О решениях системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничным управлениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОГОДАЕВ НИКОЛАЙ ИЛЬИЧ

О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ ГУРСА-ДАРБУ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ И ГРАНИЧНЫМ УПРАВЛЕНИЯМИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2009

003471390

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН (ИДСТУ СО РАН).

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН Толстоногов Александр Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Тонков Евгений Леонидович

кандидат физико-математических наук, доцент

Терлецкий Виктор Анатольевич

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится 25 июня 2009 г. в 14.00 ч. на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 при Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 22 мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

А.А. Щеглова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В связи с развитием современной науки и техники все чаще возникают задачи управления и оптимизации в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных. В теории управления такие системы называют системами с распределенными параметрами, а управления, зависящие от нескольких независимых переменных — распределенными управлениями. Помимо распределенных управлений представляется важным как с теоретической, так и с практической точки зрения рассматривать сосредоточенные управления, входящие в граничные условия дифференциальных уравнений (так называемые граничные управления).

Анализ работ, посвященных качественным свойствам систем с распределенными параметрами, показал, что к настоящему моменту хорошо изучены лишь системы с выпуклыми ограничениями на управления. При исследовании вопросов существования решений задач оптимального управления в литературе также рассматривались большей частью выпуклые задачи, т.е. задачи, в которых подынтегральные функции выпуклы по управлениям, а сами управления подчинены выпуклым ограничениям.

Поэтому в настоящее время в качественной теории управляемых систем с распределенными параметрами является актуальным

1) исследовать задачи как с распределенным, так и с граничными управлениями;

2) исследовать системы с невыпуклыми ограничениями на управления и невыпуклые задачи оптимального управления.

Общепризнанно, что изучение управляемых систем с распределенными параметрами является значительно более сложной задачей по сравнению с аналогичной проблемой для обыкновенных дифференциальных уравнений. Причинами этого являются, в частности, разнообразие классов уравнений с частными производными и типов начально-краевых условий, а также необходимость перехода к обобщенным решениям. В связи с этим большая часть работ направлена на исследование конкретных управляемых систем.

Пусть 1\ = [0, а], /2 = [О, Ь] (а, Ь > 0); П = Ь х /2; X - К"; У = К™ В диссертации изучается управляемая система Дарбу

гху =С1(х,у,г)гх + с2(х,у,2)гу + /(х,у,2,и) (1)

с граничными условиями на характеристиках (условиями Гурса)

X у

z(x, 0) = <pi(x) + J Ul{t) dt, 2(0, у) = ipi(y) + J U2(s) da, (2)

о 0

где (x,y) € Q, z E X; и £ Y — распределенное, и1, v? G X — граничные управления. Предполагается, что управления подчинены невыпуклым смешанным ограничениям, т.е. ограничениям, зависящим от фазовой переменной л:

и{х,у) G U{x,y,z{x,y)), и\х) € Щ(х, Vi{z){x)), и\у) € U2(y, %(г){у)). 1 J

Здесь fi,^2, — непрерывные операторы, действующие из пространства непрерывных функций двух переменных в пространство непрерывных функций одной переменной, а U, Ui, U2 — многозначные отображения с невыпуклыми замкнутыми значениями.

Выбор в качестве объекта исследования именно этой задачи был продиктован двумя причинами. Во-первых, практической значимостью уравнения Гурса-Дарбу, которое описывает, например, процессы хроматографии, сорбции и десорбции газов, процессы сушки и др.1,2 Во-вторых, новизной, связанной с одновременным рассмотрением распределенного и граничных управлений, подчиненных смешанным ограничениям.

Целью работы является изучение вопросов существования решений управляемой системы (1)-(3), анализ топологической структуры множества решений (компактность, плотность, граничность и др.), использование полученных результатов для исследования задачи минимизации интегрального функционала

J(z,u,u\u2) = / g(x,y,z{x,y),u{x,y))dxdy+ Jü

+ [ g1(x,yl(z)(x),ul(x))dx + f g2(y,r2(z)(y),u\y))dy. (4) Jh Jh

Тихонов A.H. Уравнения математической физики / A.H. Тихонов, A.A. Самарский. — M: Наука, 2004.

2Рачинский В.В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии / В.В. Рачин-ский. — М.: Наука, 1964.

на множестве решений системы (1)-(3). При этом предполагается, что подынтегральные функции невыпуклы по управлениям. Поскольку такая задача в рамках сделанных предположений, как правило, не имеет решения, возникает вопрос о построении такого расширения задачи оптимального управления, которое имеет решение.

Существует несколько подходов к понятию расширения задачи оптимального управления. В данной работе использовалось определение расширения, введенное А.Д. Иоффе и В.М. Тихомировым3.

Пусть V,W — метрические пространства; X — функционал, определенный на V; J — функционал, определенный на W. Задачу inf J{w)

w&V

называют расширением задачи inf T(v), если существует непрерывное

ve.V

отображение i: V —* W, при котором

(1) i{V) плотно в W;

(2) J(i(v)) ^ 1{у) для всех v eV\

(3) для любого w € W существует последовательность Vk € V такая, что lim i(vk) — vj и lim X{vk) = J{w).

к—+oo к—>oo

Вопросами существования решений, топологическими свойствами множеств решений, а также вопросами существования решений в задах оптимального управления системами Гурса-Дарбу занимались многие российские и зарубежные авторы, в том числе В.И. Плотников, В.И. Сумин, А.Н. Витюк, A.A. Толстоногов, С. Марано, А. Брессан, Дж. Теодору, Ф. Флорес, М.Б. Сурьянараяна, Д. Иджак, С. Валжак, М. Мажевский и др. В подавляющем большинстве работ рассматривалась система с распределенным управлением (при отсутствии граничных управлений) и с постоянным ограничением на управление, т.е. ограничением вида и € U.

Методы исследования. Исследования проводились с использованием методов теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории дифференциальных включений, многозначного анализа, теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями и теории неподвижных точек однозначных и многозначных отображений.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, имеют теоретический характер и получены автором

3Иоффе, А.Д. Расширение вариационных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров // Труды Московского математического общества. — 1968. — Т. 18. — С. 187-246.

самостоятельно.

Новой является сама постановка задачи, поскольку управляемые системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям, исследуются в данной работе впервые.

Для рассматриваемой управляемой системы при определенных предположениях доказаны теоремы существования решений, теорема плотности и бэнг-бэнг принцип. Доказана теорема существования решения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с невыпуклым по распределенному управлению функционалом. Подобные результаты были получены ранее только для некоторых частных случаев задачи

(1)"(3).

Теорема о граничности, необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений системы с невыпуклыми ограничениями на управления, а также аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для невыпуклой задачи оптимального управления системой Гурса-Дарбу ранее не рассматривались и получены впервые.

В целом в диссертационной работе была сделана попытка перенести основные результаты о структуре множеств решений управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, на систему Гурса-Дарбу. Отметим одну трудность, возникающую на этом пути. Важным условием, необходимым для доказательства таких топологических свойств множества решений, как плотность и граничность, является введенное нами условие единственности для систем со смешанными ограничениями. Для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, условие единственности имеет место, например, если правая часть системы липшицева по состоянию и управлению, а ограничение на управление липшицево по состоянию. В случае системы Гурса-Дарбу, как оказалось, липшицевости недостаточно, и удобного критерия единственности для задачи в общем виде, судя по всему, не существует. С этим связан тот факт, что наиболее тонкие результаты, такие, как теорема о граничности, получены лишь для тех частных случаев рассматриваемой системы, для которых подходящие критерии единственности были найдены.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации являются важным вкладом в качественную теорию управляемых систем с распределенными параметрами. Развитие подхо-

да, использованного в диссертации для распространения ряда известных результатов о структуре множеств решений управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, на системы Гурса-Дарбу, позволит в дальнейшем доказать аналогичные результаты для других классов управляемых систем с распределенными параметрами.

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании оптимизационных задач, возникающих при моделировании широкого класса реальных физических, химических и технологических процессов: хроматографии, сушки, сорбции и десорбции газов и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Конференция "Теория управления и математическое моделирование", посвященная 75-летию Удмуртского государственного университета (3-8 июля 2006 г., Ижевск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий" (14-15 декабря 2006 г., Иркутск).

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий" (ноябрь 2007 г., Иркутск).

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (17-22 июня 2008 г., Москва).

• Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (2330 июля, 2008 г., Иркутск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий" (декабрь 2008 г., Иркутск).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН и использовались при выполнении проекта РФФИ (№ 06-01-00247).

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата. В число указанных работ входят статьи [1-3] из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2008 г.". Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 78 наименований. Общий объем диссертации составляет 135 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем следующие обозначения: C(fi; X) — пространство непрерывных функций z: О, —> X; LP(Q; X) (1 < р < оо) — пространство функций и: Q X, интегрируемых по Лебегу со степенью р; £(Х;X) — пространство непрерывных линейных операторов (матриц) А: X —* X; со'Е — выпуклая оболочка компактного множества Е С X; ext со Е — совокупность всех крайних (экстремальных) точек множества со Е.

Предположения. Всюду в работе предполагаем, что а: Q х X —> С(Х;Х), г - 1,2, — ограниченные функции Каратеодори; /: (f2 х X) х Y —* X — функция Каратеодори, удовлетворяющая линейному условию роста по z и щ U: ü, х X —► Y, Щ: Ii х X -» X, i = 1,2, — ограниченные многозначные отображения с компактными значениями; щ: X, г = 1,2, — абсолютно непрерывные функции; С {Vi: X) —> C(h\X), i — 1,2, — непрерывные операторы. В ряде случаев будем предполагать, что и входит в / линейно, т.е.

f(x, у, z, и) = Сз(х, у, z)u + С4(х, у, z),

где с3: Q х X —► C(Y; X). С4: ü х X —> X — функции Каратеодори, удовлетворяющие линейному условию роста.

Скажем, что многозначное отображение U удовлетворяет верхним условиям Каратеодори4. если

(1) значения U — выпуклые компактные множества,

(2) U совместно измеримо,

(3) U(x,y, •) полунепрерывно сверху для п.в. (х,у) G П;

^Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. —М.: КомКнига, 2005.

нижним условиям Каратеодори, если

(1) значения U — компактные множества,

(2) U совместно измеримо,

(3) U(x, у, •) полунепрерывно снизу для п.в. (х, у) € ÎÎ; и условиям Каратеодори, если

(1) значения U — компактные множества,

(2) U(-,z) измеримо для всех z G X,

(3) U{x,y, ■) непрерывно по Хаусдорфу для п.в. (х,у) е il

Определение 1. Обобщенным решением системы (l)-(S) назовем такую четверку (z,u,ul,u2), z € и€ L^fijY), и1 € №{1\\Х),

и2 € 1/{12',Х), что для всех (х, у) имеет место равенство

х у

z(x, у) = <рг(х) + tp2{y) - <^(0) + у ul(s) ds + j u\t) dt +

о 0

x У

+ J J v(s,t)dsdt,

о 0

где

v{x,y) = c1(x,y,z(x,y))zx(x,y) + c2(x,y,z(x,y))zy{x,y) + +f{x,y,z{x,y),u(x,y))

и почти всюду выполняются включения (3).

Множество решений системы (1)-(3) обозначим через Si. Первая глава посвящена вопросам существования решений включений и управляемых систем типа Гурса-Дарбу. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть U, U\, U2 удовлетворяют верхним либо нижним условиям Каратеодори, при этом, если для U выполняются верхние условия Каратеодори, будем дополнительно предполагать, что множество f(x, у, z, U(х, у, z)) выпукло для п.в. (х, у) 6 О и всех z £ X. Тогда

Если U, U\, U'i удовлетворяют условиям Каратеодори и

f{x, у, z, и) = с3(х, у, z)u + с4(х, у, z),

то существует такое решение (z, и, и1, и2) Е что

и(х,у) £ extco U(x,y,z(x,y)), v}(x) € extco Ui(x, ~fi(z){x)), u2{y) <E extcoU2(y, f2{z){y)).

Во второй главе рассматривается управляемая система

Zxy = Ci(x, У, z)zx + С2(х, у, z)zy + С3(я, у, z)u + Ci(x, у, z), (5)

X У

z(®,0) = v>i(a;) + Jul{s)ds, z{0,y) = tp2{y) + Ju\t)dt (6) о 0

с ограничениями на управления трех типов: невыпуклые ограничения

u(x,y)eU(x,y,z(x,y)), и\х) € U^x, n(z)(x)), и2(у) е U2(y, %(z)(y)), 1 j

овыпукленные ограничения

u(x,y)ecoU(x,y,z(x,y)), ul(i) € coUiixrmix)), и\у) € соU2{y,y2{z)(y)), 1 >

экстремальные ограничения

и(х,у) €extcoU(x,y,z(x,y)), и\х) € extcoUi(x,Yi(z)(x)), и2(у) £ extcoU2{y, %{z){y)).

Множества решений системы (5)-(6) с ограничениями на управления (7), (8) и (9) обозначим соответственно через 7v. и Tvi-ext*

Всюду во второй главе предполагается, что многозначные отображения U, U\, U2 удовлетворяют условиям Каратеодори. Приведем основные результаты второй главы.

Теорема 2. Множество TZC0 компактно в пространстве

С(П; X) х w-ЩП; У) х w-D>(h; X) х X), (10)

где w-LP — пространство LP со слабой топологией.

Определение 2. Будем говорить, что управляемая система (5)-(7) обладает свойством единственности, если для любого решения (zt,u*,u\,u2) € Ясо существуют такие непрерывные отображения

и: С{П;Х) иC(If, X) -> X), ¿-1,2, (11)

что

(1) u(z)(x,y) Е coU(x,y, z(x, у)) п.в. наИ, u*(z)(xi) € coUi(xi,Yi(z)(xi)) п.в. на Ii, i = 1,2;

(2) u(zt) = ut, ul(zt) = u\, i = 1,2;

(3) (z, u{z), и1(г), u2(z)) E TZC0 => z = zt.

Для систем с постоянными ограничениями на управления свойство единственности означает, что каждой тройке допустимых управлений (ut,ul,uсоответствует единственное решение z» системы (5)-(6). Отметим также, что при сделанных предположениях непрерывные отображения вида (11), удовлетворяющие условиям (1) и (2) определения 2, всегда существуют.

Теорема 3. Если система (5)-(7) обладает свойством единственности, то

= Ъа = Ксо, где черта означает замыкание в пространстве (10).

В теории дифференциальных включений аналогичные теоремы обычно называют теоремами плотности. Для систем с постоянными ограничениями теорему 3 можно усилить и доказать так называемый бэнг-бэнг принцип.

Определение 3. Функция ф: £1 —> X называется кусочно-постоянной (или ступенчатой), если существуют конечные разбиения 0 = ао < di < ... < afc = а, 0 — bo < bi < ... < bk = Ь отрезков 1\ = [0, а] и I? = [0,6] такие, что на каждом из множеств Eij = (a{_i,ai) х {h-uh),

г = 1,... ,k, j = 1,... ,1 функция ф постоянна. В точках множества k I

n\UU функция ф может принимать произвольные значения. »=1.3=1

Теорема 4 (бэнг-бэнг принцип). Пусть каоюдой тройке управлений (и, и1, и2), и € и1 € L?{h\X), и2 € I/>(h;X), такой, что

и(х, у) е со U, иг(х) € со Ui, и2(у) € со U2,

соответствует единственное решение z системы (5)-(6). Тогда для любой точки (zt,ut,ul,u1) € 1Zcn существует последовательность (zk, ut, и\, и2) € TZCxt, сходящаяся к (zt, ut, u*, и2) в пространстве (10), и такая, что управления щ, и\, и\ кусочно-постоянны.

Во второй главе также показано, что системы вида

zxy = c2{x)zy + с3(х, у, z)u + C4(z, у, z), и(х,у) е U{x,y,z{x,y)), и\х) € Ui{x,f\{z)(x)), и2(у) € U2(y);

^ = ci(y)zx + с3(а;, у, z)u + а(х, у, z), и(х,у) € U(x,y,z(x,y)), и\х) € ВД, и\у) € U2{y,f2{z){y))-, Zxy = Cl{y)zx + c2{x)zy + c3{x, y, z)u + d{x, y, z), u(x,y) € U(x,y,z(x,y)), u^x) E Ui(x), u2(y) e U2(y)

(I)

(III)

с граничными условиями (6) обладают свойством единственности, если все функции и многозначные отображения, входящие в эти системы и зависящие от z, являются липшицевыми по z и, кроме того, существуют такие qi,q2 > О, что для любых zltz2 € C(Q; X)

\V\{zi)(x)-i\{z2)(x)\ ^ftsup|iri(x,y)-2;2(a;,?/)|, х € 1Ъ

y€h

№х)Ы - ЪЫ(у)\ < 92sup|^(x,y) - z2{x,y)I, у € I2■

xeh

Для системы (I) справедливы следующие теоремы.

Теорема 5 (о граничности). Если для каждого (z, и, и1, и2) Е 1Z имеет место хотя бы одно из неравенств

(%) цг{(х, у) e(l\U(x, у, z{x, у)) ф со U {х, у, z(x, t/))} > О, (ii) in{x е Iy | Ut(x, Щг)(х)) ф со Ui(x, Щя)(х))} > О, (in) цг{у е /2 | U2(y) ф coU2(y)} > О,

то _ _

7гсо \ 7Z- — "Т&со \ T^ext — 'Ко ■ Здесь Д] обозначает меру Лебега в Ш, ц2 — меру Лебега в R2.

Теорема 6. Множество И, является замкнутым в пространстве (10) тогда и только тогда, когда для каждого (г, и, и1, и2) Е 71 имеют место равенства

цг{(х,у) € П | и(х,у,г(х,у)) фсои(х,у,г(х,у))} = 0,

(И) е Ь | иг(х, ЩгХх)) ф саЩх, ТЭДф)} = О,

(т) 1и{у е 12 | и2{у) ф со и2{у)} = 0.

Теорема 6 дает необходимое и достаточное условие замкнутости множества % решений системы (I). Это условие обладает одним недостатком: равенства 0)-(ш) нужно проверять вдоль каждой "траектории" 2 системы. В следующей теореме мы избавляемся от этого недостатка. Для этого мы переходим от одной системы вида (I) к семейству систем вида (I), которое строится следующим образом.

Пусть 0 ^ а0 < а, 0 < Ь0 < Ь, ш0 = (а0,Ь0), = [а0,а], 1$ = [60,6], = 1*1 х 12] (р1-: —► X, г = 1,2, — абсолютно непрерывные функции, : С((Л{)\ X) —> С{1^\Х) — непрерывный оператор. Обозначим через 7?.(а;о, у3?* <Р2, множество решений системы (I) с граничными условиями

х у

г{х,а0) = <рЧ(х) + J и1(а)(1з, г(Ь0,у) = у\{у) + J и2^)<И

ао бе

и с ограничениями на управления, в которых отображение заменено на

Теорема 7. Множество 71(шо, (р®, замкнуто в пространстве

С{й0;Х) х и)-Ьр((10-,У) х ги-Ьр(1°-,Х) х и)-Ьр(1$;Х)

для любых и>о, <р1, <¿2, тогда и только тогда, когда для каждого г £ X имеют место равенства

(I) ц2{{х,у) е п I и(х,у,г) ф со 11(х,у,г)} = 0,

(и) [1\{х £ 1\ | и\{х,г) ф сои\(х,£)} = 0,

(Ш) т{у е 12 | и2(у) ф сои2(у)} = 0.

Аналогичные теоремы справедливы и для систем (II), (III).

В первом параграфе третьей главы рассматривается задача минимизации функционала (4) на множестве 3% решений системы (1)-(3):

и, и1, и2) —* тт, (г, и, и1, и2) € ¡Ш- (Р\)

Теорема 8. Пусть и, Пи и2 удовлетворяют верхним условиям Ка-ратеодори; д: Пх(Хх У) —» К, д,: 1{х(ХхХ) —> Е (г = 1,2) являются функциями Каратеодори, удовлетворяющими линейному условию роста; дг(х, г, •) выпукла для всех {х, г); д2(у, 2, •) выпукла для всех {у, г); множество

{(и1 V) I ИХ1У> г,и) = у, г)^ д{х, у, г, и) для некоторого и € II(х, у, г)} выпукло для каждого (х,у,г). Тогда задача {Р\) имеет решение.

Во втором параграфе рассмотрена задача минимизации функционала (4) на множестве % решений системы (5)-(7):

Цг, и, и1, и2) н^, (г, и, и1, и2) £ П. (Р2)

При этом мы считаем, что и, Щ, Ц2 удовлетворяют условиям Каратеодори; g-.il х (X х У) -> Ш, д{: ^ х (X х X) К (г = 1,2) являются функциями Каратеодори, удовлетворяющими линейному условию роста.

Отметим, что сделанных предположений недостаточно для того, чтобы гарантировать существование решения в задаче (Р2)- Поэтому было построено такое расширение этой задачи, которое имеет решение.

Положим

д(х,у,г,и), и £ 1Г(х,у,г), + оо, в противном случае,

01(г,2,и), иеи!{х,г), + оо, в противном случае,

д2(у,г,и), и € и2(у, г), + оо, в противном случае.

Пусть д** — биполяра функции и ди{х, у, г, и). Аналогично определим функции д" и <72*- Далее рассмотрим задачу минимизации функционала

+ / 9?{х,-П{г){х),и\х))вх + [ &{у,%{г){у),и2{у))<1у ■/Л Зн

на множестве решений Исп овыпукленной системы (5),(б),(8). В краткой форме эта задача записывается следующим образом:

1**{г,и,их,г^) —» тГ, (г,и,и1,и2) € 7£со. (Рз)

Определим многозначные отображения б: А х Х-> (У х К) и : х X —> {X х К), г = 1,2, по формулам

С{х,у,г) = {(и,А)<ЕУ хЕ|ие 11{х,у, г), А = д{х,у,г,и)},

г) = {(и, А) € X х К I V е г), А = д{{х1, г, и)}, г = 1,2.

Определение 4. Будем говорить, что задача (Р2) обладает свойством единственности, если для любого решения (г*, и*, и*, и») € 7£со существуют такие непрерывные отображения

и: С(П;Х) - £Р(П;У), и': Щ^Х),

А: А4: С(1?,Х) ^ ЩЬ;К), * = 1,2, 1 ]

что

(1) (и(г),\(г)){х,у) Е соС(х,у,г(х,у)) п.в. на (иг(г), А1(г;))(^) 6 соС^я;, п.в. на /¿,

¿ = 1,2;

^ (и(2»),А(г,))(а;,?/) = (и,(х,у),д**(х,у,г,(х,у),и*(х,у))) п.в. на П, = (иЦхг),д^(х(,УЦ2„)(х^,и1(хг))) п.в. на 1{,

г = 1,2;

(г, и(г), и1(г),и2(г)) €КС0 г = г*.

Необходимо отметить следующее:

• при сделанных предположениях непрерывные отображения вида (12), удовлетворяющие условиям (1) и (2) определения 3, всегда существуют;

• для задач оптимального управления системами с постоянными ограничениями свойство единственности выполняется, если любой тройке допустимых управлений (и,, и*, и2) соответствует единственное решение г» системы (5) (6);

• если подынтегральные функции д, д1, д2 липшицевы по 2 и и, а системы (I), (II), (III) удовлетворяют тем же условиям, что и в главе 2, то для задач оптимального управления системами (I), (II), (III) выполняется свойство единственности.

Для задачи (Рг) доказана теорема о расширении, которая является аналогом классической теоремы Боголюбова в вариационном исчислении при ограничениях, заданных решениями управляемой системы Гурса-Дарбу.

Теорема 9. Пусть задача (Рг) обладает свойством единственности. Тогда задача (Р3) является расширением задачи (Рг).

Следствием теоремы о расширении является теорема о релаксации.

Теорема 10. Пусть задача (Рг) обладает свойством единственности. Тогда

тт(Рз) = т {(Р2).

Более того, для любого решения {.г*, и2) задачи (Рз) найдется минимизирующая последовательность {(¿ь щ, и\, задачи (Рг) такая, что

({) (гк,щ,и1,и2к) в пространстве (10),

(И) 3{гк,ик,и1,и\) -> Г*{г„щ,и\,и1).

Обратно, если {(г/ь, ик,и\, и2)} — минимизирующая последовательность задачи (Р2); то существует подпоследовательность сходящаяся к некоторому решению (г*,и*,и\,и1)

задачи (Р3).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Доказаны теоремы о существовании решений управляемой системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным невыпуклым ограничениям.

2. Исследована топологическая структура множества решений системы Гурса-Дарбу, удовлетворяющей свойству единственности. Доказано, что множество решений системы с овыпукленными ограничениями компактно и содержит в качестве своих плотных подмножеств множества решений системы с невыпуклыми ограничениями.

Выделены классы систем, для которых множество решений невыпуклой задачи является не только плотным, но и граничным подмножеством овыпукленной задачи. Для этих классов найдены необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений. Для систем с постоянными ограничениями на управления доказан бэнг-бэнг принцип.

3. Доказан аналог теоремы Боголюбова для задачи минимизации интегрального функционала с нсвыпуклыми по управлению интегран-тами на решениях системы Гурса-Дарбу с невыпуклыми ограничениями на управления.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

По материалам диссертации опубликованы следующие работы.

1. Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, №8. - С. 1116-1126.

2. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, №5. — С. 1116-1133.

3. Погодаев Н.И. О решениях включения типа Гурса-Дарбу со смешанными ограничениями на граничные и распределенные управления / Н.И. Погодаев // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. - Т. 11, №1. - С. 96-110.

4. Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Известия института математики и информатики, выпуск 3 (37), с. 125-126, Ижевск, 2006.

5. Погодаев Н.И. Об одном классе управляемых систем типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (14-15 декабря 2006 г., Иркутск), с. 43.

6. Погодаев Н.И. Свойства экстремальных решений управляемой системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск), с. 250-251.

7. Погодаев Н.И. Релаксация в задаче оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпунов-ские чтения и презентация информационных технологий» (ноябрь 2007 г., Иркутск), с. 34.

8. Погодаев Н.И. Релаксация в управляемой системе типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (17-22 июня 2008 г., Москва), с. 387-388.

9. Погодаев Н.И. Расширение задачи оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (23-30 июня 2008 г., Иркутск), с. 51.

10. Погодаев Н.И. Существование решений в задаче оптимального управления для системы Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (декабрь 2008 г., Иркутск), с. 32.

Редакционно-издательский отдел Учреждения Российской академии наук Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134

Подписано к печати 7.05.2008 Формат бумаги 60x84 1/16, объем 1,2 п.л. Заказ 1. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Введение

1 Существование решений

1.1 Обозначения, определения и утверждения.

1.1.1 Множества и пространства.

1.1.2 Функциональные пространства.

1.1.3 Функции Каратеодори.

1.1.4 Интегральные функционалы.

1.1.5 Многозначные отображения.

1.1.6 Селекторы.

1.1.7 Многозначный оператор Немыцкого.

1.2 Дифференциальное включение.

1.2.1 Предположения.

1.2.2 Свойства операторов % и Ci.

1.2.3 Случай полунепрерывных сверху многозначных отображений

1.2.4 Построение множества К.

1.2.5 Случай полунепрерывных снизу многозначных отображений

1.2.6 Смешанный случай.

1.2.7 Существование экстремальных решений.

1.3 Управляемая система.

1.4 Комментарии.

2 Свойства решений

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Предположения.

2.2 Компактность.

2.3 Плотность.

2.4 Бэнг-бэнг принцип.

2.5 Примеры систем, обладающих свойством единственности

2.6 Граничность

2.7 Необходимые и достаточные условия компактности множества решений.

2.8 Примеры операторов ^.

2.9 Комментарии.

3 Задачи минимизации

3.1 Теорема существования.

3.1.1 Предположения.

3.1.2 Доказательство теоремы.

3.2 Теорема Боголюбова.

3.2.1 Предположения.

3.2.2 Формулировка и доказательство теоремы.

3.2.3 Расширение вариационных задач.

3.3 Релаксационная теорема.

3.4 Комментарии.

Актуальность работы

В связи с развитием современной науки, техники и технологии все чаще возникают задачи управления и оптимизации в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных. В теории управления такие системы называют системами с распределенными параметрами, а управления, зависящие от нескольких независимых переменных — распределенными управлениями.

Помимо распределенных управлений важным представляется рассматривать сосредоточенные управления, входящие в граничные условия дифференциальных уравнений (так называемые граничные управления). Меньшее число независимых переменных у управляющих функций делает такие управления особенно удобными для практической реализации.

Анализ работ, посвященных изучению систем с распределенными параметрами, показал, что в основном изучались системы с выпуклыми ограничениями на управления. Точно также в теории существования решений задач оптимального управления системами с распределенными параметрами рассматривались большей частью выпуклые задачи, т.е. задачи минимизации интегральных функционалов с выпуклыми по управлению ин-тегрантами на множествах решений распределенных систем с выпуклыми ограничениями на управление.

Таким образом, в настоящее время в теории управляемых систем с распределенными параметрами представляется важным

• исследовать задачи не только с распределенным, но и с граничными управлениями;

• исследовать системы с невыпуклыми ограничениями на управления и невыиуклые задачи оптимального управления.

Общепризнанно, что исследование управляемых систем с распределенными параметрами является значительно более сложной задачей по сравнению с аналогичной проблемой для обыкновенных дифференциальные уравнений. Причины этого заключаются, в частности, в разнообразии классов уравнений и систем с частными производными, типов начально-краевых условий, в необходимости перехода к обобщенным решениям уравнений и систем и т.д. В силу этого наибольшее число работ в теории управляемых систем с распределенными параметрами направлено на изучение конкретных классов управляемых систем, а также на поиск общих приемов и методов анализа таких задач.

В данной работе мы будем исследовать управляемую систему Дарбу, заданную на прямоугольнике П = [0, а] х [0,6], а,Ь > 0, zxy = Ci{x,y,z)zx + c2{x:y,z)zy + f(x,y,z,u) (1) с граничными условиями на характеристиках (условиями Гурса) х у z(x, 0) = Ог) + J u\t) dt, z(0, у) = <р2(у) + J u2(s) ds. (2) о о

Здесь и является распределенным, а и1 и и2 — граничными управлениями. В связи с важностью исследования невыпуклых задач, мы будем предполагать, что управления подчинены невыпуклым смешанным ограничениям, т.е. ограничениям, зависящим от текущего состояния системы z: и{х,у) 6 U{x,y,z{x,y)), и\х) 6 U^x^iz)^)), и2(у) е СЪСу.адМ), где i — 1,2, — непрерывные операторы, действующие из пространства непрерывных функций двух переменных в пространство непрерывных функций одной переменной, a U, С/г-, г = 1,2, — многозначные отображения с невыпуклыми замкнутыми значениями.

Выбор именно этой задачи был продиктован двумя причинами. Во-первых, практической значимостью системы Гурса-Дарбу, которая описывает, например, процессы хроматографии, сорбции и десорбции газов, процессы сушки и др. [58, 65, 68, 69]. Во-вторых, новизной, связанной с одновременным рассмотрением распределенного и граничных управлений, подчиненных смешанным ограничениям.

Для указанной задачи мы изучим топологические свойства множества решений (под решением понимается четверка (г, и, и1, и2)) управляемой системы, такие как компактность, плотность, граничность и др. Следует отметить, что знание этих свойств необходимо не только в теории оптимального управления, но и в других разделах теории управляемых систем, например, в теории выживаемости. Установленные свойства мы используем для изучения задачи минимизации интегрального функционала на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу. При этом мы будем предполагать, что подынтегральные функции невыиуклы по управлениям. Поскольку такая задача, вообще говоря, не имеет решения, возникает вопрос о построении такого расширения [55] задачи оптимального управления, которое решение имеет.

Обзор литературы

Существует несколько эквивалентных подходов к определению обобщенного решения системы Гурса-Дарбу. Мы будем использовать подход, основанный на понятии абсолютно непрерывной функции многих переменных.

Пусть на Q = [0, а] х [0,6] задана непрерывная функция /. Любой такой функции можно поставить в соответствие некоторую аддитивную функцию промежутков, содержащихся в О. А именно, если h j = [xi,x2] х [уиу2], х2>хи у2 > У1 то положим p(j) = f(x2, Уг) - f(xi,y2) - f(x2, г/1) + /(Ж1, yi). 6

Функцию промежутков <р называют абсолютно непрерывной, если для любого е > 0 существует такое S > 0, что неравенство выполняется для любой конечной системы попарно не налегающих замкнутых промежутков , содержащихся в Q , сумма площадей которых не превосходит S. Напомним, что замкнутые промежутки называются не налегающими, если они не имеют общих внутренних точек.

Функцию / называют абсолютно непрерывной функцией двух переменных, если соответствующая ей функция промежутков ср абсолютно непрерывна и, если, кроме того, функции /(О, •) и /(-,0) — абсолютно непрерывны на [0,6] и [0, а] соответственно.

Известно [66], что любую абсолютно непрерывную функцию / двух переменных можно представить в виде х у х у у) = /(0,0)+ J g1(s) ds + J g2(t) dt + J J g(s,t)dsdt, (x,y)eSl,

0 0 0 0 где g, g1, g2 — некоторые интегрируемые функции. Исходя из этого интегрального представления, получим выражения для частных производных ее] df(x>v)=9\X) + j д(х, t) dt, д-Ы = Ау) + JbM ds dx о о и для смешанной производной второго порядка d2f{x,y) = дхду '

Некоторые авторы [23, 36, 38, 47] используют другие определения производных, которые для абсолютно непрерывных функций приводят к тем же самым выражениям.

Пространство абсолютно непрерывных функций двух переменных обычно обозначают символом АС {О) и определяют на нем норму ас(П) = max|/| + / \dxf\dxdy+ / \dyf\dxdy+ / \d2xyf\dxdy. " Jn Jo, Jci

В большинстве работ, посвященных системе Гурса-Дарбу, предполагают, что обобщенные решения принадлежат пространству AC(fl). Взаимосвязь между пространством AC(Q) и соболевским пространством для задачи Гурса-Дарбу изучена в [38].

Перечислим теперь известные результаты, касающиеся свойств управляемых систем, а также тесно связанных с ними включений Гурса-Дарбу. К настоящему времени лучше всего исследовано включение zxy е F(x, у, z) (3) с граничными условиями z(x, 0) = <pi(x), z(0, у) = <р2(у), а также: связанные с ним включения

5)

6)

Здесь F — многозначное отображение, значениями которого являются замкнутые подмножества некоторого банахова пространства, со Е — замкнутая выпуклая оболочка множества Е, ext со Е — совокупность всех крайних точек множества со Е.

При определенных предположениях о многозначном отображении F для этих включений доказано существование как обобщенных [6, 9, 24, 25, 60, 39, 44, и др.] так и классических [30, 40] решений, а также доказана теорема о непрерывной зависимости от начальных условий и от параметра [28, 35, 41]. Известно, кроме того, что множество обобщенных решений включения (5) является компактным в пространстве непрерывных функций. Показано [30, 42], что множества как обобщенных так и классических решений являются ретрактами в подходящих функциональных пространствах. Установлена взаимосвязь между множествами решений включений (3), (5) и (6). А именно: показано [45], что множества обобщенных решений включений (3) и (6) одновременно плотны и граничны в множестве обобщенных решений включения (5).

4) zxy G со F(x,y,z), zxy е ext со F(x, у, z).

Для дифференциального включения общего вида

Zxy € F{pC, У1 -Z, Zx, Zy) с граничными условиями (4), результатов значительно меньше: получены лишь теоремы существования классических и обобщенных решений [40, 50, 51, 32, 48, и др.], а также теорема о непрерывной зависимости от параметра [28, 42].

Что касается управляемых систем, здесь также много результатов относящихся к существованию решений и их непрерывной зависимости от параметра [33, 5, 20, 26, 61], и лишь несколько работ, посвященных изучению топологических свойств множеств решений. Это прежде всего статья [37], в которой рассматривалась система

Zxy = cq{x, y)z + С!(ж, y)zx + с2(х, y)zy + с3(х, у)и (7) с граничными условиями (4) и ограничением на управление ueU, (8) где U — компактное множество. Для этой системы получены теоремы существования и единственности (т.е. показано, что каждому допустимому управлению соответствует ровно одна траектория), а также доказан так называемый бэнг-бэнг принцип. Данный результат можно сформулировать следующим образом. Для любого решения (z,u) системы (7), (4), (8) найдется другое решение (z, й) такое, что управление й кусочно-постоянно, й(х, у) G ext U, п.в. на Г2. и z(a, b) = z(a, b).

Позднее, в работах [16, 21], Д. Иджак доказал аналогичные теоремы для системы (7) с управляемыми граничными условиями (2), а также для системы zxy = /О, У, z) + д(х, у, z)u с граничными условиями (4). Отметим, что бэнг-бэнг принцип в приведенной выше формулировке не имеет места для последней системы. Для нелинейных систем свойство бэнг-бэнг формулируют следующим образом: любую допустимую траекторию системы можно равномерно аппроксимировать траекториями, которые соответствуют кусочно-постоянным управлениям со значениями из множества ext U.

Среди перечисленных топологических свойств множеств решений особое место занимает теорема о плотности множества решений системы с невыпуклым ограничением на управление в множестве решений системы с овыпукленным ограничением. Именно для систем, обладающих этим свойством, можно построить расширение задачи оптимального управления. К доказательству теоремы плотности существует два подхода. Один основан на теореме А.А. Ляпунова о выпуклости и замкнутости множества значений неатомической меры в конечномерном пространстве. В другой форме эта теорема утверждает, что интеграл от измеримого многозначного отображения с невыпуклыми замкнутыми значениями и интеграл от овыпук-ленного многозначного отображения совпадают. Второй подход основан на теореме Бэра о категориях. В этом случае показывают, что множество решений включения (6) является счетным пересечением открытых и плотных подмножеств множества решений овыпуклеиого включения (5) и, следовательно, но теореме Бэра само является плотным. Мы в наших доказательствах будем использовать теоремы о непрерывных селекторах многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями [44, 45]. Доказательства этих теорем основаны на теореме Бэра. Однако применять теоремы о непрерывных селекторах для исследования топологических свойств множеств решений управляемых систем намного удобней, чем напрямую теорему Бэра.

Отметим, что система Гурса-Дарбу рассматривалась не только на прямоугольнике Q, но и на неограниченных множествах [4, 36]. Выделим также работы [8, 15], в которых изучалась система Гурса-Дарбу с импульсным управлением. Возмущенная управляемая система (дифференциальная игра) изучалась в работе [22].

Большое число статей посвящено вопросам существования решений в задаче оптимального управления распределенной системой Гурса-Дарбу [14, 18, 17, 27, 46, 52, 53, и др.]. Отметим одну общую особенность этих работ: все задачи, рассматриваемые в них, выпуклые (выпуклые ограничения на управления и выпуклые по управлению интегранты).

Невыпуклые задачи изучались ранее лишь для систем вида

Zxi, = со (ж, y)z + ci(z, y)zx + с2(х, y)zy + f(x, у, и). (9)

В работе [37] рассматривалась проблема Майера (т.е. J(z, и) = ф(г(а, b)), где ф — непрерывная функция) для этой системы с невыпуклым ограничением на управление. В статье [71] для системы (9) с граничными условиями (2), невыпуклыми ограничениями на управления и ограничениями

Vi(z) ^ Ь{, Wj(zx, zy, и, и\ к2) ^dj, (г = 1,., к, j = 1,., /) изучалась задача минимизации интегрального функционала вида

91 (х, у, z(x, у)) + д2(х, у, и(х, у)) dx dy+ + / gz{x1ul{x))dx+ / g4(y,u2(y))dy.

Jh Jh

При этом предполагалось, что функции z i—> g\(x,y,z), V{ и Wj являются вогнутыми. Отметим также работы [7, 12], в которых исследовались невыпуклые задачи минимизации интегральных функционалов специального вида на множествах решений управляемых систем ху ~ У") %ху = Vt для которых граничные условия заданы на всех четырех сторонах прямоугольника ft. Во всех этих работах для доказательства существования решений был использован подход, основанный на теореме Ляпунова для интеграла от многозначного отображения.

Как видно, существование решений доказывалось лишь для невыпуклых задач оптимального управления специального вида. Дело в том, что в невыпуклых задачах решение, как правило, не существует. В связи с этим возникает вопрос о поиске подходящего расширения невыпуклой задачи, которым для систем Гурса-Дарбу, по-видимому, никто не занимался.

Существует несколько подходов к понятию расширения вариационной задачи. Мы будем пользоваться определением, введенным А.Д. Иоффе и В.М. Тихомировым в работе [55].

JQ

Пусть на некотором метрическом пространстве V определен функционал X. Пару (V,X) называют вариационной парой, а задачу infZ(?;) ваvev риационной задачей.

Вариационную задачу inf J{vS) называют расширением вариационной w£W задачи inf X(v), если существует непрерывное отображение г: V —» W, vGV при котором

1) i(V) плотно в W;

2) J(i(v)) < X(v) для всех v <Е V;

3) для любого w € W существует последовательность vn G V такая, что lim i(vn) = w и lim X(vn) = J{w).

71—t-OO n—> oo

Первым исследованием, относящимся к расширению вариационных задач, была работа Н.Н. Боголюбова [3], в которой в нашей терминологии доказана следующая теорема. Пусть

У = МО е С1^, fi] | v(to) = v0, vfa) = VJ, h J g(t,v(t),v(t))dt, to где C^o^i] — пространство непрерывно дифференцируемых функций v: —> Rn, д: х Mn х Rn —> R — непрерывное отображение.

Расширением задачи inf X{v) будет задача inf J{w), в которой v£V w€W

W = (w(-) e AC°°[t0} t,} I w(t0) = v0, w(h) = h

J(w) = J g**(t, w(t), w{t)) dt, to где AC°°[to,ti] — пространство абсолютно непрерывных функций w: [^Oj^i] —> Rn с измеримыми существенно ограниченными производными, д** — биполяра отображения £ н-»■ g(t,v,£).

Позднее С.И. Суслов [67] построил расширение задачи inf X(v), в котоvev рой V являлось множеством решений включения v е F(t,v), v(t0) = v0, vfa) = vu где F: [io^i] x Rn —> Rn — непрерывное no Хаусдорфу многозначное отображение, значениями которого являются строго выпуклые компактные подмножества Rn с непустой внутренностью. В работе [11] требование выпуклости было снято. Расширение было также построено для задачи минимизации интегрального функционала на множестве решений эволюционной управляемой системы [72, 43].

Цель работы

Целью работы является изучение топологических свойств множеств решений управляемой системы, описываемой уравнением Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям. Использование этих свойств для изучения вопроса существования решения в невыпуклой задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу. Построение такого расширения невыпуклой задачи оптимального управления, которое имеет решение.

Структура и объем работы

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена вопросам существования решений включений и управляемых систем типа Гурса-Дарбу. В первом параграфе вводятся необходимые обозначения, определения, а также приводятся теоремы многозначного анализа, которые используются затем в работе. Во втором параграфе изучаются вопросы существования решений включения Гурса-Дарбу для случая полунепрерывных сверху, полунепрерывных снизу, а также непрерывных по Хаусдорфу многозначных отображений. В третьем параграфе доказываются теоремы существования для управляемой системы Гурса-Дарбу.

Во второй главе изучаются топологические свойства множеств решений управляемой системы Гурса-Дарбу. В первом параграфе приводится постановка задачи, а также условия, накладываемые на функции и многозначные отображения, входящие в управляемую систему. Во втором параграфе доказана теорема о компактности множества решений системы с выпуклыми ограничениями в некотором функциональном пространстве. В третьем параграфе вводится понятие свойства единственности для системы со смешанными ограничениями на управления, которое является обобщением свойства единственности (каждому допустимому управлению соответствует единственная траектория) для системы с постоянными ограничениями. Для систем, обладающих свойством единственности доказана теорема плотности. В третьем параграфе доказан бэнг-бэнг принцип для систем с постоянными ограничениями. В четвертом параграфе приведены нетривиальные примеры управляемых систем, обладающих свойством единственности. В следующих двух параграфах для этих систем доказаны теоремы о граничности, а также получены необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений таких систем с невыпуклыми ограничениями на управления.

В третьей главе рассматривается задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу. В первом параграфе приводятся условия, при которых задача минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению интегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу имеет решение. Во втором параграфе доказан аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для системы Гурса-Дарбу. В третьем параграфе доказана теорема о релаксации.

Библиография включает в себя только работы, имеющие непосредственное отношение к диссертации. Поэтому ее нельзя считать исчерпывающей.

Методы исследования

Исследования проводились с использованием методов теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории дифференциальных включений, многозначного анализа, теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями и теории неподвижных точек однозначных и многозначных отображений.

Научная новизна

Все результаты, представленные в диссертации являются новыми, имеют теоретический характер и получены автором самостоятельно.

Новой является сама постановка задачи, поскольку управляемые системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям, рассматриваются впервые.

Для рассматриваемой управляемой системы доказаны теоремы существования решений, теоремы плотности, граничности и бэнг-бэнг принцип. Доказана теорема существования решения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с невыпуклым по распределенному управлению функционалом. Подобные результаты были получены ранее только для некоторых частных случаев нашей задачи.

Необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений системы с невыпуклыми ограничениями на управления, а также аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для невыпуклой задачи оптимального управления ранее не рассматривались для систем Гурса-Дарбу и доказаны впервые.

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты данной работы являются важным вкладом в качественную теорию управляемых систем с распределенными параметрами и могут быть использованы при исследовании и оптимизации широкого класса реальных физических, химических и технологических процессов, описываемых управляемой системой Гурса-Дарбу.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Теоремы о существовании решений управляемой системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям. Теорема о компактности множества решений системы Гурса-Дарбу с выпуклыми ограничениями на управления.

2. Теорема о плотности множества решений системы Гурса-Дарбу с невыпуклыми ограничениями на управления в множестве решений системы с овыпукленными ограничениями. Теорема о бэнг-бэнг принципе для системы Гурса-Дарбу с постоянными ограничениями.

3. Теоремы о граничности, а также необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений системы с невыпуклыми ограничениями, доказанные для частных случаев рассматриваемой нами задачи.

4. Теорема о существовании решения в задаче минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению ин-тегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Теорема о расширении невыпуклой задачи оптимального управление системой Гурса-Дарбу. Теорема о существовании решения в расширенной задаче оптимального управления.

В целом в диссертационной работе методы теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями используются для изучения качественных свойств множеств решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Основываясь па полученных свойствах, мы строим расширение невыпуклой задачи оптимального управления и доказываем существование решения в расширенной задаче.

Апробация работы

Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

• Научная конференция "Теория управления pi математическое моделирование", посвященная 75-летию Удмуртского государственного университета (3-8 июля 2006 г., Ижевск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технолога" (14-15 декабря 2006 г., Иркутск).

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологи" (ноябрь 2007 г., Иркутск).

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина (17-22 июня 2008 г., Москва).

• Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (23-30 июля, 2008, Иркутск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологи" (декабрь 2008 г., Иркутск).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН.

Публикации

По материалам диссертации опубликованы следующие работы.

1. Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, №8. - С. 1116-1126.

2. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, №5. — С. 1116-1133.

3. Погодаев Н.И. О решениях включения типа Гурса-Дарбу со смешанными ограничениями на граничные и распределенные управления / Н.И. Погодаев // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. - Т. 11, №1. - С. 96-110.

4. Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Известия института математики и информатики, выпуск 3 (37), с. 125-126, Ижевск, 2006.

5. Погодаев Н.И. Об одном классе управляемых систем типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (14-15 декабря 2006 г., Иркутск), с. 43.

6. Погодаев Н.И. Свойства экстремальных решений управляемой системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск), с. 250-251.

7. Погодаев Н.И. Релаксация в задаче оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (ноябрь 2007 г., Иркутск), с. 34.

8. Погодаев Н.И. Релаксация в управляемой системе типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (17-22 июня 2008 г., Москва), с. 387-388.

9. Погодаев Н.И. Расширение задачи оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (23-30 июня 2008 г., Иркутск), с. 51

10. Погодаев Н.И. Существование решений в задаче оптимального управления для системы Гурса-Дарбу // Материалы конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (декабрь 2008 г., Иркутск), с. 32.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. Доказаны теоремы о существовании решений управляемой системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям, представляющими собой многозначные отображения. Показано, что множество решений системы Гурса-Дарбу с выпуклыми ограничениями на управления является компактным подмножеством некоторого топологического пространства.

2. Для системы со смешанными ограничениями на управление введено понятие свойства единственности, которое является обобщением свойства единственности (каждому допустимому управлению соответствует единственная траектория) для систем с постоянными ограничениями. Доказана теорема о плотности множества решений управляемой системы Гурса-Дарбу с невыпуклыми ограничениями на распределенное и граничные управления в множестве решений системы с овыпук-ленными ограничениями. Для системы Гурса-Дарбу с постоянными ограничениями установлен бэнг-бэнг принцип.

3. Для частных случаев рассматриваемой системы доказаны теоремы о граничности, а также получены необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений систем с невыпуклыми ограничениями.

4. Найдены условия, при которых существует решение в задаче минимизации интегрального функционала с невыпуклым по распределенному управлению интегрантом на множестве решений управляемой системы Гурса-Дарбу. Построено расширение для невыпуклой задачи оптимального управление системой Гурса-Дарбу. Показано, что расширенная задача имеет решение.

1. Aubin, J.-P. Differential 1.clusions / J.-P. Aubin, A. Celina. — Springer-Verlag, 1984.

2. Balder, E. Necessary and sufficient conditions for L\ -strong-weak lower semicontinuity of integral functionals / E. Balder // Nonlinear Analysis. Theoty, Methods, and Applications. — 1987. — Vol. 11, no. 12. — Pp. 13991404.

3. Bogolyubov, N. Sur quelques method nouvelles dans le calculus des variations / N. Bogolyubov // Ann. Math. Рига Appl, ser. Jh — 1930.— Vol. 7.-Pp. 249-271.

4. Bogusz, D. Helly's princile and its application to an infinite-horizon optimal control problem / D. Bogusz //J. Optim. Theory Appl. — 2007. — Vol. 134. Pp. 371-383.

5. Borzymjwski, A. Goursat-type problems containing the normal derivatives of the unknown functions / A. Borzymjwski, M. Shaieb // Demonstrato Mathematica. 1997. — Vol. XXX, no. 4. - Pp. 869-882.

6. Bressan, A. On a non-convex hyperbolic differential inclusion / A. Bressan, F. Flores // Ref. S.I.S.S.A. 1992. - Vol. 77.-Pp. 1-17.

7. Bressan, A. Multivariable auman integrals and controlled wave equations / A. Bressan, F. Flores // J. of Math. Anal, and Appl. — 1995. — Vol. 189. — Pp. 315-334.

8. Chang, Y. -K. On impulsive hyperbolic differential inclusions with nonlocal initial conditions / Y.-K. Chang, J. Nieto, W.-S. Li // J. Optim. Theory Appl. 2009. - Vol. 140. - Pp. 431-442.

9. Dawidowski, M. On bounded solutuions of hyperbolic differential inclusion in Banach spaces / M. Dawidowski, I. Kubiaczyk // Demonstrate Mathematica. 1992. - Vol. XXV, no. 1-2. — Pp. 153-159.

10. De Blast, F. On the structure of the set of solutions of the Darboux problem for hyperbolic equations / F. De Blasi, J. Myjak // Proc. of the Edinburgh Math. Society. 1986. - Vol. 29. - Pp. 7-14.

11. De Blasi, F. A Bogolyubov-type theorem with nonconvex constraints in Banach spaces / F. De Blasi, G. Pianigiani, A. Tolstonogov // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2004. — Vol. 43, no. 2. — Pp. 466476.

12. Flores-Bazan, F. Nonconvex variational problems related to a hyperbolic equation / F. Flores-Bazan, S. Perrotta // SIAM J. Control Optom. — 1999. Vol. 37, no. 6. - Pp. 1751-1766.

13. Himmelberg, C. Measurable relations / C. Himmelberg // Fund. Math. — 1975. Vol. 87, no. 1. - Pp. 53-71.

14. Idczak, D. Nonlinear Goursat-Darboux problem and its optimization / D. Idczak // Nonlinear Vibration Problems. — 1993. — Vol. 25. — Pp. 143157.

15. Idczak, D. Distributional derivatives of functions of two variables of finit variation and their application to an impulsive hyperbolic equation / D. Idczak // Czechoslovak Math. J. 1998. - Vol. 48, no. 123. — Pp. 145171.

16. Idczak, D. Bang-bang principle for linear and non-linear Goursat-Darboux problems / D. Idczak // Int. J. Control— 2003,— Vol. 76, no. 11.— Pp. 1089-1094.

17. Idczak, D. Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat-Darboux problem / D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. — 2003. Vol. 13, no. 1. -Pp. 29-44.

18. Idczak, D. On Helly's theorem for functions of several variables and its applications to variational problems / D. Idczak, S. Walczak // Optimization. 1994. — Vol. 30. — Pp. 331-343.

19. Idczak, D. On the existence of the Caratheodory solutions for some boundary value problems / D. Idczak, S. Walczak // Rocky Mountain J. of Math. 1994.-Vol. 24, no. l.-Pp. 115-127.

20. Idczak, D. On the existence of a solution for some distributed control hyperbolic system / D. Idczak, S. Walczak // Int. J. Math. & Math. Sci. — 2000.-Vol. 23, no. 5.—Pp. 297-311.

21. Idczak, D. On some properties of Goursat-Darboux systems with distributed and boundary controls / D. Idczak, S. Walczak // Int. J. Control. 2004. - Vol. 77, no. 9. - Pp. 837-846.

22. Jank, G. Desturbance attenuation in hyperbolic 2d-systems / G. Jank // Multidim. Syst. Sign. Process. — 2006. — Vol. 17. — Pp. 257-270.

23. Kisynski, J. Solutions generalees du probleme de Cauchy-Darboux pour l'equation d2z/dxdy — f(x, y, z: dz/dx, dz/dy) / J. Kisynski // Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska. — I960.— Vol. XIV, no. 6.— Pp. 87-109.

24. Kubiaczyk, I. Existence theorem for hyperbolic equation in Banach spaces / I. Kubiaczyk // Functiones et Approximatio.— 1988.— Vol. XVI.— Pp. 207-215.

25. Kubiaczyk, I. Existence theorem for multivalued hyperbolic equation in Banach spaces / I. Kubiaczyk // Functiones et Approximatio. — 1988. — Vol. XVI. — Pp. 217-223.

26. Kubiaczyk, I. On the existence of weak solutions of the Darboux problem for the hyperbolic partial differential equations in Banach spaces / I. Kubiaczyk, N. Mustafa Ali // Fasciculi Mathematici. — 1998. — no. 28. — Pp. 93-99.

27. Majewski, M. On the existence of optimal solutions to an optimal control problem / M. Majewski // J. of Optimization Theory and Appl. — 2006. — Vol. 128, no. 3.- Pp. 635-651.

28. Marano, S. Generalized solutions of partial differential inclusions depending on a parameter / S. Marano // Rend. Accad. Naz. Sci. XL, Mem. Mat. 1989. - Vol. XIII, no. 18. - Pp. 281-295.

29. Marano, S. Controllability of partial differential inclusions depending on a parameter and distributed parameter control processes / S. Marano // Le Matematiche. 1990. — Vol. XLV, no. II. — Pp. 283-300.

30. Marano, S. Classical solutions of partial differential inclusions in Banach spaces / S. Marano // Applicable Analysis. — 1991.— Vol. 42,— Pp. 127143.

31. Plis, A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field / A. Plis // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. — 1963.— Vol. 11, no. 6,— Pp. 369370.

32. Rzepecki, B. The Darboux problem for hyperbolic partial differential equation in Banach spaces / B. Rzepecki // Descussiones Mathematicae. — 1988. Vol. IX. - Pp. 175-180.

33. Sosulski, W. Continuous dependence of a solution set for generalized differential equations of the hyperbolic type / W. Sosulski // Discussiones Mathematicae. 1983. - Vol. VI. - Pp. 149-152.

34. Sosulski, W. On neutral partial functional-differential inclusion of hyperbolic type / W. Sosulski // Demonstratio Mathematica. — 1990.— Vol. XXIII, no. 4. Pp. 893-909.

35. Staicu, V. On a non-convex hyperbolic differential inclusion / V. Staicu // Proc. of the Edinburgh Math. Soc. 1992. - Vol. 35. - Pp. 375-382.

36. Sturiale, G. Un problema di Darboux in un insieme non limitato. Esistcnza, unicita e dipendenza continua della solutione / G. Sturiale // Le Matematiche. — 1998. Vol. bill, no. II. - Pp. 359-373.

37. Suryanarayana, M. Existence theorems for optimization problems concerning linear, hypcrbolic partial differetial equations without convexity conditions / M. Suryanarayana // Rocky Mountain J. of Math. — 1976.— Vol. 19, no. l.-Pp. 47-61.

38. Suryanarayana, M. A Sobolev space and a Darboux problem / M. Suryanarayana // Pacific J. of Math.— 1977,— Vol. 69, no. 2.— Pp. 535-550.

39. Teodoru, G. The Goursat problem associated with a lipschitzian hiperbolic multivalued equation / G. Teodoru // Mathematica — Revue d'Analyse Numerique Et de Theorie de VApproximation.— 1990.— Vol. 32(55), no. l.-Pp. 81-87.

40. Teodoru, G. Classical solutions of the Darboux problem for partial functional-differential inclusions in Banach space / G. Teodoru // Studia Univ. Babes-Bloyai, Mathematica. — 1994. — Vol. XXXIX, no. 2. — Pp. 5168.

41. Teodoru, G. Continuous dependence of parameter of the solutions for differential hyperbolic inclusions / G. Teodoru, V. Dragan // Mem. Sec. Sti. Acad. Rom. Ser. IV. 1998. - Vol. 19. - Pp. 99-107.

42. Tolstonogov, A. Continuous selectors of fixed point set of multifunctions with decomposable values / A. Tolstonogov // Set- Valued Analysis. — 1998. Vol. 6. - Pp. 129-147.

43. Tolstonogov, A. Relaxation in nonconvex optimal control problems with subdifferential operators / A. Tolstonogov // Journal of Mathematical Sciences. — 2007. Vol. 140, no. 6. - Pp. 850-872.

44. Tolstonogov, A. Lp-continuous extreme selectors of multifunctions with decomposable values: existence theorems / A. Tolstonogov, D. Tolstonogov 11 Set-Valued Analysis. — 1996. Vol. 4, no. 2. - Pp. 173203.

45. Tolstonogov, A. Lp-continuous extreme selectors of multifunctions with decomposable values: relaxation theorems / A. Tolstonogov,

46. D. Tolstonogov // Set-Valued Analysis. — 1996. — Vol. 4, no. 3. — Pp. 237269.

47. Tuan, H. On solution sets of nonconvex Darboux problems and applications to optimal control with endpoint constraints / H. Tuan // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1996.- Vol. 37, no. 3. —Pp. 354-391.

48. Walczak, S. Absolutely continuous functions of several variables and their application to differential equations / S. Walczak // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Math. — 1987, —Vol. 35, no. 11-12, —Pp. 733-744.

49. Wojtowicz, D. On the implicit Darboux problem in Banach spaces / D. Wojtowicz // Bull. Austral. Math. Soc. 1997, — Vol. 56.— Pp. 149156.

50. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Борисович, Б. Гельман, А. Мышкис, В. Обуховский. — М.: КомКнига, 2005.

51. Витюк, А. О существовании решений одного класса многозначных дифференциальных уравнений с частными производными / А. Витюк // Укр. мат. журп. — 1990. — Т. 42, № 11. — С. 1454-1460.

52. Витюк, А. О решениях гиперболических дифференциальных включений с невыпуклой правой частью / А. Витюк // Укр. мат. журн. — 1995. Т. 47, № 4. - С. 531-534.

53. Данилова, О. Существования оптимального управления в задаче Гурса: нетрадиционный критерий / О. Данилова, А. Матвеев // Деп. в ВИНИТИ. 1996. - № 224-В96.

54. Данилова, О. Нетрадиционные условия существования оптимального управления для системы Гурса-Дарбу / О. Данилова, А. Матвеев // Изв. РАН Сер. матем. — 1998. Т. 65, № 5. - С. 79-102.

55. Данфорд, Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Д. Шварц.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

56. Иоффе, А. Расширение вариационных задач / А. Иоффе, В. Тихомиров // Труды Московского математического общества. — 1968. — Т. 18.-С. 187-246.

57. Иоффе, А. Теория экстремальных задач / А. Иоффе, В. Тихомиров. — М.: Наука, 1974.

58. Кутателадзе, С. Основы функционального анализа / С. Кутателад-зе.— Новосибирск: Издательство института математики, 2006.

59. Лыков, А. Явление переноса в капиллярно-пористых телах / А. Лыков. -М.: ГИТТЛ, 1954.

60. Обен, Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ / Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд, — М.: Мир, 1988.

61. Плотников, В. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы / В. Плотников, А. Плотников, А. Витюк. — Одесса: АстроПринт, 1999.

62. Плотников, В. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу / В. Плотников, В. Сумин // Дифференциальные уравнения,— 1972. Т. VIII, 5. - С. 845-856.

63. Погодаев, Н. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н. Погодаев // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43, № 8. - С. 1116-1126.

64. Погодаев, П. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н. Погодаев // Сибирский математический журнал.— 2007. — Т. 48, № 5, — С. 1116-1133.

65. Погодаев, П. О решениях включения типа Гурса-Дарбу со смешанными ограничениями на граничные и распределенные управления / Н. Погодаев // Сибирский журнал индустриалыюй математики. — 2008. — Т. И, № 1. — С. 96-110.

66. Рачинский, В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хромо-тографии / В. Рачинский. — М.: Наука, 1964.

67. Смирнов, В. Курс высшей математики / В. Смирнов.— М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. —

68. Суслов, С. Теорема Боголюбова с ограничением в виде дифференциального включения / С. Суслов // Сибирский Математический Журнал. 1994. - Т. 35, № 4. - С. 902-914.

69. Тихонов, А. Поглащение газа из тока воздуха слоем зернистого материала / А. Тихонов, А. Жуковицкий, Я. Забежинский // Журнал Физической Химии. — 1946. — Т. 20, № 10. — С. 1113-1126.

70. Тихонов, А. Уравнения математической физики / А. Тихонов, А. Самарский. — М.: Наука, 2004.

71. Толстоногое, А. К теореме Скорца-Драгони для многозначных отображений с переменной областью определения / А. Толстоногов // Мат. заметки. 1990. - Т. 48, № 5. - С. 109-120.

72. Толстоногое, А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположений выпуклости / А. Толстоногов // Изв. РАН. Сер. матем. — 2000. — Т. 64, № 4,- С. 163-182.

73. Толстоногов, А. Теорема Боголюбова при ограничениях, порожденных эволюционной управляемой системой второго порядка / А. Толстоногов // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. - Т. 67, № 5. - С. 177-206.

74. Филатов, А. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / А. Филатов, JI. Шарова. — Москва, 1976.

75. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. — М.: Мир, 1970.

76. Шварц, Л. Анализ / Л. Шварц, М.: Мир., 1972, —Т. 1.

77. Эдварде, Р. Функциональный анализ / Р. Эдварде.— М.: Мир, 1969.

78. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. — М.: Мир, 1979.1. Т. 5.