Задачи типа Гурса с нормальными производными в краевых условиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Характеристические задачи с нормальными производными первого порядка.

§ 1. Трехмерные задачи.

1.1. Уравнения для определения (рк через фк.

1.2. Варианты граничных условий и характер разрешимости задач.

§ 2. Условия и характер разрешимости четырехмерных задач.

2.1. Отыскание (рк.

2.2. Разрешимость краевых задач.

§ 3. Распространение результатов на случай любого конечного числа измерений.

Глава 2. Интегральные уравнения для функции Римана. Построение этих функций в явном виде.

§ 4. О четырехмерных функциях Римана.

4.1. Вывод интегральных уравнений.

4.2. Случаи решения полученных уравнений в явном виде.

4.3. Варианты расщепления оператора Ь на одномерные и трехмерные составляющие.

4.4. Расщепление Ь на два двумерных оператора.

§ 5. Общий случай (п > 4).

5.1. Вариант интегрального уравнения.

5.2. Запись функции Римана в явном виде.

5.3. Некоторые пояснения общего характера.

Глава 3. К задачам с производными высокого порядка в граничных условиях.

§ 6. Связь граничных значений искомых функций с их нормальными производными третьего порядка.

§ 7. Об определении граничных значений задачи Гурса через нормальные производные произвольного порядка.

§ 8. Общая характеристическая задача с производными в граничных условиях.

8.1. Задача с нормальными производными третьего порядка.

8.2. Задача в общей постановке.

Предметом исследования в предлагаемой диссертации является уравнение

Нпч, L(u) = 0, (0.1) дпи дх\дх2 . • дхг с линейным дифференциальным оператором Ь общего вида порядка п — 1, содержащим лишь некратное дифференцирование по каждой из переменных. При п — 2 это есть хорошо известное в математической физике гиперболическое уравнение иху + аих + Ьиу + си = 0.

0.2)

Одним из наиболее интересных результатов, относящихся к уравнению (0.2), является метод, предложенный Б. Риманом для построения решения задачи Коши [25] („метод Римана"). Решение задачи при этом записывается с помощью функции, определяемой как решение сопряженного к (0.2) уравнения, удовлетворяющее некоторым граничным условиям. Эта функция тоже носит имя Римана. Впоследствии указанный метод был несколько видоизменен, что сделало его удобным для решения также и задачи Гурса (И.Н. Векуа [6], A.B. Бицадзе [3], [4]). При этом было выведено интегральное уравнение, которому удовлетворяет функция Римана. В.И. Жегалов обратил внимание на то, что функция Римана с самого начала может быть определена как решение этого интегрального уравнения. Такой способ введения функции Римана оказался удобным для распространения обсуждаемого метода на многомерные случаи. В работе [14] (1990 г.) было получено решение задачи Гурса для уравнения (0.1) в случае п = 3. Позднее, в совместных работах В.И. Жегалова и

В.А. Севастьянова [16], [18], эта задача была решена для любого п. В.А. Севастьяновым были решены для уравнения (0.1) при любом п также задача Коши и смешанная задача с данными как на характеристиках, так и на произвольной поверхности. Исследованию уравнения (0.1), начиная с 1991 г., посвящают свои работы целый ряд математиков в Самаре (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Захаров, O.K. Быстрова, A.B. Дорофеев, И.Н. Родионова др.). Обзор этих исследований можно найти в [11], [12], [13]. Там уравнение (0.1) изучается с несколько иных позиций. В [11], [12] речь идет о довольно частных случаях этого уравнения. В [13] рассматривается общее уравнение (0.1) при п = 3. В частности, там по-новому решена задача Гурса. Окончательный вид решения совпадает с соответствующей формулой из [14].

В настоящей диссертации для уравнения (0.1) исследуются задачи, отличающиеся от задачи Гурса тем, что вместо искомой функции и на характеристиках (или их части) задаются значения нормальных производных от и. Первой известной автору публикацией, где встречается подобное граничное условие, является работа JT.M. Невоструева [22]. Однако речь там идет о задаче для уравнения смешанного типа, а ситуация с нормальной производной на характеристике носит вспомогательный характер и исследуется лишь в той мере, в которой это необходимо для основной задачи из [22]. Имеется также цикл работ С.С. Харибегашвили [37] - [43], в которых для уравнения (0.2), в том числе векторно-матричного, изучаются задачи в характеристических и нехарактеристических областях с граничными условиями вида аих + ßuy + 7u = /. (0.3)

Очевидно, если (0.3) задано на характеристике х = consta и (например) а = 1, /3 = 7 = 0, то это есть граничное условие обсуждаемого вида, представляющее собой как бы предельный случай общей постановки задачи. С.С. Харибегашвили применяет к исследованию задач методы функционального анализа, выделяя лишь случаи однозначной разрешимости (существование единственного решения в определенном функциональном классе).

Другая методика применялась к исследованию задач типа Гур-са с нормальными производными в граничных условиях в работах В.И. Жегалова и М.П. Котухова [15], [20]. Там в случае уравнения (0.2) предложен метод редукции рассматриваемых задач к задаче Гурса. Этот метод позволяет более полно исследовать задачи: не только доказать существование решения, но и записать его либо с помощью резольвент интегральных уравнений Вольтерра (в общем случае), либо в явном виде (в ряде частных случаев). При этом устанавливаются условия не только однозначной разрешимости, но и разрешимости с точностью до определенного количества произвольных констант.

Основной целью предлагаемой диссертации является исследование возможностей распространения методики работ [15], [20] на многомерные случаи (п > 3).

Особо отметим, что в диссертации под решениями уравнения (0.1) всюду понимаются регулярные решения, то есть такие функции и, которые в рассматриваемой области задания (0.1) непрерывны вместе со всеми входящими в это уравнение производными и обращающие его в тождество.

Поскольку рассматриваемые задачи предполагается редуцировать к задаче Гурса, приведем постановку этой задачи и формулу ее решения из [18].

Предварительно запишем уравнение (0.1) более подробно: дпи гс-1 ^ , ч дп~ки где п — произвольное натуральное число, х = (х\,., хп), внутренняя сумма берется по всем наборам (<71, • ■ •, (йь), удовлетворяющим условию 1 < я\ < . . . < Як < п. При этом набор индексов (п,., 7*1 < . < дополняет (<71,., до полного набора (1,., п).

Задача Гурса для (0.1) формулируется следующим образом.

Задача. Найти в Б = (яг?,®}) х (х^х^) х • ■ • х (жп>жп) решение уравнения (0.1), непрерывно продолжимое на дВ и принимающее на характеристических многообразиях П^ = [ж?, я*] х [ж®,^] х . х АхЬьх1г-\] X X Ы+ъ^+г] X . X значения и(х 1, . . . , Хг—1, X^, а?г+1? • • • ? ~ <Рг(х1, • • • ■> Ж«—1, Жг--)-1, . . . , Жп), (0-4) с условиями согласования

Ру(х 1, . . • , З^'-Ъ . . . , Хк-1, XХк+1, ., жп) — (рк{х 1, . , 3^ + 1, . . . , Ж&—1, . . . , к.

Изложим основные результаты, относящиеся к решению задачи Гурса для уравнения (0.1), полученные в основном в [18]. Для удобства дальнейшего изложения введем ряд обозначений. Прежде всего, определим класс гладкости Са, а — мультииндекс, следующим образом. Условие т £ Са(.0), а = (р1,. ,рк)} означает, что в В существуют и непрерывны все частные производные г -— ох 1 0x2 . охкк для всех г\ = 0,. 7*2 = 0,. ,Р2',.; = 0,. Далее, приведем определения множеств, взятые из [18]:

М = {р | 1 < р < п}, (¿к,п = {(91» • • •»Як) I 1 < Я\ < • • • < Як < п},

Якп = {{яъ • • • ,Яп) \ {яз \1 < 3 <п) = м, Ш < • ■ • < Як, Як+1 < . . .< < Яп}, Щ? = {(Ль ■■■,!1к)\{}1з\1<1<к} = {Яг\1<{< к}, < . < Нт, Нт+1 < . < Нк}, Нт:П = {(/11,., |

1 < hi < . < hm <п,{Щ | 1 <j < m}f]{qi | 1 < i < k} = 0}. Запишем теперь оператор L из (0.1) в виде п

Ци) = Е Eaqi.qkUx Xqn

1 Qn

Функцию Римана для (0.1) R(xi,., хп\ Ai,., Ап) определим как решение интегрального уравнения

Е ( — l)^ Е L ' • ' /\ а01—* ' • ' xqi~li Xqi+li • • • 1 к=0 Qk,n JXqi JXqk xqk-li (Xqki xqk+li • • • i xn)v{x Ъ • • • j ^ift-Ъ Q^i 5 ^i+b • • • j (^-5) xqk — l) Q-qki XQk +1' • • • J Жп) d(Xqk . . . d(Xq1 = 1.

Тогда справедлива

Теорема. Пусть коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют условиям гладкости aqi.qk G C^ri,'",rn\D), Г{ = 1, если гj ф qj, ri = 0, если Г{ = qj, j = Далее, пусть граничные условия таковы, что (pi Е С^1'1'-'1^!^). Тогда решение задачи Гурса для (0.1) дается формулой

ТЬ 1 ягр л/Т» [

1, • • •, ®») = Е Е /Г • • ■ /." Е (-1Г+1х х ^ ., ж^-!, ., скд15

Ячц+Ь • • • j ^й-Ъ ^g/fe+l) • • • 5 Ж/1ТО-Ъ ж/1т+Ь • ■ • 5 X (0-6)

• • • 5 ^/ii-lj «E/ii+Ъ • • • i xqi~\i °lqii xqi+li • ■ • 5 —1? aqki Kqk+li • • • 1 xhm-li xhmi xhm+li • ■ • 1 xn'i xl) • • • 1 xn)d>Oiqk . . . doiql, где k

Aqiqk(ah ., an] Xl,., xn) = J2 i"1)™ . .,<*„) x m=0 Hp х%,. ,ап;жь . ,хп)) ак т+1—аЬк к = 0, п — 1,

Я -— функция Римана для (0.1).

В главе 1 речь идет о задачах для (0.1) при п > 3 с нормальными производными первого порядка. Сформулируем более точно постановку этих задач. Для (0.1) ставится задача отыскания непрерывп — но продолжимого на и И» решения задачи, отличающейся от задачи г=1

Гурса тем, что в (0.4) хотя бы одно из значений функции и заменяется значением ее нормальной производной из набора ди дх^ Ъ ' ' ' ? — ^¿+1? ' ' ' ?

0.7)

Например, если заменить в (0.4) первые к значений <р{ на соответствующие из (0.7), то получим следующую задачу.

Задача. Найти в области Б регулярное решение уравнения (0.1), удовлетворяющее на характеристических многообразиях Ц условиям ди дх; . . , Я?!-)-]., • • . 5 #гг)5 2 — 1? к)

X.—X;

I Х{—Хл

• • • 5 хг—1? xi+l) • • • 5 хп)> % — к + 1, П.

С точностью до перестановки порядка носителей краевых условий на Пг получаем п различных вариантов подобных задач. При этом п считаем, что искомая функция непрерывно продолжима на 0 П^ и, г=1 ди . кроме того, каждая из производных -—, г = 1, к, непрерывно продолен жима на соответсвующую характеристику П^.

Отметим, что такие задачи не всегда содержательны. В качестве примера рассмотрим трехмерное уравнение

Чхуг — 0

0.8)

Поставим для него задачу Гурса следующим образом: найти в параллелепипеде Б = {0 < х < XI, 0 < у < у\, 0 < г < гх} непрерывно продолжимое на границу Ю решение, удовлетворяющее условиям и х (р1(у,г), и\у= <р2{х,г), и\2= (р3(х,у),

0.9) где X, У, X — грани В при ж = 0,?/ = 0,2: = 0 соответственно. Проинтегрировав (0.8) с учетом (0.9) получим и = (рг(у, г) + <р2(х} г) + у) - <рг(у, 0)-—^2(0, г) — (рз(х, 0) + </?1(0,0).

0.10)

При произвольных (рк можно рассматривать здесь правую часть в качестве структурной формулы решений нашего уравнения подобно тому, как это делается в [3, с. 66], для уравнения иху + аих + Ьиу + си = = 0. Теперь поставим для (0.8) задачу с краевым условием ди дх х гр1{у,г), и|у = 0, и\2 = 0.

0.11)

Если, пользуясь (0.10), попытаться добиться для и выполнения (0.11), то придем к требованию (у,^) = 0, делающему задачу обсуждаемого типа тривиальной. Подобные случаи далее исключаются из рассмотрения. Заметим, что появление только что указанных случаев зависит от характера коэффициентов аЯ19к уравнения (0.1). Таким образом, речь идет о выявлении условий на эти коэффициенты, которые обеспечивали бы определенный уровень содержательности рассматриваемых задач.

Для уравнения (0.1) получены интегральные уравнения, связывающие значения нормальных производных и значения самой функции и на характеристиках. При этом, если в [15] и [20] для получения такого уравнения использовалось представление решений (0.1) двумерный вариант формулы (0.6)), то здесь тот же результат достигался, исходя из самого уравнения (0.1), путем предельного перехода. При помощи этих интегральных уравнений показывается, что рассматриваемые задачи с нормальными производными можно редуцировать к задаче Гурса. Приведен ряд достаточных условий, позволяющих осуществить такую редукцию. В § 1 и § 2 исследовалось (0.1) при п = 3ип = 4 соответственно; в § 3 рассматривался случай произвольного п.

В отличие от задачи Гурса, рассматриваемые задачи могут быть разрешимы неоднозначно. Так, при п = 3 граничное значение срг определяется по соответствующей нормальной производной либо однозначно, либо с точностью до одной — двух произвольных функций, заданных на части дЛ^. Отсюда следует, что решение задачи с нормальными производными может определяться с точностью до 1-3 произвольных функций, либо однозначно.

Конечно, можно было бы задать дополнительные условия, которые исключили бы случаи неединственности решения. Но автору казалось более интересным описать все многообразие решений без каких-либо дополнительных условий. К тому же представляется, что подобный подход может быть более удобен с точки зрения возможных приложений.

Аналогичные выводы можно сделать и при п = 4. Здесь значение срг определяется с точностью до трех произвольных функций, заданных на части ¿Ш^. Соответственно, задачи с нормальными производными в граничных условиях могут быть разрешимы однозначно или зависеть от 1 - 6 произвольных функций. Сходная картина получается и при произвольном п. В этом случае число произвольных функций и, от которых зависит решение задачи с нормальными производными, удовлетворяет условию п(п — 1)

При этом произвольные функции задаются на (п — 2)-мерных многообразиях, являющихся частью dlli.

Ясно, что при исследовании уравнения (0.1) очень важным является вопрос построения функции Римана в явном виде, ибо тогда решение задачи Гурса тоже имеет замкнутую форму. Этому вопросу посвящено довольно много публикаций. Так, построением функций Римана для различных вариантов уравнения (0.2) занимались Т. Ченди [45], М.Н. Олевский [23], B.C. Чуриков, И.П. Мащенко [46], A.A. Андреев [1]. Обширный список функций Римана для (0.2) содержится в работах [8], [11] - [13]. Для уравнения (0.1) при п > 2 этот вопрос изучался в [11] - [14], [17], [19], [26], [27], [30].

В главе 2 рассматривается вопрос построения функций Римана. Эта глава основана на развитии идей из работ В.И. Жегалова и М.П. Котухова [17], [19]. В § 4 прежде всего изучается возможность построения более простых уравнений для функции Римана, чем (0.5), для (0.1) при п = 4. Были получены достаточные условия, позволяющие записать интегральное уравнение для функции Римана без интегралов, у которых кратность меньше 4. Ясно, что исходя из такого уравнения значительно проще построить функцию Римана, чем из уравнения общего вида (0.5). Затем, исходя из полученного более простого интегрального уравнения, получены достаточные условия, позволяющие построить для (0.1) в явном виде 11 вариантов функции Римана при п = 4.

В § 5 рассматривается (0.1) при произвольных п. Как и в § 4 доказывается возможность построения п\ интегральных уравнений для функции Римана без интегралов, у которых кратность меньше п. Затем, на основании этого результата строится в явном виде ряд функций Римана для (0.1). Отметим, что при получении результатов главы 2 существенно использовалось определение функции Римана через уравнение (0.5).

В главе 3 речь идет о задаче типа задачи Гурса, которая отличается от нее тем, что задаваемые на характеристиках граничные условия представляют собой линейную комбинацию заданных на характеристиках значений искомой функции, ее нормальных производных и производных по направлению характеристики, то есть п а0(у)и\х=хо + т @ги

Ьо(х)и\у=у0 + Т^Ьг{х)~

I $3 >ц х=х0 ¿=1 ОУ-1

У=Уо 3=1 дхз К(у), х-х0 М(х),

У—Уо при произвольных т, п, я.

Очевидно, что условие (0.12) является обобщением (0.3). С другой стороны, (0.12) содержит в себе случай, изученный М.П. Котухо-вым [20], где вместо (0.12) на характеристиках задавались нормальные производные второго порядка. Поскольку подобная модификация задачи Гурса даже для уравнения (0.2) исследована мало, исследование ограничивается случаем (0.2).

При исследовании сформулированной выше задачи важную роль играет выявление связи между значениями функции и и ее нормальных производных на характеристиках. В § 6 получено нагруженное интегральное уравнение Вольтерра, связывающее граничные значения решения (0.2) и его нормальных производных третьего порядка. Затем было проведено подробное исследование этого уравнения. В § 7 показано, что возможно получение аналогов такого интегрального уравнения для производных произвольного порядка. При этом граничные значения функции и определяются по соответствующей нормальной производной п-го порядка с точностью до некоторого набора произвольных постоянных, содержащего не более п констант.

Опираясь на полученные результаты, в § 8 исследуется задача для (0.2) с краевым условием (0.12).

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Вывод интегральных уравнений для (0.1) при п > 3, связывающих граничные значения функции и и ее нормальные производные первого порядка на характеристиках. Получение достаточных условий разрешимости задач с нормальными производными первого порядка на характеристиках.

2. Получение условий, позволяющих записать для функции Ри-мана уравнения (0.1) интегральные уравнения, не содержащие интегралов кратности меньше, чем п. Применение полученных уравнений к выделению новых случаев построения функции Римана в явном виде.

3. Получение для (0.2) интегральных уравнений, связывающих граничные значения функции и и ее нормальных производных третьего порядка на характеристиках. Разработка алгоритма записи таких уравнений для производных произвольного порядка. На основании этих результатов для (0.2) исследована задача с условием (0.12).

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [47]-[57].

По мере получения они докладывались на семинарах по дифференциальным уравнениям в Казанском государственном университете и на итоговых конференциях КГУ (1997 - 1999 г.г.). Были сделаны доклады на конференции „Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997 г.), на VIII межвузовской конференции „Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998 г.) и на Самарском городском семинаре по уравнениям в частных производных (руководитель — профессор В.Ф. Волкодавов, 1999 г.). ц

1. Волкодавов В.Ф., Дорофеев A.B. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 11. - С. 6-8.

2. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. Самара, 1994. - 31 с.

3. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова O.K., Захаров В.Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения. Самара: „Самарский университет", 1995. - 76 с.

4. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения. Самара, 1996. - 51 с.

5. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические задачи и уравнения смешанного типа. Новосибирск, 1990. -С. 94-98.

6. Жегалов В.И. (Zhegalov V.l.) Relation between the Boundary Values of Goursat Problem and the Normal Derivatives // Conditionally Well-Posed Problems. Moscow: TVP Sc. Publ. -1994. - P. 346-349.

7. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, № 10. -С. 1429-1430.

8. Жегалов В.И. О трехмерной функции Римана // СМЖ 1997. -Т. 38, № 5. - С. 1074-1079.

9. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в n-мерном пространстве / Редакция СМЖ. Новосибирск, 1997. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2290-В97.

10. Жегалов В.И., Котухов М.П. Об интегральных уравнениях для функции Римана // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 1. -С. 26-30.

11. Котухов М.П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 5. - С. 59-62.

12. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. J1-M.: ГТТИ, 1934. -330 с.

13. Невоструев JI.M. Задача Неймана для общего уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 2. -С. 320-324.

14. Олевский М.Н. О функции Римана для дифференциального уравнения 0 0 + pi(x) + p2(t).= 0 // ДАН СССР. - 1952. - Т. 87, № 3. - С. 337-340.

15. Пикар Э. (Picard Е.) Lecons sur quelques types simples d'equations aux derivee partielles avec des applications a la phisique matematicue. Paris: Gautier - Villars, 1950. - 214 c.

16. Риман Б. (Riemann G.F.B.) Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlichen Schwingungsweite // Abhangl. Königl. Ges. Wiss. Göttingen 1860. - № 8. (Русский перевод: Риман Б. Сочинения. - М-Л.: Гостехиздат, 1948. - 543 с.)

17. Севастьянов В.А. Об условиях явного построения n-мерной функции Римана // Математическое моделирование и краевые задачи:Тез. докл. VI научн. межвуз. конф. 29-31 мая 1996 г. Самара,1996. С. 91-92.

18. Севастьянов В.А. К вопросу построения функции Римана в Яп в явном виде // Алгебра и анализ: Тез. докл. научн. школы-конф., поев. 100-летию Б.М. Гагаева, 16-22 июня 1997 г. Казань, 1997.- С. 188-189.

19. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика.1997. № 5. - С. 69-73.

20. Севастьянов В.А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в п-мерном евклидовом пространстве. Автореферат диссертации на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- Казань, 1997. 20 с.

21. Севастьянов В.А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в п-мерном евклидовом пространстве. Диссертация на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. -127 с.

22. Севастьянов В.А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, № 12. - С. 1706-1707.

23. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. - 432 с.

24. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. М.: Наука, 1981. - 550 с.

25. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболическихуравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1987. - Т. 297, № 3. - С. 547-552.

26. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 735 с.

27. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

28. Харибегашвили С.С. Задачи типа Гурса для одного класса гиперболических систем // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, № 1. - С. 157-164.

29. Харибегашвили С.С. О задачах типа Гурса для одного класса систем уравнений гиперболического типа второго порядка / / Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 1. - С. 152-166.

30. Харибегашвили С.С. О разрешимости задачи Гурса для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. -С. 134-145.

31. Харибегашвили С.С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, № 2. - С. 269-272.

32. Харибегашвили С.С. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения второго порядка // ДАН СССР. 1985. -Т. 280, № 6. - С. 1313-1316.

33. Харибегашвили С.С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 1. -С. 149-155.

34. Харибегашвили С.С. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. Автореферат диссертации на соиск. уч. степ, доктора физ.-мат. наук. Тбилиси, 1986. - 31 с.

35. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными / / Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 9. - С. 1614-1622.

36. Ченди Т. (Chaundy T.W.) Linear partial differential equations (I) // Quarterly Journal of Math., Oxford. 1971. - Ser. 6, № 9. -P. 234-240.

37. Чуриков B.C., Мащенко И.П. Построение функции Римана для уравнения иху + ср(х)ф(у)и = 0 // Научн. труды Краснодарского политехи, ин-та. 1970. - Вып. 30. - С. 19-25.

38. Миронов А.Н. К характеристическим задачам с нормальными производными // Алгебра и анализ: Тез. докл. научн. школы-конф., поев. 100-летию Б.М. Гагаева, 16-22 июня 1997 г. Казань, 1997. - С. 146-147.

39. Миронов А.Н. Дифференциальные свойства граничных значений задачи Гурса (в соавторстве с Жегаловым В.И.) // III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тез. докл. научн. конф. 22-27 июня 1998 г. Ч. 4. Новосибирск, 1998. - С. 17.

40. Миронов А.Н. К интегральным уравнениям для функции Римана // Материалы VII междунар. конф. им. акад. М. Кравчука 14-16 мая 1998 г. Киев, 1998. - С. 334.

41. Миронов А.Н. О построении четырехмерной функции Римана // Дифференциальные уравнения и их приложения: Труды III меж-дунар. конф. 19-21 мая 1998 г. Саранск, 1998. - С. 217-218.

42. Миронов А.Н. О построении функции Римана в Еп в явном виде // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VIII межвуз. конф. 26-28 мая 1998 г. Ч. 3. Самара, 1998. - С. 78-80.

43. Миронов А.Н. Об одной задаче с нормальными производными на характеристиках / / Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы: Сборник научн. трудов между-нар. конф. 22-25 сентября 1998 г. Ч. 1. Стерлитамак, 1998. -С. 50-51.

44. Миронов А.Н. Задачи с нормальными производными в Еп // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды IX межвуз. конф. 25-27 мая 1999 г. Ч. 3. Самара, 1999. - С. 90-94.

45. Миронов А.Н. Задачи типа Гурса с производными в граничных условиях / Казан, ун-т. Казань, 1998. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.98, № 3497-В98.

46. Миронов А.Н. Построение в явном виде n-мерной функции Римана при неполном расщеплении уравнения / Казан, ун-т. Казань, 1999. - 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.05.99, № 1704-В99.

47. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 7. - С. 78-80.

48. Миронов А.Н. О связи граничных значений задачи Гурса с нормальными производными третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 10. - С. 23-26.