Исследование разностных схем для задач Трикоми и Геллерстеда тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа.

1.1. Численное решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Аппроксимация краевой задачи ./.

1.1.3. Сходимость решения разностного уравнения к решению дифференциального.

1.1.4. Итерационный процесс Зейделя в приближенном решении задачи Трикоми.

1.1.5. Результаты расчета для тестовой задачи.

1.2. Численное решение краевой задачи для модельного уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа.г/.,.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Построение разностной схемы

1.2.3. Сходимость итерационного процесса Зейделя в приближенном решении задачи.

1.2.4. Результаты численных расчетов

Глав а 2. Краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения с нелокальными краевыми условиями

2.1. Постановка задачи.'.

2.2. Аппроксимация дифференциального оператора разностным

2.3. Аппроксимация граничных условий.

2.4. Приближенное решение краевой задачи

2.5. Результаты расчета для тестовой задачи.

Г л а в а 3. Краевые задачи для уравнения Дарбу — Трикоми

3.1. Приближенное решение задачи Трикомй для уравнения Дарбу — Трикоми.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Основные соотношения между гиг/.

3.1.3. Аппроксимация краевой задачи

3.2. Приближенное решение задачи Геллерстедта.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Построение разностной схемы

3.2.3. Сходимость итерационного процесса''Зейделя в приближенном решении задачи Геллерстедта.

3.2.4. Результаты численных расчетов.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в настоящее время является одним из интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как внутренними потребностями теоретического обобщения классических краевых задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением. Основы этой теории были заложены в трудах Ф.Трикоми [59] и С. Геллерстедта [3]. Они изучали краевые задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, известные в литературе как задачи Трикоми и Геллерстедта. Новым этапом в развитии исследований краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы М. А. Лаврентьева, Ф. И. Франкля [61]-[63], И. Н. Векуа [15], А. В. Бицадзе [12]-[13], К. И. Бабенко [9] и других математиков. В монографии А. В. Бицадзе [12] отмечено, что уравнения смешанного типа стали объектами систематических исследований с конца 40-х годов нашего столетия. 7

В последние годы теория краевых задач для уравнений смешанного типа развивалась в работах Б. А. Бубнова, JI. Д. Кудрявцева, А. И. Ко-жанова, Н. А. Ларькина, М. М. Смирнова, Т. Д. Джураева, М. С. Са-лахитдинова, С. А. Терсенова, В. П. Михайлова, Е. И. Моисеева, А. М. Нахушева, В. Ф. Волкодавова, В. Н. Врагова, И. Е. Егорова, А. Н. Зарубина, В. И. Жегалова, А. Г. Подгаева, Хе Кан Чера, К. Б. Сабитова, O.A. Репина и др. Обширную библиографию работ в этом направлении можно найти в [2, 11, 12, 53, 54, 56].

Уравнения смешанного типа находят применение во мйогих задачах математической физики, в частности, в задачах газовой динамики, теории упругости (см.[И, 14, 15, 22, 50, 53, 54, 63] и др.).

Многие уравнения математической физики, могут быть сведены к л, виду ' уихх + иуу + а(х,у)их + Ъ{х,у)иу + с(х,у)и + (1(х,у) = 0. (1)

Для прототипа уравнения (1): уихх + иуу = 0 (Т)

Ф. Трикоми изучал следующую основную краевую задачу. Пусть область Б ограничена гладкой кривой Г с концами в точках А и В оси абсцисс, расположенной в верхней полуплоскости, и характеристиками ¿1 и 12 уравнения (Т), выходящими из этих точек у; пересекающимися в точке С нижней полуплоскости. Требуется найти функцию и(х,у) такую, что: а) и(х,у) непрерывна в £); б) первые ее производные непрерывны в И, кроме, может быть, точек А и В, где они могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы; в) вторые производные непрерывны в Б, кроме, может быть, точек параболической линии, где они могут не существовать; г) и(х,у) удовлетворяет уравнению (Т) во всех таЪкцх 0\{у = 0} ; д) и(х,у) удовлетворяет граничным условиям: и = (р на Г, и = ф на 1\ (или ¿2 )•

С. Геллерстедт исследовал задачу типа Трикоми (для уравнения (Т)) в области, состоящей из эллиптической части, линии вырождения и двух характеристических треугольников.

Ф. И. Франкль обнаружил очень важные приложения задач Трикоми, Геллерстедта и других родственных им задач к газовой динамике, а именно, к теории установившихся смешанных до — и сверхзвуковых течений. Например, в работе [61] Ф. И. Франкль показал, что задача истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками (внутри сосуда скорость дозвуковая) сводится к задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина:

Ч) дв2 да2 здесь ф — функция тока, К и а — функции скорости течения, которые обе положительны при дозвуковой и отрицательны при сверхзвуковой скорости; в — угол наклона вектора скорости. Таким образом, уравнение (Ч) имеет эллиптический тип при дозвуковой и гиперболический при сверхзвуковой скорости. Оно может быть сведено к уравнению типа (1).

А в работе [62] Ф. И. Франкль получил интересные результаты относительно построения сопел Лаваля. Сопла Лав для — это, трубопроводы, вначале суживающиеся, а затем расширяющиеся. При определенном секундном расходе газа, а именно, при максимально возможном, в наиболее узком сечении скорость потока будет равна соответствующей местной скорости звука (так называемая критическая скорость). В суживающейся части сопла скорость дозвуковая, в расширяющейся части — сверхзвуковая. В сопле, не имеющем расширяющейся части, скорость останется всегда дозвуковой. Сопла Лаваля являются единственным средством получения равномерных установившихся сверхзвуковых течений, поэтому они играют основную рол^ в аэродинамических трубах сверхзвуковых скоростей, в ракетах и в паровых турбинах.

Основная задача теории сопла Лаваля, а именно, нахождение потока, в том числе и максимального расхода, в сопле заданной формы в общем случае еще не решена. В наиболее простом случае, когда стенки суживающейся части сопла — плоские, и когда выполняются еще некоторые дополнительные условия, она, по существу, не отличается от задачи истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками и сводится к задаче Геллерстедта, а в случае симметричного сопла получается задача Трикоми.

А. Ф. Филиппов [60] привел разностное уравнение, решение которого сходится к решению задачи Трикоми для уравнения (Т).

М. А. Лаврентьев с целью упрощения исследования краевых задач для уравнения смешанного типа предложил исследовать модельное уравнение ихх + sign?/ иуу = 0, (2) которое теперь называется уравнением Лаврентьева — Бицадзе, по имени авторов, подробно исследовавших задачу Трикоми для этого уравнения.

В работах В. Г. Карманова [27], 3. И. Халилова [65] к решению задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе был применен метод конечных разностей.

Метод конечных разностей — один из мощных численных методов решения широкого класса математических задач. В настоящее время не разработана удовлетворительная теория разностных схем для уравнений смешанного типа, в литературе имеются лишь отдельные работы.

Принципы и методы построения разностных схем, исследование их свойств, а также разработка специальных методов решения сеточных уравнений достаточно полно изложены, например, в монографиях A.A. Самарского [47], A.A. Самарского и A.B. Гулина [45], A.A. Самарского и В.Б. Андреева [46], И.С. Березина и Н.П. Жидкова [10], И.И Ляшко, В.Л.Макарова и А.А. Скоробогатько [36], С.К. Годунова и B.C. Рябенького [18].

Теперь перейдем к краткому изложению настоящей диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы из 78 наименований и изложена на 94 страницах. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

1. Agmon S., Nirenberg L., Protter M. H. A Maximum Principle for a Class of Hyperbolic Equations and Applications to Equations of Mixed Elliptic Hyperbolic Type // Comm. Pure Appl. Math., 6, 455-470 (1953).

2. Carrol R. W., Showalter R. E. Singular and Degenerate Cauchy Problems// N.Y.; San Francisco; L.: Acad. Press, 1976. 333 p.

3. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pou^T'equation ymzxx + zyy = 0 // Arkiv Mat., Astr., och Fysik 3, B.26 A., 1938, pp. 1-32.

4. Gilbert R. P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations// N.Y.; L.: Acad. Press, 1969. 313 p.

5. Morawetz C. S. A uniqueness theorem for the Frankl problem // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. 4. P. 697-703.

6. Morawetz C. S. Note on a maximum principle and a uniqueness theoremfor on elliptic-hyperbolic equation // Proc. Roy. Soc. 1956. V. 236. 1024.гP. 141-144. ' '

7. Payne Kevin R. Interior Regularity of Dirichlet Problem for the Tricomi Equation// J. Nath. Anal, and Appl. 1996 199, pp. 271-292.

8. Jin S. Numerical Integrations of Systems of Conservation Laws of Mixed Type// Siam J. Appl. Math. Vol. 55. N 6, pp. 1536-1551 (1995).

9. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи ма-тем. наук, 1953. Т.8, N 2. С.160.-г

10. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: ФИЗМАТ-ГИЗ, 1962. 640 с.

11. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. 232 с.,г;

12. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 162 с.

13. Бицадзе А. В. К теории уравнений смешанного типа // Дифференц. ур-ния. 1970. Т. 6. N 1. С. 3-6.

14. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

15. Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 288 сг

16. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в пространстве// Дифференц. ур-ния. 1977. Т. 13. N 6. С. 10981105.

17. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1983. 84с.

18. Годунов С. К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.

19. Джунисов А. Т. Единственность решения задачи Трикоми для одного уравнения эллиптико гиперболического типа с сильно нехарактеристическим вырождением// Дифференц. ур-ния, 1980. Т. 16. N 1. С. 167-170.

20. Егоров И. Е. Разрешимость краевых задач для неклассических уравнений смешанного типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. С. 60-72.

21. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

22. Жегалов В. И. Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа// Дисс. . докт. физ. мат. наук: 01.01.02 Казань, 1988. 297 с. / .

23. Зайнулабидов М. М. О некоторых задачах для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. Дифферент ур-ния. 1969. Т. 5. С. 91-99.

24. Зарубин А. Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом// Дифференц. ур-ния. 1996. Т.32. N 3. С. 350-356.

25. Зарубин А. Н. Об алгоритме решения начально краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом// Журнал вычисл. мат. и мат.физ. 1997. Т. 37. N 2. С. 184-187.

26. Зарубин А. Н. Начально краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом// Дифференц. ур-ния. 1998. Т. 34. N 1. С. 87-93.

27. Карманов В. Г. О существовании решений некоторых краевых задач для уравнения смешанного типа // Известия АН СССР. Сер. матем. 1958. Т.22. N 1(62). С. 117-134.

28. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т.77. N 2. С. 181-183.

29. Кожанов А. И. Краевая задача для одного к<йас9а уравнений третьего порядка // Дифференц. ур-ния. 1980. Т. 16. N 1. С. 86-92.

30. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990. 130 с.

31. Кудрявцев Л. Д. О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Доклады АН СССР. 1956. Т. 108. N 1. С. 16-19.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830с.

33. Ладыженская О. А. Об одном способе приближенного решения задачи Лаврентьева — Бицадзе // Успехи математических наук. 1954. Т.9. N4 (62). С. 187-190.

34. Ладыженская О. А., Ступлялис Л. Об уравнениях смешанного типа// Вестник Ленинградского университета. 1965. N 19. Выпуск 4. С. 38-46.

35. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

36. Ляшко И. И., Макаров В. Л., Скоробогатько А. А. Методы вычислений/ / Киев: Вища школа, 1977. 408 с.

37. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

38. Михлин С. Г. Об интегральном уравнении Г. Тпсопи// Докл. АН СССР. 1948. Т.9. N 6. С. 1053-1056.\

39. Положий Г.Н., Пахарева H.A., Степаненко И.З., Бондаренко П.С., Великоиваненко И.М. Математический практикум // М: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1960. 512 с.

40. Полосин А. А. Об однозначной разрешимостц'задачи' Трикоми для одной специальной области // Дифференц. ур-ния. 1996. Т. 32. N 3. С. 394-401.

41. Репин О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса// Дифференц. ур-ния. 1996. Т.32. N 4. С. 565-567.

42. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина// Докл. АН СССР. 1994. Т. 335. N 4. С. 430-432.

43. Сабитов К. Б., Исянгильдин А. X. Задача Трикойи с нелокальным условием сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми// Дифференц. ур-ния. 1996. Т. 32. N 3. С. 409-412.

44. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.

45. Самарский А. А., ГУлин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

46. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для рллйптичеf • / хских уравнений. М.: Наука, 1976.

47. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

48. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Гулин A.B. Устойчивость опе-раторно разностных схем// Дифференц. ур-ния. 1999. Т.35. N 2. С. 152-187.90

49. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

50. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно составного типа. Ташкент: Фан, 1974. 156 с.

51. Салахитдинов М. С., Менгзияев Б. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиямй вырождения// Дифференц. ур-ния. 1977. Т. 13. N 1. С. 133-139.

52. Салахитдинов М. С., Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области// Дифференц. ур-ния. 1981. Т. 17. N 1. С. 129-136.

53. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

54. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. 1уГ: Наука, 1970. 296 с.

55. Терехов А. Н. Об однозначной разрешимости одной задачи для уравнения смешанного типа: Труды конференции по дифференц. ур-ния. и выч. матем. 1980. С. 62-64.

56. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе: Спецкурс для студентов математиков. Новосибирск: НГУ, 1973. 144 с.

57. Терсенов С. А. О первой краевой задаче для одного уравнения неклассического типа// Доклады академии наук СССР. 1§80. Т. 250. N5. С. 1070-1074.

58. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с. ,J * ■>/ '

59. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа// М.-Л.: Го-стехиздат, 1947. 192 с.

60. Филиппов А. Ф. О разностном методе решения задачи Трикоми// Известия Академии наук СССР. 1957. N 21. С. 73-88.

61. Франкль Ф. И. О задаче Чаплыгина для смешанных до — и сверхзвуковых течений.//Известия Академии наук СССР. 1945.N 9.

62. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.

63. Хайруллин Р. С. О задаче типа Геллерстедта для уравнений второго рода// Сборник научных трудов по уравнениям неклассического типа. Новосибирск, 1997. С. 97-106.

64. Халилов 3. И. Решение задачи для уравнения умешанного типа ме■ / *тодом сеток // Докл. АН Азерб. ССР. 1953. Т.9. N 4. С.189-194.

65. Хе Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа //Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 26. С. 134-141.

66. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа //Сиб. мат. журнал, 1977. N 6. С. 1426-1429.92 / , , ^ лРаботы автора по теме диссертации:

67. Ивлева А. И., Xe Кан Чер. Численное решение задачи для модельного уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа// Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики: Тез. докл. Новосибирск, 1995. С. 46.

68. A. I. Ivleva, Khe Кап Cher. A numerical solution of the nonlocal boundary value problem for the degenerating elliptic equation// Дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. Самара, 1996. С.54. / а , ,

69. A. I. Ivleva, Khe Kan Cher. Approximate solution of a boundary value problem for degenerated elliptic equation with nonlocal boundary conditions// Математические заметки ЯГУ. T. 3. N 2. Якутск, 1996. С. 82-90.

70. Ивлева А. И., Хе Кан Чер. Численное решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Сборник научных трудов НИИ КТ по математике. Вып.2. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. унта, 1997. С. 58-64. / ,

71. Ивлева А. И., Хе Кан Чер.Численное решение задачи для модельного уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа// Уравнения неклассического типа. Новосибирск: НГУ, 1997. С. 54-63.

72. А. И. Ивлева, Хе Кан Чер. Об одном приближенном методе решения задачи Трикоми //II Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. Якутск, 1997. С. 26-27.

73. А. И. Ивлева. Об одном приближенном методе решения задачи Трикоми // Дальневосточный математический сборник. Владивосток: Дальнаука, 1998. Т. 6. С. 36-42.

74. А. И. Ивлева. Об одном приближенном методе решения задачи Гел-лерстедта // Ш-й Сибирский конгресс ИНЦРИМ-98: ,Тез. докл. Ч.1У. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1998. а 19.

75. А. И. Ивлева. Об одном приближенном методе решения задачи Гел-лерстедта // Физика: фундаментальные исследования, образование: Тез. докл. краевой научной конференции. Хабаровск, 1998. С. 19-20.

76. А. И. Ивлева. Об одном приближенном методе решения задачи Гел-лерстедта // Владивосток: Дальнаука, 1999. (Препринт N 36/ ВЦ ДВО РАН). 44 с.л