Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками

Огородников, Евгений Николаевич

Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Огородников, Евгений Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками»

Автореферат диссертации на тему "Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками"

На правах рукописи

Огородников Евгений Николаевич

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

САМАРА - 2000

Работа выполнена в Самарском государственном техническом университете.

Научный руководитель: кандидат физико - математических наук

доцент Андреев A.A.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Жегалов В.И.,

доктор физико-математических наук

профессор Килбас A.A.

Ведущая организация: Московский государственный университет

землеустройства

Защита состоится 14 декабря 2000 года в 17 часов на заседании диссертационного совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г.Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан

Ученый секре' кандидат физх

В.А. Носов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория неклассических краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений. Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми, S. Gellerstedt, Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе. Дальнейшее развитие теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений получила в работах И.Н. Векуа, O.A. Олейник, R.P. Gilbert, Е. Holmgren, А. Weinstein, В.П. Михайлова, A.A. Дезина, М.М. Смирнова, Е.И. Моисеева, С.П. Пулькина, В.И. Жегалова, В.Ф. Волкодавова, A.M. На-хушева, К.Б. Сабитова, Н.В. Кислова, Y.K. Kwok, М.Е. Лернера и других отечественных и зарубежных авторов.

A.B. Бицадзе, A.A. Дезина, М.С. Салахетдинова, Е.И. Моисеева, С.А. Тер-сенова, В.Н. Врагова, Т.В. Чекмарева, Л.И. Янушкаускаса, A.M. Нахушева,

B.Ф. Волкодавова и Н.Я. Николаева, O.A. Репина, С.Г. Самко, A.A. Кил-баса, О.И. Маричева, М.М. Хачева.

Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги, описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера и диффузии в трех-компонентных системах, приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в монографии A.M. Нахушева "Уравнения математической биологии", исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе.

Исследование краевых задач со смещениями было начато в работах A.B. Бицадзе, A.A. Самарского (эллиптические уравнения), В.И. Жегалова1 и A.M. Нахушева2 (уравнения смешанного типа).

В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ A.A. Самарского, Х.Ш. Джураева, М.С. Салахетдинова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, М.М. Смирнова, В.А. Елеева, В.Ф. Волкодавова,

1 Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями па обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки Казанского университета. Т.122. N3. 1962. С.3-16.

2Нахушсо A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. Т.5. N1. 1969. С.44-53.

O.A. Репина, M.X. Абрегова, B.B. Азовского, Д. Аманова, A.A. Андреева, Х.Г. Бжихатлова, С.К. Кумыковой, Н.Я. Николаева, A.B. Рябова, Г.Н. Шевченко и др.

К настоящему времени наиболее исследованы краевые задачи со смещением для уравнений второго порядка смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнениям Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД). Задачи с условием Нахушева и задачи типа Бинадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных краевых задач, теория которых далека от ее окончательного завершения.

В 80-х годах появились первые работы, в которых исследовалась корректность постановок задач Коши, Гурса и Дарбу для модельных вырождающихся систем гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Начало систематических исследований систем уравнений ЭПД методом Римана было положено в работах A.A. Андреева. Эффективность этого метода гарантировалась тем, что был указан явный вид матрицы Римана для системы уравнений ЭПД с двумя коммутативными матричными параметрами.

Корректность классических задач Коши, Дарбу, Коши-Гурса рассматривалась в работах B.JI. Спицына и А.Ю. Сеницкого для частных и специальных случаев матричных параметров системы уравнений ЭПД:1

Строгое обоснование метода Римана, Римана-Адамара и разработка методики построения матрицы Римана для систем уравнений ЭПД (уравнения ЭПД с матричными параметрами) стало поводом к обобщениям постановок нелокальных краевых задач на случай систем вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа.

Хорошо известно, что в теории уравнений с частными производными гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области (задача Дирихле) служат примером некорректно поставленных задач . Результаты исследований по краевым задачам с данными на всей границе для волнового уравнения можно найти в работах J. Hadamard, A. Huber, D. Mangeron, P.G. Bourgin, R. Duffin, F. John, D.W. Fox, C. Pucci, В.И. Арнольда, C.JI. Соболева, H.H. Вахания, Ю.М. Березанского.

Корректные постановки задачи Дирихле для вырождающихся уравнений в смешанных областях рассматривались в работах Б.В. Шабата, A.M. Нахушева, А.П. Солдатова, М.М. Хачева и др.

Неравноправие характеристик как носителей данных Дарбу применительно к вырождающимся системам уравнений гиперболического типа привело к появлению в некоторых, специальных случаях особого эффекта, когда задача Коши-Гурса с данными на любой граничной характеристике области существования решения задачи Коши некорректна в смысле отсут-

ствия единственности решения.

Это обстоятельство породило круг новых корректных локальных задач с данными на всей границе характеристической области, рассмотренных в диссертацинной работе, и не могло не отразиться на специфике постановки задач с нелокальными условиями.

Цель работы. Целью работы является изучение корректности постановок различных нелокальных краевых задач для одного класса модельных вырождающихся систем дифференциальных уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками в двух особых случаях:

а) когда один из матричных коэффициентов при младших производных искомой вектор-функции и(х,у) тождественно равен нулю, а другой — постоянная инволютивная матрица. Ищутся классические решения поставленных задач в характеристической области, ограниченной линией вырождения типа,

б) когда система дифференциальных уравнений имеет вырождение порядка.

Для обоснования корректности сформулированных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что и определяет структуру работы и содержание отдельных глав.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены на основе применения аппарата функций от матриц, аппарата специальных функций с коммутативными матричными параметрами, теории матричных интегродифференциальных операторов Римана-Лиувилля и их обобщений и методов функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

Для системы гиперболических уравнений с вырождением типа обоснованы:

а) некорректность постановки задач Коши-Гурса с данными на любой граничной характеристике;

б) корректность постановок задач Коши-Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области;

в) корректность одной задачи с условиями Бицадзе-Нахушева.;

г) корректность двух нелокальных задач с условиями Бицадзе-Самарского;

Для системы уравнений гиперболического типа с вырождением порядка обоснована

а) корректность двух нелокальных задач с условиями Бицадзе-Самарского;

б) корректность начальных и начально-краевых задач для двух вырождающихся дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжены исследования в области нелокальных краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений на системы соответствующих дифференциальных уравнений. Полученные результаты исследования систем применены к исследованию нелокальных дифференциальных уравнений в скалярном случае.

Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического, смешанного или составного типов, а так же для нелокальных дифференциальных уравнений, в частности, уравнений с инволютивным сдвигом.

Практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся моделями физических и природных явлений, в частности, тепло- и массообмена в неоднородных средах, влагопереноса в каппилярно-пористых телах и т.д.

На защиту выносятся:

Для системы уравнений с вырождением типа

а) доказательство неединственности решения задач Коши-Гурса,

б) доказательство существования и единственности решения задач Коши-Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области,

в) корректность постановок двух задач с условиями Бицадзе-Самарского и задачи с условиями Бицадзе-Нахушева.

Для системы уравнений с вырождением типа

а) корректность постановок двух задач с условиями Бицадзе-Самарского,

б) корректность постановок начальных и начально-краевых задач для двух вырождающихся уравнений с инволютивным отклонением.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па

— второй летней школе по механике деформируемого твердого тела (23-27 мал 1989 г.) в КПтИ, Куйбышев,

— конференции "Неклассические уравнения математической физики" (2730 июня 1989 г.) в ИМ СОАН СССР и НГУ, Новосибирск,

— Северо-Кавказской региональной школе-конференции "Линейные операторы в функциональных пространствах" (23-30 сентября 1989 г.) в ЧИГУ, Грозный,

— Всесоюзной конференции "Интегральные задачи и краевые задачи математической физики" (22-26 октября 1990 г.) в ИПМ ДВО АН СССР, Владивосток,

— ежегодных межвузовских конференциях ."Математическое моделирование и краевые задачи" в СамГТУ, 1995-2000 гг.,

— четвертой международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (14-16 мая 2000 г.) в ИММ РАН и МГУ, г. Саранск,

— научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета в феврале 2000 г. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Жегалов В.И.),

— научном семинаре по дифференциальным уравнениям в,Самарском педагогическом университете в ноябре 2000 г. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Волкодавов В.Ф.),

— научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 1997-2000гг. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Филатов О.П.),

— научном семинаре кафедры высшей и прикладной математики Самарского государственного технического университета в ноябре 2000 г. (руководитель д.ф.-м.н. профессор Радченко В.П.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14-ти публикациях. Работы [2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14] написаны в соавторстве. Из совместных работ на защиту выносятся результаты, полученные автором самотоятельно.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 148 страницах, и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 183 наименования.

Содержании работы.

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор результатов исследований по ее тематике, кратко изложено содержание работы и методика исследований, приведеныосновные результаты.

В качестве основного объекта исследований в работе рассмотрена модельная вырождающаяся система дифференциальных уравнений -

'уЬт'Аи) - В\1у = 0,

(1)

где Ьгща^) = у2т'ахх-иуу + тАут~1их, т > 0; А, В —постоянные [2 х 2] -матрицы над полем действительных чисел, а и(х, у) — и2)т — вектор искомых функций, в области П, ограниченной отрезком [0,1] линии вырождения у = 0 и характеристиками £ = 0 и 7/ = 1, где

£ = И т] = х + ~~т2/'га+1- (2)

тп + 1 т + 1

Пусть

— аффиксы точек пересечения характеристик системы уравнений (1), выходящих из произвольной точки а: £ [0,1] с характеристиками £ = 0 и т] = 1 соответственно.

Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер. Она содержит основные определения функции матричного аргумента и некоторых специальных функций с коммутативными матричными параметрами, операторов дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М.Сайго и их обобщений на матричный случай. Приведены необходимые свойства и композиционные тождества для матричных интегродифференциальных операторов Римана-Лиувилля и отмечена их связь с системами интегральных уравнений Вольтерра абелевского типа.

Во второй главе система уравнений (1) рассмотрена в случае В = 0, а матрица А = (£ \), а2 + Ьс — 1, — инволютивна. Система уравнений

у2тихх -иуу + тАут~1их = 0 (3)

при т. = 1 представляет собой матричный аналог уравнения Бицадзе-Лыкова.

Пусть а > 0; Г] и — собственные векторы матрицы А, отвечающие ее собственным значениям А1 = 1 и А2 = — 1; в! и е2 — собственные векторы сопряженной матрицы А* = АТ. Для скалярных произведений любого вектора и с векторами ех и е2 в работе принято

обозначение: и? — е1 • и и и% = е2 • и, а величина а =-.

1 22, т + 1

В первом пункте главы показано, что задачи Коши-Гурса с данными на любой из двух граничных характеристик области П некорректны в смысле отсутствия единственности решения.

Пусть

Пу[х, 0) = и(х) = (щ; г/2)Т, (4)

u[0o(z)] = <p(x) = (<pi;<p2)T,

(5)

(6)

где ь>(х),(р(х),ф(х) —заданные вектор-функции.

Задачи (Ксшк-Гурса). Найти регулярное в Q решение сист.емы уравнений (3) с условиями (4) и (5) (или (6)).

Доказаны теоремы.

Теорема 1. Пусть и{х) в С2(0,1)П£([0,1],х"), <р(х) е С[0,1]ЛС2(0,1). Если выполнены условия:

гЦх) = ч,\[х) - 1г(1 -

то решение системы уравнений (3) и(х,у) 6 С(П)ПС2.(П) с данными (4) и (5) имеет вид:

Е + А

. ч 1 f u(s)ds Е-А _ 1 Г v(s)ds

(?)

где £ и г] определены в (2).

Однако оно неединственно, так как соответствующая однородная задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений вида

и(

х,у) = f (

х + 1 г2

v 777 + 1 *

с произвольной функцией f(x) € С[0,1] П С2(0,1) и /(0) = 0.

Теорема 2. Пусть v(x) G С2(0,1) П L([0,1], (1 - ж)а), ф{х) е С[0,1] Л Л С2(0,1).

Если выполнены условия:

т-К*) = <р\{х) - - a)D;l1~a)u2{x),

D~l{ 1 - x)-°vl{x) = 2[ф\{х) - tf(l)],

то решение системы уравнений (3) и(ж,?/) £ С(П) Л С2(П) с данными (4) и (6) имеет вид (7).

с произвольной функцией /(ж) £ С[0,1] П С2(0,1) и /(1) = 0.

Во втором пункте главы рассмотрены задачи Дарбу и обоснована их корректность. Пусть

и(х,0)=т(:Е) = (г1;г2)т. (8)

Задачи (Дарбу). Найти регулярное в Q решение системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным данным (8) и условию (5) (или (6)) на характеристиках. Доказаны теоремы.

Теорема 3. Пусть т(х),<р{х) £ С[0,1] П С3(0,1), причем ip'(x) £ £ L([0,1], Тогда решение системы уравнений (2) и(х,у) £ С(Г2)П П С2(П) с данными (8) и (5) существует, единственно и может быть взято в виде (7), где

Г(1 - а)

4(x) = 2xa£ipl(x). Аналогичная теорема 4 доказана для задачи (Дарбу) с условиями (8) и

(6).

В этом же пункте рассмотрены еще две задачи в следующих постановках.

Задача (Дарбу). Найти регулярное в Q решение системы уравнений (3) с условием (5) и начальными данными

uly(x, 0) = í/i(z) и и2(х,0) = т-2(х). (9)

Теорема 5. Пусть т2(х) £ С[0,1] П С2(0,1), щ{х) £ С2(0,1) П L[0,1], <р{х) £ С[0,1] ПС3(0,1), причем <р'(х) £ L[0,1]. Тогда единственное решение системы уравнений (3) и(х,у) £ С(П) П C2(Q) с условиями (5) и (9) существует в форме решения задачи Коши (7), в которой

П (ж)

1 + а

- Ът2(х) - Г(1 - а)Я0-(1~а)

Задача (Дарбу). Найти регулярное в П решение системы уравнений (3) с условием (6) и начальными данными

щ(х,0) = п (ж), Щу(х,0) = 1У2(х).

Доказана соответствующая теорема 6 существования единственного решения этой задачи.

В третьем пункте главы рассмотрены задачи Коши-Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области П.

Задача (Турса). Найти регулярное в О, решение системы уравнений (3) с начальными данными (4) и условиями

в! • и[0о(а;)] = ¡г(х) и е2 • и[0!(ж)] = /2{х)

(Ю)

па характеристиках.

Теорема 7. Пусть 1>(х) € С2(0,1) П 1([0,11_х", (1 -ж)а), /,(ж), /2{х) £ £ С[0,1] П С2(0,1). Решение и(ш, у) £ С(П) П С(П) системы уравнений (4) и (10) существует, единственно и илгест вид:

2(1 +а)

/ V \ ( V \

- . 1 Г Iле(в)<& | , 1 Г ие2 (я) )

где £ и Т] определены в (2).

Несмотря на то, что задачи Дарбу для системы (3) в их классической постановке корректны, задача (Дарбу) с условиями (8) и (10) на обеих характеристиках не является переопределенной. Доказана теорема 8 о существовании единственного решения этой задачи (Дарбу). Решение также найдено в явном виде.

Затем рассмотрена еще одна задача.

Задача (Коши-Гурса). Найти регулярное в П решение системы уравнений (3) с начальными данными (4) и условиями (5) и (6), наложенными на разные компоненты искомой вектор-функции и(ж,у), именно

и1[в0(а:)] = и и2[Э1{х)} = ф{х). (11)

Теорема 9. Пусть и(х) £ С2(0,1), a 14(х) £ L([0,1], (1 - z)a), u¡(x) £ £ L([0,1],ха), <р{х),-ф(х) £ С[0,1] П С2(0,1). Тогда единственное решение и(х,у) £ С(П) П С(П) системы уравнений (3) с условиями (4) и (11) определяется по формуле (7), где для Т\(х) и 72(х) получены явные представления через известные функции.

В четвертом пункте главы рассмотрена краевая задача с нелокальным условием Бицадзе-Нахушева:

А(х)и[в0(х)] + В(х)и[в!(х)] = Н(х)и(х, 0) + К(х)ии(х, 0) + с(х), (12)

где А(х), В(х), Н(х) и К(ж) — известные 2x2 -функциональные матрицы, с(ж) — заданная вектор-функция.

Задача с условием (12) является объединением широкого класса нелокальных задач. В частности, при Н(ж) — К(т) = 0 получим задачу со смещением (Нахушев).

Если в условии (12) А(х) или В(х) тождественно равны нулю, то оно превращается в нелокальное условие типа Бицадзе-Самарского.

Приведены примеры некорректных в смысле потери единственности решения задач с условиями (4) и (12). Доказана теорема.

Теорема 10. Пусть A(x),B(x),H(x),K(x),c(x),v(x) 6 С[0,1] П С2(0,1). Если матрица А(х)(Е + А) + В(х)(Е — А) — 2Н(ж) обратима всюду на отрезке [0,1], а также обратимы следующие числовые матрицы:

А(1 ){Е + А) + 2(В(1) - Н(1)), В(0)(£ - А) + 2(А(0) - Н(0)),

В(0)(Я - А) + 2(А(0) - Н(0)) - В(0)(Я + Л)[А(1)(£? + А) +

+ 2(В(1) — Н(1))]-1А(1)(£7 — А),

А(1 )(Е + А) + 2(В(1) - Н(1)) - А(1 ){Е - А)[В(0)(Е - А) + 2(А(0) -

-Н^Г'В^ХЯ + Л),

то единственное решение u(х,у) £ C(Q)ílC1(í2U(0,1))ПС2(0,1) системы уравнений (3) с условиями (4) и (12), определяется по формуле (7).

В этом же пункте рассмотрена задача с нелокальным условием Бицадзе-Самарского. Пусть

£«?а7 = /(* -tf-^Mx - t)a;P}f(t) dt, (13)

где А £ R, > О, E„(\za]f3) —функция типа Миттаг-Леффлера.

Задача. Найти регулярное в П решение системы уравнений (3) с условиями (4) и условием

Ач(х, 0) + АЯ0-3>[в0(*)] = ф), (14)

где А — инвомотивный матричный параметр в системе уравнений (3), оператор определен в (13), с(х) — заданная вектор-функция.

Теорема 11. Пусть с{х) G С[0,1] П С2(0Д), и(х) G С2(0,1) П L[О,1]. Тогда единственное решение и(х,у) € С(О) П С(П) система уравнений (3) с условиями (4) и (14) определяется по формуле (7), в которой

= Щ?с\{х) - |АГ(1 - а)Еп{\ха) * Щ>\(х),

т|(х) = \\E¿x+a)'ax«v¡(x) - Щ^О) - сЦх),

где — I — A-D^", I = Dqt, (*) — свертка функций.

В пятом пункте главы рассмотрена задача с матричным аналогом нелокального условия Бицадзе-Самарского.

Пусть uj{z) — аналитическая функция с областью определения, содержащей спектр Л(Л) матрицы А.

Задача. Найти регулярное в (2 решение системы уравнений (3) с условиями (4) и

Б^Л)и[0о(х)] = A(x)u(x, 0) + B(x)uy(i, 0) + с{х), (15)

где D"^' — матричный интегр с дифференциальный оператор, А(х), В(г) и c(z) — известные функциональные матрицы и вектор-функция аргумента х.

Теорема 12. Пусть üj(z) =-az, А(х), В(ж), v(x) 6 С[0,1]ПС2(0,1),

а с(х) = ——---(Е — А)и(0,0). Пусть, кроме того, матрица А(х)

2Г(1 — а)

обратима всюду на [0,1]. Тогда единственное решение u(х,у) £ С(Г2)П П С*(Г2и (0,1)) П С2(П) системы уравнений (3), удовлетворяющее условиям (4) и (15), определяется по формуле (7).

Показано, что корректность поставленной задачи является следствием корректности задачи Коши и однозначной разрешимости интегро-функциональной системы уравнений.

В третьей главе исходная система уравнений (1) рассмотрена в случае А = 0. В этом случае она является примером системы, порядок которой вырождается вдоль линии у = 0 изменения типа системы (1).

Пусть В £ М2, Л(В) С (-ж, 1), т > 0, Tmu = у2тихх - uro — оператор Трикоми, u(х,у) — (ui;u2)T — вектор искомых функций. В первом пункте главы для системы уравнений

L(и) = уТт(и) - Вщ = 0 (16)

в характеристической области П рассмотрены две нелокальные задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского.

Пусть a(z),u(z) — некоторые аналитические функции, определенные на спектре Л(£) матрицы В. Пусть

D«f >'<"(БЧ©ф)] = А(х)п(х,0) + \хтЩх,у)иу(х,у) + с(х), (17)

у->+о

D2iB)u[ee(a:)]=A(®)u(a:)0)+ lim К(х, у)иу(х, у) + ф), (18)

где Dai""' — матричные интегродифференциальные опера-

торы типа Эрдейи-Кобера и Римана-Лиувилля, а £ {0; 1}, компоненты функциональных матриц А(ж), В(ж), К(х,у) и вектора с(ж) являются заданными функциями.

Задача. Найти регулярное е П решение системы уравнений (16) с уело-

2 —ffl

вием (8) и (17) при a(z) = u(z) — —^jy

Теорема 13. Пусть А(х), B(i), ф) 6 С[0,1] П С2(0,1), Щх,у) = = Щх)ув. Если

матрица В(а:) обратима всюду на отрезке [0,1], то единственное решение 'и(х,у) £ С(П)ПС2(П) системы уравнений (16) с условиями (8) и (17) определяются по формуле (7).

Доказано, что корректность задачи является следствием корректности задачи Коши, решение которой использовалось при доказательстве теоремы, и однозначной разрешимости системы уравнений Вольтерра II рода с ядром Абеля.

Более того, для В(ж) = В — постоянной обратимой матрицы неизвестная вектор-функция и(х) = lim увиу{х,у) найдена в явном виде в

у->+0

терминах матричной функции Миттаг-Леффлера.

Задача. Найти регулярное в Q решение системы уравнений (16) с усло-

т + 2 — z

вием (8) и (18) при a{z) — w(z) = —-ц-.

Теорема 14. Пусть А(х), В (я), ф) £ С[0,1] П С2(0,1), К(х,у) =

= В (а:)уп. Если u(x,0) £ I,

E-2G

Ох

то единственное решение и(х, у) £

£ С(П) Г) С2(П) системы уравнений (16) с условиями (8) и (18) определяются по формуле (7).

Более того, для матрицы А(х) = неизвестная вектор-функция

т(х) — и(ж,0) найдена в явном виде в терминах матричной функции Миттаг-Леффлера.

Задача корректна по Адамару.

Во втором пункте главы найдены решения двух начальных краевых задач для уравнения с вырождением порядка

Эх2

г\ О

Оу

(19)

в области Г2 = Н\ U где Нг = {(х,у) : 0 < у < х < 1 — у}, Н2 = {(ж, у) : 0 < — у < х < 1 + у}, где и = и(х,у) — искомая функция; а,£ £ R, а отображение а(х,у) — 1-х, (3{х-,у) = —у гомеоморфно переводит область Í2 в себя. Отмечено, что краевые задачи для уравнений и систем уравнений с инволютивным отклонением могут рассматриваться как нелокальные краевые задачи в силу нелокальной природы самого дифференциального уравнения.

Основные результаты содержатся в теоремах.

Теорема 15. Пусть т(х) £ С[0,1] П С2(0,1), /ф) £ С2(0,1) П L([0,1], (1 — x)A¡), X¡ — а — (—l)*f, i = 1,2. Тогда единственное в области П решение и(х,у) £ С(П) П С2(П) уравнения (19), удовлетворяющее условиям

и(х, 0) = т(х), х £[0,1],

(20)

lim \2у\а+е—(и(х, у) + и(1 - х, -у)) = ^(х), х £ (0,1), !/->0 ОХ

lim \2у\а~е—(и(х, у) - «(1 - ж, -у)) = р2(х), х £ (0,1),

при 0 а — £,а + £ < 1 имеет вид

х+у

, х , . . 1

и\

/íl(s) ds

х+у

1_Í-

-а + е) J |

/i2(s) ds

x+y~s|a+£ 4(1-а + е) У |x + y-s|a~£'

х-у х-у

Если же а < 0 или при а'^ 0, £ > a Js О будет корректна задача типа видоизмененной задачи Коши с условием (20) и

lim ±\2y\^(JL--^yu(X,y)+u(l-x,-y)) = fi1(x), х & (0,1), (21)

lim I|2 yf - (u(x,y) - u( 1 - x, —y)) = x £ (0,.l). (22)

Теорема 16. Пусть т{х) 6 C[0,1] Л C2(0,1), /¿¿(ж) 6 C2(0,1) Л L([0,1], (1 — a:)*1), A i — а — (—1)*е, i — 1,2. Тогда единственное в области Q решение и(х,у) £ C(fi) Л С2(П) уравнения (19) с условиями (20), (21) и (22) при Ai, А2 £ (—00,1) имеет вид

х+у х+у

¡i\(s)ds 1 Г fi2(s)ds

У ! У ' 2 J \х + у - , 2 J

\х + у — s|a-E

х—у х—у

Доказано, что корректность обеих задач является следствием корректности задачи Коши и видоизмененной задачи Коши для некоторой системы дифференциальных уравнений, к которой редуцируется уравнение (19). Выявлены области влияния коэффициентов при младших производных уравнения (19) на корректность постановки рассмотренных задач, обоснована непрерывная зависимость решений от параметра е при инволютивных членах.

В третьем пункте главы для уравнения с вырождением типа

Ьа(и) + Е-и(1-х,у) =0, (23)

где La(u) — Lita(u) — оператор Бицадзе-Лыкова, и = и(х,у) — искомая функция, а, е £ R в области П = {(ж, у) :0<^-<х<1 — найдено решение задачи Коши в ее классической постановке, обоснована ее корректность и изучено влияние инволютивного слагаемого в уравнении на единственность решения задачи Коши-Гурса в одном специальном случае. Доказаны теоремы.

Теорема 17. Пусть т(х) £ С[0,1] Л С2(0,1), _v(x) £ С2(0,1) Л ¿[0,1]. Тогда единственное в П решение и(х,у) £ С(Г2) ЛС(П) уравнения (23) существует и находится в замкнутом виде.

Теорема 18. Пусть а > 0, а2 — е2 = 1, ©о(®) = ! функ-

ции v(x),(p(x) £ С[0,1]ЛС2(0,1). Тогда единственное решение и(х,у) £

G С(П)ПС1(Пи(0,1))ПС2(П) уравнения (23) с условиями u[0o(x)] = tp(x) и

иу(х,0) — v(x) (24)

существует в форме решения задачи Коши, в котором функция т(х) = = и(ж,0) выражается через известные функции i'(x) и. <р(х) в явном виде.

Теорема 19. Пусть а > О, е > 0 а2 - е2" = 1, 9i(x) = = VI - ; функции v(x), i>(x) G С[0,1] П С2(0,1). Тогда един-

ственное решение и(х,у) G C(fi) П Cl(p. U (0,1)) П C2(Ü) уравнения (23) с условиями (24) и m[©i(2;)] = ф(х) существует в форме решения Задачи Коши.

Из теоремы 19 при е —> 0 (а —> 1) следует известный результат Т.Ш. Кальменова3 о некорректности задачи Коши-Гурса для уравнения влагопереноса на характеристике 7/ = 1 уравнения (23).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Огородников E.H. О нелокальной краевой задаче для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, ИМ COAII СССР. 1988. C.I50-151.

[2] Андреев A.A., Огородников E.H. О некоторых нелокальных краевых задачах для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Линейные операторы в функциональных пространствах. Матер, регион, конф. Грозный, Чечено-ингуш. ун-т. 1989. С.23-24.

[3] Андреев A.A., Огородников E.H. Нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы и интегральные уравнения третьего рода // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Мат. Все-союз. конф. Владивосток, 1990. С.97.

[4] Огородников E.H. Две нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды пятой межвуз. конф. Самара, Сам. техн. ун-т, 1995. С.81-82.

[5] Огородников E.H. Краевые задачи со смещением для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и кра-

3Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. N1. с.178-181.

евые задачи. Труды шестой межвуз. конф. Самара, Сам. техн. ун-т, 1996. С.75-77.

[6] Огородников E.H., Сеницкии А.Ю. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающейся системы гиперболического типа // Труды седьмой межвуз. конф. Самара, Сам. техн. ун-т, 1997. С.60-65.

[7] Андреев A.A., Огородников E.H. О корректности задач Дарбу и Коши-Гурса для одной вырождающейся гиперболической системы // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 1998. С.3-7.

[8] Андреев A.A., Огородников E.H. Матричные интегродифференциаль-ные операторы и их применение // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Вып. 7. 1999. С.27-37.

[9] Андреев A.A., Огородников E.H. Некоторые краевые задачи с условием типа Бицадзе-Самарского для системы уравнений с оператором Бицадзе-Лыкова // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 1999. С.3-11.

[10] Андреев A.A., Огородников E.H. Нелокальные краевые задачи для одной системы уравнений с вырождением порядка // Труды средневолж-ского математического общества. Т.2., N1. Саранск, СВМО, 1999. С.75-76.

[11] Огородников E.H. О корректности некоторых нелокальных краевых задач для системы уравнений Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 1999. С.97-102.

[12] Огородников E.H. О некоторых краевых задачах для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 2000. С.119-125.

[13] Андреев A.A., Огородников E.H. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Вып.9. 2000. С.32-36.

[14] Андреев A.A., Огородников E.H. О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе-Лыкова с инволютивным отклонением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 2000. С.8-16.

Подписано в печать 09.11.2000. Формат 60x84 Хв-Бумага офсетная. Печать оперативная. Гарнитура "Тайме".

Усл. печ. л. 1,09. Тираж 100 экз. Заказ 242.

Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии ООО "Офорт" Лицензия ПД 7-0050 от 30.08.2000.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Огородников, Евгений Николаевич

Введение.

1 Основные определения и некоторые свойства матричных интегродифференциальных операторов.

1 Функции матричного аргумента и определения некоторых специальных функций с матричными параметрами.

2 Оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, его обобщения и модификации.

3 Матричный интегродифференциальный оператор Римана-Лиувилля, некоторые его свойства и обобщения.

4 Некоторые композиционные тождества для матричных интегродифференциальных операторов Римана-Лиувилля и системы интегральных уравнений абелевского типа

2 Краевые задачи для системы уравнений с вырождением типа.

1 Неединственность решения задач Коши-Гурса.

2 О корректности задачи Дарбу.

3 Корректные постановки задач Коши-Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области.

4 К постановке нелокальных краевых задач для системы уравнений (1.1).

5 Краевая задача с матричным аналогом нелокального условия типа Бицадзе-Самарского.

3 Нелокальные краевые задачи для системы уравнений с вырождением порядка и корректность начальных и краевых задач для некоторых вырождающихся гиперболических уравнений с инволютивным отклонением.

1 Краевые задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского для системы уравнений с вырождением порядка.

2 О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инво-лютивным отклонением.

3 О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе-Лыкова с инволютивным отклонением в одном специальном случае.

Введение диссертация по математике, на тему "Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками"

Теория неклассических краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений. Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [131], S. Gellerstedt [145], Ф.И. Франкля [133], К.И. Бабенко [28], М.А. Лаврентьева [79], A.B. Бицадзе [36], [39]. Дальнейшее развитие теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений получила в работах И.Н. Векуа [41], O.A. Олей-ник [103], R.P. Gilbert [146], Е. Holmgren [153], А. Weinstein [167], В.П. Михайлова [84], A.A. Дезина [53], М.М. Смирнова [123], [124], И.М. Петруш-ко [105], Е.И. Моисеева [86], С.П. Пулькина [106], [107], В.И. Жегало-ва [58], [63], [64], В.Ф. Волкодавова [43], [48], A.M. Нахушева [90], [91], [98], К.Б. Сабитова [114], [115], Н.В. Кислова [72], [73], Y.K. Kwok [160], М.Е. Лернера [82] и других отечественных и зарубежных авторов.

Подробный анализ работ, отражающих современное состояние теории краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными и обширная библиография содержатся в монографиях М.М. Смирнова [123], [124], [125], A.B. Бицадзе [33], [35], A.A. Дезина [54], М.С. Сала-хетдинова [116], Е.И. Моисеева [85], С.А., Терсенова [130], В.Н. Врагова [50], Т.В. Чекмарева [135], Л.И. Янушкаускаса [140], A.M. Нахушева [89], В.Ф. Волкодавова и Н.Я. Николаева [45], O.A. Репина [109], С.Г. Самко, A.A. Килбаса, О.И. Маричева [121], М.М. Хачева [134].

Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги [96], [99], [42], [139], [77], описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера [141] и диффузии в трехкомпонентных системах [168], приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в монографии A.M. Нахушева [89], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе [169], [148].

Исследование краевых задач со смещениями было начато в работах A.B. Бицадзе, A.A. Самарского (эллиптические уравнения), В.И. Жега-лова [58] и A.M. Нахушева [98] (уравнения смешанного типа).

В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ A.A. Самарского [119], Х.Ш. Джураева [56], М.С. Салахетдинова [117], [118], В.И. Жегалова [59], [60], [61], [62], [65], A.M. Нахушева [90], [92], [93], [95], М.М. Смирнова [126], Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина [66], [67], В.А. Елеева [57], Ж. Орамова [104], В.Ф. Волкодавова [49], [46], [44], A.A. Килбаса [70], [71] O.A. Репина [109], [110], [111], [112], [113], M.X. Аб-регова [1], В.В. Азовского [2], [3], [4], Д. Аманова [5], A.A. Андреева [19], [20], Х.Г. Бжихатлова [32], С.К. Кумыковой [75], [76], [77], [78], Н.Я. Николаева, [102], [47], Г.Н. Шевченко [137], [138] и др.

К настоящему времени наиболее исследованы краевые задачи со смещением для уравнений второго порядка смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнениям Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД). Задачи с условием Нахушева и задачи типа Бицадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных краевых задач, теория которых далека от ее окончательного завершения.

В 80-х годах появились первые работы, в которых исследовалась корректность постановок задач Коши, Гурса и Дарбу для модельных вырождающихся систем гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Начало систематических исследований систем уравнений ЭПД методом Римана было положено в работах A.A. Андреева [12], [3], [8]. Эффективность этого метода гарантировалась тем, что был указан явный вид матрицы Римана для системы уравнений ЭПД с двумя коммутативными матричными параметрами [15], [16], [9].

Корректность классических задач Коши, Дарбу, Коши-Гурса рассматривалась в работах A.A. Андреева, B.JI. Спицына, А.Ю. Сеницкого для частных и специальных случаев матричных параметров системы уравнений ЭПД [17], [24], [22], [23], [122], [129].

Хорошо известно, что в теории уравнений с частными производными гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области (задача Дирихле) служат примером некорректно поставленных задач [134]. Результаты исследований по краевым задачам с данными на всей границе для волнового уравнения можно найти в работах J. Hadamard [151], A. Huber [154], D. Mangeron [161], P.G. Bourgin [142], R. Duffin [143], F. John [156], D.W. Fox, C. Pucci [144], В.И. Арнольда [27], С.Л. Соболева [127], H.H. Вахания [40], Ю.М. Березанского [31].

На корректность задачи Дирихле для уравнения смешанного типа впервые обратил внимание A.B. Бицадзе [37]. Корректные постановки задачи Дирихле в смешанных областях рассматривались в работах Б.В. Шабата [136], A.M. Нахушева [97], А.П. Солдатова [128] и др. Библиография и анализ работ, появившихся в последние годы, содержатся в монографии М.М. Хачева [134].

В качестве основного объекта исследований в работе рассмотрена модельная вырождающаяся система дифференциальных уравнений уЬтЛ(и) - Виу = 0, (1) где Ьт,А(и) = у2тихх - иуу + тАут~1\хх, т > 0; А, В — постоянные [2 х 2] -матрицы над полем действительных чисел, а и (ж, у) — — {иъ и2)Т — вектор искомых функций, в области О, ограниченной отрезком [0,1] линии вырождения у = 0 и характеристиками £ = 0 и г] = 1, где = и r, = x + -±-ym+1. (2) m + 1 ra + 1

Пусть , ч /ж /roll \ , , fl + x (т + 1 Л

J J и ) аффиксы точек пересечения характеристик системы уравнений (1), выходящих из произвольной точки же [0,1], с характеристиками £ = 0 и г] = 1 соответственно.

Во второй главе система уравнений (1) рассмотрена в случае В = 0, а матрица а?-\-Ъс= 1, —инволютивна. Система уравнений у2тихх - иуу + тАу™"1^ = 0 (3) при m = 1 представляет собой матричный аналог уравнения Бицадзе-Лыкова.

Отметим, что в скалярном случае (А = const, т = 1) уравнение (3) было предложено A.B. Лыковым в 1965 г. для описания процесса переноса потока влаги в каппилярно-пористых средах [83], а еще раньше в 1958 г. A.B. Бицадзе привел это уравнение как пример уравнения, для которого при \А\ ^ 1 корректна по Адамару задача Коши с начальными даннымина на линии параболического вырождения, хотя и нарушено условие Геллерстедта [33]. A.M. Нахушев в работах [94], [89] приводит это же уравнение как пример уравнения [68], для которого задача Коши-Гурса (вторая задача Дарбу) поставлена некорректно на одной из двух характеристик.

В первом пункте главы показано, что задачи Коши-Гурса для системы уравнений (3) с данными на любой из двух граничных характеристик области Q некорректны в смысле отсутствия единственности решения.

Пусть а ^ 0; ri и — собственные векторы матрицы А, отвечающие ее собственным значениям Ai = l и Аг = -1; ej и ег — собственные векторы сопряженной матрицы А* = Для скалярных произведений любого вектора и с векторами ei и ег в работе прит нято обозначение: щ = ei • и и щ = е 2-й, а величина а — ^ | 1. Пусть

Uy(x,0) = и(х) = (vi]v2)T, и[В0(ж)] = (р(х) = (v?i; <Р2)Т, и [в1(х)] = ф(х) = (ф1;ф2)т, где и(х),<р(х),ф(х) —заданные вектор-функции.

Задачи (Коши-Гурса). Найти регулярное в О, решение системы уравнений (3) с условиями (4) и (5) (или (6)).

Доказаны теоремы.

Теорема 1. Пусть v(x) G С2(0,1)ПЬ([0,.1],жа),^(ж) G С[0,1]ПС2(0,1). Если выполнены условия: т!(х) = <pl(x) - |г(1 mo решение системы уравнений (3) u(х,у) G C(Q) П C2(Q) с данными (4) и (5) имеет вид:

7) где £ и г} определены в (2).

Однако оно неединственно, так как соответствующая однородная задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений вида u(x,y) = f(x + ^--ym+1) г2 \ т +1 J с произвольной функцией f(x) Е С[0,1] П С2(0,1) и /(0) = 0.

6) и

Е + А v г(п) + \ / v{s) ds (77 - s)a

Е-А т v(s) ds s

Теорема 2. Пусть и(х) € С\О,1) П L([0,1], (1 - ф(х) € С[0,1] П

П С2(0,1).

Если выполнены условия: т!М = ip\(x) - ir(l - a)D-ta)u2(x), x)~av¡(x) = 2[ф1(х) - фЦ1)], то решение системы уравнений (3) и(х,у) £ C(fi) П C2(Q) с данными (4) и (6) имеет вид (7).

Однако оно неединственно, так как соответствующая однородная задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений вида и(x,y) = f(x--±-ym+1) п \ га +1 ) с произвольной функцией f(x) € С[0,1] П С2(0,1) и /(1) = 0.

Во втором пункте главы рассмотрены задачи Дарбу и обоснована их корректность. Пусть u(s>0) = r(s) = (Ti;7*)r. (8)

Теорема 3. Пусть т(х),<р(х) £ С[0,1] П С3(0,1), причем (р'(х) £ £ Ь([0,1],жа). Тогда решение системы уравнений (2) и(х,у) £ C(Q) П П С2(О) с данными (8) и (5) существует, единственно и может быть взято в виде (7), где v{(x) и определяются через известные функции.

Аналогичная теорема 4 доказана для задачи (Дарбу) с условиями (8) и (6).

В этом же пункте рассмотрены еще две задачи в следующих постановках.

Задача (Дарбу). Найти регулярное в Q, решение системы уравнений (3) с условием (5) и начальными данными щу(х,0) = vi(x) и и2{х, 0) = т2(ж). (9)

Задача (Дарбу). Найти регулярное в ^ решение системы уравнений

3) с условием (6) и начальными данными щ(х, 0) = п(х), и2у{х, 0) = р2(х).

Доказаны соответствующие теоремы 5 и б о существовании единственного решения этих задач.

В третьем пункте главы рассмотрены задачи Коши-Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области

Задача (Коши-Гурса). Найти регулярное в решение системы уравнений (3) с начальными данными (4) и условиями в! • и[©0(я)] = Д(яО и е2.и[@1М] = /2М (Ю) на характеристиках.

Теорема 7. Пусть р{х) € С2(0,1) Г)Щ0,1], ха, (1 -х)а), /г(х),/2(х) е € С[0,1]ПС2(0,1). Решение и(х,у) Е С(П)ПС(Г2) системы уравнений

4) и (10) существует, единственно и имеет вид:

7) =

2(1 +а) " ЛОЙ " \ / vHs) ds iw , ri + г] - s)a

L V í v \ Ш

1 [ z/f(s) ds

2 J (s-0a V f )

Г2 где £ и г] определены в (2).

Затем рассмотрена еще одна задача.

Задача (Коши-Гурса). Найти регулярное в решение системы уравнений (3) с начальными данными (4-) и условиями (5) и (6), наложенными на разные компоненты искомой вектор-функции и (ж, у), именно щ[90(х)] = ф) и и2[в1(х)] = ф(х). (И)

Теорема 9. Пусть v(x) £ С2(0,1), a vf(x) е L([0,1], (1 - х)а), и%(х) е L([0,1],ха), <р(х),ф(х) G С[0,1]ПС2(0,1). Тогда единственное решение и (ж, у) € С(0)ПС(0) системы уравнений (3) с условиями (4) и (11) определяется по формуле (7), где для Т\{х) и 72(ж) получены явные представления через известные функции.

В четвертом пункте главы рассмотрена краевая задача с нелокальным условием Бицадзе-Нахушева:

А(ж)и[е0(ж)] + В(ж)и[01(аг)] = Н(ж)и(я, 0) + К{х)ии(х, 0) + ф), (12) где А(ж), В(ж), Н(ж) и К(я) — известные 2x2 -функциональные матрицы, с(ж) — заданная вектор-функция.

Задача с условием (12) является объединением широкого класса нелокальных задач. В частности, при Н(ж) = К (ж) = 0 получим задачу со смещением (Нахушев).

Если в условии (12) А(ж) или В(ж) тождественно равны нулю, то оно превращается в нелокальное условие типа Бицадзе-Самарского.

Теорема 10. Пусть А(ж),В(ж),Н(ж),К(ж),ф),ф) <Е С[0,1]ПС2(0,1). Если матрица А(х)(Е + А) + В(х)(Е — А) — 2Н(х) обратима всюду на отрезке [0,1], а также обратимы следующие числовые матрицы:

А(1 ){Е + А) + 2(В(1) - Н(1)), В(0){Е - А) + 2(А(0) - Н(0)),

В(0)(Е - А) + 2(А(0) - Н(0)) - В(0){Е + А)[А(1)(Е + А) + 2(В(1)-Н(1))Г1А(1)(Е-А),

А(1 )(Е + А) + 2(В(1) - Н(1)) - А(1)(Е - А)[В(0)(Я - А) + 2(А(0)

-ЩО))]-^ (0)(Я + Л), то единственное решение и(х, у) £ С(О) П С1 (О, и (0,1)) П С2(0,1) системы уравнений (3) с условиями (4) и (12), определяется по формуле

V■

В этом же пункте рассмотрена задача с нелокальным условием Бицадзе-Самарского. Пусть х /(* - (У-'ДоМ* - /3]/« <*, (13) где Л € R, а, (3 > О, Ea(\za\ 0) — функция типа Миттаг-Леффлера.

Задача. Найти регулярное в Q решение системы уравнений (3) с условиями (4) и условием

Аи(х, 0) + А£-^и[©оМ] = ф), (14) где А — инволютивный матричный параметр в системе уравнений (3), оператор Eq®'® определен в (13), с(х) — заданная вектор-функция.

Теорема 11. Пусть ф) е С[0,1] П С2(0,1), ф) £ С2(0,1) П L[0,1]. Тогда единственное решение и(х,у) С(0,)Г\С(£1) системы уравнений (3) с условиями (4) и (14) определяется по формуле (7), в которой тЦх) = - ¿АГ(1 - а)Е„(Хх") * т1(х) = ÍA- \Е£?4(0) - 4(*), где = I — AD¿a, I = Dqx, (*) — свертка функций.

В пятом пункте главы рассмотрена задача с матричным аналогом нелокального условия Бицадзе-Самарского.

Пусть ш(г) — аналитическая функция с областью определения, содержащей спектр А (А) матрицы А.

Задача. Найти регулярное в VL решение системы уравнений (3) с условиями (4) и

DoiA)u[©oOr)] = А(х)и(х, 0) + В(х)иу{х, 0) + ф), (15) где DqÍ^ — матричный интегродифференциалъный оператор, А(х), В (ж) и с (ж) — известные функциональные матрицы и вектор-функция аргумента х.

Теорема 12. Пусть u(z) = -az, А(х),В(х),и(х) G С[0,1] П С2{0,1), х~а а с(ж) = 2Г(1-Пустъ> кроме того, матрица А(х) обратима всюду на [0,1]. Тогда единственное решение u(х,у) Е С(Г2)П П C1(fi¡U(0, l))flC2(íí) системы уравнений (3), удовлетворяющее условиям (4) и (15), определяется по формуле (7).

В третьей главе исходная система уравнений (1) рассмотрена в случае А = 0. В этом случае она является примером системы, порядок которой вырождается вдоль линии у — 0 изменения типа системы (1).

Пусть В € М2, А (В) С (-m, 1), т> 0, Тт и = у2тихх - иуу — оператор Трикоми, и (ж, у) = (щ-, щ)Т — вектор искомых функций. В первом пункте главы для системы уравнений

L(u) ЕЕ уТт(и) - Виу = 0 (16) в характеристической области Q, рассмотрены две нелокальные задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского.

Пусть a(z),oo(z) — некоторые аналитические функции, определенные на спектре Л (В) матрицы В. Пусть

D^)M5)u[0aW] = А(ж)и(ж,0) + lim К(х,у)иу(х,у) + ф), (17) D¿B)u[ee(a:)] = А(®)ф,0) + Hm K(z, у) + ф), (18) где Dai5^^^, Dai^ —матричные интегродифференциальные операторы типа Эрдейи-Кобера и Римана-Лиувилля, а 6 {0; 1}, компоненты функциональных матриц А(ж),В(ж),К(ж,т/) и вектора с(ж) являются заданными функциями.

Задача. Найти регулярное в Í2 решение системы уравнений (16) с g | yyx условием (8) и (17) при a(z) = uj(z) = —^jy

Теорема 13. Пусть А(ж),В(ж),ф) G С[0,1] П С2(0,1), К(х,у) = = В{х)ув. Если матрица В(ж) обратима всюду на отрезке [0,1], то единственное решение u(х,у) G С(О) П C2(Q) системы уравнений (16) с условиями (8) и (17) определяется в форме решения задачи Коши.

Более того, для В(ж) = В — постоянной обратимой матрицы неизвестная вектор-функция v{x) = lim yBVLy{x:y) (18')

2/-Н-О найдена в явном виде в терминах матричной функции Миттаг-Леффлера.

Задача. Найти регулярное в Q решение системы уравнений (16) с т + 2 — z условием (18') и (18) при a(z) = —^ ^ .

Теорема 14. Пусть А(ж),В(х),ф) <Е С[0,1] П С2(0,1), К(х,у) = = В(х)ув. Если тф, 0) € Ij|r2Gr, то единственное решение и(х,у) £ G C(Q)nC2(Q) системы уравнений (16) с условиями (18') и (18) определяется в форме решения задачи Коши.

Более того, для матрицы А[х) = x~G неизвестная вектор-функция т{х) = и(ж, 0) найдена в явном виде в терминах матричной функции Миттаг-Леффлера.

Задача корректна по Адамару.

Во втором пункте главы найдены решения двух начальных краевых задач для уравнения с вырождением порядка д2 д2\ ( д дХ

A^~W)u+\rx-dyru+eu(a'ß)) = Q (19) в области Q = Hi U Щ, где Н\ = {{х,у) : 0 < у < х < 1 — у}, #2 — {(ж, у) : 0 < — у < х < 1 + ?/}, где и = и(х, у) — искомая функция; а, е G R, а отображение а(х,у) = 1-х, ß(x,y) =—у гомеоморфно переводит область Q в себя. Отмечено, что краевые задачи для уравнений и систем уравнений с инволютивным отклонением могут рассматриваться как нелокальные краевые задачи в силу нелокальной природы самого дифференциального уравнения.

Основные результаты содержатся в теоремах.

Теорема 15. Пусть т{х) е С[0,1] П С2(0, 1), /ф) е С2(0,1) П L([0,1], (1 — Хг = а — (—1)ге, г = 1,2. Тогда единственное в области ii решение и(х,у) G C(fi)nC2(i}) уравнения (19), удовлетворяющее условиям ф,0) = ф), же [0,1], (20) Q lim\2у\а+£—(и(х: у) + и(1 - х, -у)) = /ф), х G (0,1),

2/—>0 ОХ Q lim \2y\a-£—(u(x, у) - u{ 1 - x, -y)) = ß2(x), x £ (0,1),

У~>0 ОХ при O^a — a + e< 1 имеет вид x+y ч / ч 1 f Ui(s)ds u(x,y) = r{x + y)

4(1 — а — e) J jX + y - s|a+£ x-y x+y s) ds i f

- а + e) J

4(1 — a + e) J \x + у - s\a~£' x-y

Если же а < 0 или при а ^ 0, £> а ^ 0 будет корректна задача типа видоизмененной задачи Коши с условием (20) и limi|2j,r« (J- - („(«, у) +•„(1 - х, -у)) = (21)

1 /Л \ lim-\2уГ* - -J у) - «(1 - я, -у)) = /i2(®), (22) где ж е (0,1).

Теорема 16. Пусть r(x) <Е С[0,1] П С2(0,1), /¿¿(ж) е С2(0,1) П L([0,1], (1 —rc)Ai), Xi = a—(—1)г£, г = 1,2. Тогда единственное в области Q решение и(х,у) £ C(ü) П C2(£i) уравнения (19) с условиями (20), (21) и (22) при Ai, Л2 € (—00,1) имеет вид х+у х+у

1 f /ii (s) ds ■ 1 f ¡12 (s) ds u(x,y) = т(х + у)-^ j

Х+у—8\а+Е 2 7 \х 4- у — э\а~£ ж-г/ ж-г/

В третьем пункте главы для уравнения с вырождением типа

Г\ 1

Ьа(и) + £—и(1-х,у) = 0, (23) где La(u) = Lijü(u) —оператор Бицадзе-Лыкова, и = и(х,у) —иско

2 2 мая функция, а, е G R в области Q = {(х,у) :0<у<ж<1 — у}, найдено решение задачи Коши в ее классической постановке, обоснована ее корректность и изучено влияние инволютивного слагаемого в уравнении на единственность решения задачи Коши-Гурса в одном специальном случае.

Доказаны теоремы.

Теорема 17. Пусть т(х) £ С[0,1] Г) С2(0,1), v{x) G С2(0,1) П Ь[0,1]. Тогда единственное в Í7 решение и(х,у) £ C(íl) П C(Q) уравнения (23) существует и находится в замкнутом виде.

Теорема 18. Пусть а > 0, а2 — е2 = 1, во(ж) = y/x^j ; функции v(x),tp(x) G С[0,1] П С2(0,1). Тогда единственное решение и(х,у) G G С(й) П Cl(ü U (0,1)) П С2(Q) уравнения (23) с условиями гг[в0(яг)] = = (р(х) и иу(х, 0) = и(х) (24) существует в форме решения задачи Коши, в котором функция т(х) = = и(х, 0) выражается через известные функции ь>{х) и tp(x) в явном виде.

Теорема 19. Пусть а > 0, е > 0 а2 - е2 = 1, ©i(x) = = VT^x^j ; функции и{х),ф(х) G С[0,1] П С2(0,1). Тогда единственное решение и(х,у) G С (О,) П Cl(Q U (0,1)) П С2(й) уравнения (23) с условиями (24) и t¿[©i(x)] = ф(х) существует в форме решения задачи Коши.

Из теоремы 19 при е —> 0 (а —> 1) следует известный результат Т.Ш. Кальменова [68] о некорректности задачи Коши-Гурса для уравнения влагопереноса на характеристике ц = 1 уравнения (23).

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Огородников, Евгений Николаевич, Самара

1. А брегов М.Х. Некоторые задачи типа Бицадзе-Самарского для одного уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. N1. с.3-7.

2. Азовский В. В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости // Волжск, математ. сб. Вып. 9. Куйбышев: КГПИ, 1971. С.3-7.

3. Азовский В.В. Задача со смещениями для уравнения с оператором Fa // Дифференц. и интеграл, уравнения. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ, 1987. С.120-125.

4. Аманов Д. Некоторые нелокальные краевые задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Докл. АН УзССР. 1984. N7. с.4-7.

5. Андреев A.A. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Краевые задачи для уравнений математической физики. Куйбышев: Изд-во Куйбыш. пед. ин-та, 1990. с.3-6.

6. Андреев A.A. Об одном обобщении операторов дробного интегро-дифференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. Всесоюзн. конф. Владивосток: 1990. с.91.

7. Андреев A.A. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа: Дис. канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1981. 100 с.

8. Андреев A.A. О некоторых приложениях ассоциированных гипергеометрических функций / / Диффер. уравнения (математическая физика). Материалы Куйб. обл. межвуз. науч. совещания-семинара. Куйбышев, 1984. N12. с.8-9.

9. Андреев A.A. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановским сдвигом / / Дифференциальные уравнения и их приложения: Тр. второго междунар. сем. Самара, 1998. с.5-18.

10. Андреев А.А. О корректности начальных задач для некоторых уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом / / Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СОАН СССР.1986. с. 10-14.

11. Андреев A.A. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. Тр. пединститутов РСФСР. Вып. 16., 1980. с.3-5.

12. Андреев A.A. О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР. 1981. С.???-???.

13. Андреев A.A. Задача Коши для некоторых вырождающихся гиперболических систем второго и четвертого порядков // Дифференц. и интеграл. уравнения. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ.1987. С.46-57.

14. Андреев A.A., Килбас A.A. О решениях неоднородного гипергеометрического уравнения и вычислении интегралов // Докл. АН БССР. 1983. Т.27, N6. с.493-496.

15. Андреев A.A., Килбас A.A. О некоторых ассоциированных гипергеометрических функциях // Изв. высш. учеб. заведений. Мат. 1984. N12. с.3-12.

16. Андреев A.A. Задача Коши-Гурса и Дарбу для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) // Дифференц. уравнения с частными производными. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ. 1983. С.53-57.

17. Андреев A.A., Линьков A.B. О корректных задачах для одного модельного уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1997. с.3-11.

18. Андреев A.A., Рябов A.B. Некоторые краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для обобщенного уравнения Трикоми в неограниченных областях // Дифференц. уравнения и их приложения: Сб. Куйбышев, 1975. Вып.2. с.9-15.

19. Андреев A.A., Рябов A.B. О некоторых краевых задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравнения и их приложения. Межвуз. сб. трудов по физ.-мат. наукам. Вып. 2. Куйбышев: КПтИ. 1975. С. 15-21.

20. Андреев A.A., Сеницкий А.Ю. О задаче Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу частного вида с отклоняющимся аргументом // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1987. с.51-53.

21. Андреев A.A., Сеницкий А.Ю. О системе уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (I) // Краевые задачи и структура решений дифференциальных уравнений. Куйбышев, 1986. с.38-41.

22. Андреев A.A., Сеницкий А.Ю. О задаче Коши для системы вырождающихся уравнений типа Лыкова // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. Новосибирск: ИМ СОАН СССР. с.105-107.

23. Андреев A.A., Спицин B.JI. О краевых задачах для одной системы уравнений гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения с частными производными. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ. 1983. С.57-66.

24. Андреев A.A., Шиндин И.П. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения с инволюцией частного вида // Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев: Куйбыш. гос. пед. ин-т, 1988. с.51-53.

25. Арнольд В.И. Малые знаменатели. 1. Об отображении окружности на себя. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1961, 25, N1, с.21-86.

26. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи ма-тем. наук. 1953. Т.8. N2. С. 160.

27. Волкодавов В.Ф., Кириленко C.B. Задача с нелокальными условиями для уравнения Эйлера-Дарбу с равными отрицательными параметрами // Дифференц. уравнения. Математ. физика. Межвуз. сб. научных тудов. Т.236. Куйбышев: КГПИ, 1980. С.24-29.

28. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Учебн. пособие. 1984. Куйбышев. 80 с.

29. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. О новой задаче со смещением для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами // Математ. физика. Межвуз. темат. сб. научных трудов. Куйбышев: КПтИ.1979. С.3-9.

30. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Задача Коши для уравнения типа Эйлера-Дарбу с сильным вырождением // Исслед. по дифференц. уравнениям. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ. 1982. С.3-13.

31. Волкодавов В.Ф., Носов A.B. О единственности решения некоторых краевых задач для уравнения типа Трикоми с особенностью первого порядка на переходной линии // Волжск, математ. сборник. Вып. 5. Казань. 1966. С.58-69.

32. Волкодавов В.Ф., Репин O.A. Решение краевой задачи со смещением для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения и их приложения. Межвуз. сб. научных трудов по физ.-мат. наукам. Вып. 2. Куйбышев: КПтИ. 1975. С.9- 15

33. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983. 84 с.

34. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

35. Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами // Успехи мат. наук. 10:2 (64), 1955. с. 153-156.

36. Дезин A.A. Общие вопросы теории• граничных задач. М.: Наука,1980.

37. Дезин A.A. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач // Труды МИ РАН. Т. 229. М.: Наука. 2000. 175 с.

38. Джрбашян М.М. Интегральное преобразование и представления функций в комплексной плоскости. М.: Наука, 1966. 672 с.

39. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Изд-во "Фан" Узбек. ССР. 1979. 120 с.

40. Елее в В. А. О некоторых задачах типа типа задачи Коши и задачах со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. N1. с.46-58.

41. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешенного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. Т. 122. Кн.З. С.3-16.

42. Жегалов В.И. Задача типа Трикоми с пятью степенями в гиперболической части области // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанск. ун-та, 1978. Вып.15. с.48-52.

43. Жегалов В. И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-составного типа // Изв. вузов. Математика. 1982. N10. с.15-18.

44. Жегалов В.И. К задачам со смещением в краевых условиях для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1984. с.63-73.

45. Жегалов В.И. К краевым задачам со смещением для уравнения-----Лаврентьва-Бицадзе // Изв. вузов. Математика. 1986. N3. с.61-64.

46. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для системы уравнений смешанного типа второго порядка // Ученые записки Казанск. унта, 1962. Т. 122. К. 43. С.3-16.

47. Жегалов В.И. Об одном случае задачи Трикоми // Труды семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т, 1966. Вып. 3. С.28-36.

48. Жегалов В.И. Об одной системе уравнений смешанного типа высшего порядка // Изв. вузов. Математика. 1975. N6. С.25-35.

49. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. N2. С.294-304.

50. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. N7. С. 1284-1295.

51. Калъменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифферент уравнения. 1971. Т.7. N1. с.178-181.

52. Килбас A.A. Степенно-логарифмические интегралы в пространствах гельдеровских функций // Изв. Ан. БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1975. N1. с.37-43.

53. Килбас A.A. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1986. Т.24. N10. С. 1764-1777.

54. Килбас A.A., Репин O.A. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. N6. С.799-805.

55. Кислое Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. N8. С. 1427-1436.

56. Кислое Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения // Ма-тем. сб. 1984. Т.125 (167). N1. С.19-37.

57. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1986. 496 с.

58. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравне-----ния signylylmUxx + ишу = 0 // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12.N1. с.79-88.

59. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17. N1. с.81-90.

60. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14. N1. с.50-65.

61. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. N1. с.92-101.

62. Нахушев A.M. Краевая задача для нагруженных интегродифферен-циальных уравнений гиперболического типа и некоторые приложения к прогнозу почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. N1. С.96-105.'

63. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения. Минск, 1970. Т. 6. N1. С.190-191.

64. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. Т. 5. N1. 1969. С.44-53.

65. Нахушева Ф.Б. О некоторых конструктивных свойствах решения вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Изв. АН Уз. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1981. N5. С.22-29.

66. Нерсесян А.Б. О задаче Коши для уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Мат. второй Всесоюз. межвуз. конф. по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. с. 116-117.

67. Николаев Н.Я. Решение двух краевых задач с разрывными условиями склеивания для одного гиперболического уравнения / / Дифференц. уравнения и их приложения. Межвуз. сб. трудов по физ.-мат. наукам. Вып. 2. Куйбышев: КпТИ. 1975. С.72-78.

68. Олейник O.A. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа // Матем. сб. 1952. Т.30 (72). Вып. 3. С.695-702.

69. Орамов Ж. О краевых задачах типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1986. Т.19. N1. с.94-101.

70. Петрушко И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения uxx + yuvy + auy + ßux + 7u = f в смешанной области // Дифференц. уравнения. 1968. Т.4. N1. С. 123-135.

71. Пулъкин С. П. Задачи Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Доклады АН СССР. Т.18. N1. 1958. С.38-41.

72. Пулъкин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу + Рих = 0 // Ученые записки КГПИ. Вып. 21. Куйбышев: 1958. С.З-&.

73. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1997. 383 с.

74. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Изд-во Саратов, ун-та, Самарский филиал, 1992. 162 с.

75. Репин O.A. О задаче типа задачи Бицадзе-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения // Маием. физика. 1987. Межвуз. сб. Ленинград. С.71-74.

76. Репин O.A. Краевая задача для уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N1. С.169-171.

77. Репин O.A. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения параболо-гиперболического типа / / 16-я Всесоюзная школа по теории операторов в функц. простр. Тезисы докладов. 1991. Нижний Новгород. С. 189.

78. Репин O.A. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения / / Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. N1. С.110-113.

79. Сабитов К.Б. К проблеме обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N5. С.841-851.

80. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N6. С.1023-1032.

81. Салахетдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. 156 с.

82. Салахетдинов М.С., Мирсабуров М. О двух нелокальных краевых задачах для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. Т. 18. N1. 1982. С.116-127.

83. Салахетдинов М.С., Уринов A.K. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения смешанного типа //В кн. Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления. Ташкент: ФАН, 1982. С.3-12.

84. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. N11. С.1925-1935.

85. Самко С.Г. О сведении некоторых интегральных уравнений первого рода теории упругости и гидродинамики к уравнениям второго рода // Прикл. мат. и мех. 1967. т.31. N2. с.343-345.

86. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

87. Сеницкий А.Ю. О системе уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (II) // Краевые задачи для уравнений математической физики. Куйбышев, 1990. с.61-64.

88. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.

89. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

90. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

91. Смирнов М.М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Математика. N3. 1982. С.68-75.

92. Соболев С. Л. Пример корректности краевой задачи для уравнения колебаний струны с данными на всей границе // Докл. АН СССР. 1956. 109. N4. С.707-709.

93. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. Минск, Т. 30. N11. С.2001-2009.

94. Спицин В.Л. О методе Римана-Адамара для одной системы гиперболического типа второго порядка // Вестник Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-Мат. науки. Вып. 7. 1999. С. 19-26.

95. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. 144 с.

96. Трико ми Ф. О. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.: ИЛ. 1947. 192 с.

97. Трикоми Ф.О. Интегральные уравнения. М.: ИИЛ, 1960. 300 с.

98. Франклъ Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.

99. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Изд-во "Эльбрус", 1998. 168 с.

100. Чекмарев Т.В. Системы уравнений смешанного типа. Н.-Новгород: Нижегород. ГТУ. 1995. 198 с.

101. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1957. Т.112. N3. С.386-389.

102. Шевченко Г.Н. Задача с нелокальными краевыми условиями и разрывными условиями сопряжения для гиперболического уравнения второго рода // Дифференц. и интеграл, уравнения. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ. 1987. С. 115-120.

103. Шевченко Г.Н. Нелокальная краевая задача с разрывными условиями сопряжения для вырождающегося гиперболического уравнения // Краевые задачи для уравнений математ. физики. Межвуз. сб. научных трудов. Куйбышев: КГПИ. 1990. С.90-94.

104. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, позникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. N4. С.689-699.

105. Янушкаускас Л.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1979. 120 с.

106. Bassanini P., Calaverni M. Contrazioni multi, sistemi iperbolic, e problema del laser. Alti. semin. mat. e fis. Univ. Modena, 1982, 31, N1. P.32-50.

107. Bourgin P. G. The Dirichlet problem for the damped wave equation. Duke. Math. J., 1940, N7, p.97-120.

108. Bourgin P.G., Duffin R. The Dirichlet problem the virbating string equation. Bull. Amer. Math. Soc., 1939, 45, N12, p.851-858.

109. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem for the wave equation. Ann. math, pura ed appl., 1958, 46, N4, p. 155-182.

110. Gellerstedt S. Sur une equation lineare aux derivees partielles de type mixte // Arciv. Mat., Astr. och. fisik, 1937. 25 A, 29. P.l-23.

111. Gilbert R.P. Function theoretic methods in Partial Differential Equations N.Y.: London: Acad. Press. 1969. 311 p.

112. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandl. des internat. Mathem. Kongr. I. (1932). Zurich. S. 138-151.

113. Cohen H., Rubinow S.I. Some mathematical topics in Biology. Proc. Symp. on System Theory. N.Y.: Politichnic Press. 1965. P.321-327.

114. Constantine A.G., Muirhead R.J. Partial differential equations for hypergeometric functions of two argument matrix. J. Multivariate Anal. 3, p.332-338 (1972).

115. Gupta A.K., Kabe D.G. A Note on the Characteristic Functions of Spherical Matrix Distributions. Appl. Math. Lett. Vol. 11, N3, p. 17-19, 1998.

116. Hadamard J. Equations aux derivees partilles le eas hyperbolique. L'Enseignement Math., 1936, 35, N1, p.25-29.

117. Hille E., Tamarkin J.D. On the theory of linear equation // Ann. Math. 1930. Vol. 31. P.479-528.

118. Holmgren E. Sur le systems lineares aux derivees partielles du preimier ordre a characteristiques reels et distinbtes. Arkiv for Math., A str. och Fysik, Bd. 6, N2, 1909, 1-10.

119. Huber A. Die erste Randwertaufgabe fur geschlossene Bereiche bei der Gluchung uxy = f(x,y). Monatsh. Math, und Phys., 1932, 39, s.79-100.

120. Jamez A.T. Special functions of matrix and single argument in Statistics. In Theory and Applications of Special Functions (Edited by R.A. Askey), p.497-520, Academic Press (1975).

121. John F. The Dirichlet problem for a hyperbolic equation. Amer. J. Math., 1941, 63, N1, p.141-154.

122. Jodar L., Company R. Hermitte matrix polynomials and second order matrix differential equations, J. Approx. Theory Appl. 12 (2), 20-30, (1996).

123. Jodar L., Company R., Ponsoda. Orthogonal matrix polynomials and systems of second order differential equations, Diff. Equations Dynamic Syst. 3 (3), 269-288, (1995).

124. Jodar L., Cortes J.C. Some Properties of Gamma and Beta Matrix Function. Appl. Math. Lett. Vol. 11, N1, p.89-93, 1998.

125. Kwok Y.K. Mathematical Models of financial derivatives. Springer. 1998.

126. Mangeron D. Sopra un problema al contorno per un'equazione differenziale alle derivate parziali di quarto ordine con le caratteristiche realidoppie. Rend. Accad. sci. fis. e mat. Soc. nar. sci. lett. et. arti Napoli, 1932, N2, p.29-40.

127. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with the fractal geometry // Phis. Stat. Sol.(b) 133. 1986. p.425-430.

128. Prabhakar T.R. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel // Yokohoma Math. J. 1971. Vol. 19. P.7-15.

129. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. N.Y.; London: Acad. Press, 1974. 234 p.

130. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. Vol.11, N2. p.135-143.

131. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation // Math. Japon. 1979. Vol.24, N4. p. 377-385.

132. Weinstein A. The qeneralized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation // Summa Brasil. Math. 1955. Vol. 3. P.125-147.

133. Wolska-Bochenec J. On some non-local moving boundary value problem. Demonstr. math. 1981. T.14. N3. P.783-791.

134. Yamada A., Tunakoshi H. On a problem for the M'Kendrick -— von Toerster equation. Quart. Appl. Math. 1982. Vol. 40. N2. P. 165-192.

135. Огородников E.H. О нелокальной краевой задаче для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа / / Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, ИМ СОАН СССР. 1988. С.150-151.

136. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы и интегральные уравнения третьего рода // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Мат. Всесоюз. конф. Владивосток, 1990. С.97.

137. Огородников E.H. Две нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды пятой межвуз. конф. Самара, Сам. техн. ун-т, 1995. С.81-82.

138. Огородников E.H. Краевые задачи со смещением для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конф. Самара, Сам. техн. ун-т, 1996. С.75-77.

139. Огородников E.H., Сеницкий А.Ю. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающейся системы гиперболического типа // Труды седьмой межвуз. конф. Самара, Сам. техн. ун-т, 1997. С.60-65.

140. Андреев A.A., Огородников E.H. О корректности задач Дарбу и Коши-Гурса для одной вырождающейся гиперболической системы // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 1998. С.3-7.

141. Андреев A.A., Огородников E.H. Матричные интегродифференци-альные операторы и их применение // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Вып. 7. 1999. С.27-37.

142. Андреев A.A., Огородников E.H. Нелокальные краевые задачи для одной системы уравнений с вырождением порядка // Труды сред-неволжского математического общества. Т.2., N1. Саранск, СВМО, 1999. С.75-76.

143. Огородников E.H. О корректности некоторых нелокальных краевых задач для системы уравнений Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 1999. С.97-102.

144. Огородников E.H. О некоторых краевых задачах для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 2000. С. 119-125.

145. Андреев A.A., Огородников E.H. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Вып.9. 2000. С.32-36.

146. Андреев A.A., Огородников E.H. О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе-Лыкова с инволютивным отклонением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвуз. конф. Самара, Самар. техн. ун-т, 2000. С.8-16.