К теории задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГВ од

2 5 ДЕК 2000

На правах рукописи

ШЛРАФУТДИНОВА ГЮЗЕЛЬ ГАЛИМЗЯНОВНА

К теории задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара — 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сабитов К.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов А.П.

кандидат физико-математических наук, доцент Азовский В.В.

Ведущая организация: Институт Механики УНЦ РАН

(г. Уфа)

Защита состоится 28 декабря 2000 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К. 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико - математических наук в Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова - Овсеенко, 26, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета по адресу: 443090, г. Самара, ул. М. Горького, 65/67.

Автореферат разослан

ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Носов В. А.

Актуальность темы. Возникшая в начале XX века теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмо-ментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и в других областях.

Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми. Он доказал существование и единственность регулярного решения задачи Трикоми при условии ортогонального подхода эллиптической границы смешанной области к линии изменения типа (вырождения).

Одно из направлений исследований, связанных с задачей Трикоми, заключается в ослаблении условий геометрического характера на эллиптическую часть границы области. Актуальность этой проблемы была отмечена в работах [ 1, 2 ].

Проблемой снятия ограничений геометрического характера на эллиптическую часть границы области в случае уравнения смешанного типа с одной линией вырождения занимались Ф.И. Франкль, A.B. Бпцадзе, P. Germain, R. Bader, M. Protter, К.И. Бабенко, A.M. Нахушев, Ю.М. Крикунов, А.П. Солдатов, Е.И. Моисеев, К.Б. Сабитов и другие.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов, В.Ф. Волкодавов, В.В. Азовский, М.М. Смирнов, A.M. Ежов, Хе Кан Чер, И.А. Макаров, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, А. Хаса-нов, Б. Исломов, С.С Исамухамедов, Ж. Орамов, С.И. Макаров и другие авторы. В работах этих авторов теорема существования решения задачи Трикоми получена при ортогональном подходе эллиптической границы к линиям изменения типа.

Цель работы. Целью данной работы является обоснование однозначной разрешимости решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа при произвольном подходе эллиптической границы к линиям типа (вырождения).

Методы исследования. При доказательстве принципа мак-

симума для общих линейных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения, из которого следует единственность решения задачи, используются известные принципы экстремума для эллиптических, гиперболических и смешанных уравнений с одной линией вырождения, метод барьерных функций. Доказательство существования обобщенного решения задачи Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения проводится с помощью альтернирующего метода Шварца. При доказательстве существования регулярного решения задачи Трикомл для модельных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения используется метод сведения краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению, которое методом регуляризации Кар-лемана - Векуа сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, и аппарат специальных функций.

Научная новизна.

1. Установлены экстремальные свойства решений общих линейных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области в классе регулярных и обобщенных решений при более слабых условиях на коэффициенты уравнения и класс решений, чем в [ 3, гл.1 ], и показаны их применения при доказательстве единственности решения задачи Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений при произвольной эллиптической границе смешанной области.

2. Доказано существование обобщенного решения задачи Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения при произвольном подходе эллиптической части границы области к линиям изменения типа, за исключением случаев касания и осцилляции.

3. Доказаны теоремы существования регулярных решений задач Дарбу для модельного уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения.

4. Доказана теорема существования регулярного решения задачи Хольмгрена для модельного уравнения эллиптического типа с негладкой линией вырождения.

5. Доказано существование регулярного решения задачи Три-коми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа при произвольном подходе эллиптической части границы области к линиям изменения типа, за исключением случаев касания и осцилляции.

6. Доказано существование регулярного решения задачи Три-коми для модельного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения в случае, когда "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института (научные руководители, профессора К.Б. Сабитов и Ф.Х. Мукми-пов, 1995 - 2000 г.);

- на научном семинаре кафедры математического анализа Самарского государственного педагогического университета (научный руководитель, профессор В.Ф. Волкодавов, ноябрь 2000г.);

- на научном семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института Механики УНЦ РАН (научные руководители, профессора C.B. Хабиров, A.B. Жибер, ноябрь 2000 г.),

а также следующих конференциях.

1. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции", посвященная 90 - летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина (г. Самара, 1997);

2. Всероссийская научная конференция "Физика конденсированного состояния" (г. Стерлитамак, сентябрь 1997);

3. Международная научная конференция "Спектральная те-

ория дифференциальных операхорров, смежные вопросы", посвященная юбилею академика В.А. Ильина (г. Стерлитамак, май

1998);

4. Всероссийская научно - практическая конференция "Проблемы физико - математического образования в педогогических вузах России на современном этапе" (г. Магнитогорск, март

1999);

5. Международная научная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Уфа, июнь 2000);

6. Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", посвященная 40 - летию механико - математического факультета КГУ (г. Казань, октябрь 2000).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [ 6 ] - [ 16 ], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 131 странице и состоит из введения, трех глав и библиографии, содержащей 65 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 диссертации для более общего уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа установлены экстремальные свойства решений в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области в классе регулярных и обобщенных решений при более слабых условиях на коэффициенты изучаемого уравнения и класс решений, чем в [ 3, гл. 1 ].

В § 1.1 рассматривается уравнение

Lu = К{у)ихх + N(x)uyy + Аих + Виу + Си = F(x, у), (1)

где уК(у) > 0 при уф О, xN(x) > О при х ф О, в области D, ограниченной: 1) кривой Г из класса Ляпунова, лежащей в первой четверти плоскости (я, у) с концами в точках В = (/, 0) и В1 = (0,/), I > 0; 2) характеристиками АС и С В уравнения (1) при х > 0, у < 0; 3) характеристиками АС\ и С\В\ уравнения (1) при х < 0, у > 0, где А = (0,0), С = (1/2, ус), ус < 0; Сх = (xCl,//2), xCl <0.Пусть = £)П{х > 0,у > 0}, D2 = fn{o 0, у < 0}, D3 = £>П{х< 0,у > 0}.

Для уравнения (1) в области D ставятся задачи Трикоми. Задача Т\. Найти и(х,у), удовлетворяющую условиям:

«(«. У) € С(5) Л C^D) Л C2(Z)i U £>2 U D3)\ (2)

Lu(x, у) = F(x, у), (х, у) е Di U Z?2 U ¿?3; (3)

и(х, у) = у>(х, у), (х, у) G Г; (4)

и(х, y)|cCi = Ф(х), хс < х < 1/2, (5)

где (риф- заданные достаточно гладкие функции.

Задача Т2. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (2) - (4) и

u(x,y) = #r,y), (х,у)еВС, (6)

u(x,y) = il>i(x,y), (х,у)еВ1С1, (7)

где и ф\ — заданные достаточно гладкие функции, что <Р(В) = Ф(В), f(Bi) = ipi(Bi).

В § 1.2 для уравнения (1) в областях гиперболичности при некоторых ограничениях на его коэффициенты показано, что максимум решения и(х, у) по замкнутым областям D2 и достигается на отрезках параболического вырождения.

В § 1.3 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке нормальной производной в точке максимума и вблизи точки максимума решения уравнения (1) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) С(х,у) < 0 в области D\\ 2) "(*,У) 6 C(Di)/\C1(Di UABUABi)AC2(Di), Lu = F > 0 (< 0)

в 01; 3) тахи(я,у) = и(С?) > О ( тти = < 0 ) ; 4) функция

\ £>1 ) и(х,у) имеет изолированный максимум (минимум) и(<2) в точке А; 5) в малой окрестности точки А: а) функции их и иу суммируемы; б) производные Ах и Ву непрерывны вплоть до границы; в) 1С - Ах - Ву < О, Л(0, у) > 0 и В(0, х) > 0. Тогда в любой окрестности и С дО\ точки А найдется точка 0}' £ V такая, что

£«7X0 0 0),

где

ои

— = ихпх + иуПу, пх и Пу — компоненты внутренней нормали к границе области

В § 1.4 получен принцип экстремума для уравнения (1) в классе регулярных решений.

Определение 1.2. Регулярным из класса /?1 (I?) решением уравнения (1) назовем функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и(х, у) £ С(П) Л С1 (О);

2) и(х,у) £ С2(£»0 и Ьи(х, у) = Р(х,у) в £>1;

8) и(х,у) в областях £>2 и £>з является решением уравнения (1) в характеристических координатах (£, Т]);

4) производная щ в характеристических координатах (£,г]) непрерывна в Дг и АС и Оз и АС\.

Определение 1.3. Регулярным из класса /2г(£)) решением уравнения (1) назовем функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям 1) — 3) определения 1.2 и, кроме того, производная щ в характеристических координатах непрерывна в .Оги ВС и ЯзиВ^г.

При определенных условиях доказано, что регулярное из класса решение уравнения (1) достигает максимум (ми-

нимум) по замкнутой области О на эллиптической границе. Из этого утверждения следуют единственность решения Т\ и Тг при произвольной эллиптической границе.

В § 1.5 определены классы С¡),(£>) обобщенных решений уравнения (1) и е этих классах установлены принципы экстремума.

Определение 1.4. Обобщенным из класса Qi(D), г — 1,2, решением уравнения (1) будем называть функцию и(х,у), если существует последовательность регулярных из класса Ri{D) решений {ир(х,у)} уравнения (1), равномерно сходящаяся к и(х,у) в замкнутой области D.

Утверждения о принципе экстремума, полученные в §1.4, переносятся в класс обобщенных решений уравнения (1), из которых следует единственность обобщенного решения задач Т\ и Тг без каких - либо ограничений геометрического характера на кривую Г.

В §§ 1.6 и 1.7 рассматривается уравнение (1) в области D при К(у) = sgny ■ = sgnx ■ |x|m, п, m > 0, F(x, у) = О,

т.е.

Lu = sgny ■ H"uIX + sgnx ■ |г|тиуу + Aux + Buv + Си = 0. (8)

Пусть х = x{s),y = y(s) — параметрические уравнения кривой Г из класса Ляпунова, не касающейся осей координат в точ- " ках В и Bi; s — длина дуги, отсчитываемой от точки В] S — длина кривой Г; Го — нормальная кривая, заданная уравнением хт+2 + уп+2 = /2; £)01 — область, ограниченная кривой Го и отрезками АВ и АВi, и, кроме того, предположим, что для уравнения (8) выполнен принцип экстремума.

Определение 1.5. Функцию к(х, у) из класса Ri(D), удовлетворяющую условиям (4) и (5), назовем регулярным решением задачи Т\. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи Т\ назовем обобщенным решением задачи Ть

Доказана следующая

Теорема 1.7. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в точках В и В\ сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное решение задачи Т\ для уравнения (8). Тогда если функция <p(s) непрерывна на [0,5] и ф(х) достаточно гладкая (т.е. функция ф(х) такова, что при достаточно гладкой функции <p(s) выполнено условие теоремы 1.7) на [—1/2,1/2], ¥>(0) = = 0, то существует единственное

обобщенное решение и(х,у) задачи Т\ при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в до-

статочно малых окрестностях точек В и В\ соответственно ¿х/йв и йу!¿в меняют знаки.

Определение 1.6. Функцию и(х,у) из класса Дг(£>), удовлетворяющую условиям (4), (6), (7) назовем регулярным решением задачи Равномерный в Б предел последовательности регулярных решений задачи назовем обобщенным решением задачи Т2.

Теорема 1.8. Пусть в области О при условии, когда кривая Г оканчивается в точках В и В\ сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное решение задачи Т\ для уравнения (8). Тогда если функция непрерывна на [0,5] и ф(х) и ф!(у) достаточно гладкие (т.е. функции ф{х)<ф\{у) таковы, что при достаточно гладкой функции <р(в) выполнено условие теоремы 1.8) на [//2,/], ф(1) = фг (/) = <р(0) = <р(3) — 0, то существует единственное обобщенное решение и(х,у) задачи Т2 при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В1 соответственно ¿х/с1$ и йу/бэ меняют знаки.

Доказательство теорем 1.7 и 1.8 проводится на основании принципа экстремума для уравнения (8) и альтернирующего метода типа Шварца.

В главе 2 рассматривается в области Б уравнение Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями изменения типа

£(и) = здпу ■ ихх + вдпх ■ иуу = 0. (9)

Для решений задач Т\ и Ъ2 установлен принцип экстремума и на основании альтернирующего метода типа Шварца доказано существование и единственность регулярного решения задач Ту и Т2.

Теорема 2.2. Если ф) е С[0,5]; ф(х) 6 Сг[-1/2,1/2] А С2(—1/2,0) ДС2(0,1/2); ф'(х) € Ь^-1/2,1/2] и ф(0) = р(0) = <р(1) — 0, то существует единственное регулярное решение и(х,у) задачи 7\ при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В\ соответственно йх/йв и ¿у/йв меняют знаки.

Теорема 2.4. Если ф) € С[0,5]; ф(х),ф1{у) € С1 [1/2,1] А

С2(1/2,1); ф'(х), ф[(у) € ¿1[1/2,1] и ф(1) = 1) = ^(0) =

<р(1) = 0, то существует единственное регулярное в П решение и(х,у) задачи Тг при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В а В\ соответственно с/г/йв и йу/йв меняют знаки.

Глава 3 посвящена изучению вопросов существования и единственности регулярного в области £) решения задачи Т\ для уравнения

Ьи = вдпу-\у\тихх + вдпх ■ \х\тиуу =0, т > 0. (10)

Единственность решения задачи Т\ в классе регулярных и обобщенных в Б решений уравнения (10) доказана на основе принципа максимума, изложенного в главе 1, без ограничений на кривую Г.

Для доказательства разрешимости задачи Т\ для уравнения (10) рассмотрены две вспомогательные задачи: задача Хольмгре-на в области Дц и задача Дарбу в областях £>2 и £?з, считая

. . ,. ди(х,у) ди(х,у)

функции иАх) = пт-—г- и 1/2(3/) = —^- известными.

у—»о ду х—о ду

Затем полученные решения склеивая по функции и по нормальной производной на отрезках АВ и АВ\, доказательство существования решения задачи Трикоми сведено к решению системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций ^1(2;) и 1/2(у). Произведя регуляризацию системы сингулярных интегральных уравнений методом Карлемана - Векуа, получено уравнение Фредгольма второго рода относительно функций 1/1 ± и^, разрешимость которого следует из теоремы единственности решения задачи Т\. Далее доказано, что найденное решение задачи Т\ является регулярным в случае, когда Дп и Го С 0\.

В § 3.1 на основании результатов главы 1 установлен принцип максимума для уравнения

$9пУ ' |уГ"** + ^х • \х\тиуу = Р{х, у) (И)

при всех значениях т, п > 0 и т + п > 0 и как следствие, получены утверждения о единственности решения задач 7\ и Тг в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (11) при произвольной эллиптической границе.

+

В § 3.2 для уравнения (10) в области £>oi исследована Задача Хольмгрена (задача Н). Найти в области Дц функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) 6 C{Dq\) А C1(D0ll)ABUAB1)AC2(D0i); Lu(x,y) = 0,(х,у) £ D0i; и|Го = V?(x),0<x <l; ии(х,0 + 0) = i/i(¡e), 0 < х < 1; ur(0 + 0, у) = í/2(j/), 0 < у < 1, где и г^ — заданные достаточно гладкие функции.

Теорема 3.8. Если <р{х) 6 С[0,1], <р(0) = р(1) = 0, xvx(x), 2/1/2(2/) Е (7(0,1) К Ш 1], то существует единственное решение задачи Н и оно определяется формулой

«(хо, Уо) = / [G(x(s), y(s); х0, yo)]

Jo

f1 xmi/i(x)G(x, 0; xo, yo)dx + / ymu2(y)G(0, y, x0, y0)dy, (12) Jo Jo

где G(x,y,xo,yo) — функция Грина задачи H [ 4 ]■

В § 3.3 доказаны теоремы существования задач Дарбу для ' уравнения (10).

В области Di в характеристических координатах (£, г]), уравнение (10) имеет вид

L0v = v(„ + ~ vi) + + vi) = (13)

m m + 2

4 = 2(ro + 2)' 2 '

а область отобразится в область Л = 77) |о < I; < r¡ < 1 j.

Задача Дарбу. Найти функцию v(£,T]), удовлетворяющую условиям v(£,ri) е С(Л)ЛСЧА), «é, G С(А); £0(г>) = 0

при G А; 40,»?) = М?). 0 < ч < 1; lim(f)2,(ij -

02í (ví ~ vi) = "oíOi 0 < ^ < 1, где фо и Щ — заданные функции.

Теорема 3.3. Если: 1) функция fo(£)£1-2} удовлетворяет условию Гельдера с показателем > q при 0 < í < 1 и при

£ —> 1 функция может иметь особенность степенного по-

рядка меньше, чем 1 — 2q\ 2) фо(т]) Е С2[0,1], то существует единственное решение задачи Дарбу для уравнения (13), и оно определяется формулой

+ В{[$(«)+ Л, (14)

где ЫО = ^ (н1/а), МО = ф! ([|<]1/а) , -

функция Римана - Адамара.

Решение задачи Дарбу в области Dz также определяется формулой (14), но в ней следует положить ^о(<) = и2 ([а*]1^ , Фо(1) = Ф2 ([§*] • Полученную таким образом формулу решения задачи Дарбу в области £>з обозначим (14').

Отметим, что в работе [ 5 ] формула решения задачи Дарбу для уравнения (13) получена, однако отсутствует теорема существования решения этой задачи с указанием гладкости функций щ и фо-

В § 3.4 доказано существование регулярного решения задачи для уравнения (10) с данными и = на Г, и = фг(х) на АС и и = фз(у) на АС\ в том случае, когда нормальная кривая Го содержится внутри области £).

Пусть функции у>(<) и у>(2) = ^>((1 — ¿2а)1/2а) представимы в виде:

*>(*) = Ы<)(1-*2Т\ ?(0 = ?о(0(1-*ааГ. (15)

где непрерывны на [0,1],рьр2 > 1/2, а функции ф^х)

удовлетворяют условию

ф{(х) = х1+хф0{, фы € С2[0,1], у + 1<А<т+1. (16)

Теорема 3.9. Если функции Ф\{Ь) и фг(1>) удовлетворяют условиям (15) и (16), то существует единственное регулярное в 1>о решение задачи 7\, которое в области Ад определяется формулой решения задачи Холъмгрена (12), а в областях

02 и £>з — соответственно формулами решения задачи Дарбу (Ц) и (14').

Единственность решения задачи следует из принципа экстремума. Доказательство существования решения задачи равносильно редуцируется к решению системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций ¡^(х) и и2(у). Произведя регуляризацию полученной системы сингулярных интегральных уравнений методом Карлемана - Векуа, получено уравнение Фредгольма второго рода относительно функций г'; ± и2. разрешимость которого следует из теоремы единственности решения задачи Т\. Далее доказано, что найденное решение задачи Т\ является регулярным в Дз-

Лемма 3.20. Пусть уравнение (10) задано в области Бо-Если (р(х) непрерывна при 0 < х < 1, <р(0) = у(1) = 0, и функции ^1(0 и удовлетворяют условиям (16), то существует единственное обобщенное решение задачи Т\ с граничными данными: и|г„ = ¥>, «|дс = ф\ и и\лс1 = Ф2, которое является регулярным в £>о-

Доказательство леммы проводится на основе теоремы 3.9 и альтернирующего метода типа Шварца.

Пусть кривая Г такова, что Да и Го СОь Теорема 3.10. Если функция ^(в) непрерывна на [0,5], ^(0) = <р(5) = 0, а функции ф\(х) и ф2(х) удовлетворяют условиям (16), то существует единственное обобщенное решение задачи Т\ с граничными данными и = ^(в) на Г, и = ф\ на АС ии = ф2 на АС\, которое является регулярным в £).

Доказательство этой теоремы проводится альтернирующим методом типа Шварца с использованием результатов леммы 3.20.

Автор выражет искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Ка-милю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Литература

1. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозву-

ковой газовой динамики. - М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

2. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд. АН СССР. 1959.

3. Сабитов К.Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1991.

4. Ежов A.M. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения // Дифферент уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. -Рязань, 1973. - Вып. 2. - С. 84 - 102.

5. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу // Волжский математический сборник. - Куйбышев, 1968. - Вып. 6. - С.56 - 61.

6. Шарафутдинова Г.Г. Альтернирующий метод Шварца в теории задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Физика конденсированного состояния: Труды Всеросс. науч. конф. - Стерли-тамак, 1997. - Том I. С. 131 - 137.

7. Шарафутдинова Г.Г. Применение альтернирующего метода Шварца к разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции: Тезисы докладов междунар. науч. конф. - Самара, 1997. - С. 66 - 67.

8. Шарафутдинова Г.Г., Карамова A.A. Задача Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы: Сборник науч. трудов междунар. науч. конф. - Стерли-тамак, 1998. - Часть I. С. 87 - 92.

9. Шарафутдинова Г.Г. Альтернирующий метод Шварца в теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тезисы докладов - Новосибирск, 1998. - Часть IV. С. 36.

10. Сабитов К.Б., Карамова A.A., Шарафутдинова Г.Г. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Математика. - 1999. - N 11(450). - С. 70 - 80.

11. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения //Дифференциаль-

ные уравнения и их приложения в физике. Сборник науч. трудов СФ АН РБ. Стерлитамак. 1999. С.68 - 82.

12. Шарафутдинова Г.Г. Задача Хольмгрена для уравнения эллиптического типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Понтрягинские чтения - X. Современные методы в теории краевых задач: Тезисы докладов. - Воронеж, 1999. - С. 266.

13. Шарафутдинова Г.Г. Задача Хольмгрена для уравнения эллиптического типа, с негладкой линией вырождения //Дифференциальные уравнения и их приложения в физике. Сборник науч. трудов СФ АН РБ. Стерлитамак. 1999. С.95 - 101.

14. Шарафутдинова Г.Г. Задачи Дарбу для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Материалы Всероссийской научно - практической конференции "Проблемы физико

- математического образования в педагогических вузах России на современном этапе." Магнитогорск. 1999. Часть II. С. 34 - 36.

15. Шарафутдинова Г.Г. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Т.З. Анализ и дифференциальные уравнения: Труды междунар. конф.

- Уфа, 2000. - С. 166 - 173.

16. Шарафутдинова Г.Г. Альтернирующий метод в теории уравнений смешанного типа с негладкой линией изменения типа // Труды математического центра имени II.И. Лобачевского. Т.5. Актуальные проблемы математики и механики: Материалы Междунар. науч. конф. - Казань: УНИПРЕСС, 2000. - С. 225 -226.

Работы [10, 11 ] выполнены в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому принадлежит постановка задач. В работах [8, 10 ] результаты получены совместно с Ка-рамовой A.A. независимо друг от друга.

Введение

1. Экстремальные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их применения

§1.1. Постановка задач.

§ 1.2. Экстремальные свойства решений в областях гиперболичности

§ 1.3. Экстремальные свойства решений в области эллиптичности

§ 1.4. Принцип экстремума в классе регулярных решений

§ 1.5. Принцип экстремума в классе обобщенных решений

§ 1.6. Условная разрешимость задачи Т\.

§ 1.7. Условная разрешимость задачи

2. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями изменения типа

§ 2.1. Задача Тх.

§ 2.2. Задача Т2.

3. Задача Трикоми для модельного уравнения смешанно го типа с двумя перпендикулярными линиями вырожде

§3.1. Постановка задачи. Единственность решения.

§ 3.2. Задачи Дарбу.

§ 3.3. Задача Хольмгрена.

§ 3.4. Существование решения задачи Трикоми.

Возникшая в начале XX века теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и в других областях.

Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми. Для уравнения уихх + иуу = 0 (0.1) он изучил следующую краевую задачу (задачу Т). Пусть область £) ограничена гладкой кривой Г с концами в точках А и В оси ОХ, расположенной в верхней полуплоскости, и характеристиками 1\ и Ц уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке нижней полуплоскости. Требуется найти решение и(х,у) уравнения (0.1) в классе регулярных в Б решений (и(х, у) £ С {Л) Л С1 [В) ЛС2(0\{у = 0})), удовлетворяющее граничным условиям и = <р на Г и и = ф на /1. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г заканчивается в точках А в. В двумя сколь угодно малой длины дугами "нормальной" кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Одно из направлений исследований, связанных с задачей Трикоми, заключается в ослаблении условий геометрического характера на эллиптическую часть границы области. Не претендуя на полноту, проведем обзор работ, касающихся этого вопроса.

В докторской диссертации [62] Геллерстедт решил задачу Трико-ми для уравнения

Утихх + иуу -си — F(x, у), где т = 2к — 1, к Е iV, с = const — достаточно малая, при тех же ограничениях на кривую Г, что и у Трикоми.

A.B. Бицадзе [4] в 1950 году впервые установил принцип экстремума задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева ихх + sgny -Uyy = 0 (0.2) и в классе регулярных в D решений доказал теорему существования и единственности решения задачи Т для уравнения (0.2) альтернирующим методом типа Шварца при произвольном подходе к оси у — 0 кривой Г из класса Ляпунова, за исключением касания прямой у = 0.

Для уравнения (0.2) Ю.М. Крикунов [16] получил результат, аналогичный результату A.B. Бицадзе, в случае, когда кривая Г оканчивается малыми аналитическими дугами и внутренние по отношению к эллиптической части области углы между Г и осью ОХ отличны от нуля.

А.П. Солдатов [44, 45] методами теории аналитических функций доказал единственность и существование регулярного решения обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе без каких - либо ограничений на подход кривой Г к оси абсцисс, за исключением внутреннего касания этой оси.

Ф.И. Франкль [47] доказал единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = О (ИГ(0) = О, К'(у) > О) без ограничений геометрического характера на гладкую кривую Г, но при условии, что функция

В работе [65] Проттер обобщил отмеченный выше результат Ф.И. Франкля. Единственность решения задачи Т для уравнения Чаплыгина им доказана в следующих случаях:

1) гладкая кривая Г, лежащая в эллиптической части области Л, произвольна, но гиперболическая часть области О ограничивается тем, что Г (у) > уо, где у0 < 0;

2) на гиперболическую часть области I) нет ограничений и функция Е(у) может принимать любые конечные значения при у < 0, но зато кривая Г не должна простираться слишком далеко в направлении оси х = 0;

3) функция К (у) имеет непрерывную производную третьего порядка, удовлетворяющую неравенству К'"(у) < 0 всякий раз, когда Г (у) < 0 при у < 0.

К.И. Бабенко [2, 3] доказал единственность решения задачи Три-коми для уравнения Чаплыгина, когда ляпуновская кривая Г удовлетворяет условию

На основании теоремы единственности методом интегральных уравнений К.И. Бабенко доказал существование решения задачи Т предполау) = 2 + 1 > 0 при у < 0. гая, что в окрестности концов кривой Г выполнено условие \dx/ds\ < Cy2(s),C = const > 0. В случае уравнения Трикоми, когда К (у) = у, ему удалось освободиться от этих ограничений на кривую Г, т.е. доказать однозначную разрешимость задачи Трикоми в классе регулярных в D решений при произвольном подходе кривой Г из класса Ляпунова к оси ОХ, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dx/ds меняет знак.

В работе [31, гл. 5] К.Б. Сабитовым получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина без указанных выше ограничений на кривую Г и коэффициент К (у).

A.A. Косовец в работе [15] перенес результаты К.И. Бабенко на случай уравнения sgny • \у\тихх + Щу — 0, т > 0.

В работе [22] Е.И. Моисеевым получены теоремы единственности регулярных решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа со спектральным параметром при произвольном подходе гладкой кривой Г к оси у = 0.

К.Б. Сабитов [33, 32] альтернирующим методом типа Шварца установил существование и единственность обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения s9nV ■ \у\тихх + Щу + А(х, у)их + В(х, у)иу + С(х, у)и = 0, т > 0, при произвольном подходе кривой Г из класса Ляпунова к оси ОХ, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dx/ds меняет знак.

Целью данной работы является обоснование однозначной разрешимости задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа при произвольном подходе эллиптической границы к линиям изменения типа (вырождения).

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов [11, 12], В.Ф. Волкодавов [6], В.В. Азовский [1], М.М. Смирнов [43], A.M. Ежов [10], Хе Кан Чер [49, 51], И.А. Макаров [18], К.Б. Сабитов [30], М.С. Са-лахитдинов, А. Хасанов, Б. Исломов [37, 38], С.С. Исамухамедов, Ж. Орамов [13], С.И. Макаров [19] и другие. В работах этих математиков теорема существования решения задачи Трикоми получена при ортогональном подходе эллиптической границы области к осям координат.

М.М. Зайнулабидов [11, 12] исследовал краевые задачи для уравнений в области D, ограниченной кривой Жордана Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках А( 1,0), В(0,1) и характеристиками АС, БС, АС\ и В\С\ уравнения (0.3) и (0.4). Были доказаны существование и единственность решений задач Т\ (с данными на Г и СС\) и Т2 (с данными на Г, ВС и B\Ci), когда дуга Г — ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками нормального контура. При доказательстве единственности решения задач Т\ и Зайнулабидов М.М. использовал принцип экстремума A.B. Бицадзе и метод Франкля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений. иХх + sgn{xy) -Uyy = 0

У^хх "Ь XUyy — 0

0.3) (0.4)

A.M. Ежов [10] для уравнения sgny -\у\тихх + sgnx -\x\mUyy -Ь sgn(xy) • \xy\muzz = 0, m > 0, (0.5) в бесконечной цилиндрической области G, ограниченной при — оо < z < оо поверхностями: So(x2a + у2а = 1, х,у > 0), Si(x + у = 0,х > 0,у < 0), S2(x + у = 0,® < 0, у > 0), S3{x<* + (~yf = 1,® > 0, у < 0), Si(ya + (—х)а = 1, х < 0, у > 0), где 2а = т + 2, исследовал пространственную задачу ТС : найти регулярное решение v(x,y, z) уравнения (0.5), удовлетворяющее краевым условиям: г>|,$0 = Ф(ж,,г), v\sx = Vi(x,z), v\s2 = ^2(y,z), )imv(x,y,z) = lim = 0.

Методом преобразования Фурье задача ТС сводится к плоской задаче Т для уравнения

89пУ • \у\тихх + вдпх • |х\тиуу — Х2здп(ху) • \ху\ти = 0, (0-6) где Л £ Я, в области И = СП {z = 0} : найти регулярное решение уравнения (0.6) по данным: и|г0 = <р(х, А), и\г1 = фг{х, Л), и|г2 = ф2(у, А), где Гг- = б'г П {г = 0}. При доказательстве единственности решения задачи Т используется принцип экстремума. Доказательство существования решения задачи Т проводится методом интегральных уравнений.

В работе [1] В.В. Азовским методом интегральных уравнений доказано существование и единственность обобщенного решения задачи Т\ для уравнения

2 д 2д тп вдпх • ихх + здпу • иуу + —-их + у-иу = 0, д = хГ ' \уГ 4 2(т + 2) в области G = {(ж, у)\х + у > 0}.

Хе Кан Чер [50] исследовал задачи Т\ и для уравнения хихх + уиуу + а(х, у)их + (3(х, у)иу = 0 с кусочно - постоянными коэффициентами а и (3 в области В, описанной выше. Пусть а(х,у) = а,-, (3(х,у) = Д-, если (ж, у) £ Д-, г = 0,1,2, где = В П {х, у >0}, А = В П {у < 0}, Д> = £ П {ж < 0}. В случае |</31<1и|<а2<1 доказана единственность решения задачи Т\ при а\ < 02 < Если аг- + Д- > 1, доказана единственность решения задачи Т2 при а\ < (3\, (3% < «2, при этом должно быть Г Е С2. В случае, если | < а,- = Д- < 1, г = 0,1,2, а;« > а0, г = 1,2, иГ : х + у = 1, х,у >0, методом интегральных уравнений доказано существование решения задач Т\ и Т^.

Далее перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 диссертации для более общего уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа установлены экстремальные свойства решений в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области в классе регулярных и обобщенных решений при более слабых условиях на коэффициенты изучаемого уравнения и класс решений [31, гл. 1].

В § 1.1 рассматривается уравнение

Ьи = К(у)ихх + М(х)иуу + Аих + Виу + Си = Г(х, у), (0.7) где у К (у) > 0 при уф 0, хЫ(х) > 0 при х ф 0, в области Б, ограниченной: 1) кривой Г из класса Ляпунова, лежащей в первой четверти плоскости (х,у) с концами в точках В = (1,0) и = (0,1), I > 0; 2) характеристиками АС и С В уравнения (0.7) при х > 0, у < 0; 3) характеристиками АС\ и С\В\ уравнения (0.7) при х < 0, у > 0, где А = (0,0), С = (1/2, ус), ус < 0; Сг = (sCl,//2), ^ < .0. Пусть А = Dn{x > 0,у> 0}, D2 = Dn{x > 0,у< 0}, D3 = Df){x < 0,у > 0}. Для уравнения (0.7) в области D ставятся задачи Трикоми. Задача Ti. Найти и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х, у) е C(D) Л C\D) Л C2(Di UD2U £>3); (0.8)

Lu(x, у) = F(x, у), (x, y)eD1UD2U D3; (0.9) u(x, y) = Lp(x, y), (x, у) € Г; (0.10) u(x, y)|cCi = Ф(х), xc < x < 1/2, (0.11) где cp и ф - заданные достаточно гладкие функции.

Задача Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.8) - (0.10) и и(х,у) = ф(х,у), (х, у) е ВС, (0.12) и(х,у) = ф\(х,у), (х,у)еВ1Си (0.13) где ср, ф и ф\ — заданные достаточно гладкие функции, что <р(В) = ф(В), <р{В{) = ф^в,).

В § 1.2 для уравнения (0.7) в областях гиперболичности при некоторых ограничениях на его коэффициенты показано, что максимум решения и(х, у) по замкнутым областям D<2 и D3 достигается на отрезках параболического вырождения.

В § 1.3 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке нормальной производной в точке максимума и вблизи точки максимума решения уравнения (0.7) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) С(х,у) < 0 в области А; 2) и(х,у) £ С(Пх) А С1 (А и АВ и АВ\) А С2(А), Ьи = Р > 0 (< 0) в А; тяхи(х,у) == и(Я) > 0 щпи = и(0) < 0] ; 4) функция и(х,у) име I) 1 / ет изолированный максимум (минимум) и{($) в точке А; 5) в малой окрестности точки А: а) функции и2х и и2у суммируемы; б) производные Ах и Ву непрерывны вплоть до границы; в) 2С — Ах — Ву < 0, А(0,у) > 0 и В{0,х) > 0. Тогда в любой окрестности V С <9 А точки А найдется точка £ V такая, что < 0 (> 0), где ди пх и пу — компоненты внутренней нормали к границе области А

В § 1.4 получен принцип экстремума для уравнения (0.7) в классе регулярных решений.

Определение 1.2. Регулярным из класса К\(П) решением уравнения (0.7) назовем функцию и(х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и{х,у) еСф)/\С1{0)

2) и(х,у) £ С2(А) и Ьи(х,у) = Е(х,у) в А;

3) и(х, у) в областях А и А является решением уравнения (0.7) в характеристических координатах (£, г})\

4) производная щ в характеристических координатах (£, г]) непрерывна в £>2 и АС и Пз и АС\.

Определение 1.3. Регулярным из класса ^(-О) решением уравнения (0.7) назовем функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям 1) — 3) определения 1.2 и, кроме того, производная щ в характеристических координатах непрерывна б ^и ВС и и В\С\.

При определенных условиях доказано, что регулярное из класса Лг(-О) решение уравнения (0.7) достигает максимум (минимум) по замкнутой области £) на эллиптической границе. Из этого утверждения следуют единственность решения Т\ и при произвольной эллиптической границе.

В § 1.5 определены классы С}{{В) обобщенных решений уравнения (0.7) и в этих классах установлены принципы экстремума.

Определение 1.4. Обобщенным из класса (^{(О), г = 1,2, решением уравнения (0.7) будем называть функцию и{х, у), если существует последовательность регулярных из класса решений {ир(х, у)} уравнения (0.7), равномерно сходящаяся ки(х,у) в замкнутой области

13.

Утверждения о принципе экстремума, полученные в §1.4, переносятся в класс обобщенных решений уравнения (0.7), из которых следует единственность обобщенного решения задач Т\ и без каких -либо ограничений геометрического характера на кривую Г.

В §§ 1.6 и 1.Т рассматривается уравнение (0.7) в области И при К (у) = вдпу • \у\п, И(х) = вдпх • \х\т, п, т > 0, Е(х, у) = 0, т.е.

Ьи = вдпу • \у\пихх + вдпх • \х\тиуу + Аих + Виу + Си — 0. (0.14)

Пусть х — х(в),у = у (в) — параметрические уравнения кривой Г из класса Ляпунова, не касающейся внутренним образом осей координат в точках В и В\] 5 — длина дуги, отсчитываемой от точки В; 5 — длина кривой Г; Го — нормальная кривая, заданная уравнением хт+2 уп+2 р. — область, ограниченная кривой Го и отрезками АВ и АВ\, и, кроме того, предположим, что для уравнения (0.14) выполнен принцип экстремума.

Определение 1.5. Функцию и{х, у) из класса Д^!)), удовлетворяющую условиям (0.10) и (0.11), назовем регулярным решением задачи Т\. Равномерный в И предел последовательности регулярных решений задачи Т\ назовем обобщенным решением задачи Т\.

Доказана следующая

Теорема 1.7. Пусть в области И при условии, когда кривая Г оканчивается в точках В и В\ сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное решение задачи Т\ для уравнения (0.14)-Тогда если функция непрерывна на [0, 5] и ф(х) достаточно гладкая (т.е. функцияф(х) такова, что при достаточно гладкой функции (Р(б) выполнено условие теоремы 1.7) на [—1/2,1/2], ср(0) = <^(5) = 0, то существует единственное обобщенное решение и(х,у) задачи Т\ при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и соответственно ¿х/дв и ¿у/¿в меняют знаки.

Определение 1.6. Функцию и(х, у) из класса (.£)), удовлетворяющую условиям (0.10), (0.12), (0.13) назовем регулярным решением задачи Т^. Равномерный в И предел последовательности регулярных решений задачи назовем обобщенным решением задачи

Теорема 1.8. Пусть в области И при условии, когда кривая Г оканчивается в точках В и В\ сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное решение задачи Т2 для уравнения (0.14)• Тогда если функция ^(5) непрерывна на [0,5] и ф(х) и ф\(у) достаточно гладкие (т.е. функции ф(х),ф\(у) таковы, что при достаточно гладкой функции (р(з) выполнено условие теоремы 1.8) на [//2,/], ф{1) = ф\(/) = <у?(0) = = 0, то существует единственное обобщенное решение у) задачи Т2 при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В\ соответственно ¿х/йв и ¿у/¿б меняют знаки.

Доказательство теорем 1.7 ж 1.8 проводится на основании принципа экстремума для уравнения (0.14) и альтернирующего метода типа Шварца.

В главе 2 рассматривается в области Б уравнение Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями изменения типа

Ьи = Бдпу • ихх + вдпх • иуу = 0. (0.15)

Для решений задач Т\ и Т2 установлен принцип экстремума и на основании альтернирующего метода типа Шварца доказано существование и единственность регулярного решения задач Т\ и

Теорема 2.2. Если ф) еС[0,5]; ф(х) е С[—1/2,1/2]ДС2(-1/2,0) ЛС2(0,1/2); ф'(х) е £х[-1/2,1/2] и ф(0) = (р(0) = у>(5) = 0, то существует единственное регулярное решение и(х, у) задачи Т\ при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев,, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В\ соответственно dx/ds и dy/ds меняют знаки.

Теорема 2.4. Если cp(s) Е C[0,S]; ф(х),фг(у) £ С[ 1/2,1] Л С2(1/2,1); ф'(х),ф[(у) е £i[l/2,l] « ^(1) = ^i(l) = у(0) = <p(S) = О, то существует единственное регулярное в D решение и(х, у) задачи Ti при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В\ соответственно dx/ds и dy/ds меняют знаки.

Глава 3 посвящена изучению вопросов существования и единственности регулярного в области D решения задачи Ti для уравнения

Lu = sgny • \у\тихх + sgnx • \x\muyy = 0, т > 0. (0.16)

Единственность решения задачи Т\ в классе регулярных и обобщенных в D решений уравнения (0.16) доказана на основе принципа максимума, изложенного в главе 1, без ограничений на кривую Г.

Для доказательства разрешимости задачи Т\ для уравнения (0.16) рассмотрены две вспомогательные задачи: задача Хольмгрена в области Д)1 и задача Дарбу в областях Д и А, считая функции v\{x) = ди(х и) ди(х и) lim—^— и V2 (у) = lim—^ ' известными. Затем полученные решено ду х^о дх ния склеивая по функции и по нормальной производной на отрезках AB и АВ\, доказательство существования решения задачи Трикоми сведено к решению системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций v\(x) и щ(у). Произведя регуляризацию системы сингулярных интегральных уравнений методом Карлемана - Векуа, получено уравнение Фредгольма второго рода относительно функций v\ ± ¿>2, разрешимость которого следует из теоремы единственности решения задачи Т\. Далее доказано, что найденное решение задачи Т\ является регулярным в случае, когда Dqi U Fq С D\.

В § 3.1 на основании результатов главы 1 установлен принцип максимума для уравнения sgny • |у\пихх + sgnx • |x\muyy = F(x, у) (0-17) при всех значениях m, п > Оига + п > Ои как следствие, получены утверждения о единственности решения задач Т\ и в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.17) при произвольной эллиптической границе.

В § 3.2 для уравнения (0.16) в области Dqi исследована Задача Хольмгрена (задача Н). Найти в области Dqi функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) G C(Dqi) A C1{Dq\ U ABU ABi) AC2(D01); Lu(x,y) = 0 ,(x,y) G An; м|Го = (p(x), 0 < ж < 1; uy(x, 0 + 0) = vi(x), 0 < x < 1; мж(0 + 0, y) = u2(y), 0 < y < 1, где и v2 — заданные достаточно гладкие функции. Теорема 3.8. Если(р(х) G С[0,1], у?(0) = (р( 1) = 0, xvi(x),yv2(y) G С{0, l)ALi[0,1], то существует единственное решение задачи H и оно определяется формулой и(х0,у0) = уо ф)68 [<2(ф), у(з); х0, уо)] ds+ + £ xmv1 (x)G(x, 0; ж0, yo)dx + £ ymv2(y)G(0, y; x0, yo)dy, (0.18) где G(x, y\xq, Уо) — функция Грина задачи H [10], которая приведена в диссертации.

В § 3.3 доказаны теоремы существования задач Дарбу для уравнения (0.16).

В области А в характеристических координатах (£, ту), уравнение (0.16) имеет вид

Я Я. = +--(^ - v11) -|--—+ т^) = 0,

У \ I ^ /У \ " / " I т

К, ч) »«Цг (« + >/)] )' у а = 2 ' а область А отобразится в область Д = {(£,?у)|0<£<?7< 1}.

Задача Дарбу. Найти функцию ^(£,77), удовлетворяющую условиям V (€,4) £ С(А) ЛС\А), УСг1 е С(Л); Ь0(у) ее 0 при (£,?/) е Л; у(0,Г1) = ф0(т1), 0 <т? <1; Нт (|)29 (77 - £)2<Ч^ = ЫО, 0 < £ < 1, где фо и щ — заданные функции.

Теорема 3.3. Если: 1) функция удовлетворяет условию

Гельдера с показателем ц при 0 < £ < 1 и при £ —* 1 функция уо(0 может иметь особенность степенного порядка меньше, чем 1 — 2д; 2) Фо(ч]) £ С2[0,1], то существует единственное решение задачи Дарбу для уравнения (0.19), и оно определяется формулой

0.19) т + 2

2 - г2)*(772 - /2). Гвфльч) \ф'М + %0« о(^) = Ф\ ч 2

2д

1/а

0.20) функция где щф = щ (И1/а Римана ~ Адамара.

Решение задачи Дарбу в области 1>з также определяется формулой (0.20), но в ней следует положить = уч (, =

• Полученную таким образом формулу решения задачи Дарбу в области обозначим (0.20').

Отметим, что в работе [8] формула решения задачи Дарбу для уравнения (0.19) получена, однако отсутствует теорема существования решения этой задачи с указанием гладкости функций /у о и фо.

В § 3.4 доказано существование регулярного решения задачи Т\ для уравнения (0.16) с данными и = (р(в) на Г, и = ф\{х) на АС и и — Фъ(у) на АС\ в том случае, когда нормальная кривая Го содержится внутри области И.

Пусть функции (р{Ь) и Тр{^) — <р(( 1 — Представимы в виде:

Ф) = ^ооои - т=ыт - (0.21) где непрерывны на [0,1],р\,р2 > 1/2, а функции ф^х) удовлетворяют условию

Фг(х) = Х1+Хфы, ф0{ <= С2[0, (а/2)1/«], у + 1<Л<т + 1. (0.22)

Теорема 3.9. Если функции <р(1), ф\(Ь) и ф2^) удовлетворяют условиям (0.21) и (0.22), то существует единственное регулярное в £>о решение задачи которое в области определяется формулой решения задачи Хольмгрена (0.18), а в областях ^ «А — соответственно формулами решения задачи Дарбу (0.20) и (0.20').

Единственность решения задачи Т\ следует из принципа экстремума. Доказательство существования решения задачи равносильно редуцируется к решению системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций Р\{х) и щ{у). Произведя регуляризацию полученной системы сингулярных интегральных уравнений методом Кар-лемана - Векуа, получено уравнение Фредгольма второго рода относительно функций ± г/2, разрешимость которого следует из теоремы единственности решения задачи Т\. Далее доказано, что найденное решение задачи Т\ является регулярным в 1)о

Лемма 3.20. Пусть уравнение (0.16) задано в области Если (р(х) непрерывна при 0 < х < 1, ^(0) = <р( 1) = 0, и функции фг^) и ф2(^) удовлетворяют условиям (0.22), то существует единственное обобщенное решение задачи Т\ с граничными данными и|г0 = и\лс = фг и п\аСх = которое является регулярным в £>о-Доказательство леммы проводится на основе теоремы 3.9 и альтернирующего метода типа Шварца.

Пусть кривая Г такова, что Д)1 и Го С

Теорема 3.10. Если функция ^(в) непрерывна на [0,5], ^(0) = <£>(5) = 0, а функции ф\(х) иф2(х) удовлетворяют условиям (0.22), то существует единственное обобщенное решение задачи Т\ с граничными данными и = <р(в) на Г, и = ф\ на АС и и = ф2 на АС\, которое является регулярным в I).

Доказательство этой теоремы проводится альтернирующим методом типа Шварца с использованием результатов леммы 3.20.

Основные результаты опубликованы в работах [35, 36], [52] - [60]. Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Камилю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Азовский B.B. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости / / Волжский математический сборник. - Куйбышев, 1971. - Вып. 9. - С. 3 - 7.

2. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1952.

3. Бабенко К.И. О задаче Трикоми //Докл. АН СССР. 1986. -Т.291, т. - С. 14 - 19.

4. Бицадзе A.B. О некоторых задачах смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. - Т.70, Ш. - С. 561 - 564.

5. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

6. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1969.

7. Гахов ФД. Краевые задачи. М., 1977. - 640 с.

8. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона - Дарбу // Волжский математический сборник. - Куйбышев, 1968. - Вып. 6. - С. 56-61.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М. 1971. - 1094 с.

10. Ежов A.M. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения // Диффе-ренц. уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1973. - Вып. 2. - С. 84 - 102.

11. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1969. - Т.5, - Ш. - С. 91 - 99.

12. Зайнулабидов М.М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 19Т0. - Т.6, - № 1. - С. 99 - 108.

13. Исамухамедов С.С., Орамов Ж. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, - №2. - С. 324 -334.

14. Камынин Л.И. Теорема о внутренней производной для слабо вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка // Матем. сб. 1985. - Т.126, - №3. С. 307 - 326.

15. Косовец A.A. Разрешимость задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа. //Дифференц. уравнения. 1985. - Т.21, -№ 9. - С. 1627 - 1628.

16. Крикунов Ю.М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Изв. вузов. Математика. - 1974. - № 2(141). - С. 76 -81.

17. Лернер М.Е. Принципы максимума модуля для гиперболических уравнений и систем уравнений в неклассических областях // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 12, - №5. - С. 848 - 858.

18. Макаров И.А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения. // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. Вып. 2. - С. 124 - 155.

19. Макаров С.И. Применение обобщенных интегродифференциаль-ных операторов произвольного порядка к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Л. ЛГУ. 1987.

20. Маричев О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. - №5. - С.21 - 29.

21. Моисеев Е.И. Об одном интегральном представлении решения задачи Дарбу // Матем. заметки. 1982. - Т. 32, - №2. - С.175 -186.

22. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд. МГУ, 1988. - 150 с.

23. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М., 1968. 511 с.

24. Надирашвили Н.С. Лемма о внутренней производной и единственность решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1981. - Т.261. - Ш.- С.804 809.

25. Надирашвили Н.С. К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1983. - Т.122. Q.341 - 359.

26. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1971.

27. Олейник O.A. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа // Матем. сб. 1952. - Т.ЗО (72),- №3. С.695 - 702.

28. Привалов И.И. Интегральные уравнения. Ленинград, 1935.

29. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу + = 0 // Ученые записки Куйбышевского пединститута. 1958. Вып. 21. - С. 3 - 55.

30. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, - №11. - С. 1967 -1976.

31. Сабитов К.Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1991.

32. Сабитов К.Б. К вопросу о существовании решения задачи Трико-ми. // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, - №12. - С. 2092 -2101.

33. Сабитов К.Б. Альтернирующий метод типа Шварца в теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1992. - Т.322. - т. - С. 476 - 480.

34. Сабитов К.Б., Мукминов Ф.Х. О знаке производной нормали вблизи точек максимума решений вырождающихся эллиптических уравнений. // Дифференц. уравнения. 2000. - Т.36, №6. - С. 844 - 847.

35. Сабитов К.Б., Карамова A.A., Шарафутдинова Г.Г. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 11(450). - С. 70 - 80.

36. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения //Дифференциальные уравнения и их приложения в физике. Сборник науч. трудов Стер-литамакского Филиала АН РБ. Стерлитамак, 1999. - С. 68 -82.

37. Салахитдинов М.С., Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой типа линией вырождения // Дифферент уравнения. 1983. - Т. 19. - №1. - С. 110 - 119.

38. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Докл. АН СССР. 1986. - Т.289, - №3. - С. 549 - 553.

39. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

40. СМБ, Г.Бейтман, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, М. 1965. 294 с.

41. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

42. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск, 1977.

43. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985.

44. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи A.B. Би-цадзе // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, - №1. - С. 143 -146.

45. Солдатов А.П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, - №2. - С. 325 - 332.

46. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М Л.: Гостехиздат, 1947.192 с.

47. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. - Т.9, -№ 2. - С. 121 - 142.

48. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. - 712 с.

49. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Препринт: ИМ СО АН СССР. 1970. - 16 с.

50. Хе Кан Чер. Сингулярная задача Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения: Дис. . канд. физ. -мат. наук. Новосибирск, 1976.

51. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения //В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск. ИМ СО АН СССР. - 1980. - С. 64 - 67.

52. Шарафутдинова Г. Г. Альтернирующий метод Шварца в теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / / Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тезисы докладов. Новосибирск, 1998. - Часть IV. - С. 36.

53. Шарафутдинова Г.Г. Задача Хольмгрена для уравнения эллиптического типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Понтрягинские чтения X. Современные методы в теории краевых задач: Тезисы докладов. - Воронеж, 1999. - С. 266.

54. Шарафутдинова Г.Г. Задача Хольмгрена для уравнения эллиптического типа с негладкой линией вырождения //Дифференциальные уравнения и их приложения в физике. Сборник науч. трудов СФ АН РБ. Стерлитамак, 1999. - С.95 - 101.

55. Agmon S., Nirenberg L., Protter M. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic- hyperbolic type // Comm. Appl. Math. 1953. - V.6. - №4. P.455- 470.

56. Gellerstedt S. Sur un proble'me aux limites pour une e'quation line'aire aux de'rive'es partielles du second ordre de tipe mixte, The'sis, Uppsala, 1935.

57. Germain P., Bader R. Sur le problème de Tricomi // Compt. Rend. Acad. Sei. Paris. 1951. - V.232. - P. 463 - 465.

58. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V.3. - P.791 - 793.

59. Protter M.A. Uniqueness theorems for the Tricomi problem. I, II // Jour. Rational Mech. and Analysis, 1953. - V. 2. - №1. - P. 107 -114; - 1955. - V. 4. - №5. - P. 721 - 733.