Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ефимова Светлана Витальевна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Зарубин Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Хайруллин Равиль Сагитович

Ведущая организация:

научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (г. Нальчик)

4СМ

Защита состоится 29 ноября 2005г. в /О часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан

•10*

октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н., доцент

Е.К.Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена новым корректно поставленным задачам для уравнения влагопереноса у2ихх -иуу +аих = 0, уравнения хи^ + уи^ + аих + ßиу = 0, параболо-ги-

перболического уравнения, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки.

В физике оно было впервые получено A.B.Лыковым в 1965г. для плотности потока влаги в коллоидном каппилярно-пористом теле поликапиллярной структуры методами термодинамики необратимых процессов. Позднее оказалось, что в биологии оно характеризует поток биомассы микробной популяции в биологическом реакторе. Но первыми, кто заинтересовался этим уравнением, были математики. Так в 1959г. А.В.Бицадзе рассматривает уравнение

2 п т д2и д2ы . .ди

у ия -и + аих = 0 как пример уравнения у —----- + а{х, у)--ь

дх2 ду2 дх

ди

+ Ь(х, у)—+с{х, у)и = 0, для которого при | а |< 1 задача Коши с начальны-ду

ми данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на

1-—

то, что нарушено условие Геллерстедта lim у 2 а(х, у) = 0 . Поэтому урав-

нение влагопереноса также называют уравнением Бицадзе-Лыкова. Ещё ранее К.И.Карапетян установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае | а |< 1 /11, а = 1 / 2 ; Чи Минь-ю исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно ещё и тем, что в случае а = 1 вторая задача Дарбу, заданная на одной из характеристик, оказывается некорректно поставленной.

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой - гиперболическое, было указано в 1959г. И.М.Гельфандом. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окружённом пористой средой: в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Я.С.Уфлянд в статье, опубликованной в 1964г., описывает задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке 0 <х<1 полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки. В результате он приходит к системе, состоящей из волнового уравнения и уравнения диффузии.

На сегодняшний день известно »щ]") ряйпт пплн«гптаит.гу как локальным (для уравнения влагопереноса или ура ;м которых оно

у—»+0

является, здесь можно привести статьи А.М.Нахушева, Т.Ш.Кальменова, В.Н.Врагова, С.К.Кумыковой, Р.Н.Хубиева, для уравнения хиа + уиуу +

+аих+$иу =0 - труды Хе Кан Чера, М.М.Смирнова, для параболо- гиперболических уравнений - статьи Г.М.Стручиной, С.И.Гайдука, А.В.Иванова, Л.А.Золиной, Х.Г.Бжихатлова, А.М.Нахушева, В.Н.Абрашина, В.А.Елеева, Н.Ю.Капустина, К.Б.Сабитова, А.Сопуева, Т.Д.Джураева, Б.Исломова, М.Е.Лернера), так и нелокальным (см. для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, статьи С.К.Кумыковой, А.А.Килбаса, О.А.Репина, М.Сайго, для уравнения хиа + уиуу +аих +

+$иу = 0 - статьи С.С.Исамухамедова, Ж.Орамова, для параболо-

гиперболических уравнений ~ статьи Х.Г.Бжихатлова, В.А.Елеева, А.А.Килбаса, О.А.Репина, А.А.Керефова, А.О.Желдашевой) задачам для вышеописанных уравнений.

Отличительной особенностью задач, рассмотренных в диссертации, является наличие в краевых условиях операторов дробного интегродифференци-рования с гипергеометрической функцией Гаусса, введённых М.Сайго. Эти операторы представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана-Лиувиля, которые имеют многочисленные практические приложения. Заметим, что на сегодняшний день нелокальным краевым задачам, содержащим операторы в смысле Сайго, посвящено достаточно мало исследований.

Таким образом, уравнение влагопереноса, уравнение хихг + уиуу +аих +

+р иу = 0 и уравнения параболо-гиперболического типа, а также краевые

задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес.

Основной целью работы является постановка и исследование новых нелокальных краевых задач для уравнения влагопереноса, уравнения хиа +уиуу +аих+$иу = 0 , параболо-гиперболического уравнения, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса.

Методы исследования. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории операторов обобщённого дробного интегро-дифференцирования, теории интегральных уравнений, теории дифференциальных уравнений с частными производными. В частности, метод доказательства единственности решения задач для уравнения влагопереноса с помощью принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1, для параболо-гиперболических уравнений на основании специальных неравенств, связывающих произведения следов искомого решения и нормальной производной; метод доказательства существования решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу разрешимости сингулярных интегральных уравнений; метод доказа+ельства существования и единственности решения

с помощью сведения поставленных задач к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, интегрального уравнения Вольтерра. Отметим также использование преобразования Меллина в вопросе разрешимости задачи для уравнения

хи^+уиуу + а.их+$иу =0.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач, которая, как известно, используется при решении многих важных вопросов прикладного характера. Автор надеется, что в будущем результаты работы получат хорошую физическую интерпретацию.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, май 2002г.); 3-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, сентябрь-октябрь 2002г.); общевузовских конференциях профессорско-преподавательского состава Самарской государственной экономической академии по итогам научно-исследовательской работы (Самара, апрель 2003г., апрель 2004г., апрель 2005г.); Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии» (Ташкент, ноябрь 2003г.); семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.П.Радченко, март, май 2005г.); Шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Санкт-Петербург, май 2005г.); Ш-й школе молодых учёных «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, май 2005г.); Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, июнь-июль 2005г.); семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» К ГУ (руководитель -д.ф.-м.н., профессор В.И.Жегалов, сентябрь 2005г).

Публикации. Тринадцать работ [1]-[13](список приведен в конце автореферата), опубликованных автором по теме диссертации, отражают её основные результаты. Результаты, полученные вместе с научным руководителем в работах [4], [7], принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, из которых две последние разбиты на одиннадцать параграфов, списка использованной литературы. Объём диссертации составляет 119 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснованы актуальность темы, цели, задачи, новизна диссертационной работы, приведён обзор результатов исследований по её тематике, даны общая методика исследования, структура и объём диссертационной работы, отражены публикации и апробация её результатов.

Первая глава диссертации посвящена операторам обобщённого дробного интегродифференцирования в смысле М.Сайго (/";Р'П/) (х), (/1а,р,т'/) (х). Даны определения этих операторов. Показано, что дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля (/£/)(*), (/"/)(*), (*&/)(*). (¿>?-/)« являются их частным случаем. Из многочисленных свойств операторов обобщённого дробного интегродифференцирования в смысле М.Сайго и дробных интегралов и производных Римана-Лиувилля выписаны необходимые в дальнейшем, причём следующие из них с доказательством:

(с/)« = (С/*)(*), если /(0) = 0,0 < а < 1; (1)

(/Г-°/)(*) = -(А-"/')«, если /(1) = 0,0 < а < 1; (2)

р+1' '' = х~\) -хТр-< СОЗТ1р/(х)+ ¡К{х, и) /(ы) ¿и ,

х-"-У(1 -и)-»-* 1 | Г(г-р)Г(1-г + р)х_г_1 мГЧх

где и) =

Г(р)Г(1-р) и-х Г(г)Г(-г)

х(1-м)

(\-г + р)Пр)Т{\-р)

х Л 1, \-г + р\ 2-г+ р;— , 0<и<х,

х-''-1 мр (1 - и)~р~* I | гх~р-'1ир-\1-иУр-\.

Г(р)Г(1-р) и-х (р-г)Г(р)Г(\-р) хМ 1,— 1 + г~— х<и< 1;

0 (7р, о,, /)(у))(х) = хр-я{1 _ х)-р С05 пр /{х) + м) /(и) ¿и , (3)

где

-х-'"1 (1-й)' „г. . . и 4

го»)га-/>)

х

х-"и"-1 (1-й)' , X ^

———--—/И \,\-р,р + гЛ-р-,-,х

Г(^)Г(1-/7) I, и )

, 0 < и < х, , х<и< 1,

/Г, (а, Ь, Ь'; с-, х, у) - У (*>"+■ —^ - функция Аппеля.

т,п=0

Отметим, что полные доказательства для двух частных случаев композиции {lö+,4'r{f\-S,t 0 < р < 1, а именно при q = p +1, t = -р и г -0, 5 = 0, данных выше, приведены впервые.

Кроме этого, с помощью соответствующих лемм продемонстрированы действия рассматриваемых операторов в обычных и весовых пространствах Гйльдера: Нх[0,1]; Яох[0,1] = {/(*) е Нх{0,1]: /(0) = /(1) = 0}; Я Чр; [0, !]) = {/(*): Р (*)/(*) е Нх[ 0,1]}; Нх( р; [0,1]) = {/(х): р (x)f(x) в е Hq[0, 1]}, где 0<Я.£1,р(х)>0.

Вторая глава диссертации посвящена нелокальным краевым задачам дня уравнения влагопереноса в случае |о|<1, а-1, а = -1 и уравнения хи^ + +уиуу + аих + $иу =0 с параметрами а>1/2, l/2<ß<l. В §2.1 рассматривается уравнение влагопереноса

Lu = y2uxx-uyy + aux=0, |а|<1, (4)

в области D = I и D, u D2, где I - интервал (0,1) оси ОХ , Dl - область, ограниченная интервалом / и характеристиками уравнения (4)

АСХ = |(х,у>* -= 0, у < oj, SC, = j(x,у):х + = 1, у < oj , D2 - область,

ограниченная интервалом I и характеристиками уравнения (4)

АС2 = = ВС2 = |(х, += 1, .у > 0 j, где

¿=(0,0), В = (1,0), С, =(1/2,-1), С2 =(1/2,1).За в£>(х), в?>(х), в(02)(х), 9{2)(х) принимаются аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (4), выходящих из точки (х, 0) £ I, с характеристиками АСХ, ВСХ, АС2, ВС2 соответственно. Формулируется задача 2.1. Задача 2.1. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) Lu = 0 в области D, и D2;

2) и(х, jy) е c(ö)n С2 (D \ /);

3) и(х, - 0) = и(х, + 0) (хе /), lim и.(х,у)= lim и (х, у) (xel);

у-*0- 7 у-*0+

( а-3 „ 1 1 ^

4) А, хг

\

= g,(x), xel, г = 1,2;

( а+З „ 1 1 , Л

V,0'2t~2uty\t)] (х)+в,(1-x)s 4 '0'2(1-о~Че{"(о]

/

где Al,A2,Bl,B2,r,s - такие заданные константы, что А, > О,В,>О, / = 1,2, г > 1, s > 1, g1 (х), g2 (х) - такие заданные функции, что g, (х) е С1 (!) п С3 (/), / = 1,2.

Новизна постановки заключается в том, что в краевом условии 4) операторы дробного интегродифференцирования берутся не от значений искомой

функции на аффиксах, а от произведения этих значений на множители t 2 и

(1-i) 2 в первом и втором слагаемых соответственно.

Доказательство единственности решения задачи 2.1 проводится на основании принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1, полученного А.М.Нахушевым в 1973г. Вопрос о существовании решения этой задачи сводится к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения относительно т(х) = и(х, - 0) = и(х, + 0) и получает положительный ответ. В этом же параграфе приводится замечание о том, что аналогично доказывается существование и единственность решения задачи, если А, < 0, В, <0, / = 1,2.

Обратим внимание, что обозначения I, Dx,

(х), данные выше, будут использоваться на протяжении всей диссертации.

В §2 2 для уравнения (4) в той же области D ставится следующая задача. Задача 2.2. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) Lu = 0 в области Dx\jD2,

2) и(х, у) е c(ü)nc2 (D \ /);

3) и(х,-0) = и(х,+0) (хе /), lim и Jx, у) = lim uJx,y) (хе/);

у-*0- ' у-*0+ "

4) Л,

( а-1 я-3 а,--а,--а

/ 4

0+

В,

4 "и[в?Ч0] М+Л; /

а ,-(а+—1,-f а+—1

/,_ 1 4 И 4 j«[e{2>(0]

f i-а а+-

/0+ 4 «['-"0]

0) = gi0), Vxe/,

(х) + В2

' а+1 а+-

/,_ Au[t, + 0]

(x) = g2(x), Vxe/,

где Al, А2, Bl, В2, а - заданные константы, причём

.—>0, —^—;

h в.

>о,

1*И

<а <-

1-lel

gx(х), g2{x) - заданные функции, причём

8

g,(x)eC(lXi)(I)nC2(,I) (l/2 <Ä,, Sl), / = 1,2, g,(0) = g2(l) = 0.

Решение этой задачи ищется в классе функций и(х, у) таких, что lim uJx,у)еНх(х1/2;[0,1]), 0<Х<\.

Исследование проводится теми же методами, что и в случае задачи 2.1. Вопрос о существовании решения задачи 2.2 сводится к вопросу разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке относительно функции ц(х) = х1/2у(х), где v(x) = lim uv(x, у) - lim иЛх,у), и

у-* 0- у-* 0+

получает положительный ответ. Отметим, что при доказательстве принадлежности правой части этого уравнения классу Гёльдера используются свойства (1), (2). Решение задачи 2.2 даётся в явном виде. Полученный результат формулируется в виде двух теорем.

В §2.3 для уравнения влагопереноса в случае а-1, т.е. для уравнения

Lu = y2uxx-uyy+ux=0, (5)

в той же области D рассматривается задача 2.3. Задача 2.3. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) Lu = 0 в области Z), uD2;

2) и(х, у) е с(5)п С1(l) \ /)п С2 (D \ /);

3) к(х, - 0) = ы(х, + 0) (хе /), lim иv(х, у) = lim uv(x,y) (х е /);

у-*0~ ' у-+0+

4мД/0>[9£)(0])(*) + Я, (/0>[i,-OJ^ + C, ^оаГ,/2 Шп_иу[г,я](х) =

= gi(x), Vxe/,

te"[9?)(0])i*)+ (C«[i, + 0])(x)+C2 (V j]j(x) =

= g2OX Vxe/,

где g|(x), g2(x) - заданные функции такие, что

gt(x)e Hq' [0,1], i = 1,2, (6)

A1,A2,B1, B2, С,, C2, а,, a2 Д,, A.2 - заданные константы такие, что

j^ilti) <0, (7)

(2С, - л[пА 1 р.С2 + 4пА 2 ) 2СХ (А 2+ В2 )- 2С2 {А,+ Вх)-4к(А хВ2+2АхА2 + А2Вх)фЪ, (8)

а, > 0,/ = 1,2, (9)

а,+1/2<Х, <1, г = 1,2. (10)

Новизна постановки заключается в том, что в левых частях краевых условий 4) содержатся вторые слагаемые, представляющие собой дробные инте-

гралы от пределов искомой функции при у -0, у-*+0 соответственно, умноженные на константы, и третьи слагаемые, представляющие собой дробные интегралы от пределов частной производной по у от искомой функции при у -> -0, у -» +0 соответственно, умноженные на константы, а также в более общем характере параметров этих условий.

Исследование проводится теми же методами, что и в случае задачи 2.1. Вопрос о существовании решения задачи 2.3 сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения относительно функции v(x), где v(x) = lim uJx,у) = lim и (х,у), и получает положительный ответ. Реше-

у-*о- ' у-*о+ '

ние задачи 2.3 даётся в явном виде. Полученный результат формулируется в виде теоремы 2.3.

Теорема 2.3. Пусть функции gi(x),g2(x) удовлетворяют условиям (6), действительные константы Ах, А2, Вх, В2, Сх, С2, ОС], a2,Xj Д2 - условиям (7)-(10). Тогда задача 1) - 4) для уравнения (5) имеет единственное решение с

§2.4 посвящён задаче 2.4 для уравнения влагопереноса в случае а~-1, т.е. для уравнения

Lu = y1uxx -иуу-их=0, (11)

в прежней области D.

Задача 2.4. Найти функцию м(х, у) со свойствами:

1) LusO в области DxuD2;

2) M^^ectDjnC'töv/JnC^DN/) ;

3) и(х,-0) = н(х, + 0) (хе/), Iimu (x,y)= YaauJx,y) (хе/);

y~>0- y-*0+

4) «(0, - 0) = u(0, + 0) = 0;

5) А, (С" -а,ч/2- -аН«[е(01)(0])(х)+- 0]\х) + + C^/qY1 Шп = g, (x), Vx e /,

+ c2КГ1 'ЙП Uy[t>y]\(x) = gi(x), Vxe/, y-*0+ ' )

где gj(x), g2(x) - заданные функции, причём

g,4x)e #0*40,1],/ = 1,2, (12)

gi(0) = g2(0) = 0, (13)

AX,A2, Bx, B2, Cx,C2, a,, a2, Ylt X,, X2 - заданные константы, причём

В]В2(2С]-А1){2С1 + А2)<0, 2В2С, -2В,С2 -^В, 0<а, <5^, <у, <1, 0<а2 <Х2 <а2 -с^ <1.

(14)

(15)

(16) (17)

Постановка и решение задачи 2.4 аналогично постановке и решению задачи 2.3. Технической особенностью является применение свойства (1) для доказательства непрерывности у(х). Решение рассматриваемой задачи даётся в явном виде. Полученный результат формулируется в виде теоремы 2.4.

Теорема 2.4. Пусть функции g^(x),g2(x) удовлетворяют условиям (12), (13), действительные константы А1г А2,В1,В2,С1,С2,а.1га2,У1,Ъ-1,Ъ>2 ~ условиям (14)-(17). Тогда задача 1) - 5) для уравнения (11) имеет единственное решение с

уВх

уВ2

§2.5 является началом нового класса задач для уравнения влагоперено-са, которому помимо него посвящены §2.6, §2.7. Главное отличие этого класса в том, что уравнение влагопереноса рассматривается в области Ц .

Итак, в §2.5 для уравнения (4) в области ставится и исследуется задача такого содержания.

Задача 2.5. Найти решение и(х, у) уравнения (4) из класса

с(о^)пС2(д), удовлетворяющее краевым условиям: 1)и(х,0) = т,(х) (х е У);

2) А

( я "-3

а, В,--а

/ 4

0+

и^Ы

(х) + В

Г " 1 °~3 г т*

С?? 4 ""«(та

+с

( 1-о „ а-3 > а+ —, Э,--о

/0+ 4 4 «М1

1 -а 1 а-Ъ

1Х_ 4 '2' 4 м[/, 0]

(х) + (х) +

+ Е

( З-а а 1 а-3 а+ ——, р--,--о

/4 2 4 М]

3-е „ а-3

о+-, 0,--а

4 '

«УМ]

(x) = g(x),xe/,

где Л, В, С, Д £, F, а, (3 - такие заданные константы, что

т, (х), #(х) - такие заданные функции, что

<х+—>0, -!<(}<—-а, 4 2 4

т,(*) 6 Я0Х' [О, I], 1 < < 1, 1], < >.2 ^ 1.

Будем искать решение этой задачи в классе функций и(х, у) таких, что

lim uJx,y)eH}

у-*0- у

3-а ' 4

; 10,13

, 0<Х<1.

Новизна постановки заключается в том, что в левой части краевого условия 2) содержатся слагаемые, представляющие собой операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от значений искомой функции при у = 0 и от значений частной производной по у от искомой функции при у = 0, умноженные на константа, а также в принципиально других параметрах этих условий.

Доказывается, что разрешимость задачи 2.5 сводится к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке. Главной технической особенностью при этом является использование свойства композиции операторов обобщённого дробного интегродифференцирования в смысле М.Сайго с различными началами (3). Решение задачи даётся в явном виде. Полученный результат формулируется с помощью двух теорем.

В §2.6, §2.7 исследуются задачи 2.6, 2.7, аналогичные по постановке и решению задаче 2.5. Главное отличие заключается в том, что задача 2.6 посвящена уравнению влагопереноса в случае а -1, а задача 2.7 - уравнению вла-гопереноса в случае а = -1. Обратим внимание также на то, что в конце каждого из этих параграфов сделаны замечания, значительно расширяющих круг подобных задач для этих уравнений.

В §2.8 рассматривается уравнение

хи]а+уиуу+аих+$и> =0, а>1/2, l/2<ß<l, (18)

в области D, ограниченной интервалом AB: А(0,0), В( 1,0) и характеристиками АС: •Jx--J~y= 0, ВС: -Jx + if-y = 1 этого уравнения. За 0о(х) принимается аффикс точки пересечения характеристики уравнения (18), выходящей го точки (х, 0) е / s AB, с характеристикой АС . Формулируется задача 2.8.

Задача 2.8. Найти решение и(х, у) уравнения (18) из класса и{х, у)е c(p)nC2(D), удовлетворяющее условиям и(х,0) = т(х),хе/; (19)

' а Ь а У

Ж*)| С ' 2 ~°к[е0(0] (*) = В(х) lim {-yfuJx, у)+С(х),хе I, (20)

у-*-0 '

где т(х), А(х), В(х), С(х) - такие заданные функции, что т(х), А(х), В(х), С(х) е с(/)п С2 (Г), причём А( 0) = 0, В(х) *0, Ухе/;

о, Ъ -такие действительные числа, чтор-1/2< а <1/2-А.

Проблема однозначной разрешимости исследуемой задачи сводится к вопросу разрешимости эквивалентного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В итоге получается следующий результат.

Теорема 2.11. Пусть а >1/2, 1/2<|3<1; а и Ъ - такие действительные

числа,что Р-1/2<а<1/2-6; т(х), А(х), В(х), С(х) е с(/)п С2 (/) - такие заданные функции, что /4(0) = 0, В(х)*0, Ухе/. Тогда существует единственное решение задачи (19), (20) для уравнения (18).

Третья глава диссертации посвящена нелокальным краевым задачам для уравнения параболо-гиперболического типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса. В §3.1 рассматривается уравнение

Н 2 Л|1, (21>

в области £) = Д и / и £>2, где роль /)2 играет квадрат А В МЫ с вершинами в точках ДО, 0), В(1,0), М(1,1), N(0,1). Ставится следующая задача. Задача 3.1. Найти функцию и(х, у) е

, удовлетворяющую

уравнению (21) в йх ий2 и краевым условиям и(0, >0 = Ф, (у), «(1, у) = Ф2 (у),

а(х)

f -I

/4 2*2

'0+ 1

«к0«]

(х) + Ь(х)

r _fíl -I о -ir 1 /,_< ' (1-0 2М|0('>(,)]

(х) =

(22) (23)

= g(x), 0 < х < 1,

м(х, - 0) = а(х)и(х, + 0), (24)

lim и (х, у) = ß(x) lim и (х, у), (25)

у-*-0 у->+0

где ф1(у), Ф200 е С[0,1]пС2(0,1), а{х), b(x), g(x), а(х), ß(x) е С'(/)пС3(/) -заданные функции, причём

а(х)*0, (26)

а'(х)Ь(х)-а(х)Ь'(х)< 0, (27)

а{х) Г

\-а 4 ,

(28)

а( 1)

Ъ{ 0)

«r^Wifi

>0,

.ror(!zí)+imr(i±!j

>0,

<х(:с)р(х) > 0,—г-[а(х)Р(х)]< О, xel.

dx

(30)

Новизна постановки заключается в том, что в краевом условии (23) операторы дробного интегродифференцирования берутся не от значений искомой

функции на аффиксах, а от произведения этих значений на множители t 2 и

I

(1-0 2 в первом и втором слагаемых соответственно, и умножаются не на константы, а на заданные функции.

Доказательство единственности решения задачи 3.1 проводится на основании специальных неравенств, связывающих произведения следов искомого решения и нормальной производной. Вопрос о существовании этого решения эквивалентным образом сводится к вопросу разрешимости полного особого интегрального уравнения с ядром Коши в исключительном случае. Полученный результат даётся в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть <р,(х) и ф2(х) - заданные функции такие, что

Ф, 2(У) е С[0,1] п С2 (0,1), а(х), b(x), g(x), а(х), Р(дг) - заданные функции из

класса С1 (/)п С3 (/), для которых выполняются условия (26)-(30) и условия 0 < arg(a(0) - //¡6(0)) < ж , к < arg(a(l) - ihb{ 1)) < 2ж,

где h = Г

3 + аЛ

3-е

Тогда решение задачи (22)-(25) для уравне-

ния (21) существует и единственно.

В §3.2 для уравнения (21) в той же области В рассматривается задача 3.2 с краевым условием (22), краевым условием

0-1 „ I -т—Т. -Р. 1-I 4 '0+

(х) + В

( i '0+

га(0«[Г,-0]

00 +

+ С

J_ _ i у I

¡1Ъ 2 6(0 lim иу[иу]

(31)

(х) = g(x), 0<x<l, 0<х<1,

и краевыми условиями (24), (25) с а(х) = р(х) э 1. На функции Ф1ОО, Ф2(у) еС[0,1]пС2(0,1), а(х), Ь(х), g(x)eC(/)nC2(/) и действительные константы А , В , С, у , р накладываются определённые условия.

Новизна постановки заключается в том, что в левой части краевого условия (31) второе слагаемое содержит оператор обобщённого дробного интег-родифференцирования от предела искомой функции при у -0, умноженного на заданную функцию, третье слагаемое - от предела частной производной по у от искомой функции при у —> —0, умноженного на другую заданную функцию.

Решение проводится аналогично решению задачи 3.1. Существование решения задачи 3.1 сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Полученный результат даётся в виде теоремы. §3.3 посвящён задаче 3.3 для уравнения

(их-иуу,у> О,

Н 2 „и , <32>

в той же области /3, где рассматривалось уравнение (21).

Отметим, что линия изменения типа у - 0 не является характеристикой уравнения теплопроводности для уравнения (32), в отличие от уравнения (21).

Формулировка задачи 3.3 выглядит так.

Задача 3.3. Найти функцию ф,у)еф)пС2(Ди02), которая удовлетворяет уравнению (32) в области £> и краевым условиям и(0, у) = Ф, СV), (У е [0,1]); и(х, 1) = <р2 (х), (х е 7);

( п--\ \

Л,

о Л-З

/ 4

0+

(х) + А2

/0+ 4 2 4 lim uy[t,y]

у-*0-

\ У

(х) = у(х), (33)

а также условиям сопряжения

м(х, +0) = и(х, - 0), (х е 7), lim и {х, у) = lim и (х, у), (х е /).

у-*+0 ' у-*-0

Здесь ф, (у), <р2(х) и у(х) - заданные функции такие, что

cp,G0 € С[0,1]пС2(0,1), ф2(х) е С(7)пС2(/),

у(х)еЯх(7)пС2(/),

у(0) = ф] (0) = 0, ф, (1) = ф2 (0);

а, ß, К - действительные постоянные такие, что

а-1 а+3 _ . 1 -а ,

-<а<-, р>0, ан--<А,<1;

4 4 4

А\, А2 - ненулевые действительные константы такие, что

/ \

Аг*Ахл[к

\ ч ■ / \ ■ /;

Новизна постановки данной задачи заключается в краевом условии (33), а именно в его слагаемом, представляющем собой оператор обобщённого дробного интегродифференцирования от предела частной производной по у от искомой функции при у -» -0, умноженного на константу.

Доказательство существования и единственности решения рассматриваемой задачи вытекает из однозначной разрешимости интегрального уравнения Вольтера второго рода.

В заключение сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса, уравнения хи^ +уиуу + аих +$иу - 0 и уравнения параболо-гиперболического

типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса; доказательство теорем существования и единственности решения этих задач.

2. Выявление класса задач, допускающих возможность получения явных решений.

3. Определение влияния коэффициента при младшей производной на корректную постановку нелокальных краевых задач для уравнения влагопереноса.

4. Нахождение условий, обеспечивающих выполнение принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1.

5. Выяснение влияния на корректность постановки задач степеней I и (1-/) в качестве множителей к значениям искомой функции на аффиксах, от которых берутся операторы дробного интегродифференцирования в нелокальных условиях этих задач.

6. Определение влияния на корректность постановки задач слагаемых, содержащих либо дробные интегралы от пределов искомой функции при у -> -0,

или от пределов частной производной по у от искомой функции при у -» +0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от значений искомой функции или от значений частной производной по у от искомой функции при у = 0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от пределов искомой функции при

№

у-*-0, j —> +0 или от пределов частной производной по у от искомой функции при у-» -0, у—*+0, умноженных на заданные функции.

7. Установление влияния параметров композиции в

случае 0 < р < 1 на параметры нелокального условия корректно постановленной задачи для уравнения влагопереноса.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Репину Олегу Александровичу за поддержку и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Ефимова C.B. О нелокальной краевой задаче для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Вестник молодых учёных Самарской государственной экономической академии. 2002. № 2(4). С.267-275.

2. Ефимова C.B. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболичес-кого уравнения с характеристической линией изменения типа // Сборник трудов Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. 2002. С.117-125.

3. Ефимова C.B. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с обобщёнными дробными интегралами в краевом условии // Труды 3-й Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки». Самара. 2002.4.1. С.14-15.

4. Репин О.А, Ефимова С В. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2002. Вып. 16. С.10-14.

5. Ефимова C.B. Задача со смещением для одного уравнения смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.6. № 2. С.45-50.

6. Ефимова С.В Об однозначной разрешимости одной нелокальной задачи для уравнения влагопереноса // Труды Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент. 2003. Т.1. С.33-39.

7. Ефимова C.B., Репин O.A. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 2004. Т.40. № Ю. С.1419-1422.

8. Ефимова С. В Об одном композиционном свойстве для операторов обобщённого дробного интегродифференцирования // Вестник молодых учёных Самарской государственной экономической академии. 2004. № 1(9). С.345-351.

9. Ефимова С В. Нелокальная задача д ля гиперболического уравнения с дробными интегралами в краевом условии // Вестник Самарской государственной экономической академии. 2004. № 2(14). С.285-288.

10. Ефимова СВ. Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2005. Вып.34. С.194-196.

11. Ефимова С. В О задаче с операторами обобщённого дробного интегро-дифференцирования // Обозрение прикладной и промышленной математики: Тезисы докладов Шестого всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Санкт-Петербург. 2005. Ч.Н. С.364-365.

12. Ефимова С.В О свойстве композиции операторов дробного интегро-дифференцирования с различными началами // Тезисы докладов Ш-й школы молодых учёных «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус. 2005. С.35-36.

13. Ефимова СВ. Задача со смещением для уравнения влагопереноса // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. 2005. С.33-34.

т»

i

Заказ Л» 398 Тираж 100 жз Отпечатано на ризографе Самарский государственный технический университет Отдел типографии и оперативной полиграфии. 443)00, г Самара, ул Молодогвардейская, 244

#21188

РНБ Русский фонд

2006-4 18551

Введение.

Глава 1. Операторы дробного интегродифференцирования и некоторые их свойства.

Глава 2. Некоторые краевые задачи для уравнений гиперболического типа.

§2.1. Об однозначной разрешимости одной нелокальной задачи для уравнения влагопереноса.

2.1.1. Постановка задачи 2.1.

2.1.2. Доказательство единственности решения задачи.

2.1.3. Доказательство существования решения задачи.

§2.2. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса.

2.2.1. Постановка задачи 2.2.

2.2.2. Единственность решения задачи.

2.2.3. Существование решения задачи.

§2.3. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с дробными интегралами в краевом условии.

2.3.1. Постановка задачи 2.3.

2.3.2. Единственность решения задачи.

2.3.3. Существование решения задачи.

§2.4. Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области.

2.4.1. Постановка задачи 2.4.

2.4.2. Единственность решения задачи.

2.4.3. Существование решения задачи.

§2.5. О задаче с операторами обобщённого дробного интегродифференцирования для уравнения влагопереноса с | а |< 1 в характеристической области.

2.5.1. Постановка задачи 2.5.

2.5.2. Получение интегрального уравнения.

§2.6. О задаче с операторами обобщённого дробного интегродиффе-ренцирования для уравнения влагопереноса с а = 1 в характеристической области.

2.6.1. Постановка задачи 2.6.

2.6.2. Получение интегрального уравнения.

§2.7. О задаче с операторами обобщённого дробного интегродиффе-ренцирования для уравнения влагопереноса с а = -1 в характеристической области.

2.7.1. Постановка задачи 2.7.

2.7.2. Получение интегрального уравнения.

§2.8. Нелокальная задача для уравнения хи^ + уи + а их + р иу = 0.

2.8.1. Постановка задачи 2.8.

2.8.2. Сведение к интегральному уравнению Вольтерра и разрешимость задачи 2.8.

Глава 3. Некоторые краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа.

§3.1. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа.

3.1.1. Постановка задачи 3.1.

3.1.2. Единственность решения задачи.

3.1.3. Существование решения задачи 1.

§3.2. Задача со смещением для одного уравнения смешанного типа.

3.2.1. Постановка задачи 3.2.

3.2.2. Единственность решения задачи 3.2.

3.2.3. Существование решения задачи 3.2.

§3.3. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа.

3.3.1. Постановка задачи 3.3.

3.3.2. Сведения краевой задачи 3.3 к интегральному уравнению.

3.3.3. Единственность и существование решения краевой задачи 3.3.

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена новым корректно поставленным задачам для уравнений смешанного типа -уравнений, которые «в разных частях рассматриваемой области» принадлежат «к различным типам» [7].

Теория уравнений смешанного типа, истоком которой стала известная задача Ф.Трикоми [71] о нахождении решения уравнения уихх +иуу = 0, принимающего заданные значения на эллиптической части а границы dD области рассмотрения уравнения D и на одной из двух характеристик, образующих гиперболическую часть Г границы dD = c\jr, получила бурное развитие начиная с 40-х годов двадцатого столетия. Последнее обстоятельство обусловлено как непосредственно связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теории интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами физики, механики, биологии, сводящимися к таким уравнениям. Отметим следующих учёных, внёсших большой вклад в разработку теории уравнений смешанного типа: А.В.Бицадзе, С.П.Пулькина, В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, Л.И.Чиб-рикову, В.И.Жегалова, А.М.Нахушева. Интересные результаты получены также в работах В.Ф.Волкодавова [8], В.Н.Врагова [10], К.Б.Сабитова [62],

А.Н.Зарубина [21], [22], И.Е.Плегцинской, Н.Б.Плещинского [84], Ф.Г.Мух-лисова [41], Р.С.Хайруллина [75], О.А.Репина [57], Л.С.Пулькиной [56], А.А.Андреева [2] и др.

В данной работе рассматриваются задачи для уравнения влагопереноса у2ихх -Uyy + аих = 0, уравнения хи^ + уи^ + аих + $иу ~ 0, параболо-гиперболического уравнения, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки.

Как известно, скорость каппилярного движения влаги сокап для ряда капил-лярнопористых тел обратно пропорциональна пути движения х: сокап=а0/х, где а0 - некоторая постоянная величина, зависящая от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости. В 1965г. А.В.Лыков [38] для плотности потока влаги у, проходящей через эти тела, вывел уравнение + —YX1—Dm—у (здесь х обозначает время, Dm - коэффициент диф-дх а0 дх дх фузии влаги в теле). Отметим также, что для рассмотренного выше уравнения А.В.Лыков решил задачу в случае полу ограниченного тела, через открытую поверхность которого поступает постоянный поток влаги j0 со следующими краевыми условиями: j(0, х) = j0, j{со, х) = 0, j(x, 0) = 0, ^^ ^ = 0. Однако в дх

1998г. В.М.Нахушева [52] обосновала некорректность такой постановки и, уточнив её, нашла конструктивную формулу решения вновь поставленной задачи через гипергеометрические функции.

Как оказалось, уравнение, полученное А.В.Лыковым, имеет место не только в физике, но и в биологии. Так, если за щ = принять одномерний поток некоторой субстанции (например, биомассы микробной популяции) в точке £ биологического реактора 0 < £ < 1Х в момент времени t, за D - коэффициент диффузии, за х3 > 0 - константу, связывающая скорость переноса v и путь движения следующим соотношением: у = (лг3/£)2, то щ будет удовлетворять ди, D г1д2их ~д2щ уравнению [50] —L +—с, —г1 = D—которое отличается от уравнения, dt х^ dt dt, выведенного Лыковым, лишь обозначениями. Сделав в этом уравнении замену переменных согласно формулам x = t/t0, у - £,/^х3tQ, и(х, у) = их(д/^з tQy, xt0) мы придём к более простому соотношению у2ихх -и +аих = 0. Последнее в силу его физического смысла получило название уравнения влагопереноса.

В монографии А.М.Нахушева [50] также показано, что к уравнению влаго-переноса можно прийти и с помощью линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида и, = [(aw + Р)м]Г[ + \аи-ум2, где и = u(x,t)~ скалярная функция точки x&R и времени / ,аа,Р,циу - постоянные величины.

Однако было бы исторической несправедливостью утверждать, что уравнением влагопереноса впервые заинтересовались физики. В своей книге [7], вышедшей в 1959г., А.В.Бицадзе рассматривает уравнение у2ихх -м +аих = д2и д2и , N ди ,, .ди гт ~ ТТ + а(х> уУТ~ + ь(х> ох ду ох ду для которого при | а |< 1 задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на то, что нарушено условие 0 как пример уравнения ут--j + a(x>y)— + Кх>У)— + с(х>У)и = ®>

-т

Геллерстедта lim у 2 а(х, у) = 0. Поэтому уравнение влагопереноса также нау->+0 зывают уравнением Бицадзе-Лыкова. Ещё ранее К.И.Карапетян [31] установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае | д|< 1/11, я = 1/2; Чи Минь-ю [78] исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно ещё и тем, что в случае а = 1 вторая задача Дарбу, заданная на одной из характеристик, оказывается некорректно поставленной [48], [50].

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой - гиперболическое, было указано в 1959г. И.М.Гельфандом [15]. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окружённом пористой средой: в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Я.С.Уфлянд в статье [72], опубликованной в 1964г., описывает задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке 0 <х<1 полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки. В результате он приходит к системе уравнений, которую можно привести к виду

0 = a\Uxx ~Uyyi®<X<h a2Uxx —Uy,l<X< +00, и краевым условиям, которые можно записать как и{х, 0) = 0, иу(х, 0) = 0, 0 < х < /, и(х, 0) = 0, I <х< +оо, и( О, у) = Е(у),

R ус lim и{х, у) = 0, и{1 — 0, у) = и(1 + 0, у), их{1 + 0, у) = — \их(1 - 0, г|)с/г|, где а\ = 1/^^), а\ =1 /(RC2); L, Сх - самоиндукция и ёмкость (на единицу длины) первого участка линии; R, С2 - сопротивление и ёмкость второго.

Исходя из вышесказанного, становится понятно, почему в первых работах, посвящённых обсуждаемым уравнениям, изучались либо аналоги задачи Три-коми, либо задачи, краевые условия которых содержали заданные значения искомой функции или её производных на участках границы области, где рассматривалось уравнение, в том числе задачи Дарбу и Гурса. В качестве примера для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, здесь можно привести статьи А.М.Нахушева [42], [47], [48], Т.Ш.Кальменова [26], [27], [28], В.Н.Врагова [И], С.К.Кумыковой [35], для уравнения хихх + уиуу + аих + §иу = 0 - статью Хе Кан Чера [76], для парабологиперболических уравнений - статьи Г.МСтручиной [69], С.И.Гайдука,

A.В.Иванова [13], Л.А.Золиной [23], Х.Г.Бжихатлова, А.М.Нахушева [5],

B.Н.Абрашина [1], В.А.Елеева [17]. Следует также отметить, что интерес к подобного рода проблемам не ослабевал и в дальнейшем (см. работы А.М.Нахушева [43], Р.Н.Хубиева [77], М.М.Смирнова [66], Н.Ю.Капустина [29], [30], К.Б.Сабитова [61], А.Сопуева, Т.Д.Джураева [67], Б.Исломова [25], М.Е.Лернера [37]).

Однако в задаче Трикоми одна из характеристик в гиперболической части Г границы смешанной области свободна от граничных условий. Поэтому точки Г не являются равноправными носителями граничных данных. Такая ситуация имеет место и в задаче С.Геллерстедта [81], в «ударных» задачах Ф.И.Франкля [74], в задаче А.В.Бицадзе с отходом от характеристики [6]. Это обстоятельство вызывает принципиальные затруднения при построении теории краевых задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях. В связи с этим в 60-х годах А.В.Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных данных.

Одной из первых работ в этом направлении стала статья В.И.Жегалова [19], в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения на одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования А.М.Нахушева [45], [49]. Он предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Эти задачи явились непосредственным и существенным обобщением задачи Трикоми. В отличие от задачи Три-коми здесь задаётся условие, связывающее значение искомого решения или его производной, в том числе, дробного, в трёх точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.

Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечалось ещё В.А.Стекловым [68]. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах [50], математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера [80], при изучении процессов размножения клеток [92]. На задачи подобного типа, как качественно новые и возникающие при решении современных проблем физики, указывает в своей обзорной статье А.А.Самарский [63]. В своей содержательной и полезной с практической и теоретической точек зрения монографии [65] Л.И.Сербина показывает, что именно нелокальные краевые условия играют важную роль в математических моделях движения грунтовых вод и почвенной влаги.

Значительные результаты по краевым задачам со смещением для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, получены в работах С.К.Кумыковой [34], А.А.Килбаса, О.А.Репина, М.Сайго [82], [83], О.А.Репина [60], для уравнения хи^ + уи^ +аих +$иу =0 - в работе

С.С.Исамухамедова, Ж.Орамова [24], для параболо-гиперболических уравнений - в работах Х.Г.Бжихатлова [4], В.А.Елеева [18], О.А.Репина [58], А.А.Килбаса, О.А.Репина [33], А.А.Керефова, А.О.Желдашевой [32].

А.М.Нахушев [44] подчёркивал, что интерес к двумерным краевым задачам со смещением объясняется не только тем, что они представляют собой существенное обобщение задачи Трикоми и имеют многомерные аналоги, но и тем, что содержат широкий класс корректных самосопряжённых задач.

Отличительной особенностью задач, рассмотренных в диссертации, является наличие в краевых условиях операторов дробного интегродифференциро-вания с гипергеометрической функцией Гаусса, введённых М.Сайго в работах [85], [87], [88]. Эти операторы представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана-Лиувиля [64], которые имеют многочисленные практические приложения. Так, поток газа Трикоми на звуковой линии прямо пропорционален дробной производной порядка 2/3 от функции тока [51], фрактальная размерность множества Кантора совпадает с дробным показателем интеграла, уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторых физических систем с потерями, причём дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за время эволюции t [53], турбулентный поток пропорционален дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности [65]. В 1996 году в Институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН на основе операторов непрерывного и дискретного интегродифференцирова-ния разработаны компьютерно реализуемые математические модели различных биосистем [51]. Как отмечает А.М.Нахушев [51], без развития дробного исчисления невозможно реализовать алгебраизацию теории уравнений смешанного типа, кроме этого, в настоящее время дробное дифференциальное и интегральное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред.

Таким образом, уравнение влагопереноса, уравнение хи^ + уи}у +а их + + $иу = 0 и уравнения параболо-гиперболического типа, а также краевые задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегродифференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, её результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.

Цели и задачи исследования. Целями и задачами исследования являются: а) доказательство свойств для композиции (/o/'9'r(/£'M/)(v))(x),0<р<1, в случае q - р +1, t = -р и г = 0, 5 = 0; б) постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса, уравнения хи^ + уи^ + аих+$иу=§ и уравнения параболо-гиперболического типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением теплопроводности, в нижней - влагопереноса и доказательство теорем существования и единственности решения этих задач; в) выделение случаев, допускающих возможность получения явных решений исследуемых задач; г) выявление условий на параметры операторов, заданных констант и заданных функций, позволяющих максимально широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Научная новизна. Научная новизна заключается а) в дальнейшем развитии идеи смещений в краевых условиях, выраженного во влиянии на корректность постановки задач слагаемых, содержащих либо дробные интегралы от пределов искомой функции при у —>-0, у-> +0 или от пределов частной производной по у от искомой функции при »-0, у —» +0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от значений искомой функции или от значений частной производной по у от искомой функции при у = 0, либо операторы обобщённого дробного интегродифференцирования от пределов искомой функции при у -> -0, у —» +0 или от пределов частной производной по у от искомой функции при у->—0, у -» +0, умноженных на заданные функции; б) в выявлении влияния на корректность постановки задач степеней t и (1 - 0 в качестве множителей к значениям искомой функции на аффиксах, от которых берутся операторы дробного интегродифференцирования в нелокальных условиях этих задач; в) в установлении эффекта влияния коэффициента при младшей производной на корректную постановку нелокальных краевых задач для уравнения влагопереноса; г) в выявлении условий, обеспечивающих выполнение принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1; д) в выделении класса задач, для которых возможно получить решение в явном виде; е) в выяснении влияния параметров композиции {l\fJf )(v))(*) в случае 0 < р < 1 на параметры нелокального условия корректно постановленной задачи для уравнения влагопереноса.

Общая методика исследования. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории операторов обобщённого дробного интегродифференцирования, теории интегральных уравнений, теории дифференциальных уравнений с частными производными. В частности метод доказательства единственности решения задач для уравнения влагопереноса с помощью принципа экстремума для гиперболических уравнений и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1, для параболо-гиперболических уравнений на основании специальных неравенств, связывающих произведения следов искомого решения и нормальной производной; метода доказательства существования решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, полного особого интегрального уравнения с ядром Коши в исключительном случае, интегрального уравнения Фредгольма второго рода; метод доказательства существования и единственности решения с помощью сведения поставленных задач к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке, интегрального уравнения Вольтерра. Отметим также использование преобразования Меллина в вопросе разрешимости задачи для уравнения хи^ + уи + аих + $иу = 0.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, из которых две последние разбиты на одиннадцать параграфов, списка использованной литературы. Объём диссертации составляет 119 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

1. Абрашин В.Н. Метод прямых для задачи сопряжения параболического и гиперболического уравнений // Дифференц. уравнения. 1970. Т.6. № 5. С. 924-928.

2. Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 2004. Т.40. № 8. С.1192-1195.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В Зт. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Наука. 1973. 296с.

4. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа//Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. № 1. С. 10-16.

5. Бжихатлов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183. №2. С.261-264.

6. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Труды Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1953. Т.41. С.3-57.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959. -164с.

8. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Автореферат дис. на соискание учён, степени д-ра физ.-мат. наук. Казань. 1969. 10с.

9. Волыперра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифферен-циальных уравнений. М.: Наука. 1982. 304с.

10. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983. 84с.

11. Гайдук С.И., Иванов А.В. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов // ДАН БССР. 1964. Т.8. № 9. С.560-563.

12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640с.

13. Гельфанд ИМ. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений//УМН. 1959. Т. 14. Вып.3(87). С.3-19.щ 16. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщённого уравненияЭйлера-Пуассона-Дарбу // Волж. матем. сб. 1968. Куйбышев. Вып.6.

14. Е54ев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа//Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. № 1. С.56-63.

15. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С.22-29.

16. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1962. Т.122. Кн.З. С.3-16.1

17. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения Трикоми в неограниченной области // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39. № 5. С.715-717.

18. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. № 1. С. 88-94.

19. Золина JI.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо* параболического типа // ЖВМ и МФ. 1966. Т.6. № 6. С.991-1001.

20. Исамухамедов С.С., Орамов Ж. О краевых задачах для уравнений смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифферент уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С.324-334.

21. Исломов Б. Аналоги задачи Трикоми для уравнения смешанного парабо-ло-гиперболического типа с двумя линиями и различным порядком вырождения//Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. № 6. С.1007-1014.

22. Калъменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. № 1. С.178-181.

23. Калъменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. № 1. С.41-54.

24. Калъменов Т.Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения //Дифференц. уравнения. 1974. Т.10. № 1. С.59-68.

25. Капустин Н.Ю. К теории обобщённого параболо-гиперболического уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. № 3. С.375-383.

26. Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе Ьг задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 1. С.60-66.

27. Карапетян К.И. О задаче Коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости // ДАН СССР. 1956. Т. 106. № 6. С.963-966.

28. Керефов А.А., Желдашева А.О. Задача со смещением для уравнения параболо-гиперболического типа // Труды Всероссийской конференции. Стерлитамак. 2004. С.155-158.

29. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. № 6. С. 799-805.

30. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифферент уравнения. 1981. Т. 17. № 1. С.81-90.

31. Кумыкова С.К Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С.79-91.

32. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравненияsign у-1 у\т- ихх+иуу= 0 // Диф. уравнения. 1976. Т.12. № 1. С.79-88.

33. Лернер М.Е. К постановке краевых задач для уравнений смешанного па-раболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. № 10. С.1430-1432.

34. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физический журнал. 1965. Т.9. № 3. С.287-304.

35. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Минск: Наука и техника. 1978. 310с.

36. Мусхелишвши Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968.-512с.

37. Мухлисов Ф.Г. О новых краевых задачах для одного сингулярного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Сибир. конф. по неклассическим уравнениям матем. физики. 1995. Новосибирск. С.71.

38. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. № 9. С. 1643-1649.

39. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С.66-73.

40. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19. № 1. С.86-94.

41. Нахушее A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С.736-739.

42. Нахушее A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода //Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 1.С.100-111.

43. Нахушее A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. № 1. С.49-56.

44. Нахушее A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1970. Т.195. № 4. С.776-779.

45. Нахушее A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. № 1. С.44-59.

46. Нахушее A.M. Уравнения математической биологии. М. Высш. шк. 1995. -301с.

47. Нахушее A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. 2000. 299с.

48. Нахушева В.М. Об одной задаче А.В.Лыкова и конструктивной формуле её решения // Вестник КБНЦ РАН. Нальчик. 1998. Т.1. №1.

49. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретич. и матем. физика. 1992. Т.90. № 3. С.354-368.

50. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М., Л.: ОНТИ НКТП СССР. 1937.

51. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука. 1986. 801с.

52. Пулъкина JI.C. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 2. С.279-280.

53. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Монография. Изд-во Саратовского ун-та.1992. 162с.

54. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. № 1. С. 173-176.

55. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для уравнения Бицадзе-Лыкова, вырождающегося внутри области // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. С.5-13.

56. Репин О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. № 1. С.110-113.

57. Сабитов КБ. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 1. С.117-126.

58. Сабитов КБ. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. № 6. С. 1023-1032.

59. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. № 11. С.1925-1935.

60. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987. -688с.

61. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. 2002. -144с.

62. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк. 1985. 304с.

63. Сопуев А., Джураев Т.Д. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 6. С.1009-1015.

64. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. — 2-е изд. М.: Наука. 1983.-432с.

65. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инженерно-физический журнал. 1961. Т.4. № 11. С.99-104.

66. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Ин. лит. 1957.-443 с.

67. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.: ИЛ. 1947. -192с.

68. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженерно-физический журнал. 1964. Т.7. № 1. С.89-92.

69. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Фитматлит. 2001. Т.2. -864с.

70. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. -711с.

71. Хайруллин Р.С. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Изв. вузов. Мат-ка. 1993. № 11.С.69-76.

72. Хе Кан Чер. О задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Динамика сплошной среды. 1974. Вып.16. С.112-119.

73. Хубиев Р.Н. Краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с неизвестной линией изменения типа // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 2. С.373-375.

74. Чи Минъ-ю. О задаче Коши для одного класса гиперболических уравнений с начальными данными на линии параболического вырождения // ActaMathem., Sinica. 1958. V.8. № 4. Р.521-530.

75. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type // Commun. Pure Appl. Math. 1953. V.6. № 4. P.455-470.

76. Bassanini P., Calaverni M. Contrazioni multi, sistemi iperbolic, e problema del laser. -Alti semin. mat, e fis. Univ. Modena. 1982. V.31. № 1. P.32-50.

77. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte //Arkiv Mat., Astr. och. fysik, 1937. 25 A, 29. P. 1-23.

78. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Nonlocal Problem for the Hyperbolic Equation with Fractional Derivatives in the Boundary Condition // Fukuoka University Science Reports. 2003. V.33. № 2. P. 1-8.

79. Kilbas A, A., Repin O.A., Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic Type // Kyungpook Math. Journal. 1996. V.36: № 2. P.261-273.

80. Pleshchinskaya I.E., Pleshchinskii N.B. The Cauchy problem and potentials for ^ elliptic partial differential equations and some of their applications // Advancesin Equat. and Inequal. (ed. J.M.Rassias). Hadronic Press. 1999. P. 127146.

81. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation //Math. Japan. 1979. V.24. № 4. P.377-385.

82. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation. Ill //Math. Japan. 1981. V.26. № 1. P.103-119.

83. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. V.l 1. № 2. P. 135-143.

84. Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1980. V.12. № 2. P.55-62.

85. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces. // Transform Methods and Special Functions, Sofia 94. Singapore 1995. P.282-293.

86. Saigo M., Maeda N. More generalization of fractional calculus // Transform, Methods & Special Functions. Varna. 1996.

87. Srivastava H.M., Saigo M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problems involving the Euler-Darboux equation // J. Math. Anal, and Appl. 1987. V.121. № 2. P.325-369.

88. Yamada A., Tunakoshi H. On a mixed problem for the M'Kendrick-von Toer-V- ster equation. Quart. Appl. Math. 1982. V.40. № 2. P. 165-192.

89. Ефимова С.В. О нелокальной краевой задаче для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Вестник молодых учёных Самарской государственной экономической академии. 2002. № 2(4). С.267-275.

90. Ефимова С.В. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболичес-кого уравнения с характеристической линией изменения типа // Сборниктрудов Международной научной конференции «Дифференциальныеtуравнения и их приложения». Самара. 2002. С.117-125.

91. Ефимова С.В. Задача со смещением для одного уравнения смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.6. № 2. С.45-50.

92. Ефимова С.В. Об однозначной разрешимости одной нелокальной задачи для уравнения влагопереноса // Труды Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент. 2003. Т.1. С.33-39.

93. Ефимова С.В., Репин О.А. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 2004. Т.40. № 10. С.1419-1422.

94. Ефимова С.В. Об одном композиционном свойстве для операторов обобщенного дробного интегродифференцирования // Вестник молодых учёных Самарской государственной экономической академии. 2004. № 1(9). С.345-351.

95. Ефимова С.В. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с дробными интегралами в краевом условии // Вестник Самарской государственной экономической академии. 2004. № 2(14). С.285-288.

96. Ефимова С.В. Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2005. Вып.34. С. 194-196.

97. Ефимова С.В. Задача со смещением для уравнения влагопереноса // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. 2005. С.33-34.