Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Сафин, Эльдар Маратович

Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Сафин, Эльдар Маратович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Стерлитамак МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа»

Автореферат диссертации на тему "Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа"

Зи

Сафин Эльдар Маратович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические • системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 1 ЯП г 2011

Уфа - 2011

4844194

Работа выполнена в отделе математической физики Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН и в отделе физико-математических и технических наук ГАНУ Института прикладных исследований АН РБ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, чл.-корр. АН РБ Сабитов Камиль Басирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов Александр Павлович

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 13 мая 2011 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Учреждении российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

доктор физико-математических наук, профессор Ильясов Явдат Шавкатович

Автореферат разослан

апреля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, S. Agmon, L. Nireiiberg, M.N. Protter, C.S. Morawetz, JI. Вере, В.Ф. Волкодавов, В.H. Врагов, Т.Д. Джураев, В.И. Жегалов, А.Н. Зарубин, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, O.A. Ладыженская, Е.И. Моисеев, A.M. Наху-шев, С.П. Пулькин, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, P.C. Хайруллин, Хе Кан Чер и др. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в работе И.М. Гельфанда1, где рассматривается пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина, Я.С. Уфлянд, JI.A. Золина показали другие применения этих задач. '

O.A. Ладыженская и Л. Ступялис в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гиперболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

После этих статей появилось множество работ, где изучаются зада-

'Гельфанд И.М. Некоторые вопросы аналнза и дифференциальных уравнений // УМН. - 1959. ( - T. XIV. - Вып. 3 (87). - С. 3 - 19. V

ча Трикоми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка. Это работы Х.Г. Бжихатлова, В.Н. Врагова, Т.Д. Джураева, В.А. Елеева, Н.Ю. Капустина, A.M. Нахушева, К.Б. Сабитова и других.

К.Б. Сабитовым для уравнений

L (а) = I Uxx ~ Uy ~ ^lU = У> (1)

\ —Uxx + Uyy + А2Ы = 0, у < 0, {1

I /и\ = / ~ ит ~ Xiu = У > °> (2)

1 Uxx - иуу + \2и = 0, у < О,

где Ai, Аг - числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трикоми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (1) и (2) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (1) существенным образом зависит от параметров Aj и Аг- Если даже Ai > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое Аг, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (2) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.

Так же К.Б. Сабитов2 исследовал задачу с граничными условиями u(0,i) = u(l,t) = О, -a <t < ß, и(х, —а) = ф(х), 0 < х < 1, для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu _ Г щ - ихх + Ь2и = 0, t > 0, U ~ 1 Уа - ихх + Ъ2и = 0, t < 0,

в прямоугольной области D — {(£,i)| 0 < х < 1, —а < t < ß}, где а > 0, ß > 0 и b > 0 - заданные действительные числа. Методом спектрального анализа при некоторых условиях а и ß установлен критерий единственности и решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье.

В работе К.Б. Сабитова, JI.X. Рахмановой3 исследована начально-краевая и нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-

2Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического в прямоугольной области // Матем. заметки. - 2008. - Т.86. - Вып. 2. - С. 273 - 279.

3Сабитов К.Б., Рахманова Л.Х. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения ~ 2008. -Т.44. - № 9. - С. 1175 - 1181.

гиперболи-ческого типа

Lu =

Щ — Uxx + Ь2и = 0, t > 0

(—t)muxx - utt - b2{—t)mu = 0, t<0.

t > 0,

где m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D. Здесь также методами спектральных разложений при при некоторых условиях на а и ß установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования решений поставленных задач.

Данная диссертационная работа посвящена изучению обратных краевых задач для уравнения смешанного типа, о важности такого рода исследований отмечалось в работах М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко.

Ранее обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались в научных школах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и их учеников и последователей

A.M. Денисова, A.B. Баева, А.И. Прилепко, В.В. Васина, В.П. Танана,

B.Г. Романова, А.И. Кожанова и многих других.

В тоже время практически отсутствуют исследования, посвященные-решению обратных задач для уравнений смешанного типа.

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

в прямоугольной области Б = {(х,¿)| 0 < х < 1. —а < Ь < /3}, где Ь > 0, а>0, [3 > 0 - заданные действительные числа.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения обратных задач для уравнения смешанного параболо - гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени, в прямоугольной области с граничными условиями первого - третьего родов. В каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по

Lu = f(x, t).

(3)

где

t > 0, t < 0,

собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения обратных задач для уравнения смешанного параболо - гиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени, в прямоугольной области с граничными условиями первого - третьего родов. В каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Методика исследования. При доказательстве единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа использованы методы общей теории дифференциальных уравнений в частных производных и спектрального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научном семинаре лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан, затем Института прикладных исследований Академии наук Республики Башкортостан (н.р. - проф. К.Б. Сабитов, 2006 - 2011 гг.), на семинарах: дифференциальные уравнения математической физики (н.р. - проф. Л.А. Калякин, проф. В.Ю. Новокшенов, февраль 2011 г.) и вычислительная математика и смежные вопросы (н.р. - проф. М.Д. Рамазанов, проф. Я.Ш. Ильясов, март 2011 г.) Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, также на следующих всероссийских и международных конференциях: «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященная юбилеям академиков РАН Ильина В.А. и Моисеева Е.А. (г. Стерлитамак, 2008 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Эльбрус, 2008 г.), «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (г. Москва,

2009 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик - Эльбрус, 2009 г.), «Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения - 2009» (Казань,

2009 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик - Хабез, 2010 г.), «Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения - 2010» (Казань,

2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11], при этом статьи [1]-[3] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. В совместных работах [1]-[3] постановка задач принадлежит научному руководителю К.Б. Сабитову.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 103 наименования. Общий объем диссертации - 106 страниц.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю К.Б. Сабитову за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддержку.

Краткое содержание диссертации

Во введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В главе 1 исследуются обратные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение (3) в области В = {(х,£)| 0 < х < 1, —а < £ < /3}, а,/3 > 0 при Л(х) = к{х) = /(*):

Ьи=Ы-ихх + Ь*и = № £>0, \ иа - ихх + Ъ2и = /(х), £ < 0.

Для уравнения (4) в этой области О поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области П функции и(х,Ь) и }(х), удовлетворяющие условиям:

и(аг,*) еС'(Д)пС2(0+ и £>_);. (5)

/(х)еС(0,1)пЦ0,1}; (6)

Ьи{х,1) = }{х), (1,()еР+иО.; (7)

«(х, -а) = ^(аО, 0 < я < 1; (8)

и{х,Р) = <р(х), О < а; < 1; (9)

ш(0,0 = и(1,0=0' ~а<Ь<Р, (10)

где 1]>(х) и 1р(х) - заданные достаточно гладкие функции, уз(0) = </>(1) = ф(0) = ф{ 1) = О, - Б П {*"> 0}, Б- = Б П {£ < 0}.

Задача 1.2. Найти в области О функции и(х,1) и ¡(х), удовлетворяющие условиям (5) - (9) и

^(0,0 = ^(1,^=0, -а < t < /3,

здесь ф(х) и <р(х) - заданные достаточно гладкие функции, </?'(0) =

^(1) = фЩ = ^(1) = 0.

Задача 1.3. Найти в области Б функции и(х^) и ¡(х), удовлетворяющие условиям (5) - (9) и

«х(0;г) -/11и(0,£) = 0, их(М) + Л2и(1,г) = 0, -а<£</3,

где Лх, /12 ~ заданные положительные числа, тр(х) и <р(х) - заданные достаточно гладкие функции, р'(0) — /1193(0) = 0. ¡р'( 1) + /12^(1) = О, ^(0) - Ьгф(0) = 0, ^(1) + = О-

Рассмотрим задачу 1.1. Методом спектрального анализа построено решение задачи (5) - (10) в виде суммы ряда Фурье

1(х, ¿) = ^ «*;(£) БШ 7Гкх, (11)

к=1

¡(х) = ^2^1кзт-ккх, (12)

к=1

где

«к СО =

^¡Ж "(с08 ы ~ Хкз!п+ ^' *<

(13)

л =

6a¡3b(k)

Al (14)

+ kf

O o

при условиях

5арь{к) = - (cos Ака + Хк sin \ка) ^ О, А; € N. (15)

Если 5арь{к) = 0 при к = р и некоторых а, /3 и Ь, тогда задача (5) -(10) при <р(х) = 0, ф(х) = 0 имеет нетривиальное решение

Up(x, t) = <

— + ) sinTrpx. í > 0,

7 J \ de)

-Г ^Vpl, — /\р Dill ЛрЬ

~ + cos Api — Ар sin Api j sin npx, t < 0,

/„(¡сН/рВттгрт, /р = -\2ре~^. . (17/

Выражение 6а0ь{к) = 0 при фиксированных к = р, р € К, 6 > 0 и /? > 0 только в том случае, когда

(— 1УД 7ГТХ Т

а = агсвт 9р + ---р,пбМ,

Ар Ар Ар

вр = 1 + А2; 7р = агсзт(1/у/1 + А2).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.1. Если существует, решение задачи 1.1, т.е. задачи (5) - (10), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (15) при всех к е N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {л/2з\тгкх}^=1 в пространстве ¿^[0.1]-

Поскольку а, /3, Ь - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение 5аръ(к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"4. Чтобы не было такой ситуации, надо показать существование чисел а, /3 и Ь, что при достаточно больших к выражение 5а^ь{к) отделено от нуля.

4Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. - 1963. - Т. XVIII. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

Приводимые ниже леммы 1.1 - 1.4 являются достаточными условиями отделенности выражения 5а0ь(к) от нуля.

Лемма 1.1. Если а € N и Ь = 0, то существует число Ср -зависящее от /3, такое, что при любом k е N 'справедлива оценка

|<WoWI > Cñ > 0.

Лемма 1.2. Если а = p/q, p,q eN, (р. q) = 1, p/q ^N,6 = 0, то существует число - зависящее от /3, такое, что при любом k € N, к > q/к, справедлива оценка > Ср > 0-

Лемма 1.3. Если а £ М = {а | а = Voí + р, р € Z, \/d> —р, d = 2,3,5.6,7,8}, то существуют положительные постоянные Са и /За зависящие от а такие, что при Ь = 0 и всех k Е N и ¡3 > ¡За справедливо неравенство \5про(к)\ > Сп > 0.

Лемма 1.4. Если а = p/q, р, q 6 N, (р, q) — 1, b - положительное действительное число, то при любом к б N, к > Каь = (pb2 + <рг)/7г2 справедлива оценка |<5а/зь(А;)| >Ср>0. где Ср - положительная постоянная, зависящая от /3.

Таким образом, из лемм 1.1 - 1.4 следует, что существуют числа а > 0, Р > 0, Ь > 0 и положительные константы Ко (здесь и далее 6 N) и Со, вообще говоря, зависящие от а, /3, 6, такие что при k > К0, k € N, справедливо неравенство

|<Ы*01 > Со > о. (18)

Если при указанных а, /3 и Ь выражение Sa$b{k) = 0 при некоторых к = li,...,lm, где 1 < 1\ < ... < lm < K0-, ln, п = 1,т, ш - заданные натуральные числа, то задача (5) - (10) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности

i i У ip(x) sin irkxdx = 0, J ф(х) sinnkxdx = 0, k = li,...,lm, (19) о о

и решение в этом случае определяется рядами

/¡,-1 12-1 оо \

u(x,t) = v2 Е +•••+ Е ) s'n+ У: Apup(x, t).

\fc=l k=h +1 k=ln+\J P

(20)

/h-l 1,-1 OO \

/(x) = ^ E + E +••• + E лsin nkx+E Apfp(*)> (21)

\k=1 fc=ll+l fc=/m+1/ P

где в суммах ^ индекс р принимает значения ..., 1т, Ар ^ О

вольная постоянная, а выражения /ь ир(х, ¿) и }'р(х) определяются соответственно по формулам (13), (14), (16) и (17), конечные суммы выражений (20) и (21) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 1.2. Пусть ¡р(х), гр(х) е С4[0,1], </>«(0) = = <¿>«(1) =

= о, г = 0,2, и выполнены условия (18) при всех к > Ко. Тогда если 6а$ь(к) ^ 0 при всех к = 1,2,.... Ко, то задача (5) - (10) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (11) и (12); если $аць(к) = 0 при некоторых к = ..., 1т < Ко, то задача (5) - (10) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности (19), и решение в этом случае определяется рядалш (20), (21).

При обосновании устойчивости построенного решения (11) и (12) вводятся следующие нормы:

Мх, 011x2(0,1) = \\ФЛ)\\ь2 =

\ИхЛ)\\Сф±) = тах|и(а:,£)|,

11/(*= ЩЁ|/(Ч(*)12 - "£N0.

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, тогда для решения (11), (12) задачи 1.1 справедливы оценки:

ОИъ < к01 (1Мк +М*»). * > 0, !КМ)!к < ЛюОМк + МкО, * < о,

1К*. ОНсф.) ^ ЫМя; + Мк2)>

\\1^)\\ст<кое(М^ + \\Ф[иУо), где постоянные Кщ, г — 1,6, не зависят от функций <р(х) и ф(х).

При решении задач 1.2 и 1.3 применяется тот же спектральный метод и для их решений установлен критерий единственности, сами решения

построены в виде сумм ортогонального ряда и установлена устойчивость по граничным данным.

Глава 2 посвящена изучению обратных задач для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени. Методом спектральных разложений установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решения поставленных задач.

Для уравнения (3) в прямоугольной области D при fi(x) ф /2(л;) поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области D функции u(x,t) и f(x,t), удовлетворяющие условиям:

и{х, t) € Сг(П) Л C2(D+ U £L); (22)

fi(x) в С(0,1) ПХ[0,1], i = 1,2; (23)

Lu(x,t) = f{x,t), {x,t) G D+UD.; (24)

u(x, -a) = ip(x), 0 < z < 1; (25)

ut(x,-a) =g(x), 0 < ж < 1; (26)

и{х,р) = ч>(х), 0 < ж < 1; (27)

u{Q,t) = u(l,t) = 0, —a <t</3, (28)

где ф(х), <p(x) и g(x) - заданные достаточно гладкие функции, ip{0) = ip{l) = 0, ^>(0) = ф{ 1) = 0, g{0) = 5(1) =0,D+ = Dfl{t> 0}, D- = DC\{t < 0}.

Задача 2.2. Найти в области D функции u(x,t) uf(x,t), удовлетворяющие условиям (22) - (27) и

ux(0,t.) = ux(l,t)=0, —а < t < /3,

здесь ф(х), <р(х) ид(х) - заданные достаточно гладкие функции, 0) = у/(1) = 0, ф'(0) = ф'(1) = 0, </(0) = g'{ 1) = 0.

Задача 2.3. Найти в области D функции u(x,t) uf(x,t), удовлетворяющие условиям (22) - (27) и

ux(0,t) - hiu(0,t) = 0, ux(l,t) + h2u(l,t)=0, -a<t<0,

где hi, - заданные положительные числа, ф(х), <р(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, у/(0) —/iiv(0) = 0, (¿/(l)-f/i2<p(l) = 0,

ф'(0) - М(0) = о, ^(1) + Ь2ф( 1) = 0.

Для примера здесь рассмотрим задачу 2.1 решение которой построено в виде суммы ряда

u(x,t) = л/2 Uk(t) sin тгкх, к=1

fi(x) = V2^fik sin-к кх, г = 1,2,

(29)

(30)

(fc=l

где

Ui(t) = <

flk ч

+ С1ке~х1\ t> О,

М + ^(Л* /ц) + ^) cos Afci _ AtCit sin t < 0j

fik = Afc

, MVfc - Фк) sin Aka - gk{ 1 - cos Aka) _хг3 Vk H--:—:-—-e

/2t = Xk

\кАа/3ь(к)

Ч^Рк ~ фк) - fffc[(l - е~хЩ cos Aka + Xk sin А*а]

Clk =

Щфк ~ fk) sin xka + gk(l - cos \ka)

(31)

(32)

■ (33) (34)

A kAalib(k)

Фк, Фк, Зк ~ коэффициенты разложения функций ip(x), ф{х), д(х) по системе {\/2s\xi-Kkx}kLv при условиях

Аа,ф) = А*(1 - cosA^q) + (1 - e-^sinAfct* ^ О, к е N. (35)

Если нарушено условие (35) при некоторых а, ¡3 и Ъ и к = р, то обратная задача (22) - (28), где ip(x) = 0, ф(х) = 0, д{х) = 0, имеет нетривиальное решение

Up(x, t) =

sin прх, t > О,

%+ir^+0 003 v "Лр sin v

fip(x) = fipSinirpx, flp = -X2pe~xpfl, hP{x) = f2p sin itpx, f2p

Sin7Tpx, t < 0,

(36)

sin Xpa

Выражение Аарь(к) = 0 при фиксированных к = р, р € М, 6 > 0 и /? > О только в том случае, когда

Теорема 2.1. Если существует решение задачи 2.1, т.е. задачи (22) - (28), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия Ф 0 пРи всех к € N.

Поскольку выражение Да/зь(к) может обратиться в нуль при указанных выше значениях (38) и (39) параметра а, то вначале ответим на вопрос при каких а. Р выражение Да/зь(&) при достаточно больших к отделено от нуля. Надо отметить, что при 6 = 0 выражение (38) принимает вид а = 2п/к. Поэтому когда а принимает рациональные значения = 0. Следовательно, для таких а решение задачи 2.1 вообще в виде ряда может не существовать.

Лемма 2.1. Если а € М = {а | а = л/й + р, р ей, ^/й > —р, й = 2,3,5.6,7,8}, то существует положительная постоянная Са, зависящая от а такая, что при 6=0 в всех к € N справедливо неравенство

Отметим, что каждое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а = [йо, а2,.... а„,...], при этом целое число ао и натуральные числа яг,... называются элементами числа а. Как известно5, что элементы всякой квадратической иррациональности ограничены.

Лемма 2.2. Пусть - положительное иррациональное число с неограниченными элементами, 6 = 0. Тогда для любого г > 0 существует бесконечное множество натуральных чисел к таких, что

(38)

или

а = —г---т € М, = агСБШ

Лр Ар

Са

|Да/м(*)1 < "¡Г

к '

(40)

'Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.:Наука, 1978. - 112 с.

где Сз - положительное число.

Из доказанной оценки (40) следует, что для таких о^ > 0, выражение которое является знаменателем отношений (32) - (34), может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому в этом случае решение в виде суммы рядов может не существовать.

Лемма 2.3. Если а^ - положительное рациональное число, Ь - положительное действительное число, то при любом к 6 N и к > Каь = (рб2 + <77г)/7г2 справедлива оценка

|Да,и(*)1 > Са'Ь

к' '

где Са$ь ~ положитыъная постоянная зависят,ая от а, /3 и Ь.

Таким образом из лемм 2.1 и 2.3 следует, что существуют положительные константы Ко (здесь и далее Ко 6 М) и Со, вообще говоря, зависящие от а, ¡3, Ь, такие что при к > Ко, к € М, справедливо неравенство

\Аа0Ь(к)\>^>О. (41)

Если при указанных а, ¡3 и Ь выражение Аарь(к) = 0 при некоторых к = 1х,...,1т, где 1 < < ... < 1т < К0; 1п, п = 1,т, т - заданные натуральные числа, то задача (22) - (28) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности

J ip(x) sin irkxdx = 0. J чр{х) sin irkxdx = 0, J g(x) sin irk.xdx = 0 0 0 0

(42)

при k = ¿i,..., lm, и решение в этом случае определяется рядами

/¿1-1 '2-1 ОО \

и(хл)=(^2+ Y^ +•••+ \uk(t)s[n'n'kx+YLAPup(x't)^ (43)

U=1 А=1,+1 fc=¡ra+l/ Р

/¡1-1 ¡2-1 ОО \

№) = Хд И +-+ Y, \ fikSÍmrkx + Y^Apfipix), (44) \fc=l jfc=/,+l k=lm+lj p

где i — 1,2, в суммах индекс р принимает значения h,...,lm, Ар ф 0 -

произвольная постоянная, а выражения fik, uk{t), up(x,t) и fip{x) определяются соответственно по формулам (31) - (33), (3G) и (37), конечные

суммы выражений (43) и (44) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 2.2. Пусть функции <р{х), ф{х) € С5[0,1], д{х) е С4[0,1] ^(0(0) = ^«(0) = = 1) = 0, 0) = 1) = 0, г = 0,2,4, j = 0,2 и выполнены условия (41) при всех k > Kq. Тогда если Аарь{к) ф О при к = 1,2,..., iio, то задача (22) - (28) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (29) и (30); если ¿\арь{к) = 0 при кеко-торых к = ii,..., /т < Kq, то задача (22) - (28) разрешима тогда, когда выполнены условия ортогональности (42), и решение определяется рядами (43), (44).

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2, тогда для решения (29), (30) задачи 2.1 справедливы оценки:

lluia:, t)\\b < Mqi (|Mwi + IMwi + llfflln?). t > 0, ||u(i, Olli, < M>2 (|Mk + Mwi + ||з||„,21), t < 0, ii/iWiu2 < m03(mWi + mWo + biko), Шх)\\12 < MoMwî + \mwi + lblk)>

IKM)IIc(S+) ^ M)5(IMk + UWwi + IMk0)'

II«(M)||C(ZL) ^ -WoeflMk + Mw? + \\9\\w}), ll/i(z)llcM < AforflMiw? + Mw} + llsllwî),

Н/г^)||c[o,i] < MosiMw* + Mwi + HjIIhï). где постоянные Moi, i = 1,8, не зависят от функций ip(x), ф{х) и g(x).

В случае задач 2.2 и 2.3 получены аналогичные результаты, т.е. установлены критерии единственности решения. Сами решения построены в виде сумм рядов и доказаны теоремы об устойчивости решения.

Публикации по теме диссертации

[1] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // ДАН. - 2009. - Т. 429. - № 4. - С. 451 - 454.

[2] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Известия вузов. Математика. - 2010. - №4 (546). -С. 55 - 62.

[3] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Матем. заметки. - 2010. - Т.87. - Вып. 6. - С. 907 - 918.

[4] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольной области со смешанными граничными условиями / Э.М. Сафин // Труды Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы посвященной юбилеям академиков РАН Ильина В.А. и Моисеева Е.И. Уфа: Гилем. - 2008. -С. 168 - 173.

[5] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / Э.М. Сафин // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы, анализа и информатики". - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН. -2008. - С. 237 - 239.

[6] Сафин, Э.М. Об одной обратной задаче для уравнения смешанного типа / Э.М. Сафин // Материалы Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего. М.: "Университетская книга". - 2009. - С. 204 - 205.

[7] Сафин. Э.М. Обратные задачи для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / Э.М. Сафин // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". - Нальчик - Эльбрус: НИИ ПМА КБНЦ РАН. - 2009. - С. 302 - 304.

[8] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа / Э.М. Сафин // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". - Казань: КГУ, 2009. -Т.38. - С. 247 - 249.

[9] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа с граничными условиями третьего рода / Э.М. Сафин // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук РБ. Серия "Физико-математические и технические науки". - Вып. б. -2009. - С. 118-126.

[10] Сафин, Э.М. Обратные задачи для уравнения параболо-гиперболического типа / Э.М. Сафин // Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". - Нальчик - Хабез: НИИ ПМА КБНЦ РАН. - 2010. - С. 85 - 87.

[11] Сафин, Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа со смешанными граничными условиями / Э.М. Сафин // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2010". - Казань: КГУ, 2010. -Т.40. - С. 292 - 296.

Подписано в печать 24.03.2011 г. Формат 60 х 84i/ie-Гарнитура "Times". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сафин, Эльдар Маратович

Введение

Глава 1. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени

§1.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода

§1.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода

§1.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода

Глава 2. Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени

§2.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода

§2.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода

§2.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода

Введение диссертация по математике, на тему "Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа"

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задам для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [100], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [90, 91], A.B. Бицадзе [9], К.И. Бабенко [2], S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter [103], С.S. Morawetz [102], J.R. Cannon [98, 99], Jl. Берс [6], В.Ф. Волкодавов [13], В.Н. Врагов [14], Т.Д. Джураев [19, 20], В.А. Елеев [21], В.И. Жегалов [24], А.Н. Зарубин [22], И.Л. Кароль [33], А.И. Кожанов [34], Ю.М. Крикунов [38], А.Г. Кузьмин [39, 40], O.A. Ладыженская [43], М.Е. Лернер [44], Е.И. Моисеев [45], A.M. Нахушев [47, 48],

Н.Б. Плещипский [49], С.П. Пулькин [53], JI.C. Пулькина [54], O.A. Репин [58], К.Б. Сабитов [61], [63] - [66], М.С. Салахитдинов [71], М.М. Смирнов [80], А.П. Солдатов [82, 83], P.C. Хайруллин [93], Хе Кан Чер [96], М.М. Хачев [94, 95] и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда иа одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [15]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [84], Я.С. Уфлянд [88], JI.A. Золина [23] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда иа участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений а также при требованиях непрерывности напряжения и тока на прямой х = I :

Здесь Ь, С\ - самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линии; Д, С*2 - сопротивление и емкость второго участка. Если из системы

0.1) при начальных и граничных условиях: lim и2 = о, уравнений (0.1) исключить токи, то получим задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа ofiVxx - Vw = 0, 0 < х < I,

1 УУ (02)

-$Ухх — Уу = °> I <х < ОО, с соответствующими граничными условиями:

У(ж,0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0 <х<1, У(гс,0) = 0} 1<х< оо,

V(0,y) = E(y), lim V{x,y) = О/ х—»+oo и условиями сопряжения: у

V(l-01y) = V(l + 0iy)1 Vx(l + 0,y) = j J Vx(l-0,ri)dTi, о

2 1 .2 1

01 "ад' а2~ RC2

Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.2), рассмотрена в [20].

O.A. Ладыженская и JI. Ступялис [43] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гинерболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

J1.A. Золина [23] исследовала аналог задачи Трикоми для уравнения

I ихх - иу = 0, у > 0, Lu = i (0.3) ихх — иуу = 0, у < 0, в области, ограниченной при у < 0 характеристиками АС(х + у = 0) и ВС(х — у = 1) уравнения (0.3), а при у > 0 - отрезками прямых AAq(x — 0), BBQ(x — 1) и АоВо(у — h > 0), с граничными условиями и условиями склеивания: и

ААо Vi(y), и =<Р2(у), 0 <y<h, вв. о и =ф(х), 0<х<1/2, АС и(х, +0) = \(х)и(х, — 0), иу(х, +0) = ц(х)иу(х, — 0), 0 < х < 1.

После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Три- . коми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для смешанных параболо-гиперболи-ческих уравнений второго порядка. Это работы Х.Г. Бжихатлова и A.M. На-хушева [7], Х.Г. Бжихатлова [8], В.Н. Врагова [14], В.А. Елеева [21], Н.Ю. Капустина [31, 32], A.M. Нахушева [48], К.Б. Сабитова [61] и других.

Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений содержится в монографиях [19, 20].

К.Б. Сабитовым [61] для уравнений где Ах, А2 - числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трико-ми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (0.4) и (0.5) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (0.4) существенным образом зависит от параметров Ах и Аг- Если даже Ах > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое А2, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (0.5) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.

0.4)

L2(u) =

Ux ~ Uyy - AlU = 0, у > 0, иХх ~ Uyy + A2U -0, у < О,

0.5)

В работах Н.И. Ионкина [29, 30] в области Вт = {(ж, £) | 0 < х < 1, 0 < £ < Т} для уравнения теплопроводности

Щ - ихх = /(ж,£) изучена нелокальная задача с условиями: 1 и(о, = о, J и(х, = 0, о < г < т, (о.б) о и(х,0) = (р(х), 0 < х < 1.

Здесь показано, что нелокальное условие из (0.6) эквивалентно нелокальному условию их(0,£) = их{1,1), 0 < £ < Т. В этих работах доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <£>(ж), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи [28].

Сабитовым К.Б. [64] исследована задача с граничными условиями и{0, ¿) = и(1,£) — 0, —а <£</?, и(х,—а) = ф(х), 0 < х < 1, для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа щ - ихх + Ь2и = 0, г > 0, Ьи — < ии - ихх + ъ2и = о, г< о, в прямоугольной области И = {(гс,£)| 0 < х < 1, —а < £ < ¡3}, где а > 0, /?>0и6>0 - заданные действительные числа. Методом спектрального анализа при некоторых условиях а и (3 установлен критерий единственности и решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье.

В работах Сабитова К.Б., Рахмановой Л.Х. [55]-[57] исследованы начально-краевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Щ ~ ихх + Ъ2и = 0, t> О,

-t)muxx-uu-b2{-t)mu = 0, t< О, где т = const > О, Ъ — const > О, в прямоугольной области D. Здесь также методами спектральных разложений при при некоторых условиях на а и ß установлены критерии единственности и доказаны существования рентений краевых задач в виде сумм рядов Фурье.

Данная диссертационная работа посвящена изучению обратных краевых задач для уравнения смешанного типа, о важности такого рода исследований отмечалось в работах Лаврентьева М.А., Франкля Ф.И., Бицадзе A.B., Бабенко К.И.

Ранее обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка изучались многими авторами, такими как: Тихонов А.Н. [86], Денисов A.M. [16] (см. приведенную там обширную библиографию), [17, 18], Иванов В.К. [26], Кожанов А.И. [35, 36], Лаврентьев М.М. [41, 42], Прилепко А.И. [50] - [52], Романов В.Г. [59, 60], Баев A.B. [3, 4] Меграбов А.Г. [101] и многие другие.

В тоже время отсутствуют исследования, посвященные решению обратных задач для уравнений смешанного типа.

Lu — f(x, t), (0.7) где щ - ихх + b2u, ¿>0 I Д(ж), ¿>0,

Lu = <( = < ии-ихх + Ъ2и, t< 0, [ /г(^), t < О, в прямоугольной области.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из двух глав.

Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (0.7) при fi(x) — f2(x) = f{x):

J щ-ихх + Ъ2и = f(x), t> 0, Lu = < * (0.8) utt-uxx + b2u = f(x), t < 0, в прямоугольной области D = {(x,£)| 0 < x < 1, —a < t < /?}, a,/3 > 0. Для уравнения (0.8) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции u(x,t) и f(x), удовлетворяющие условиям: u(x,t) G C\D)nC2{D+U (0.9) f(x) G C(0,1) П L[0,1]; (0.10)

Lu(x,t) = f(x), (x, t) G D+ U D-\ (0.11) u(x, —a) = ф{х), 0 < x < 1; (0.12) u(x,(3) = <p(x), 0 < x < 1; (0.13) it(0, t) — u(l, t) — 0, —a <t</3, (0.14) где ф(х) и <£>{х) - заданные достаточно гладкие функции, </?(0) = <£>(1) =

Задача 1.2. Найти в области Б функции и(х^) и ¡(х), удовлетворяющие условиям (0.9) - (0.13) и здесь ф(х) и (р(х) - заданные достаточно гладкие функции, <р'{0) = —

Задача 1.3. Найти в области В функции и(х^) и ¡(х), удовлетворяющие условиям (0.9) - (0.13) и их(1,г) + /12и(1,0 = о, -а <*</?, где Н\, 1ъ2 - заданные положительные числа, ф{х) и <р(х) - заданные достаточно гладкие функции, у?'(0) — /¿1<у?(0) = 0, </?'(!)+^2^(1) — О, ^'(О) — Ъ,\ф{§) =

Рассмотрим задачу 1.1. Методом спектрального анализа построено решение задачи (0.9) - (0.14) в виде суммы ряда Фурье ф(0) = -0(1) = 0, D+ = D П {t > 0}, £> = D П {t < 0}. их(0, t) = их(1, t) = 0, -a<t< /3, ф'(0) = ^'(1) = 0. o/^(i) + ад>(1) = о. оо

0.15) fe=i

ОО

0.16) где

0.17) fk = фи ~

Vk ~ Фи c-xl0 Л2 aflb(k)

0.18)

1 1

0 0 при условиях

Sapb{k) = e~x*P - (cos Xka + Xk sin Aka) О, к E N. (0.19)

Если 6арь(к) = 0 при к = p и некоторых a, ¡3 и b, тогда задача (0.9) - (0.14) (где ip(x) = 0, ф{х) = 0) имеет нетривиальное решение j sin 7трх, t > 0, up(xit)={ >/ \ (°-2°) cos Apt — Ар sin Xpt ) sin 7трх, t < 0, р fp{x) = fp sin тгря, fp = - (0.21)

Выражение 6арь(к) = 0 при фиксированных к = р, р € N, b > 0 и ¡3 > 0 только в том случае, когда —1)П . Л 7ГП 7„ а = arcsm 9Р + ---р,п е N,

Лр Лр Лр где = е~ХрР/yjl + А2, 7р = axcsin(l/^l + Л|).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. ifc/ш существует решение задачи 1.1, т.е. задачи (0.9) - (0.14), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (0.19) при всех k е N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {д/2 sinв пространстве I^jO, 1].

Поскольку а, b - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение 5арь{к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[1, 66]. Чтобы не было такой ситуации, надо показать существование чисел а, (3 и 6, что при достаточно больших к выражение 8аръ{к) отделено от нуля.

Приводимые ниже леммы 0.1.1 - 0.1.4 являются достаточными условиями отделепности выражения 6аръ(к) от нуля.

Лемма 0.1.1. Если а Е N и Ъ = 0, то существует число Ср - зависящее от (3, такое, что при любом А; 6 N справедлива оценка |<5а/?о(&)| > Ср > 0.

Лемма 0.1.2. Если а = р/д, р,д Е М, = 1, р/я ф М, Ъ = 0, то существует число Ср - зависящее от (3, такое, что при любом 6 к > я/п, справедлива оценка > С/? > 0.

Лемма 0.1.3. Если а Е М = {а | а = -у/б + р, р Е Ъ, л/И > —р, б. = 2,3,5,6,7,8}, то существуют положительные постоянные Са и (За зави- • сящие от а такие, что при Ъ = 0 и всех к Е N и (3 > (За справедливо неравенство \6аро(к)\ > Са > 0.

Лемма 0.1.4. Если а = р/д, 6 М, (р,я) = & ~ положительное . действительное число, то при любом к Е М, к > Каь = (рЬ2 + д7г)/7г2 справедлива оценка \5арь{к)\ > Ср > 0, где Ср - положительная постоянная, зависящая от (3.

Таким образом, из лемм 0.1.1 - 0.1.4 следует, что существуют числа а > 0, ¡3 > 0, Ъ > 0 и положительные константы Ко (здесь и далее Ко Е М) и Со, вообще говоря, зависящие от а, /3, Ь, такие что при к > Ко, к Е М, справедливо неравенство

5а/зъ(к)\ > Со > 0. (0.22)

Если при указанных а, ¡3 и Ъ выражение 5арь(к) = 0 при некоторых к = где 1 < ¿1 < . < 1т < Ко; 1п, п = 1,ш, т - заданные натуральные числа, то задача (0.9) - (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности

1 1

У (р(х) ътккхбх = 0, jф(х) ътпкхйх = 0, к = ., 1т (0.23) о о и решение в этом случае определяется рядами

1-1 ¿2-1 ОО \ и(х, ¿) = д/2 I ^ + +.+ ^3 (°-24) с=1 £=¿1+1 к=1т+1/ р

1-1 ¿2-1 оо \ х) = у/2 X] +.+ )Л8Ш7гЬ; + 53Лр/р(аО, (0.25) с=1 /¿=¿14"! к=1т+1/ р где в суммах ^ индекс р принимает значения Ар ^ 0 - произвольная р постоянная, а выражения иД, ^(а;, £) и определяются соответственно по формулам (0.17), (0.18), (0.20) и (0.21), конечные суммы выражений (0.24) и (0.25) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.1.2. Пусть р(х), ф(х) € С4[0,1]; <рФ(0) = ^}(0) = ^Ч1) = = 0; ъ = 0,2, и выполнены условия (0.22) при всех к > Кд. Тогда если 5арь(к) т^ 0 при всех к = 1, 2,., Ко, то задача (0.9) - (0.14) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (0.15) и (0.16); если 5арь(к) — 0 при некоторых к — ¿1,., 1т < Ко, то задача (0.9) - (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности (0.23), и решение в этом случае определяется рядами (0.24), (0.25).

При обосновании устойчивости построенного решения (0.15) и (0.16) вводятся следующие нормы:

1 \ !/2

2. и{х,1)\\ь2М = \\и{х,Щь2 = I у \и{х,Ь)| ¿X о

1КМ)||Сф±) = тах|п(ж,£)|,

И/МП щ = (/ ^ , п е N0.

Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2, тогда для решения (0.15), (0.16) задачи 1.1 справедливы оценки: К01 (1Мк° + \W\ws) ,*>0,

1км)|к < адмк* + мм, I < о,

1КМ)||С(5+) < ^04(11^11^ + Мж^

1КМ)Нс(1?) < Коь(М\уу$ + \W\wi), ||/(я)||с[0,1] <#0б(Ми? + где постоянные Ко1, г — 1, 6, не зависят от функций <р(х) и ф(х).

При решении задач 1.2 и 1.3 применяется тот же спектральный метод и для их решений установлен критерий единственности, сами решения построены в виде сумм ортогонального ряда и установлена устойчивость по граничным данным.

Глава 2 посвящена изучению обратных задач для уравнения смешанного параболо-гипсрболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени. Методом спектральных разложений установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решения поставленных задач.

Для уравнения (0.7) при Л (ж) ^ /2 (я) поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области О функции и(х,1) и /(х^), удовлетворяющие условиям:

0.26)

Мх) €С(0,1)ПЬ[0,1], г = 1,2; (0.27)

Ьи(х, г) ЕЕ /(ж, г), (ж, ¿) е £>+ и £>; (0.28)

14(ж, —а) = ч/>(ж), 0 < ж < 1; (0.29) щ(х, -а) = д(х), 0 < ж < 1; (0.30) и(х,Р) = <р{ж), 0 < ж < 1; (0.31) и( 0, £) = и{ 1, £) = 0, -а < £ < /3,

0.32) гдеф{х), ф{х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, <£>(0) = </?(!) —

0, ^(0) - ^(1) = 0, д(0) = #(1) = 0, £>+ = £> П {¿> 0}, £> = £> П {£ < 0}.

Задача 2.2. Найти в области В функции и(х,Ь) и¡(х,1), удовлетворяющие условиям (0.26) - (0.31) и здесь ф{х), (р(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, </?'(0) =

Задача 2.3. Найти в области Б функции и(х,Ь) и$(х,1), удовлетворяющие условиям (0.26) - (0.31) и их(0,г) = 0, их{1,г) + = 0, -а<г<р, где Н\, /гг - заданные положительные числа, ф{х), <р(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, <//(0) — /¿1</?(0) = 0; </?'(!) + Ь,2<р{1) — О, ф'{0) — их(0,£) = их(1,£) = 0, -а <«</?,

1) = 0, ф'{0) = ^(1) = 0, д>{0) = ^(1) = 0. ад(о) - о, ^(1) + ад>(1) = о.

Решение задачи 2.1 построено в виде суммы ряда оо

0.33) оо

0.34) где + С1ке

1ке~х&, г > 0,

1к М + £1к ] соз д^ хкс1к вт л^, г < о,

0.35)

Л к = ^ +

А: /

- эт А&а - дк{1 - со8\ка) хг0 \кАа/зь{к)

0.36)

2 к = >?к Фк +

Ц<Рк ~ Фк) ~ Ы(1 " е с°8 + Ла; эт А/с а]

ХкАа(ЗЬ(к)

0.37)

Clk = к{Фк - ¥к) sin Хка + дк(1 - cos Хка)

0.38)

ХкАа/ЗЬ(к)

Рк, Фк, 9к ~ коэффициенты разложения функций (р{х), ф{х), д(х) по системе {sin7Tкх}^=1, при условиях

Aafib(k) = Хк{1 - cos Хка) + (1 - sin Хка к е N. (0.39)

Если нарушено условие (0.39) при некоторых а, (3 и Ъ и к — р, то однородная задача (0.26) - (0.32) (где ip{x) = 0, ф{х) = 0, д{х) = 0) имеет нетривиальное решение up(x,t) sin 7трх, t > 0,

1R + е-А It л+

2 Р I flp /2Р . Л \ Ч , Ч • \ . 1 ) cos Xpt — A» sin Xvt

Ap p p smirpx, t < 0. fiP{x) = fipsinтгрх, fip = — A^e f2P smirpx, f2p = X p

0.40) (0.41) sin Apa

J2p

Выражение Ааръ{к) — 0 при фиксированных к = р, р £ Щ, Ь > 0 и /3 > 0 только в том случае, когда

27тп а —

А, n, р € N,

0.42) или а =

27гт 2£р m £ N, = arcsin

1 - e-W

0.43)

XI + (1 - е-л^)2

Теорема 0.2.1. Если существует решение задачи 2.1, т.е. задачи (0.26) -(0.32), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия Ааръ(к) ^ 0 при всех к £ N.

Поскольку выражение Аарь(к) может обратиться в нуль при указанных выше значениях (0.42) и (0.43) параметра а, то вначале ответим на вопрос при каких о;, (3 выражение Аарь(к) при всех к £ N отделено от нуля. Надо отметить, что при 6 = 0 выражение (0.42) принимает вид а = 2п/к. Поэтому когда а принимает рациональные значения Ааро(к) = 0. Следовательно, для таких а решение задачи 2.1 вообще в виде ряда может не существовать.

Лемма 0.2.1. Если а £ М = {а \ а = у/д + р, р е Ъ, л/д, > —р, с1 = 2,3,5,6, 7,8}; то существует полоэюительная постоянная Са, зависящая от а такая, что при Ъ — 0 и всех к £ N справедливо неравенство

Да/зо {к)

Отметим, что каждое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а = [ао, аа, а2:., .], при этом целое число а о и натуральные числа а\,а2,. называются элементами числа а. Как известно [97, с.62], что элементы всякой квадратической иррациональности ограничены.

Лемма 0.2.2 Пусть а.\ - положительное иррациональное число с неограниченными элементами, 6 = 0. Тогда для, любого е > 0 существует бесконечное множество натуральных чисел к таких, что

Д«/эо(*01 (0.44) где Сз - положительное число.

Из доказанной оценки (0.44) следует, что для таких > 0, выражение которое является знаменателем отношений (0.36) - (0.38), может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому в этом случае решение в виде суммы рядов может не существовать.

Лемма 0.2.3. Если ах - положительное рациональное число, Ь - положительное действительное число, то при любом к € N и к > Каь = [рЪ2q/к)/'к2 справедлива оценка

Д<*»(к)| > где Сарь ~ положительная постоянная зависящая от а, ¡3 и Ь. сп к

Таким образом из лемм 0.2.1 и 0.2.3 следует, что существуют положительные константы К0 (здесь и далее Ко 6 М) и Со, вообще говоря, зависящие от а, /3, Ь, такие что при к > Ко, к 6 М, справедливо неравенство а0ь(к)\ >~>0. (0.45)

Если при указанных а) /3 и Ь выражение Аарь(к) = 0 при некоторых к = где 1 < ¡i < . < lm < Kq; ln, п — l,m, т - заданные натуральные числа, то задача (0.26) - (0.32) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности ill J(р(х) sinirkxdx = 0, Jф(х) smirkxdx — 0, Jд(х) sin irkxdx = 0 (0.46)

ООО при к = ¿i,., 1т и решение в этом случае определяется рядами

1-1 г2-1 ОО \

Y1 ) ^Jt W sin тг/сжЧ-^ (0.47) к=1 k=h+1 k=lm+1/ р

1 — 1 ¿2 — 1 ОО \

X ) /.лвттгАж + ^^ЛрСж), (0.48) \ k—L k=h+l k=lm+lj v где i = 1, 2, в суммах ^ индекс р принимает значения ., Zm, ф 0 - прор извольная постоянная, а выражения up(x,t) и fip(x) определяются соответственно по формулам (0.35) - (0.37), (0.40) и (0.41), конечные суммы выражений (0.47) и (0.48) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.2.2. Пусть функции ф(х) <G С5[0,1], д(х) е С4[0,1] р(0(0) = ^(0(0) = ^)(1) - = 0; 9{jK°) = 9ij){ 1) = 0, i = 0,2,4, j = 0, 2 и выполнены условия (0.45) при всех к > Ко- Тогда если Аарь(к) ф 0 при к — 1, 2,., Kq, нпо задача (0.26) - (0.32) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (0.33) и (0.34); если Аа/зь(к) — 0 при некоторых k = ¿i, .,1т < Ко, то задача (0.26) - (0.32) разрешима тогда, когда выполнены условия ортогональности (0.46), и решение определяется рядами (0.47), (0.48).

Теорема 0.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.3.2, тогда для решения (0.33), (0.34) задачи 2.1 справедливы оценки:

IKT,t)||L2 < Moi (IMk + \Mw.ï +1Ык°), t > о, \\u(x,t)\\L2 < м02 (Mw* + WWi + IbM, t < 0, fi(x)\\L2 < M03(|Mlw| + \m\w§ + IIpIIwj), Шх)\\ь2 < M04(|MI^ + \ШWi + Nlwf), \\ФМс(5+) ^ MosflMw? + \W\w2 + \\g\\w§):

Hx,t)\\c(n„) < M06{M\wi + \\ф\Iwf + WgWw?), fi{x)\\cm < M07(Ыщ + \\^\\wi + \\g\\w»):

2(®)||c[0,l] < MosMwï + UWwi + \\g\\wi), где постоянные Мщ, г — 1,8, не зависят от функций <р(х), ф(х) и д{х).

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научном семинаре лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан, затем Института прикладных исследований Академии наук Республики Башкортостан (н.р. - проф. К.Б. Сабитов, 2006 - 2011 гг.), на семинарах: дифференциальные уравнения математической физики (н.р. - проф. Л.А. Калякин, проф. В.Ю. Новокшенов, февраль 2011 г.) и вычислительная математика и смежные вопросы (н.р. - проф. М.Д. Рамазапов, проф. Я.Ш. Ильясов, март 2011 г.) Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, также на следующих всероссийских и международных конференциях: «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященная юбилеям академиков РАН Ильина В.А. и Моисеева Е.А. (г. Стерлитамак, 2008 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Эльбрус, 2008 г.), «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (г. Москва, 2009 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик - Эльбрус, 2009 г.), «Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения - 2009» (Казань, 2009 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик - Хабез, 2010 г.), «Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения - 2010» (Казань, 2010 г.).

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Сафин, Эльдар Маратович, Стерлитамак

1. Арнольд, В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // // УМН. - 1963. - Т. XV1.I. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

2. Бабенко, К.И. О задаче Трикоми / К.И. Бабепко // ДАН СССР. 1986.- Т. 291. — № 1. - С. 14 - 19.

3. Баев, A.B. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача / A.B. Баев // Матем. заметки. -1990. Т.47. - Вып. 2. - С. 149 - 151.

4. Баев, A.B. Решение задачи восстановления коэффициента диссипации вариационным методом /А. В. Баев, Н. В. Куценко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. - Т. 46. - Вып. 10. - С. 1882 — 1893.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. —М.: Наука, 1966. Т. 2. - 296 с.

6. Берс, JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. —М.: ИЛ, 1961. 208 с.

7. Бжихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Х.Г. Бжихатлов, A.M. Нахушев // . ДАН СССР. 1968. - Т. 183. - № 2. - С. 261 - 264.

8. Боюихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа / Х.Г. Бжихатлов // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 1. -С. 10 - 16.

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. / Бицадзе A.B. — М.:Наука, 1981. 448 с.

10. Де Брёйи, Н.Г. Асимптотические методы в анализе. / Н.Г. Де Брёйн. — М.: Иностранной литературы, 1961. 248 с.

11. Бухштаб, A.A. Теория чисел. / A.A. Бухштаб — М.:Просвещение, 1966. 384 с.

12. Будак, Б.М. Сборник задач по математической физике. / Будак Б.М., A.A. Самарский, А.Н. Тихонов — М.:Физматлит, 2004. 688 с.

13. Волкодавов, В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис— Д-ра физ.-мат.наук. Казань: КГУ, 1969.

14. Врагов, В.Н. Смешанная задача для одного класса параболо-гиперболических уравнений второго порядка / В.Н. Врагов // Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12. - № 1. - С. 24 - 31.

15. Гелъфанд, И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд // УМН. 1959. - Т. XIV. - Вып. 3 (87). - С. 3 -19.

16. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач. / A.M. Денисов. — М.: МГУ, 1994. 207 с.

17. Денисов, A.M. Обратная задача для квазилинейного волнового уравнения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43. - № 8. - С. 1097 - 1105.

18. Денисов, A.M. Обратные задачи для квазилинейного гиперболического уравнения в случае движущейся точки наблюдения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. 2009. - Т. 45. - № 11. - С. 1543 - 1553.

19. Доюураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев —Ташкент: Фан, 1986. — 240 с.

20. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа / Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мамажанов. —Ташкент: Фан, 1986. — 220 с.

21. Елеев, В.А. О некоторых краевых задачах для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / В.А. Елеев // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. XIV. - № 1. - С. 22 - 29.

22. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаз-дывающим аргументом / А.Н. Зарубин / Орел. гос. ун-т — 1999. — 225 с.

23. Золина, JI.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа / JI.A. Золина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1966. Т.6. - № 6. - С. 991 - 1001.

24. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та — 1962. — Т. 122.- кн. 3.- С. 3 16.

25. Жибер, A.B. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувил-левского типа / A.B. Жибер, В.В. Соколов // УМН. 2001. - Т. 56. -Вып. 1. - С. 63 - 106.

26. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. — М.:Наука, 1978. 206 с.

27. Ильин, В.А. Единственность и принадлежность И^1 классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В.А. Ильин // Матем. заметки. 1975. - Т. 17. - № 1. - С. 93 -103.

28. Ильин, В А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора / В.А. Ильин // Труды Математ. института им. В.А. Стеклова. 1976. - Т. 142. - С. 148 - 155.

29. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием /Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

30. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - № 7. - С. 1284 - 1295.

31. Капустин, Н.Ю. К теории уравнений смешанного типа / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № 6. - С. 1078 - 1080.

32. Капустин, Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся частью / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 72 - 78.

33. Каролъ, И. JJ. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сборник -1955. Т. 38 (80). - № 5. - С. 261 - 283.

34. Кожанов, А.И. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка. / А.И. Кожанов — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. 150 с.

35. Кооюанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Матем. заметки. 2004. - Т. 76. - № 6. - С. 840 - 853.

36. Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сиб. матем. журн. 2005. -Т. 46. - № 5. - С. 1053 - 1071.

37. Кожанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для, J

38. Крикунов, Ю.М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Ю.М. Крикунов // Известия вузов. Математика. — 1974. №2 (141). -С. 76 - 81.

39. Кузьмин, А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения в газодинамике / А.Г. Кузьмин. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 280 с.

40. Кузьмин, А.Г. Модифицированная задача Франкля-Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А.Г. Кузьмин // Дифферент уравнения. 2004. - Т. 40. - № 10 - С. 1379 - 1384.

41. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.Т Шишатский. — М.гНаука, 1980. 286 с.

42. Лаврентьев, М.М. Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резеницкая, В.Г. Яхно — М.гНаука, 1982. ' 88 с.

43. Ладыженская, O.A. Об уравнениях смешанного типа / O.A. Ладыженская, Л. Ступялис // Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. 1965. - Т. 19. - № 4. - С. 38 - 46.

44. Лернер, М.Е. Принципы максимума для уравнений гиперболического и смешанного типов в неклассических областях / М.Е. Лернер // Докл.АН СССР. 1986. - Т. 287. - С. 550 - 554.

45. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев М.:Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

46. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной кра- ■ евой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35. №8. - С. 1094 - 1100.

47. Нахушев, A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. - С. 190 - 191.

48. Нахушев, A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 15. - № 1. - С. 66 - 73.

49. Плещинский, Н.Б. К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений / Н.Б.Плещинский //Труды семинара по краевым задачам. КГУ. — 1979. — Вып.16. — С. 112 125.

50. Прилепко, А.И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Матем. сборник. 1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49 - 68.

51. Прилепко, А.И. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении / А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Сиб. матем. журн. 1993. - Т. 33. - №3.~ С. 146 - 155.

52. Прилепко, А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткачепко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. - Т. 43. - №4. - С. 562 - 570.

53. Пулъкии, С.П. Избранные труды / С.П. Пулькип Самара. Универс групп., 2007. - 264 с.

54. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2004. Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

55. Рахманова, Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной / Л.Х. Рахманова // Известия вузов. Математика. 2007. -№11 (546).-С. 36 - 40.

56. Рахманова, Л.Х. Краевые задачи для уравнений смешанного гхараболо-гиперболического типа в прямоугольной области: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Л.Х. Рахманова Казань, КГУ, 2009.- 19 с.

57. Репин, О А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. - Т.32. - №4. С. 565 - 567.

58. Романов, В.Г. Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения. / В.Г. Романов // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4. - №1. С. 87 - 101.

59. Романов, В. Г. б оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. / В.Г. Романов // Сиб. матем. журн. 1998.- Т.39. №1. 436 - 449.

60. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25. - №1. - С. 117 - 126.

61. Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / К.Б. Сабитов — М.: Высшая школа, 2005. — 671 с.

62. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // ДАН. 2007. - Т. 413. - № 1. - С. 23 - 26.

63. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Матем. заметки. 2008. - Т.86. - Вып. 2. - С. 273 - 279.

64. Сабитов, К.Б. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Л.Х. Рахманова // Дифференц. уравнения. -2008. Т.44. - №9. - С. 1175 - 1181.

65. Сабитов, К.Б. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // К.Б. Сабитов // ДАН. 2009. - Т. 427. - № 5. - С. 593 - 596.

66. Сабит,ов, К.Б. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // ДАН. 2009. - Т. 429. - № 4. - С. 451 - 454.

67. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Известия вузов. Математика. 2010. - №4 (546). - С. 55 - 62.

68. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа /К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Матем. заметки.- 2010. Т.87. - Вып. 6. - С. 907 - 918.

69. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16.- № 11. С. 1925 - 1935.

70. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов — Ташкент: Фан., 1974. 156 с.

71. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. — М.гВысшая школа, 1985. 304 с.

72. Соболев, С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе / С.Л. Соболев // ДАН СССР. -1956. Т. 109. - № 4. - С. 707 - 709.

73. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. 1993. - Т. 332. - № 6. - С. 696 - 698.

74. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. 1993. -Т. 333. - № 1. - С. 16 - 18.

75. Стручина, Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г.М. Стручина // Инженер.-физ. журн. 1961. - Т. 4. - № 11. - С. 99 - 104.

76. Ступялис, JI. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа / Л. Ступялис // Труды МИАН СССР. Т. 27. Л.: Наука, 1975. - С. 115- 145.

77. Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // ДАН. ' 1943. - Т. 39. - № 5. - С. 195 - 198.

78. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ, 1947. 192 с.

79. Уфлянд, Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я.С. Уфлянд // Инженер.-физ. журн. 1964. - Т. 7.- № 1. С. 89 - 92.

80. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. —1945. Т. 9. - Ш. - С. 121 - 142.t

81. Франклъ, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ 1956,- Т. 20. - №2. - с. 196 - 202.

82. Франклъ, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике /Ф.И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 703 с.

83. Хабиров, C.B. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа / C.B. Хабиров // Матем. заметки. 2006. -Т. 79. - № 4. - С. 601 - 606.

84. Хайруллин, P.C. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода. / P.C. Хайруллин // Сиб. матем. журн. 1994. - Т. 35. - № 4.- С. 927 936.

85. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольникеМ.М. Хачев // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11. - № 1. - С. 151 . - 160.

86. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. Нальчик. Изд. "Эльбрус". 1998. — 169 с.

87. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения / Хе Каи Чер. //В кн.: Диффе-ренц.уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1980. - С.64 - 67.

88. Хипчии А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин — М.:Наука, 1978. 112 с.

89. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. 1963. - V. 21. - № 2. — P. 155 - 160.

90. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl., 1963. - V. 62. - P. 371 - 377.

91. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat. — Uppsala, 1935. 92 p.

92. Megrabov, A. G. Forward and Inverse problems for hyperbolic, elliptic and mixed type equations / A. G. Megrabov Utrecht; Boston: VSP, 2003. - 230 P

93. Morawetz, C.S. Note on a maximum principle fnd a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. -V.236. - № 1204. - P. 141 - 144.

94. Protter M. H. An existence theorem for the generalized Tricomi problem / M.H. Protter // Duke Math.J. 1954. - V.21. - №1. - P. 1 - 8.