Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1." КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ.

§1. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

§2. Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для гиперболо-параболического уравнения.

§3. Краевая задача со смещением для гиперболо-эллиптического уравнения с перпендикулярными линиями вырождения.

§4. Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения с негладкими линиями изменения типа.

§5. Краевая задача для гиперболо-параболического уравнения с тремя, попарно перпендикулярными линиями изменения типа.

ГЛАВА 2. ЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ЗАДАЧИ С

ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ.

§1. Краевая задача для уравнения гиперболопараболо-эллиптического типа.

§2. Задача с операторами дробного дифференцирования в краевых условиях.

§3. Краевая задача со смещением и оператором дробного дифференцирования для гиперболопараболического уравнения.

§4. Нелокальная краевая задача для гиперболопараболического уравнения с локальными краевыми условиями на границе области гиперболичности.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами механики и математической физики, сводящимися к таким уравнениям.

Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание в 1902 году А.С. Чаплыгин [65]. Им было указано на то, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.

Систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа с четкой постановкой задач, доказательством существования и единственности решения, началась в 20-30 годы прошлого столетия. В эти годы Трикоми Ф. [59] и Геллерстедтом С. [68] были получены основополагающие результаты.

Следующим шагом в развитии теории уравнений смешанного типа стали работы Ф.И. Франкля [62], [63], в которых -он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. В частности, в работе [63] Ф.И. Франкль показал, что задача газовой динамики до- и сверхзвуковых скоростей сводится к задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина.

Позже, М.А. Лаврентьев отметил целесообразность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа более простого вида, рассмотрение которых позволяет раскрыть основные свойства решений уравнений смешанного типа. Так, совместно с А.В. Бицадзе в работе [28] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В последующих работах [6], [8], [9] А.В. Бицадзе продолжил исследования задач, поставленных в [28], ставил и рассматривал другие задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

В это же время, в приложениях теории уравнений смешанного типа (прямая задача теории сопла Лаваля) Ф.И. Франклем [64], была отмечена необходимость рассмотрения новой краевой задачи с разрывными условиями сопряжения. Газодинамические задачи Франкля привели к идее обобщения условий сопряжения, чему были посвящены исследования Г.Д. Каратопраклиева [22], [23], а так же работы [10], [24], [45], [46].

Следующим важным этапом в становлении теории краевых задач стали предложенные A.M. Нахушевым в 1969 году [32], [33] нелокальные задачи нового типа, впоследствии названные у нас краевыми задачами со смещением, а за рубежом проблемами Нахушева [71]. Они являются обобщением задачи Трикоми, а так же содержат широкий класс корректных самосопряженных задач. Эти задачи сразу вызвали широкий интерес многих авторов [12], [18], [42], [56], [61], [72], в том числе учеников A.M. Нахушева [2], [5], [13], [15]-[17], [25]-[27], [30], [36], [38], [39], и Салахитдинова М.С. [49]-[52], [54].

В последние годы исследования задач со смещением для уравнений смешанного типа ведутся особенно интенсивно. Но в этих работах краевые условия, как правило, содержат классические операторы, в то время как, нелокальным краевым задачам, содержащим операторы более сложной структуры и операторы дробного интегродифференцирования, посвящено сравнительно мало работ [4], [35], [41], [42], [66], [70].

На сегодняшний день, в математической литературе имеются многочисленные работы как российских, так и зарубежных авторов, в которых ставятся и исследуются краевые задачи для уравнений смешанного типа. Большинство из этих работ посвящено изучению краевых задач для линейных уравнений второго порядка смешанного типа с одной линией вырождения.

К настоящему времени также хорошо исследованы краевые задачи со смещением для уравнений второго порядка смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнениям Эйлера-Дарбу-Пуассона. Но по-прежнему, задачи с условиями Нахушева и задачи типа Бицадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных краевых задач, теория которых далека от ее окончательного завершения.

В связи с этим возникает необходимость дальнейшего развития теории нелокальных краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладными значениями.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа, а также задач с разрывными условиями сопряжения и дробными производными в краевых условиях. Она состоит из введения, двух глав, и девяти параграфов. В каждой главе своя нумерация параграфов, а в каждом параграфе своя нумерация формул и теорем.

1. Абдуллаев А.С. О некоторых краевых задачах для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя параллельными линиями изменения типа // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. -Ташкент: ФАН, 1987. С. 71-82.

2. Аттаев А.Х. Задача со смещением для нагруженного уравнения, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. Куйбышев, 1987. С. 17.

3. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. Линейные уравнения математической физики. -М.: Наука, 1964. 368с.

4. Базаров Д. О некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений второго порядка. Изв. вузов. Математика, 1990, №3. -с.11-15.

5. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением // Дифференц. уравнения, 1973. Т.9, №1. С. 162-165.

6. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа. Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 61, 1953. С. 1-58.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа. ДАН СССР, 70, 4, 1950. С. 561-564.

9. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. -М.: Изд. АН СССР, 1959. -164с.

10. Бредихина Т.Б., Волкодавов В.Ф., Лернер М.Е. О единственности решения задачи типа Трикоми с полиномиальными условиями склеивания. Волж.мат.сб., 9, Куйбышев, 1971. С. 11-16.

11. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.Л.: Гостехиздат, 1948. 296 с.

12. Елеев В. А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения, 1977. Т.13, №1. С. 56-63.

13. Елеев В.А. Нелокальные краевые задачи со смещением для сопряженных гиперболических уравнений // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. -Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1990. С. 46-48.

14. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением для одного уравнения третьего порядка // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. -Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. С. 52-54.

15. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением на характеристиках для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Укр. мат. журнал, т.52, №5, 2000. С. 707-716.

16. Жегалов В.И. Задача Гурса со смещением. Труды семинара по краевым задачам. Казань. 1985, 22. С. 79-87.

17. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 448 с.

18. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференц. уравнения, 1969. Т.5, №1. С. 91-99.

19. Кадыров 3. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения в неограниченной области // Известия АН УзССР серия физ-мат. наук, 1987, №1. С. 24-29.

20. Каратопраклиев Г. Об одном обобщении задачи Т для уравнения ихх+ sgnyuyy=0 // ДАН СССР, 151, 6, 1963. С. 1271-1273.

21. Каратопраклиев Г. Об одном обобщении задачи Трикоми // ДАН СССР, 158, 2, 1964. С. 271-274.

22. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. -JL: Из-во Ленинградского госунив-та, 1990. 208 с.

23. Кумыкова С.К., Водахова В.А. Задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения // Сб. трудов Российской ассоциации "Женщины-математики", вып. 1. Н.Новгород, 1993. С. 84-87.

24. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Тезисы докладов I съезда математиков Казахстана. Шымкент, 1996. С. 352.

25. Кхан М.Р. Краевые задачи со смещением для гиперболического уравнения //Дифференц. уравнения, 1982. Т.18, №6. С. 1082-1085.

26. Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 70, 3, 1950. С. 373-376.

27. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. -512 с.

28. Напсо А.Ф. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения, 1978. Т.14, №1. С. 185-186.

29. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. Т.234, №2. С. 308-311.

30. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР, 1969. Т.187, №4. С. 736-739.

31. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1969. Т.5, №1. С. 44-59.

32. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. -М.: Высш. шк., 1995. -301с.

33. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1978. 320 с.

34. Оразов И. Об одной краевой задаче со смещением для обобщенного уравнения Трикоми // Дифференц. уравнения, 1981. Т.17, №2. С. 339-344.

35. Оразов И. Задача со смещением для гиперболического уравнения с нехарактеристическим вырождением на части границы // Дифференц. уравнения, 1982. Т.18, №1. С. 92-100.

36. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.: Наука, 1986. 800 с.

37. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. -Нальчик: Сообщения НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2001. 43 с.

38. Репин О.А. О задаче с операторами М. Сайго на характеристиках для уравнения влагопереноса // Труды Международ, конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова. -Минск: Белгосуниверситет, 1996. С. 299-305.

39. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения, 1990. Т.26, №6. С. 1023-1032.

40. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. II // Дифференц. уравнения, 1992. Т.28, №7. С. 1138-1145.

41. Сабитов К.Б., Исянгильдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми // Дифференц. уравнения, 1996. Т.32. №3. с. 1501-1504.

42. Салахитдинов М.С., Джураев Т.Д. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. -Ташкент: ФАН, 1976.

43. Салахитдинов М.С., Кадыров 3. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Вырождающиеся дифференциальные уравнения и обратные задачи. -Ташкент: Фан, 1986. С. 39-60.

44. Салахитдинов М.С., Кадыров 3. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Дифференц. уравнения, 1986. Т.22, №1. С. 103-114.

45. Салахитдинов М.С., Менгзияев Б. Краевые задачи для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1975. Т.4, №5. С. 11-18.

46. Салахитдинов М.С., Ташмирзаев Ю.У. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения. -Ташкент, ФАН, 1977. С. 3-14.

47. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для одного класса уравнений смешанного типа с негладкими линиями вырождения. В кн. Неклассические задачи математической физики. Ташкент: Фан, 1985. С. 25-47.

48. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.4,4.1. 336 с.

49. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. -М.: Высш. шк, 1985. 304 с.

50. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 736 с.

51. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. 443 с.

52. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа (пер. с итал. Ф.И. Франкля). М.Л.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

53. Уринов А.К. О некоторых краевых задачах для одного уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1983. №2. С. 29-34.

54. Уринов А.К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1987. №6. С. 22-27.

55. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. -М.: Наука, 1973. -711 с.

56. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течениях. Изв. АН СССР, серия матем. 1945. Т.9, №2. С. 121-142.

57. Франкль Ф.И. Обобщение задачи Трикоми и применение к решению прямой задачи теории сопла Лаваля. Уч.зап.Кабардино-Балкарского ун-та, 3, Нальчик, 1959. С. 79-93.

58. Чаплыгин С.А. О газовых струях. Собр.соч.,т.2. -М.Л.: АН СССР, 1933. С. 64-67.

59. Шхануков М.Х., Керефов А.А., Березовский А.А. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации // Укр. мат. журн., 1993. Т.45, №9. С. 1289-1298.

60. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). М.: Наука, 1968. 344 с.

61. Gellerstedt S. Sur un problem aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du seccond ordre de type mixte, Thesis, Uppsala, 1935.

62. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation, II. Math. Japonica, 1979. Vol.24, №1. P. 377-385.

63. Saigo M., Repin O.A., Kilbas A.A. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type // International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. Vol.5. №1. P. 104-117.

64. Елеев В.А., Кумыкова С.К., Лесев В.Н. О задачах типа задачи Бицадзе-Самарского для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями вырождения // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2000. №1(4). С. 35-40.

65. Елеев В.А., Лесев В.Н. Нелокальная краевая задача для уравнения пара-боло-гиперболического типа с перпендикулярными линиями изменения типа // Тр. X межвузовской конференции: Математическое моделирование и краевые задачи / СамГТУ. 2000. Ч. 3. С. 62-64.

66. Елеев В.А., Лесев В.Н. Краевая задача с нелокальными условиями на всей границе области // Тр. XI межвузовской конференции: Математическое моделирование и краевые задачи / СамГТУ. 2001. Ч. 3. С. 53-55.

67. Лесев В.Н. Краевая задача со смещением для уравнения параболо-гипер-болического типа // Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Северного Кавказа «Кавказ 2000»: Тез. докл. -Нальчик: Каб.-Балк. гос. ун-т, 2000. С. 6-7.

68. Лесев В.Н. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с интегральными операторами в условиях сопряжения // Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: Тез. докл. -Нальчик. 2002. Т. 2. С. 146-152.

69. Лесев В.Н. О некоторых краевых задачах с операторами дробного дифференцирования на параболических частях границы // Сб. научных тр. молодых ученых Каб.-Балк. гос. ун-та. 2002. С. 53-61.