 > 1.

Во второй главе в области D рассматривается переопределенная система уравнений вида:

хУтк, + аИ1 + М| + diu = /i(*. У)'

< + а2и = f2{x,y), (4)

yfv+b2u = h{x,y\

где a,j, bj,j = 1,2, di -заданные постоянные, fj{x,y)( 1 < j < 3)-заданные функции в D, u(x,y) 6 Cly{D)-искомая функция.

В первом параграфе второй главы получены многообразия решений системы уравнений (4), представимые в виде обобщенного степенного ряда по переменному х .

В этом параграфе имеет место следующее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть в системе уравнений (4) функции fj(x,y)( 1 < j < 3) представимы в виде абсолютно и равномерно сходящихся рядов вида:

= (i < j < з),

k=0

где функции /¡и(у), /;с,2(у), fk,з(у) такие, что существуют пределы:

lim{(fc + 7 + a^fMy1"} = ck, ¡/->0

lim{((b2 - oi)(A + 7) + hh - d\)~lySk[(k + 7 + МЫ*) ~ ЛдШ =

y—>0

при 6k = >0, fc + 7 + 6iT^0u выполнено бесконечное число

условий совместности вида:

+ 7 + - /М(У)1 = (02--ai)(* + 7)'+6162--dJy^fkAy)-

Тогда единственное решение системы (4) из класса функций и(х, у), представимых в виде обобщенного степенного ряда по переменному х, имеет вид:

«M)=VA *17 "1 (с^ 4- I s 41 т 1 '1 1 ' ds),

ts J k+7+61

где Ck -произвольные постоянные, для которых существует предел:

lim = L, L.x < 1, 0 < x < öx. k-*o0 Jcjfct

Теорема 2.2. Пусть коэффциенты и правые части системы (4) удовлетворяют всем условиям теоремы 2.1, кроме условия fc+7+61 = 0. Пусть для какого-нибудь значения к = ко, ко + 7 + &i = 0.

Тогда единственное решение системы (4) представимо в виде:

и(х, у) = у x^y-'-^^ick + [

U { к + 1 + Ь1

ai(*o + 7) + di У k + 1 + bi h

к=0

где ко = £|&11 —к] -

Во втором параграфе второй главы получены многообразия решений системы уравнений (4), представимые в виде обобщенного степенного ряда по переменному у . В этом параграфе получены теоремы, подобные теоремам 2.1. и 2.2.

В третьей главе в области D рассматривается система уравнений вида:

+ 01 (*, у)хаш + Ч*, У)УВЩ + у)и = Л(®. у). < г^ + а2(®,у)и = /2(®>у), (5)

к У^ + Ь2(х,у)и = f3(x,y),

где aj(x,y),bj{x,y),j = 1,2, /j(x,y)(l < j < 3), с,(ж,у)-заданные функции в D, и(х,у) 6 Cly{D)-искомая функция, а = const. > О, (3 = const. >0,7 = const > 0 , Л = const. > 0.

В этой главе, для линейной переопределенной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, в зависимости от условий на коэффициенты и в случае разных параметров степенного характера, найдены многообразия решений через одну произвольную постоянную.

В первом параграфе третьей главы рассматривается переопределенная система (5) при а < 1, (3 < 1, 7 < 1, А < 1, с2(х,у) = 0. В этом случае уравнения системы (5) являются уравнениями со слабыми сингулярными линиями.

Во втором параграфе третьей главы изучается переопределенная система (5) при а = 1, /3 = 1, 7 = 1, Л = 1, с2(х, у) = 0. В этом случае система (5) называеться переопределенной системой уравнений с сингулярными линиями.

Теорема 3.2. Пусть в системе уравнений (5) а = I, /3 = 1, 7 = 1, Л = 1, коэффициенты и правые части системы удовлетворяют следующим условиям:

1) ai(z, у), Ь2(х, у), Мх, у) е 01(D), а2{х, у), f2{x, у) £ С£(£>), Ьг(х, у), ci{x,y),fi{x,y) в C(D);

2) c1(x,i/)=xa^ + ai(x,i,)-bi(a:,2/);

О) д /ai(x,y) \ _ д /■aspt.yh _ д Мх,у)\ вх< у" > ~ х-1 > ~~ аЛ уЛ >•

Функции а,1(х,у),Ь\(х,у),а2(х,у),Ь2[х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям Гелъдера и условиям oi(0,0) > 0, i>i(0,0) > 0, a2(0,0) > 0, 62(0,0) > 0,(d2(0,0)-ai(0,0)) > 0. Кроме того, существуют пределы видов:

ВД = lim{y"^f2(x, у)}, F3(y) = Пт{хь>^Мх, у)},

у—»0 х—+и

F2{x) e C(ri), F3{y) e С(Г2), функции fj(x,y)( 1 < j < 3) удовлетворяют следующим условиям совместности:

Т) уЩ^- + a,{x,y)h(x>y) = (а2(х,у) - b,(x,y))exv{-Wh(x,y)]x-b^. оу

■ (Ея(у) + Jt^-'explWb^y^t^dt + f^y), о

II) у^eM-waM][bl{x'ymx'v) + + + Ш-

х их у

х у j у

- у) - Wai^s) + Wai{x,y)]^-ds} - ^(MliM^M).

S у X

. f у<ч(о,о)-12(о,о)аЬа(о,о) ехр[И4,з(х, а) - + ^(х.у)]^!^ -

у s у

• J^М-ЬМ^М cxp[Wb2(x, 8) - Wh(x, у) + о

+ = ^,(0,0) exp[H,ai(:C) y)]fM

х s xy

Тогда любое решение системы (5) из класса c£y(d) представимо б виде:

и(х,у) = у-а^0)ехр\-Ша1{х,у)]{ф2{х) + Jexp^fe s)-

-иимкед+ / exp(H/i,l(i, ,s)]/i (i, .4)dt.)df>},

(6)

где

ф,(х)=х-^ехр[^а2(х,у)](с + j rP'^expI-WUi.O^Wrfi),

A(x, у) = b2(x, y) - ai(x.у), с-произвольная постоянная.

Замечание 3.3. При oi(0,0) < 0, a2(0,0) < 0, 62(0,0) > ai(0,0) и выполнения условий £3(0) = 0 и F2(0) = 0 с асимптотическими поведениями:

ВД = о[у5% при, у -» 0, ¿4 > МО, 0)1, 14

F2(x) = o[xs*l при, x О, ¿6 > |a2(0,0)|, и также выполнения условия fi(x, 0) = 0 с асимптотическим поведением:

Л(г.у) = ПРИ, У 0, 69 > КО, 0)|,

интегральное представление (6) также остается в силе.

Замечание 3.4. Полученные результаты в этом параграфе совпадают с результатами, полученными нами в §1.3, когда ai(x,y) = b2(x,y).

В третьем параграфе третьей главы рассматривается переопределенная система уравнений (5) при а > l,ß > 1,7 > 1, Л > 1, с2(х,у) = 0 и уравнения системы (5) будут называться переопределенной системой уравнений с сверхсингулярными линиями.

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 3.3. Пусть в системе уравнений (5) а > 1, ß > 1,7 > 1, Л > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям 1, 2, 3, теоремы 3.2. Функции fj(x,y)(l < j < 3) удовлетворяют условиям совместности:

О lfdhßyy)= (пг(х, Ь] (х, у)х*~а) ехр[Ь] (0, 0)clJ„(x) —W^(x, jy)]-

■{Ея(у) + J exp[W6°(i, у) — f?i(0,0)u„(£)]/i(i, t/))di + f-\(x,y)x'~a\ о

//) «ЧТО*,») - аио.ВЫхЖ^'У'0 + + IÄW-

Mx.y) , A , ^,h(x,y) аг(х,и) + a2(a,0)wba(x,i<) ai(x,y)

■(—x > ~y )(—x j^—)J-

.{-1 + J exp[W4j(x,«) - Wb\(x, y) - W£(x, в) + y) - b2(0, 0)(wA(«) - «*(»))+

, ,n nw , y. , 4M/fc2(x,i) ai(x.s) . Mx,y) a2(x.y) + a2(x.O)..b2(x,y) + ai(0,0)Ms)-ЫШ—¡л---—~ (—---^-Н^л--

-HiwlyJ схр[»Й(х,в)-И^(®,»)+<(!,1/)-Ь,(0,0)Ыв)-Ыл(»))-в1(0,0Н(»)].

_ (bfrvi _ £1(ßyl) jeMWb\(x,s) - Wfav) + Wfa,y) - 5,(0,0).

i i\ I \\ in i м/ 1 0/зОм) , ,02(x,s)-а2(х,0) /3(x,s). .(üb(s) -Ыу)) - Qi(0.0H(i/)]{gr gx + (---) 5л -}ds =

= exp[<(x, y) - o,(0,

x у

функции а\(х, у), Ь^х, у), у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям:

К*, у) - а1(0,0)| < Н1У*\ «!>/>- 1, |&1 (*>у) -Й1(0,0)| < Нгг6\ 62> а- 1, |а2(яг,у) — а2(0,0)| < Н3х6\ 53 > -у - 1, Мх,у)-Ы0,0)\<Н^\ г4 > А - 1, а также условиям ах(0,0) < 0,а2(0.0) > 0,6^0,0) > 0,6з(0,0) > 0. Кроме того, существуют пределы видов:

ОД = 1ш{ехр[-а1(0,0)щ{уШх, у)}, Е3{у) = Кт/ехрМ^О, 0)ша(х)]Мх, у),}

у—» 0 х—»0

Г2(х) е С(ГГ), Ез(у) е С(ГТ), функции Е3(у), Д(х,у) удовлетворяют условиям:

Е3(0) =0 с асимптотическим поведением:

Е3(у) = о[ехр[-|а1(0,0)^(^)1 • у*6], при, у -> 0, <5в > А - 1, /1(1,0) = 0 с асимптотическим поведением:

/х(х,у) = о^хрНаЦО.ОЖМ] • гД]> при, у - О, <5Т > Р - 1. Тогда любое решение системы (5) из класса С^(О) представимо в виде:

и(х,у) = ехр[а1(0,0)^(у) - И^(1,у)]{03(х) +/ехр[И^(х, а) - а1(0,0Ц,(«)+

+ МО, 0)и*{х) - а)\{а~хЁ»[а) +1ехр[И^(«,а) - 6,(0,0)шаЩ}!-^-<11)<1а},

(7)

где

&(*) =ехрМ0,0)ыт(х) -И£(*|0)1(с +1ехр[^Д{,0) - а2(0,0К(<)]^<Й),

С. У) = / ¡¡¡<Ь2>^ШЛ> ^(х, у) = / йМ^М

о о

тх, у)=/ М^ЬММ),, ^ у)=/ м^т^,

о о

с-произвольная постоянная.

Следствие 3.3. При выполнении всех условий теоремы 3.3, любое решение системы (5) из класса С1 (О) на Гг обращается в нуль с асимптотическими поведениями:

и{х,у) = о[ехр[а1(0,0)|с^(у)]], при у-* О, 16

а также на обращается в бесконечность при 7 > а и при (7 = а, а2(0,0) > 6i(0,0)) с асимптотическим поведением:

и(х,у) = 0[ехр[а2(0,0)ш7(х)]], при х —> 0,

и при 7 < а, с асимптотическим поведением:

и(х,у) - 0[ехр[й!(0,0)а;а(а:)]], при х -+ 0,

Следствие 3.4. При выполнении условий теоремы 3.3 и (7 > а или 7 = а, аг(0,0) > 6i(0.0)), представление вида (7) обладает свойством:

(«(ж, у) ехр[-ах(0,0)^(у) - а2(0,0)w7(a;)])I=0iV=0 = с.

Замечание 3.5. Если в системе уравнений (5) 7 = а, Л = /3, ai(x,y) = 62(2;, у), тогда полученные результаты настоящей глави совпадают с результатами, полученными в §1.5.

Замечание 3.6. В третьей главе для системы уравнений (5) также доказаны теоремы, подобные теоремам 3.1-3.3, при:

а > 1, S3 = 1, 7 > 1, Л = 1; а > 1, (3 < 1, 7 > 1, А < 1.

В четвертой главе в области D рассматривается переопределенная система уравнений вида:

0ги I ai{x,y)du . bj(x,y)du . Ci(z,y) fi(x,y) дхду~* yi^dx "г X" ду I»!/'3 " — iV '

(8)

¿to , Ьг(х,у) _ f2(x,y) ду "т" у а у '

где aj(x,y),bj(x,y),j = 1,2, fj(x,y)( 1 < j < 3), сДя,у)-заданные функции в D, и(х,у) S C%y(D)-искомая функция, а = const. > 0, /3 = const. >0,7 = consi. > 0.

Основной целью настоящей главы является получение многообразия решений системы (8), при этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнения системы (8). Сначала изучается случай, когда коэффициенты уравнения системы связаны между собой определенным образом, после изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой.

В первом параграфе четвертой главы изучается переопределенная система уравнений (8) при а < 1,/? < 1,7 < 1, ej(х, у) е CX(D) и исходным уравнением является первое уравнение системы (8). В этом случае уравнения системы (8) являются уравнениями со слабыми сингулярными линиями.

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 4.1. Пусть в системе (8) а < 1, р < 1, 7 < 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям:

V «1 {х,у)Мх,у),Ь(х,у) 6 с1{0)Мх,у),Ь{х,у) е сЦй),

гЛ(х,у)еС(П),

2) С1(х,у) = х"^^ + а1(х;у)-ь1(х:у),

о) 8 / В1(х,у)\ _ а /б!(г,у)ч _ 9 (Ьг(х,у)\

4) существуют пределы видов

у гд/2[х, у). д/2(х,0)

= когда

+ Щх, у)Мх, у)]} = Н{х) когда 7 < /?,

5) функции ¡]{х,у){ 1 <j<3) удовлетворяют условиям совместности:

I) хавь^у) + Ы*, »)/>(*, у) = Ых., у) - 01(х, ехр[-<(х, у)}-

■ (х°ф, (х) + |ехр +

II) х"[Ь2(х,у) - а,(X,у)у"-0]д2^дуу) + {^¡¡г^-Мх, у) - а,(х, у)у^]х"~ - у) - а, (х, + 6, (х, у)\Ъг{х, у) - а, (х,

»)[Ьа(я:,»)-<11(®, у)-а1(х, »^у^+ГбаС®, »)-

- а,{х,у)у-<-^у-1> + ^Л[Ь2(Х,У) - а1(х,У)У^]У^ - у-1-е^-{Ъ2(х,У)--а1(х,у)у^в}Ц1-13)у^-%(х,у)-а,(х,У)у->-'3}}^(х,у), (х,у) е £>.

(9)

Тогда любое решение системы (8) из класса С^.у{р) представимо в виде:

и(х,у) = ехр[-И^(х,у)]{ехр[-И^(0,г/)](с + |

* У

+ I еММь°(1,У)-\уе1(1,У)\{ф1Ц) + I е^^з)}!^^} =

о о

= Й'1[с,01(х),/1(х,2/)],

где с-произвольная постоянная, значения функции ф\(х) при 7 = /i,7 > ft, 7 < ft соответственно определены при помощи формул:

Ы*) = х и[-62(1,0) — ai(x,0)-(б2(1'0) * ai(l'0))'

ха01фЖ+Ь1х П)Г(Х 0)

М*) = — 62¿0) ]' (Ых'0) *0)'

Замечание 4.1. Решение вида (10) обладает свойством: u(0,0) =V>i(0) = с.

Если иху е c(d), иу е c(d), u¡, е c(d), тогда из системы уравнений (8) получим

С1(0, ОНО, 0) = Д(0,0), Ь2(0,0)и(0,0) = /2(0,0).

Отсюда определяется значение постоянной с:

„т m-r /l(0'0) /а(0'0)

Пример 4.1. Пусть в системе (8) a < 1,(3 < 1,7 < 1, ai(x,y) = a 1 = const. , bi(x,y) = 61 = const., y) = b2 = const, и (3 = 7, fi{x,y) = arQexp[6iwa(a:) + 01^3(2/)]. Тогда ci(z,y) = ai¿>i, у) = xexp[biua(x) + aiUp(y)]E(y).

Легко можно видеть, что в этом случае, решение системы (8) выражается формулой

и(х,у) = сехр[62ш7(у) + biLJa(x)] - xexp[biua(y) + ai^(x)¡,

где с-произвольная постоянная,

Е{у) = l-(b2- oi)w^(y).

В случае, когда, а < 1, (3 < 1,7 < 1, с2(х,у) ф 0. доказана следующая теорема:

Теорема 4.2. Пусть в системе (8) a < 1,(3 < 1,7 < 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям 1,3,4 теоремы 4-1. Пусть с2(х,у) ф 0 Кроме того существует предел вида N(x) = у)}у=о и функции fj{x,y)( 1 < j < 2) удовлетворяют

следующим условиям совместности:

I) xa^^ + bl(x,y)h(x,y)^(b2(x,y)-al(x,y)y^)cxV[-W^(x,y)}-

■ (xa(f>i(x) + / ехр[<(х,,)]h[x"Я) + »)] )ds+

+ (Л(я. у) + <*(*. »№ ФЛх), Д(х, у)\)хГ0-,

II) х°[Ъ2{х,у) - ау{х,у)у^\°21^у) + {^1М1[Ь2(х,у) - а,{х,у)у^]ха - х°. ,|[Ы*, У) -а, (X, йу-г-^У^й + ь (я, у)[6а(в1 у)_а, +

-Ь1(ас,у)-[Ь2(дг, у)—01(2;, у)!/'7-0]—ЬаСа:, у)—«1(3;, ^У^^+^гС^, у) —а^х, у)^-13]-

■ = У^Ых,у) - аЫу-'-^ЦЫ + ф,у).

■К А*, &(*). Л(*.»)]) + Ш*.у) - г;)?;7-"]2?/-" + ^^М*.//) - аЦ*.г/)?/7'"].

■У1'* - У^щЫ^у) - а1(х, у)у^\ + (7 - 0)уу~^~1[Ьг(х,у) - а^амЖГ'!}. • (Л(х, у) + с2(х, 3/)К,[с, фх(х), /1 (х, у)]),

(х,г/)еА

Тогда любое решение системы (8) из класса представимо в

виде:

х V

и{х,у) = К1[с,ф1{х),{1{х,у)]+ J сИ J Цх,у;1,з)К1[с,ф1(х),/1(х,у)^з =

о о = ф^.Мх.у)],

где Г (ж, у; Ь, в) -резольвента явно выписанного двумерного интегрального уравнения со слабой особенностью, с-произвольная постоянная для значения ф\(х) соответственно при 7 = /3,7 > /3,7 < /3, определяемых при помощи формул:

_ДГ*а^ + Ыд, ИМ», О) - (Л(д. О) + с2(х, 0) ехр[—И^°(х, ОИ-ЗДя)]), ф^х>~х I 62(е,0)-в1(х,0) Ь

ш - (ЫМ) ^ 0)1

ш = ^САМ) + ^(х,0)ехр[-^М)].Г1[ДЫ]) - Я(,)]| (в1(в10) ^ 0)1

где Г^ЬХх)], ЩЕ^х)}, ЩЕ-^х)] -известние интегро-дифферециальные операторы.

Во втором параграфе четвертой главы рассматривается переопределенная система уравнений (8) при а < 1, /3 < 1, 7 < 1, £11(2;, у) 6 Сх(0), когда исходным уравнением является второе уравнение системы (8). В этом случае уравнения переопределенной системы (8) будут уравнениями со слабыми сингулярными линиями.

В третьем параграфе четвертой главы изучается переопределенная система уравнений (8) при а > 1,/3 > 1,7 > 1,

а\{х,у) £ Сх{0), С2(х,у) = 0 в случае, когда исходным уравнением является первое уравнение системы (8). В этом случае уравнения переопределенной системы (8) являются уравнениями со сверхсингулярными линиями. Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 4.5. Пусть в системе (8) а > 1,(3 > 1,7 > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям 1, 2, 3, теоремы 4.1, функции й\(х,у), Ь\(х,у), Ь2(х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям:

|а1(х,у)-о1(0,0)|<Я1уг', 81>р-1, (11)

Мх,р)-МО,0)| <Н2хЬ, (52 > а — 1, (12)

\Ьг{х,у)-Ьгф,0)\<Н*У*\ > 7 - 1, (13)

а также условиям <21(0,0) > 0,61(0,0) > 0,^(0,0) > 0. Кроме того, существуют пределы видов:

Е2{у) = 1ш1{ехр[-Ц0,0)и;„(®)];,(*, у)} (14)

= + ,УЩх,у)- у.

—о1 ь2(х,у)-а1(х,у)у-11 '' ^

Ег(у) 6 С(Г^), Е,{х) е С(Г7). Функции /¿(я,г/)(1 < j < 2) удовлетворяют условиям совместности (9) и условиям:

I) ха^^-+Ь1(х,у)/2(х,у) = (Ь2(х,у)-а1(х,у)у^)ехр[а1(0,0)Му)-К(х,У)}-

■(хаф2(х)+1 вф|И^(х,в)-а1(0,0)ы/9(в)]^^)Л9+/1 {х,у)у-<-0.

Тогда любое решение системы (8) из класса С1у(й) представимо в виде:

и(х,у) = схр^о,0К(х) - ^У^х,у)]{схр[Ь2(0,0К(у) - И£(0, у)](с + /схр[И£(0, в)-

-62(0,0)ш7(в)]^<гв) + У — 61(0,0)ш„(0 + а1(0,0)ш/з(у) -

•(^Г + у ехр[И^(*,в) -О1(0,0^(вЛ^Мл)^} =

где с-произволъная постоянная.

Замечание 4.4. Интегральное представление (16) остается также в силе также при ах(0,0) < 0,61(0,0) < 0,62(0,0) < 0 и выполнения условий £2(0) = 0 и .£а(0) = 0 с асимптотическими поведениями :

Ез(у) = о[ехр[-|62(0,0К(у)]уг<], при, у 0, 64 > 7 - 1, (17) Ei[x) = o[exp[-|6i(0,0)wQ(z)]zÍ5], при, х -> 0, ós > а - 1, (18)

и также выполнения условий /i(0,y) = 0, fi(x, 0) = 0 с асимптотическими поведениями:

Мх, у) = о[ехр[-|Ы°>0)wa(i)]x4 при, х - 0, д6 > а - 1, (19) fi(x, у) = o[exp[-|ei(0,0)МУ)}У% ПРИ> V 0, ÍT > 0 - 1. (20)

Следствие 4.1. При выполнении всех условий теоремы 4.5 любое решение системы уравнений (8) из класса С^Д-О) на Г1 обращается в бесконечность со следующим асимптотическим поведением:

кроме того, при 7 > /3 и (7 = /3, 62(0,0) > 01(0,0)), а также при 7 < /3, любое решение системы уравнений (8) из класса С^(£>) на Г2 обращается в бесконечность соответственно с асимптотическими поведениями:

0[ехр[а1(0,0)^(у)]], при 0, 7 < (3.

В случае, когда, а > 1, /3 > 1, 7 > 1, С2{х,у) ^ 0, доказана следующая теорема:

Теорема 4.6. Пусть в системе (8) а > 1, /3 > 1,7 > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям 1, 3 теоремы 4-1. Пусть С2(х,у) / 0 и удовлетворяет условиям:

С2(х,у) = 0[х71у72], й>а- 1 52>(3-1при {х,у) —у (0,0),

функции а:(х,у), Ь\(х,у), Ь2(х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям (11), (12), (13) и условиям ах(0,0) > 0, &х(0,0) > 0, 62(0,0) > 0. Также пусть существует предел вида (14), £2(у) € С(Гг), функции /¿(ж,у)( 1 < j < 2) удовлетворяют условиям:

+ Цх, „)/,(*, у) = (Ь2(х, у) - а,(х, у)у1'0) схрМО, 0)ц,(у) - <(х, у)]-

и(х,у) = 0[ехр[6х(0,0)|wa(:r)]], при х —> 0,

0[ехр[62(0,0)а;7(у)]], при у - 0, 7 >/3;

7-/3, Ь2(0,0)>ах(0,0);

• {хафг{х) + Jехр[1УД (х, s) - ai(0,0)^(í)]

)ds+

+ (/l(x, у) + rj(x, ?/)Т2[Я(х, у)])?/-'-'3.

Тогда любое решение системы (8) из класса С1у(0) представимо в виде:

х У

ф1у)=ехр[Ь1(О,О)ша(х) + а1(О,О)и0(у)}{Е(х..у) + ^ Л J Г(а:,з/;«,а)Е(4,в)<М =

о о

= Т3[Е{х,у)},

(21)

где

Е(х,у) = ехр[-й1(0.0)шр(у) - 1¥ь«(х,у)]Шу) + ^ехр^, у) - ЦО,ОК(0

+ »1(0,ОМ») - жа%у)](ф2((,) + [ехр«(М)

./ х у

^Ы = ехр[Ь2(0,0К(у)-И£(0,у)](с +1 ехР[^(0;«)-Ь2(0,0)Ш7(5)]^а5), (22)

е (ГО произвольная функция, с-произвольная постоянная.

Теорема 4.7. Пусть в системе уравнений (8) а > 1, /? > 1, 7 > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют всем условиям теоремы 4-6, кроме условий а1(0,0) > 0, 61(0,0) > 0, 62(0,0) > 0. Пусть 01(0,0) < 0, 61(0,0) < 0,62(0,0) < 0. Далее, пусть существуют пределы видов

- охр[-а1(0,0)Ы,Ш. (23)

и-о Ь2(х,у)-а1(х,у)уТ "

сЦх) = (24)

Ег{х) е с (ГО, СЦх) е С(Т\), функции Ег(х) , Е2(у),/1(х,у) удовлетворяют условиям: £а(0) = 0 , £2(0) = 0, /1(2,0) = 0, /1(0, у) = О соответственно с асимптотическими поведениями (18), (17), (19), (20). Тогда любое решение системы (8) из класса С^.у(Б) представимо в виде (21), где функция ф2(х) = Щ^-, ф2{у) выражается формулой (22), с-произвольная постоянная.

В четвертом параграфе четвертой главы рассматривается переопределенная система уравнений (8) при а > 1, /? > 1, 7 > 1, а1(х:У) £ Сх(0), с2(х,у) = 0, когда исходным уравнением является второе уравнение системы (8). В этом случае уравнения системы (8) будут уравнениями со сверхсингулярными линииями.

В случае, когда а > 1, /3 > 1, 7 > 1, с2(х,у) ф 0, доказана следующая теорема:

Теорема 4.9. Пусть в системе уравнений (8) а > 1, /3 > 1, 7 > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям 1, 3 теоремы 4.1, аг(0,0) = 62(0,0),7 = р, с2(х,у) ф 0 , а1(х,0) ф 62(х,0). Кроме того функции аг(х,у), Ь\{х,у), Ь2(х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям (11), (12), (13) и условиям ai(0,0) > 0, Ьх(0,0) > 0,62(0,0) > 0, функции fj{x,y)(l < j < 2) удовлетворяют условию:

+ bi(x,y)f2(x,y) = (Ъ2(х,у) - а^^-^ехрМО.ОЬЫ - <(*,*/)]• v

■ (хафх{х) + J ехр[1УД (х: а) - Ul(0,0)^(4)](/i(x, s) + с2(х, s). о

.T?>\fi(x,8)M*)])»-l'd')+{Нх^+Ф^Ли^уихту1-13-

Тогда любое решение системы (8) из класса G1{D) представимо в виде:

и(х,у) = схр[Ь2(0,0Н(г/) - Wl(x, v)]{cxp[bi(0,0К(х) - Wb°(x,0)](с + Jcxp[^(t,у)-

-bKO.OKW]Ш<Ь) + Jexp[w^t,s) -b2(0,0)^(s)}Mt,s)s-4s} =

(25)

где (z) -произвольная функция из класса C(ri), с-произвольная постоянная.

Теорема 4.10. Пусть в системе уравнений (8) а > 1, /3 > 1, 7 > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют всем условиям теоремы 4.9 кроме условий ai(0,0) = Ь2(0,0),7 = /3,ai(0,0) > 0,6i(0,0) > О, Ь2(0,0) > 0. Пусть ai(0,0) < 0,6^0,0) < 0,62(0,0) _< 0. Кроме того существуют пределы видов (23), (24), Е\{х) 6 C(ri), С2(х) S С(Гх), функции fi(x,y),f2(x,y),c2(x,y),Ei(x) удовлетворяют условиям Ei(0) = 0, fi(x,0) = 0 с асимптотическими поведениями (18), (20) и условиям /2(а:,0) = 0, с2{х, 0) = 0 с асимптотическими поведениями:

f2(x,y) = о[ехр[—|Ь2(0,0)w7(y)]y¿1], при, у0, ¿i > 7 - 1,

с2(х,у) = o[exp[-|ai(0,0)^(y)]j/íd], при, у 0, ¿4 > /3 - 1.

Тогда любое решение системы (8) из класса С1 (Б) представимо в виде:

и(х,у) = ехрЩО.ОКО/) - у)]{»Ф1Ь|(0,0)шо(«) - 1У£(х, 0)](с + |ехр[И^(е,2/)-

1ехр[\У?2(1,з)-Ь2(0,0)ш7(з)]М1,з)а-Чз} = о

(26)

где с-произвольная постоянная.

Теорема 4.11. Пусть в системе уравнений (8) а > 1, /? > 1, 7 > 1, коэффициенты и правые части удовлетворяют всем условиям теоремы 4.9 кроме условий ал (0,0) = 62(0,0), 7 = /3, 61(0,0) > 0, 62(0,0) > 0. Пусть 61(0,0) < 0, 62(0,0) < 0 , кроме того существует предел вида:

= с2(х,у)х-"ехр[-ЫС1.0КЫ]

' а1{х,у)-Ь2(х,у)у~>-1> "

СЦх) е С(Г7), также /, [х,у) е С,(П), ¡2(х,у) е С'г(П), удовлетворяют условиям: /¡(х,0) = 0,/2(х,0) = 0 с асимптотическими поведениями:

1Лх,у) = о[ехр[-|Ь2(0,0)^(г/)]уЕ], при, у -» 0, е > О,

Мх,у) = о^хрНЫМКЫ]?/1], при., у - 0, 5, > 7 - 1,

Тогда любое решение системы (8) из класса С1 (Ю) представимо в виде:

и(х, у) = ехр[Ь2(0,0)ш7(у) - 2,)]{сехр[Ы0, 0)а,а(х) - >У£(х, 0)] + | ехр[И£(г, в)-

- Ь2(0,0Н(в)]/„((, = Т?'%(х, у), 0],

(27)

где с-произвольная постоянная.

Следствие 4.6. При выполнении условий теоремы 4.9, представление вида (23), обладает свойством:

11ш {ехр[-Ь2(0,0)ш7(г/)]и(х,у)} = ф2(0),

у—»0, х—

1ш1{(ехр[-Ь1(0,и)^(х)])1ип(ехр[-Ь2(0:0)Ш7(г/)]и(х,у))} = с.

х-»0 у—.0

Замечание 4.10. В четвертой главе также доказаны теоремы, подобные теоремам 4.1 - 4.11, в случаях: а < 1, ¡3 > 1, 7 < 1; а > 1, /3 > 1, 7 < 1.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям академику АН РТ, доктору физ.-мат. наук, профессору Н.Раджабову и доктору физ.-мат. наук Л.Н.Раджабовой за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Публикации по теме диссертации

1. Об одной линейной переопределенной системе трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями // Вестник Национального Университета, серия математика, №1,(49) Душанбе, 2009г, с. 37-47. (в соавторстве с Н.Раджабовым).

2. Линейная переопределенная система с постоянными коэффициентами, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка// Вестник Национального Университета, серия математика, №3(59) Душанбе, 2010г, с. 27-32. (в соавторстве с Н.Раджабовым).

3. К теории одного класса вырождающейся переопределенной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка. Материалы научно - теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов, посвященной "18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан "и "Году памяти Имама Аъзама", Душанбе, ТНУ, 2010г, с. 12-15.

4. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями // Вестник Национального университета, серия математика, №3(59) Душанбе, 2010г, с. 90-102.

5. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка со сверхсингулярными многообразиями в случае разных параметров. Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "Нальчик-Хабез. 2010, с. 200-202.

6. К теории линейной переопределенной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями // Известия АН РТ, №1(138), 2010г, с. 7-18. (в соавторстве с Н.Раджабовым).

7. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка со сверхсингулярными многообразиями в случае разных параметров// Известия АН РТ, №3(140), 2010г, с. 7-18. (в соавторстве с Н.Раджабовым).

8. Overdetermined system with two super-singular lines, contain second order hyperbolic equation// Mathematical Notes, Miskolc, Hungary, vl2, №1, 2011. (N.Rajabov , A.Adib ).

Сдано в печать 11.05.2011, Подписано в печать 12.05.2011. Гарнитура Times New Roman Бумага офсетная. Печать офсстная. Формат 60л84. Тираж 100 экз. Цена договорная. Заказ № 11

Отпечатано в ООО «Офсет Империя» г. Душанбе, ул. М.Турсунзода, 31. Тел: 919948080

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

ГЛАВА 1. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями.

§1.1. Случай а <\,Р <1, с2(х,у) = 0.

§1.2.Случай а<\,Р<\, с2(х,у)*0.

§1.3. Случай а = 1,Р = 1, с2(х,у) = 0.

§1.4. Случай сс = \,р=\, с2(х,у)*0.

§1.5. Случай а>\,Р>\, с2(х,у) = 0.

§1.6. Случай а>\,Р>\, с2(х,у)фО.

§1.7. Случай а <1,/? = 1, с2(х,у) = 0.

§1.8. Случай а < \,/3 = \, с2{х,у) Ф 0.48^

§1.9. Случай а = \,Р<\, с2{х,у) = 0.

§1.10. Случай а = 1,/?<1, с2(х,у) ф0.

§1.11. Случай а<\,Р>\, с2(х,у) = 0.

§1.12. Случай а <\,р>\, с2(х,у)ф0.

§1.13. Случай а > < 1, с2(х,у) = 0.

§1.14. Случай а>\,Р < \, с2(х,у)ф0.

§1.15. Случай а >\, Р = \, с2(х,у) = 0.

§1.16. Случай а>\,Р = \, с2(х,у)^0.

§1.17. Случай а = \,р > 1, с2(х,у) = 0.

§1.18. Случай а = \,Р > 1, с2(х,у) Ф 0.

ГЛАВА 2. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями.69 •

§ 2.1. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в виде обобщенного степенного ряда ПО переменному X.

§ 2.2. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в виде обобщенного степенного ряда по переменному у.

ГЛАВА 3. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями в случае разных параметров.

§ 3.1. Случай а <1,/?<1, у< 1, Л<1, с2(х,у) = 0. г

§ 3.2. Случай а=1,0=1,у = 1,Л = 1, с2(х,у) = 0.

§ 3.3. Случай а>1,Р>1, />1, А>1, с2(х,у) = 0.

§ 3.4. Случай а >1,р = 1, у >1, Л = 1, с2(х,у) = 0.

§ 3.5. Случай а > 1,/? < 1, у > 1, Л < 1, с2(х,у) = 0.

ГЛАВА 4. Исследование переопределенной линейной системы двух уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя сингулярными и сверхсингулярными линиями.

§4.1. Случай а^у) е СХ(П), а <\,р < \,у < 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы.юз

§4.1.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.1.2. Случай с2(х,у) ^ 0.Ю

§4.2. Случай а{(х,у) е СД-О), а < 1,/? < 1,/ < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.2.1. Случай с2 (я, у) = 0.!

§4.2.2. Случай с2(х,у) Ф 0.Пб

§4.3. Случай ах(х,у) е СХ{И), а > \,р>\,у > 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы.

§4.3.1. Случай с2(х,у) = 0.ц

§4.3.2. Случай с2(х,у) ф 0.

§4.4. Случай ^(х,^) е СХ(В), а > \,р>\,у> 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.4.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.4.2. Случай с2(х,у) Ф 0.

§4.5. Случай щ (х, у) е СХ(И), а <\,/3 >\,у < \ и исходным уравнением является первое уравнение системы.134 •

§4.5.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.5.2. Случай с2{х,у) Ф 0.

§4.6. Случай а{(х,у) е СХ(В), а <\,р >\,у < \ и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.6.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.6.2. Случай с2(х,у) Ф 0.

§4.7. Случай а{(х,у) е СХ(П), а > \,/3> 1,у < 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы.

§4.7.1. Случай с2 (х, у) = 0.

§4.7.2. Случай с2(х,у) ф 0.

§4.8. Случай ах{рс,у) е СХ(В), а > 1,/? > \,у < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.8.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.8.2. Случай с2(х,у) ф 0.

Введение диссертация по математике, на тему "Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями"

Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера? из физики, гидродинамики, теории-упругости и других разделов математической^ физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И.Н.Векуа, [3], А.В.Бицадзе [1]-[2], М.М.Смирнова [62]-[63], МХ.Салохиддинова [61], Л.Г.Михайлова [10]-[15], 3:Д.Усманова [65], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Ф.Д.Гахова [6], К:Е.ОПЬег1 [7], К^.СаггоИ и К.81юлуаКег ; [64], H.Begehr [4]; А.Д:Джураева [8]-[9] и их учеников.

Другим важным направлением в теории уравнений с частными' производными.является, изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными с регулярными и сингулярными коэффициентами. Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящены работы Л:Г.Михайлова [10]-[15], А.Д.Джураева [8]-[9], H.Begehr [4], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Э.Р.Рузметова-[59]-[60] и их учеников.

Изучение переопределенньгх систем начали^ с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Монография Л.Г.Михайлова [10] посвящена изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами. В работе Л.Г.Михайлова [14] им было найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой дх ду где «-целое положительное число.

В монгорафии Н.Раджабова [36] исследуются линейные переопределенные системы двух уравнений с сингулярной точкой и сингулярными линиями вида: ди а(х>У) А(х,у) дх х" ха ди Ь(х,у) /2(х,у) ду ур у» ' а также система ди [ ха(х,у) fx{x,y) дх га га ' ди yb(x,y) f2(x,y) ду гр гр ' где а = const. > О, Р = const. > 0 , г2 =х2 +у2, а(х,у), b(x,y), fj{x,y), (j = 1,2)заданные функции в прямоугольнике D = {(х,^):0<д;<<5'1,0<>'<52}. В зависимости от параметров а,р {а <\,/3<\\ а = \,/3 = 1; а>\,р>\ и другие возможные случаи), а также знаков а(0,0), ¿(0,0), получены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Кроме того, изучаются сингулярные и сверхсингулярные линейные переопределенные системы двух уравнений,; содержащие гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными или сверхсингулярными линиями, а также с сингулярной или сверхсингулярной точкой. В монографии также исследуются некоторые многомерные линейные системы первого порядка с сингулярной или сверхсингулярной точкой и сверхсингулярными областями.

В монографии Э.Рузметова [59] получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярной точкой, с сингулярными линиями и плоскостями.

Кроме того, некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными 2 коэффициентами изучены в работах Л.Г.Михайлова, Н.Р.Раджабова, Э. Рузметова, а также их учеников, Р.Пирова, Б.Шарипова, Ф.Шамсудинова, Б. Шоимкулова, Н.Мирзоева и других. Эти работы в основном посвящены переопределенным системам первого порядка с сингулярными коэффициентами и системам, приводящим к системам первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Основной целью настоящей диссертации является изучение переопределенных линейных систем трех уравнений со слабосингулярными, сингулярными и~ сверхсингулярными линиями, содержащих гиперболическое уравнение второго порядка со спабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, которые исследуются впервые.

Особо важным является изучение переопределенных линейных систем с перемеными- коэффициентами, этот случай исследован полностью. Принтом важную роль играет связь между коэффициентами уравнений системы. Сначала изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным способом. В этом случае решение найдено в явном виде. После изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой и тогда решение находится через резольвенту двумерного интегрального уравнения-Вольтерра со слабыми особыми линиями.

Подробно исследуется случай, когда коэффициенты системы уравнений являются постоянными, с сингулярными линиями; найдено решение-системы, представимое в виде обобщенного степенного ряда.

В'1 работе также исследуется система трех линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными» и сверхсингулярными линиями, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка, зависящая от разных параметров -степенного характера.

Цели и задачи исследования:

- Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

- Нахождение и изучение решения вырождающейся переопределенной1 системы трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, предсгавимое в виде обобщенного степенного ряда по одному из переменных.

- Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных, уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными , сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, зависящее от разных параметров степенного характера.

- Нахождение и изучение решения переопределенной системы двух линейных уравнений с переменными, коэффициентами со слабосингулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре Математического анализа и теории функций, 2008-2011г. ТНУ. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения» смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 25-30 • июня 2010г., на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов; посвященных «18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан» и «Году памяти Имама- Аъзама», ТНУ, апрель 2009г, апрель 2010г., Душанбе.