Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Дёмина Татьяна Ивановна

Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2006

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нахушев Адам Маремович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Жура Николай Андреевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится "__" декабря 2006 г. в___часов на заседании

диссертационного совета К 212.015.05 при Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан "__" ноября 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., профессор

'^уС^ Глушак А.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Изучение уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одной из центральных проблем теории уравнений с частными производными.

Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых за- ~ дач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными практическими приложениями в газовой дина- -мике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмомент-ной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии и других областях. Поэтому разработка решений уравнений смешанного типа является одной из важных задач современной теории дифференциальных уравнений.

Теория уравнений смешанного типа берет свое начало с фундаментальных работ Ф. Трикоми, опубликованных в двадцатых годах прошлого столетия. Исследования были продолжены М. Чибрарио и С. Гел-лерстедтом.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе.

Фундаментальные результаты в теории уравнений смешанного типа получены в работах A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, С.П. Пульки-на, М.М. Смирнова, С.А. Алдашева, Д.К. Гвазава, Т.Д. Джураева, Т.Ш. Кальменова, Г.Д. Каратопраклиева, Е.И. Моисеева, A.M. Наху-шева, JI.C. Пулькиной, O.A. Репина, М.С. Салахитдинова, А.П. Солда-това, М.М. Хачева и других авторов.

Вопрос единственности решения задачи Дирихле для гиперболических уравнений в цилиндрических областях рассматривался D.R. Dunninger и Е.С. Zachmonoglou, для уравнений смешанного типа-А.М. Нахушевым.

Новыми исследованиями единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа и вырождающегося гиперболического уравнения являются работы К.Б. Сабитова.

В диссертации исследуются краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ ПМА КБНЦ РАН по научному направлению: " Нелокальные дифференциальные уравнения и краевые задачи и математическая физика фракталов", № гос. регистрации 01 20. 0508753.

Цель работы. Основной целью работы является доказательство единственности решений смешанных задач для гиперболического и сме-

шанного типов уравнений второго порядка.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода Фурье, методов интегралов энергии и функции Грина.

Научная новизна. Теоремы существования и единственности решения задачи Неймана и смешанных задач для гиперболо-эллиптических и гиперболических типов уравнений в прямоугольных и цилиндрических областях.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Теоремы существования и единственности решений двух смешанных задач и задачи Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области.

2. Доказательство единственности решения смешанной задачи для уравнения смешанного типа в цилиндрической области.

3. Теорема существования и единственности решения смешанной задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольном параллелепипеде.

4. Доказательство единственности решения краевых задач для уравнения гиперболического типа в цилиндрической области.

5. Теорема существования и единственности решения смешанной задачи для телеграфного уравнения в прямоугольной области.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты могут сыграть позитивную роль в построении теории некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка смешанного типа и в газовой динамике смешанных течений.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре по современному анализу и информатике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (руководитель - Солдатов А.П.), на Международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус,

2004 г.), на III Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус,

2005 г.), на VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых "Наука - XXI веку" (Майкоп, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1] - [14].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 10 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 67 наименований, и изложена на 104 страницах.

Содержание работы

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связаным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена краевым задачам для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

ихх + sign у • иуу — 0 (1)

в прямоугольной области.

Пусть D = {(х,у) : 0 < х < 1, —а < у < ß}, а, ß = const > О, D+ = D П (у > 0), D~ = D П (у < 0).

Решение и = и(х, у) уравнения (1) будем называть регулярным в области D, если оно принадлежит классу C1(D+)nCl(D~)C\C2(D+UD~) В §1 первой главы приводятся постановки смешанных задач. Задача 1.1. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

и(х, ß) — ср(х), u(x,—a) = ip(x), 0 < х < 1,

Wx(0, у) = ио(у), м*(1» у) = vx(у), —а < у < ß,

и условиям сопряжения:

lim и(х,у) = k 1 lim и(х,у), lim щ(х,у) = к2 lim иу(х,у), (2) у-* 0+ у-* О- I/-+0+ у-» 0-

где ki, ^^ 0.

Задача 1.2. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

иу(х, ß) = <р(х), uy(x,—a) = ip(x), 0 < х < 1,

и(0, у) = fiQ(у), и(1,у) = ¿ц(у), -а<у <ßt

и условиям сопряжения (2).

В этом же параграфе приводятся формулировки соответсвующих теорем, доказательства которых представлены в §2 - §4. Теорема 1.1. Пусть

1) <р(х), 1>{х) е С4[0, 1], щ(у) ес3[-а,0]пс3[0,/?], » = 0,1;

2) = </?(п)(1), фм(0) = V>(n)(l)> п = 1, 3, *in)(-a) = ^n)(0) = и\n\ß), п = 0, 2, г = 0,1;

к —► oo,

J ff} (у) cos —y dy = o(^ sin ^ , к —> oo, г = 0, 1;

—a

4) Hmí Ui(y) = An lim i/¿(y), г = 0, 1;

I/—'0+ у—»0—

5) а - иррациональное число, к\а + к2р ^ 0,

sin TtkacYmkß + fo cos 7rkashirkß А; = 1,2,...

Тогда существует единственное решение задачи 1.1. Теорема 1.2. Пусть

1) <р(х), ф(х) € С3[0, 1], /¿¿(у) € С4 [—а, 0] П С4[0, /?], г = 0, 1;

2) y?(n)(0) = </?(n)(l)> ^(n)(0) = V(n)(l). п = 0, 2,

= = п= 1,3, г = 0,1;

i

J ф^ (х) cos 7rkx dx — 0( sin 7гка), к —> оо,

JHiA\y) cos^-ydy = 0^sin^^, k-^ oo,

¿ = 0,1;

—a

lim /¿¿(у) = fci lim /¿¿(у), г = 0, 1; у—о+ г/—"0—

5) а - иррациональное число,

sin 7r/cach7Tkß — ki cos7rkash7rkß 0, к = 1, 2, ... Тогда существует единственное решение задачи 1.2.

В §2 доказывается единственность решений задач 1.1 и 1.2. Доказательство проводится, следуя методу, предложенному A.M. Нахушевым.

§3 и §4 посвящены доказательству существования решения задач 1.1 и 1.2 соответственно. Решения получены методом Фурье, проведено обоснование данного метода.

В §5 первой главы для задачи Неймана

Задача 1.3. Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

иу(х, ß) = Vß{x), иу(х, —a) = va(x), 0 < x < 1, ux(0,y) = щ(у), ux(l,y) = v\(y), —a < у < ß,

и условиям сопряжения:

lim и(х,у) = lim и(х,у), lim щ(х,у) = lim щ{х,у),

у—*0+ у-*0- 2/—>0+ у—>0—

доказана следующая

Теорема 1.3. Пусть

1)щ{х) € С3[0,1], »¿(у) еС3[-а,0]ПС3[0,/?], i = a,ß, ¿ = 0,1; Ю = ^(1), Щ-а) = 1^(0) = i409), i = a, ß, ¿ = 0, 1; i

3) J smnkx dx = 0(sin7rA;a:), к —► oo,

о о

J uf\y)sm^-y dy = O^sin^^, кoo, ¿ = 0,1;

—а

1

^ Jvi{x)dx = 0, J uj{y)dy = 0, Juj(y)dy = 0,

О 0 -а

г = а, з = 0, 1; 5) а - иррациональное число,

созтскавЬ-ккР Ф вт7гкасЪжк{3, к = 1, 2, ... Тогда существует единственное с точностью до константы решение задачи 1.3.

Во второй главе изучаются краевые задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа в цилиндрических областях. В §1 второй главы рассматривается уравнение

Ти = /г(у) [ау(ж)и11]1. - + с(х)к(у)и = 0, (3)

где

Ä(y) € С1 (Joo) П С1 (J0/J); aij'(a:), ф) G С (D), *,¿ = 1,2,..., п;

ук(у)> 0 Vy^O; fc'(y)>0 Vy>0; c(ar) < 0,

> У x G D, £ e Rn; k0 = const > 0.

Пусть D - ограниченная область евклидова пространства Rn точек х = (xi, Х2,..., хп) с кусочно-гладкой границей а, Jaß - интервал а < у < /? (а < 0, ß > 0); С1а/з = D х Jap - цилиндрическая область в пространстве Rn+1 точек (х, у); SQß — граница Qaß; Sa = о х J^ -боковая поверхность.

Решение и = и(х, у) уравнения (3) назовем регулярным в области Qaß, если и G С (йад) nC^Qaß), функции UXjXj, j = 1,2, ...,n, Uyy являются непрерывными всюду в Slaß за исключением, быть может, точек (х,0), х е D.

A.M. Нахушевым был получен критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения (3) в области Qaß. Предложенный метод используется для решения смешанной задачи.

Задача 2.1. Найти регулярное в области Qaß при у ^ 0 решение и(х>у) уравнения (3), удовлетворяющее условиям:

иу(х,а) — <Ра{х), Vх € D] uy(x,ß) = <рр(х), Vre € D; u{x,y) = тр(х,у), V (x, y) G Sff.

Доказана

Теорема 2.1. S"«/?, a%i(x) и c(x) обладают тем свойством,

что система собственных функций {ут (ж)}, соответствующих собственным значениям Хт однородной задачи v\a = 0 для уравнения

[aij(x)vXi]xj + [с(х) + Л] г; = 0, ж G D

полна в пространстве L2 (D) и vm(x) € С1 (D) П С2 (D), m = 1,2,..., то задача 2.1 имеет не более одного решения тогда и только тогда, когда

<Sm(0)?O Vm,

где и>(у) - решение уравнения

^т(у) + КпКу)"т{у) = О

из класса С1 ( Jaß) , удовлетворяющее условию и>'т(а) = 0. В §2 этой главы рассмотрено уравнение

sign у (uXlXl + иХ2Х2) - иуу — 0. (4)

В прямоугольном параллелепипеде Qaß = D х Jaß пространства R3 точек (x,y), где D — прямоугольная область точек х = (xi,^), 0 < Xi < ai, г = 1,2, с границей а, Jaß - интервал а < у < ß (а < 0, > 0), Saß - граница Qaß, Sa — er х Jaß — боковая поверхность, решается смешанная

Задача 2.2. Найти регулярное в области решение и(х, у) уравнения (4), удовлетворяющее условиям:

иу(х,а) = (ра(х), \/х Е V; иу(х,/3) = <рр(х), и(х, у) = О, V (х, у) е ва.

Доказана

Теорема 2.2. Пусть

дх1 Ц=а, _ дх1

, j = a,0, i = 1,2;

Xi=Q

41

\ _ -2 /ХТП1ГП2 — л

dV,- . 7rmiXi . 7rm2X2 , , _ / sin л/Лт1Ш2/?

-г—г- sm-sin-dx\dx2 = О -. —

0 0 ^ ai а2 \ у/Кп1тя

, j = а, Р, г — I, 2, mi,m2—>оо;

^ 2 eos у" AWim2^sh4/AWltn2Q! + сЬ^/А^^^/З sin y/Xmim2P ф О, sin УА

m\ni2 РФ 0. Тогда существует решение задачи 2.2.

В третьей главе рассматривается гиперболическое уравнение

Lu = [atj(x)uXi]Xj - с(х)и - иуу = 0, (5)

где ali (х) = (х), V х € .D, i,j = 1, 2, ..., п, матрица ¡| a1'* (х)|| , V x G .D, положительно определена, c(x) > О, V i 6 D, функции a1-7 (ж), с (re) достаточно регулярны в облати D.

Здесь fioт = D х J — цилиндрическая область пространства Rn+1 точек (х, у), где D - ограниченная область пространства Мп точек х — (xi, Х2,..., хп) с кусочно-гладкой границей a, J - интервал 0 < у < Т, Sqt — граница Sa = о х J - боковая поверхность.

Решение и — u(x, у) уравнения (5) будем называть регулярным в области Qqt , если оно принадлежит кдассу C1(Qqt) П C2(Qqt) . В §1 третьей главы сформулированы краевые задачи. Задача 3.1. Найти регулярное в области Qqt решение и(х,у) уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям:

и{х,у) = ф{х,у), W(x,y)eSa,

иу(х,Т)=(рт(х), Va; G D,

и (x, 0) = фо(х), Ухе D.

Задача 3.2. Найти регулярное в области Qqt решение и{х,у) уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям:

и{х,у) = ф(х,у), V (х,у) е Sa, и (х, Т) = фт(х), Vx € D,

иу(х,0) = (ро(х), VxG D.

Задача 3.3. Найти регулярное в области Çïqt решение и(х,у) уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям:

и(х,у) = ф(х,у), V (х,у) € Sa, иу (x, Т) = (рт{х), V x G D,

uy(x,0) = ipo(x), Vx € D.

Задача 3.4. Найти регулярное в области Œor решение и(х,у) уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям:

и{х,у) = ф{х,у), V (х, у) G Sa, и (x, Т) = фт{х), Va; € D,

и (х, 0) = Фо(х), У x G D.

Задача Дирихле (задача 3.4) для уравнения (5) рассмотрена D.R. Dunninger, Е.С. Zachmonoglou. Для задач 3.1 - 3.3 в §2 третьей главы доказана

Теорема 3.1. Если Sqt , ali(x) и с(х) обладают тем свойством, что система собственных функций (г^(а;)}, соответствующих собственным значениям Хк однородной задачи

[а**(.х)уц]х ~ c(x)v + X2v = 0, x G D, v\a = 0 полна в пространстве L2(D) и Vk(x) G W^D) П C2(D), к = 1, 2,...,

тогда любое решение задачи 3.1, 3.2 или 3.3 тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется условие: для задач 3.1 и 3.2 -

7Г

ХкТф— + 7гт, к, т — 1, 2,

для задачи 3.3 -

ХкТ Ф 7гт, fc, т=1, 2,...

В §3 третьей главы для телеграфного уравнения

ихх — иуу — си = 0 (6)

в прямоугольной области Q = {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < 6} решаются смешанные задачи, поставленные в §1 этой главы.

Задача 3.5. Найти регулярное в области О, решение и(х,у) уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям:

и(0, у) = /х0(у), и(а, у) = /ха(у), 0 < у < 6,

иу(х, Ь) = vb{x), и(х, 0) = т(х), 0 < х < а. Доказана

Теорема 3.2. Пусть

1) щ(х), т(х) € С4[0, а], щ(у) € С4[0,6], i = 0, а;

2) 4n\0) = vln)(a), dn\0) = т<»>(0) = т<»>(а), п = 0, 2, u¡n\a) = ТМ(а) = = 0, i = 0, а, n = 1,3;

а

3) J sinA^rr dx = 0(sinA3fcb),

о

а

J т^ (х) sin A^a; da: = О (sin Аз^Ь), о

ь

J¡J¡){y)sm\2ky dy = O(sinAifca), i = 0, а, о

Al А = Y V ' - С, A2fc = ~ 26 > Аза = y — + С, А4Л = —;

7Г

4) Auta Ф 7rm, ХзкЬф- + жт, k,m— 1,2,... Тогда существует единственное решение задачи 3.5.

Задача 3.6. Найти регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям:

и(0, у) = ß0(y), и(а, у) = Ца(у), 0 < у < fe, и(х, 6) = <р(х), иу{х, 0) = 1у(х), О < х < а.

Доказана

Теорема 3.3. Пусть

1) ф), и{х) € С4[0, а], ^(у) € С4[0, fe], г = 0, а;

у,(п)(0) = <¿>(")(а), i»(0) = 1/(")(а), а4п)(&) = 0, п = 0,2,

/4'г)(0) = MÍn)(b), 4>{п\а) = = 0, г = 0, а, п=1,3;

ь

з) J ßi(y) dy = О, i = 0, а;

о

а

^ J (f^(х) sin Л^ж dx = 0( cos АзьЬ), о

а

J и^\х) sin A^a; dx = 0( cos , о

6

J M¿4)(у) cos А2кУ dy = 0( sin Aua), г = О, а,

L = y/üU&Z-c, A« = г^й. А» = Л« - ?•

7Г

5)Xika^7rm, Xzkb^— + 7rm, = 1,2,...

Тогда существует единственное решение задачи 3.6. Задача 3.7. Найти регулярное в области Q решение и{х, у) уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям:

и(0, у) = цо(у), и(а, у) = ра(у), 0 < у < fe,

иу(х, fe) = ^ь(ж), иу{х, 0) = ^(ж), 0 < х < а. Доказана

Теорема 3.4. Пусть

1) vb{x), и{х) € С4[О, a], /*(у) € С4[О, Ь], г = 0, а; Ä; ^П)(0) = ^">(а), i/<»>(0) = i/f»)(a), /z{n)(6) = 0, n = О, 2,

/4П)(0) = !/<n)(a) - i/<»>(a) = 0, г = 0, а, п = 1, 3;

а

3) J is[4\x) sin X^kx dx — 0( cos Х^Ь), о

а

J v^\x) sin dx = O ( eos A3ф), o

b

J t4A) (y) eos А2кУ dy = O (sin Xika), i = О, а, o

Aifc = y^f— с, Лгд; = j, A3 = АЗ£ = y^I- + c, A4 = A4* = ^ Aua ф irm, Х^фф-кт, k,m= 1,2,... Тогда существует единственное решение задачи 3.7.

Заключение

Выполненные исследования, посвященные краевым задачам для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы:

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях:

- доказана теорема 1.1 существования и единственности решения смешанной задачи 1.1;

- доказана теорема 1.2 существования и единственности решения смешанной задачи 1.2;

- доказана теорема 1.3 существования и единственности решения задачи Неймана 1.3.

Для гиперболо-эллиптических уравнений в многомерных областях:

- доказана единственность решения смешанной задачи 2.1 в цилиндрической области;

- доказана теорема 2.2 существования и единственности решения смешанной задачи 2.2 в прямоугольном параллелепипеде.

Для гиперблических уравнений в многомерных областях:

- доказана единственность решения смешанных задач 3.1, 3.2, 3.3 в цилиндрической области;

- доказана теорема 3.2 существования решения смешанной задачи 3.5;

- доказана теорема 3.3 существования решения смешанной задачи 3.6;

- доказана теорема 3.4 существования решения смешанной задачи 3.7.

Публикации по теме диссертации

1. Демина Т. И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научно-практической конференции "VI неделя науки МГТИ". - Майкоп, 2001. - С. 18 - 19

2. Демина Т.И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара, 2002. - С. 108

3. Демина Т. И. Задача Неймана для уравнения смешанного типа / Доклады пятой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых " Наука XXI веку". -Майкоп, 2004. - С.36 - 37

4. Демина Т. И. Задача Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Материалы международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". - Нальчик, 2004. - С.55 - 56

5. Демина Т. И. Критерий единственности решения смешанных задач для гиперболического уравнения в цилиндрической области // Известия Кабардино-Балкарского Научного центра РАН. - 2004. - №2 (12). -С.112- 115

6. Демина Т.Н. Критерий единственности решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в цилиндрической области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. - 2005. - Т.7. - №2. - С. 18 - 20

7. Демина Т.Н. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Материалы III Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи современного анализа и информатики". - Нальчик, 2005. - С.24 - 26

8. Демина Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / / Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. - 2005. - Т.8. - №1. - С.ЗО - 37

9. Демина Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Наука - 2005. Ежегодный сборник научных статей молодых ученых и аспирантов АГУ. — Майкоп, 2005. - С. 10 - 16

10. Демина Т.И. Критерий единственности решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в цилиндрической области / Отчёт НИИ ПМА КБНЦ РАН по научно-исследовательским, опытно-конструкторским работам за 2001 - 2005 гг. по теме "Нелокальные дифференциальные операторы основных и смешанных типов и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний". - Нальчик, 2005. 4.1. - С.76 - 80. № гос. регистрации 01.20.0012841, № регистрации ВНТИЦ 02.2.00601423

11. Демина Т. И. Единственность решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в цилиндрической обла-

сти / Труды математического центра им. Лобачевского "Лобачевские чтения - 2005". Т.31. Материалы IV научной молодежной школы-конференции. - Казань, 2005. - С.55 - 56

12. Демина Т.И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Доклады шестой всероссийской научно - практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых "Наука XXI веку". - Майкоп, 2006. - С.98 - 105

13. Демина Т.И. Критерий единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения в цилиндрической области // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки. Вып. 43. - 2006. -С.175 -178

14. Демина Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2006. - Приложение №11. - С.4 - 7

Формат 84 х 108^. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1.0. Тираж 120 экз. Заказ № 634

Отпечатано на участке оперативной полиграфии и множительных работ АГУ 385000, г. Майкоп, ул. Университетская, 208.

Введение

1 Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях

§ 1. Постановка смешанных задач. Теоремы существования II единственности решений.

§ 2. Доказательство единственности решения смешанных задач

§ 3. Доказательство существования решения задачи 1.1.

§ 4. Доказательство существования решения задачи 1.2.

§ 5. Задача Неймана.

2 Краевые задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа в цилиндрических областях

§ 1. Единственность решения смешанной задачи.

§ 2. Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде

3 Краевые задачи для гиперболических уравнений в многомерных областях

§ 1. Постановка краевых задач.

§ 2. Единственность решения смешанных задач в цилиндрической области.

§ 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения в прямоугольной области

Изучение уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одной из центральных проблем теории уравнений с частными производными.

Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии н других областях. Поэтому разработка методов решений краевых задач для уравнений смешанного типа является одной из важных проблем современной теории дифференциальных уравнений.

Теория уравнений смешанного типа берет свое начало от фундаментальных исследований Франческо Трикоми, опубликованных в двадцатых годах прошлого столетия.

Впервые задача нахождения решения уравнения смешанного типа в смешанной области была поставлена и исследована для уравнения уихх + иуу = 0, (0.1) которое сейчас называют уравнением Трикоми. Ф.Трнкоми изучил краевую задачу (задачу Трикоми) в области, гиперболическая часть которой огранпчена отрезком действительной оси [0, 1] на линии перехода и двумя пересекающимися характеристиками, исходящими из точек (0, 0) н (1,0).

Исследования были продолжены в 30-е годы М. Чибрарио и С. Гел-лерстедтом. Обобщения результатов Ф. Трпкоми для уравнения

У2т+Хихх + Пуу = 0 принадлежат С. Геллерстедту.

С.А. Чаплыгин показал, что построение теории газовых струй тесно связано с изучением уравнения

Ку)пхх + иуу = 0, которое в настоящее время носит его имя. Коэффициент к является известной функцией переменного у, которая предполагается положительной при у > 0 и отрицательной при у < 0. Случай к(у) > 0 соответствует дозвуковому течению, а случай к (у) < 0 - сверхзвуковому течению газа.

При изучении околозвукового течения газа приходится иметь дело с уравнением Чаплыгнна в смешанных областях.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, в которых было показано, что задача истечения сверхзвуковой струн из сосуда с плоскими стенками сводится к задаче Трнкоми для уравнения Чаплыгина. М.А. Лаврентьев предложил более простую модель уравнений смешанного типа ихх + sign у ■ иуу = 0, (0.2) впоследствии названное уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бнцадзс [5] осуществил подробное исследование этого уравнения.

И.Н. Векуа указал на важность изучения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в связи с задачами теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Возникла проблема нахождения областей, для которых задача Дирихле окажется корректно поставленной, что явилось объектом дискуссии многнх авторов.

В работах H.H. Вахания [9] и I.R. Cannon [6G] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения (0.2) в прямоугольных областях, обладающих специальными свойствами.

A.M. Нахушевым [37] установлено, что задачи Дирихле для уравнения (0.2) в области Q = Qj U / U ih, где f^ - ограниченная односвязная область верхней полуплоскости у > Ос кусочно-гладкой границей, содержащей интервал 1: 0 < х < 1 прямой i/ = 0, а 0,2 = 1x1 - квадрат О < х < 1, -1 < у < 0, всегда разрешима и притом единственным образом.

В работе [57] А.П. Солдатовым дается прямое доказательство существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения (0.2) в канонической смешанной области, ограниченной дугами окружности и гиперболы, а также общей смешанной задачи (по терминологии A.B. Бнцадзс) и задачи к ней сопряженной. Эти результаты были ранее анонсированы в работах [55], [50].

Единственность решения задачи Дирихле для гиперболического уравнення

- с{х)и - иуу = 0 в цилиндрической области доказана D.R. Dunninger и Е.С. Zacliiiianoglov [G7], а для уравнений в частных производных смешанного типа A.M. На-хушевым [37].

Особую роль в теории задач Дирихле для уравнения струны сыграла работа Ф.Джона (1941 г.), в которой детально анализируется связь специальных, сохраняющих ориентацию, топологических отображений границы области на себя с разрешимостью и единственностью решения задачи Дирихле для уравнення иху = 0.

СЛ. Соболев в работе [54] рассмотрел систему уравнений, эквивалентную уравнению колебания струны, и установил условия существования единственного решения задачи с данными на всей границе. H.H. Бахания [И] выписал решение предложенной задачи, определив свойства граничных функций.

10.М. Березанскнй [3], [4] рассматривал решения из пространства Lj задачи Дирихле для уравнення струны. Ему удалось построить примеры областей, для которых обобщенные решения задачи устойчивы относительно малых возмущений границы.

Н.И. Поливанов [42] для широкого класса вырождающихся гиперболических уравнений установил оценку решения и доказал существование сильного решения задачи Дарбу для любой правой части.

- 7В работах [G2], [G3] найдены условия существования, единственности и непрерывной зависимости от правых частей уравнений и граничных условий решений задач с данными на всей границе области для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического и составного типов.

Также следует отметить ряд работ [9], [10], [40], [58], [59], посвященных поиску смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. Наиболее полная библиография по этой проблеме представлена в монографии М.М. Хачева [64].

М.В. Швецкпм [G5] решены краевые задачи типа Трнкоми, Дирихле и Неймана для модельного уравнения смешанного типа ихх + sign у \у\тиуу = 0 с характеристическим вырождением внутри прямоугольной области при определенных значениях параметра т.

К.Б. Сабитовым [48] поставлены смешанные краевые задачи и доказаны теоремы существования и единственности решений для уравнений смешанного типа с сильно характеристическим вырождением типа на границе области. В работах [49], [50] доказана единственность решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения утихх - иуу + Ь2и = 0, т > 0, Ь > 0 в прямоугольной области.

В монографии Е.И. Моисеева [3G] изучается задача Трнкоми для уравнения эллиптико-гиперболичсского типа со спектральным параметром. Уравнение смешанного типа берется с произвольным степенным вырождением на линии изменения типа, устанавливаются области на комплексной плоскости, в которых нет точек спектра.

Фундаментальные результаты теории уравнений смешанного типа получены в работах A.B. Бицадзс [5] - [8], К.И. Бабенко [2], С.П. Пуль-кнна [43], [44], М.М. Смирнова [53], С.А. Алдашева [1], Д.К. Гвазава [12], Т.Д. Джураева [27], Т.Ш. Кальменова [31], Г.Д. Каратопраклнева [32], [33], A.M. Нахушева [38], Л.С. Пулькннон [45], [4G], O.A. Репина [47], AI.С. Салахнтдинова [51], А.П. Солдатова [57], М.М. Хачева [04].

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

В данной диссертационной работе исследованы краевые задачи для гнперболо-эллиптических и гиперболических уравнений в прямоугольных н цилиндрических областях.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений двух смешанных задач и задачи Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области.

2. Доказана единственность решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в цилиндрической области.

3. Доказана теорема существования и единственности решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в прямоугольном параллепипеде.

4. Доказана единственность решения краевых задач для уравнения гиперболического типа в цилиндрической области.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решений трех смешанных задач для телеграфного уравнения в прямоугольной области.

1. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических уравнении и уравнении смешанного типа: Автореф. дне. . докт. фнз.-мат. наук. Киев, 1990. - 32 с.

2. Бабенко К. И. К теории уравнении смешанного типа: Автореф. дне. . докт. физ.-мат. наук. М., 1952

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, 1965. - 789 с.

4. Б ереванский Ю.М. Существование слабых решении некоторых краевых задач для уравнении смешанного типа // Укр. матем. журнал. -1963. T.XV. - №41. - С. 347 - 364

5. Бицадзе A.D. Некорректность задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанных областях // Докл. АН СССР. 1958. Т.122. - N22. - С.167 - 170

6. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М., 1959. - 164 с.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнении второго порядка. М., 1966. - 204 с.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнении в частных производных. М., 1981. 448 с.

9. Бахания H.H. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны // Сообщ. АН Груз.ССР. 1958. - T.XXI. - №2. - С.131 - 138-9610. Бахания Н.Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа / Тр. Выч. центра АН Груз. ССР. Тбилиси, 1963. - С.69 - 80

10. Бахания Н.Н. Об одной краевой задаче с заданием на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебания струны // Докл. АН СССР. 1963. - Т.116. - №6. - С.906 - 909

11. Гвазава Д.К. О некоторых классах нелинейных уравнений смешанного типа: Дне. . докт. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1979. - 148 с.

12. Демина Т. И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научно-практической конференции "VI неделя науки МГТИ". Майкоп, 2001. - С.18 - 19

13. Демина Т.И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 2002. - С. 108

14. Демина Т.Н. Задача Неймана для уравнения смешанного типа / Доклады пятой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых "Наука XXI веку". Майкоп, 2004. С.36 - 37

15. Демина Т.Н. Задача Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Материалы международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы аналнза и информатики". Нальчик, 2004. - С.55 - 56

16. Демина Т. И. Критерий единственности решения смешанных задач для гиперболического уравнения в цилиндрической области // Известия Кабардино-Балкарского Научного центра РАН. 2004. - №2 (12). - С.112 - 115

17. Демина Т. И. Критерий единственности решения смешанной задачи для уравнения гнисрболо-эллиптнческого типа в цилиндрической области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2005. Т.7. - №2. - С.18 - 20

18. Демина Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Материалы III Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи современного анализа и информатики". Нальчик, 2005. - С.24 - 20

19. Демина Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2005. - Т.8. №1. - С.30 -37

20. Демина Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бнцадзс в прямоугольной области / Наука 2005. Ежегодный сборник научных статей молодых ученых и аспирантов АГУ. Майкоп, 2005. С.10 - 10

21. Демина Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Доклады шестой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых "Наука XXI веку". Майкоп, 200G. - С.98 - 105

22. Зарубин А.Н. Аналог задачи Трнкомн для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 199G. Т.32. .№3. - С.350 - 35G

23. Калъменов Т.Ш. О регулярности краевых задач и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1982. - 27 с.

24. Каратопраклиев Г. Д. Об одной краевой задаче для уравнений смешанного типа в многомерных областях // Докл. АН СССР. 19G9. -Т.188. №6. - С.1223 - 122G

25. Каратопраклиев Г.Д. О единственности решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа и гиперболических уравнений в пространстве // Дифференц. уравнения. 1982. - Т.18. т. С.59 - G3

26. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболических уравнений. М., 1953. - 280 с.

27. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. AI., 1973. 408 с.3G. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988. - 150 с.

28. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дпфференц. уравнения. 1970. Т.О. - №1. - С. 190 - 191

29. Нахушев A.M. Об одном классе лннейных краевых задач для гиперболического н смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик, 1992. 155 с.

30. Нахушев A.M. Уравнения математической биологин. М., 1995. -301 с.

31. Нгуен Тьи Тхань. Краевые задачи Дирихле и типа Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бпцадзе и его аналога в областях прямоугольного вида или с бесконечным множеством особых точек: Авто-реф. дне. . канд. физ.-мат. наук. Минск, 1983

32. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. -М. Л., 1950. - 400 с.

33. Поливанов H.H. Многомерный аналог задачи Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Дпфференц. уравнения. -1978. Т.14. - Ш. - С.80 - 932

34. Пулькин С. П. Задача Трикомн для общего уравнения Лаврентьева-Бнцадзе // Докл. АН СССР. 1958. - Т.118. - №1. - С.38 - 41

35. Пулькин С.П., Ежов A.M. Оценка решения задачи Трикомн для одного класса уравнении смешанного типа // Докл. АН СССР. 1970. -Т.193. т. - С.978 - 980

36. Репин O.A. Задача Трикомн для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса // Днфференц. уравнения. - 199G. - Т.32. - №3. - С.350 - 35G

37. Сабитов К. Б. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с вырождением второго рода на границе области: Автореф. дне. . канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1980. - 14 с.

38. Сабитов К.Б. Критерий единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения / Материалы международной конференции "Тихонов и современная математика". М., 2006. - С.223 - 224

39. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент, 1974. 154 с.

40. Смирнов Б.И. Курс высшей математики. Т.2. М., 1961. - 628 с.

41. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1970. 296 с.

42. Соболев С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе // Докл. АН СССР. -1956. Т.109. - №4. - С.707 - 709

43. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. РАН. 1993. Т.332. -№6. - С.696 - 698

44. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бнцадзе. II. Теоремы существования // Докл. РАН. 1993. - Т.333. -№1. - С.16 - 18

45. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврснтьева-Бнцадзе. // Дифференц. уравнения. 1994. - Т.ЗО. - №11. - С.2001 -2009

46. Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференц. уравнения. 1981. - Т.17. - №1. - С.150 -15G

47. Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравнений смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1985. -14 с.

48. GO. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 19GG. - 724 с.

49. G1. Толстое Г.П. Ряды Фурье. М., 1980. -- 384 с.

50. G2. Фиголъ В. В. Об устойчивости задачи Дирихле для гиперболических уравнений /Общая теория граничных задач. Сб. научн. трудов. -Киев, 1983. С.298

51. Фиголъ В.В. Краевые задачи с данными на всей границе для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Донецк, 1985. 15 с.

52. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик, 1998. - 1G8 с.

53. Dunninger D.R., Zachmanoglov E.C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hiperbolic equations in cilindrical domains // J. Math. Mccli. 1969. V.18. - №8. - P.763 - 766