Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧИГАНОВА НАТАЛЬЯ ВИКТОРОВНА

Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и применения

01.01.02 - дифференциальные уравнения

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Стерлитамак - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамак-ской государственной педагогической академии и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор, чл. - корр. АН РБ Сабитов К.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин O.A.,

кандидат физико -математических наук, доцент Биккулова Г.Г.

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится 01 декабря 2006 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан г. Г

Ученый секретарь _ __

диссертационного совета , ч

доктор физ,- мат. наук, профессор Кризский В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникшая в начале XX столетия теория смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в трансзвуковой динамике, магнитной гидродинамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и в других областях науки.

Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где впервые были поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта" .

Краевые задачи для уравнения смешанного типа с одной линией изменения типа изучены достаточно полно и соответствующие результаты опубликованы в монографиях A.B. Бицадзе, Т.Д. Джураева, Е.И. Моисеева, М.М. Смирнова, М. С. Салахитдинова.

Вместе с тем краевые задачи для уравнения смешанного типа с несколькими линиями изменения типа изучены сравнительно мало.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались В.В. Азовский, В.Ф. Волкодавов, М.М. Зайнулабидов, О.И. Маричев,И. А. Макаров, Н.И. Попиванов, Т.Б. Ломоносова, Хе Кан Чер, С.С. Исамухамедов, A.M. Нахушев, Ж. Орамов, С. И. Макаров, М.С. Салахитдинов, К.Б. Сабитов, A.A. Гималтдинова (Карамова), А.Н. Биккулова (Шарафутдинова) и другие.

Сабитовым К.В., Гималтдиновой (Карамовой) A.A., Биккуловой (Ша-рафутдиновой) Г.Г. [1] установлены принципы экстремума для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

Lu = sgny • \у\пихх + sgna; • \x\rnuyv+

+А sgn (ху) • |*PMnu = 0 (1)

в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области при всех п, т > 0, п+т >0, А = 0 и получены утверждения о единственности решения краевых задач типа Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (1) при произвольной эллиптической

з

границе. В работе Сабитова К.Б., Биккуловой (Шарафутдиновой) Г.Г. [2] доказано существование регулярного решения задачи Трикоми для уравнения (1), в случае, когда А = 0 и "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которые позволяют строить решения краевых задач в специальных областях в виде сумм биортогональных рядов. Моисеевым Е.И. [3, 4] были решены спектральным методом задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.

Сабитов К.Б., Гималтдинова (Карамова) A.A. [5] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Ими были изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения и показаны применения при построении решения задачи Трикоми, а в работе [6] исследована краевая задача для уравнения (1) при х > 0, п — т > О, А = 0. На основании функциональных соотношений между следом решения и следом нормальной производной решения задачи Дарбу на линиях изменения типа краевая задача сводилась к новой нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга с центром в начале координат, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи.

Задачи на собственные значения и краевые задачи для уравнения (1) ранее при А ф 0 не были изучены.

Основными целями работы являются: нахождение собственных значений и собственных функций спектральных задач для операторов смешанного типа с двумя линиями вырождения и исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве L2 в смешанной области; применение метода рядов по собственным функциям для построения решения задачи Трикоми и других краевых задач для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения;

обоснование единственности регулярных решений поставленных краевых задан с различными граничными условиями.

Методы исследования. При нахождении собственных значений и соответствующих собственных функций спектральных задач используется метод разделения переменных и теория специальных функций. Доказательство единственности решения краевых задач для уравнений смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения проводится методом интегральных тождеств и принципом максимума, а при доказательстве существования применяется метод спектрального анализа, основанный на методе разделения переменных и теории разложений в биортогональные ряды.

Научная новизна. 1. Найдены собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной задачи с граничными условиями первого рода для уравнения (1) в специальной области. Построенная система собственных функций исследована на полноту в пространстве ¿2 в смешанной области.

2. Найдены собственные значения и построена система соответствующих собственных функций спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения с различными граничными условиями на эллиптической границе; системы собственных функций исследованы на полноту в Ь^ в эллиптической и в смешанной областях.

3. Доказаны теоремы единственности регулярных решений краевых задач типа Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения (1) при х > О иА^О при произвольной эллиптической границе.

4. Методом рядов по собственным функциям соответствующих спектральных задач построены регулярные решения краевых задач типа Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения (1) при х > 0 в случае, когда область эллиптичности есть четверть круга с центром в начале координат.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории крае-

вых задач для уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, И.А. Калиев, 2000 -2006 гг.), а также на следующих конференциях:

1. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XIII. Современные методы в теории краевых задач"(г. Воронеж, 2002).

2. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, май 2002).

3. Международная научная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" (г. Стерлитамак, июнь 2003).

4. Всероссийская научная конференция "Современные проблемы физики и математики "(г. Стерлитамак, сентябрь 2004).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [8]-[13], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 13 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 101 страницы, включая список литературы, состоящий из 75 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

В главе 1 найдены собственные значения и собственные функции спектральной задачи для уравнения (1) в области И, ограниченной "нормальной" кривой Го : (ха/а)2 + (у^/р)2 = 1, лежащей в первой четверти х,у > 0 с концами в точках А(а1/С\ 0) и В(0, /З1^), характеристиками ОС\, С\А, ОСъ и СчВ уравнения (1), где 0(0,0),

ЖхсУСг), С2(хСз,Ус2), *сх = (а^а+1/2)', ус, = ~{0а^/2у, хс2 = ~ (а^а+1/2)' , Усг = {(За1'*/2)* , а = (т + 2)/2, /3 = (п + 2)/2.

В § 1.1 приводится постановка спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми.

Спектральная задача (Задача Тд). Найти собственные значения А и соответствующие им собственные функции и\(х,у) = и(х, у), удовлетворяющие условиям:

и{х, у) б С (Я) П С1 (С) П С2(Р+ и £>1 и Г>2); (2)

у) = 0, (а, у) 6 £>+ и А и £>2; (3)

и(зс,у) = 0, (х,у) 6 Г0; (4)

и(х,у) =0, (х,у) е ОСх\ (5)

и{х,у) =0, (х,у) € ОС2; (6)

где £>+ = В П {ж > 0, у > 0}, £>! = В П {х > 0, у < 0}, В2 = Б П {х < 0,У >0}.

В § § 1.2 и 1.3 методом разделения переменных построены многообразия частных решений уравнения (1) в эллиптической и гиперболических областях соответственно.

В § 1.4 для уравнения (1) найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций задачи Т\ :

«£,(*, У) = С2,* 1(±Х°)* + (1у0)2) X

2~Р

Г(1 - + Л)Г(-г? + 1 + р*)Г(1 +р) ■

[Ы?

'Р + Я , Р + Я 1, х*-1 — + _ - рь 5 + р; ^ха)2Т{,у0)2

+

(У0)2

1-2р

1Х д-р 1 3

(7)

в области 0+,

1 Г(*±* + рк)Г{В? + \ + рк).

{Х,у) = с» \--pj. 2Г(2р. + 1)Г(1Л) Х

ч-р

х

_

){-у)0)2

9 ,, а**)*-(М-уУ)2

в области £>1,

-д-р

х ^лДм^/(-рУ0)2 —

в области £>2, где Сг.л ф 0 -произвольная постоянная, = (а — 1)/а, 2р — {¡3 — 1)//?, - функция Бесселя первого рода порядка и, Г(-) -гамма - функция Эйлера, - гипергеометрическая функция Гаусса.

Теорема 1.1. Собственными значениями спектральной задачи (2) -(6) являются положительные корни А^у уравнения ^рЛ'УХ) = 0, где Рк — Р + 3 + к и I €Е ЛГ, А; = 0,1,2,..., а соответствующие собственные функции определяются соответственно по формулам (7) - (9).

Теорема 1.2. Система собственных функций спектральной задачи (2) - (6) при п = тп не полна с весом хтуш в пространстве Ьч{0), причем размерность дефекта равна бесконечности.

Глава 2 посвящена исследованию спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения

Ци) = б^п у ■ \у\пихх + хтиуи + А sgn у ■ хт\у\ти = 0, то > 0, (10)

в области С? = В П {х > 0}.

В § 2.1 изучена спектральная задача 71Л для уравнения (10).

Задача 71Л. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям:

и{х,у) б С(С)пС1(С?)ПС2(С+иС_)) • (11)

Ьи(х, у) = 0, (х, у) е и б., (12)

«(ж, у) = 0, (х,у) е Го, (13)

и{х,у) =0, (х,у) € ОСь (14)

Ф,У) = 0,(1,!/)6 05. (15)

Методом разделения переменных найдены собственные значения А*ь; и соответствующие им собственные функции и^^х, у) спектральной задачи 71а, которые определяются по формулам (7) и (8) при п = т, Рк = Р*а = к1 - д/2 + 3/4, Ал = 0,1,2,... .

В § 2.2 изучен вопрос о полноте системы собственных функций в области эллиптичности и в целом в смешанной области.

Теорема 2.2. Система собственных функций икъ1(х,у) спектральной задачи 71Л полна с весом хтут в пространстве £2(С7+).

Теорема 2.3. Система функций ики1(х,у) спектральной задачи Т\х не полна с весом хтутп в пространстве ¿^(С?), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В §§ 2.3 и 2.4 для уравнения (10) исследована спектральная задача

Задача 7гд. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (11) — (14) и

их(0,у) = 0, 0 < у < 6. (16)

Теорема 2.4. Собственными значениями спектральной задачи Тчх являются положительные корни Ак2,1 уравнения Згрк2 (\/А) = 0, где Рк2 — + ?/2 + 1/4 «¡6^, = 0,1,2,... . Соответствующие собственные функции задачи Т2л определяются по формулам (7) и (8) при п = 771, рк = рк2.

Теорема 2.5. Система собственных функций щ^^х, у) спектральной задачи Т%х полна с весом хтут в пространстве 1/2(С+).

э

Теорема 2.6. Система собственных функций {и^1(х, £/)}^=0 спектральной задачи ТгА не полна с весом хтут в пространстве Ь^С), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В главе 3 показано применение системы собственных функций, найденных в главе 2, для построения решения краевых задач для уравнения смешанного типа (10) в области О. Единственность решения краевых задач для уравнения (1) при п > т доказывается методом установления знакоопределенности интеграла

а

Ие ! хти{х, 0) иу(х,0) йх, о

а в случае п — т — на основании принципа максимума модуля решения данного уравнения.

В § 3.1 приведена постановка краевой задачи для уравнения

Ь(и) = sgn у ■ \у\пихх + хтиуу + А sgn у ■ хт\у\пи = 0, т, п > 0, (17)

в области (?, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти х, у > 0 с концами в точках А(а1/'а:> 0) и В(0,Ь), Ь > 0 и отрезком ОВ оси 1 = 0и характеристиками ОС\ и С\Л уравнения (17), где 0(0,0), Сх {хс^Усд , хСг = (а1'"*1/2}• , усг = - (рс&а/2)* .

Задача Т\. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) € С{в) П С1 (С!) П С2(<?+ и <3_); (18)

Ьи(х,у)~ 0, (х,у) е (19)

У) = Мх, У), {х, у) е Г; (20)

и(х,у) = 0, (х,у) € ОСц (21)

и(0,у) = 0, 0<у<Ъ, (22)

где /х - заданная достаточно гладкая функция.

Определение 3.1. Под регулярным в (7 решением уравнения (17) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

1) (18) , (19) задачи 7\;

2) производные первого порядка и.Х1 иу непрерывны в С, за исключением точек О, А и В, где они могут иметь особенности интегрируемого порядка.

ю

Лемма 3.1. Если и — 0 на ОС\, А = А1 + г Аг, и(х,у) — и\(х,у) + 1и2{х,у) и

А! < -Ах - р)2 + \(р> + д)), Аг < 0, (23)

п > т, то для любого регулярного в С решения уравнения (17) имеет место неравенство

а / н

о 4

i¿i(í, 0)iíiy(í,0) + U2(t, 0)i¿2 (t,0) )dí>0, 0 = a1/a.

Лемма 3.4. Пусть: 1) и— регулярное в области G решение уравнения (17); 2) и(х,у) удовлетворяет условиям (18), (19) и равна нулю на OCi; 3) т = п > О и

л/2|А2| - 21~?g(l + g) < Ai < 0. (24)

Тогда тах |и(х, у) \ достигается на кривой Г U ОВ. G

Теорема 3.1. Если в классе регулярных решений уравнения (17) существует решение задачи (18)- (22), то оно единственно в случаях 1) р > q (п > т) и условии (23); 2) р = q (п = m) и условии (24). В случае, когда Г = Го и п = т, 6 = /З1^, решение задачи 7\ построено в виде суммы ряда по собственным функциям задачи 7\х.

Теорема 3.2. Если fi(<-p) е С1[0,7г/2], функция /i(<¿>) в малой окрестности точек ip = 0 и <р = тг/2 дважды непрерывно дифференцируема, /i(0) = Л(0) = /i(7r/2) = Л (тг/2) = 0, то существует единственное решение задачи (18) — (22), и оно имеет вид в области <3+

+оо

и{х, у) = hÁ^r)~242pki {VXr) sin1/2-« Ър P eos 2(p)

k¡= 0 1

в области G+

+0° +OQ fkl А« y^1/^*,-?

q-pk,)'

U(x,y) - S>(x,y, - gj2^)r(|_9)r(pAi + 1)r(1--

2a \-i-P*» / j a-20 _ 2a —^ ) 9+ P*,, + 1 + 2/?*,;-

y2aJ y 2

в области при этом коэффициенты /^ определяются по формулам:

Ло = 0, fkr = j h-kXl-4(9)F(e)de, кг = 1,2,3,...,

о

в

F{9) = sin е J f[ (cosí ~ oos0)ff-1dí,

о

г<?е Р^(-) - присоединенная функция Лежандра, h^{6), (i = 1,2,..., —3 < и < — 1 — биортогоналъная система, которая построена в [7].

В § 3.2 для уравнения (10) в области G найдено решение следующей задачи.

Задача Тг- Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (16) и (18) - (21).

Теорема 3.3. Если в классе регулярных в области G решений уравнения (17) существует решение задачи (16), (18)- (21), то оно единственно в случаях

1) р> q (п> т) и условии (23); 2) р — q (п = т) и условии (24).

При Г = Го и п = т решение задачи Тг построено на основании собственных функций спектральной задачи ТгА.

Теорема 3.4. Если /г(у>) 6 С1[0,тг/2], функция ftif) в малой окрестности точек ¡р — 0 и tp = ж/2 дважды непрерывно дифференцируема, /2(0) = /¿(О) = /г(7т/2) = /2(^/2) = 0, то существует единственное решение задачи (16), (18)- (21) и оно определяется формулами

-foo

и(х, у) = X; fk2(ч/Ат)-*и2рн (л/Ar) sin1/*-* eos 2<р),

к2=0

в области G+,

к^о tá J2pt2(VA) Г(5 - q)T{pk2 + 1)Г(д + ркJ

х - y2a^j Jp* ~ У-) x

F[q + pk2,7; + pk2,l + 2pk2\

J P ' 212 rK2' rK2'

в области где Д2 - коэффициенты определяются по формулам I—

7«!

F(0) = sin 9 I I /2 ( i—- ) (sini)29"1 ) (cos£ - cos e)~4t.

0

В § 3.3 для уравнения (10) в области G рассмотрена спектральная Задача TNix. Найти значения параметра А и соответствующие им. функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (11), (12), (14), (15) и

8х[и{х> У)1 = - = У) G Го- (25)

Теорема 3.5. Собственными значениями спектральной задачи TNix являются положительные корни уравнения

VÄJ^ (VÄ) - 2qJ2pkl (VÄ) = 0, (26)

где pkx = ki — g/2 +3/4 и l € N, ki = 0,1,2,... . Соответствующие собственные функции в областях G+ и GL определяются по формулам (7) и (8) при п = т, рл- = .

Теорема 3.6. Система собственных функций спектральной задачи TN\X полна с весом хтут в пространстве Ьг(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В области G для уравнения (17) исследована задача TN\, аналогичная задаче Ti, только вместо (20) задано граничное условие

SM',у)] = - = Ф.У), (*.*> € Г, (27)

где ш(х, у) - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 3.7. Если в классе регулярных решений уравнения (17) существует решение задачи TN\, то оно единственно при условиях 1) и 2) теоремы 3.1.

В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой То и п = т., Ъ = а1/", при некоторых ограничениях на граничную функцию

4 MI Го =ui(<p), 0 < < 7Г, получено представление решения задачи TNi в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TNiЛ.

В § 3.4 для уравнения (10) в области G рассмотрена спектральная

Задача TN2y. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (11), (12), (14), (16) и (25).

Теорема 3.9. Собственными значениями спектральной задачи TN2x являются положительные корни \k2j уравнения (26), где заменяется на рк2 = к2 + <?/2 + 1/4 и I € N, к2 = 0,1,2,... . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G- определяются по формулам (7) и (8) при п — тп, рк = рк2.

Теорема 3.10. Система собственных функций спектральной задачи TN2k полна с весом хтут в пространстве L2{G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2[G), причем размерность дефекта равен бесконечности.

Для уравнения (17) в области G рассмотрена задача (18), (19), (16), (21) и (27). В классе регулярных решений доказана теорема единственности данной задачи. В классе регулярных решений доказана теорема единственности данной задачи. В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п = т, Ь = а1/", аналогично § 3.3, при некоторых ограничениях на граничную функцию <5я[и]|г0 = ^(у), 0 < <р < 7г, получено представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи ТАг2а .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Камилю Басирови-чу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Список литературы

1. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К.Б. Сабитов, A.A. Карамова, Г.Г. Шарафут-динова// Известия вузов. Математика. - 1999. - № 11. - С. 70 - 80.

2. Сабитов, К.Б. Задачи Трикоми для уравнения смешанного типа

с двумя перпендикулярными линиями вырождения / К.Б. Сабитов, Г.Г. Шарафутдинова // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 6.- С. 788 - 800.

3. Моисеев, Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 7. - С. 1160-1172.

4. Моисеев, Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. -1991. - Т. 27, № 7. - С. 1229 - 1237.

5. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения / К.Б. Сабитов, A.A. Карамова // Известия РАН. Серия математическая. - 2001.- .NH. - С. 133 - 150.

6. Сабитов, К.В. Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К.Б. Сабитов, A.A. Карамова // Дифференц. уравнения - 2002. - Т. 37, №1. -С. 111-116.

7. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов / Е.И. Моисеев// Дифференц. уравнения - 1987. - Т. 23, №1. - С. 177 - 179.

8. Чиганова, Н.В. Задача на собственные значения для уравнения смотанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения/ Н.В. Чиганова // Сборник научных трудов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"/ Самарская госуд. архит. - строит, академия. - Самара. — 2002. — С. 374 — 378.

9. Чиганова, Н.В. Построение собственных функций для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / Н.В. Чиганова // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XIII. Современные методы в теории краевых задач". - Воронеж. - 2002. - С. 134.

10. Чиганова, Н.В. Задача на собственные значения для уравнения

смешанного типа с двумя линиями вырождения / Н.В. Чиганова // Известия Вузов. Математика. — 2003. — № 9. — С. 67 — 74.

11. Чиганова, Н.В. О единственности задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения / Н.В. Чиганова // Труды международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященной юбилею академика Ильина В.А. / Стерлита-макский филиал АН РБ. - Уфа: Гилем. - 2003. - Т. 2, С. 134 -141.

12. Чиганова, Н.В. О полноте системы собственных функций спектральной задачи для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения / Н.В. Чиганова// Труды Стерлитамакско-го филиала Академии наук РБ. Серия "Физико - математические и технические науки ". - Уфа: Гилем. — 2006. - С. 219 - 227.

13. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К.Б.Сабитов, Н.В. Чиганова // Известия Вузов. Математика. — 2006. — № 7. — С. 65 - 76.

Работа [13] выполнена в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому принадлежит постановка задачи и идеи доказательства.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, коды грантов 99-01-00934, 02-0197901.

Подписано в печать

01 декабря 2006 г.

Формат 60 х S4i/]4.

Гарнитура "Time".

Печать оперативная.

Усл. печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз.

Заказ

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии:

453103, г. Стерлитаыак, пр. Ленива, 49.

Введение

Глава 1. Задача на собственные значения для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

§1.1. Постановка спектральной задачи Т\.

§1.2. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в эллиптической части

§1.3. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в гиперболической части

§1.4. Построение собственных значений и собственных функций в смешанной области

§1.5. Исследование собственных функций на полноту в смешанной области.

Глава 2. Задачи на собственные значения для оператора смешанного типа с негладкой линией вырождения

§2.1. Постановка спектральной задачи Т\Л и построение собственных функций

§2.2. Исследование на полноту в Z/2 системы собственных функций задачи Т\х

§2.3. Постановка спектральной задачи ТгА и построение собственных функций

§2.4. Исследование на полноту в системы собственных функций задачи

Глава 3. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения

§3.1. Задача Т\.

§3.2. Задача Т2.

§3.3. Задача TNX

§3.4. Задача TN

Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [55, 56] и С. Геллерстедта [70], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".

В 50 - е годы XX столетия в работах Ф.И. Франкля [58], А.В. Бицад-зе [4, 5] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джура-ев, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, С.М Пономарев, С.П. Пулькин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Л.И. Чибрикова, Р.С. Хайруллин, Вагапов В.З., О.А. Репин и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L.Nirenberg, M.N.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г.Д. Каратопракли-ев, Г.Д. Дачев, Н.И. Поливанов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе [5, 6], JL Берса [3], К.Г. Гудерлея [И], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С. Сала-хитдинова [45], Т.Д. Джураева [13], Моисеева Е.И. [31].

Вместе с тем краевые задачи для уравнения смешанного типа с несколькими линиями изменения типа изучены сравнительно мало.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов [15] - [17], В.Ф. Волкодавов [9],О.И. Маричев [25], Н.И. Попиванов [33], Т.Б. Ломоносова [22], Хе Кан Чер [61, 60], И.А. Макаров [23], С.С. Исамухамедов [18], С. И. Макаров [24], М.С. Салахитдинов [46] - [47], К.Б. Сабитов, А. А. Гималтдинова (Карамо-ва), Г.Г. Биккулова (Шарафутдинова) [35] - [43] и другие авторы.

Зайнулабидов М.М. [15] - [17] для уравнений в области D, ограниченной простой кривой Жордана с концами в точках Ai(l,0), i3i(0,l) при х,у > 0, характеристиками ОС\, C\Ai, ОС2 и В1С2 уравнения (0.1) или (0.2), исследовал задачи Трикоми (задачу Т\ с данными на Г U С1С2 и задачу Т2 с данными на Г U В1С2 U AiCi). Им доказаны единственность и существование решений задач Т\ и Т2 для уравнений (0.1) и (0.2), когда дуга Г - ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками "нормальной"кривой. Доказательство единственности решения задачи Т\ для уравнений (0.1) и (0.2) проведено на основании принципа экстремума А.В. Бицадзе, а при доказательстве единственности решения задачи I2 использовался метод интегральных тождеств Франкля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений.

Салахитдиновым М.С., Хасановым А. [47] в области fi = D П {ж > 0} для уравнения изучена задача Трикоми с условиями Дирихле на Г, ОВ\ и ОС\. Единственность решения доказана методом интегралов энергии при п > т. Существование решения сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода.

0.1) (0.2) sgn у\у\пихх + хтиуу = 0, ш, п — const, т > п > 0, (0.3)

Сабитов К.Б. [36] изучал краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Для уравнения Lu = К(у)ихх + N(x)uyy + Аих + Виу + Си = F, (0.4) где у К (у) > 0 при у Ф 0, хК{х) > 0 при х ф 0, в области D, ограниченной при х, у > 0 кривой Г с концами в точках Ai(a, 0), В{0,6), а, Ъ > 0, при х > 0, у < 0 - характеристиками ОС\ и С\А\ уравнения (0.4), при х < 0,у > 0 -характеристиками ОС2 и С2В, были изучены задачи Т\ и Т2. Установлены принципы экстремума для решений задач Т\ и Т2, при этом предполагалось, что уравнение (0.4) является слабо вырождающимся. На основе принципа экстремума при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.4) доказаны единственность решения задач Т\ и Т2.

Сабитовым К.Б., Гималтдиновой (Карамовой) А.А., Биккуловой (Шара-футдиновой) Г.Г. [38] установлены принципы экстремума для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

Lu = sgnу - \у\пихх + sgnх • \x\muyy+

Xsgn{xy)-\x\m\y\nu = 0 (0.5) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области при всех 71, га > 0, n + m>0, А = 0и получены утверждения о единственности решения краевых задач типа Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.5) при произвольной эллиптической границе. В работе Сабитова К.Б., Биккуловой (Шарафутдиновой) Г.Г. [43] доказано существование регулярного решения задачи Трикоми для уравнения (0.5), в случае, когда А = 0 и "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которые позволяют строить решения краевых задач в специальных областях в виде сумм биортогональ-ных рядов. Моисеевым Е.И. [27] -[29] были решены спектральным методом задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.

Сабитов К.Б., Гималтдинова (Карамова) А.А. [40] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Ими были изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения и показаны применения при построении решения задачи Трикоми, а в работе [41] исследована краевая задача для уравнения (0.5) при £>0, п — т > 0, А = 0. На основании функциональных соотношений между следом решения и следом нормальной производной решения задачи Дарбу на линиях изменения типа краевая задача сводилась к новой нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга с центром в начале координат, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи.

Задачи на собственные значения и краевые задачи для уравнения (0.5) ранее при А ф 0 не были изучены.

Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:

1. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральной задачи для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения и исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве Ь2.

2. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой лицией степенного вырождения с различными граничными условиями на эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в ь2.

3. Построение решений задач Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения методом рядов по собственным функциям.

4. Обоснование единственности регулярных решений поставленных краевых задач с различными граничными условиями для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 найдены собственные значения и собственные функции спектральной задачи для уравнения (0.5) в области D, ограниченной "нормальной" кривой Го : (ха / а)2 + (у13 / (З)2 = 1, лежащей в первой четверти х,у > 0 с концами в точках А(а1/а,$) и В(О,/?1^), характеристиками OCi,

CiA, ОС2 и С2В уравнения (0.5), где 0(0,0), Ci{xCl,yci), С2(хС2,ус2), где xqx = (а^/г)-, yCl = -{РаУа/2)К хС2 = - (а^/г)* , ус2 = {№'"/2)* , с* = (т + 2)/2, р = (п + 2)/2.

В § 1.1 приводится постановка спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми.

Спектральная задача (Задача Т\). Найти собственные значения А и соответствующие им собственные функции и\{х,у) = и(х,у), удовлетворяющие условиям: где D+ = D П {х > 0, у > 0}; Dx = D П {х > 0, у < 0}; D2 = D П {х < 0, у > 0}. и(х, у) е C(D) П C\D) П C2{D+ U A U D2);

Lu(x, у) = 0, (х, у) е D+ U £>i U D2; и{х, у) = 0, (х, у) е Г0 U OCi U ОС2, й

0.6)

0.7) (0.8)

В §§ 1.2, 1.3 методом разделения переменных построены многообразия частных решений уравнения в эллиптической и гиперболических областях соответственно.

В § 1.4 для уравнения (0.5) найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций спектральной задачи Т\ : и

1 Л

-q-p X Г(1 - + +1 + рл)г(1 + „) Г* q-p 1 q-p 1 3 (^)2

XF Г— + 2 +Ph + 2 " ■2 - ■(1^)2 + (У )2 )2 1 v/? в области D+,

0.9) ,'l Л r(g±a + ft)r(V + l+Pt)

-2- + Й, —+ 2+Р»,2Л + 1;-^в области Di, и- (х v) - Г(|-р)Г(-? + |+№) cos(g + pt)7T sinf

X (жф^У - X х f (g+I + izg + 1 + Рк! ы + 1; W ), (0.11) б области D4, где c^k Ф 0 -произвольная постоянная, 2q = (а — 1)/а, 2р = ((3—l)//3, Jp(-) - функция Бесселя первого рода порядка и, Г(-) - гамма -функция Эйлера, F(-) - гипергеометрическая функция Гаусса.

Теорема 1.1. Собственными значениями спектральной задачи (0.6) -(0.8) являются положительные корни Xk,i уравнения J2pk{VX) = 0, где pt = p-\-q + kul£N, к — 0,1,2,. . Соответствующие собственные функции определяются по формулам (0.9) - (0.11).

Теорема 1.2. Система собственных функций спектральной задачи (0.6) - (0.8) при п = т не полна с весом хтут в пространстве L^iD), причем размерность дефекта равна бесконечности.

Глава 2 посвящена исследованию спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией вырождения

L{u) = sgn у \у\тихх + хтиуу + A sgn у хт\у\ти = 0, т > 0, (0.12) в области G = D П {х > 0}.

В § 2.1 найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции спектральной задачи 71А для уравнения (0.12).

Задача Т\х. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и(х,у) е C(G) П C\G) П C2{G+ U G-), (0.13)

Lu(x,y) = 0, (x,y)eG+UG-, (0.14) и(х,у) = 0, (х,у)е Г0; (0.15) и(х,у) = 0, (х,у)€ОСи (0.16) и{х,у) = 0, (х,у) е ОВ. (0.17)

Методом разделения переменных найдены собственные значения Xkl,i и соответствующие им собственные функции ukl,i{x,y) спектральной задачи Т\х\ и ukiaj/) у) ^ ukui(x,y)£G J

Ux> у) = N^fV^HP) x

-2 q

4, X

Цд + Рь)та-д)

2 q) 'r(l-q + Phl)ra + qy

F[q + Ph,q- PhX + q\ у

2a

2 ' x2a + y2a У

2a

2a

1-29 /1 1 3 у y/X2a + y2aJ F U + ' 2 " ^' 2 " 95 r(2Pfel + 1)Г(| + g) x

2a

-2? X

0.18)

X Jo 4 ж

2a

2a - (-J/)

2a

-Q-Pki

1 X2a - C—г/)2а\ где Akl,i — 1- й корень уравнения J2ph (л/А) = 0, pkl = h~ q/2 + 3/4, к\ — 0,1,2,. и C2,fc! ф 0 - произвольная постоянная.

В § 2.2 изучен вопрос о полноте системы собственных функций (0.18), (0.19) в области эллиптичности и в целом в смешанной области.

Теорема 2.2. Система функций (0.18) спектральной задачи (0.13) - (0.17) полна с весом хтут в пространстве L,2(G+).

Теорема 2.3. Система функций (0.18) и (0.19) спектральной задачи Т\х не полна с весом xmym в пространстве L2 (G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В §§ 2.3 и 2.4 для уравнения (0.12) исследована спектральная задача Т2Х.

Задача Т2Л. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.13) — (0.16) и их{0,у) = 0, 0 <у <Ъ. (0.20)

Теорема 2.4. Собственными значениями спектральной задачи Т2Л являются положительные корни А^ уравнения J2Pfc2(\/A) = 0, где pk2 = k,2 + #/2 + 1/4 ul е N, = 0,1,2,. . Соответствующие собственные функции задачи Т2Х определяются по формулам: х

Ux> у) - ~2qJ2Pk2 l \ r(g + pfc2) Щ-q) ^ 1 о~q] '¥Гл—7—uvi-L- ^[Q + P^q-+ y2a IX 1+ x2a + y2a y2a ,i2 q (l l 3 y2a ( . „ J + Pfc. 2 - Ph, 2 ~ & x2a + y2aJ V2 ' 2 2 Ж2* + |/2a ukJ*,y) = C2J--q ■ r(2 1)r(J + e)x

0.21) хF(q + ft,, , + 1 ■ ^ ), (0.22) ф 0 - произвольная постоянная. Теорема 2.5. Система функций (0.21) спектральной задачи ТгА полна с весом хтут в пространстве 1/2(G+).

Теорема 2.6. Система функций (0.21) и (0.22) спектральной задачи ТгА не полна с весом хтут в пространстве L/2(G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В главе 3 показано применение системы собственных функций, построенных в главе 2, для построения решения краевых задач для уравнения смешанного типа (0.12) в области G. Единственность решения краевых задач для уравнения (0.5) при п > т доказывается методом установления знакоопределенности интеграла а

Re J хт и(х, 0) иу(х, 0) dx, о а в случае п = т — на основании принципа максимума модуля решения данного уравнения.

В § 3.1 приведена постановка краевой задачи Т\ для уравнения

L(u) ЕЕ sgn у \у\пихх + xmuyy + Л sgn у хт\у\пи = 0, п, т > 0, (0.23) в области области G, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти х,у > 0 с концами в точках A(alla,ti) и В(0,Ь), Ъ > 0, отрезком О В оси х = 0 и характеристиками ОС\ и С\А уравнения (0.23), где 0(0,0),

Cl (xCl,yCl), ХСг = (а1+1/72:УС1 = - (Ма/2)' •

Задача Т\. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) е C(G) П C\G) П C2{G+ U GL); (0.24)

Lu(x,y) = 0, (x,y) G G+UG-; (0.25) и(х,у) = Ь(х,у), (x,y)eT-, (0.26) u(x,y) = 0, (x,y)€OCu (0.27) u(0,y) = 0, 0 <y<b, (0.28) где fi - заданная достаточно гладкая функция.

Определение 3.1. Под регулярным в G решением уравнения (0.23) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

1) (0.24) , (0.25) задачи Тх;

2) производные первого порядка их, иу непрерывны в G, за исключением точек О, А и В и , кроме того, на окружностях Kqs , Ки и К2s с центрами в точках О, А и В произвольно малого радиуса 5 > 0 справедливы неравенства j (уп\их\ + xm\uy\)dS < О,, j = 0,1,2, KjSf]G+ где постоянные Cj не зависят от S. Лемма 3.1. Если и = 0 на OCi, и(х, у) = y)+i и2(х, у) и X — \i+i\2,

А < -Ai (- Vf + \{p + Я)\ Ai < 0, (0.29) n > m, то для любого регулярного решения уравнения (0.23) имеет место неравенство

J tm L (*, 0)uly(t, 0) + u2(t, 0)u2y(t, 0) j dt> 0. о ^ '

Лемма 3.3. Пусть: 1) u(x,y) удовлетворяет условиям (0.24), (0.25) и равна нулю на ОС\; 2) т = п > 0,

V2\\2\-\1<21~qq(l + q), Ai < 0. (0.30)

Тогда max \и\ достигается на OA. g

Лемма 3.4. Пусть: 1) и— регулярное решение уравнения (0.23) при п = т в области G ; 2) и(х,у) удовлетворяет условиям (0.24), (0.25) и равна нулю на ОС\; 3) выполнено условие (0.30). Тогда max т/)| достигается g наТиОВ.

Теорема 3.1. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачи (0.24) - (0.28), то оно единственно в случаях

1) Р > Ч (п > т) и условии (0.29);

2) Р — q (п = т) и условии (0.30).

В случае, когда Г = Го, Ь = (5W и п = т, на основании собственных функций задачи Т\х построено решение задачи Т\ в области G.

Теорема 3.2. Если /i(y?) Е С1[0,7г/2], функция fi(<p) в малой окрестности точек (р = 0 и <р = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, 0) = 0, /{(0) = 0, тг/2) = 0, /{(тг/2) = 0, то существует единственное решение задачи (0.24) — (0.28), и оно имеет вид 00 и(х,у) = £ Wx/Ar)-2V2^r) 8mW-*2<pP9-W/2(-co82<p) ki=0 в области G+ uix,у) = uh= т^гжwi—iiwi—:—ГТ X

-WVA) (2 - ЙЧР* + Уч1 - 9 - P*i) X ^V*20 - ^j ^ ^V^^j X ж2а / x x2a-y2a'

X[x2ay2a 1 F И + ^ ' g + ' 1 + ^> в области G-, при этом коэффициенты определяются по формулам: fkо - 0, fh = h^ll~q{e)F(e)d9, h = 1,2,3,.,

VV2 о / 7Г — t

F{9)= sin6> / Л -Г- (cost -cos6»)91dt, где Р^(-) - присоединенная функция Лежандра, hv{&), // = 1,2,., —3<v< —1 — биортогональная система, которая построена в [27].

В § 3.2 для уравнения (0.23) в области G найдено решение следующей задачи.

Задача Тг. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.20) и (0.24) - (0.27) .

Теорема 3.3. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачи Тг, то оно единственно в случаях

1) р > q (п > т) и условии (0.29);

2)p — Q (п = т) и условии (0.30).

При Г = Го, Ь = (З1^ и n = т решение задачи Т2 построено на основании собственных функций задачи Т2Л.

Теорема 3.4. Если /г(<^) 6 С1[0,7г/2], функция /г(^) в малой окрестности точек ip = 0 и ip = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, /2(0) = /2(0) = /2 (vr/2) = /2(71-/2) = 0, то существует единственное решение задачи Т2, и оно определяется формулами +00 /^(v'ar)-^sin1^-^ 2с^р cos 2^) fc2=о е области f^n f^n (VA) (2 - + + P*,) x 1 - y2a^j JPk2 ~ x x2a \~q~pk2 / 1 x2ay2a

X1 X2ay2a J F Ь + ^ + Pk2A + ^ в области (?, где fk2 ~ коэффициенты определяются no формулам j Я"

F(d)= sine j ^^^(sin*)29"^ {cost-cose)-qdt.

В § 3.3 для уравнения (0.12) в области G рассмотрена спектральная

Задача TNix. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям (0.13), (0.14), (0.16), (0.17) и = ут— ~ ^ = о, у) е Го. (0.31)

Теорема 3.5. Собственными значениями спектральной задачи TNix являются положительные корни уравнения

VXJ^(y/X)-2qJ2pki(Vx) = 0t где ркг = к\ — q/2 + 3/4 и I G N, к\ = 0,1, 2,. . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G определяются по формулам (0.18) и (0.19).

Теорема 3.6. Система собственных функций спектральной задачи TN\X полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(Gпричем размерность дефекта равна бесконечности.

В области G для уравнения (0.23) исследована задача TN\, аналогичная задаче Ti, только вместо (0.26) задано граничное условие

Й = (0.32) где ui(x,y) - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 3.7. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачиТИх, то оно единственно в случаях 1) и 2) теоремы 3.1.

В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п — т, Ъ — а1/0, при некоторых ограничениях 5ж[и]|г0 = 0 < <р < тг, на граничную функцию получено представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TN\X.

В § 3.4 для уравнения (0.12) в области G рассмотрена спектральная

Задача TN2x. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.14), (0.16), (0.20) и (0.31).

Теорема 3.9. Собственными значениями спектральной задачи TN2x являются положительные корни \k2,i уравнения

V\J^(VX)-2qJ2pk2(VX) = 0, где pk2 = к2 + q/2 + 1/4 и I G N, к2 = 0,1,2,. . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G определяются по формулам (0.21), (0.22).

Теорема 3.10. Система собственных функций спектральной задачи TN2x полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(G), причем размерность дефекта равен равна бесконечности.

Для уравнения (0.23) в области G рассмотрена задача (0.24), (0.25), (0.20), (0.27) и (0.32). В классе регулярных решений доказана теорема единственности данной задачи. В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п = т, Ъ = а1/а, аналогично § 3.3, при некоторых ограничениях на граничную функцию 5х[и]\т0 = ш2((р), 0 < (р < 7г, получены представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TN2x.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения; показано, что система собственных функций не полна с весом в Ь2 в смешанной области.

2. Найдены собственные значения и построена система собственных функций для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения; доказано, что система собственных функций полна с весом в

L2 в области эллиптичности и не полна с весом в L2 в целом в смешанной области.

3. Построены решения краевых задач типа Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.

4. Доказаны теоремы единственности регулярных решений краевых задач с различными граничными условиями при произвольной эллиптической границе для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44], [62] - [66].

Работа [44] выполнена в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому принадлежит постановка задачи и идеи доказательства.

Автор выражает сердечную признательность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору, чл. - корр. АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1965. - 293 с.

2. Бейтмен, Г.Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 2. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1973. - 299 с.

3. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

4. Бицадзе, А.В. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561 - 564.

5. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. М. Серия "Итоги науки". - 1959,- Вып. 2. - 164 с.

6. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. - 448 с.

7. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. В 5 ч. Ч I. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. М: ИЛ, 1949. - 799 с.

8. Волкодавов, В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Волкодавов В.Ф. Казань, 1969.

9. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. - 528 с.И. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. М.: ИЛ, 1960. - 421 с.

10. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: ИЛ, Изд -во физ. - мат. лит., 1963.- 1109 с.

11. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов / Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979 - 238 с.

12. Жегалов, В.И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Автореферат дис.на соиск. науч.степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Жегалов В.И. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989.- 28 с.

13. Зайнулабидов, М.М. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями параболического вырождения: Авторефер. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Зайнулабидов М.М. Новосибирск, 1969. - 18 с.

14. Зайнулабидов, М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения / М.М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, № 1. - С. 91-99.

15. Зайнулабидов, М.М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения /М.М. Зайнулабидов // Дифференц уравнения. 1970. - Т. 6, № 1. - С. 99 - 108.

16. Исамухамедов, С.С. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения / С.С. Исамухамедов, Ж. Орамов // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 2. - С. 324 -334.

17. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе / Т.Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения -1977. - Т. 13, №8. - С. 1718 - 1725.

18. Кальменов, Т.Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дисс на соикан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.Ш. Кальменов М., 1982. -28 с.

19. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М: Наука, 1972. - 496 с.

20. Ломоносова, Т.Б. Существование решения задачи Т для уравнения с двумя линиями сингулярности коэффициентов / Т.Б. Ломоносова // Дифференциальные уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1977. - Вып. 10. - С. 88 - 96.

21. Макаров, И.А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения / И.А. Макаров // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. Вып. 2. - С. 124 - 155.

22. Маричев, О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / О.И. Маричев // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970.- № 5. - С. 21 - 29.

23. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов и косинусов / Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1984. - Т. 1275, №4.- С. 794 - 798.

24. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения 1987. - Т. 23, №1- С. 177 - 179.

25. Моисеев, Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 7. - С. 1160 - 1172.

26. Моисеев, Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биор-тогонального ряда / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1991. -Т. 27, № 7. - С. 1229 - 1237.

27. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1.-С. 110-121.

28. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

29. Пономарев, С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева- Бицадзе: Авторефер. на соискан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Пономарев, С.М. М., 1981. - 28 с.

30. Попиванов, Н.И. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения / Н.И. Попиванов. Сер-дика. Болгарско математическо списание, - 1975. - Т. 1. - С. 295 - 310.

31. Репин, О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа и дробное интегродифференцирование . Авторефер. дисс.на соискан. учен.степ, д-ра физ. мат. наук: 01.01.02 / Репин О.А.Минск, 1998. - 30 с.

32. Сабитов, К.В. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № И. - С. 1967- 1976.

33. Сабитов, К.Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. на соикан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Сабитов К.Б. М., 1991.

34. Сабитов, К.Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов // Докл. АН СССР.- 1990. Т. 310. - № 1. - С. 33 - 36 .

35. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К.Б. Сабитов, А.А. Карамова, Г.Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. 1999. - № 11. - С. 70 - 80.

36. Сабитов, К.Б. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля / К.Б. Сабитов, В.В. Тихомиров // Матем. моделирование.- 1990,- Т. 2, МО С. 100 - 109.

37. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения / К.Б. Сабитов, А.А. Карамова // Изв. РАН. Серия математическая. 2001.- №4. - С. 133 - 150.

38. Сабитов, К.Б. Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К.Б. Сабитов, А.А. Карамова // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37, №1. - С. 111 - 116.

39. Сабитов, К.Б. О знаке производной по конормали вблизи точки максимума решения вырождающихся эллиптических уравнений / К.Б. Сабитов,Ф.Х. Мукминов // Дифференц. уравнения. 2000 - №6. - С. 844 - 848.

40. Сабитов, К.Б. Задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения / К.Б. Сабитов, Г.Г. Ша-рафутдинова // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39, № 6 - С. 788 -800.

41. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К.Б. Сабитов, Н.В. Чиганова // Изв. Вузов. Математика. 2006. - № 7. - С. 65 - 76.

42. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно составного типа / М.С. Салахитдинов.- Ташкент. Фан, 1974. - 156 с.

43. Салахитдинов, М.С. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 289, № 3. - С. 549 -553.

44. Салахитдинов, М.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М.С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 110 - 119.

45. Салахитдинов, М.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения / М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 5. - С. 1051 - 1054.

46. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

47. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

48. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 296 с.

49. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Высш. шк., 1985. - 304 с.

50. Солдатов, А.П. О единственности решения одной задачи А.В. Бицадзе / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, №1. - С. 143 -146.

51. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, №2. - С. 325 - 332.

52. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми . M.-JL: Гостехиздат, 1947. -192 с.

53. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

54. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч. II. Трансцендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. М., Физматгиз. - 1963.- 516 с.

55. Франкль, Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945.- Т. 9, № 2. С. 121 - 142.

56. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль. -М.: Наука, 1973. 605 с.

57. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / Хе Кан Чер // Препринт. ИМ СО АН СССР. 1976. - 16 с.

58. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения / Хе Кан Чер //В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными / ИМ СО АН СССР. -Новосибирск. 1980. - С. 64 - 67.

59. Чиганова, Н.В. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения /Н.В. Чиганова // Изв. Вузов. Математика. 2003. - № 9. - С. 67 - 74.

60. Agmon, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Comm. Appl. Math. - 1953. - V. 6, № 4. - P. 455 - 470.

61. Agmon, S. On solutions of linear partial differential equations of mixed type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Amer. J. Math., 1952. -V. 74, P. 444 - 474.

62. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt. These pour le doctorat. Uppsala. 1935.

63. Hopf, E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order / E.A. Hopf // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3, P. 791 - 793.

64. Michael, J. The will-posed Tricomi problem of two kings / J. Michael // R. J. Math, and Phys. Sci. 1993. - V. 27, N 6. - P. 383-393.

65. Protter, M.H. New boundary value problems for the ware equation and equations of mixed type / M.H. Protter // J. Rat.Mech. and Anal. 1954. -V. 3, N 4. - P. 435-446.

66. Morawetz, C.S. A uniqueness theorem for the frankl problem / C.S. Morawetz // Communs pure ahd Appl. Math. -1954. V. 7, N 4. P. 697-703.

67. Morawetz, C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. - V. 236, N 1024. P. 141-144.