Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Общая граничная задача для гиперболической системы на плоскости.

§1.1. Начально-характеристическая задача.

Функции Римана первого и второго рода.

§1.2. Обобщенная формула Римана.

§1.3. Канонические отображения области

§ 1.4. Критерий разрешимости граничной задачи.

Глава II. Решение смешанной задачи методом интегральных уравнений.

§2.1. Смешанная задача в четвертъплоскости.'

§2.2. Смешанная задача в полосе.

Глава III. Исследование устойчивости решений задачи Коши с использованием оператора сдвига вдоль характеристик.

§3.1. Оператор сдвига вдоль характеристик.

§3.2. Приведение гиперболической системы к обыкновенному дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве с сильно непрерывным операторным коэффициентом

§3.3. Достаточный признак экспоненциальной устойчивости.

Дополнение. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости.

1. Имеется класс задач механики, физики, теории упругости, газовой динамики, химической кинетики, приводящих к краевым задачам для гиперболических уравнений на плоскости. Начиная с 50-х годов, этой проблематике посвящено большое число работ, исследованы вопросы существования и единственности решений в различных функциональных пространствах, повышения гладкости решений, устойчивости и экспоненциальной дихотомии в различных классах коэффициентов, асимптотика, проблема усреднения; получены приложения к указанным областям [1-65].

2. В работах Р.К. Романовского [66-71] исследована задача Коши для линейной гиперболической системы с кратными характеристиками:

L(u) = — + — + В(х)и = fix), x = (s,i)eE2, W dt V Jds W W V ; (0.1) m(s,0) = /?(s), seR.

Здесь f, h - гладкие функции со значениями в В:Ш,2 ^Mat(N,C), £eC(l2),

А = diag^al[x)ll,.,an(x)ln }, а1>.>ап, Iк - единичная матрица порядка Nk, ^ Nk = N.

0.2)

Предполагается a'ks const,

0.3) тогда проходящие через каждую точку х = (s, t) характеристики к = 1,.,п, определены глобально и пересекаются каждой горизонталью т = const один раз. Под решением задачи (0.1) понимается гладкая функция и(х): Е2 -» CN, удовлетворяющая (0.1).

Исходным отправным пунктом исследования является распространение известного метода Римана решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка [72] на системы (0.1).

В [66, 67] построено явное представление решений задачи Коши (0.1). Ядрами интегральной формулы служат матрицы-функции двух типов ик(х,у) (к = 1,.,п), У(х,у), у = (а,т)еП2, (0.5) названные автором функциями Римана соответственно первого и второго рода. Матрица 17к (х, у) имеет порядок Ык, определена на парах точек х, .у), лежащих на одной и той же характеристике с номером к, и является как функция от х при фиксированной у разрешающей матрицей вспомогательной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (уравнений переноса вдоль характеристики <?к (у)). Матрица

У(х, у) имеет порядок Ы, определена на парах точек, не лежащих на одной характеристике, и является как функция от х при фиксированной у кусочно-гладким матричным решением системы Ь{и) = 0 со скачками на характеристиках, строящимся по ик. Фундаментальным свойством матриц (0.5), на котором основаны их применения, является свойство двойственности: матрица 17к как функция от у является разрешающей матрицей двойственной системы уравнений переноса вдоль qk (х); матрица V шк функция от^ является решением двойственной характеристической задачи со скачками на д1(х),.,^,„(х). В случае постоянных коэффициентов получены явные формулы для 17к,У. В [6870] построенный аппарат использован для изучения поведения решений при большом времени.

3. Основным содержанием диссертационной работы является распространение метода Римана на другие краевые задачи для гиперболических систем на плоскости на основе аппарата функций Римана (0.5) (главы I, II работы). Развитый в работе общий подход к решению краевых задач может быть охарактеризован как метод интегральных уравнений: решение краевой задачи приводится к решению системы интегральных уравнений на границе. После решения этой системы решение краевой задачи находится по обобщенной формуле Римана. Вторая часть работы (глава III, дополнение) посвящена исследованию устойчивости решений задачи Коши (0.1) и смешанной задачи методом функционалов Ляпунова. В построениях главы III существенную роль играет оператор сдвига вдоль характерстик системы, введенный в §3.1. Получено приложение к задаче химической кинетики.

Для удобства ссылок в §1.1 приведены строгие определения и основные свойства матриц (0.5) из работ [66, 67]. Далее во введении, во избежание дублирования, предполагаются известными сведения из §1.1.

Векторы /еСм будем представлять в виде / = (/},.,/п)Т, где /к имеет размер Л1^.

В пунктах 4-9 введения сформулированы основные результаты диссертации.

4. Представим оператор (0.1) - (0.3) в виде

Ь = В + В(х), D = diag(Dx,.,Dn),

0.6) где Вк - оператор дифференцирования по t вдоль характеристики ^. Части характеристик дк(х), лежащие не выше х(г<1), будем также называть характеристиками. Зафиксируем область Ю е 1

Будем предполагать, что граница области ^содержит кусочно-гладкий участок Г такой, что для каждой точки х е Ю\Г, где 2) = Т> + дТ>, характеристики qJ{x),.,q~(x) пересекают Г под ненулевым углом, притом один раз, и не имеют общих точек с множеством д7) \Г, кроме, быть может, точки х. Построим отображения £) Г у к М =

Ук(х)> хеГ>

0.7) где ^¿(х) - самая низкая точка множества дк (х)ПГ(с наименьшей ординатой); отображения (0.7) непрерывны в 2). Будем кратко говорить, что участок Г границы дТ) регулярно достижим из Т>, если выполнены указанные выше требования и при этом Г содержится в объединении множеств ук(£>У

Рассмотрим краевую задачу

Ь(и) = /(х), хе£), и\Т = у/{х),

0.8) где Г - регулярно достижимый из Ю участок границы дТ) у/ - функции со значениями в См, непрерывные соответственно в Т) и на Г. Решением (обобщенным) задачи (0.8) будем называть функцию и(х)\7)-*СмI со свойствами: л ъ )

1) и еС

2) для каждой компоненты ик(х) вектора и(х) существует производная

Окик е С(£)), непрерывно продолжаемая в Т> ;

3) выполняются соотношения (0.8), где оператор Ь понимается в смысле

0.6).

Класс функций, удовлетворяющих условиям 1-3, будем обозначать Построим по граничной функции у/{х) отображение Ю —> См [щ (У\ (*))>•• (Уп М)Г

Обозначим

Построим оператор 9 : С (Г) с[р ) по формуле

7у/ = и(х)у/(х)+ | У(х,у)\у(у)с1ст-А(у)у/{у)(1т] г, и операторы , 72 С ) —» С ) по формулам

X X

I их(х,у)/х(у)ат9.у | ип(х,у)/п(у)ат

Н*>у)Ау)4у

Здесь ик> V- функции Римана (0.5); интегралы в формуле для Эх берутся вдоль я1{х)\ Гх - часть Г между у\, уп\ Т)х- часть Т) между

Ч1{х), Я~(х). Гх.

ТЕОРЕМА 1.1. Если краевая задача (0.8) имеет решение и(х) е то имеет место формула (обобщенная формула Римана) и(х) = ?у/ + (?1-(0.9)

ТЕОРЕМА 1.3. При любых ^еС(Г), /еС(#) функция (0.9) удовлетворяет уравнению Ь{и)=/, где Ь —оператор (0.6).

Для обоснования этой теоремы в § 1.3 работы развит аппарат канонических отображений области Т> (теорема 1.2). Из теорем 1.1, 1.3 вытекает

ТЕОРЕМА 1.4. Для однозначной разрешимости краевой задачи (0.8) в классе необходимо и достаточно, чтобы данные у/ € С (Г), / е с[Т) ) были связаны соотношением

0.10)

В частном случае, если ^(х)^ . = уп (х) для всех хеГ, равенство

0.10) выполняется тождественно и задача (0.8) однозначно разрешима в классе при любых непрерывных у/, /; из формулы (0.9) следует непрерывная зависимость решения от данных у/, / на каждом компакте

К а X) . Такая ситуация имеет место, в частности, в случае задачи Коши (0.1) в полуплоскости t> 0.

5. Теоремы пункта 4 позволяют развить следующий подход к решению краевых задач для системы (0.1). Пусть в области Т) с регулярно достижимым из Т> участком границы Г рассматривается краевая задача

Ь(и) = /(х), хе®, Аи\^ задано,

0.11) где вторая строка означает совокупность всех линейных краевых условий (локальных или нелокальных) на функцию м(х). Рассмотрим краевые условия совместно с соотношением (0.10):

Ау/ задано.

0.12)

Из теорем пункта 4 вытекает: Корректность системы уравнений (0.12) (однозначная разрешимость и непрерывная зависимость решения от данных на каждом компакте К а Г) означает корректность краевой задачи (0.11) в классе 5£.

И) В этом случае после вычисления у/{х)т системы уравнений

0.12) решение краевой задачи (0.11) дается обобщенной формулой Римана (0.9). В главе II этот подход применен к смешанной задаче для системы (0.1) в четвертьплоскости и в полосе.

6. Будем дополнительно к (0.2), (0.3) предполагать ах,.,ат >0 ; ат+1,.,ап <0 (1 <т<п) .

0.13)

Далее используется блочное представление матриц А, Ц V и векторов из И

А =

А, 0

0 А и=

-у и+ о о и / , у =

-у

К+ К

V V г—/

4 (4

V/-/ где А+, 1/+, У++ - квадратные блоки порядка = N1 +. + Ит, /+ - имеет размер И+. Обозначим = N - , = [0, со),

0 =

Рассмотрим краевую задачу

Ь(и) = /(х) (хеб), и+ (о, г) = и (0, +

0.14)

Здесь /(х) е С(<2) , /г(я), е - матрица размера N+xN>

Р(V) е выполняется условие согласования в точке (0, 0)

А+(0) = Р(0)Л(0) + #(0)

В силу условий (0.13) граница Г = д(Э регулярно достижима из Система уравнений (0.12) на граничную функцию в этом случае после преобразований с учетом формул для операторов 7,?1,92 приводится к виду

Ч/. - + УАлу)с!т = и (0, /)£ (*) + (*), о

0.15) где у/± (0,?) - значения и+ при х = (0, блоки матрицы V вычисляются в точке (х,у) = (0,Г, 0,г), л т ак - абсцисса точки пересечения характеристики дк[ 0,?) с осью Х - 0,

8+ Я

СГ„

Подставляя выражение для у/+ из второго уравнения (0.15) в первое, получим векторное интегральное уравнение Вольтерра второго рода на у/ с непрерывным ядром и непрерывной правой частью. Отсюда следует корректность системы (0.15) (см. [73]). С учетом пункта 5 получен следующий результат.

ТЕОРЕМА 2.1. Краевая задача (0.14) корректна в классе Ее решение дается обобщенной формулой Римана (0.9), где у/ (я, 0) = /г (5), у (О, вычисляется из системы (0.15).

7. Обозначим

П = {($,*) : 0<^<1, />0}.

0.16)

Будем дополнительно к (0.13) предполагать ак ограниченным в Я: а = т/ к,х

Рассмотрим краевую задачу ак

0.

0.17) = /(*) (хеП), где /, к, Р удовлетворяют условиям пункта 6, ^ (?) е Рх (?) матрица размера ^(?) е выполняются условия согласования в точках (0, 0), (1, 0)

Ч(о) = р(о)л(о)+£(о),

Будем решать задачу (0.18) последовательно в прямоугольниках

Пл ={($,/): 0<$<1, ка<1<(к + 1)а) , к = 0,1,2,. .

Часть Г0 границы прямоугольника П0, состоящая из нижнего основания и боковых сторон, регулярно достижима из П0, при этом в силу выбора высоты (0.17) для каждой точки х на левой боковой стороне П0 характеристики с отрицательным наклоном (х),.,д~ (х) и характеристики с положительным наклоном д\ (х),.,д~т(х), выходящие из точек правой боковой стороны, пересекают Г0 в точках основания. Повторяя рассуждения пункта 6, получим для компонент ^+(0,?) граничной функции у/ = и\т систему уравнений (0.15) и аналогично для компонент у/+ (1, ?) - систему уравнений \{У++А+у/+ + У+Ау/) йт = и+ (1, г)Л+ (?) + ¿¡. (?) , о

0.19) где блоки матрицы V вычисляются в точке (1, ?; 1, г), = [/*! (<71 (?)),., Ьт [ат (?))]Г, а- абсцисса точки пересечения характеристики д^ (1,?) с осью ? = 0, gx ¡V(0,t ;cr,0) h(a)dT + (% + %)f\x<l

Отсюда следует, что задача (0.18) с заменой П на П0 корректна в классе SL. Аналогично проверяется корректность задачи в прямоугольниках П]? П2,.(в качестве начальной функции в Т1к+Х принимается ограничение решения в Щ на его верхнее основание):

ТЕОРЕМА 2.2. Краевая задача (0.18) корректна в классе SL. Ее решение вычисляется по обобщенной формуле Римана (0.9), где 0) = //(.?), t) и y/(\,i) вычисляются из интегральных уравнений Волътерра второго рода, получаемых исключением из (0.15), (0.19) соответственно у/+, у/.

1. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.: Наука, 1951.

2. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.:1981.

3. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968.

4. Lerey J. Lectures on hyperbolic equations with variable coefficiensts, Priceton, Inst for fidv. Study., 1952.

5. P Lax. The initial value problem for nonlinear hyperbolic equations in two indeperendent variables. Ann. of Math, Studies 33 (1954) 211-229.

6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1979.

7. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Наука, 1953.

8. Haack W., Hellwig G., Uber Systeme hyperbolischer Diffeentialgleichungen erster Ordnung. I, II, Math. Zeitschr., 53, № 3 (1950), 244-260; 53, № 4 (1950), 340-356.

9. Мышкис А.Д., Аболиня В.Э. О единственности решения смешанной задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными // ДАН СССР. 1951. - Т. 80, № 4. - С. 533-536.

10. Мышкис А. Д. Непрерывная зависимость решения смешанной задачи для систем линейных дифференциальных уравнений от начальных условий и правых частей системы // Мат. сб. 1952. - Т. 31(72). - С. 317-328.

11. Мышкис А.Д. Простейшая краевая задача для обобщенных систем телеграфных уравнений// Мат. сб.- 1952. Т. 31(73). - С. 335-352.

12. Мышкис А.Д., Шлопак А.С. Смешанная задача для систем дифференциально-функциональных уравнений с частными производными и операторами типа Вольтерра // Мат. сб. 1957. - Т. 41(83).- С. 239-256.

13. Жданович В.Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости // ДАН СССР. 1957. - Т. 114, № 6. - С. 934-937.

14. Thomee V. Estimates on the Friedrichs-Lewy type for mixed problems in the then of linear hyperbolic differential equations in two independent variables Math. Scant 5 №1 (1957) 93-113.

15. Campbtll L., Robinson A. Mixed problems for hyperbolic differential equations, Proc. London Math. Soc. (3), 5 (1955), 129-147.

16. Брушлинский K.B. О росте решения смешанной задачи в случае неполноты собственных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1959.-Т.23,№>6.-С. 829-912.

17. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат, сб. 1960. - Т. 50, № 4. -С. 423-442.

18. Елтышева H.A. К вопросу об устойчивости стационарных решений некоторых гиперболических систем // ДАН СССР. 1986. - Т. 298, № 1. - С. 30-32.

19. Елтышева H.A. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости // Мат. сб. 1988. -Т. 135, № 2. -С. 186-209.

20. Лаврентьев М.М. (мл.), Люлько H.A. Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач // Мат. сб. 1997. - Т. 38, № 1. - С. 109-124.

21. Дженалиев М. Т. К обобщенной разрешимости нагруженного волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 1994. - № 4. - С. 723724.

22. Дженалиев М. Т. Краевые задачи для нагруженных параболических и гиперболических уравнений с производными по времени в граничных условиях // Дифференц. уравнения.- 1992. № 4 .- С. 69-711.

23. Мельник 3.0. Граничная задача без начальных условий для гиперболической системы второго порядка // Граничные задачи математической физики. Киев: Наукова думка, 1981. - С. 81-82.

24. Лавренюк С. П., Мельник З.О. О нелокальной задаче для вырождающейся гиперболической системы.- Львов, ун-т.- Львов, 1992. -12с. -Деп. В Укр. ИНТЭИ 12.11.92, № 1829 -Ук92.

25. Митропольский Ю. А., Хома Л. Г. Исследование классической разрешимости смешанной задачи для линейного гиперболического уравнения второго порядка// Укр. мат. журн. 1993. - Т 45, № 9. - С. 1232-1338.

26. Гольдберг В. Н. Разрывные решения смешанных задач для почти линейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Н.-Новгород: Науч.-исслед. радиофиз. ин-т., 1993.

27. Юрчук Н. И. О классическом решении смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения четного порядка // Дифференц. уравнения. 1993. - № 6. - С. 945-953.

28. Бобик И. О., Пташник Б. И. Краевые задачи для гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами // Укр. мат. журн. 1994. -46, № 7. - С. 795-802.

29. Дорофеев Н. Ф. Регуляризированные решения начально-краевых задач // Краевые задачи и пространства дифференц. функций. М., 1994. - С 37-46.

30. Кигурадзе Т. И. Об ограниченных и периодических в полосе решениях для квазилинейных гиперболических систем // Дифференц. уравнения. 1994.-Т 30. № 10. - С.1760-1773.

31. Барановская С. Н. О классическом решении смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. -1991. Т 27. № 6. - С. 1071-1073.

32. Шабакаев Р. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для систем гиперболических уравнений // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1989. - С. 200-203.

33. Морозов С. Ф. Начально-краевая задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Краевые задачи. Пермь, 1989.

34. Романовский Р. К. Об устойчивости решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа // ДАН. СССР. Т. 163, № 5, 1965.

35. Романовский Р. К. Признаки ограниченности решений одной смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Изв. вузов. Сер. матем. 1969. -№1.(80). - С. 60-66.

36. Романовский Р. К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа // УМН. 1976. - Т. 32, № 1. - С. 259-260.

37. Кравчук М. А. Устойчивость по Ляпунову одной гиперболической системы. Львов: Львов, ун-т. 1995. - 55 с. -Деп. в ГНТБ Украины 04.09.95, №2044-Ук95.

38. Виноградов В. И. Определение устойчивости решения одной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Львов, политехи, ин-т. - 1993. - 14 с. - Деп. в ГНТБ Украины. 25.06.95, № 12227-У к93.

39. Нестеров А. В. Об асимптотике решения с переходным слоем одной сингулярно возмущенной гиперболической системы уравнений // Докл. АН СССР. 1989. -№6.

40. Бесков B.C., Кузин В.А., Слинько М.Г. Моделирование химических процессов в неподвижном слое катализатора // Хим. пром., 1965. -№1.

41. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1970.

42. Уизем Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

43. Иванов Е.А., Шеплев B.C. Управление процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем // Математические методы в химии. М.: ЦНИИТЭнефтехим, 1980. - Т.1. - С. 16-24.

44. Иванов E.A. Управление процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем // Математическое моделирование химических реакторов. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1984. С. 116-127.

45. Шеплев B.C., Мещеряков В.Д. Математическое моделирование реакторов с кипящим слоем катализатора // Математическое моделирование химических реакторов. Новосибирск: Наука, 1984. - С. 44-65.

46. Акрамов Т.А. Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, 1989. - С. 195-214.

47. Акрамов Т.А. О поведении решений одной гиперболической задачи // Сиб. мат. журн. 1998. - Т. 39, № 1. - С. 3-19.

48. Стегасов А. Н., Шигаров А. Б., Кириллов В. А. Некоторые вопросы анализа математических моделей однофазных реагирующих потоков в неподвижном слое катализатора // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, 1989. - С.26-53.

49. Математическая модель резонанса в ионно-конвекционном насосе /Романовский Р.К., Бумагин Г.И, Авдеев Н.П., Дудов А.Ф. // Журнал прикладной механики и технической физики. Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1990.-№ 1. -С.37-41.

50. Дарьин H.A. Уравнение газовой динамики в импульсных и энергетических лагранжевых переменных // Дифференц. уравнения. -1996.-Т.32,№ 6.-С. 821-824.

51. Доронин Г.Г. Модель упругопластического деформирования как задача со свободной границей для гиперболической системы // Сиб. мат. журн. 1998. - Т. 39, № 3. - С. 533-545.

52. Шабакаев P.P. Нелокальные краевые задачи для гиперболических систем в области с нехарактеристической границей // Казан, гос. ун-т. -Казань, 1989. 25с. Деп. в ВИНИТИ 10.05.89, № 2995-В89.

53. Вагабов А.И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений // Дифференц. уравнения. 1996. - Т.32, № 4. -С. 90-100.

54. Florian H., Pungel J., Wallner H. Uber die Rimanfïmktion für Gleichungen höherer Ordnung // Ber. Math. Statist. Sek. Forschungszent. Gras. - 1973. - № 203. s. 30.

55. Florian H., Pungel J., Wallner H. Darstellungen von Rimanfunktion forдп со-—-+G(zl,z2,.zn)(o = 0.// Ber. Math. Statist. Sek. Forschungszent.dzldz2. dznGras.- 1973.-№204. s. 29.

56. Незбайло Т.Г. Функции Римана одного класса уравнений гиперболического типа // Акад. гражд. авиации. JL, - 1983. - 4с. Деп. в ВИНИТИ 08.09.82, № 5148-В82.

57. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // ДАН СССР. 1982. - Т. 367, № 3. - С. 577-580.

58. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // Матем. сб. 1985. - Т. 127. № 4. - С. 494-501.

59. Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Матем. сб. 1987. - Т. 133. №3.-С. 341-355.

60. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: ИМ АН УССР. - 1987. - С. 47-52.

61. Романовский Р. К. Усреднение гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1989. - Т. 306. № 2. - С. 286-289.

62. Романовский Р. К. Метод Римана для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Омск: ОмГТУ, 1995.

63. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1973.73 .Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

64. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

65. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Омский научный вестник. ОмГТУ 1997. - Вып. 1, октябрь. - С. 14-15.

66. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических системы с двумя независимымипеременными // Сиб. матем. журнал. 1998. - Т. 39. № 6. - С. 12901292.

67. Воробьева Е. В. Риманово представление решений смешанной задачи на полуоси для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Сб. трудов омских ученых (приложение к журналу "Омский научный вестник") 1998. № 1. - С. 17-19.

68. Воробьева Е. В, Романовский Р. К. Риманово представление решений краевых задач для гиперболической системы на плоскости // ОмГТУ. Омск. 1999. - 19 е.: ил. Деп. в ВИНИТИ. 05. 07. 99. № 2177-В99.

69. Воробьева Е. В., Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости. // ОмГТУ. Омск. 1999. - 5С. Деп. в ВИНИТИ. 10. 08. 99. № 2610-В99.

70. Воробьева Е. В, Об устойчивости решений смешанной задачи для гиперболической системы на плоскости // Междунар. конф. по анализу и геометрии: Тез. докл, Новосибирск 30 августа 3 сентября. -Новосибирск: 1999. - С. 120-121.

71. Воробьева Е. В. Об устойчивости стационарных температурных режимов в химическом реакторе // Динамика систем, механизмов и машин: Тез. докл. Ш-ей международной научно-технической конференции, Омск, 26 28 октября. - Омск: 1999г. - С. 339-340.

72. Воробьева Е. В, Романовский Р. К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Сиб. матем. журнал (в печати).

73. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

74. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967. -Т. 4.

75. Мизохата С. Теория уравнения с частными производными. М.: Мир, 1977.

76. Додд Р, Эйлбек Дж, Гиббон Дж, Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.