Нелокальные задачи типа Дарбу для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. Обзор литературы.

2. Основные результаты диссертации.

1. ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вспомогательные леммы.

1.3. Локальная теорема о существовании и единственности непрерывного обобщенного решения.

1.4. Соответствующая нелокальная теорема.

Г;5. Случай полулинейной системы

1.6. Комментарии.

2. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТРОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

2.1. Постановка задачи

2.2. Существование и единственность решения задачи

2.I.I) - (2.1.5)

2.3. Замечания.

3. НЕЛОКАЛЬНАЯ МНОГОФАЗНАЯ ЗАДАЧА ТИПА СТЕФАНА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.

3.1. Постановка задачи типа Стефана.

3.2. Разрешимость задачи (I.I.I), (3.1.I) - (3.1.2)

I. Обзор литературы

Предметом исследования в данной работе является либо гиперболическая система первого порядка

Ж+ = £аЧMvi^ 0-"Щ«-И И либо одно гиперболическое уравнение произвольного порядка где , ai,j (х,-Ь) , itte,-^ , - заданные функции в некоторой области G плоскости oc.0t . Все эти функции, равно как и искомое решение, считаются^ьещественнозначцнми. Гиперболичность уравнения (1.2) понимается в том смысле, что в разложении функции действительны и различны во всех точках

Для таких уравнений и систем привычными и с достаточной полнотой исследованными являются задача Коши, смешанная задача и задача Гурса-Дарбу. Наиболее детально изученную задачу Коши здесь рассматривать не будем.

Смешанная задача исследовалась многими авторами различными методами. Наиболее общие результаты получены в работах В.Томе [85-8б] , Г.Пейсера [78-79] методом интегралов энергии, в работах В.Э.Аболини и А.Д.Мышкиса [3-4], 3.0.Мельника [зз] методом характеристик.

Имеется многочисленная литература, посвященная исследованию различных смешанных задач для частных видов системы (I.I) и уравнения (1.2) разными методами (помимо указанных выше - метод спектральных разложений, метод интегральных преобразований, приближенные методы и др.).

Весьма детально исследована смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка. В простейшем случае, когда уравнение (1.2) является уравнением струны, наиболее употребляемыми методами решения смешанных задач являются - метод разделения переменных (см., например, [50,5б])и метод интегральных преобразований [24]. Многие утверждения о решениях уравнений второго порядка получаются как следствие общих результатов для многомерных гиперболических уравнений второго порядка, исследованных с привлечением методов функционального анализа (см. [25,4б] ).

Решения общих смешанных задач для системы (I.I) находятся методом априорных оценок в [85]. В [4] исследована смешанная задача для системы (I.I) и для полулинейной системы аналогичного вида с общими граничными условиями, содержащими последействия. При помощи метода характеристик задача приведена к эквивалентной системе интегральных уравнений Вольтерра, разрешимой по методу итераций. Исследованы свойства классического и обобщенных решений.

Детальное изложение различных методов решения смешанных задач для линейных систем (I.I) приведено в [12].

Смешанная задача для гиперболических уравнений и систем высших порядков изучена не так подробно, как для системы первого порядка и уравнения второго порядка. В [63,85] для уравнения (1.2) установлены априорные оценки решений общих смешанных задач типа

Ы^о^сЦиЦ^-.ЦаЦ^^с!

Lu

G,S ' где G - определенная область с границей S , а О - положительная константа, не зависящая от и . Использованию полученных оценок с привлечением метода продолжения по параметру и теорем Соболева для доказательства корректной разрешимости общих смешанных задач для уравнения (1.2) посвящена работа [8б]. В [б4] дня случая смешанной задачи в 1R+ с граничными данными Дирихле разработан метод, обобщающий классический метод Римана для частного вида уравнения (1.2).

Различные способы приведения уравнения (1.2) к гиперболическим системам первого порядка указаны в [24].

Смешанные задачи для уравнений и систем с разрывными коэффициентами исследовались различными методами. В [22-23] для систем первого порядка с разрывными коэффициентами получена априорная оценка. Эта оценка использована для исследования поведения решения системы в окрестности точки пересечения линий разрыва.

Общие смешанные задачи для систем первого порядка вида (I.I) с разрывными коэффициентами исследованы в [28] методом характеристик.

Более сложными для исследования являются полулинейные гиперболические системы вида

Б ciijCx,-t)[|^ +AL(x,t)^] = £i(x,-b,u) , l=Vi. Ц.З)

Разрешимость в "малом" по "Ь смешанной задачи для такой системы исследована в [87] методом итераций. Одна специальная смешанная задача для системы (1.3) исследована в [89] методом априорных оценок. Некоторые воцросы локальной разрешимости нелинейной смешанной задачи для этой системы обсуждаются в [65].

Обзор результатов и детальное изучение целого ряда смешанных задач для квазилинейных систем вида

1.4) приведены в монографии Б.Л.Роздественского и Н.Н.Яненко [52].

Классическая задача Гурса-Дарбу для гиперболического уравнения второго порядка достаточно полно изучена еще в начале этого века. После этого появилось значительное количество работ многих математиков, посвященных модификациям этой задачи (либо за счет усложнения уравнения, усложнения граничных условий или деформации границы, либо за счет других обобщений).

Под классической задачей Гурса-Дарбу понимают задачу о нахождении в первом квадранте R + = <£>0,ipoj решения уравнения

U.

1.5) принимающего заданные значения на характеристиках аСх,о) = ^(х) , ЧЧоЬНЧо).

Ее корректная разрешимость легко доказывается методом итераций Пикара, который приводит к однозначному интегральному представлению решения с помощью функции Римана [Ю,5б]. Задачей Гурса-Дарбу или Гурса называют также задачи, так или иначе родственные описанной.

В [75] методом Римана исследована задача о нахождении решения U уравнения (1.5) по его значениям на характеристике ij=0 и значению L.U на у, , где L - линейный дифференциальный оператор первого порядка. В [62,66] доказана корректная разрешимость уравнения (1.5) в G по заданным значениям и Lj>U,| ^ , где U и L2 - линейные дифференциальные операторы первого порядка, ^ , у 2 ~ граничные линии области G , выходящие из начала координат. В этом случае необходимо задавать дополнительное значение и(0,0) . Дж.А.Аббасов [i], в отличие от [62,66] , рассматривает более общий случай, когда Ц и L2 - интегро-дифференциальныв операторы Вольтерра с производными высокого порядка. В работе А.М.Нахушева [47] правая часть уравнения (1.5) содержит дополнительно Вольтерровы добавки х ч х о О о и условие Гурса на характеристике О заменено условием х а

- ио f Хо - фиксировано.

Обобщение метода Пикара на случай решения уравнения (1.5) в G при нелинейных граничных условиях u(0,0) = const дано в [77]. Исследованию корректной разрешимости полулинейного аналога уравнения (1.5) в G по заданным значениям решения на и f, посвящена работа [84]. Задача Гурса дая векторного уравнения (1.5) исследована в [бв] методом матричных инвариантов, которые в случае одного уравнения сводятся к известным инвариантам Дарбу.

Некоторые модификации задачи Гурса-Дарбу рассмотрены в монографии А.В.Бицадзе [э].

Решению воцроса о корректной постановке задач типа Гурса-Дарбу для различных классов гиперболических систем первого порядка с классическими граничными условиями посвящены работы

Л.А.Мельцер [44] , В.П.Михайлова [45], А.Д.Сидоренко [54-55], Б.Л.Рождественского и Н.Н.Яненко [52], 3.0.Мельника [29,3l], Гу Чао-хао [б9] . Ли Да-цин и Ю.Вен-цу [72-74] , Р.Холтена [71], С.Йосиды [87-88], К.Захариаса [89].

В работе Л.А.Мельцер [44] рассматриваются достаточные условия корректной разрешимости задачи Гурса в случае, когда Ui(x,t) (l=H,vi) заданы на осяхОос. и 0*Ь и все характеристики изучаемой системы находятся во второй и четвертой четвертях.

В.П.Михайлов [45] исследовал задачу Гурса для линейной системы первого порядка с постоянными коэффициентами, когда условия задаются на некотором количестве прямых, выходящих из начала координат, в предположении, что прямые не разделяются характеристиками. Задача решается преобразованием Меллина. Более обобщенная задача, чем в [45], изучается в [7l] . В полулинейном случае методом характеристик найдено локальное решение подобной задачи в [87-88].

В работах З.О.Мельника [29,3l] рассматривается система (I.I) в криволинейном секторе с вершиной в начале координат, для которой задаются классические граничные условия vu

UiCaC-bVO =Ц сЦ + VtiOti , t=4,K ,

1.6) к A где x = a(i) и ^kCb) ( a(0) , a(-t) для всех t>0 ) - заданные уравнения граничных линий области G . В предположении, что ни одна из характеристик системы (I.I), выходящая из точки пересечения граничных кривых, в G не попадает, установлены условия корректной разрешимости задачи (I.I), (1.6),включающие наряду с естественными требованиями гладкости исходных данных, дополнительное условие сжимаемости некоторого линейного оператора. Вид этого оператора явно строится по коэффициентам условий (1.6).

Системам квазилинейных уравнений первого порядка посвящены работы [52,54-55,72-74] . В [52,54-55] задачи типа Гурса решаются методом итераций; дано их приложение в газовой динамике.

Характерной особенностью задач, рассмотренных Гу Чао-хао [б9], Ли Да-цин и Ю Вен-цу [72-74), является то, что не существует характеристик, которые проходят через вершину сектора и лежат между границами. Используя некоторые априорные оценки, авторы доказывают существование и единственность локального по "fc решения. На примерах показано, что к таким задачам приводятся многие задачи аэродинамики, в частности задача об интерференции двух потоков и лагранжева задача внутренней баллистики.

Сравнительно мало работ [76,78-79] посвящено подобным задачам для линейных уравнений произвольного порядка.

В работах А.В.Бицадзе [7-9] показано, что задача с данными на характеристиках для гиперболической системы второго порядка может оказаться, вообще говоря, некорректной. Частично такие задачи изучались в [30,68,84]. Этот вопрос подробно исследован в работах С.С.Харибегашвили [58-59]. В общей постановке для случая систем второго порядка с переменными коэффициентами и граничными условиями общего вида задача решена в [32].

Во многих важных прикладных задачах возникает ситуация, когда граница области или некоторые ее части включаются в число искомых функций. Эти задачи получили название задач с неизвестными границами или задач типа Стефана.

Задачи с неизвестными границами достаточно полно исследованы для параболических и эллиптических уравнений. Изучение задачи типа Стефана для гиперболических уравнений и систем началось недавно. Первой здесь, по-видимому, была работа [70] , возникающая при исследовании процесса свободного перемещения поршня по трубе постоянного сечения. Математическая модель задачи приводится к наУ хоздению функций s(t) , (i) , щДx,-fc) , (1= ТД") из условий

Эр*

- оо < -с S ("Ь) , л.,, ^ л

За2 За* \ ЗРа п "ЗГ Зх Эх ft С®»0)s feW » = OO где s(V) - положение поршня в момент времени "t ; условия (1.7) -закон Ньютона для движения поршня. Для линиаризованного случая установлена глобальная корректная разрешимость, в общем нелинейном случае доказана локальная теорема.

В [26] методом интегралов энергии и методом сеток изучены некоторые варианты задач типа Стефана для гиперболических уравнений второго порядка. Методом характеристик задачи типа Стефана для системы (I.I) и для уравнения (1.2) (\п=2) исследованы в работах Т.Е.Мельник [39-43] , 3.0.Мельника [34-35] . В [39,4l] исследовано сопряжение решений гиперболического уравнения второго порядка вдоль неизвестной границы. Задачам сопряжения решений гиперболического и параболического уравнений второго порядка вдоль неизвестной границы посвящены работы [42-43]. В [34] 3.0.Мельник решает однофазную двухстороннюю задачу типа Стефана в криволинейном секторе.

Некоторые простейшие задачи типа Стефана для уравнений струны исследованы различными методами в [5,60,80].

Локальная разрешимость общих смешанных задач для системы (I.I) в областях с неизвестными границами и наличием нескольких линий раздела фаз доказано в [39] методом характеристик. Некоторые частные случаи такой задачи рассмотрены в [15,73-74].

В последние годы при решении современных прикладных проблем появились качественно новые постановки задач, в первую очередь, для параболических и эллиптических уравнений и систем [6,16,53]. Своеобразие этих задач состоит, например, в том, что граничные условия ставятся во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению [б], или задаются неразделенные либо интегральные граничные условия [53]. Например, для уравнения теплопроводности

Зц. 3

2,

1r = i? .0<~<,*>о интересными являются неразделенные условия вида ulx (0,t) -vcli ulxoh:) + co u(0,-t) + d0 u(a,t) = 0, либо интегральные условия вида 4

1.8) иод^а*. =}a(v). (1.9) о

Такого рода условия встречаются в задачах, описывающих процесс диффузии частиц турбулентной плазмы, а также процесс распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон ( jw Ш ) изменения общего количества тепла в стержне [53].

Отметим, что задачи с нелокальными (неразделенными и интегральными) условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений изучались раньше. Например, в [67] рассматривается задача: найти решение уравнения удовлетворяющее условиям аь - точки интервала .

Нестандартный вид краевых условий порождает ряд своеобразных явлений: в некоторых случаях получается бесконечное число присоединенных функций, возникают нетривиальные вопросы о сходимости разложений по собственным функциям, вопросы о существовании решения задачи и его непрерывной зависимости от исходных данных.

Для гиперболических уравнений и систем на плоскости задачи с нелокальными (неразделенными или интегральными) граничными условиями рассматривались в [2,14,36,47-49,61].

А.М.Нахушев [47-49] рассматривает задачу с условиями типа (1.9) для нагруженных уравнений гиперболического типа. Указывается физический содержательный смысл нелокальных задач. С помощью функций Римана задача сводится к нагруженному уравнению Вольтерра второго рода. М.Х.Шхануков в [61] исследует некоторые нелокальные задачи типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка. Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в общей постановке изучались в [36].

В рамках метрического подхода задачи с нелокальными (многоточечными) условиями по "Ь типа (1.8) для общих линейных гиперболических уравнений с частными производными исследованы в работах Б.И.Пташника и его учеников [14] .

Задачи типа Стефана для гиперболических уравнений и систем с нелокальными условиями в литературе не встречались.

В настоящей диссертации изучаются нелокальные граничные задачи для гиперболических систем первого порядка (I.I) и одного гиперболического уравнения произвольного порядка вида (1.2). Начальные условия считаются вырожденными в том смысле, что отрезок, на котором задаются начальные условия, вырождается в точку, т.е. линии задания граничных условий выходят из одной точки и нигде более не встречаются. При этом некоторое количество характеристик системы (I.I) или уравнения (1.2), выходящих из точки пересечения граничных кривых,может попадать в область определения решения, а граничные условия задаются в нелокальном виде типа (1.8) или (1.9), или в виде (1.8) и (1.9) одновременно. Для системы (I.I) рассмотрены также нелокальные задачи типа Стефана.

К рассмотрению таких областей мы, естественно, приходим, в частности, при изучении смешанных задач для гиперболических систем с разрывными коэффициентами в случав, когда линии разрыва исходных данных задачи имеют общие точки [22-23, 28]. В [28], например, пришлось исключить пересечение линий разрыва, а в [2223], хотя и допускаются пересечения, но накладываются довольно жесткие ограничения на исходные данные задачи и линии разрыва.

В приложениях задачи подобного рода возникают в газовой динамике [52,54-55], аэродинамике [72-73].

Задачи с нелокальными (интегральными) условиями для гиперболических уравнений и систем встречаются в биологии [13,49,81], экологии [27], механике [82], демографии [83].

Так, например, в математической биологии задача, моделирующая динамику популяций [8l], формулируется как задача о нахождении решения уравнения

It + ^(x,t)a,x>Oft>0, удовлетворяющего условиям оо

На целесообразность и необходимость использования задач с нелокальными (интегральными) условиями указал А.М.Нахушев [49].

В демографических исследованиях [83] использованы "непрерывные" модели динамики популяций типа

Ж" + jD(t,0)=jDoU), la $ (0,-t) =* V оо = PWI VlK-t) KCt,-t) A 4.

Здесь - плотность распределения по возрасту % в момент времени t ; и^Оц-Ь") - плотность мигрантов; juOi/t") - коэффициент смертности; НЧ-Ъ), р>(-Ь), к (г, О , K(t,i) - стандартные демографические индексы.

При изучении упругих колебаний пьезоэлектрического преобразователя [82] , имеющего форму тонкого плоского кольца, между внешним и внутренним радиусами которого приложено импульсное напряжение V = Vo Ъ (V) , приходим к решению уравнения

Э2и .Г2/Зга A 3u и\ , п при дополнительных условиях

Имеются и другие прикладные задачи, приводящие к нелокальным добавочным условиям для уравнений и систем гиперболического типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследованы задачи типа Гурса-Дарбу с нелокальными (неразделенными и интегральными) граничными условиями для линейных и полулинейных гиперболических систем первого порядка и строго гиперболического линейного уравнения произвольного порядка с разрывными коэффициентами с двумя независимыми переменными. Рассмотрены также нелокальные задачи типа Стефана (задачи с неизвестными границами) для гиперболических систем первого порядка с разрывными коэффициентами.

Установлены условия существования и единственности обобщенных решений рассматриваемых задач.

Указаны эффективные схемы приведения указанных задач к воль-терровским интегро-функциональным уравнениям второго рода, разрешимых методом итераций.

Приведена конструктивная схема редукции нелокальных граничных задач для строго гиперболического уравнения произвольного порядка к системам интегро-функциональных уравнений Вольтерра второго рода.

Все задачи редуцированы к системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которые решаются методом последовательных приближений. Эти системы можно использовать при исследовании конкретных задач экологии, биологии, демографии, механики.

1. Аббасов Дж. А. Задача Гурса для гиперболического дифференциального уравнения второго порядка. - Изв. АН АзССР, сер. физ.-техн. и матем.наук, 1970, № 3, с.52-55.

2. Абданазаров С. О некоторых краевых задачах типа Бицадзе-Са-марского для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Изв. АН УзОСР, 1982, В 4, с.3-6.

3. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для линейной гиперболической системы на плоскости. Уч. зап. Латв. ун-та, 20: вып. 3, 1958, с.87-104.

4. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости. Мат. сб., I960, 50,1. J6 4, с.423-442.

5. Багиров Г.А. Задача Стефана для уравнения гиперболического типа. Матер, научн.конф. аспирантов АН АзССР, отд. физ.-техн. и мат. хим. и наук о земле. Баку, 1978, с.13-18.

6. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых цростейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. Докл. АН СССР, 1965, т.185, № 4, с.739-740.

7. Бицадзе А.В. К вопросу о постановке характеристической задачи для гиперболических систем второго порядка. Докл. АН СССР, 1975, т. 223, с.1289-1292.

8. Бицадзе А.В. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических систем второго порядка. Докл. АН СССР, 1975, т.225, с.31-34.

9. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

10. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982, - 336 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. - 512 с.

12. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. - 301 с.

13. Динамическая теория биологических популяций /Под ред. Р.А.Полуэктова. М.: Наука, 1974. - 455 с.

14. Илышв B.C. Нелокальные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными: Автореф.дис. .канд. физ.-мат. наук. Донецк, 1983. - 16 с.

15. Казаков К.Ю., Морозов С.Ф. Некоторые свойства решений задачи типа Стефана для квазилинейных гиперболических систем: Тезисы докл. Республ. конференции по нелинейным уравн. мат. физики. Донецк, 1983, с.57.

16. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплоцроводности с неклассическими граничными условиями. IBM и МФ, 1964,т.4, № 6, с.1006-1024.

17. Кирилич В.М. Одна неклассическая граничная задача для двумерной гиперболической системы первого порядка с разрывными коэффициентами. В кн.: Общая теория граничных задач. Сб. науч. тр. Киев: Наук.думка, 1983, с.267.

18. Кирилич В.М. Задача с интегральными ограничениями для общего двумерного гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами; Тезисы докладов Республ. конференции по нелинейным уравнениям математической физики. Донецк, 1983, с.60.

19. Кузнецов Н.Н. 0 гиперболических системах линейных уравнений с разрывными коэффициентами. ЖВМ и МФ, 1963, т. 3, № 2, с.299-313.

20. Кузнецов Н.Н. 0 единственности решения гиперболической системы линейных уравнений с разрывными коэффициентами. ЖВМ и МФ, 1964, т.4, & 3, с.571-576.

21. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. - 830 с.

22. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Наука, 1953. - 280 с.

23. Мадатов А.Д. Задача с неизвестными границами для гиперболических и параболических уравнений: Автореф.дис. . канд. физ.-мат. наук. Баку, 1976. - 16 с.

24. Математические модели в экологии. Межв. сб. Горький: Изд-во Горьковск. ун-та, 1980. - 166 с.

25. Мельник 3.0., Мышкис А.Д. Смешанная задача для двумерной гиперболической системы первого порядка с разрывными коэффициентами. Мат. сб., 1965, т.68, J6 4, с.632-638.

26. Мельник 3.0. Пример неклассической граничной задачи для уравнения колебаний струны. Укр. матем. журн., 1980, т.32, № 5, с.671-674.

27. Мельник 3.0. Одна неклассическая граничная задача для гиперболической системы первого порядка с двумя независимыми переменными. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, № 6, с. 10961104.

28. Мельник 3.0. Граничная задача без начальных условий для гиперболической системы второго порядка. В кн.: Граничные задачи математической физики. (Сб.научных трудов). Киев: Наук, думка, 1981, с.81-82.

29. Мельник 3.0. Об одной общей смешанной задаче. Докл. АН СССР, 1964, т.157, Jfc 5, с.1039-1042.

30. Мельник 3.0. Задача с неизвестными границами для гиперболической системы первого порядка. В кн.: Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей: Сб. научн. тр. Киев: Наук.думка, 1983, с.77-79.

31. Мельник 3.0. Смешанная задача с неизвестной границей для общего двумерного гиперболического уравнения второго порядка. Докл. АН УССР, сер. А, 1983, .£ 8, с.13-15.

32. Мельник 3.0. Задача с интегральными ограничениями для гиперболического уравнения второго порядка. В кн.: Общая теория граничных задач. Сб. научн. тр. Киев: Наук.думка, 1983, с.281-282.

33. Мельник 3.0., Кирилич В.М. Задача без начальных условий для двумерного гиперболического уравнения произвольного порядка. Успехи мат. наук, 1982, т.4, с.112.

34. Мельник 3.0., Кирилич В.М. Задачи без начальных условий с интегральными ограничениями для гиперболических уравнений и систем на прямой. Укр. матем. журн., 1983, т.35, № 6, с.721-727.

35. Мельник Т.Е. Сопряжение решений гиперболического уравнения второго порядка вдоль неизвестной границы. Докл. АН УССР, сер. А, 1980, 12, с.10-12.

36. Мельник Т.Е. Задача типа Стефана для гиперболической системы первого порядка. У*ф. матем. журн., 1982, т.34, № 3, с.380-384.

37. Мельник Т.Е. Двухфазная задача типа Стефана для общего двухмерного гиперболического уравнения второго порядка. В кн.: Уравн. в частных производных и задачи со свободной границей: Сб. научн. тр. Киев: Наук.думка, 1983, с.77-79.

38. Мельник Т.Е. Задача с неизвестной границей для гиперболо-параболического уравнения. Вестник Львов, ун-та, сер. мех.-мат., вып.21. Вопросы математического анализа и его приложение. Львов: Вища школа, Изд-во при Львов, ун-те, 1983, с.74-78 (на укр.яз.).

39. Мельник Т.Е. Задача сопряжения решений гиперболического и параболического уравнений вдоль неизвестной границы; Тезисыдокл. Третьего республ. симпозиума по дифференц. и интегральным уравнениям. Одесса: Одесский ун-т, 1982, с.115-116,

40. Мельцер Л.А. 0 корректной постановке задачи Гурса. Матем. сб., 1946, т. 18 (60), & I, с.59-101.

41. Михайлов В.П. О неаналитических решениях задачи Гурса для системы дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными. Докл. АН СССР, 1957, т. 117, J6 5, с.759-762.

42. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976, - 391 с.

43. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. Докл. АН СССР, 1978, т.242, № 5, C.I008-I0II.

44. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-диффе-ренциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к црогнозу почвенной влаги. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, В I, с.96-105.

45. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с.86-94.

46. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: 1ЖТЛ, 1953. - 360 с.

47. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 279 с.

48. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их цриложение в газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 592 с.

49. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1980, т.16, № II, с.1925-1935.

50. Сидоренко А.Д. Вариант задачи с контактным разрывом для системы трех квазилинейных уравнений. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № 4, с.774-777.

51. Сидоренко А.Д. Задача с контактным разрывом для системы трех квазилинейных уравнений. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, В 3, с.505-511.

52. Тихонов А.Н., Самарский А.А, Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 735 с.

53. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 424 с.

54. Харибегашвили С.С. О задаче типа Гурса для одного класса систем уравнений гиперболического типа второго порядка. Дифференц. уравнения, 1982, т.18, В I, с.152-166.

55. Харибегашвили С.С. О разрешимости задач типа Гурса для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с. 134-145.

56. Хубиев Р.Н. Краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с неизвестной линией изменения типа. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 2, с.373-375.

57. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальные свойства его решений. -Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с.145-152.

58. Campbel L.L. Solution of a mixed for a hyperbolic differential equations by Riemann's method. Acta math., 1958,v. 100, Ж 1-2, p. 23-43.

59. Cazzani N.M.G. Un teorema di esistenza per sistemi di equation! a dirivate parziali quasi-lineari. Ric. mat., 1980, v. 29, N I, p. 17-64.

60. Elianu I.P. Cersetari asupra sistemalov de ecuaiti lineare cu derivate partiale de tip Laplase. Studii si cevetari mat., 1953, v. 4, N 1-2, p. 155-196.

61. Gu Chao-hao. A boundary value problem for hyperbolic systems and its applications. Chinese Math., 1963, v. 4, К I, p. 35-53.

62. Hill C. Denson. A hyperbolic free boundary problem. J. Math. Anal, and Appl., 1970, v. 31, N I, p. II7-H9.

63. Holten R.P. Generalised Boursat problem. Pacif. J. Math., 1962, v. 12, H I, p. 207-224.

64. Lee Da-tsin, Yu Wen-tsu. Some existence theorems for quasi-linear hyperbolic systems of partial differential equations in two independent variables. I. Typical boundary value problems. Scientia Sinica, 1964, v. 13, И 4, p. 529-549.

65. Ьее Da-tsin, Yu Wen-tsu. Boundary value problems for the first order quasilinear hyperbolic systems and their applications. J. Differ. Equat., 1981, v. 41, N I, p. 1-26.

66. Majcher G. Sur un probleme mixte pour 1'equation du type hy-perbolique. Ann. polon. math., 1958, v. 5, N 2, p. 121133.

67. Olary V. Problema Goursat Beudon pentzu ecuatii le cu de-rivate partiale lineare de ordinul n si cu doua variable independente. - Studii si cersetari mat. Acad. RPR, 1958, v. 9, N I, p. 191-208.

68. Perzyna P. On a non-linear boundary value problem for a linear hyperbolic partial differential equations. Bull. Acad, polon. sci., Ser. sci. techn., 1964, v. 12, N 12,p. 861-866.

69. Peyser G. Energy integrals for the mixed problem in hyperbolic partial differential equations of higher order.

70. J. Math, and Mechan., 1957, v. 6, F 5, p. 641-653.

71. Peyser G. The Boura&t problem for hyperbolic equations. -J. Math, and Mech., 1961, v. 10, U I, p. 91-Ю9.

72. Rubinstein L. Application of the integral equation to the solution of several Stefan problems. Free Boundary Probl. Proc. Semin. Pavia, 1979, I, Roma, 1980, p. 383-450.

73. Sanchez D.A. Linear age-dependent population growth withharvesting. Bull. Math. Biol., 1978, v. 40, И 3, p. 377385.

74. Sinha D.R. A note on mechanicall response in a piesoelec-tric transducer to an impulsive voltage input. Proc. %t. Inst., India, 1966, A 31, H 4, p. 395-402.

75. Sond I. Some developments in mathematical demography and their application to the People's Republic of China. -Theor. Popul. Biol., 1982, v. 22, N 3#

76. Szmydt Z. Sur 1'existence d'une solution unique de certains problemes pour un systeme d'equations differentielles hy-perboliques du second ordre a deux vatiables independentes. Ann. polon. math., 1958, v. 4, Ж 2, p. 165-182.

77. Thomee V. Estimates of the Fridrichs-Lewy type for mixed problems in the theory of linear hyperbolic differential equations in two independent variablBs. Math. Scand., 1957, v. 5, N I, p. 93-113.

78. Thomee V. Existence proff for mixed problems for hyperbolic differential equations in two independent variables by means of continuity method. Math. Scand., 1958, v. 6,1. Ж I, p. 5-32.

79. Yosida S., Hukuharas's problems for hyperbolic equations with two independent variables. I. Semilinear case. -Proc. Japan Acad., 1958, v. 34, N 6, p. 319-324.

80. Yosida S. Hukuhara's problems for hyperbolic equations with two independent variables. II. Quasilinear case. -Proc. Japan Acad., 1958, v. 34, H 8, p. 466-470.

81. Zacharias K. Ein spezialles Soursat Problem in der Ebene-Monatsber. Dtsch Acad. Wise., Berlin, 1969, v. II, К 8-9, S. 685-695.