Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СБо^ллс

Балкизов Жираслан Анатольевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005556651

11 ДЕК 2014

Ростов-на-Дону - 2014

005556651

Работа выполнена в отделе Уравнений смешанного типа Федерального государственного бюджетного научного учреждения Институт прикладной математики и автоматизации, г. Нальчик

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Нахушев Адам Маремович

Официальные оппоненты:

Репин Олег Александрович

доктор фичико-мн.тематических наук, профессор

ФГБОУ ВПО Самарский государственный экономический университет заведующий кафедрой Математической статистики СамГЭУ, профессор кафедры Прикладная математика и информатика СамГТУ

Моргулис Андрей Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Вычислительной математики и математической физики ФГАОУ ВО Южный федеральный университет

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Казанский (приволжский) Федеральный уннверситет"(г. Казань)

Защита состоится 20 января 2015 г. в 17 ч -00 мин. па заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-па-Допу, ул. Мильчакова, 8-а

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной Научной Библиотеке им. Ю.А. Жданова при ФГАОУ ВО "Южный Федеральный уипвсрситст"(344103, г. Ростов-па-Допу, ул. Р. Зорге, 21 Ж).

Автореферат разослан^ г-

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.2!)

Крякзин В.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основополагающую роль в становлении теории уравнений смешанного типа сыграла монография Ф. Трикоми ''О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа" (1923), вышедшая в 1947 г. в русском переводе Ф.И. Франкля , который обнаружил очень важные приложения задачи Трикоми к теории установившихся смешанных до- и сверхзвуковых течений и привлек внимание математиков и аэродинамиков к разработке этой чрезвычайно интересной и актуальной тематике.

Диссертационная работа посвящена исследованию локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболнческого типа второго н третьего порядков, которые находят применение при построении различных математических моделей процессов тепло и массообмена в капиллярно-пористых средах.

Актуальность темы диссертационной работы подтверждают и многочисленные публикации по теории краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа второго и т]>етьего порядков, среди которых следует отметить работы Т.Д. Джураева. В.А. Елеева, В.И. Жегалова, НЛО. Капустина. A.M. Нахушсва, В.Л. Нахушевой. A.B. Псху, O.A. Репина, К.Б. Сабитова.

Работа выполнена в рамках темы "Нелокальные дифференциальные уравнения смешанного типа и их применение к динамическим системам" отдела Уравнений сметанного типа ИПМА (№ гос. регистрации 01201361965).

Цель работы. Цель диссертационной работы состоит в исследовании на однозначную разрешимость локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием следующих методов: метод Трикоми; метод априорных оценок; принцип экстремума; методы теории дробного исчисления; метод функции Грина; метод интегральных уравнении.

Научная новизна. В работе исследован ряд свойств решений основных локальных н нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков в различных областях.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Имеющими существенное значение в области теории дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа результатами работы являются:

1. Теорема существования и единственности решения аналога задачи Три-коми для общего уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.

2. Теоремы единственности решения аналога задачи Трнкоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.

3. Теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трнкоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка.

4. Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения параболо-гиперболического тина второго порядка в характеристическом шестиугольнике.

5. Теорема об априорной оценке решения первой краевой задачи для класса уравнений н частных производных смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.

6. Теоремы существования и единственности решений локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка, когда относительно коэффициентов гиперболического уравнения выполнены условия Геллсрстсдта.

7. Теоремы существования и единственности решения локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа, третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты имеют теоретическую ценность. Ее результаты могут быть использованы при постановке и исследовании различных локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа. Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании различных процессов тепло и массообмена в капиллярно -пористых средах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики ИПМА (научный руководитель

семинара: д.ф.-м.н.. профессор A.M. Нахушев); на заседаниях семинара по математической физике и вычислительной математике Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова (руководитель семинара: д.ф.-м.н., профессор М.Х. Шхануков-Лафишсв); на второй Международной конференции "Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения " (Махачкала. 2005 г.); на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования " (Владикавказ, 2007 г.); на V, VI, VIII Школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик, Эльбрус, Хабез, 2007, 2008, 2010 гг.); на I Всероссийской конференции молодых ученых ''Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа, и информатики" (Терскол, 2010 г.); на II Международном Российско - Абхазском симпозиуме Сравнения смешанного тина, родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик, 2011 г.); на II Международном Российско Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Эльбрус, 2012 г.): на II Международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики" (Эльбрус-Терскол, 2012 г.); на IV Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик Терскол, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах. Из них работы [7], [8¡, [9], [11], [13], [17], [21], [22] опубликованы в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ для опубликования основных научных результатов на соискание ученых степеней доктора п кандидата наук.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 11 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 98 наименований, и изложена на 150 страницах.

Основное содержание работы

Во введении дастся краткий обзор литературы по вопросам, связанным О iipüw,'itrMUH yiJUbSíCtiiiü смешешпшо ll<j¡jmiujiu-i aíii:yinjjiíi4t;<:rjn u пша n показана актуальность темы исследовании.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, рассматриваются краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

второго порядка с характеристической и нехарактеристичсской линией изменения типа.

В §1.1 рассматривается уравнение параболо-гиперболического тина с характеристической линией изменения типа

Н{у)Ьхи + Н{-у)Ь2и = 0, (1)

где Н (у) функция Хевисайда;

Ьги = ихх - иу + а,! (х, у) их + а0(х, у)и,

= |уГ ихх - ию + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и.

Уравнение (1) рассматривается в конечной области П, ограниченной при у > 0 отрезками АА0, А0В0, В0В прямых 1 = 0, у = к, х - 1 соответственно. и характеристиками — АС и <у2 = ВС уравнения (1) при у < 0, выходящими из точек А = (0, 0) и В = (1, 0) и пересекающимися в точке С{ 1/2, ус), ус < 0 . Пусть 01 = П П {у > 0} , П2 = ^ Л {у < 0} параболическая и гиперболическая части области Г2 = Л] и и /, где I интервал А В прямой у = 0.

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что Щ),сц € 6 С (Пх) , а, Ь. с С С1 (Й2) и выполняются условия Лгмона-Пиренберга-Проттера.

Задача 1.1.1. Найти регулярное в области П решение и = и{х,у) уравнения (1), непрерывное, в Й, удовлетворяющее краевым условиям

и(0,з/) = 1р1(у),и(1,у) = <р2(у), 0 <у< /г, и\АС=-ф(х), 0<х< 1/2.

В задаче 1.1.1 предполагается, что ¡Р1 (у), (р2 (у) 6 С [0, Л], у1' (х) е е С4 [0,1/2], причем (0) = ^ (0).

Единственность решения задачи 1.1.1 доказана с использованием прин-пипа экстремума, а существование методом априорных оценок.

В §1.2 рассматривается уравнение

к(у)ихх + Ущи + а(х, у)их + Ь(х. у)иу + с(х, у)и = /(.г\ у) (2)

с коэффициентом к{у) < 0 при у < 0 и равным пулю при у > 0.

Пусть Г2 конечная односвязная область евклидовой плоскости точек, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана а с концами в точках

А = (0. 0). В = (г, 0), лежащей в верхней полуплоскости у > 0, и характеристиками о"! = АС и <72 = СВ уравнения (2), выходящими из точки С = (г/2, ус). ус < 0; ili и П2 - параболическая и гиперболическая части смешанной области il = fij U U Jr , где Jr = {(x, 0) : 0 < x < r] ; k(y)ec[yc,0]nc' M; ах,ЬуеС(Щ, ceC1 (Щ, f а С (pi) ,i = 1,2. Предполагается, что er -- AAq U Ло-йц U BaB, где AA0 = {z : x = 0,

0 < У < ya), BB0 = {г::с = г,0<г/< у0}, A0B0 = {z : у = ф), <S{x) < 0,0 < < r, ip(0) = y0: ф) = if}.

Задача 1.2.1. Найти функцию u(z) = и(х,у) из класса С (ii)nC1 (П) П ПС2 (Пг), удовлетворяющую уравнению (2) в областях П^, ¿ = 1,2 икр а-е.вому условию

и (z) = 0 V с € ДА, и А0В0 и (ТХ.

Основным результатом §1.2 является

Лемма 1.2.1. Пусть коэффициенты оператора lu — a(z)« + ß(z)ux+ +7{z)uy таковы, что: а 6 С (Ö)nC2 (fy), 0 е С (П)ПС1 (П.). 7 6 С1 (il) ,

1 — 1,2 . Тогда для любой функции il G С1 (il) П С2 (П,) справедливо равенство:

2 (h,,Lu)0 = Jamu2dn+ j Q (и,, и,,) dü + J (0x„ + yyn) (u„ynf r/,s+ ü h b0A„

+ J [(era + 0c) u2 - ßu2y] dy + j a0u2dy-

DBo «2

- J [S(ab + ~ic--ail) u2 + S{'))ul+-y-k(Q)ul]dx-

AB

~J(ß + TV^fc) (v^feu, + Uyfdy - Q(r, 0) у/-Щ)и\т, 0),

"l

где Q(ux.uy) = аци2 + 2fl-i2UIuJ, + «22^; «uo, «lb <212, 0-22-. o-o въцшжаются через коэффициенты a(z),b(z), c{z) уравнения (2); 5(Ф) = Ф ! (х) — (х); Ф±(х) = lim Ф(х,у); п — {хп,уп) единичная внешняя нормаль к границе

у->± о

dfl области fi; ds - элемент длины дуги. В §1 3 рассматривается vpai;::c::::c

ихх - k (х) иуу + а (х, у) их + Ь (х, у) uv + с (х, у) и = / (г, у) (3)

с коэффициентом к (х) — Н (х2 ~ гх).

Уравнение (3) рассматривается в области 9., ограниченной характеристическим шестиугольником с вершинами в точках С\ = (—Уо/2, Уо/2),

А = (0,0), В = (г,0), С2 = (г + уо/2,уо/2), В0 = (г,у0), А0 = (0,уо), причем АВ = {(х, 0), 0 < х < г} ; ВСг = {(аг, у): х-у = г,0<у< у0/2}; С2В0 = {(.х, у) : х + у = г + уо, у0/2 <у< у0} ; Л0В0 = {(я,у0), 0 < ж < г} : АА = {(х;у) : у-х = у0: уо/2 < у < у0}; ЛСа = {(*,у) : ж + У = 0; 0 < у < уо/2}; ВД> = {(г, у), 0 < у < у0}; ЛЛ0 = {(0,у), 0 < у < уо}; П) и П3 внутренние части треугольников ЛЛ(А и ВВ0С2, соответственно; П2 = {(ас, У) : 0 < х < г, 0 < у < у0} .

Относительно коэффициентов а(г). Ь(г),с(г) уравнения (3) и его правой части /(л) предполагается, что они обладают свойствами

а,. Ьу € С ( Й) . с еС'(а),/еС( Й,-) , г = ТТЗ.

Задача 1.3.1. Найти функцию и = и(х,у) 6 С (О) П С1 (П) П С2(П;)> удовлетворяющую уравнению (3) в областях П,-. г = 1.3 м краевому условию

V г € С, Ли ЛВиВСо.

Здесь доказана следующая

Лемма 1.3.1.Пусть коэффициенты оператора 1и = а(г)и + Р(г)их+ +7(г)ы„ таковы, что: а £ С ( П) П С2 (П;); в. 7 € С1 (, г = ГЗ. 7ЬгЛг Лад любой функции и € С1 ( П) П С2 ( Я,) справедливо равенство:

2(1и,Ьи)й = Jaa)U2dtt + J Q(ux,ulJ)dQ+ ^ 51 (а* - «в - 0с) и2йу~

п п ааа

- У ^(¿¡К + 2^1(7)«!^ - Ит (/3)и2| ¿у+ ^ (а, - сю - 0с) иЧу-

Л Л о ВВц

- I Б2{Р)и1 + 252(7К% ~ йУ~ / а0«2йх+

вв„ аес,

+ J (0 + 7) (и* + и,,)2 Лт + j ахи2йх+ J (у - ¡3){их - иу)2 йх+ А„С, с,в, с,в0

I [7г12-(аЕ) + 7с)и2]1/х-а(Ло)«2(Ло)-а(Бо)и2(Во), (4)

+ Во.4о

где aoo,ao,ai выражаются через заданные коэффициенты a(z), b(z), c(z) уравнения (3); St (Ф) = йшц [Ф(х, у) - Ф {-х, у)];

S2 (Ф) = lim Ф (х, у) - lim Ф (х, у).

г—»г-hO х—*т—О

Через К обозначим конъюнкцию условий А3, j = 1,10, при которых все слагаемые в правой части равенства (4). будут неотрицательными.

Обозначим, далее, через Di, В2 , ..., Bq условия, при выполнении которых будут иметь место соответствующие равенства:

и \аа0 = 0; и Ц0с, = 0; и |ад = 0; и |воСг = 0; их \ААо = 0; их |Вв0 = 0, а через Сп, п— 1,9 обозначим следующие включения Ci = П\ Л Вл- С-2 = ßi Л Вц-. C-t = Ь1! Л ß,ü С4 = ß2 А -Вз; с-, = £•> Л в,: Q, = В2 Л В6: С7 - B-i Л Я5; Cs = ß4 Л By. Сэ = В5 Л В<:. Справедлива

Теорема 1.3.1. Пусть в уравнении (Я) коэффициенты a(z).b(z). c(z) таковы, что: 1) в области П2 коэффициент c(z) < 0; 2) о окрестности, отрезка А0В0 (т.е. дм у0 - е < у < у0, £ > 0 ) коэффициент b(z) < 0. Тогда, если относительно компонент a(z),ß{z),-)'(z) оператора 1и выполнено условие К и одно из условий Сп, п = 1.9, то решение исслсдуемой задачи 1.3.1 будет единственным в требуемом классе. В §1.4 рассматривается уравнение

Lu = иуу - Н(-у)ихх + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = /(г), (5)

где a(z),b(z),c(z),/(z) являются заданными действительными функциями переменной г = (х, у).

Уравнение (5) рассматривается в области 9., ограниченной отрезками ААо, ВВ0 прямых х = 0, х = г и некоторой кусочно-гладкой монотонно убывающей кривой у = ip[x) с концами в точках А0 = (0, j/°), В0 ~ (г,у0), лежащей в верхней полуплоскости у > 0, а при у < 0 область Г! ограничена двумя пересекающимися кривыми: монотонно убывающей гладкой кривой

4 I \ - I _ о А (Г\ ........

О j — /io . у = '[¡{¿.j , и ^ X ь , БЫлОджЦСИ ко ii>-ij\W yi — Of ü inünu-

тонпо возрастающей гладкой кривой о2 = СВ : у = 72 (х), I < х < г, соединяющей точки В = (г,0) и С = (1,72(0); 7i(0) = 0, 72(г) = 0, 71 (0 = 7г(0 < 0; С — (i,7i(0) точка пересечения кривых 0\ = АС и

а2 = СБ; П] и ilj - параболическая и гиперболическая части смешанной области П = fii U П2 U JT , где Jr = {(.г, 0) : 0 < х < г} ; f(z) € С ;

a{z),ax(z),bu{z)eC(Ût)- b{z)eC{Ù)- г = 1,2. (6)

С оператором L свяжем однопараметрическое семейство операторов , fj, < 0 , по формуле

L^v = vy,j - H(—y)vxx + (1ц(г)ух + b(z)vy 4- с,,(,г)и, (7)

где afl(z) = a(z) - 2цН(-у), cfl(z) = c(z) + a(z)/i-H(-y)ij? . Очевидно, что если

«(г) = v(z)exp(fj.x), (8)

то Lu = exp(/i,x)L/tu .

Задача 1.4.1. Найти функцию v(z) = v(x,y) из класса С (П)пС'1 (Q) П Г)С2 (П,;), удовлетворяющую уравнению (7) в областях ilt. г = 1, 2 и краевым условиям

vx(z) =0 V г € ffi; v{z) =0 V г е А()Б0 U BBt, U аг. Имеет место

Теорема 1.4.1. Пусть коэффициенты a(z),b(z),c(z) уравнения (5) обладают свойствами (6) и, -кроме того, a{z) > 0 V г S fti. Пусть, далее, кривая <72 = СБ : у — 72 (ж) 6 С1 [/. г] такова, что выполнено условие 0 < 7г(а0 <1 V х € CS . Тогда для решения задачи 1.4-1 справедливо энергетическое неравенство

N^CjIMo, (9)

где функция v = v(z) связана с решением и = u{z) задачи 1.4.1 по формуле (8), а С1 положительная постоянная, независящая от z .

Из теоремы 1.4.1 заключаем, что если u(z) регулярное решение уравнения (5) в области il из класса С1 ( il) с правой частью /(г) е Ь2(П). удовлетворяющее краевому условию

u(z) = 0 V г 6 AqBq U БД» U ВС: ux{z) = 0 V 2 € <ть то оценка (9) принимает следующий вид

J [(и, - fiuf +и2у + и2] dO, < Ci ||/(г) II2 . (Ю)

п

Из априорной оценки (10) следует единственность регулярного решения задачи 1.-1.1 и существование слабого решения сопряженной задачи.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассматриваются краевые задачи для уравнений параболо - гиперболического типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.

В §2.1 уравнение

0 = [ Ып -иуу, тп > 0, у < 0, ^

у > 0,

рассматривается в области Я, ограниченной при у > 0 отрезками AqBo, BqB прямых х = 0, у = /(, х — 1 соответственно, а также характеристиками о\ = АС и ai = С В уравнения (11) при у < 0, выходящими из точек А —• (0,0) и В = (1,0), пересекающимися в точке С .

Задача 2.1.1. Найти функцию и = и(х,у) из класса и € С(П)П ПС1 (П U ААо) П С2 (íh), «ш, Щ е C(íli), удовлетворяющую уравнению (И) в , П2 и краевым условиям

"(0.y)=Vi(!/), "Л0.у) = 'лЫ, u{l,y)='My). 0<у<Л, (12)

«Uc=V(z), 0<аг<1/2, (13)

где <P\(y),^Pi{y),'-Pi{y) заданные непрерывны функции, ф(х) заданная, непрерывная вместе со своей второй производной функция, причем выполнено условие согласования y?i(0) = Ф(0).

Доказано, что задача 2.1.1 имеет, и притом единственное решение. В §2.2 рассматривается уравнение

0 _ I 1уГ - uw> т - cmst > 0 у < (14)

иххх + а2(г)ихх + <11(г)их + а0(г)и. у > 0,

где ао(г), а^г) и а2(г) заданные функции переменной г — (х., у).

Для уравнения (14) в области П, рассмотренной в §2.1 исследуется следующая

Задача 2.2.1. Найти регулярное в области П решение и = и(х,у) уравнения (Ц), удовлетворяющее граничным условиям

и(0,у) = (¿>1 (у), мт(0.у) = иТТ(1,у) - ¡3(у)и(1.у) = Ыи)- 0 <у< к,

и условию (13) па ха]актеристикс АС, где срх(у), <р2(у)-. Ч?з{у) заданные функции из класса С [0, к]; ф{х) заданная функция из С2 [0,1/2], причем <Р1{0) = 0(0).

Доказана следующая

Теорема2.2.1. Пусть коэффициенты ао(г), а^г), «2(2) уравнения (14) таковы, что ао(г), а,1Х(г), а2хх(г) & С (^1) и выполнены условия

0-2(2) > 0, Уг = (.т,!/)€Й1; й2хх(г) — ахх(г) + 2а0(г) < О, V х еАВ:

02,(1,1/) ■- 01(1, у) - 2/?(у) > а|(1,у), УуеВВо; 0(0)^2.

Тогда в области П существует единственное решение и(г) = и(х, у) задачи 2.2.1.

Для доказательства единственности решения задачи 2.2.1 применяется метод Трикоми, а существование доказано с использованием метода функции Грина.

В §2.3 в области 52, описанной в §2.1, рассматривается общее уравнение

0 [ Iу\т ихх - иуу + а(г)их + Ь[г)иу + с(г)и, у < 0, ^

- иу + ах(г)иг + ао(г)и, у > О,

и для него исследована задача 2.3.1. которая состоит в отыскании решения аналога задачи Трикоми для уравнения (15), с граничными условиями (12) -(13).

В §2.4 для уравнения (15) в той же области П. что и в §2.1, изучена следующая нелокальная краевая

Задача 2.4.1. Найти регулярное в области П решение и(г) = и(х,у) уравнения (15), непрерывное в И . удовлетворяющее условиям:

и(0. у) - уАу): у) - «х(1, у) = ¥>2(2/): и(1, у) = <рз{у), о < у < /¿.

и условию (13) на характеристике АС.

Единственность решения задач 2.3.1, 2.4-1 доказана, опираясь на принцип максимума для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками, а существование доказано методом интегральных уравнений.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, рассматриваются краевые задачи для уравнений параболо-гииерболического типа третьего порядка с оператором Бицадзс-Лыкова в области гиперболичности. В §3.1 рассматривается уравнение

0 [ У2«хг - иуу + аьх, у < 0, ^^

\ «1X1 - иу, у > О,

где а - действительное число из отрезка а 6 [—1; 1].

Уравнение (16) рассматривается в области , ограниченной при у > О отрезками АА0, Л0Во , В0В прямых х = 0, у — к, х — г соответственно, и двумя характеристиками <тг = АС : у2 = 2х и а2 = С В: у'1 = 2 (г — ж) уравнения (16) при у < 0, выходящими из точек А(0. 0) и В {г, 0) соответственно, и пересекающимися в точке С (г/2, —у/т) ■

Задача 3.1.1, В области П найти решение и(г) = и(х,у) уравнения (16) из класса и{г) € С (П) П С1 (П) П С2 (П2), Щ € С (ПО , Щ € С и ААо и В Во), удовлетворяющее краевым условиям (12) и

и\св=Ф{х), г/2 <х<т,

где <Рг(у), г = 1,3 заданные непрерывные па [0, /г] функции. ф(х) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая на [О.т/2] функция, причем ^з(О) = ¿'(Г) .

Решение задачи 3.1.1 выписано в явном виде. В §3.2 в области П., описанной в §3.1, рассматривается уравнение

0 [ У2иХ1 - чт + аих, у < 0; ^

| иххх - Чу + Ьих, у > 0,

где а и Ь - заданные действительные числа, причем |а| < 1 и для нее доказана однозначная разрешимость следующей задачи.

Задача 3.2.1. В области П найти решение и(г) = и(х,у) уравнения (17) из класса и{г) бС(0)п С1 (П) П С2 (П2), их хх, иу € С (ПО, их 6 С и ААо), удовлетворяющее краевым условиям (12) (13), где №(у)) ¿=1,3 - заданные непрерывные на [0, /г] функции. ф(х) заданная дважды непрерывно дифференцируемая на [0, т/2] функция, причем.

<рЛ 0) = <К0).

В §3.3 в области П из §3.1 для уравнения (17) изучается следующая Задача 3.3.1. В области П найти регулярное решение и = и(х,у) уравнения (17), удовлетворяющее условиям

«и(0, у) + а(у)и(0, у) = 1р\ (у), ихх(г, у) + 0{у)и(г, у) = ^{у),

их(0,у) = <Рз{у), 0 <у<К

и условию (13) на характеристике АС .

Предполагается, что а(у), в(у), &(у), ¿ = 1.3 являются заданными непрерывными на [0, /г] функциями, ф(х) - заданная дважды непрерывно

дифференцируемая на [0, г/2] функция, причем -ихх 6 C(S2¡ U ЛЛо U BBq)

и функция и(х) = lim иу(х. у) может обращаться в бесконечность порядка у->о

ниже единицы при х —► 0 н при х —» г .

Доказана

Теорема 3.3.1. Пусть коэффициенты Ь, а(у), ß(y) задачи 3.3.1 таковы, что

2a{y)<b<2ß(y), V у е [0,А].

Тогда суы,ествует единственное решение u{z) = и(х,у) задачи 3.3.1.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Автор выражает глубокую благодарность академику АМЛН, доктору физико-математических наук, профессору Адаму Маремовичу Нахушеву за внимание и поддержку при подготовке научных работ.

Публикации автора по теме диссертации

1. Балммон Ж.Л. Одна кривил» задача для смешанного ураянетшя iрстыто порядка с кратными харак теристиками. ' Вестник КБГУ. Серия математические пауки. Выпуск 4. 2004. С. 34 39.

2. Балкизоа Ж. А. Нелокальная краевая задача ;шя уравнения ('.метанного типа третьего порядка с; оператором 'Грикоми в гиперболической чаегги// Материалы второй Международной научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Махачкала. 2005. С. 70 - 73.

3. Балкшиш Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка е кратными характеристиками// Труды 3-й Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3. Самара: СамГТУ, 2006. С. 57 - 62.

4. Балкипов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Труды 2-го Международного форума 7-й Международной конференции молодых ученых и студентов) "Актуальные щюблемы современной науки". IícTeeTKeimbie науки. Часть 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: Издательство СамГТУ 2000. С. 24 - 27.

5. Ба.пкизов Ж. А. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Материалы Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". Владикавказ. 2007. С. 100 105

G. Балкизов Ж. А. Локальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Материалы V школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус. 2007. С. 19 - 23.

7. Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трпкоми в гиперболической части// Всстпик Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2008. №2(19). С. 2 - 9.

8. Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2008. .\'!4(24). С. 65 - 73.

9. Бгыкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Гсллсрстедта в гиперболически!! части// Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2011. .\"Г>(19). С. 7 14.

10. Балкизов Ж.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами,// Материалы II Международного Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик. 2011. С. 40 - 41.

11. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с сингулярным оператором в гиперболической части// Вестник Дагестанского государственного университета. 2011. Выпуск б. С. 81 - 86.

12. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками// Материалы Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения". Белгород. 2011. С. 22 - 23.

13. Балкизов Ж.А. Краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Гсллсрстедта в гиперболической части// Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. 2011. .N''2. С. 21 - 34.

14. Балкизов Ж.А. Общая краевая задача для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами// Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. 2012. У'-2. С. 89 - 94.

15. Балкизов Ж.А. О единственности решения задачи Трпкоми для уравнения смешанного гиперболо параболического типа второго порядка//' Материалы научной конференции "Актуальные научные достижения". Прага (Чехия). 2012. С. 7 - 8.

16. Балкизов Ж.А. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гнпсрболнчсского типа// Уральский научный всстипк. 2012. >7(43). С. 72 - 78.

17. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка с разрывными коэффициентами// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т.14, №2. С. 14 - 21.

18. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами// Материалы II Международного Российско - Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные щаоблкмм анализа и информатики". Эльбрус. 2012. С. 69 - 70.

19. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка с разрывными коэффициентами// Материалы II Международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Эльбрус-Терскол. 2012. С. 42 - 45.

20. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для уравнения смешанного гнперболо-параболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами// Материалы IV

Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-Терскол. 2013. С. 64 - 66.

21. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2013. Т.15, №2. С. 28 - 35.

22. Балкизов Ж.А. Аналог задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболи-ческого типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2014. Т. 16, №2. С. 20 - 27.

23. Балкизов Ж. А. Нелокальная краевая задача для модельного уравнения парабо-ло-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности// Материалы Международной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций", посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Жегалова. 2014. С. 105 - 108.

Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков

Напечатало с готового оригинал-макета. Формат 30 х 42. 1/4. Усл. печ.л. 1. Бумага офсетная. Подписано в печать 15.11.2014 г. Заказ №101. Тираж 100 экз. ЧП "Полиграфия". Лицензия №15 от 22.01.03г. КБР, г.Нальчик, ул. Чернышевского, 131.