Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ФИКСИРОВАННЫМИ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

§ I, Аналог задачи Геллерстедта для смешанного параболо-гиперболического уравнения.

§ 2, Аналог задачи Геллерстедта для уравнения

I.I) с общими условиями склеивания • • • •

§ 3, Нелокальная задача типа задачи Бицадзе - Самарского для парнболо-гиперболического уравнения.

ГЛАВА 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

§ I. Аналог задачи Стефана для смешанного пара-боло-гиперболического уравнения с двумя непересекающимися линиями изменения типа.

§ 2. Существование и единственность решения задачи

§ 3. Аналог задачи Стефана для смешанного пара-боло-гиперболического уравнения с негладкой линией изменения типа

Теория уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми [I] , А.В.Бицадзе [2] ,[3] , С.Геллерстедта [4] , Ф.И.Франкля [б] , К.И.Бабенко [б] •

В математической литературе имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных математиков, в которых исследуются основные смешанные краевые задачи и ставятся новые корректные задачи для смешанных эллиптико-гиперболических, параболо-гиперболических и других уравнений (см»,например, Л.Берса [7] , М.М.Смирнова [8] , М.С.Салахитдинова [9] , Т.Д.Джураева [Ю] , А.М.Нахушева [II] ).

В последние годы уделяется большое внимание изучению краевых задач для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения.с.одной или с двумя линиями вырождения. Например, Нахушев А.М. в работах [12], [13] исследовал краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений с двумя непересекающимися. линиями параболического вырождения, а в.работах Зай-нулабидоваМ.М. [14], Монова Б.Т. [15] , Салахитдинова М.С., Талипова А. [16] , Салахитдинова М.С., Уринова А.К. [17] изучены краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений с двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Как известно, некоторые задачи тепло-массопереноса см. [18] ), газо-гидродинамики или же задачи определения напряженности электрического (магнитного) полей в области, заполненной вещественной средой с малой проводимостью [19] сводятся к решению краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов.

В изучении процессов тепло-переноса учитывается тот факт, что при умеренных градиентах температуры тепло-перенос описывается уравнением теплопроводности, а при высоких градиентах температуры гиперболическим уравнением, кроме того образуется подвижная линия раздела при переходе которой тип уравнения меняется.

В настоящее время имеется ряд работ, в которых для таких уравнений ставятся и исследуются различные краевые задачи с одной фиксированной линией изменения типа.

ЛД.Золина [19] изучила аналог задачи Трикоми для уравнения i-Sgny i + ьдпу г- *«» - Чг1- =0 (1) в области Ю » ограниченной снизу при у ^ 0 характеристиками уравнения (I) АС - х + у = о ; 8С : х- у - I ; с боков непрерывными кривыми А А 0 7 В В0 и сверху ( у > о) А0 В0 прямой параллельной оси х с краевыми условиями

1ас = 04 ** I

Ею же изучены некоторые обобщения задачи Трикоми для уравнения (I). Для других уравнений смешанного параболо-гипер-болического типа задача Трикоми и ее обобщения с одной линией изменения типа изучены в работах Х.Г.Бжихатлова, А.М. Нахушева [20] , 0. А .Ладыженской, Л.Ступялись [21] , Т.Д. Джураева, А.Сопуева [22] , В.А.Елеева [23] и других авторов.

Б связи с прикладной важностью задачи со свободной границей исследованы многими авторами как у нас в стране, так и за рубежом. Фундаментальные результаты по этой области получены в работах А.Фридмана [24] , С.Н.Кружкова [25], Л.И.Рубинштейна [26] , С.Н.Кружкова, С.Якубова [27] и др. .

В последние года появились работы, где рассматриваются краевые задачи типа задачи Стефана для смешанного пара-боло-гиперболического уравнения (см* например, [28] ).

Следует отметить, что краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений с двумя линиями изменения типа мало изучены, тем не менее при изучении движения многофазных сред и других физических процессов часто приходим к краевым задачам для таких уравнений.

Настоящая работа посвящена постановке и исследованию некоторых краевых задач для смешанных параболо-гицерболи-ческих уравнений с двумя фиксированными и со свободными (неизвестными) линиями изменения типа.

Диссертация состоит из двух глав и шести параграфов. В первой главе рассматриваются уравнения

2) им+аз(ХЛ]1V^*^' *<0;Ц>0 в области 5) ограниченной отрезками BBQ 7 60Д о прямых x = i^tj-i и характеристиками А 0С0 : у-и =•

СС0: x+j - о j С6 : x-g = 1 пересекающимися в точках

Со("Г 7 i) ; С (i 7 "X ) • Пусть

2)1 = Лп(х>о , у >о) ; = 5) л ( a^ >о, о) ^

О < ОС, < 1 ?

1 J .

Для уравнения (2) изучены следующие задачи

Задача Г± Найти непрерывную в замкнутой, области <$5 функцию Lt(oi^) со следующими свойствами:

1. Функция является решением уравнения (2) в области S) • ( i- = ij i )

2. на линиях J. С 1 = выполняются условия склей-вания

UO,4о) ~ nC^-o) } о < ca < i O) = LL^CXj-O)^ О < CC. С 1 ^ чС-о^) 7 1 7 I, o<yc 1 .

3. удовлетворяет краевым условиям

-|вв = W , (3) aLflc0-V3); , (5) здесь if ; г)/. (I = 4; I) заданные непрерывно дифференцируемые функции, а яр.1 удовлетворяет условию Гельдера соответственно на отрезках [о; ] ; [ ^ 7 1 ] .

Если выполняются следующие условия а) : удовлетворяет условию Гельдера, причем (^(1,9) < о ; aL ; 6. , с. е t) з б)

- 8 a3~ h Ъ 0 у С3 ^ 0 7 то решение задачи Р4 имеет не более одного решения.

Доказательство этого утверждения устанавливается с помощью принципов экстремума для параболических и гиперболических уравнений.

Доказательство существования решения задачи Г± проводится методом интегральных уравнений.

Во втором параграфе первой главы задача Г± обобщается в следующей постановке

Задача . Найти функцию при следующих требованиях: п Ci(Z>JLu3i) П С1(&3ийл)

2. функция иЫуу) является решением уравнения (2) в области 5); ( l= ) }

3. на отрезках 3. С l=i;a) выполняются условия склейу вания

L (*,+о) = Ид(тго) + m1(a!)u.(a:roJ+n1C®) ; V»J V-0^») + >)+ Ь 8е , где ^.(i) ; m.(t) , и. (4) ( l = i, d) ; о < * < i

- заданные функции, причем L. (4 J ф о ( l- ±,л)

V / l.JLt) <s C\ 5. ) ; /t(tJ 0 , V t 6 , t^JeC^b^uV), VA6 Сл(5.) ;

4, на границах области $ удовлетворяет краевым условиям (3) - (5).

От заданных функций потребуем выполнения одного из следующих случаев: а) ( М*,9><0 ; Vi >° ;

I т. ъ о } i = ijA* у <j) ( = о 7 Ml >0 7

Единственность решения задачи TioC доказывается с помощью принципов максимума для параболических и гиперболических уравнений, а существование решения задачи доказано методом интегральных уравнений.

В третьем параграфе первой главы исследована нелокальная краевая задача Г^ типа задачи Бицадзе-Самарского [29] для уравнения (2).

Постановка задачи Г^ точно такая же, как и постановка задачи Г, , но теперь граничные значения искомой функции заданные на характеристиках АС и А0С0 заменяются условиями uUc = ; X**** ,

Кроме того, условие (3) заменяется нелокальным условием и ic=i

O^y^l ? 0<QE1<.,.<XK<.<1, te^b fik^) ) (* = -известные непрерывно дифференцируемые функции.

При исследовании задачи Г^ отдельно изучается случай уравнений с постоянными коэффициентами, которые с помощью элементарных преобразований могут быть приведены к виду Л j при х >0> - i (8)

I- + ci ^ при = поэтому однозначная разрешимость задачи Г^ при постоянных коэффициентах исследована для уравнения (8).

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, исследован аналог задачи Стефана [24] для смешанного парабологиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа В первых двух параграфах для уравнения и-ы при ;

О -А иогъ~ при где криволинейный треугольник, (см. рис.1) t 4

АР: x + t 1

АаР: x-i^S^Tj

-Т0 ;

АН,о) о B(t;o) х.

A Ai : х= &±ct) , 5^0)=-tj

Рис. I

BE: x-t = l- В1Е : x + t = $А(Т0)+Т03

BBj x = SACt) , SA(o) = £ з To,£-C0wt;t>o,To>o)^

- криволинейная трапеция, ограниченная линиями: t - о -7 ос= б^С-t) , t = Т0 ; £>±(-fc) ; здесь x = S1(t)? х = 5Л00 неизвестные функции при переходе которых тип уравнения (9) меняется.

Обозначим Я = и и и (х= S£(t)) v (>= ^(t))

В области Я) рассматривается следующая

Задача Требуется определить функции U-CXj-t)) со следующими свойствами:

1) х = 6 (t) , х = определены и непрерывны при , причем = £>05

2) -1 < SA(-t) so, о £ sA(t) ^ i ;

3) функция Lt(x;t) непрерывна в !) >

- 12

4) , ИХ(5ЛСt)±o,t) непрерывны;

5) U(x,t) удовлетворяет уравнению (9) в каждой из областей ( 1 = 1^3) и условиям -т0-е * х < -е; (ю>

U(6i(-t)^t) = о ; о ^ t ^ Т0 7 (II)

U(6A(t);-fc)= ip(t); ost < Т0 7 да)

U(x, i-e) = i^Cx), U as. < T0 + 5 , (13) li(a,o) = LL0C-x) ; -i < X < I , (14) , (16)

Здесь J^tt), заданные функции, J^("t) непрерывна при о ^-t ^ Т0 ; уи-L(+)>0;

U0(x), ll/. (xj дважды непрерывно дифференцируемые функции при Vt соответственно, a ip(tj непрерывно дифференцируема при о 6 i < Т0 .

Замечание. Замена (II) не нулевым условием (^М >о) особых затруднений не вызывает, кроме вычислительного характера.

Теорема I. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям:

4W< о 7 ч> Ш 40 0 о* t ±Т0 ; ио(т)<о^ (-!)>:< о (и±,л), кроме того, ty. невозрастающая функция, удовлетворяет условию Липши, ца и имеет место где oi-L - решение следующего интегрального уравнения

Тогда решение задачи (9)-(16) существует и единственно.

Доказательство теоремы проводится следующим образом. Пользуясь общим решением уравнения колебания струны и условиями (Ю), (13), (15), (16) разрешимость задачи сводится к аналогу известной задачи Стефана [24] для уравнения теплопроводности, т*е. к задаче (9), (II), (12), (15)--(16), далее данная задача решается в области 0 ^ t ^ Г

J-iW ? да) fl(-t-l) ,

-4)= u0(-t)=o, u0M) = 440) = ^t)

JL.li) + L ч-t

4ъ .

T0 J^ bLd) <. л < s^c-ь) .

I •

0 ± (-1) 6.Ci) < 1 ( I - 1; Л)

В силу условия решение задачи (9),

II), (12), (15)-(16) может быть продолжено до любого наперед заданного Т0 , а в областях и после определения <S±(iJ и решение задачи выписывается в явном виде

Рис* 2

В третьем параграфе второй главы исследована краевая задача с. негладкой линией изменения типа для смешанного параболо-гиперболического уравнения.

Пусть

2) * = { ЫЛ) : о<ъ< 6hCt) ; о < i < Т0 } ? Т0 - eowbi у Ъ^ = { (ос» : -t < х ^ h-t у t < о } }

Ъъ - обозначает полуполосу, ограниченную линиями x + i - h j x-sC-Ь) , oc + i = S(T0) + T0 .

Обозначим 2) = и й h и £ h и 1 иТ и й

1 tL 3 1 Л 3 см.рис.2)^ { (ayfc) : *+t = h , i ; = x= ЬС-t) , Л

X=S (t) - неизвестная функция, причем S(o) = h ^ о . Для уравнения

О

О. - U. хос, t хх it при (cc^tj £ <2)± ; при (т,-Ь) £ Я* и

17) исследуется следующая L

Задача Требуется определить пару функций И(т/Ь) у 6 (i) ) обладающих следующими свойствами:

I. £-£>h(t) определена и непрерывно дифференцируема при О ^ i ^ Т0 з

2* аеС(Э1,); ShCtj] ; h eh

UxeC[^3hUSh(i)] , U eCf^uaj ,

U. e С ( и ) при и»,

- 16 u>(*j-o) = u(ot,+o) при h±o,X6=J±j Ut(x,-o) = il(t,+o) при

3, LLC-Xj-t) удовлетворяет уравнению (17) в области 5)*1 кроме точек линии в • ( 1= л, 7 5) <

4. на границах области SO удовлетворяет условиям f (t) , о - i < Т0 ; (18)

- г|/(т) ^ х ^о ; (19)

U-Oh(t),t) = 0 , 0-i ; (20)

Aft)Ux(5^t)+o^)-/(tJUx(&h(t)-o,t) - №) 6 (t) , (2D

О s t * Т0 , здесь -f(t) , т\г(я), Mt) , {ГС±) 7 oC(i) - заданные функции, причем J.(i) у f(t) , Л(-Ь) б С 1 [о7Т0]

A(tJ>o, oC(t) >0 7 X(t)>0, if^CxJ -ограниченная Функция при х + °° , кроме того f(x) £ СА(х*0) , f(i)6C"(o^i<T0) , {(о) = г{/(о) = о .

Теорема 2. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям:

4(t) ^о при о^ i ^ Т0 , гр'ед^о (x^oj aW^'(o) ^^^(t)^ тогда решение задачи (17)-(21) существует и единственно.

В ходе доказательства теоремы рассматриваются два случая И 70 и И - О .

В случае h > о поставленная задача эквивалентным образом сводится к разрешимости системы нелинейных интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра, затем доказано существование единственной неподвижной точки, которая является решением системы нелинейных интегральных уравнений.

При исследовании задачи (17)-(21) в случае Ь = о необходимо учитывать, что область вырождается, т.е. полученное решение уравнения теплопроводности в начале координат имеет особенность. Поэтому предварительно построены последовательности {Л*)} , |ihK«)} и установлены априорные оценки независящие от Ь . Используя теорему Арцеля [30] доказано существование такой подпоследовательности, когда

Ь = h ^ + О при fc 00 , что

1. { 6h|c J 6(t) равномерно при о ^ t ^ Т0 -7 в при этом 6 Li) >, о 6 (Л) ^ 1 5

2. функции { u^cc^ijJ- сходятся к непрерывному решению U(x,t) уравнения (17) обладающие в области непрерывными частными производными U^ 1 7 .

- 18

Решение задачи в гиперболической части области <£> после определения 5(t) может быть выписано в явном виде.

Результаты работы докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными и математические вопросы механики" Института механики и сейсмостойкости сооружений им. М.Т.Уразйаева АН УзССР (руководитель член-корр. АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В.И.Романовско-го АН УзССР (руководитель академик АН УзССР М.С.Салахитди-нов), на Всесоюзном семинаре - совещании по теории кубатур-ных формул и смежным вопросам (г.Бухара, 1983 г.)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42 - 46] .

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю член-корр. АН УзССР Тухтамура-ду Джураевичу Джураеву за постоянное внимание и ценные советы при выполнении этой работы.

1. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производ-ных. -М.: ИЛ., 1957, 192 с.

2. Бтцадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд. АН СССР, 1959, 164 с.

3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частныхпроизводных. М.:"Наука", 1981, с. 295-402.

4. Gellerstedt S. Arkiv mat. Astr. Och. Fysik 3,1938, В. 26A, p. 1-32.

5. Ф p а н к л ь Ф.И. Избранные труды по газовой динамики.- М.: "Наука", 1973, 712 с.

6. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. УМН УШ, 2(54), 1953, с. 160.

7. Б е р с Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ., 1961, 231 с.

8. М о н о в Б.Т. Об одной краевой задаче для уравнениясмешанного типа в неограниченной области. Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1972, IS 2, с. 26-29.

9. Салахитдинов М.С., ТолиповА.К проблеме уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. В сб. "Краевые задачи для дифференциальных уравнения", 5, Ташкент: "ФАН", 1975, с. 3-18.

10. Салахитдинов М.С., У р и н о в А.К. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения. Докл. АН СССР,1982, Т.262, Я 3, с. 539-541.

11. Л ы к о в А.В. Тепломассообмен. Справочник, М.: Энергия, 1978, 460 с.19. 3 о л и н а Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа. Ж Ш и МФ, 1966, Т.6, В 6, с. 99I-I00I.

12. Бжихатлов Х.Г., Н а х у ш е в A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболи-ческого типа. Докл.АН СССР, 1968,Т.183, Я 2,с.261-264.

13. Ладыженская О.А., Ступялис Л. Об уравнении смешанного типа. "Вестник ЛГУ, сер.мат.,мех. и астр." 1965, T.I9, JR 4, с.38-46.

14. Д ж у р а е в Т.Д., Сопуев А. О краевых задачах дляуравнения смешанного параболо-гиперболического типа. Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1981, JS 4, с.23-27.

15. Е л е е в В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанныхгиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа. Диф. уравнения, 1980, Т.ХУ1, Jt I, с.59-73.

16. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: "Наука", 1968, 427 с.

17. К р у ж к о в С.Н. О некоторых задачах с неизвестнойграницей для уравнений теплопроводности. ПММ,1967, Т.31, вып. 6, с. 1009-1020.

18. Рубинштейн Л.й. Проблема Стефана. Ригазвайгзне 1967, 457 с.

19. Кружков С.Н., Якубов С. О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения теплопроводности и поведения решений при неограниченном возрастании времени. В сб. Динамика сплошной среды, вып. 36, Новосибирск, 1978, с.46-70.

20. X у б и е в Р.Н. Аналог задачи Стефана для гиперболо-параболического уравнения с неизвестными линиями. Диф. уравнения, 1980, Т.16, й I, с. 145-149.

21. Б и ц а д з е А.В., Самарский А.А. О некоторыхпростейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. Докл. АН СССР, 1969, T.I85, Ш 4, с.739-740.

22. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теориифункций и Функционального анализа. М.: "Наука",1976, с.ПО-112.

23. Пулькин С.П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Докл.АН СССР, Т.118, Л I,с.38-41.

24. Б и ц а д з е А.В. Уравнения математической физики. М.:Даука", 1976, 269 с.

25. Ильин А.М., Калашни ков А.С., 0 л е йн и к О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. ЖН, 1962, Т. ХУЛ, вып.З, с.3-146.

26. Тихонов Н.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: "Наука", 1972, 734 с.

27. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.М.: "Наука", 1966, 443 с.

28. К л о к о в Ю.Л. Метод решения предельной краевой задачидля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Мат. сб., 1961, Т.53(95) Ш 2, с.219-232.

29. В е к у а И.Н. Обращение одного интегрального преобразования и его некоторые применения, Сооб^АН ГССР,1945, Т.У1, В 3, с.180-183.

30. Салахитди нов М.С., У р и н о в А.К. 0 некоторых краевых задачах со смещением для уравнения смешанного типа. В сб. "Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления". Ташкент: "ФАН", 1982, с.3-12.

31. Б а б и ч В.М., Капилевич М.Б.,.Линейныеуравнения математической физики. М.; "Нада",1964, 198 с.

32. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: "Наука",1974, Т.4, 336 с.

33. Р е п и н Ю.М. Об устойчивости решений с запаздывающимаргументом. ШМ, 1957, Т.XXI, вып.2, с.253-261.

34. Якубов С.,Эгамбердиев У. О некоторыхкраевых задачах с неизвестной границей для смешанных параболо-гиперболических уравнений второго и третьего порядков. Диф. уравнения ТХХ, В I, 1984, с.154-161.

35. Д ж у р а е в Т.Д,, Эгамбердиев У. О некоторыхкраевых задачах для смешанного гиперболо-параболичес-ного уравнения. Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, Ш 2, 1984, с.15-20.

36. Эгамбердиев У. О некоторых краевых задачахдля смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа. В сб. "Краевые задачи механики сплошных сред." Ташкент: "ФАН" УзССР,1982, с.117-127.

37. Эгамбердиев У. Об одной краевой задаче длясмешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа. В сб. "Краевые задачи для дифференциальных уравнений", Ташкент: "ФАН"УзССР, 1984, с,56-63,

38. Д ж у р а е в Т.Д., Якубов С., Эгамбердиев У. О некоторых краевых задачах с неизвестной границей для смешанных параболо-гиперболическихуравнений второго порядка. Докл.АН УзССР,1984, В 6, с.9-10.