Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Кудаева Залина Валерьевна

ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ЛАВРЕНТЬЕВА - ПОРИТСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА II УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ВЫРОЖДЕНИЕМ ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2. —

Уіи ¿и ¡л

Белшрод - 2011

005010623

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки

Научпо-ксслодоиатсльском институте приходной мптсматпкп п автоматязаппк КаГмфдкії-'-Балкаі«-х.>!-., ¡мучного ц«п'ря РАН (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор

Нахушев Адам Маремоііич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор

Зарубин Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Андреев Александр Анатольевич Ведущая организация: Казанский (Приволжский) Федеральный университет

Защита состоится «21» февраля 2012 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Стз'-дснчсская, 14, корп. 1 НИУ "БелГУ", ауд. 407. '

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке. Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан 18 января 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядисв В.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Уравнения в частных производных смешанного типа являются объектом интенсивного исследования прежде всего благодаря своим приложениям к смешанным системам с распределенными параметрами, в особенности, к аэродинамике больших скоростей, близких к скорости звука, и к безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

Основной краевой задачей для двумерных уравнений смешанного (эллиптико-гиперболического) типа второго порядка с одной линией параболического вырождения является задача, названная Ф.И. Франклем задачей Трикоми. Работа Ф. Трико-ми "О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа" (1923) явилась первым основополагающим исследованием в этой области.

Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа сыграли работы A.B. Бицадзе, Т.Д. Джураева, А.Н. Зарубина, Т.Ш. Кальмено-ва, A.A. Килбаса, А.Г. Кузьмина, О.И. Маричева, А.М. Нахушева, С.П. Пулькина, A.C. Радойкова, O.A. Репина, М.С. Салахитдинова, М.М. Смирнова, А.П. Солдатова.

Диссертация посвящена сравнительно мало исследованному направлению теории уравнений смешанного типа - краевым задачам для моделей Лаврентьева-Бицадзе уравнения Чаплыгина в области, содержащей интервалы параллельных линий параболического вырождения, и уравнениям смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка.

Существуют различные модели уравнения Чаплыгина плоских параллельных установившихся газовых течений

^ (¿/)^Г£ ^УУ = (1)

Модель Ф.И. Франкля по существу совпадает с уравнением Трикоми

yUxx "Ь Нуу — 0, (2)

модель М.А. Лаврентьева хорошо известна как уравнение Лаврентьева-Бицадзе

signj/ • их1 + иуу - 0. (3)

H. Poritsky в качестве модели уравнения (1) предложил уравнение

Р{у)ихх + иуу = 0, уа<у< уп, (4)

где Р(у) = kj = const при yj-i < у < yj. j = 1,2, ...п. Постояные kj положительны в дозвуковой области и отрицательны в сверхзвуковой области.

Модель Поритского (4) получается из уравнения годографа (1) после замены

функции К(у) ступенчатой функцией. В случае модели Лаврентьева К{у) аппрок-

симируется ступенчатой функцией signy.

S. Tomotika и K. Tamada предложили в качестве уравнения годографа уравнение с коэффициентом К(у) = а( 1 —е20у), где а и ß-положительные постоянные. Эта модель уравнения Чаплыгина после введения новых независимых переменных 77 = efy, £ = \Jß/ax принимает вид:

{l-rf)uci + rfunr, + mv = 0. (5)

Уравнение (5) на плоскости точек С = i^v) является уравнением в частных производных второго порядка с двумя параллельными линиями 77 = —1, ту = 1 изменения типа. Оно эллиптического типа в полосе — 1 < т] < 1 с параболическим вырождением на прямых г) = ±1 и гиперболического типа вне этой полосы.

Предложенное T. Karman приближенное уравнение для потенциала V = <р{х,у) можно записать следующим образом:

1±1±(Л 2 дх

(*'х) = Vyy (6)

Уравнение (6) относится к эллиптическому или гиперболическому типу в зависимости от того, будет ли производная vx = dv/dx отрицательна или положитель-

на. В частности, если известно, что

signio = sign(y(y - yi)), Vi = const > 0, (7)

то это уравнение будет нелинейным уравнением смешанного типа с двумя параллельными линиями у = 0, у — у\ параболического вырождения.

В левой части уравнения (6) заменим один из сомножителей произведения

ь

их ■ vx = (vx)2 его средним значением си (у) = ^— / д* ¿х. Тогда его при-

о — a J ох

а

ближенно можно заменить линейным уравнением

(7 + lMî/K* = 2 ч ¡уу. 2 (8)

В силу(7) signш{у) = sign(y(?/ у\)). В случае,когда ш{у) =----—-sign(j/(y - г/i)),

7 + i

из (8) получим уравнение

sign(у(у - У1)) • vxx + vyy = 0, (9)

которое гиперболического типа при 0 <y < yi и эллиптического-при у < Опт/ > У\.

Уравнение (8) при ш(у) = —2у{у — ?/i)/(7 + 1) совпадает с уравнением

у[у ~ Vi)vxx + Vyy = 0, (10)

а при ы{у) = у{у\ - у)/{7 + 1) - с уравнением

У{У1 ~ У)*’хх + vvy = 0. (11)

Уравнению для функции тока и = ф(х, у) плоского установившегося адиабатического потока плазмы при отсутствии магнитного поля можно придать следующую форму:

4уу*{у(1 - y)v,yy + [1 - (1 - Р)у]иу} + (у„ - у)ихх = 0, у, = 1/(2¡3 + 1). (12)

В полуплоскости у > 0 уравнение (12) является уравнением смешанного эллип-

тико-гиперболического типа с двумя параллельными линиями у — у*, у — 1 параболического вырождения.

Как следует из (4), (5), (9), (10), (11) и (12), в качестве моделей этих уравнений в смешанных областях, содержащих интервалы двух непересекающихся линий изменения типа, могут выступать следующие уравнения:

sign(y2 — у) • ихх + Щу = 0; (13)

sign {у - у2) ■ ихх + Uyy = 0; (14)

у{у - l)wxx + Uyy = 0;

7/(1 - у)и.тт + vv,j = П.

(15)

(lfi)

Уразпспкя (13) и (14) налаются аналогом уравнении (3), а их будем называть моделями Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина первого и второго варианта, соответственно.

В теории уравнений смешанного типа уравнением Чаплыгина называют уравнение вида (1) непрерывно дифференцируемым коэффициентом К {у) , удовлетворяющее условиям К{0) = Ü, К'(у) > Ü. Уравнения (15) и (1G) не удовлетворяют последнему условию. К1 (у) меняют свои знаки при переходе через линию у = 1/2 .

Первая краевая задача для уравнения (15) была поставлена и исследована А.М. Нахушевым. Среди работ в данном направлении отметим работы А.Б. Базар-бекова, L.M. Sibiicr, И.Н. Ланина, A.A. Полосина, В.В. Азовского, В.А. Носова, А.Н. Зарубина, A.A. Андреева, И.Н. Саушкина, J.M. Rassias.

Цель работы. Цслыо диссертации янлястся постановка и исследование линейных краевых задач для уравнений в частных производных смешанного типа с двумя параллельными линями параболического вырождения и уравнений с гиперболическим вырождением порядка и смешанной области.

Методы исследования. Качественные характеристики смешанных краевых задач устанавливаются методами, в основе которых лежат: принцины2 экстремума Хопфа, Зарсмба-Жиро, Бицадзс, Агмоиа-Нирснберга-Проттсра; метод априорных оценок (метод abc), методы Ф. Трикоми и A.B. Бицадзе решения задачи Трикоми для уравнений (2), (3) и, в том числе, метод редукции смешанной задачи к краевой задаче Римана-Гильберта для аналитических функций комплексного переменного в случае уравнений (13), (14).

Научная новизна. В работе впервые установлен принцип экстремума и дано решение задачи Дирихле и аналогов задач Трикоми и Геллсрстсдта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Поритского в главной части; доказана теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для класса линейных уравнений в частных производных с оператором Чаплыгина в главной части в смешанной области, содержащей внутри себя интервалы линий параболического вырождения; доказаны теоремы единственности и существования решения основных краевых задач для уравнений сметанных параболо-гипсрболического и эллиптико-гиперболнческого типов с гиперболическим вырождением порядка.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту. Имеющими существенное значение в области дифференциальных уравнений смешанного типа результатами работы являются: 1) теоремы единственности и существования решения задачи Дирихле, аналогов задачи Трикоми и задачи Гсллерстедта для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения; 2) теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части; 3) теорема, о принципе экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части; 4) тео-

рема об априорной оценке решения аналога краевой задачи Трикоми для класса линейных уравнений сметанного типа с оператором Чаплыгина в главной части; •5) теорема о единственности п теорема о существовании решения основной краевой задачи для широкого класса уравнений смешанного нараболо-пшсрболичсского тина с гиперболическим вырождением порядка; 6) теорема о единственности и теорема о существовании решения основной краевой задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиисрболичсского тина с гиперболическим вырождением порядка.

Практическая и теоретическая ценность. Основные результаты научно-квалпфикацнонпой работы имеют теоретическую ценность. Практическая ценность состоит в том, что результаты работы могут быть использованы в математической биологин, при математическом моделировании задач газовой динамики и процессов, протекающих в режимах с обострением, а также при разработке корректных математических моделей гидравлического удара в трубопроводных системах.

Апробация работы. Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики НИИ ПМА КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях - III Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики "(Нальчик, 2006 г.), Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2008 г.). Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатнкп"(Нальчпк-Эльбрз'с, 2009 г.), Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2010 г.), Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"(Нальчик-Хабез, 2010 г.), I Всеросийская конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов. родственные проблемы анализа и информатики"(КБР пос. Тсрскол, 2010 г.), II Международный Российско - Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"(Нальчик, 2011 г.), Международная конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатикн"(Нальчик, 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах [1]-[11]. Из них [4], [8], [10] опубликованы в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ для опубликования основных научных результатов на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих 11 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования, и изложена на 82 страницах.

Основное содержание работы

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований.

В парной главе, состоящей из шести параграфов, рассматриваются краевые задачи для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих внутри себя интервалы параллельных линий вырождения.

В параграфе 1.1 докачшшотои щшшщи экстремума и единственность решения задачи Дирихле для модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина.

Рассматривается дифференциальное уравнение

81йи(у2 - + иуи = 0 (17)

в смешанной области П (см. рис. 1.1.1). гиперболическая часть которой П" = {(зг,у) : 0 < т. < 1, 0 < у < 1}, а эллиптическая представляет собой объединение двух односвязных областей п . расположенных в полуплоскости у < 0 и у > 1 соответственно: ограничена кривой

сто с концами в точках = (0,0), Ач = (1,0) и отрезком Л\А2 прямой у = 0 ; ограничена кривой а \ скопцами Рис' 111 в точках. А\ — (0,1), Аз = (1,1) иот]>езком Л3А4 прямой

у = 1. _

Задача 1.1.1. Найти непрерывную в замкнутой области П функцию и(х,у),

обладающую следующими свойствами: 1) и(х,у) - регулярное в областях £2^, и П' решение уравнения (17) всюду за исключением, быть может, характеристик А^А\ : х + у = 1 и А\Аз : х — у = 0:2) и(х,у) удовлетворяет условиям сопряжения

1пт^ иу[х,у) ~ Ит^ иу[х, у), 0 < х < 1, Нт^и^ (а;, у) = Нт^иу (х, у), и краевым

условиям

и к = <Ро (х, у), (18)

и |а, = (.т, у), (19)

« |а1а4 = и (0, у) = ф0 {у), 0 < у < 1, (20)

и |а,а, = и (1, У) = Ф1 (?/), 0 < у < 1, (21)

где ро (х, у), <Р1 (х, у), фо (а:), ф\ (х) - заданные достаточно гладкие функции, непрерывные в замкнутой области их определения.

Теорема 1.1.1. Пусть и(х,у) -решении задачи 1.1.1 при Фи (у) = Ф\ (у) = 0 для всех у € [0,1]. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и (х, у) па компакте Й+ = и достигается на <7о и о\.

Из теоремы 1.1.1 следует теорема единственности решения задачи 1.1.1.

Теорема 1.1.2. Пусть и(х,у) - решение задачи 1.1.1, обладающее тем свойством, что производная иу(х, у) является непрерывной в й~ всюду за исключением, быть может, точек А\, А2, А-л и А\, где может, обращаться в бесконечность интегрируемого порядка. Тогда оно единственно.

В параграфе 1.2 методом редукции к сингулярному интегральному уравнению доказывается существование решения задачи 1.1.1.

Пусть <т0 и (71 совпадают с нормальными контурами <т+ = {г : |г - 1/2[ = 1/2, 1т г < 0}, а” = {г : \г - 1/2 - г| = 1/2, 1т г > 1}.

Теорема 1.2.1. Если: при <р0(х,у) = 1рх(х,у) =0; сто = &+, 01 = и~\

Фо (у), Фг (у) € С[0,1] П С2]0; 1 [; ф0 (0) = ф0 (1) = фх (0) = фг (1) = 0; ф'а (у) и Ф[ (у) т сеялиттп 0 < у < 1 удовлетворяют условию Гельдера и обращаются в поль на его концах, то существует единственное решение задачи 1.1.1 для уравнения (17) в области П.

В параграфе 1.3 доказывается однозначная разрешимость аналога задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик одного семейства.

Рассматривается уравнение (17) в смешанной области П, ограниченной: кривой Жордана с концами в точках А\ = (0,1) и В\ = (г, 1), лежащей в полуплоскости у > 1; характеристиками АхАц : х+у =1,0<ж<1и ВуВо '■ х+у = г+1,

1 < х < г + 1; кривой Жордана ао с концами °» в точках Ап = (1,0) и Во = (г + 1,0), располо-

Р,1С-131 женной в полуплоскости у < 0 (см. рис 1.3.1).

Задача 1.3.1. Найти регулярное в областях Пх, П0 .• и Ог решение

и(х>у) .уравнения (17) из класса С(П), удовлетворяющее условиям сопряжения: у) = Нт^и^г, г/), Нт^ иу(х. у) = у) и краевым условиям:

и(х, 1 - х) = ф(х), 0 < х < 1, и |СТ1 = ^(х, у), и и= <ро(х, у), где ф(х), (рх(х, у), го(%,у) ~ заданные функции.

Теорема 1.3.1. Краевая задач,а 1.3.1 не имеет, более одного решения. ■

Теорема 1.3.2. Пусть кривая а(у =0,1) с параметрическим уравнением х = х^), ;г/ = ад(б'), 0 < 5 < где 5 - длина дуги, отсчитываемая от точки В7-в положительном направлении, а ^ - длина гх,-, такова, что: 1) функции з^(я) и Уj(s) е С[0:у, х'?(з)+у'?(в) ф 0 на [0, ^]; х"(з) и у"(в) удовлетворяют условию Гельдера на [0,(,]; 2) кривая аj (.7=0.1) оканчивается сколь угодно малой длины дугами А]А!^ и BjBj полуокружности, проходящей через точки Л$, В^ и лежащей в Ц-; функция щ(х) = 0,1) непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядков; функция ф(х) 6 С^О, 1]. Тогда существует решение задачи 1.3.1.

В параграфе 1.4 доказывается единственность решения аналога задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик разных семейств.

Рассматривается уравнение (17) в смешанной области О , ограниченной:

кривой ао е концами в точках Л1 = (0,0), А-х = (1,0), расположенной в полуплоскости у < 0; кривой <Т1 с концами в точках А3 = (1,1), А\ = (0,1), расположенной в полуплоскости у > 1, и характеристиками А\С\ : х + у = 0, А4С1 : х - у = —1, А2С2 : х — у = 1, Л3С2 : х + у = 2, 0 < у < 1/2 уравнения (17) (рис. 1.4.1).

Задача 1.4.1. Найти непрерывное в замкнутой области П = П и Ш решение

Рис. 1.4.1

и = и(х,у) уравнения (17), принимающее заданные значения па кривых сг0, ггх я характеристиках А\С\ и А±С\.

Теорема 1.4.1. Пусть функции <ро(г.,у), ~р\(х,у) и лллиптическж ■части гто и от границы 9П области П удовлетворяют условиями теоремы 1.3.2. Тогда существует единственное решение задачи 1-4-1В параграфе 1.5 доказывается едиигпммюх-ть н существование решения аналога задачи Гсллерстедга для первого варианта .модели Лаврентьсва-Поритского уравнения Чаплыгина.

Рассматривается уравнение (17) в смешанной области П , ограниченной: характеристиками АС : х + у = 1, 0 < х < 1/2; САо : х - у = 0, 0 < х < 1/2;

ВаП : х + у = 2, 3/2 < х <2; 013 : х -у = 2,

3/2 < .-г < 2; кусочно-гладкой кривой сто с концами в точках Ао = (0,0), Во = (2,0). лежащей в полуплоскости у <0, м кусочно-глад кой кривой с концами в точках А = (0,1), В = (2,1), лежащей в полуплоскости у > 1; С = (1/2,1/2), О = (3/2,1/2);

П0 = П П {(ж, у) : у < 0} , Пх = П П {(ж, у) : у > 1} ,

П2 = П П {(ж, у) : 0 < у < 1} (рис. 1.5.1). Рис.1.5.1

Пусть £>о и 0\ - части области П, ограниченные контурами ао и АаС и

иССоиСо-ОиИВо и а^иЛб’иСС'!иС^ОиИВ соответственно. Через П^ обозначена внутренность характеристического четырехугольника с вершинами в точках Со,В,СъС.

Задача 1.5.1. Нййтн решение и(х,у) уравнения (17). которое непрерывно в замкнутой области П. принадлежит классу С1(О0) иС^Д]) и удовлетворяет краевым условиям: «Ц = ро(х>!/)> «к = ¥>1&у)' и1л»С = Фт(х), и\ВаВ = ф(п{х), ИЛИ и\лс = Фи(х), и\во = Фи{х).

Доказана единственность решения задачи 1.5.1.

В параграфе 1.6 доказывается единственность решения аналога задачи Три-коми для второго варианта модели Лаврентьсва-Поритского уравнения Чаплыгина.

Рассматривается уравнение

У о,

Q, N,

Cj \<в

С12 ']хф

V О. j/

SÎgn(y - У2)ихх + Чуу = 0

(22)

в смешанной области П, ограниченной характеристиками ЛоСо : х + у = 0, 0 < х < г/2, ВоСо : х - у = г , г/2 < х < г, А\С\ :у — х = 1, О < х < г/2 и BiC\ : х + у = г + 1, г/2 < х < г; кривыми Жордана ао с концами в точках Ао = (0,0) и Лі = (0,1), лежащей в полуплоскости 0 < у < 1 и cri с концами в точках Во = (г, 0) и Ві = (г, 1), расположенными в полосе 0 < у < 1 (см. рис. 1.6.1).

Задача 1.6.1. Найти регулярное в областях Гї0і, По, Пі решение и(х,у)

уравнения (22) из класса С1(П) П С(П), удовлетворяющее следующим краевым

Рис. 1.6.1

условиям:

«к=¥>0 (х,у), и\аі=щ(х,у), и U,C!= Фі{х,у), 0 < х < r/2, и Цис„= Фо{х, у), о < х < г/2,

(23)

(24)

(25)

где Vo[x,y), Vi{x,y), фп{х,у), Фі(х,у) - заданные функции.

Аналог принципа экстремума A.B. Бицадзе: Решение и(х,у) задачи 1.6.1, равное нулю на, мртпнршт-ити; ЛіСі uAqCo, положительный максимум (отрицательный минимум) в замыкании области Пщ прижимает на кривых <7i, <тп

Теорема 1.6.1. Задача 1.6.1 шкет, не более одного решения.

Задача 1.6.2. Найти регулярное в областях Пщ . По, Пі решение и{х,у) уравнения (22) из класса С"‘(П) П С’(П). „удовлетворяющее краевым .условиям (23), (25) и условию: u |s1c?l= Ф\{х,у), 0 < ;г < г/2.

Теорема 1.6.2. Задача 1.6.2 имеет, не более одного решения.

Вторая глава посвящена краевым задачам для уравнений второго порядка смешанного типа е гиперболическим вырождением порядка, а также краевым задачам с оператором Лаврептьева-Поритского в главной части.

В параграфе 2.1 исследован аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с. первым вариантом оператора Лаврснтьева-Поритекого в главной части.

Рассматривается линейное уравнение в частных производных второго порядка

с оператором ¿¿и = sign(y2 — у)ихх + uw в главной части в смешанной области П, гиперболическая часть которой совпадает с областью П-2 , ограниченной характеристиками АС : х + у — 1, 0 < х < 1/2; СЛо : х — у = 0, 0 < х < 1/2; BqD : х + у = 2, 1/2 < х < 2; DB : х — у = 1, 1/2 < х < 2, а эллиптическая часть П+ = Пп иП). Область £10 ограничена кусочно-гладкой кривой сто с концами в точках Ап = (0,0), Вп = (2,0) и отрезком AqBо прямой у = 0. Область Hi ограничена кусочно-гладкой кривой сгi с концами в точках А = (0,1), В(2,1). Точка С = (1/2,1/2), а точка D = (3/2,1/2) (см. рис. 1.5.1).

Задача 2.1.1. В облает П нпПт решение и = и(х,у) уравнения (26), которое непрерывно в замыкании П. имеет непрерывные всюду в П производные ux, иу за исключением, быть может, характеристик, выходящих из точек Со = (1.0), Ci = (1,1), удовлетворяет условиям и(х, у) = 0 V (х, у) 6 сто U сг\ U BoD U DB.

Теорема 2.1.1. Пусть f(x,y) и р(х,у) 6 С(П), р(х,у) > 0; q{y) = уН(-у)+ + (у—1)Н(у—1), кривые сго,^! таковы, что xdy>ydx и xdy > (у — 1 )dx соответственно; функция г = г(х,у) 6 С1 (П) и удовлетворяет следующим условиям: г < 0 в П; г < 0 на ACUСАо (хг)х + {(у — 1) г)у <0 в Hi; [хг)х + (уг)у < 0 в П0; [хг)Т < 0 в Пг ; и~и(х,у) - квазирегулярное решение задачи 2.1.1. Тогда

Lu = LpU + p (хих + quy) + ги = /,

(26)

где, ц = - (¡ir)x - (jr)v, lu = xux + q{y)uv.

Оценка (27) позволяет доказать существование слабого решения сопряженной задачи 2.1.1, когда граничные данные задаются на кривых оо, и ЛС, С А ц.

В параграфе 2.2 доказывается принцип экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьсва-Порит-ского в главной части.

В области П (рис 1.G.1) рассматривается уравнение

L~u + «(.г, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у) и = О (28)

с дифференциальным выражением Лаврептьева-Поритского

L~ и = sign (у - у2)ихх + иуу.

Условия принципа максимума Агмопа- Ннрепберга- Проттера для уравнения (28) записываются следующим образом:

i[o + (~l)jb\ - ^(а2 - b2) - 2с < 0, V(x, у) е Qj, (29)

a + (-l)jb<0 V(.r,y) ety, (30)

с < 0 V(.r, у) е Dj, (31)

где S[f] = fx + (-1 Yfy, f = /(;Г, у) .

Теорема 2.2.1. Пусть: коэффициенты уравнения (28) удовлетворяют условиям (29) - (31); а(х,у),Ь(х, у) и с(х, у) принадлежат классу C(floi); с(х% у) < О в области Паи и(х,у) - регулярное в областях По, Пь Qoi решение уравнения (28), такое, что и\л^ = С/-(0, т?) = 0, 0 < Т] < 1,

2и<1 = 1'6х~ 6 С{(^'?) : 0 <£<*?< 1). 3 — 0,1-

Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х, у) в Пщ достигается па сг0 U о\ .

Из этой теоремы следует единственность решения краевой задачи с граничными данными на сг0, аь AqCo ц AiCi .

В параграфе 2.3 рассматривается линейное уравнение второго порядка смешанного типа

Lu = k(y)uxx + Щу + a(z)ux + b(z)uy + c[z)u = f(z), (32)

где signfc(y) = sign [y — y2), в области П, ограниченной кусочно-гладкими кривыми сто и а\ с концами в точках Ла = (0,0). Лх = (0,1) и В0 = (г, 0), Вх = (г, 1), г > 0, расположенными в полосе 0 < у < 1; характеристиками AqCo , BqCq и А\С\, В\С\, выходящими из точек С0 и Сх с ординатами у0 < 0 и yi > 1 соответственно (см. рис. 1.6.1).

Пусть По = ПП{у < 0} и fii = Пп{г/ > 1} - гиперболические части смешанной области П, a f2oi - часть области П, где уравнение (32) является уравнением эллиптического типа.

Относительно коэффициентов уравнения (32) предполагается, что Ну) € СЧг/0,0] ПС^О, 1] nc^l,^], a(z) = а{х,у) е C(fi), b(z) = Ь{х,у) 6 С(Щ, c(z) = с(х,у) е С(П).

Задача 2.3.1. Найти функцию и(г) = и(х,у) из класса С^П) ПС(О), удо-

У]):іі!!!Г:Ш!О ('!2) Л и;/.‘;;н:ТЯХ Пі;і , Пу , Пі ,'і ОДІЮрОДШАМ КріІСІЛкМ

уи.оь.!/.,.. и(г) = 0 Уг Є <то и стх, (33)

и(г) = ОУ2ЄЛ0С0иЛіСі. (34)

Примем следующие обозначения: // - оператор, сопряженный по Лагранжу с оператором Ь, а = а(х, у); 1^(0) - пространство Соболева со скалярным произведением (•,■)/ 11 нормой || • ||/, I. = 0,1....; 1Г2и(П) = £2(П); И/(В) - множество функций и = (а--,у) из класса IV — С(П)пС2(П\{у = 0, у = 1}) П И^1 (П) О №2 (дП), для которых Си Є ¿2(П) п соблюдены условия (33)-(34).

Теорема 2.3.1. Пусть коэффициенты уравнения (32) и кривые ап и ах таковы, что существует хотя бы один вектор (а. Р, 7) с компонентами а Є С(П) П С2(П0і) П С2(По) П С'2(Пі), Р,7 Є С(П) П С’ЧПої) П С’>(П0) П С1 (Пі), удовлетворяющий системе дифференциальных неравенств

Га+т>т+тч^па/-^+2ф>2а^еті,

ох оу дх оу

к(д2_др-_2\+ у + 2Ьа > О V 2 є П,

\оу ОХ /

к ( ? - ~ 2А + ^ + 2^а

оу ох )

2а + 276 I >

I

чдх ду условиям сопряжения

да(х.у) да(х,—у)

др д'у

— + к— - рЬ - а7 оу ох

Уг Є П,

Ііт

у-»+о

Зу

ду

> 0, Ііш [к(у) - к(-у)\7(х,0) > О,

у—Н-0

Ііт ау(х,у)> Нш <уу{х,у), Ііт к{у)'у(х,\)> Ііш к(у)7{х,1)

у-1+0

и краевым условиям

»-1-0

у—1+0

¡/-1-0

(/?, 7)п. = Рх,п + 7У„ < 0 Уг € Сто и <Т1,

/3 + \/—к‘у < 0 € СоВо, Р — у/—к') < 0 \/г 6 В\С\,

2&[ах(\/1 — & + \/~£) + ау(\/1 — & + 1)] < (2а\/—к + 2Ьк — &'\/1 — к)а+

+2+ 7&]с> С СоВо,

2/с[ах(\/—А; — у/Т~—~к) — сиу(у/1 — А; + 1)] < (2а\/—к — 2Ьк + А/^1 — А;)а+

+2[/?\/—& — 7^]с> € В1С1,

г£?е п = (хп,уп) - единичная внешняя нормаль к границе ЗП области П. Тогда

имеет место априорная оценка ||г1||1 < соЦЬиЦо V« 6 №(В), где со - положительная постоянная, не зависящая от и.

Из теоремы 2.3.1 следует единственность регулярного решения задачи и существование слабого решения сопряженной задачи.

В параграфе 2.4 исследуется краевая задача для уравнения параболо-гипербо-лического типа с гиперболическим вырождением порядка.

На плоскости комплексного переменного z = х + гу рассматривается следующее уравнение смешанного типа с разрывными коэффициентами и вырождением порядка в полосе —5<у< 0:

(ихх + ai(z)ux + b\(z)uv + ci(z)ut у > О,

их — иу — c(z)u, —6<у< 0, (35)

uXx ~Uyy + a2{z)ux + b2(z)uv + C2(z)u, у <

где c(z), a,j(z), bj(z), Cj(z), j - 1,2- заданные непрерывные функции;

6 = const > 0 ; и = u(z) - искомая функция точки z = (х,у).

Пусть Л0 = (0,0), Во = (1,0), Вх = (1,1), Ах = (0,1), As = {0-6),

В, = (1, -6), С\ = (S, -6), Л* = (|, =М), В\ = (^, -¿±1), Ct = (A, -i - ¿).

Через ft обозначим односвязную область евклидовой плоскости R2, ограниченную отрезками BgBi, В\А\, А\Аь прямых х = 1, у = 1,

с* о? * .х = 0, соответственно, и характеристиками

ASCS : х + у = -6, BSCS : х-у = 1 + 6, выхо-л \ ‘ '4' дящими из точки Cj, а через fti, Vl2 и Пз соот-

с‘ ветственно подобласти П, где у > 0, —6<у< 0

Рнс' 2'4Л и у < —6 (см. рис. 2.4.1).

Предполагается, что a2(z) имеет непрерывную производную по а', а (^(z) - по у в замыкании Пз области Г2з; a2(z), b2(z) и <"2(2) принадлежат классу С'(Пз); c(z) € С^Пг) ■

Асен С.Радойков для уравнения (35) в случае, когда ax(z) € C2(fi), b\(z) = —1, ci(z) e C2(Cl), c{z) = —1. a2(z) = b2(z) = 0, c2(z) = —c2 = const исследовал следующую краевую задачу.

Задача 2.4.1. Найтя функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1. и(х, у) Е С(П) П С>((2) П C2(fii U П3);

2. и(х,у) в областях 0.\, С12 и ft3 является решением уравнения

uxx + a\{z)ux + cx(z)u -щ, у> 0,

0 = < ux — uy — и, — 5 < у < 0, (36)

Ихх Wуу C2lly у ^ 6,

3. и(х, у) удовлетворяет краевым условиям

*i(0,y) = ^(у), и(1,у) = <р2(у), 0<у<1, (37)

где ^i(y) и ^г(у) - заданные достаточно гладкие функции.

В параграфе § 2.4 показано, что задача 2.4.1 недоопределена. Недоопределен-ность задачи 2.4.1 можно ликвидировать заменой условия (37) условием

и(0,у) = ^i(y) Vye[-5,1]; u(l,y) = <р2{у) Vy € [0,1], (38)

где ipi{y) б С[-6,1], ip2{y) 6 С[0,1].

Задача 2.4.1, где условие (37) заменено условием (38), назовем задачей 2.4.2.

Задача 2.4.2. Яайтл функцию u(z) ~ и(х, у) со следующими свойствами:

1) u(z) € С(П) П Cl(f2 \ [Ai)Bj U AjCf)) ; 2) u(z) -регулярное решение уравнения (2.4.1) в ÎÏ!, П2 \ А0С*, ü3 \ (AjCj U Cf£?|) ; 3) «( z) удовлетворяет условию (38).

Теорема 2.4.1. Пусть: bi(z) < 0, a (z) < 0 для всех z € Hi ;

Ci (а;) — Xbi(x) < 0 на сегменте [0,1] ; <р\(у) = О для всех у € [—¿Г, 1] ; <р2 (у) = О на [0,1]; u[z\ - решение задачи 2.4-2. Тогда u(z) = 0 всюду в П.

В параграфе 2.5 исследуется краевая задача для уравнения смешанного эллип-тико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

Пусть D - односвязная область комплексной плоскости z = х + iy, ограниченная кривой Жордана а, расположенной в полуплоскости Im z > 0 с концами в точках А = (0,0) и В = (1,0), отрезками AAg, BBg прямых х = 0, х = 1, ~6 < у < 0, 6 = const > 0 и отрезками А$С : 0 < х < 1/2 и BsC : 1/2 < х < 1

прямых х + у = — 6 и х - у = 1 + 5 соответственно (см. рис. 2.5.1).

В области D рассматривается уравнение

{ихх + иуу + a\(z)ux + 61(2)% + ci(z)u, у > 0,

их-иу + c0(z)u, -6 < у < 0, (39)

Uxx 'U'yy

+ a2(z)ux + b2(z)uy + c2(z)u, у < -6.

Через D1, Do и D2 обозначим части области D, где у > 0, — 6 < у < О и у < —6 соответственно. Предполагается, что коэффициенты aj(z), bj(z), Cj[z) принадлежат классу C(Dj), Dj - замыкание Dj , j = 0,1,2.

Уравнение (39) в области D является уравнением смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка в области Do ■ Оно относится к уравнениям эллиптического типа в области Di и к ги-

в5 перболичес.кому типу - в области D2. В области

Dq уравнение (39) имеет одно семейство £ = х + у с действительных характеристик, а в области D2-

Рис. 2.5.1 Два семейства Ç = х + у, г\ = х-у.

Задача 2.5.1. Найти решение u(z) = u(x, у) уравнення (39), регулярное всюду в области D, за исключением, быть может, характеристических отрезков АСь : х + у — 0, 0 < æ < 1/2 + 6/2, CjCa : х — у = 2d', 6/2 < х < 5, которое принадлежит классу C(D) П C'(D \ АС\ С ¿С«) и удовлетворяет граничным условиям: u(z) = tp(s) Vz Ç a 0 < s < l, u(iy) = ф(у) Vy € [—5,0], где ip(s) итр(у) -заданные непрерывные функции, I -длина кривой a, отсчитываемая от точки В .

Теорема 2.5.1. Пусть с\(z) < 0 в D\ ; Cq(x) > 0 при 0 < х < I ; da2(z)/dx и db2{z)/dy принадлежат C(D2). Тогда задача 2.5.1 не может иметь более одною решения.

Принцип экстремума. Пусть ci(z) < 0 в D\, со(х) > 0 при 0 < х < 1. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) решения 11(2:) задачи 2.5.1 на компакте D\ достигается лишь на ст.

Теорема существования 2.5.2. Пусть: 1) кривая а обладает непрерывной кривизной и касательные ков точках А и В параллельны оси х = 0 ; 2) функция <p(s) непрерывна на 0 < s < I вместе со своими производными второго порядка; 3)

И

ф(у) G С1 [—<5,0]; 4) коэффициенты ai(z), bi(z) и C(z) G C2(Di) ; 5) существует функция Грина смешанной задачи : п\а = -¿(s), и„(.г) = v{x) для уравнения (39) в области. Di ; в) Ci(.'-) < Г) a Dy , си{х) > 0 . Tondit сущсапцугм рс.шсиич задачи 2.5.1.

Заключение. Диссертация является научно-квалификационной работой, и которой содержится решение следующей системы задач, имеющей существенное значение в области дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа: 1) задача Дирихле (задача 1.1.1), аналоги задачи Трикомн (задачи 1.3.1, 1.4.1) п задачи Гслерстсдта (задача 1.5.1) для уравнения Fj+u = sign(j/2 — у) ■ иТТ + иуу = 0 в ограниченной смешанной области., содержащей интервалы {(л:,0) : 0 < х < г}, {(.г, 1) : 0 < х < 1} линий у = U. у = 1 параболическою вырождения; 2) аналог задачи Трикомн (задача 1.6.1) для уравнения Л" u s sign (у - у2) ■ ит.т + иуу = 0 в ограниченной смешанной области, содержащей интервалы {(х,0) : 0 < х < г).

{(х. 1) : 0 < х < г} линий у — U, у = 1 параболического вырождения; 3) аналог задачи Трикомн (задача 2.1.1) для уравнения £+к +- (хих + quy)p + ru = f{x,y) в ограниченной смешанной области, эллиптическая часть которой представляет собой объединение двух односвязных областей, расположенных в полуплоскостях у < 0 и у > 1; 4) аналог задачи Трнкоми (задача 2.3.1) для класса уравнений смешанного типа вида К{у)и££ + щу + а[х, у)их + Ь{х, у)иу + с[х, у)и = 0, где signA'(y) =

= sign (у — у2), и припцип экстремума для линейного уравнения с дифференциальным оператором Лаврентьева-Поритского L~ в главной части; 5) краевая задача (задача 2.4.2) для линейного уравнения смешанного нараболо-гиперболического типа второго порядка с гиперболическим вырождением порядка в двумерной полосе;

6) краевая задача (задача 2.5.1) для линейного уравнения смешанного эллиптико-гннерболического тина второго порядка с гиперболическим вырождением порядка в двумерной полосе.

Автор выражает 'глубокую благодарность академику АМАН Адаму Маремо-вичу Hu.xym.tey за. внимание и поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

1. Кудаева З.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя иарал- ■-лельными линиями параболического вырождения/'/Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т.9, №2. С.39 - 43.

2. Кудаева З.Б. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами на двух параллельных линиях параболического вырождения//Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатпкп"и VI Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи н проблемы современного анализа и информатики". Эльбрус,2008. С.217-219.

3. Кудаева З.Б. Краевая задача для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Материалы Международного Российско - Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"и VII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик - Эльбрус, 2009.

С. 287 - 288.

. 4V

4. Кудаева З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами на двух параллельных линиях параболического вырождения // Известия вулов. Севпро-Кгишки'кнй регион. Естественные науки. 2010. >-2. С. 19 - 22.

5. Кудаева З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с параллельными линиями параболического вырождения ./ Материалы VIII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик - Хаоез, 2010. С. 54 - 56.

6. Кудаева З.В. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Материалы I Вссросийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик - Терскол, 2010. С. 99-101.

7. Кудаева З.В. Краевая задача для уравнения смешанного тина с вырождением порядка // Труды седьмой Вссросийской научной конференции с международным участием. Самара. 2010. Часть 3. С. 143 - 146.

8. Кудаева З.В. Краевая задача для одного уравнения смешанного типа с вырождением порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН.2010 N“3 (35). С. 127 - 134.

9. Кудаева З.В. Краевая задача для линейного уравнения смешанного тина второго порядка с двумя параллельными линиями вырождения // Материалы Международного II Российски - Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и IX Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик, 2011. С. 63 - 67.

10. Кудаева З.В. О принципе экстремума для одного класса линейных уравнений смешанного типа е двумя параллельными линиями параболического вырожде нпя /Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011 Т.13, №1. С. 74 - 70.

11. Кудаева З.В. О принципе экстремума для одного класса линейных уравнениГ смешанного типа с. двумя параллельными линиями параболического вырожде ния // Материалы Международной конференции молодых .ученых "Математи чеекос моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализ; и пнфарматики". Нальчик, 2011. С. 157-1-58.

Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева - Порцтсхого уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка

Формат 30 х 42. 1/4. Уел. печ.л. 1.0 Бумага офсетная. Заказ №101. Тираж 100 экз. ЧП "Полиграфия". Лицензия №15 от 22.01.03г. КБР, г.Нальчнк, ул. Чернышевского, 131.

61 12-1/482

Федеральное государственное бюджетное учреждение наук Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН

На правах рукописи

КУДАЕВА ЗАЛИНА ВАЛЕРЬЕВНА

ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ЛАВРЕНТЬЕВА - ПОРИТСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА И УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ВЫРОЖДЕНИЕМ ПОРЯДКА

01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель диссертации -Нахушев А.М., д.ф.-м.н., профессор.

Нальчик-2011

Оглавление

Введение 4

Глава I. Краевые задачи для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения 13

1.1. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дири-

хле для модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина ................................ 13

1.2. Теорема существования решения задачи Дирихле для модели

Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина....... 17

1.3. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик одного семейства............................. 21

1.4. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболиче-

ская часть границы которой состоит из характеристик разных семейств........................... 26

1.5. Аналог задачи Геллерстедта для первого варианта модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина....... 29

1.6. Аналог задачи Трикоми для второго варианта модели Лавренть-

ева-Поритского уравнения Чаплыгина............. 33

Глава II. Краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка 38

2.1. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части............................. 38

2.2. Принцип экстремума для класса линейных уравнений смешан-

ного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части . . ................. 45

2.3. Краевая задача для класса линейных уравнений смешанного типа................................ 48

2.4. Краевая задача для уравнения смешанного параболо-гипербо-

лического типа с гиперболическим вырождением порядка . . 56

2.5. Краевая задача для уравнения смешанного эллиптико-гипербо-

лического типа с гиперболическим вырождением порядка . . 68

Заключение 72

Список литературы

75

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения в частных производных смешанного типа являются объектом интенсивного исследования прежде всего благодаря своим приложениям к смешанным системам с распределенными параметрами, в особенности, к аэродинамике больших скоростей, близких к скорости звука [4], и к безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака [10], [42].

Основной краевой задачей для двумерных уравнений смешанного (эл-липтико-гиперболического) типа второго порядка с одной линией параболического вырождения является задача, названная задачей Трикоми по предложению Ф.И. Франкля [55]. Работа Ф. Трикоми [55] "О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа" (1923) явилась первым основопологающим исследованием в этой области.

Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа и ее прикладных аспектов сыграли работы A.B. Бицадзе [8], [9], С.П. Пулькина [45], М.С. Салахитдинова [48], [49], [50], [51], Т.Д. Джу-раева [12], [13], М.М. Смирнова [53], Е.И. Моисеева [31], А.П. Солдатова [54], O.A. Репина [47], A.M. Нахушева [38], [39], [40], [41], Т.Ш. Кальмено-ва [17], А.Н. Зарубина [14], А.Г. Кузьмина [28], A.C. Радойкова [46], О.И. Маричева, A.A. Килбаса, O.A. Репина [30].

Диссертация посвящена сравнительно мало исследованному направлению теории уравнений смешанного типа - краевым задачам для моделей Лаврентьева-Бицадзе уравнения Чаплыгина в области, содержащей интервалы параллельных линий параболического вырождения, и уравнениям смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка. Поясним важность и актуальность проведения теоретических разработок в этом на-

правлении.

Уравнение Чаплыгина плоских параллельных установившихся газовых течений записывается в виде

К(у)ихх 4- иуу = 0, (1)

где и = ф - функция тока; К и у = о - функции скорости течения, которые положительны при дозвуковой и отрицательны при сверхзвуковой скорости; х — в - угол наклона вектора скорости.

Уравнение (1) имеет эллиптический тип при дозвуковой скорости и гиперболический тип при сверхзвуковой скорости, звуковая линия у = О является линией его параболического вырождения.

Широко используемая аппроксимация уравнений газовой динамики, впервые предложенная Ф.И. Франклем, получается из уравнения годографа (1), если положить К (а) = (-у + 1 )а, где 7 = const > 1 представляет собой отношение удельных теплоёмкостей. Уравнение

(7 + 1)уихх + иУу = ® заменой переменной 77 = (7 + 1 сводится к уравнению

"П^хх ищ — 0.

Существуют различные модели уравнения Чаплыгина (1). Модель Ф.И. Франкля по существу совпадает с уравнением Трикоми

уихх + иуу = 0; (2)

модель М.А. Лаврентьева хорошо известна как уравнение Лаврентьева-Бицадзе

sign?/ • ихх + иуу = 0 (3)

с коэффициентом

i 1, У> о, signy=< о, у = О,

k -1, У< 0.

Н. Poritsky [61] в качестве модели уравнения (1) предложил уравнение P{y)uxx + Щу = 0, Уо < у < Уп, (4)

где Р(у) = kj = const при yj-i < у < уj, j = 1,2, ...п. Постояные kj положительны в дозвуковой области и отрицательны в сверхзвуковой области.

Модель Поритского (4) получается из уравнения годографа (1) после замены функции К (у) ступенчатой функцией [4, с.37]. В случае модели Лаврентьева К (у) аппроксимируется ступенчатой функцией sign у.

S. Tomotika и К. Tamada (см. [4, с.40]) предложили в качестве уравнения годографа уравнение с коэффициентом

где а и ¡3 положительные постоянные. Эта модель уравнения Чаплыгина после введения новых независимых переменных

ту = еД £ = у/Щх

принимает вид

{1-т]2)и^ + г]2ищ + щ71 = ^. (5)

Уравнение (5) на евклидовой плоскости точек ( = (£,77) является уравнением в частных производных второго порядка с двумя параллельными линиями г) = — 1, г] — 1 изменения типа. Оно эллиптического типа в полосе —1 < 7] < 1 с параболическим вырождением на прямых г) — ±1,0 и гиперболического типа вне этой полосы.

Предложенное Карманом [4, с.32] приближенное уравнение для потенциала v = <р(х, у) можно записать следующим образом:

7 + 1 д , 2ч . .

=(6)

Уравнение (6) относится к эллиптическому или гиперболическому типу в зависимости от того, будет ли производная vx — dv/dx отрицательна или положительна. В частности, если известно, что

signva; = sign у (г/ - yi), yi = const > 0, (7)

то это уравнение будет нелинейным уравнением смешанного типа с двумя параллельными линиями у = 0, у — у\ параболического вырождения.

Пусть замыкание Q области задания Q, уравнения (б) принадлежит прямоугольнику Q = {(х,у) : а < х < Ь, 0 > ?/* < у < у\] и потенциальное течение газа таково, что

v(b,y) = и{а,у) + {Ь- а)ш(у)\ (8)

здесь

= ' 9vpy)dx

ОХ

w-bhij-

а

- заданная функция, непрерывная на сегменте [у*, у*] всюду за исключением, быть может, точек 0 и у\, где она может претерпевать разрывы первого рода.

В левой части уравнения (6) заменим один из сомножителей произведения ух • ух = (ух)2 его средним значением и (у). Тогда его приближение можно заменить линейным уравнением

7 1 д2у

В силу (7) sign а; (2/) = — sign.y(y — у\). В случае, когда

2

и(у) =--r^signy{y - yi)

7+1

из (9) получим уравнение

signy(j/-2/i) -Vxx + Vyy = о, (10)

которое имеет гиперболический тип при 0 < у < yi и эллиптический тип при у < 0 и у > у\.

Уравнение (9) при и (у) = —2 у (у — y\)/{i + l) совпадает с уравнением

У (у - yi)vxx + Vyy = 0, (11)

а при uj(y) = у(у\ — у)/{7 + 1) - с уравнением

у(у\ ~ y)vxx + Vyy = 0. (12)

Уравнение для функции тока и = ф(х, у) плоского установившегося адиабатического потока плазмы при отсутствии магнитного поля записывается в виде

д г 2у дил 1 - (1 + 2Р)у д2и _ ду L(1 - уУ ду\ + 2у{1 - уУ+1 дх2 _ '

где: (3 = ^¿у > 0; 7 - показатель адиабаты; у = {г)/г)*)2, rj - модуль скорости, 77* = аоу/2]3 - максимальное значение модуля скорости, ао = const - скорость звука в покоящейся плазме; х = 9 - угол наклона вектора скорости к положительному направлению оси х евклидовой плоскости точек (х,у). (см. [57]). Этому уравнению можно придать следующую форму записи:

4уу*{у{1-у)иуу + [1-(1-Р)у]иу} + {у*-у)ихх = 0, у* = 1/(2/3+1). (13)

В полуплоскости у > 0 уравнение (13) является уравнением смешанного (эллиптико-гиперболического) типа с двумя параллельными линиями

у = у = 1 параболического вырождения. Оно имеет гиперболический тип в полосе у* < у < 1, эллиптический тип вне этой полосы и в точках остановок (х, 0), (77 = 0) вырождается параболически.

Как следует из (4), (5), (10), (11), (12) и (13), в качестве моделей этих уравнений в смешанных областях, содержащих интервалы двух непересекающихся линий изменения типа, могут выступать следующие уравнения:

sign у (у -1)-ихх + иуу = 0; (14)

signal - у) • ихх + иуу = 0; (15)

у(у - 1 )ихх + иуу = 0; (16)

у( 1 - у)ихх + иуу = 0. (17)

Уравнения (14) и (15) являются естественным аналогом уравнения Лаврентьева-Бицадзе (3) и их будем называть моделями Лаврентьева-По-ритского уравнения Чаплыгина первого и второго варианта, соответственно. Уравнения (16) и (17) в определенном смысле представляют собой аналог уравнения Трикоми (2).

В теории уравнений смешанного типа уравнением Чаплыгина называют уравнение вида (1) с непрерывно дифференцируемым коэффициентом К (у), удовлетворяющее условиям А'(0) = 0, К'(у) > 0. Уравнения (16) и (17) не удовлетворяют последнему условию, К'(у) меняют свой знак при переходе через линию у = 1/2. Тем не менее, в этой работе оператор К(у)д2/дх2 + д2/ду2 будем называть оператором Чаплыгина, если sign К (у) совпадает с sign у {у — 1) или sign г/(1 — у).

Первая краевая задача для уравнения (16) была поставлена и исследована A.M. Нахушевым [32] - [36].

Среди работ, посвященных краевым задачам для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения, отметим работы

A.Б. Базарбекова [3], L.M. Sibner [63], И.Н. Ланина [29], A.A. Полосина [43],

B.В. Азовского, В.А. Носова [1], А.Н. Зарубина [15], A.A. Андреева, И.Н., Саушкина [2], J.M. Rassias [62].

Главной целью научно-квалификационной работы является постановка и исследование линейных краевых задач для уравнений в частных производных смешанного типа с двумя параллельными линями параболического вырождения и уравнений с гиперболическим вырождением порядка в смешанной области.

Качественные характеристики смешанных краевых задач устанавливаются методами, в основе которых лежат: принципы экстремума Хопфа, Зарембо-Жиро, Бицадзе, Агмона-Ниренберга-Проттера; метод априорных оценок (метод abc), методы Ф. Трикоми и A.B. Бицадзе решения задачи Трикоми для уравнений (2), (3) и в том числе, метод редукции смешанной задачи к краевой задаче Римана-Гильберта для аналитических функций комплексного переменного в случае уравнений (16), (17).

В работе впервые установлен принцип экстремума и дано решение задачи Дирихле и аналогов задач Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Поритского в главной части; доказана теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для класса линейных уравнений в частных производных с оператором Чаплыгина в главной части в смешанной области, содержащей внутри себя интервалы линий параболического вырождения; доказаны теоремы единственности и существования решения основных краевых задач для уравнений смешанных параболо-гиперболического и эллиптико-гиперболического

типов с гиперболическим вырождением порядка.

Имеющими существенное значение в области дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа результатами работы являются:

1. Теоремы (1.1.1, 1.1.2, 1.2.1, 1.3.1, 1.3.2, 1.4.1, 1.6.1) единственности и существования решения задачи Дирихле, аналогов задачи Трикоми и задачи Геллерстедта для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения.

2. Теорема 2.1.1 об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части.

3. Теорема 2.2.1 о принципе экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части.

4. Теорема 2.3.1 об априорной оценке решения аналога краевой задачи Трикоми для класса линейных уравнений смешанного типа с оператором Чаплыгина в главной части.

5. Теорема 2.4.1 о единственности и теорема 2.4.3 о существовании решения основной краевой задачи 2.4.2 для широкого класса уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

6. Теорема 2.5.1 о единственности и теорема 2.5.2 о существовании решения основной краевой задачи 2.5.1 для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

Эти основные научные результаты научно-квалификационной работы

имеют теоретическую ценность. Практическая ценность состоит в том, что результаты работы могут быть использованы в математической биологии, при математическом моделировании задач газовой динамики и процессов, протекающих в режимах с обострением, а также при разработке корректных математических моделей гидравлического удара в трубопроводных системах.

Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов».

ГЛАВА I

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ЛАВРЕНТЬЕВА-ПОРИТСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА В СМЕШАННЫХ ОБЛАСТЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ИНТЕРВАЛЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

§ 1.1. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для модели Лаврентьева—Поритского уравнения

Чаплыгина

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными х и у.

sign (у2 - у)ихх + иуу = 0.

(1.1.1)

ы

Уравнение (1.1.1) относится к классу уравнений годографа предложенных Поритским [61, с.37], является уравнением гиперболического типа в полосе 0 < у < 1 и эллиптического типа вне этой полосы. Оно параболически вырождается на параллельных линиях у — 0, у — 1, где коэффициент к(у) = sign (у2 — у) при старших производных претерпевает разрыв первого рода. Пусть Q, - смешанная область (см. рис. 1.1.1), гиперболическая часть которой совпадает с прямоугольной областью = {{х,у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1}, а эллиптическая представляет собой объединение двух одно-связных областей и Q,*, расположенных в полуплоскости у < 0 и у > 1

Рис. 1.1.1

соответственно: fip ограничена кривой <7о с концами в точках Ai = (0,0), А2 = (1,0) и отрезком А1А2 прямой у = 0; fi^~ ограничена кривой ai с концами в точках A4 — (0,1), A3 = (1,1) и отрезком Л3Л4 прямой у = 1. Сформулируем задачу Дирихле для уравнения (1.1.1) в области fi.

Задача 1.1.1. Найти непрерывную в замкнутой области fi функцию u = и(х, у), обладающую следующими свойствами:

1 ) и(х, у) - регулярное в областях fi0b, fi+ и в области fi"" всюду за исключением, быть может, характеристик А2А4 : х+у = I и А\А^\ х —у = 0, решение уравнения (1.1.1);

2) и(х, у) удовлетворяет условиям сопряжения

lim uy(x,y) = lim uv(x,y), 0 < x < 1, 3/->+0 y-*-0

lim uy (x, y) = lim uy{x,y), 0 < x < 1,

1+0 y-+1-0

и краевым условиям

uL = <Po(x,y), (1.1.2)

u U = Vi (ж, у), (1.1.3)

w UiA4 =«(0,î/) = ^(y), 0<у<1, (1.1.4)

п|а2а3 =ti(l,y) = ^i(y), 0 < у < 1, (1.1.5)

где {x, у), (ж, у), -00 (ж), '01 (ж) - заданные достаточно гладкие функции, непрерывные в замкнутой области их определения.

Для уравнения (1.1.1) в области fi справедлив принцип экстремума, который сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1.1.1. Пусть и(х,у) - решение задачи 1.1.1 при фо (у) = ф1 = о для всех у € [0,1]. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х,у) на компакте = и щ достигается На (7о и (71.

Доказательство теоремы проведем при дополнительном предположении, что функция иу(х,у) является непрерывной в замкнутой области всюду, за исключением, быть может, точек А^ — 1,2,3,4), где она может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка.

Поскольку фо(у) и ф\{у) равны нулю на сегменте [0,1], то из (1.1.4) и (1.1.5) имеем:

и(0,у) = 0, и(1,у) = 0, 0 < у < 1. (1.1.6)

В области О- функция и(х, у) является решением волнового уравнения

ихх-иуу = 0. (1.1.7)

Воспользуемся теоремой о среднем значении для уравнения (1.1.7), которая формулируется следующим образом. Пусть — (#1, у\), zз = (яз, уъ) их2 = (х2,У2),24 — (х4,у4)- противоположные величины произвольным образом фиксированного характеристического четырехугольника принадлежащего замкнутой области Тогда (см. [39, с. 165]) для любого решения и(г) = и(х,у) уравнения (1.1.7) справедливо равенство

и(г{) 4- и(гз) = и(г2) + м(^).

Условие (1.1.6) и теорема о среднем значении для уравнения (1.1.7) позволяют записать:

т0 (ж) + Т1 (1 - ж) = 0, 0 < ,т < 1, (1.1.8)

Щ (%) + (1 — х) = О, 0 < яг < 1, (1.1.9)

где т0(х) = и(х, 0), т\(х) = и(х, 1), щ{х) = иу(х, 0), v\{x) = иу(х, 1).

Допустим, что положительный максимум функции и(х, у) на компакте достигается в точке ( = (£,7]). Функция и(х,у) в областях Qq и удовлетворяет уравнению Лапласа

ихх + иуу = 0. (1.1.10)

Поэтому в силу принципа экстремума для гармонических функций точка ( не принадлежит и Допустим, что £ = £0 = (£, 0), 0 < х < 1. Тогда с