Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВА ИРИНА АНАТОЛЬЕВНА

□□3464986

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003464986

Работа выполнена на кафедре высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Плещинский Николай Борисович

Защита состоится 23 апреля 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова - Ленина по адресу: г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1 /37, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор Пулькина Людмила Степановна

Ведущая организация: научно-исследовательский

институт прикладной математики и автоматизации при Кабардино-Балкарском научном центре Российской академии наук

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного и гиперболического типов является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными, что объясняется как теоретической значимостью результатов, так и наличием их практических приложений в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях.

Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где впервые были поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа.

Позднее фундаментальные результаты в исследованиях гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа были получены в работах Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе, К.И.Бабенко, С.П. Пулькина, М.М. Смирнова и других авторов.

Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории диффереЕЩиальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных краевых задач, в том числе задач со смещением. Исследованию краевых задач как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений посвящены работы В.И. Жега-лова, A.M. Нахушева, М.М. Смирнова, В.Ф. Волкодавова, М.С. Сала-хитдинова, Т.Д. Джураева, Е.И. Моисеева, С.К. Кумыковой, O.A. Репина, К.Б. Сабитова, Л.С. Пулькиной, P.C. Хайруллина, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского и других авторов.

С появлением работ A.M. Нахушева, посвященных интегралам и производным дробного порядка, начинает развиваться исследование краевых задач с операторами дробного интегродифференцирования в краевых условиях. Первые работы по исследованию задач со смещением содержали в краевых условиях классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов являются операторы, введенные Э. Лавом (Австралия), А. Мак-Брайдом (Англия), М. Сайго (Япония). Исследованием краевых задач с обобщенными операторами в краевых условиях занимались М. Сайго, М.М. Смирнов, A.A. Килбас, O.A. Репин, Д. Аманов, С.И. Макаров и другие математики.

Особенностью данной диссертационной работы является наличие в краевых условиях не классических операторов, а обобщенных операто-

ров дробного интегродифференцирования в смысле М. Сайго с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Цель работы. Целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости новых нелокальных задач с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования в краевых условиях для уравнений Геллерстедта и Бицадзе Лыкова в ограниченных и неограниченных областях.

Методика исследований. При доказательстве единственности и существования решения поставленных задач применяется аппарат специальных функций, интегральное преобразование Ганкеля, методы теории интегральных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, принципы экстремума для дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна заключается в следующих результатах.

1. Для модельного уравнения смешанного типа (уравнения Геллерстедта) с вырождением первого и второго рода в явном виде получено решение новых задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. При этом представлен широкий спектр изменения функций и констант, входящих в краевые условия.

2. Для уравнения влагопереноса (уравнения Бицадзе Лыкова) доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач, содержащих производные и интегралы дробного порядка в смысле М. Сайго. Выявлены условия, при которых справедлив принцип экстремума.

3. Развита методика сведения краевых задач со смещением к разрешимости интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма второго рода или сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных краевых задач для уравнений смешанного и гиперболического типов, а также для решения прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Положения, выносимые на защиту. 1. Постановка и исследование новых нелокальных задач со смещением для уравнения Геллерстедта с вырождением первого и второго рода с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в смысле М. Сайго в краевых условиях для ограниченных и неограниченных

областей.

2. Определение значений параметров операторов, входящих в краевые условия, для которых справедливы теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач.

3. Изучение новых нелокальных задач для уравнения Бицадзе-Лыкова, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов дробного интегродифференцирования в смысле Римана - Лиувилля и М. Сайго.

4. Доказательство однозначной разрешимости исследуемых задач методом редукции к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма второго рода или сингулярным интегральным уравнениям с ядром Ко-ши.

Апробация работы. Результаты исследования, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на ежегодных научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 2005-2007 гг. (г. Самара, СамГТУ), на международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук", посвященной 75-летию Орловского государственного университета (г. Орел, 2006 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Ве-куа (г. Новосибирск, 2007 г.), на V школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы анализа и информатики", посвященной 50-летию Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова и 15-летию Адыгской (Черкесской) Международной академии наук (г. Нальчик - п. Эльбрус, 2007 г.), на всероссийской научно-практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.П. Пулькина "Интегративный характер современного математического образования" (г. Самара, 2007 г.), на международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (г. Нальчик - п. Эльбрус, 2008 г.), на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008 г.), на XII международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2008 г.), на научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета в 2009 году (руководитель д. ф.-м. п., профессор В.И. Жегалов).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ [3] и [11] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. O.A. Репину принадлежит постановка задач и идея дока-

затсльства, а автору диссертации — точные формулировки и доказательства утверждений.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 120 страницах и состоит из введения, вводных сведений, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 84 наименования, причем работы автора приведены в конце списка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Раздел некоторые вводные сведения содержит необходимые для исследований понятия и утверждения теории дробного исчисления и интегральных уравнений, в том числе определения дробных интегралов и производных с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, введенные японским математиком М. Сайго:

Х-Т^!(х- í)Q_1F(Q + р, -т?; а; 1 -№*'/>(-) = { 0 (в>0)>

Ш" {а <0,п = [-а] + 1).

/(« - + /3, -Ч;а; )/(*)<**>

(а > 0),

(а < 0,п = [-а] + 1),

где а,/3,77 € М и 0 < х < 1.

Если /3 = — а , то операторы сводятся к дробным интегралам и производным Римана-Лиувилля.

Первая глава посвящена изучению краевых задач для уравнения Геллерстедта

вгдпу\у\т Ихх Н" — 0.

(1)

В п. 1.1 поставлена и исследована нелокальная задача для уравнения (1) при т > — 1 в смешанной области £>, ограниченной при у > 0 гладкой кривой Г с концами Л(0,0) и В(1,0), а при у < 0 — характеристиками АС : х - (-У)^ =0 и ВС : х + ^(-у)^ = 1-Пусть £>1 = Б П (у > 0) — эллиптическая часть, а, Б2 = Б Г\ (у < 0) — гиперболическая часть области В, 0о(ж) = § - ¿(х2—^)™^ — точка

пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точек (я, 0),

0 < х < 1, с характеристикой АС.

Единственность решения задачи для уравнения (1) в ограниченной области, которая будет сформулирована ниже при различных значениях т, доказывается на основе принципа экстремума А.В. Би-цадзе, а существование решения сводится к разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения на конечном отрезке при условии, что кривая Г является "нормальной кривой":

í~ _ 1 Ч2 . 4 т+2 _ 1 \Х 2/ + (т+2)ЪУ - 4 ■

Определение 1. Регулярным решением уравнения (1) в области Di назовем функцию и(х,у), непрерывную в D\ и дважды непрерывно дифференцируемую в Di, являющуюся решением этого уравнения.

Определение 2. Обобщенное решение уравнения (1) в области Рг принадлежит классу i?2 , если fi{x) = иу(х,—0) непрерывна и интегрируема в (0,1) и т(х) = u(x,0) есть интеграл дробного порядка

1 — 2/3 от некоторой функции Т(х), непрерывной и интегрируемой на интервале (0,1), то есть

т(х) = т(0) + /0Х (х - i)-2í3T(i) di, -1 < 2/3 < 0.

Задача 1.1 (-1<т<0). Найти функцию и(х,у) со свойствами:

1) u(x,y)eC(D);

2) и(х, у) — регулярное решение уравнения (1) в области Di;

3) и(х,у) — обобщенное решение класса R? уравнения (1) в области Di-,

4) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям

u(z>2/)|r = Ц>(х,у), (х,у) в Г, А^-^-ЯфоЩ) (х)+ +в (iü-w^-w-o)»,«, 0)) (*) = ф(х) Ух EJ

и условию сопряжения

иу{х, -0) = -иу{х, +0) Мх 6 J,

где (1о+'Пf )(x) " обобщенный оператор дробного интегродифферен-цирования в смысле М. Сайго. Теорема 1.2. Пусть

1) кривая Г совпадаете "нормальной кривой":

(г _ L\2 4- 4 т+2 _ 1. Iх 2) + (т+2)^У ~ 4>

2) 1р{х,у),-ф(х) е С[0,1], причем <р(х,у) =у1+у<р(х),

tp(x) е С[0,1], 7 > 1 + т, ф(х) 6 Я А[0,1], 0 < а + 1 - /? < А < 1;

3) иу{х, -0) = -иу{х, +0) Ух е J;

21^31' -|</3-<0, 0< Ы-2/3-1 < 1, ЛВ<0. Тогда задача 1.1 для уравнения (1) имеет, и притом единственное решение.

Задача 1.2 (т=0). Найти функцию и(х,у) Е С(Д) Л С1(Ю) П и Ог), являющуюся решением уравнения (1) в области Б, удовлетворяющую краевым условиям

|г = 4>{х,у), {х,у)£Г,

А (/ов;ь,си[0„(*)]) (х) + В (1£1'ь-1'сиу(Ь, 0)) (х) = ф(х) Ух € 3.

Теорема 1.4■ Пусть

1) кривая Г совпадает с "нормальной кривой": (х — |)2 + у2 =

2) у(х) = х(1 - х)(ро(х), € С{3)\

3) ф{х) € ЯА[0,1], 0<а + 1<А<1, 1-6<шЦ0,а+с + 2];

4) иу(х,0) на концах интервала 3 может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы;

5) АВ < 0.

Тогда задача 1.2 имеет и притом единственное решение. Задача 1.3 (ш>0). Найти решение уравнения (1) в области Б из класса и{х,у) Е С(В)Г)С1 (И)ПС2(ПхиДг), удовлетворяющее краевым условиям

Ф,у)1г =<р(х,у), (х,у) б Г,

+В (^'^"^"ЧМ)) (х) = ф(х) Ух € 3.

Теорема 1.6. Пусть

1) кривая Г совпадает с "нормальной кривой": (х - 4- угут+2 =

2) Ф>у) = У2Щ{х), ^(г)€С[0,1];

3) ^(х) еЯА[0,1], а + /?<А<1;

4) /3= г^^рг). —/8<а<1-е, е>0, Ь> тах[0,о + Ь + 2/3], АВ<0. Тогда задача 1.3 для уравнения (1) имеет и притом единствегтое

решение.

Содержание п. 1.2 включает исследование двух задач для уравнения (1) при т > 0 в бесконечных областях.

Для доказательства единственности решения данных задач исследованы соответствующие однородные задачи, которые имеют только

тривиальные решения. Существование решения задач сведено к разрешимости сингулярного интегрального уравнения.

Пусть £> = и £)2 и 3, — полуплоскость у > О, — характеристический треугольник в полуплоскости у < О, 3 — интервал О < х < 1 прямой у = 0.

Задача 1.4. Найти решение и(х,у) уравнения (1) в области О со свойствами:

1) и(х, у) £ С(5) Л С1 (И и Зг и 32) П С2(01 и Д>), причем

и(оо) = 0 , и(0) = 0 и их(х,0) при х = 0, х = 1 может обращаться в бесконечность порядка ниже 2/3 ;

2) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям

и(ж,0) = <р{(х) Ух £ Зг, г = 1,2,

А (ф'^-Мво]) (а) +

+В 0)) (х) = гр(х) Ух £ 3,

где Зч = {(х,у) : -со < х < 0,у = 0}, 32 = {(ж,у) : 1 < а; < +оо,у = 0}, 0о(х) — точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точек (х,0) £ с характеристикой АС. Теорема 1.8■ Пусть

1) и(оо) = 0, и(0) = 0, иг(х,0) при х — 0, х = 1 может обращаться е бесконечность порядка ниже 2/3 ;

2) ^{х) € С(3{), ¿ = 1,2, и могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2/? при х = 0, х = 1 соответственно, а при достаточно больших \х\ удовлетворяют неравенству

< М\х\^-°, М,ст>0;

3) ф(х) 6 Ял(.7), 0<в-/3 + 1<Л<1;

4) Р = 2^4' \а\ < ¡3, 1 — 2(3 < Ь <2 — 2/3, АВ < 0.

Тогда задача 1.4 для уравнения (1) имеет и притом единственное решение.

В постановке следующей задачи меняется область эллиптичности. Область И теперь ограничена полупрямыми х = 0, а; = 1 с концами в точках А(0,0) и В(1,0), расположенными в полуплоскости у > 0 и характеристиками АС и ВС уравнения (1) в области гиперболичности.

Задача 1.5. Найти решение и(х,у) уравнения (1) в области И из класса и(х,у) £ С(Ю) П С1(Ю) П С2(01 и со свойствами:

1) Нт и{х,у) = 0 равномерно по х £ 3]

у-++оо

2) удовлетворяет краевым условиям

и(0,у) = <р!(у), и{1 ,у) = 1р2(у) {у > 0),

Al(la0*'ß-1-au[Q0(t)])(x) +

+A2^+0'b'ß-1-au(t,0)) (®) = ф{х)Чх 6 J.

Теорема 1.9. Пусть

1) <Р1(у),Р2(у) € С[0,+оо),у^1р!{у),у^1р2{у) € L(0,+oo); ■

2) ф(х) 6 Я*[0,1]; ■ •

3) ß = jfe.O < ß < З'Н < ß>b > A-a-j3(-l + o-ß < X < 1,AiA2 > 0.

Тогда решение задачи 1.5 существует и оно единственно. В п. 1.3 рассматривается гиперболическое уравнение Геллерстедта

\у\1ихх - иуу = 0, (2)

где I = т > 0 при у < 0 и I = п> 0 при у > 0 (отдельно исследован случай тп = п) в конечной области D , ограниченной характеристиками уравнения (2) ACi : х - ^У^ = 0, ВС\ : х + ^У^ = : х - ^(-у)1**2 = 0, ВС2 : х + ^(-у)^ = 1. Пусть

Бг = Dn{(x,y) : у > 0} , Z?2 = Dn{(x,y) : у < 0} , и 0<2)(х) -

точки пересечения характеристик уравнения (2), выходящих из точек (х,0) е J, с характеристиками АС2 и ВС\ соответственно.

Задача 1.6. Найти решение уравнения (2) в области D из класса и(х,у) £ C(D) П С2{D\ U D2), удовлетворяющее краевым условиям

Аг (i^'MQKt)}) {*)+

+Л2 ^ß+1'b+2ß-1'0-a-\(t, -0)) (аг) = Мх) Чх е J,

Вг (j1eI'bl,A-1-eit<[e[2)(i)]) (®)+

+В2 (l°rih+1M+2ßi-1'ßl-ai-1uy(t,+ 0)) (х) = чь{х) Ух 6 J и условию сопряжения

lim uv(x:у) = lim uv(x,y) Ух € J. ¡/-»0-0 " у-»о+о

Единственность решения задачи 1.6 доказывается на основе принципа экстремума для гиперболических уравнений и свойств дробных производных. Существование решения задачи сводится к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого в заданном классе следует из единственности решения задачи.

Теорема 1.10 Пусть !) ~ß<a< 1-ß, b> 1,

ß1 ~ 2ÏÏ+4 > "Ä < ai < 1 - А , bi > 1 ;

2) ^(¡c) Q<a + ß <\i <1, <p2(x) eHx*{J), 0 < ai + A < À2 < 1 ;

3) Al > 0, Л2 < 0, BiJ32 > о.

Тогда решение задачи 1.6 существует и единственно. Во второй главе доказаны существование и единственность решения нелокальных краевых задач для уравнения Бицадзе-Лыкова

у2ихх - Uyy + аих = 0. (3)

В п. 2,1 включены исследования задачи, краевые условия которой содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования с внешними и внутренними множителями степенного характера, для уравнения (3) при |а| < 1 в конечной области D , ограниченной интервалом J — (0,1) прямой у ~ 0 и характеристиками уравнения (3) АС : ж — ^ = 0 и ВС : х + ~ 1, где А(0,0), В(1,0), С(§,-1).

Обозначим W(J) множество функций и(х, у) таких, что lim [а(х,у)иу + b(x,y)u] € C(J), где a{x,y) и b(x,y) — заданные

у-*-О

функции требуемой гладкости, причем предполагается существование пределов а(х,у), Ь(х,у) при у -> — 0 .

Задача 2.1. Найти решение и(х,у) уравнения (3) в области D при ja] < 1 из класса и(х,у) е C(D) П C2(D) Л W(J), удовлетворяющее краевым условиям

lim [a(x, у)иу + Ь(х,у)м] = c{x) Vx £ J,

Агхо+Ï (1™'^-рГ*и{в0ЦУ!) (*) =

= A2 [ß(t)u(t, -0)]) (®) + 7i (x) Vx 6 J,

h — p + q , ©o(x) — точка пересечения характеристик уравнения (3), выходящих из точек (х, 0) 6 J, с характеристикой АС .

Вопрос однозначной разрешимости задачи 2.1 эквивалентно сводится к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Теорема 2.1. Пусть

1) 7i (х) £ HXl(3)r\C2{J), 0 < Ai < —- — Р ;

2) а(х, 0), Ь(х^0), ß(x) eCl(J)nC2(J), a(x,0)^0, ß(x)^0 Vx£j;

3) c(x) € H$(J)r\C2{J), 0 < A <

4 ) а=1<р<з±а, q<l АхАъф 0.

Тогда задача 2.1 имеет единственное решение. Исследование исключительных случаев (а = ±1) приводится в п. 2.1.3, где доказывается однозначная разрешимость задач 2.2 и 2.3. Для задачи 2.2 (а = 1), краевые условия которой имеют вид

lim [о(ж,у)иу{х,у) + Ь(х,у)и(х,у)] = с(х) Ух € J,

у—V—О

Ах (/¿> [0о(«)]) (х) = А2 (I*+ß(t)u(t, -0)) (х) + 7ф) Ух е J,

доказана теорема существования и единственности решения. Теорема 2.2. Пусть

1) а(х,0), 6(аМ)), ß(x) € C1(J)nC2(J), a(z,0)^0, ß(x) ф 0 Ух eJ;

2) ф) £ tf0A(J) П C2(J), 0 < Л <

3) 72(з) е#оЛ2[0,1], 0 < р < А2 < 1;

4) АхА2ф 0.

Тогда задача 2.2 однозначно разрешима.

Краевые условия задачи 2.3 {а = — 1) содержат оператор с другими параметрами

lim [а{х, у)иу{х, у) + Ь(х, у)и{х, у)] = с(х) Ух 6 J,

у—О

= (l¿+p'0,-(p+g+^(iMí, -0)) (i) + 7з(я) Ух £ J.

Теорема 2.3. Пусть

1) а(я,0), Ь(х, 0), ß(x)^E Cl(j) nC2(J), а(®,0) ф 0, ß{x) ф OVz £ 7;

2) ф), 7з(г) е Я0Лз(Л с(0) = 0, 7з(0) = 0, 0<1 + р<Л3<1, -1 < р < 0, q < §;

3) AtA2 ф 0.

Тогда задача 2.3 однозначно разрешима.

П. 2.2 посвящен обоснованию существования и единственности решения двух задач для уравнения (3) при |а| < 1, постановки которых содержат два краевых условия с операторами дробного интегродиффе-

ренцирования с различными началами, в области D = Di U J U D2,

2 2 ограниченной характеристиками АС\ : х — \ — 0, ВС\ : х + = 1,

АС2 : ж - ¿ = 0, ВС2 : х+ ¿ = 1, где ¿(0,0), Я(1,0), Ci(|,l), С3(|,-1), Di = Dn{y> 0), D2 = D П(у < 0).

Единственность решения задач 2.4 и 2.5 доказывается на основании принципа экстремума для гиперболических уравнений и свойств дробных производных, а существование решения сводится к разрешимости

характеристического сингулярного интегрального уравнения на конечном отрезке.

Задача 2.4. Найти решение и(х, у) уравнения (3) при |а| < 1 в области D из класса и(х,у) е C(D) П C2(D\J), удовлетворяющее краевым условиям

А\ (Я^-'^-иРРЮ]) (*)+

+А2 (/¡f+X(t, -0)) (х) = 9l (х) Ух е J, +В2 +0)) (х) = д2(х) Ухе J

и условию сопряжения

lim иу(х,у) = lim ич(х,у) Ух € J. у-*—о у-++о

Теорема 2.5. Пусть

1) А1А2 > 0, В1В2 > 0,+ а > 0,0 < + а < 1,

у/*__Ах n \Гк 1 В2. П-

ЩЦЕ) .4! ^ + Вг * и>

2) Si^eci1^) (7)0^(7),» = 1,2, | < Äi < 1, 31 (0) = 32(1) = 0;

3) lim Uy(x,y) € ffA fii-.iO.l]) , 0 < А < 1. ¡/—►—о \ )

Тогда задача 2-4 имеет единственное решение. Далее рассматривается задача 2.5, которая отличается от задачи 2.4 тем, что в краевых условиях еще дополнительно присутствуют множители степенного характера.

Задача 2.5. Найти решение и(х,у) уравнения (3) в области D из класса и(х,у) € C(D)r\C2(D\J), удовлетворяющее краевым условиям

Ух 6 J,

Вг( 1 - - *ГЧв1а)])(*Н

+Я2(1 - = §3(0:) Ух & J

и условию сопряжения

lim ич(х,у) = lim uv(x,y) Ух € J.

у—>■—о " »->+0

Теорема 2.1. Пусть

1) ~91{х) = (^'Л^Ж*), дх(х) € ЯЛ1[0,1], | < А1 < 1,

ш = (/^'"^(¿Ж*), 92{х) е ЯА»[0,1], I < л2 < 1;

2) 0<а+±^ <¿1, (Ь<0,0<6+^ <7Ь72 <0;

3) А1А2 < О, В1В2 > 0.

Тогда задача 2.5 имеет единственное решение.

Заключение. Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие достигнутые результаты.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач для уравнения смешанного типа с вырождением первого и второго рода и уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

2. Доказана однозначная разрешимость обобщенной задачи Трикоми для уравнения Геллерстедта в областях, эллиптические части которых — полуплоскость и бесконечная полуполоса.

3. Исследована нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения в области, ограниченной характеристиками уравнения. Доказана однозначная разрешимость задачи.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач со смещением для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса) с различными значениями коэффициентов при младших производных.

Методы и результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность научному руководителю — профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ Научные статьи в изданиях перечня, рекомендуемого ВАК

1. Кузнецова, И. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения Геллерстедта / И.А. Кузнецова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. №6(65). - 2008. - С. 105111.

2. Кузнецова, И. А. Краевая задача для уравнения Геллерстедта с операторами М. Сайго на характеристиках / И. А. Кузнецова // Вестник Самарск. гос. тех. ун-та. Сер. физ.-матем. науки. №43 / Самарск. гос. тех. ун-т. - Самара, 2006. - С. 19-24.

Научные статьи в других изданиях

3. Репин, O.A. О некоторых краевых задачах для уравнения Бицадзе-Лыкова / O.A. Репин, И.А. Кузнецова // Современные методы физико-математических наук: Тр. международной конференции (9-14 окт. 2006 г., Орел). - Т. 1. / Орел: Изд-во ОГУ, 2006. - С. 100-104.

4. Кузнецова, И. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения гиперболического типа с операторами М. Сайго на характеристиках / И.А. Кузнецова // Дифференц. уравнения, теория функций и приложения : тез. докладов междунар. конф. (Новосибирск, 28 мая-2 июня 2007 г.) / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. - С. 212-213.

5. Кузнецова, И. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка / Математическое моделирование и краевые задачи : Тр. IV Всерос. научн. конф. с междунар. участием (29-31 мая 2007 г.) Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / СамГТУ. - Самара, 2007. - С. 114-117.

6. Кузнецова, И. А. Краевая задача со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / И.А. Кузнецова // Интегративный характер современного математического образования : материалы Всерос. научн.-практ. конф. (Самара, 24-27 сент. 2007 г.). Ч. 1. / Самарск. гос. пед. ун-т. - Самара, 2007. - С. 52-57.

7. Кузнецова, И. А. О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения влагопереноса / И.А. Кузнецова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики : Материалы V Школы молодых ученых / Нальчик - Эльбрус, 2007. - С. 82-84.

8. Кузнецова, И. А. Задача со смещением для уравнения смешанного типа / И.А. Кузнецова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. - 2007. - Т. 9, №2. - С. 44-48.

9. Кузнецова, И. А. Краевая задача для вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / И.А. Кузнецова // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" и VI Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". - Нальчик - Эльбрус, 2008. - С. 98-99.

10. Кузнецова, И. А. О разрешимости в явном виде одной нелокальной задачи / И.А. Кузнецова // Материалы междунар. научной конфе-

ренции им. М. Кравчука (Киев, 15-17 мая 2008 г.). - К.: TOB "Задруга", 2008. - С. 222.

11. Кузнецова, И. А. Об обобщенной задаче Трикоми / И.А. Кузнецова, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы : Тр. междунар. конференции (24-28 июня 2008 г., г. Стерлитамак) / Уфа : Гилем, 2008. - Т. III. - С. 226-230.

Подписано в печать 13.02.09. Тираж 100 экз. Заказ № 139. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объем - 1,0 усл. п. л. Формат 60 х 84/16

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» ул. Сов. Армии, 217; тел.: 926-07-51

Введение

Некоторые вводные сведения

1 Глава. Краевые задачи для уравнения Геллерстедта

1.1 Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с вырождением разного рода в конечной области.

1.1.1 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) с вырождением второго рода.

1.1.2 Доказательство единственности решения задачи 1.

1.1.3 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения.

1.1.4 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) при т = 0 — уравнения Лаврентьева - Бицадзе.

1.1.5 Доказательство единственности решения задачи

1.1.6 Получение сингулярного интегрального уравнения и доказательство существования решения задачи.

1.1.7 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) с вырождением первого рода . . .'.

1.1.8 Доказательство единственности решения задачи 1.

1.1.9 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи.

1.2 Задачи со смещением для уравнения Геллерстедта в неограниченных областях.

1.2.1 Постановка задачи в области, эллиптическая часть которой полуплоскость.

1.2.2 Доказательство единственности решения задачи 1.

1.2.3 Получение сингулярного интегрального уравнения и доказательство существования решения задачи.

1.2.4 Постановка задачи Трикоми в области, эллиптическая

часть которой — полу полоса.

1.2.5 Представление решения задачи 1.5 в области эллиптичности

1.2.6 Функциональное соотношение между т2(х) и u-2(x) в области гиперболичности.

1.2.7 Единственность решения.

1.2.8 Доказательство существования решения задачи.

1.3 Нелокальная задача для уравнения Геллерстедта гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

1.3.1 Постановка задачи и доказательство единственности решения

1.3.2 Сведение к интегральному уравнению Фредгольма и доказательство существования решения.

1.3.3 Постановка задачи 1.7 и доказательство единственности решения.

1.3.4 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи 1.

2 Глава. Нелокальные краевые задачи для уравнения

Бицадзе — Лыкова

2.1 Задача с обобщенными операторами дробного интегродифферен-цировапия для уравнения влагопереноса (|а| < 1), содержащая внешние и внутренние коэффициенты степенного характера

2.1.1 Постановка задачи при |«| <

2.1.2 Сведение к интегральному уравнению Вольтерра и доказательство однозначной разрешимости.

2.1.3 Исключительные случаи (а = ±1)

2.2 Задачи со смещением для уравнения влагопереноса с двумя краевыми условиями

2.2.1 Однозначная разрешимость задачи 2.4.

2.2.2 Однозначная разрешимость задачи 2.5.

Актуальность темы исследования. Изучение краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Этот класс уравнений имеет разнообразные приложения в газовой динамике трансзвуковых течений [59], [62], магнитной гидродинамике [19], теории оболочек [9], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [4], математической биологии [37|, теории лазерного излучения [35].

Основы теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов заложены в известных работах Ф. Трикоми [57], С. Геллерстедта [64],[65], Ф.И. Франкля [59],[60]. Дальнейшее развитие исследований представлено в работах М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко [3], С.П. Пулькина, М.М. Смирнова и других авторов.

Исследования уравнений с переменными коэффициентами содержат громоздкие вычисления, в связи с чем М.А. Лаврентьев и А.В. Бицадзе предложили новую модель уравнений [7],[23] (уравнение Лаврентьева - Бицадзе) ихх + sgn у • иуу = 0.

Изучению еще одного класса задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И. Жегалова [15],[16] и A.M. Нахушева [30], [31j,[34],[36]—[38]. В постановке этих задач, в отличие от задачи Трикоми, краевое условие связывает значения решения уравнения или его дробной производной в точках, расположенных на характеристиках разных семейств и на линии вырождения уравнения.

Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений были объектом исследования многих авторов. Отметим работы В.Ф. Волко-давова [10],[11], М.М. Смирнова [54],[55], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [14], Е.И. Моисеева [27],[28], С.К. Кумыковой [21],[22], О.А. Репина [44],[46],[48],[49], К.Б. Сабитова [50], Л.С. Пулькиной [42], [43], Р.С. Хайруллина [61], Ф.Г. Мухлисова [29], Н.Б. Плещин-ского [40] и других.

Краевые условия в первых работах по изучению задач со смещением содержали интегралы и производные дробного порядка Римана - Лиувилля. В последующих публикациях в постановке задач применялись операторы, введенные Э. Лавом [66], А. Мак-Брайдом [68],

М. Сайго [69], которые являются обобщением классических операторов Римана-Лиувилля.

Краевые задачи, содержащие эти операторы, исследовались в работах М. Сайго [69]—[73], М.М. Смирнова [56], А.А. Килбаса и О.А. Репина [18], Д. Аманова [1], [2], С.И. Макарова [26] и других авторов.

Остановимся на нескольких работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации.

В работе [17] И.Л. Кароль представил одно из первых исследований краевых задач для уравнения смешанного типа второго рода.

Для уравнения ихх + sgn у\у\т • иуу = 0 (0 <т< 1) автор доказал существование и единственность решения задачи Три-коми в случае, когда граница эллиптической части смешанной области является так называемой "нормальной кривой". Решение данной задачи при у > 0 является регулярным, а при у < 0 - обобщенным-решением из класса i?2 •

В работе [39] З.А. Нахушевой исследована задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной кривой Жордана при у > 0 и характеристиками уравнения при у < 0. Решение задачи, постановка которой содержит операторы Римана - Лиувилля, сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения.

М.Е. Лернер и О.А. Репин в работе [25] для уравнения

Утихх + иуу = 0 (т > -1) в бесконечной области D, ограниченной при у > 0 полупрямыми х = 0, х = 1 и отрезком прямой у = 0, исследовали задачу с нелокальным условием u(0,y)-u(l,y) = <pi(y), у> о и локальными краевыми условиями их(0,у) = <р2(у), У > 0; п(ж,0) = т(х), 0 < X < 1; lim и(х, у) = 0, 0 < х < 1. у-юо

Решение задачи получено методом разделения переменных, а его единственность доказана с использованием принципа экстремума.

В работе [47] О.А. Репиным изучена задача Трикоми для уравнения sgny\y\m ■ ихх + иуу = 0 (га > 0) в бесконечной области D, эллиптическая часть которой — полуполоса {(ж, у) |, 0 < ж < 1, > 0}, а гиперболическая часть ограничена характеристиками АС и ВС, >1(0,0), 5(1,0). Постановка задачи содержит краевые условия и(0,у) = (pi{y), и(1,у) = р2{у), 0 < у < оо; u\AC = ip(x), 0 < ж <1/2.

Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью вспомогательных функций (методом "abc"), а решение строится методом разделения переменных и применения преобразования Ганкеля.

Цель работы. Целью работы является:

1. Постановка и исследование новых нелокальных краевых задач для уравнений Геллерстедта и Бицадзе-Лыкова в ограниченных и неограниченных областях.

2. Выявление случаев, допускающих возможность получения решений рассмотренных задач в явном виде.

3. Определение условий на параметры операторов дробного инте-гродифференцирования, па заданные функции и действительные постоянные, которые дают возможность наиболее широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Общая методика исследования. В работе применяется аппарат специальных функций, интегральное преобразование Ганкеля, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного иптегро-дифференцирования, известные принципы экстремума для дифференциальных уравнений.

Научная новизна заключается в следующих результатах:

1. Для модельного уравнения смешанного типа (уравнения Гел-лерсгедта) с вырождением первого и второго рода в явном виде получено решение новых задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. При этом представлен широкий спектр изменения функций и констант, входящих в краевые условия.

2. Для уравнения влагопереноса (уравнения Бицадзе-Лыкова) доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач, содержащих производные и интегралы дробного порядка в смысле М. Сайго. Выявлены условия, при которых справедлив принцип экстремума.

3. Развита методика сведения краевых задач со смещением к разрешимости интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода или сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Положения, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Поставлены и исследованы новые нелокальные задачи со смещением для уравнения Геллерстедта с вырождением первого и второго рода с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования М. Сайго в краевых условиях для ограниченных и неограниченных областей.

2. Установлены значения параметров операторов, входящих в краевые условия, для которых справедливы теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач.

3. Для уравнения Бицадзе-Лыкова изучены новые нелокальные задачи, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и М. Сайго.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач методом редукции к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма второго рода или сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши.

Апробация результатов. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты исследований представлены и доложены на

- ежегодных научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 2005 - 2007 годах (Самара, СамГТУ);

- международной конференции "Современные методы физико -математических паук" в 2006 году (Орел, ОГУ);

- V Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" в 2007 году (Нальчик - Эльбрус);

- международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" в 2007 году (Новосибирск, НГУ);

- всероссийской научно - практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.П. Пулькина "Интегративный характер современного математического образования" в 2007 году (Самара, СГПУ);

- международном Российско - Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в 2008 году (Нальчик - Эльбрус);

- международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" в 2008 году (Стерлитамак, СГПА);

- XII международной научной конференции им. академика М. Кравчука в 2008 году (Киев),

- научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета в 2009 году (руководитель д. ф.-м. п., профессор В.И. Жегалов).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы, которая состоит из введения, вводных сведений и двух глав.

Заключение

В данной диссертационной работе для гиперболо-эллиптических уравнений поставлены и исследованы задачи со смещением, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного инте-гродифференцирования.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач для уравнения смешанного типа с вырождением первого и второго рода и уравнения Лаврентьева - Бицадзе.

2. Доказана однозначная разрешимость обобщенной задачи Три-коми для уравнения Геллерстедта в областях, эллиптические части которых — полуплоскость и бесконечная полуполоса.

3. Исследована нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения в области, ограниченной характеристиками уравнения. Доказана однозначная разрешимость задачи.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач со смещением для уравнения Бицадзе - Лыкова (уравнения влагопереноса) с различными значениями коэффициентов при младших производных.

1. Аманов, Д. Краевая задача для уравнения sgny\y\muxx + хпиуу = 0 в неограниченной области / Д. Аманов // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1984. - №2. - С. 8-10.

2. Аманов, Д. Некоторые нелокальные краевые задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / Д. Аманов // Докл. АН УзССР. 1984. - №7. - С. 4-7.

3. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко// Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 2 (54). С. 160.

4. Бакиевич, Н. И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения / Н.И. Бакиевич // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 1(91). - С. 171-176.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 1. М.: Наука, 1973. 294 с.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 2. М.: Наука, 1974. - 296 с.

7. Бицадзе, А. В. О некоторых задачах смешанного типа / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, №4. С. 561-564.

8. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе // М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Веку а, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Ве-куа // М.: Физматгиз, 1959. 628 с.

10. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук/ В.Ф. Волкодавов // Казань, 1969.

11. Волкодавов, В. Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев // Учеб. пособие. Куйбышев, 1984. 80 с.

12. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов // М.: Наука, 1977. 640 с.

13. Денисова, 3. Г. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения signy\y\muxx + иуу = 0 в неограниченной области / З.Г. Денисова // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №1. -С. 170-173.

14. Дснсураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев // Ташкент, 1979. -238 с.

15. Жегалов, В. И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский ун-т, 1980. Вып. 17. - С. 63-73.

16. Жегалов, В. И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. 1982. - №10. - С. 15-18.

17. Каролъ, И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 88, №2. - С. 197-200.

18. Килбас, А. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной / А.А. Килбас, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №5. С. 638644.

19. Коган, М. М. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа / М.М. Коган // Прикл. матем. и мех. 1961. Т. 25, №1. - С. 132-137.

20. Краснов, М. JI. Интегральные уравнения / M.JL Краснов // М.: Наука, 1975. 304 с.

21. Кумыкова, С. К. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / С.К. Кумыкова // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №1. - С. 106-114.

22. Кумыкова, С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения signy\y\muxx + иуу = 0 / С.К. Кумыкова // Дифферент уравнения. 1976. Т. 12, №1. - С. 79-88.

23. Лаврентьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. -Т. 70, №3. - С. 373 - 376.

24. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат // М.:Наука, 1987. -688 с.

25. Лернер, М. Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1999. -Т. 35, №8. С. 1087 - 1093.

26. Макаров, С. И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / С.И. Макаров // Вестник ЛГУ. 1987. Сер. 1, вып. 1. - С. 117-118.

27. Моисеев, Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №1. С. 99-103.

28. Моисеев, Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №1. - С. 110-121.

29. Нахушев, А. М. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, №1. - С. 44-59.

30. Нахушев, А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / A.M. Нахушев // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, №4. С. 736-739.

31. Нахушев, А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №1. С. 100-111.

32. Нахушев, A. М. К теоррш вырождающихся гиперболических уравнений / A.M. Нахушев // Сообщения АН Груз. ССР. 1975. Т. 77.

33. Нахушев, A. М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1643-1649.

34. Нахушев, А. М. О нелинейных обобщениях закона Бугера-Ламберта-Бера о теоретическом эффекте локализации особенности градиента концентрации молекул в поглощающей среде / A.M. Нахушев, А.Ю. Беккиев // Нальчик, НИИ ПМА, Препринт №2, 1992.

35. Нахушев, A. М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка / A.M. Нахушев // Нальчик: Эльбрус, 1992. 155 с.

36. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев // М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

37. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / A.M. Нахушев // Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. 2000. - 299 с.

38. Нахушева, 3. А. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / 3.А. Нахушева // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конференции. Ч. 3. - Самара. - 2004. -С. 165-167.

39. Плещинский, Н. Б. К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений / Н.Б. Плещинский // Тр. семинара по краевым задачам, вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1979. - С. 112-125.

40. Полянин, Ф.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -608 с.

41. Пулъкина, JI. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Математические заметки. 1992. Т. 51. №3. - С. 91-96.

42. Пулькина, JI. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Математические заметки. 2003. - Т. 74. - В. 3. - С. 435-445.

43. Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О.А. Репин // Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1992. 160 с.

44. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа / О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 23. т. С. 173-176.

45. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / О.А. Репин // ДАН (Россия). 1994. - Т. 335, №3. - С. 295-296.

46. Репин, О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. -Т. 32, №4. - С. 565567.

47. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / О.А. Репин, Т.В. Шувалова // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44. - №6. - С. 848-851.

48. Репин, О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения / О.А. Репин // Дифференц. уравнения, 1998. - Т. 34, Ш. - С. 110-113.

49. Сабитов, К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина / К.Б. Сабитов // ДАН (Россия). 1994. - Т. 335, №4. - С. 430432.

50. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Салахитдинов // Ташкент, 1974. 154 с.

51. Самко, С. Г. Интегралы и призводные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Ма-ричев // Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

52. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов // М.: Наука, 1966. 292 с.

53. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа./ М.М. Смирнов // М.: Наука, 1970. 295 с.

54. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа /М.М. Смирнов // М.: Высш. шк., 1985. 304 с.

55. Смирнов, М. М. Краевая задача типа задачи Бицадзе- Самарского для одного уравнения смешанного типа второго рода / М.М. Смирнов // Дифференц. уравнения с частными производными. Л. - 1988. - С. 64-72.

56. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа./ Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1947. 192 с.

57. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных/ Ф. Трикоми // М.: ИЛЛ, 1957. 443 с.

58. Франклъ, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Фраикль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. №2. С. 121-142.

59. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль // М.: Наука, 1973. 711 с.

60. Хайруллин, Р. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае неограниченной области / Р.С. Хайруллин // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, №11. - С. 2010-2017.

61. Чаплыгин, С. А. О газовых струях / С.А. Чаплыгин // М.-Л.: ГИТА, 1949. 144 с.

62. Agmon, S. A maximum principe for a class of hyperbolic equation and applications to mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon,

63. Nirenberg, M. Prottcr j j Communs pure and Appl. Math. 1953. Vol. 4. P. 455-470.

64. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux imites pour une equation lineaire aux derives particielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt // These, Uppsala, 1935.

65. Gellerstedt, S. Sur une equation lineaire aux derives particielles de type mixte / S. Gellerstedt // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25A.29. P. 1-23.

66. Love, E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions / E.R. Love // Proc. Edinbourgh Math. Soc. 1967. -Vol. 15, №3. - P. 169-198.

67. Manwell, A. R. The Tricomi equation with applications to the theory of plane transonic frow. res / A.R. Manwell // Notes Math.1979. №75. 185 p.

68. McBride, A. C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalized functions / A.C. McBride // Proc. Edinbourgh Math. Soc. 1975. - Vol. 19, №3. - P. 265-285.

69. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. Vol. 11, №2. - P. 135-143.

70. Saigo, M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M.Saigo // Math. Japan. 1979. - Vol. 24, №4. - P. 377-385.

71. Saigo, M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals derivatives / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ.1980. Vol. 12, №2. - P. 55-62.

72. Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94. - Singapore, 1995. P. 282-293.

73. Saigo, M. On a non local boundary value problem for an equation of parabolic-hyperbolic type / M. Saigo, O.A. Repin, A. A. Kilbas // International Journal of Mathemat. And Statistical. 1996. - Vol. 5, №1. - P. 104-117.

74. Репин, О. А. О некоторых краевых задачах для уравнения Бицадзе-Лыкова / О.А. Репин, И.А. Кузнецова // Современные методы физико-математических наук: Тр. международной конференции (9-14 окт. 2006 г., Орел). Т. 1. / Орел: Изд-во ОГУ, 2006. - С. 100-104.

75. Кузнецова, И. А. Краевая задача для уравнения Геллерстед-та с операторами М. Сайго на характеристиках / И.А. Кузнецова // Вестник Самарск. гос. тех. ун-та. Сер. физ.-матем. науки. №43 / Самарск. гос. тех. ун-т. Самара, 2006. - С. 19-24.

76. Кузнецова, И. А. О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения влагопереноса / И.А. Кузнецова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики : Материалы V Школы молодых ученых / Нальчик -Эльбрус, 2007. С. 82-84.

77. Кузнецова, И. А. Задача со смещением для уравнения смешанного типа / И.А. Кузнецова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2007. - Т. 9, №2. -С. 44-48.

78. Кузнецова, И. А. О разрешимости в явном виде одной нелокальной задачи / И.А. Кузнецова // Материалы междунар. научной конференции им. М. Кравчука (Киев, 15-17 мая 2008 г.).- К.: ТОВ "Задруга", 2008. С. 222.

79. Кузнецова, И. А. Об обобщенной задаче Трикоми / И.А. Кузнецова, О.А. Репин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы : Тр. междунар. конференции (24-28 июня 2008 г., г. Стерлитамак) / Уфа : Гилем, 2008. Т. III. - С. 226-230.

80. Кузнецова, И. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения Геллерстедта / И. А. Кузнецова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. №6(65).- 2008. С. 105-111.