Интегральные представления решений и граничные задачи для одного класса линейных трехмерных уравнений третьего порядка с одной сверхсингулярной поверхностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение—.—.—.—

Глава 1. Явные решения одного класса линейных трехмерных уравнений третьего порядка с одной сверхсингулярной поверхностью

1.1. Установление связи между линейным дифференциальным оператором третьего порядка и тремя линейными дифференциальными операторами первого порядка.-.—.

1.2. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,2) еС(О),

Ь(х,у,г) еСх(Ъ), с(х,у,г) еСху(Ъ)

1.2.1. Случай, когда <х>1, (3>1.

1.2.2. Случай, когда а>1, (3=1.-.-.

1.2.3. Случай, когда а>1, (3<1.—

1.2.4. Случай, когда а=1, (3>1.—.—.—.—

1.2.5. Случай, когда а=1, (3=1-------------.

1.2.6. Случай, когда а=1, (3<1

1.2.7. Случай, когда а<1, (3>1—-.—.

1.2.8. Случай, когда а<1, (3=1.—.-.—.—

1.2.9. Случай, когда а<1, (3<1.—.—

1.3. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) е ('(О),

Ь(х,у,г) е Сху(Ъ), с(х,у,г) еСх(Ъ)-—.—.-.

1.3.1. Случай, когда а>1, (3>1----------------------------------------------—

1.3.2. Случай, когда а>1, (3=1.—

1.3.3. Случай, когда а>1, (3<1.—.—.

1.3.4. Случай, когда а=1, (3>1

1.3.5. Случай, когда а=1, (3=1

1.3.6. Случай, когда а=1, (3<1---------------------.—

1.3.7. Случай, когда а<1, (3>1

1.3.8. Случай, когда а<1, (3=1----------------------------------------------—

1.3.9. Случай, когда а<1, (3<1.-.—.—

1.4. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) е Су(О),

Ь(х,у,г) е С (И), с(х,у,г) е С^И)-.—

1.4.1. Случай, когда а>1, (3>1.

1.4.2. Случай, когда а>1, (3=1—.—

1.4.3. Случай, когда а>1, (3<1.

1.4.4. Случай, когда а=1, |3>1.—.

1.4.5. Случай, когда а=1, (3=1.—.

1.4.6. Случай, когда а=1, |3<1.

1.4.7. Случай, когда а<1, |3>1—.

1.4.8. Случай, когда а<1, (3=1.

1.4.9. Случай, когда а<1, (3<1-—.—.

1.5. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) с Су-{I)), Ь(х,у,г) е С(Б), с(х,у,г) е Су(0)—.—.-.—

1.5.1. Случай, когда а>1, (3>1—.

1.5.2. Случай, когда а>1, (3=1.

1.5.3. Случай, когда а>1, (3<1

1.5.4. Случай, когда а=1, (3>1----------------------------------------—.

1.5.5. Случай, когда а=1, (3=1.—.—.

1.5.6. Случай, когда а=1, (3<1

1.5.7. Случай, когда а<1, (3>1-.-.—.

1.5.8. Случай, когда а<1, (3=1

1.5.9. Случай, когда а<1, (3<1.-.

1.6. Нахождение явного решения в случае, когда а(х,у,г) С/ Да Ъ(х,у,г)еСХг(Ъ), с(х,у,2) еС(Ъ)

1.6.1. Случай, когда а>1, (3>1—

1.6.2. Случай, когда а>1, (3=1

1.6.3. Случай, когда ос>1, (3<1----------------------------------------—.

1.6.4. Случай, когда а=1, (3>1.

1.6.5. Случай, когда а=1, (3=1—.—.—.

1.6.6. Случай, когда а=1, (3<1

1.6.7. Случай, когда а<1, ß>l

1.6.8. Случай, когда <х<1, ß=l.—.

1.6.9. Случай, когда а<1, ß<l----------------------------------------------—

1.7. Нахождение явного решения в случае когда a(x,y,z) с Cyz(D), b(x,y,z) eCz(D), c(x,y,z) eC(D) -----.--------------------------------—

1.7.1. Случай, когда а>1, ß>l

1.7.2. Случай, когда а>1, ß=l.

1.7.3. Случай, когда а>1, ß<l.-.—.

1.7.4. Случай, когда а=1, ß>l------------------------------—.—.

1.7.5. Случай, когда а=1, ß=l

1.7.6. Случай, когда а=1, ß<l-------------.-.—

1.7.7. Случай, когда а<1, ß>l

1.7.8. Случай, когда а<1, ß=l

1.7.9. Случай, когда а<1, ß<l.-.—

Глава 2. Общее представление многообразия решений для одного класса линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с одной сверхсингулярной областью.—

2.1. Нахождение общего решения в случае, когда a(x,y,z) еС(D), b(x,y,z)eCx(D), c(x,y,z) е Сху(Ъ)------------------------------------------—

Глава 3. Граничные задачи —.—.-.—

3.1. Постановка задачи К] и его решение.-.

3.2. Постановка задачи К2 и его решение

3.3. Постановка задачи К3 и его решение.—.—

3.4. Постановка задачи IQ и его решение

3.5. Постановка задачи К5 и его решение.-.

3.6. Постановка задачи Кб и его решение.

3.7. Постановка задачи К7 и его решение-------------------------------—

3.8. Постановка задачи К8 и его решение.

3.9. Постановка задачи К9 и его решение.

Дифференциальные уравнения в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. С решением таких уравнений связаны многие задачи прикладного характера. В частности, пространственная осо-симметрическая задача теорий поля приводит к рассмотрению модельного гиперболического уравнения второго порядка с сингулярной линией.

Исследованию дифференциального уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящено большое количество работ [1,2]. Имеются работы по модельному эллиптическому и гиперболическому уравнению второго порядка с сингулярной линией или сингулярными поверхностями, т.е. уравнениям следующих видов: (TU d2U ¿и 8U

Л—г + —г +-

1 дх;- ду- у ду 0. d2U d2U jLißü ду2 V ду

5 Ахг 0,

1) (2)

Для этих уравнений в общем случае были получены интегральные представления многообразия решений через гармонические функции (для уравнений 1) и решений волнового уравнения (для уравнения 2).

В частности, если п=1, для уравнения (1) были получены интегральные представления через аналитические функции, а для уравнения (2) интегральные представления через произвольные функции одного переменного.

Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами или вырождениям того или иного порядка изучены в работах: А.В.Бицадзе [3,4], М.М. Смирнова [5], М.В. Кельдыша [6], Жильберта Р.П. (R.P. Gilbert) [7], Карол Р.В., Шо-валте P.E. (R.W. Carroll, R.E. Showalter) [8], В.Ф. Волкодавова [9], Нахушева

A.M. [10], Янушаускаса А.И. [11], Михайлова Л.Г. [12], Джураева А.Д. [13], Ус-манова З.Д. [14], Раджабова Н. [15] и их учеников [16-22].

Исследованию гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами посвящены ряд работ, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе [3], М.М. Смирнова [5], Волкодавова В.Ф. [9], Раджабова Н. [23].

Изучение дифференциальных уравнений со сверхсингулярными коэффициентами в случае, когда порядок особенности является больше, чем размерность пространства (как обыкновенных, так и уравнений в частных производных) начались в последние 10-15 лет. Монография Н. Раджабова [24], опубликованная в 1998 г. посвящена исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений со сверхсингулярными коэффициентами. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами, посвящена другая монография Раджабова Н. [25], переведенная как на фарси, так и на английский языки соответственно в 1996 и 1997 г.г.

Настоящая работа является продолжением этих работ и посвящена получению интегральных представлений многообразия решений через произвольные функции двух переменных для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Через D обозначим область вида D={y<x<y; 0<y<y; 0<z<y}, Г0 - область вида Г0={у=х; 0<z<y}, а также соответственно обозначим Г']= (z= 0; у<х<у; 0<х<у}, Г2={у=0; 0<z<y; 0<х<у}; Гз={х=у; 0<z<y; 0<у<у}. В области D рассмотрим следующее уравнение: дЧ) dzU a(x,v,z) Ö>2U h(x,y,z) á2U

LU = —-+ c{x,y,z)-+ " ' ■-+ — ^ -+ dc^dz ¿kdy (x - y)a dydz+ {x-yy dxdz ax{x,y,z)dU | bx (x,y,z) сЮ | c,(x\y,z) dU | dt(x,y,z) f(x,v,z) (x-y)p ax (x-yf 41 (х-у)а+Д & (x-y)":p (x-y)u+ß > (3) где a=const, ß=const, c(x,y,z), a(x,y,z), b(x,y,z), aj(x,y,z), bi(x.y,z), Ci(x,y,z), f(x.y,z) заданные функции.

В случае, когда а<1, ß<l уравнение (3) назовем линейным уравнением третьего порядка со слабой сингулярной областью Г0. Когда а=1, ß<l; а<1, ß= l; a=ß=l это уравнение (3) назовем линейным уравнением третьего порядка с сингулярной областью Г0. При а>1, (3<1; а>1, (3=1; а>1, |3>1; а=1, р>1; а<1, (3>1 линейным уравнением третьего порядка со сверхсингулярной областью Г0.

Для уравнения (3) в зависимости от а, |3 и коэффициентов уравнения найдено многообразие решений через произвольные функции двух переменных. Кроме того, найдены всевозможные случаи связи между коэффициентами данного уравнения, когда линейный дифференциальный оператор третьего порядка Ь представляется в виде произведения трех линейных дифференциальных операторов первого порядка [26,27].

В этих случаях удается найти явное решение уравнения (3) и исследовать поведение решений в окрестности сингулярной обрасти Го.

Для дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами представляет большой интерес выяснение корректности постановки задач, когда соответствующие условия заданы на сингулярных многообразиях [28-33].

Полученные нами интегральные представления применяется для выяснения корректности постановки задач типа Дарбу [34,42], когда соответствующие условия заданы на особой области Го. Если коэффициенты уравнения (3) между собой связаны определенным образом (ниже эта связь приводится), решение поставленных задач находится в явном виде (9 случаев).

Данная диссертация состоит из трех глав.

В главе 1 найдены все возможные случаи, когда линейный дифференциальный оператор третьего порядка Ь представляется в виде произведения трех линейных дифференциальных операторов первого порядка с сингулярной областью соответственно по переменным х,у,г. На этой основе, используя интегральное представление линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной линией [43-49], найдены явные решения уравнений (3) через три произвольные функции двух переменных, определенных в областях Гь Г2, Г3.

В параграфе 1.2. найдены явные решения уравнения (3) в случаях, когда а(х,у,г)еС(£)), Ь(х,у,г)еСх(.0), с(х,у,2)еСху(£>) и коэффициенты между собой связаны при помощи следующих равенств: а, (х, у, z) = b(x. у, z)c(х, у, z) + (х- у)р су (л; у, z)\ bx (х, у, z) = а(х, у, z)c(x, у, z) + (х- у)а сх(х, у, z); c, (х, у, z) = я(х, j, z)6(x, y, z) - p(x- y)aA b(x, y, z)c(x, y, z) + (x~y)abx(x,y,z); > ^ d.x (x, yt z) = a{x, y, z)b(x, y, z)c(x, y, z) + (x- y)'s a(x, y, z)cy (x, y, z) + (x-y)a (b(x, y, z)cx(x, y, z) + bx(x, y, z)c(x, y, z)) -P(x- }>y1 b(x, y, z)c(x, y, z) - (х- у)а+р с ( x. y,z);

Явные решения найдены в следующих случаях: а>1, Р>1; а>1, Р=1; а>1, Р<1; а=1, р>1; а=1, Р=1; а=1, Р<1; а<1, р>1; сс<1, р=1; а<1, р<1.

Ниже приводим некоторые результаты этого параграфа, но прежде всего, для упрощения записи введем некоторые обозначения:

WAx,hz)=]fy^dt, (а<1) р = ]К*Л*)~Ь(х,х,,) z) = (р<1) г (х-у)1'"

Wc(x,y,z) = J c(x,y,T)dr, соа (х - у) = ,

Zo

ТЕОРЕМА 1. Пусть в уравнении (3) а>1, Р>1, коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям: а) a(x,y,z)eC(£>), b(x,y,z) eCx(D\ c(x,y,z)eCf(x,y,z)eC(3); б) коэффициенты уравнения (3) между собой связаны при помощи равенств (4); в) функция a(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию:

I a(x,y,z)- a(y,y,z) | <Hi I х-у | Yi ; yi>a-l, (5) кроме того, a(y,y,z)-"0; г) функция b(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию:

I b(x,y,z)- b(x,x,z) | <Н21 х-у ГЧ у2>Р-1, (6) кроме того, b(x,x,z)<0. д) функция f(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию: f(x,y,z)exp{a(y,y,z)fl)a(x-y)}(x.y)-<a+pi=0((x-yr3), у3<1.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса Сз(О) представимо в виде:

U(x,y,z) = ехр{- Wc(x,y,z)^S(x,y) + Z J ex.p{iVc (х,у, т) - IV/ (х,у, т) + Ъ(х, х, т)ар(х - >>)}{м(х, г) + ч у J exp{wf (х, S, г) - W" (х, s, т) - Ъ(х, х, т)сор (х - \) - a(s, s, т)соа (х - г) +

У о х \ +. ТГ^А ехРк"(е-5>г) + а(л л ^ (> - - (7) с--*) ) где 5(х,у), со(х,г), (р(у,г) произвольные непрерывные функции точек Г,. Г2, Г3 соответственно.

Через Сз(О) обозначен класс функций 11(х,у,г), для которого и(х,у,г)еС2(Э), кроме того: дъи dxdydz

C(D).

В случае а>1, [3=1 имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2. Пусть в уравнении (3) а>1, (3=1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (4), а коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,г)еС(£>), Ь(х,у,2)еСх(£>), с(х,у,г)еСху(£>), Г(х,у,г)еС(£));

2) функция а(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (5), кроме того а(у,у,г)<0;

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию: у, г) - Ь(х, х, 2)] < Н2 (х-уУ , 0 < < 1, (8)

4) функция А(х,у,2) в окрестности Го обращается в нуль и его асимптотическое поведение определяется равенством:

•(Л. у, гу^-ы*-» (Х- у)-(°-» = ()((л г) ), <>. • 1.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса Сз(Б) представимо в виде:

1/(х,у,г) = е-"<иу-2\$(х,у) + {(о(х,т)+ (9) о И^'Г где 8(х,у), со(х,г), ф(у,х) произвольные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

В случае а>1, Р<1 имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 3. Пусть в уравнении (3) о>1, Р<1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (4), а коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еС(£), Ь(х,у,2)еСх(£), с(х,у,2)еС^Ъ), £(х,у,2)еС(Я);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (5), кроме того а(у,у,г)<0;

3) функция £(х,у,2) в окрестности Г0 обращается в нуль и его асимптотическое поведение определяется следующим равенством: л; у, 2) = 0(е уу>)} уъ>а + р-\.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса Сз(Б) представимо в виде: и{х,у,2) = ец'Лх-у-г\3(<х,у) + \еЩх'у-г) ^^{а{х,т) + (10) о

О о ~ где 5(х,у), со(х,г), ф(у,г) произвольные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

В случае а~\, Р>1 имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 4. Пусть в уравнении (3) а=1, Р>1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (4). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еС(^), Ь(х,у,2)еСх(Л), с(х,у,2)еС%х,у,г)еС(П);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию: а(х, у, г) - а(у, у, г)\ < Я, (х- у/', у1 > а-1, ( И) кроме того, р<а(у,у,г);

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (6), кроме того Ь(х,х,г)<0;

Тогда любое решение уравнения (3) из класса Сз(Б) представимо в виде: Щх, у, г) = у) + "^хуту {«(.у. г) + (12) о

О О ~ ■5') где 8(х,у), со(х,г), ф(у,г) произвольные непрерьтные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

В параграфе 1.3. найдены явные решения уравнения (3) через три произвольные функции двух переменных определенных в областях Г], Г2, Г3 когда а(х,у,г)еС(£)), Ь(х,у,2)еСху(1)), с(х,у^)еСк(£>) и коэффициенты связаны при помощи равенств: а1 (х, у, г) = ¿(.х, у, г)с(х, у, г) + Ь2 (л; у, г); Ъх (х, у, г) = а(х, у, -)с(х, у, г) + (л- - у)а сх (л; у, -): с, (х, у, г) = а(х, у, г)Ь(х, у, 2) - /3(х-у)а~[ Ь(х, у, г) + + (х-у)иЬх(х,у, г);

1(х,у,г) = а(х,у,1)Ь(х,у,1)с(х,у,г) + а(х,у.г)Ьг(х,у,2)- ( (13)

- /Нх-у)аф: (х,)'. I) + с(х, у, х)Ь(х. у, г)) + (х-У)а (М*. У, г) + сЛъУ, У, г) + + Ьх(х,у,г)с(х,у,г))

В этом параграфе, также, полнены 9 теорем, описывающие многообразие решений.

Представление многообразия решений уравнения (3), в этом случае, также существенно зависит от степени особенностей а и (3, как в параграфе 1.2 (всего 9 возможных случаев). Приводим некоторые результаты этого параграфа. ТЕОРЕМА 5. Пусть в уравнении (3) а=1, (3=1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (13). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еС(^), ЫХу.^еС^Б), с(х,у,2)еСх(Я), фс,у,2) еС(Я);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (11), кроме того, а(у,у,2)+Ь(х,х,г)<1;

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (8), кроме того, Ь(х,х,г)<1;

4) Г(х,у,г) в окрестности области Го удовлетворяет условию:

Дх,у,2)(х-уУ{у'у-2)-2 =0((х-уУг\ 0<г<1.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3(Э) представимо в виде: о о о ~~ где 8(х,у), со(х,7), ср(у,г) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

ТЕОРЕМА 6. Пусть в уравнении (3) а=1, Р>1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (13). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еС(^), Ь(х,у,2)бСх>.(^), с(х,у,2)еСх(£), еС(3);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Го удовлетворяет условию (11), кроме того,

Р<а(у>у>2);

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (6), кроме того, Ь(х,х,2)<0;

4) Г(х,у,г) в окрестности области Г0 удовлетворяет условию: д. 1.г)(.\ .Г' " ^ : р=Оах-уУгЧ 0<Г1<1. Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3(Б) представимо в виде: и(х,у,2) = е-^-у-Фь^ф^, + (15) о о где 5(х,у), со(х.у.), ф(у^) произвольные непрерывные функции точек Г,, Г2. Г3 соответственно.

ТЕОРЕМА 7. Пусть в уравнении (3) а=1, Р<1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (13). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еС(^), Ъ(х,у,2) еС^(Ъ), с(х,у,2)еСх(Ъ), Цх,у,г)еС(Ъ);

2) функция а(х,у,2) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (11), кроме того, р<а(у,у,2)<1;

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3(Б) представимо в виде. и (л. у, г) = е-Щх-у'г) (со{х, z) + {S(x,s)

16) л л ( ^ ^ ) о ('"-О где 5(х,у), со(х,г), ср(у,г) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, соответственно.

Далее, в параграфе 1.4. найдены явные решения уравнения (3) через три произвольные функции двух переменных, определенных в областях Гь Г;. Гз, когда а(х,у,г)еСу(£>), Ь(х,у./)еС(В). с(х,у,г)еСху(Л) и коэффициенты связаны между собой при помощи равенств: а, (х, у, г) = Ь(х, у, г)с(х, у, г) + (х-у)" су (х, у, г); Ьх (х, у, г) = а(х, у, г)с(х, у, г) + (х-у)а сх(х, у, г); с\ (х, у, г) = а(х, у, г)Ь(х, у, г) + (х-у)р ау (х, у, г) + а(х-уУ 1 а(х, у, г); ёх(х,у,г) = а(х,у, ¿)Ь(х,у,£)с(х,у^) + (х-у)асх(х,у, г)Ь(х,у,г) + + (•*- уУ (ау(х, у, 2)с(х, у, I) + а{х, у, г)с\. (х, у, г)) + а(х- у/'1 а(х, у, z)c(x, у, z) + (х- у)а+р с(х, у, z) а+р

17)

Получены 9 интегральных представлений в зависимости от значений степени аир. Приведем некоторые полученные результаты. В частности, для случаев когда а=1, (3<1;а<1, Р<1 имеем следующие утверждения. ТЕОРЕМА 8. Пусть в уравнении (3) а=1, (3<1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (17). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующие условиям:

1) a(x,y,z)e Cy(D), b(x,y,z)eC(D), c(x,y,z)eCXT(D), f(x,y,z)eC(^);

2) функция a(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (11), кроме того, a(y,y,z)>-l;

3) f(x,y,z) в окрестности области Го удовлетворяет условию: x,y,z) = o((x-yY2), у2> р.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса Сз(Б) представимо в виде:

U(x, у, z) = (¿(х, у) + w (х-у)-*^ {<р(у, т)+ (18) !е о a(t,y,T)-Wb(t,y,T) t -sy где 5(х,у), co(x,z), cp(y.z) произвольные непрерывные функции точек Г,. Г;. Г3 соответственно.

ТЕОРЕМА 9. Пусть в уравнении (3) а<1, Р<1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (17). Кроме того, пусть коэффициенты уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) a(x,y,z)e Cy(D\ b(x,y,z)eC(D), c(x,y,z)eCxy(D\f(x,y,z)eC( D); Тогда, любое решение уравнения (3) из класса C3(D) представимо в виде.

U(x, у, z) = е (х(S(x, у) + {<р(у; r) + т) +

19) о С-'Г" ' '" где 5(х,у), со(х,/), ф(у,г) произвольные непрерывные функции точек Г], Г2, Г3 соответственно.

В параграфе 1.5 получены интегральные представления многообразия решений уравнения (3), когда а(х,у,г)еСУ2(£>), Ь(х,у,г)еС(£), с(х,у,г)еС\(£>) и коэффициенты между собой связаны при помощи следующих равенств: а, (х у, г) = /)(х. у, г)с(х, у, г) + (.х- у)р су (х, у, г); б, (х, у, 2) = а(х, у, г)с(х у, г) + аг (л; у, г)с, (л- у, г) = а(х, у, -)Ь(х, у, г) + (х- у)р ау (л; у, г) + а(х-у)р 1 а(х, у, с); с1х (х, у, г) = а(х, у, ~)Ь(х. у, г)с(х, у, г) + а2(х, у, гЩх, у, г) + (х-у)р (ау (х, у, г)с(х, у, г) + а(х. у, г)су (л. у, г) + ауг(х, у, г)) + + а(х- у)р 1 (а(х,у, г)с(х, у, г) + аг(х, у, г)).

В этом случае, уравнение (3) представляется в следующем виде:

20) д Ь(х, у, z)

У '(у г)" . д с.(х, у, z) д а(х, у, z)

U(x,y,z) f(^y^)

21) дх {х-уУ ) ' (х-у)а+р '

При различных значениях а и Р, по вышеуказанной схеме, для уравнения (21), получены интегральные представления в следующих случаях: а>1, р>1; а>1, р=1; а>1, р<1; а=1, Р>1; а=1, р=1; а=1, Р<1; а<1, р>1; а<1, р=1; а<1, р<1.

Ниже приводим соответствующие результаты при а=Р=1; а> 1, Р> 1. ТЕОРЕМА 10. Пусть в уравнении (3) а=1, Р=1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (20). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) a(x,y,z)eCyz(Z>), b(x,y,z)eCx(D), c(x,y,z)eCv(D), f(x,y,z)eC(£);

2) функция a(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (11), кроме того, a(y,y,z)>-l;

3) функция b(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (8) и a(y,y,z)+b(x,x,z)>-l;

4) f(x,y,z) в окрестности области Го удовлетворяет условию: f(x, у, z) = о((х- у)п), /г > ь(х>z) +1 •

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса C3(D) представимо в виде:

U(x, у, z) = (х- ууа(^>(<р(у, z) + (t yybм-) у) + о о о ~~ S) где 8(х,у), co(x,z), cp(y,z) произвольные непрерьшные функции точек Гь Т2, Г3 соответственно.

ТЕОРЕМА 11. Пусть в уравнении (3) <х>1, ß>l и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (20). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) a(x,y,z)eCyz(D), b(x,y,z)eCx(£), c(x,y,z)eCy(D), f(x,y,z)eC(D);

2) функция a(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (5), кроме того a(y,y,z)>0;

3) функция b(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (6), a b(x,x,z)>0;

4) f(x,y,z) в окрестности области Г0 удовлетворяет условию: fix,у,^е4^^(х-у)-а~р = 0((Л Г) •), 0 < уА < 1.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса C3(D) представимо в виде: о

О О (1 где 5(х,у), co(x,z), (p(y,z) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

Параграф 1.6 посвящен нахождению явных решений уравнений (3), когда а(х,у,г)еСх(/}), Ь(х,у,г) еС^), Ф,У>2) еС(Ъ) и коэффициенты уравнения (3) связаны между собой при помощи следующих равенств: я, (х, у, г) = Ь(х, у, г)с(х, у, г) + /у (х, у, г)\ Ьх (х, у, г) = а(х, у, г)с(х, у, г) + а^х, у, г); с, (х, у, = а(х, у, г)Ь(х, у, г) + (х- у)" Ьх(х, у, г) - Р(х- у)а ' Ь(х, у, -); йх (х. у, г) = С1(х. у, 2)Ь(х, у, :)с(х. у, г) + аг (л. у, г)Ь(х, у, г) + (24) (х~ УТ фг(х, у, г) + Ъх(л-, у, г)с(х, у, г)) -- /3{х~ у)"-' ф(х, у, г)с(х, у, 2) + Ьг(X, у, 2)).

В этом случае, в зависимости от того а<1, а=1, а>1 и (3<1, (3=1, (3>1 получены 9 явных представлений многообразия решений через три произвольные функции двух переменных, определенных в областях Гь Г2, Г3.

При а>1, (3=1 имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 12. Пусть в уравнении (3) а>1, 3=1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (24). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еСх(£), Ъ(х,у,г)еСшф), с(х,у,2) еС(Ъ), Дх,у,2) еС(Ъ);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (5), кроме того а(у,у,г)>0;

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (8), а Ь(х,х,г)<1+а; Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3(Б) представимо в виде:

Щх, у, 2) - е-^{х'у-2)(х- у)Нхл2)(со(х, 2) + .V) * о

25) где 5(х,у), со(х,г) произвольные функции точек Гь Г2, соответственно. При а=1, (3>1 имеет место следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 13. Пусть в уравнении (3) а=1, (3>1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (24), а коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еСх(£), Ь(х,у,2)еСх/(£), с(х,у,г)еС(Ъ\ Цх,у,х)еС(Я);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (11), кроме того а(у,у,г)>(3;

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (6), а Ь(х,х^)<0. Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3(0) представимо в виде:

У ,. , О о О ^ где 5(х,у), о)(х,7), ф(у,г) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

В случае, когда а<1, Р>1 имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 14. Пусть в уравнении (3) а<1, Р>1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (24). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,г)еСх(£>), Ь(х,у,2)еСи(£), с(х,у,2)еС(Ь), £(х,у,г)еС(Ъ);

2) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (6), а Ъ(х,х,г)<0;

3) £(х,у,г) в окрестности области Г0 удовлетворяет условию: х, у, г) = оЦх - у)г>), у, >а + 0-\.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3ф) представимо в виде: и(х, у, 2) = (й)(х>+ к^.гпк^ы^ + и о о ~~ где 8(х,у), со(х,г), ф(у,г) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

В случае, когда а<1, Р<1 имеет место следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 15. Пусть в уравнении (3) а<1, Р<1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (24). Кроме того, пусть коэффициенты и правая

часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еСх(^), Ъ(х,у,2)еСХ2(£), с(х,у,г)еС(Ъ), Дх,у,г)еС(^);

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса С3(Б) представимо в виде: о о " 5) где 5(x,y), co(x,z), (p(y,z) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, Г3 соответственно.

Параграф 1.7. посвящен нахождению явных решений уравнения (3) в случае, когда a(x.y,z)eCyz( D), b(x,y,z)eCZ( D), c(x,y,z)eC(D) и коэффициенты уравнения (3) связаны между собой при помощи следующих равенств: а, (.V, у, 1) = />(.\. >>, z)c(x, у, z) + bz (х, у, z); Л, (л; у, z) = а(х, у, z)c(x, у, z) + az (л; у, z); с,(х, j/, z) = а(х, у, z)b(x, у, z) + (x~ у)" ау(х, у, z) + а(х- у)"'1 а(х, у, z); г (29) dx (х, у, z) = а(х, у, z)b{x, у, z)c(x, у, z) + az (х, у, z)b(x, у, z) + Ь, (л; у, z)a(x, v, z) + + {х- у)" (ayz(x, у, z) + ау (х, у, z)c(x, у, z)) + + а(х- у)р~х (а(х,у, z)c(x, у, z) + а(х, у, z)).

В этом параграфе, также, получено 9 утверждений и 9 явных формул представлений многообразия решений уравнения (3), через три произвольные функции двух переменных, определенных в областях Гь Г2, Г3.

При а>1, (3>1, а также а>1, |3=1 имеют место следующие утверждения. ТЕОРЕМА 16. Пусть в уравнении (3) <х>1, (3>1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (29). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) a(x,y,z)eCyz(D), b(x,y,z)eCx(D), c(x,y,z)eC(D), f(x,y,z)eC(D);

2) функция a(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (5), кроме того a(y,y,z)>0;

3) функция b(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (6), a b(x,x,z)>0;

4) функция f(x,y,z) в окрестности Г0 удовлетворяет следующую асимптотическую формулу: f(x,y,z)exp{-b(x,x,z)aiS(x-y)}(x-y)^) =0((х-уГ*); 0<у6<1.

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса C3(D) представимо в виде:

Щх, у, Z) = е-^*>У>МУ>У*»Л*-У){(р{уу 2) УМ,,,^«-), {G){h s) + | ^аУЩ^^ф^ ^ли^^щ^ (30) л * I ~~ Л ) где аз(х,г), ф(у,г) произвольные функции точек Г2, Г3 соответственно. ТЕОРЕМА 17. Пусть в уравнении (3) а>1, (3=1 и коэффициенты между собой связаны при помощи равенств (29). Кроме того, пусть коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у,2)еСу2(^), Ь(х,у,г)еС2(£>), с(х,у,г)еС(£), 1Г(х,у,г)еС(Я);

2) функция а(х,у,г) в окрестности Го удовлетворяет условию (5), кроме того а(у,у,г)>0;

3) функция Ь(х,у,г) в окрестности Г0 удовлетворяет условию (8), кроме того Ь(х,х,г)<-а;

Тогда, любое решение уравнения (3) из класса Сз(Б) представимо в виде: X О о I) 0 ~~ где 8(х,у), со(х,г), ф(у,г) произвольные непрерывные функции точек Гь Г2, I \ соответственно.

Глава 2 посвящена нахождению общего решения уравнения (3) в случае, когда коэффициенты удовлетворяют условиям а(х,у,г)еС(1)), Ь(х,у,г)еСх(1)), с(х,у,2)еСху(£>), но не выполняется условие (4).

В этом случае, уравнение (3) можно представить в виде: 8 а(х, V, z) г " ■-'-- ^ 8 Ь(х,у,г) Уд кдх (х->') А с(х,у,г) \и(х,у,-)

УС2 ) Дх, у, 2) - Аа (л- у, г)Цх - А/; (х, у, 2)Цу - Ас (х, у, г)У2 - А(1 (х; у, х)У х-угр ' где:

Аа (X, у, 2) 3 а; (х, у, г)(х- )Г = (а, (л; у, ¿) - Ь(х, у, г)с(х, у, г) - (х-уУ с, (л; у, :))(х-у)";

А, (.V. .г.:) А;(х,у, )(х у) = (Л (х.у,:) - </(х. г. г)г(х. г.::) - (х г) < (л. г. ))(л уУ;

Ас (х, у, 2) = с, (х, у,2) - а(х,у, гЩх, у, 2) + /3(х- Уу~1 Ь(х, у, 2) - (х- у)аЬх(х. у, г): Аа(х,у,х) = с/,(л, V,2) -а(ху,2)/)(х,у,2)с(х у,2) (х- у)"а(х,у,2)су(л,г)

- (х- у У (/), (х, у, 2)с(х, у, г) + сх(х, у, г)Ь(х, у, г)) + /1(х у) Ь(х. у, 2)с(х, у, 2) + (Л-- уу,/3 с (х- у, 2).

Считая правую часть (31) известной, обращая это уравнение и после, интегрируя по частям, приходим к решению следующего интегрального уравнения:

Л >' г

U(x, у, z) - j Jj/cfv, у, z\t,s, z\j(t,s,r)dtdsch +J J Kx [x y, z;/,,v](/(/,.v, z)dtds +

0 0 0 о 0 x z У z

J J Кг [л, у. z; t,r]U(t, y, z)dtdz +j j К. [x y, z:s, i\U (x, s, r)dsdr = о о о 0 y, z;S(x, y),a(x, z),(p(y, z),f(x, y, z)]. (33) где K[x,y,z;t,s,x], Kj[x,y,z;t,s], K2[x,y,z;t,t], K3[x,y,z;s,x] - известные ядра, зависящие от коэффициентов уравнения, F[x,y,z;5(x,y),co(x,z),9(y.z),f(x,y,z)] явно выписанный интегральный оператор.

Найдены условия для коэффициентов, когда ядра интегрального уравнения (33) будут иметь слабую особенность. Поэтому, к интегральному уравнению (33) можно применить теорию Векуа И.Н.

Согласно данной теории сначала рассматривается следующие уравнения частных видов: ж у

Ux(x,y,z) + ^K\x,y,z-,t,s\ Ul(t,s,z)dtds = M(x,y,z), (34)

О (I

X z

U2 (x, y,z) + jj K: [x. y, z-, t, t] £/, (t, y, r)dtdr = M(x, y, z), (35)

0 0

У Z

U3(x,y,z) + ^K\x,y,z\s,T\ U3(x,s)r)dsdT = M(x,y,z), (36) о 0

В силу наложенных условий на коэффициенты они будут двумерными интегральными уравнениями Вольтерра со слабой особенностью. Резольвенты этих уравнений соответственно обозначим через ri[x,y,z;t,s,z]„ r2[x,y,z;t,y,x], r3[x,y,z;x,s,x]. Тогда, решение этих интегральных уравнений через соответствующие резольвенты можно дать при помощи следующих формул: х у иу (х, у, z) = М(х, у, z)- JJr, (л; у, z; /,л, z)M{t,л, z)dtds, Л

X Z и2 (х, у, z) = М(х, у, z) - J J Г2 (х, у, z; t, у, т)М{1. у, z)dtdr. (3 7) у Z из(х, у, z) = М(х, у, -)- (Jr. (х )\ z; x,s, r)M(x,s,z)dsdr .

УаЧ

Имеет место следующее утверждение.

Лемма. Пусть в уравнении (3) а>1, (3>1 и коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

1. Функции а(х,у,г), Ь(х,у„х) удовлетворяют условиям Гельдера, кроме того Ь(х,х,г)>0; а(у,у,г)>0;

2. 53>р-\, при х—>у

3. у)*} 8Х > а- 2, при х—^у

4. уУ) 5 >а + р-2, при х—^у

5. при х—»у

6. при х—>у

7. при х—>у

8. тъ{х,у\х,у,г) = о{еа^Мх-у)} ? при х—>у

9. Т3(х,у;х,у,г) = о{(х-у)7}; у>р-3, при х—^у где:

Т2 (х, 1,Г) - (Ь(х.\. т)(х- .\)а (I - А')а + а! (л, .у, т)(х- л1) + а(л', я, т) а

1-5у{х-з)1 аДл^.гХг-лО + ф'^.г) л--- (С (* + г))(х- о - ¿г) * а с-'р, А® (/. Л', т)(1 - [<. {и 5, т) - «А» (и, т)\1 - 1 (х - Л'Г ^ ; Тъ (х, у;/, у, т) = [Аст (Г, я, т) + (с(х, у, т) - (х, у, т) + 1¥/г (х, у, т) -- (х,г) + (1,т))Ле 0, т)](х- у)'- ' (х- .у)в+/?": 0 ~ ' +

Ьт (х, х, т), о»—о

V- - (А-- ](.х- .У)"-1 (г - а ~ о 1

Тогда, ядра интегрального уравнения (33) будут иметь слабую особенность.

Решение интегрального уравнения (33) будем искать в виде:

XV х г (х,у, г) = М0(х,у, г) +1Л | Г; (х, у, г; 5) М0 (г, + | с1г | Г2 (х, у, г; г, т) Ма (/, >\ т)с1т +

Ъ Уо хп -о

38)

Уо где Мо(х,у,г) новая неизвестная функция.

Подставляя значение и(х,у,г) из равенств (37) в равенство (33) и принимая во внимание свойства резольвент П, Г2, Г3, для нахождения Мо(х,у,/,) получим следующее трехмерное интегральное уравнение:

М0(х,у,г)г у у с1т|с1э|К0 (х, у, г; М,т)М0 (*, $,т)йт = х, у, 1,б(х,у),<р(у,г),со(л\ •:),/(л; у, -)],

Уо Уо где К0(х,у, г, /, .у, т) - известная функция.

Решая это трехмерное интегральное уравнение и подставляя ее значение в уравнение (38), находим общее представление решения уравнения (32). Получим следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 18. Пусть коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условиям леммы. Тогда, любое решение уравнения (3) из класса Сз(Б) представимо в виде (38), где Мо(х,у,г) является решением интегрального уравнения (39).

Глава 3 посвящена нахождению явного решения граничных задач типов Дарбу для уравнений (1). В этой главе ставятся и исследуются 9 граничных задач. Ниже мы приводим постановку некоторых из них.

Задача Кь Требуется найти решение уравнения (3) при а>1, |3>1 из класса Сзф), удовлетворяющее следующим условиям:

1. ех?{а(у,у^)соа(х- у)) с? Ь{х,у^)](ди

У ' ( V Г) + с(х,у,г)и |г =А(у,гУ,

71

2. ехр(- Ь(х, х, т)сор {х->>)) —- + с(х, у, ¿)и I

Г =В(х,:у "о на сингулярной области Г0 и условию: 3. и(х,у,г) | = Цх,у). ч на Гь

А(у,г), В(х,г) - заданные функции в области Г0, а 0(х,у) - в области Гь

Задача К2. Требуется найти решение уравнения (3) при а>1, (3=1 из класса С3(Б). удовлетворяющее следующим условиям на сингулярной области Г0: а' х~у

2. + 1=В(х,1)и следующему условию на Г1:

3. Щх,у,г) |г = Щх,у).

Задача К3. Требуется найти решение уравнения (3) при а>1, Р<1 из класса С3(Б) удовлетворяющее следующим условиям на сингулярной области Г0:

1. {ехр(й(7, у, 2)6)а (х- + У' ^ + с(х, у, г)и \ ^ =А(у,2); д.V (х-уУ В(х. г); V

2 .--h с(х, у, г)и и следующему условию на Г]:

3. U(x,y,2)\v =D(x,y).

О разрешимости этих задач имеет место следующее утверждение. ТЕОРЕМА 19. Пусть в уравнении (3) коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы 1 и в задаче К] A(y,z), B(x,z) и D(x,y) являются непрерывными функциями своих областей. Тогда, задача К! имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы:

U(x, у, 2) = exp {-Wc (х, у, 2)}{D(х, у) + z {ехр{ж (X, у, г) - < (.V. у, т) + Ь(х, х, т)ар (х- у) {л(х г) expjtff (л; л; г)}о х

- |ехр{и^ (x,s,r) - b(x, х,т)сОр(х- s)}ds - W" (x,s, г) - «(^¿-.-гУ^Дл--.?)} * у [A(s, т) exp {ИС (s, s, г)} + exp {Waa (t, s,t) + a(s, s, т)аа (t - s)}dt] ds}dr\.

S v ' '

ТЕОРЕМА 20. Пусть в уравнении (3) коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы 2 и в задаче К2 A(x,z), B(x,z) и D(x,z) являются непрерывными функциями своих областей. Тогда, задача К2 имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы:

U(x, у, 2) = exp{-Wc(л; у, z)}(D(x, у) i j exp{¡Vc(x, у,т) ~ W¡ (л. y, r)¡(.\- y) u x

B(x,t)zxV{W^x,x,t)} - Jexpfe (x,s,t)~ W?(x,s,t)~ a(s,s,r)aa(x-,s)}(.v- s) b(x.x.r) Ц.

-Mx.x.r)

ТЕОРЕМА 21. Пусть в уравнении (3) коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы 3 и в задаче К3 А(х,г), В(х,г) и 13(х,г) являются непрерывными функциями своих областей. Тогда, задача К3 имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы:

1/(х, у, г) = ехр(х у, :)}(Д л, у) + ] ехр{И^(х. у, т) - Щ (х, у, г)}* о

Л' {В(х, г) ехр Щ (х, х, г)} - |ехр{^; (х, 5, т) - (х,я, т) - а(х, х, т)соа (х

А(.у, т)ехр{Жак(л,5, г)} +1 ехр{жгй С-^ г) + Ф>а 0 " V' \1 Л I ск\11т).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены автором на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа и теории функции механико-математического факультета Таджикского государственного национального университета "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными" в период с 1987 по 1989 г.г., на апрельских конференциях Таджикского Государственного Университета в 1988 и 1989 г.г., на Международной научной конференции «Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа» (г. Ташкент, Республика Узбекистан) в 1993г., на Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, Российская Федерация) в 1994 г.

Основные результаты диссертации представлены в публикациях в [14], [20-22].

1. Джураев A. (Dzhuraev A.) On second order singular partial differential operators in the unit ball of Cn // Abstracts of Plenary and 1.dited Lectures Delivered at the second congress ISAAC 1999. Fukuoka, Japan. August 16-21, 1999. p.43-44.

2. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе. 1993. С. 244.

3. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука. 1966.

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981. С. 448.

5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. С. 292.

6. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области//ДАН СССР. 1951. т.77, №2. С.181-183.

7. Жильберт Р.Н. (Gilbert R.P.) Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations, Academic Press, New York and London. 1969. 313 p.

8. Карол P.В., Шовалте P.E. (Caroll R.W., Showalter R.E.) Singular and Degenerate Caushy Problems, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1976, 333p.

9. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера Пуассона Дарбу. Учебное пособие по спецкурсу «Уравнения математической физики». - Куйбышев. 1984. С. 80.

10. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающеюся гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. т. 187, №4. С.736-739.

11. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. Вильнюс Мокслас. 1990, С. 180.

12. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Изд-во АН Тадж.ССР. Душанбе. 1963. С. 183.

13. Джураев А.Д. О свойствах некоторых вырождающихся эллиптических систем первого порядка на плоскости // ДАН СССР. 1975. т.223. №3. С. 533-536.

14. Раджабов Н. (Rajabov N.) An introduction to the theory of partial differential equations with sup er-singular coefficients. Tehran 1997, Tehran University Publications 1997, 230p.

15. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров А.К. Построение потенциалов для одного модельного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями. Докл. АН Тадж.ССР. 1977. т.20, №11. с.7-10.

16. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров Р.К. Фундаментальное решение и интегральные представления для одного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями. Докл. АН Тадж. ССР. 1977. т.20, №9, с. 13-16.

17. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров Д.К. Аналог формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка эллиптического типа с двумя сингулярными линиями. Докл.АН Тадж ССР. 1977. т.20, №12. с.3-6.

18. Юсупов Д. К теории одного трехмерного линейного уравнения третьего порядка с одной сингулярной плоскостью // Международная конференция по математическому моделированию (Тезисы докладов). Якутск. 1994. С. 66.

19. Юсупов Д. Граничные задачи типа Дарбу для одного класса линейного трехмерного дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной областью//ДАН РТ. 2000. т. 43, №3.

20. Раджабов Н., Юсупов Д. К теории линейного дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной плоскостью // Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами. Международная научная конференция. Душанбе. 1996. С.75.

21. Раджабов Н. Об одном классе линейных гиперболических уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой // Докл. АН Тадж. ССР. 1998. т.31, №10. С. 630-634.

22. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Часть I, ДушанбеД980,126с.; Часть 11,1981, 170с.; Часть III, 1982, 170с.

23. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе. 1992. Изд-во ТГУ. С.236.

24. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1971. т.7, №1. с.49-56.

25. Олейник O.A. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе // ДАН СССР. 1966. т. 169, №3. с.515-528.

26. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнений Uxx+Uyy+p/xUx=0. Учен. Зап. Куйбышев. Пед. Института, 1958. т.21, с.3-55.

27. Раджабов Н. Представления многообразия решений и граничные задачи одного класса линейной гиперболической системы второго порядка с одной внутренней сингулярной линией // ДАН СССР 300. №2, 1988. С.291-296.

28. Раджабов Н. (Rajabov N.) Linear hyperbolic equations with two super singular lines // Integral equations and boundary value problems, World Scientific, Singapore-New-Jersey- London-Hong-Kong, 1991, p. 170-175.

29. Усманов З.Д. Первая краевая задача для одного класса систем дифференциальных уравнений с сингулярной линией // Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 1969. С. 92-101.

30. Салохитдинов М.С., Джураев Т.Д. Об одной смешанной задаче для уравнений третьего порядка парабола гиперболического типа. Известия АН УзССР. серия физ.мат. наук. 1971. №4, с.26-31.

31. Салохитдинов М.С., Нагорный A.M. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка параболо гиперболического типа. - В кн.: Краевые задачи для уравнений математической физики. Ташкент: Фан. 1980. с.3-13.

32. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск, Вышэйшая школа. 1977. С. 157.

33. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука. 1978. С. 351.

34. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука. 1978. С. 462.

35. Вейнштейн А. (Weinstein А.) Singular partial differential equations and their applications // Proc.Symp.Fluid Dyn.Appl.Mah. Gordon-Breach. New York. 1962. pp.29-49.

36. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамаджанов M. Краевые задачи для уравнений параболо гиперболического типа. Ташкент: Фан. 1986. С. 220.

37. Раджабов Н. (Rajabov N.) Introduction to ordinary differential equations with singular and super-singular coefficients. Dushanbe, 1988, 160 p.

38. Раджабов Н. (RajabovN.) Higher order ordinary differential equations with supersingular points // Partial Differential and Integral Equations, Kluwer Academic Publishers Printed in the Netherlands, 1999, pp. 347-358.

39. Раджабов H. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линиями // ДАН СССР. т. 281. i=3. 1985. с.534-539.

40. Салохитдинов М.С. Уравнения смешано составного типа. Ташкент: Фан, 1974. С. 156.

41. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений// Новосибирск. Наука СО. 1979. С. 192.

42. ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. 1988. С. 510.

43. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1982.

44. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. С. 511.

45. Тихонов С.А., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. С. 736.

46. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1-III. М.: Наука, 1970.

47. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. С. 232.

48. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: Гостехиздат. 1948. С. 396.

49. Маричев О.И. Сингулярные краевые задачи для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // ДАН СССР. 1976. т.230, №3. С. 523-526.

50. Мередов М. Об одном методе в решении задачи Трикоми // Дифференциальные уравнения и оптимальное управление. Тезисы докладов. Ашхабад. 1990. С. 93-94.

51. Мередов М., Мухыев Б. Краевые задачи для неклассического уравнениявысокого порядка // Дифференциальные уравнения и оптимальноеуправление. Тезисы докладов. Ашхабад. 1990. С. 94-95.