Граничные задачи типа Дарбу для нагружения гиперболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Тбилисский государственный университет им. И. Джавахигпвили

на правах рукописи

Бабилодзе Джо ни Суликоевич

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ДАРБУ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

»

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тбилиси - 1998

Работа выполнена в Грузинском техническом университете

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, • профессор С. С. Харибегашвили

Эксперт: Доктор физико-математических наук,

профессор Д. А. ПГулаия

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор А. Г. Гаишдзе

Кандидат физико-математических наук, доцент О. М. Джохадзе

Ведущая организация:. Математический институт им. А. М. Раз

мадзе АН Грузии

Защита состоится " ". ^У 1998 г. в 'часов на заседании Диссертационного совета рЬт 01.02 с Л"» 3 Тбилисского государственного университета им. И. Джавахишвили (380028, Тбилиси, пр. И. Чавчавад-зе 1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тбилисского университета.

Автореферат разослан " ", 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук,

доцент (;. иьО-. Й. Налетваридзе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие важные задачи математической физики и биологии, в особенности изучение вопросов долгосрочного прогнозирования и регулирования грунтовых вод на мелиорируемых территориях, приводят к граничным задачам для линейных нагруженных строго и слабо гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Отметим также связь, которая существует между нелокальными . краевыми задачами для различных уравнений с частными производными и нагруженными уравнениями. Таким образом изучение локальных и нелокальных граничных задач для уравнений указанного типа представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Объект и цель исследования. Цель исследования диссертации - отыскание и изучение корректно, поставленных локальных и нелокальных граничных задач для линейных нагруженных гиперболических уравнений и систем второго порядка.

Научная новизна. В диссертационной работе установлена корректность некоторых граничных задач типа Дарбу для линейных нагруженных гиперболических уравнений и систем второго порядка с двумя независимыми переменными. Граничные услови" " этих задачах определяются дифференциальным оператором первого г^ , ядка, а носителем этих условий служат два луча 71 и 72 с общей точкой О в начале координат. С помощью методов функционального анализа, интегральных и функциональных уравнений получены условия однозначной разрешимости поставленных задач в соответствующих классах. В работе также показано, что в отличие от классических задач Гурса и Дарбу для гиперболических. уравнений второго порядка, в случае нагруженных уравнений младшие члены влияют на корректность поставленных задач.

Исследована также нелокальная граничная задача для одного нагруженного гиперболического уравнения второго порядка. На основе теории интегро-функциональных уравнений доказаны теоремы существования и единственности. Для одного класса вышеуказанных нелокальных задач с использованием спектральной теории положительных операторов доказало, что соответствующая однородная задача имеет ненулевое решение. Следует отметить, что полученный результат существенным образом обусловлен участием в уравнении нагруженных членов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах отдела теории дифференциальных уравнений в частных производных ИПМ им. И. Н. Векуа' ТГУ, на семинарах кафедр высшей математики и теоретической механики ГТУ, на расширенных заседаниях семинара ИПМ им. И. Н. Векуа ТГУ (Тбилиси, 1993,

1995), на научной конференции профессоро-преподавательского состава Батумской государственной морской академик (Батуми, 1996), на международном симпозиуме по проблемам механики сплошных сред ГТУ (Тбилиси, 1997-), на съезде математиков Грузии (Тбилиси, 1997).

Объем и структура диссертации. Диссертация занимает 106 стр. Она состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.

Содержание и основные результаты диссертации. В введении дается краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава состоит из пяти параграфов (§§1-5). Эта глава посвящена задаче типа Дарбу для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости.

В первом параграфе дается постановка граничной задачи для нагруженного гиперболического уравнения второго порядка вида

и*у(з,у) = О!«»!2^) +а2иу{х,х) + &1И;г(2ЛУ) + Ъ2щ{у,у) +

+ С1и(х,х) + с2и(т/,у) + Р(х,у), (1)

где а;, 2\, с,, г — 1,2, - заданные действительные числа, Р - заданная, а и — искомая действительные функции.

Пусть 11 у — кх, 0 < I < оо и 7! : г = ку, 0 < у < оо - два прямых луча, где 0 < к < 1. Обозначим через Р\ и Р? точки пересечения лучей 71 и 72, соответственно с характеристиками Ь^Р) : х = 1 и ¿2(Р) : у = 1 уравнения (1), выходящими из точки Р(1,1). Выпуклый четырехугольник с вершиной в точке 0(0,0), ограниченный лучами 71 и 72 и характеристиками Ь\{Р) и Ьг(Р), обозначим через П.

Для уравнения (1) рассмотрим граничную задачу в следующей постановке: требуется найти в области П регулярное решение и(х, у) уравнения (1) удовлетворяющее на отрезках ОР\ и ОРг лучей 7! и ',2 условиям

(т1ыя + + М)|ОР1 - к. (2)

(т3их + п2иу + лзи)|0р2 = Ь, (3)

где тгц, гц, г г= 1,2, - заданные действительные числа, /¡, г = 1,2, -заданные действительные функции.

Введем в рассмотрение следующие функциональные пространства

Св(П) = {и € С.(П) : и(0,0)^0, аир г"а|и(х,у)| < с»}, а > 0, г3 = хг + у%, I • (хЛ)еп\о о- >

С^(П) = {« :■ д'^и € СМ, 0 < ¿1 < 0 < Л < 20

где и — цхчэуп -

^ о

При рассмотрении задачи (1)-(3) в пространстве С'Л(П) потребуем, чтобы /,■ в Св(ОЯ), г = 1,2, Со(0).

О

В §2 задача (1)-(3) в классе ¿'^(П) эквивалентным образом редуцируется к системе интегро-функциональных уравнений.

В §3 исследуется полученная в §2 система интегр о-функциональных уравнений.

Рассмотрим следующие условия

"И^О, пг ф 0, (4)

где 1{х) = (1 - к)х.

Положим <т = гг1т2(т1П:)~1. Основными результатами §3 являются

Теорема 3.1. Пустъ выполнены. условия (4). (5) и лучи 71, 72 не являются характеристиками уравнения (1). Если имеет место равенство а — 0 то

о о

для любых /; € Са(ОР{), 1 = 1,2, F € Сс(и) задача (1)-(3) однозначно разрешима в классе при всех а > 0. Если же а -ф- 0, то при а > — и

о ^ о _

любых /; € Са(ОР<), г = 1,2, F б Са(П) задача (1)-(3) однозначно разрешима

о

в классе С^П) а дл* решения и(х,у) этой задачи справедлива оценка

1К1а,1(П) < +ш^и,+т&я<р), (6)

где положительная постоянная с. не зависит от /1, /г и .Г. 2? случае же а < — задача (1)-(3) нормально разрешима по Хаусдорфу в классе и ее индекс х = +оо, в частности соответствующая (1)-(3^ однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений.

Теорема 3.2. Если лучи -¡^ и 7^-характеристики уравнения (1) (т.е. к = 0)

о о *

и выполнены, условия (4), (5), то для любых /,• € Са(ОР;), г = 1,2, F € Са(П),

о

задача (1)-(3) однозначно разрещима в классе С];1 (и) при всех а > 0.

В пункте 1° параграфа 4 рассматривается напруженное гиперболическое уравнение второго порядка общего вида

«хкО, У> + у)их(хгу) + 6(1, у)иу(х, у) + с(х, у)и(х, у) = = а1их(х, х) + а3щ(х, х) + ^и* (у, у) + Ьги,(у, у) +

+c1u(I,г) + cJu(y)y) + F(x,"J/), ' (7)

где а, 6, с, - заданные действительные функции.

В области О = {(х,у) : 0<х<1, 0<у<1} для уравнения (7) изучается граничная задача типа Дарбу в следующей постановке: требуется найти в области О регулярное решение и{х,у) уравнения (7), удовлетворяющее на отрезках 0Р\ и ОР2 лучей 71 и 72 условиям (2), (3).

о

Задача (7), (2), (3) рассматривается в классе Сд'г(П) и считается, что

а, Ь, с, ах, ¿>„ € С(Б), ^ € Са{~П) и /, £ Са(ОР^, «' = 1,2. Рассмотрим следующее условие

скЬ

/ V \

- /

- / »({.*)<« /2(1)61 /2(1)62-е °

ф О, 0<1<1, (8)

где

-/»(хлУч 5 /о(1,гМг -/в(х,Я)А> /а(*,т)А"

/1.(1) = е ° ■■ I с ¿ч — е о ■ I е*»

о о

{ г . е

-[ьи.х)<а *г fi(т^)dт - у / 6(т^г

/2(г) = е о ■ / с* ■ <¿4 — е ° ■ I Ц.

в о

Имеют место

Теорема 4.1. Если лучи 71 и 72 - характеристики ураекекшг (7) (т.е.

О __ о

& = 0) и выполнены условия (4), (8), то Ал* любых Р 6 Са(и), € Са{ОР¡),

о _

» = 1,2, задача (7), (2), (3) однозначно разрешима в классе при всех

а > 0.

Теорема 4.2. Пуст* выполнены условия (4), (8) и лучи 71, 72 не являются характеристиками уравнения (7). Если имеет место равенство <г = 0, то

для.любых F е С0(15), /,- € Са(ОР{), г = 1,2, задача (7), (2), (3) однозначно

О __

разрешима в классе С*2,Д(/}) при всег а > 0. Если з<се а то при а > — задаче (7), (2), (3) для любых Р е /, € Со(0Р<), * = 1,2, однозначно

о ._

разрешима в классе С^'Н-О) » длаг решения и{х,у) справедлива оценка

1М1'.1 - • +Н/г||» + 1!Л|..,Д

" 'с^(о) 11 са(и\'

где положительная постоянная с. не зависит от функций ¡\, /а и Г. 3 случае же « < — ^^ задача (7), (2), (3) нормально разрешима по Хаусдорфу

о _

в классе С1Л(0) и ее индекс х = +оо.

Относительно условия (8) отметим, что в нем вместе с коэффициентами а», 6,, г = 1,2, при нагруженных производных первого порядка искомого решения уравнения (7), участвуют также коэффициенты а и Ь младших членов гиперболического дифференциального оператора второго порядка. Однако, как видно из (8), если в уравнении (7) положим а; = 6; = О, I = 1,2, то условие (8) автоматически будет выполнено для любых а и Ь.

В пункте 2° §4 рассмотрено одно нагруженное уравнение колебания струны с граничными условиями вида (2), (3) на отрезках 0Р\. и О[\ произвольных прямых лучей 71 и 7з, выходящих из точки 0(0,0) и лежащих в первой четверти плоскости Оху. Рассматриваемое уравнение содержит следы искомой функции и ее производных первого порядка на произвольном луче 7, лежащем между 71 и 72. Приведены условия однозначной разрешимости поставленной граничной задачи в соответствующих классах.

В §5 показывается, что наличие младших членов в уравнении (7) и граничных условиях (2), (3) может оказать влияние на корректность постановки задачи (7), (2)^ (3) в случае нарушения условия (4).

Вторая глава состоит из четырех параграфов (§§6-9). В этой главе для нагруженного уравнения (1) исследуется нелокальная граничная задача, в которой нелокальные условия связывают значения искомого решения и его производных первого порядка вполне определенным образом на лучах 71 и 72, выходящих из начала координат (0,0).

Рассмотрены три различных случая. Приведены условия, при вьпхоль-нении которых поставленная задача однозначно разрешима в соответствующих классах или эквивалентно редуцируется к уравнению Фред-гольма. В этой же главе приведен один пример, показывающий, что соответствующая однородная задача может иметь ненулевое решение. Здесь в области П = {(х,у) :0<х<1,0<у<1} рассматривается нагруженное гиперболическое уравнение второго порядка вида

. «х^,у) + Дги(х,х) = Р(х,у), (9)

с граничными условиями

«(».О ).= /.(*), 0<*<1, (т1и1 + п1и,)(х,0)-(т1ыг + пги1,)(0,1-х) = /2(х), 0<х<1. ^ '

где Ах, гг»1, щ. ти п1 - заданные действительные числа, /*, г — 1,2, -заданные действительные функции.

При выполнении условия щ ф 0 доказывается, что если \i = Sj- = 0, то

о

задача (9), (10) однозначно разрешима в классе С'^и), а в случае fi> О (ju < -1) на отрезке [-f.-j^l (ij^.-lfjj) существует хотл бы одно значение Ai, при котором соответствующая (9), (10) однородная задача

о _

имеет нетривиальное решение класса CI,1(Q).

Следует отметить, что если вместо нагруженного уравнения (9) рассмотреть следующее гиперболическое уравнение второго порядка

*ху(з,у) + Aju(x,ii) = F(x, у),

с теми же нелокальными граничными условиями (10), то при выполнении условия п\ ф 0 поставленная задача эквивалентным образом редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго'рода.

Третья глава состоит из трех параграфов (§§10-12). В этой главе исследуется граничная задача для линейных нагруженных строго'гипер-бслических систем второго порядка. Получены условия однозначной разрешимости поставленной задачи в соответсвующих классах.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Д. С. Бабилодзе, О некоторых задачах типа Дарбу для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка. Труди Института прохладной математику, им. И. В. Векуа ГРУ 47(1992), 5-11.

2. J. Babilodze, Boundary value problem for one loaded hyperbolic equation of the second order. Reports of Enlarged Sessions of the Seminar of I. Vekua Institute of Applied Mathematics 8(1993), No. 1, 1-3.

3. Д. С. Бабилодзе, О разрешимости задач типа Дарбу для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка. Сообщения АИ Грузии 149(1994), №2, 180-182.

4. J. Babilodze, Boundary value problem for second order linear loaded strictly hyperbolic systems. Reports of Enlarged Sessions of the Seminar of I. Vekua Institute tof Applied Mathematics 10(1995), No. 1, 4-16.

5. Д. С. Бабилодзе, Нелокальная задача типа Дарбу для нагруженного гиперболического уравнения второго порядка. Тез. Докл. международного симпозиума по проблемам механики сплошных сред ГТУ, Тбилиси, 1997, 145-146.