Краевые задачи для системы управлений смешанного типа с негладкой линией вырождения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ

ОБЛАСТИ

§ I. Постановка краевых задач.

§ 2. Принципы экстремума. Единственность решения

§ 3. Свойства фундаментальных решений.

§ 4. Свойства функций и У(я,<|)-Я.

§ 5. Решение задач , «У©,

ГЛАВА П. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ

ОБЛАСТИ . /

§ I. Постановка краевых задач

§ 2. Принцип экстремума

§ 3. Задача Коши.

§ 4. 1-ая задача Дарбу.

§ 5. 2-ая задача Дарбу.

ГЛАВА Ш. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В СМЕШАННОЙ

ОБЛАСТИ

§ I. Постановка задачи Тл

§ 2. Единственность решения задачи Т£

§ 3. Функциональные соотношения между тп(х) и

§ 4. Сведение задачи Т1 к системе сингулярных интегральных уравнений

§ 5. Задача Г

Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа является одним из важных направлений современной теории уравнений в частных производных. Первые фундаментальные исследования уравнения смешанного типа были выполнены Ф.Трикоми [ 89 ] в начале двадцатых годов. В тридцатых годах они были продолжены С.Геллерстедтом [105] , [ 106 ] , [ 107] и др.

Уравнения смешанного типа имеют большое практическое применение, они возникают при решении задач газовой динамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеяния, в прогнозировании уровня грунтовых вод и в других областях физики и техники. На важность изучения краевых задач для уравнений смешанного типа указано в работах [ 5 ] , [ 7 ] , [ 10 ] , [ 17 ] , [ 19 ] , I 29 ] ,[ 45 ] , I 92 1 и других.

Существенный вклад в развитие теории уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений внесли советские математики и механики: К.И.Бабенко [б ] , А.В.Бицадзе [п - 1б], М.А.Лаврентьев [ 48 ] , А.М.Нахушев [65 - 67 ] , А.И.Янушаускас [95, 96 ] , М.М.Смирнов 184 - 86 ] , Ю.М.Березанский \ 8 1, М.В.Келдыш [44], М.С.Салахитдинов [78 - 82 ] , Н.Раджабов [76 ] , О.А.Олейник [68, 69] , А.Днураев [31] , С.П.Пулькин [74, 75] , В. Ф. Волкодавов [ 22 ] , В.П.Диденко [ 32 - 35 ] , В.Н.Врагов [23, 24 ] , В.П.Михайлов [61, 62 ] , С.А.Терсенов [87, 88] , Ф.И.Франкль [ 92 ] , Ю.М.Крикунов [46, 47 ] , Т.Ш.Кальменов [40, 41] и другие.

Обобщение результатов Ф.Трикоми ведется в основном в четырех направлениях:

1) усложнение уравнения смешанного типа за счет а) добавления новых слагаемых, б) повышения порядка, в) добавления новых линий вырождения,

2) изменения области смешанного типа, в которой ищется решение,

3) изменение граничных условий задачи или условий склеивания искомого решения,

4) распространение идей и методов решения краевых задач со случая уравнения смешанного типа на случай систем таких уравнений.

Изучению краевых задач для уравнений смешанного типа посвящена обширная математическая литература, Основная библиография по этим вопросам содержится в книгах [п ] , I 13 ] , [ 31 ], I 85 1 и других.

С конца 60-х годов ведутся исследования по теории краевых задач для уравнений смешанного типа с негладкими линиями вырождения. В работах М.М.Зайнулабидова ^ 37 - 39 ] , М.С. Салахитдинова [ 78, 79, 81, 82 ] , Б.Менгзияева I 57 ] , а.к. Уринова [ 90 ], О.И.Маричева [ 54 ] , Ж.Орамова [ 70 ] , В.В. Азовского [ I ] и других изучены уравнения смешанного типа с негладкими линиями, но с одинаковым порядком вырождения.

Уравнения эллиптического или гиперболического типа с разным порядком параболического вырождения на части границы области рассмотрены в работах Н.Раджабова I 76 ] , Л.В.Пестун [ 71, 72 ] , Н.А.Вирченко I 20 ] , И.А.Макарова [б2,53], А.М.Гордеева [ 27 ] , ЛМеимШл'а. У13, 114] ,31.4.ШлосМ'а У12] и других.

Уравнению смешанного типа с различным порядком вырождения вида дги . * д* «Ц

1 г

- о,

- И ; пг, К = ^ 0; посвящены работы М.С.Салахитдинова, А.Хасанова [80, 93 ] , Д.Аманова [ 3 ] и другие.

Системы дифференциальных уравнений с вырождением и без него исследованы в работах А.В.Бипадзе [ II - 16 ] , М.И.Витка [ 21 ] , В.П.Михайлова I 61 ] , А.И.Янушаускаса [95,9б], Р.С.Сакса I 77 ] , М.Мередова [58 - 60 ] , А.А.Андреева 14 ] , М.М.Гаджиева ¡25, 26 ] и других. На важность изучения систем уравнений смешанного типа обратил внимание А.В.Бицадзе в монографии I II "1.

В работах М.Мередова I 58 - 60 ] доказана однозначная разрешимость задач Дарбу, Гурса, Коши для системы вырождающихся гиперболических уравнений вида где а, , В , С -заданные т* т матрицы, " заданный, а и ={ ,Ц*} - искомый векторы. Скалярная функция К(у) ^ 0 при ^ £ О и обращается в нуль при ^ = О

В.П.Диденко функциональными методами исследовал краевые задачи для эллиптических систем уравнений с вырождением порядка на границе, а также для систем дифференциальных уравнений смешанного и смешанно-составного типов [ 32 - 35 ] .

Изучением краевых задач для нелинейных систем уравнений смешанного типа с гладкой линией вырождения вида

УдР + ~~ ¿-¿.г.-,*' занимался И.В.Майоров [49 - 51 ] .

Настоящая диссертация посвящена изучению системы уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения где Е * ги, Е,т = сг^и О,

Л} - вектор, |I - матрица размерности л И . Она состоит из введения, трех глав и заключения. Система уравнений (I) рассматривается в области , ограниченной кривой Г с концами в точках которая расположена в первом квадранте, и характеристиками

Ск у А где а.= ^ , б * р р, = т+ г, гр * £t г,

Обозначим $Ог и <Ю3 - гиперболические части области

СО при X т> 0 и X * 0 соответственно, а через Ю^ -эллиптическую часть области

В I главе решены основные краевые задачи: Неймана-Дирихле, Неймана-Дирихле I, Дирихле для системы уравнений (I) в эллиптической части области СЭу .

В § I дана постановка этих задач.

ЗАДАЧА сУЙ (НЕЙГША-ДШШЕ). Найти решение системы уравнений (I) из класса соаопсТ®,), удовлетворяющее краевым условиям: г|г = % 00, 0 ; . О^.а; где Мг - действительные числа.

ЗАДАЧА (НЕШДАНА-ДИРИХЛЕ I). Найти решение системы уравнений (I) из класса С(Ю(] ) , удовлетворяющее краевым условиям: г 1Т - 0 <8 и } .,,.(я)г У причем Ц>1 (£) = Тг. (В).

ЗАДАЧА СО (ДИРИХЛЕ). Найти решение системы уравнений (I) из класса тУ) л с (©г) удовлетворяющее краевым условиям: причем

В § 2 доказаны принципы экстремума для функций ¿¿¿(я, из которых следует единственность решения поставленных задач. В § 3 изучены свойства фундаментальных решений

Используя свойства гипергеометрической функции Горна

С,с'; ^ ) , получены интегральные представления для фундаментальных решений, оценки для них и их производных.

В § 4 рассмотрены свойства функций, представленных интегралами вида и&О^Му •,%,>!)€/£ с/у & и

Доказаны теоремы, являющиеся аналогами теорем, доказанных К.И.Бабенко для уравнения

В § 5 доказано существование решения задач, поставленных в § I, сведением их к системам интегральных уравнений

Фредгольма второго рода. Решения выписаны в явном виде.

Во второй главе решены основные краевые задачи для системы уравнений (I) в гиперболической области С02 .

В § I дана постановка задачи Коши, 1-ой и 2-ой задач Дарбу.

В § 2 доказан принцип экстремума для функций который является обобщением известного принципа Проттера для уравнения гиперболического типа.

В § 3,4, 5 решены соответственно задача Коши, 1-ая задача Дарбу, 2-ая задача Дарбу, Решения выписаны в явном виде, удобном для дальнейших исследований системы уравнений (I) в смешанной области. Получены оценки для функции Римана и функции Римана-Адамара, необходимые для доказательства существования решения поставленных задач.

В третьей главе система уравнений (I) рассматривается в смешанной области

В § I поставлена

ЗАДАЧА Т^ . Найти вектор -и(ос7у) , обладающий следующими свойствами:

1) -и(оа^) е С(«б);

2) и (ос, ) ~ является регулярным решением системы уравнений (I) в области и обобщенным решением класса в области ©г ,

3) -и (х, у) удовлетворяет краевым условиям и(<к,у)\г - срСд), & * £ох.

Здесь <р(з), -у(л.), ~ заданные непрерывные вектора.

Из принципов экстремума, доказанных для функций -«¿(зе,^ в § 2 главы I и в § 2 главы 2, вытекает единственность решения задач, рассматриваемых в эллиптической или в гиперболической областях. Для доказательства же единственности решения краевых задач в смешанной области необходимо доказать принципы экстремума для нормы что и сделано в § 2 главы 3.

В § 3, 4 задача при предположении, что Г совпадает с нормальной кривой сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений со специальными функциями (гипергеометрическими функциями ; с,01)) в ядрах и доказана ее разрешимость.

В § 5 рассмотрен частный случай системы уравнений (I), когда í = -пь в области Ю - и и <£)3 . Решена

ЗАДАЧА Г . Найти функции (ос, , обладающие следующими свойствами:

1) С(£);

2) /U¿ - регулярное решение системы уравнений (I) в области ©у и обобщенное решение класса в областях , ;

3) (ос, ^ - удовлетворяет краевым условиям

- СО, о* % & е ' где ^ = 2"*}, а С.к(ос,у) , 7 ¿О - заданные функции.

Цель работы. Исследование вопросов существования и единственности решения основных краевых задач для системы линейных дифференциальных уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения в эллиптической, гиперболической и смешанной областях.

Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается с помощью принципов экстремума. При доказательстве существования решения краевнх задач применяется теория систем сингулярных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты работы являются новыми и имеют теоретический характер. Они представляют определенный вклад в дальнейшее развитие теории краевых задач для уравнений и систем уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения и ее применения при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям (математической физике) (г.Куйбышев, 1975, 1977, 1979, 1984 гг.), на Ш Конференции ФМЗ Куйбышевского политехнического института (г.Куйбышев, 1983 г.), на городском семинаре "Теория потенциала и краевые задачи для дифференциальных уравнений" (г.Киев, 1984 г.), на научно-технической конференции КамАЗа (г.Брежнев, 1984 г.).

По теме диссертации опубликовано пять работ [ 116 ] , [ 117 ] , [ 118 ] , [ 119 ] , [ 120 ] , в которых отражено основное содержание диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении можно сделать следующие выводы по результатам исследований:

1. В работе рассмотрена система уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения. Такая система уравнений ранее никем не рассматривалась. Для нее решены основные типичные задачи в эллиптической, гиперболической и смешанной областях.

2. Доказаны принципы экстремума для функций (я, зО в эллиптической и гиперболической частях области , которые являются обобщением известных принципов экстремума для одного уравнения. А именно, если в теореме 2.1 положить п - I. то условие (В) - есть известное условие Проттера для одного уравнения. Из доказанных принципов экстремума следует единственность решения краевых задач, рассматриваемых в эллиптической или в гиперболической областях.

3. При доказательстве же единственности решения краевых задач в смешанной области необходимы принципы экстремума для нормы которые доказаны в работе в главе Ш, § 2.

4. В главе I, § 3 изучены свойства фундаментальных решений, которые необходимы здесь при решении краевых задач в эллиптической части области £) . При этом существенно используются свойства гипергеометрической функции двух переменных I

Е, (о7 8У В } С, С ; х, у), так как рассматриваемые фундаментальные решения выражаются через них.

5. В главе I, § 4 доказаны теоремы аналогичные тем, которые К.И.Бабенко доказал для уравнения

Эти теоремы используются при рассмотрении вопроса существования решения краевых задач в эллиптической области.

6. В главе П, § 2, 3, 4 решены соответственно задачи Коши, 1-ая задача Дарбу и 2-ая задача Дарбу. Решения перечисленных задач выписаны в явном виде, причем, в виде удобном для дальнейших исследований системы уравнений в смешанной области.

7. Доказано существование решения системы сингулярных интегральных уравнений со специальными функциями в ядрах (гипергеометрическими функциями У(о7 с '7 х) ), к которой сводится решение задачи Т/

1. Азовский В.В. О решении задачи для одногоуравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения типа.- Материалы итоговой научной конференции. Куйбышевский гос.пединститут,1970, с.3-7.

2. Александрович И. И. Интегральные представлениярешений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.- Респ. сб.: Вычислит. и приклад, математика. К.,вып.35,1978, с.3-7.

3. Андреев A.A. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа.- Дифф. уравнения: сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР.- Рязань: РПШ, 1980, вып. 16.

4. А н т о н ц е в С.Н. О се симметрические задачи газовойдинамики со свободными границами.- ДАН СССР, 1974, т.216, Ш 3, с.473-476.

5. Бабенко К.Й. К теории уравнений смешанного типа.

6. Докт. дисс., библ. Матем. ин-та АН СССР, 1952.

7. Бакиевич Н.И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения.- УМН, i960, т.15, с.171-175.

8. Березанский Ю.М. Разложение по собственнымфункциям самосопряженных операторов,- Киев: Наукова думка, 1965.- 798 с.

9. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.- М.: Наука, т.1, 1965,- 296 с.

10. Б е р с I. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.- М.: ИЛ., 1961.- 208 с.

11. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа.- М. : Издво АН СССР, 1959.- 164 с.

12. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.- М.: Наука, 1966.- 204 с.

13. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частныхпроизводных.- М. : Наука, 1981.- 448 с.

14. Бицадзе A.B. К вопросу о постановке характеристической задачи для гиперболических систем второго порядка.- ДАН СССР, 1975, т.223, с.1289-1292.

15. Бицадзе A.B. Влияние младших членов на корректностьпостановки характеристических задач для гиперболических систем второго порядка.-ДАН СССР, 1975, т.225,с.31-34.

16. Б и ц а д з е A.B. К теории систем уравнений с частнымипроизводными.- Труды Матем. ин-та АН СССР, 1976, т. 134, с.67-77.

17. В е к у а И.Н. Обобщенные аналитические функции.- М. :1. Физматгиз, 1959.- 628 с.

18. В е к у а Н.П. Системы сингулярных интегральных уравненийи некоторые граничные задачи.- М.-Л. :ГИТТЛ,1950.- 252 с.

19. Вельмисов П.А. »Фалькович C.B. К теории околозвуковых течений вязкого газа.- Изв.ВУЗов. Математика, 1974, 5, с.52-61.

20. Вирченко H.A. Некоторые краевые задачи для простейших эллиптических уравнений с двумя линиями вырождения.- Докл.АН УССР, сер.А, 1974, & 7, с.582-585.

21. В и ш и к М.И. 0 сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений.- Матем.сб.,1951, т.29, с.615-676.

22. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремумаи его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.- Докт. дисс., Казань, 1969.

23. Врагов В.Н. О некоторых краевых задачах для одногокласса уравнений смешанного типа в трехмерном случае.-Дифф.уравнения, 1975, т.II, № I, с.27-32.

24. В р а г о в В.Н. К теории краевых задач для уравнениясмешанного типа в пространстве.- Дифф. уравнения, 1977, т.13, № 6, с.1098-1105.

25. Гаджиев М.М. О задаче Коши для одной гиперболопараболической системы уравнений второго порядка.- Динамика сплошной среды, 1975, вып. 21, с.13-17.

26. Гаджиев М.М. Смешанная задача для одной гиперболопараболической системы дифференциальных уравнений.- Дифф. уравнения с частными производными. Труды семинара С.Л.Соболева, Новосибирск, 1977, JS 3, с.131-132.

27. Г о р д е е в A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.- Волжский математический сб., 1968, вып.6, с.56-61,

28. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы инте- из градов, сумм, радов и произведений,- М.: ГИФМЛ, 1962.1100 с.

29. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений.1. М.: ИЛ, 1960.- 421 с.

30. Г у р с а Э. Курс математического анализа.- М.-1.:1. ГТТИ, 1933, т.З,- 276 с.

31. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнении смешанного и смешанно-составного типов.- Ташкент: ФАН, 1979.240 с.

32. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного типа.- Докл. АН СССР, 1962, т. 144, с.709-712.

33. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного и смешанно-составного типа.-Дифф. уравнения, 1966, т.2, № I, с.33-36.

34. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости задачи

35. Трикоми.-Укр.матем.журн., 1973, т.25, с.14-24.

36. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости граничныхзадач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа.- Дифф.уравнения, 1972, т.8, с.24-29.

37. Е в с и н В.И. К задаче Хольмгрена для вырождающегосяэллиптического уравнения первого рода.- Сиб. Матем.журн., 1972, т.13, й 2, с.286-292.

38. Зайнулабидов М.М. Об одной краевой задачедля модельного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.- Докл. АН СССР, 1969, т. 188, № 5, с.986-989.

39. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя: перпендикулярными линиями вырождения.- Дифф. уравнения, 1969, т.5, № I, с.91-99.

40. Зайнулабидов М.М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения.- Дифф. уравнения, 1970, т.6, № I, с.99-108.

41. К а л ь м е н о в Т.Ш. О регулярных краевых задачахдля волнового уравнения.- Дифф. уравнения, 1981, т. 17, № 6, с.1105-1121.

42. Кальменов Т.Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения.- Дифф.уравнения, 1974, т.10, В I, с.54-68.

43. Каратопраклиев Г.Д. Об одном классе уравнений смешанного типа в многомерных областях.- Докл. АН СССР, 1976, т.230, Л 4, с.769-772.

44. Каратопраклиев Г.Д. К теории краевых задачдля уравнений смешанного типа в многомерных областях.-Дифф. уравнения, 1977, т.13, № I, с.64-75.

45. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области.- Докл.АН СССР, 1951, т.77, с.181-183.

46. Коган М.М. О магнитошдродинамических течениях смешанного типа.- Прикладная матем. и механ., 1961, т.25, № I, с.132-137.

47. К р и к у н о в Ю.М. Задача Трикоми для одного частногослучая уравнения +Уии = 0.

48. Часть 3,- В сб.: Труды семинара по краевым задачам, КГУ, 1969, вып.6.

49. Крикунов Ю.М. Задача Трикоми с производными вкраевом условии.- Уч. зап. Казанского ун-та, 1964, 123, 9, с.106-113.

50. Лаврентьев М.А., Б и ц а д з е A.B. К проблеме уравнений смешанного типа.- Докл. АН СССР, 1950, т. 70, с.373-376.

51. М а й о р о в И.В. Об одной нелинейной системе уравнений смешанного типа.- Докл. АН СССР, 1968, т. 183, £ 2, с.280-283.

52. Майоров И. В. Об одной задаче для вырождающейсянелинейной системы уравнений эллиптического типа.-Дифф. уравнения, 1972, т.8, J6 4, с.671-677.

53. М а й о р о в И.В. Принцип экстремума для вырождающейсягиперболической системы.- Дифф.уравнения, 1983, т.19, № 3, с.532-535.

54. М а к а р о в И.А. Теория потенциала для уравнения сдвумя линиями вырождения.- Дифф.уравнения: сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР.- Рязань: ИЛИ, 1973, вып. 2, с.124-155.

55. Макаров И. А. Решение задач Дирихле и Неймана-Дирихле с помощью потенциалов.- Дифф.уравнения: сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР.- Рязань: РТШ, 1974, вып. 4, с.126-131.

56. М а р и ч е в О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.- Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1970, В 5, с.21-29.

57. М а р и ч е в О.И. Уравнение Вольтерра типа свертки

58. Маллина с функцией Горна К3 в ядре.- ВИНИТИ, № 7307-73 Деп., 1973.

59. Маричев 0. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций.- Минск: Наука и техника, 1978.312 с.

60. Менгзияев Б. Краевые задачи типа задач Трикомидля одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.- Изв. АН Уз.ССР, сер. физ.-мат.наук, 1977, Л 4, с.12-17.

61. М е р е д о в М. 0 задаче Дарбу для вырождающейся гиперболической системы.- Дифф. уравнения, 1972, т.8, № I, с.97-106.

62. М е р е д о в М. 0 задаче Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических систем.- Дифф. уравнения, 1973, т.9, № 7, с.1326-1333.

63. М е р е д о в М. Об однозначной разрешимости задачи

64. Дарбу для одной вырождающейся системы.- Дифф. уравнения, 1974, т.10, В I, с.89-99.

65. Михайлов В.П. 0 неаналитических решениях задачи

66. Гурса для системы дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными.- Докл. АН СССР, 1957, т.117, с. 759-762.

67. Михайлов В.П. Об обобщенной задаче Трикоми.

68. Докл. АН СССР, 1967, т.175, № 5, с.1012-1014.

69. М и х л и н С.Г. Интегральные уравнения и их приложенияк некоторым проблемам механики, математики, физики и техники.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.- 380 с.

70. Мусхелишвили Н.й. Сингулярные интегральныеуравнения.- М.: Наука, 1968.- 512 с.

71. Нахушев A.M. 0 некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.- Дифф. уравнения, 1969, т.5, с.44-59.

72. Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнениясмешанного типа с двумя линиями параболического вырождения.- Дифф.уравнения, 1967, т.З, Jfc I, с.45-58.

73. Орамов Л. О краевых задачах типа задачи Бипадзе-Самарского для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией, вырождения.- Дифф. уравнения, 1983, т. 19, гё I, с.94-101.

74. П е с т у н Л.В. Решение задачи Коши для уравнения1. Ы пj Ухх, ~ х ^¡¡Н = V Волжский математическийсборник, 1965, вып.З, с.289-295.

75. Пестуя Л. В. Решение задачи Коши для одного уравнения в частных производных.- Сб.: Некоторые вопросы дифф. уравнений в решении прикладных задач.- Тула, 1983, с.14-19.

76. Прудников А.П., Брнчк о в Ю.А., М а р ич е в О.И. Интегралы и ряды.- М.: Наука, 1981.- 800 с.

77. П у л ь к и н С.П. Задача Трикома для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бипадзе.- Докл. АН СССР, 1958, т.118, В I, с.38-41.

78. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнения

79. УХх ± Муу + х, = & Уч. зап. Куйбышевского пединститута, 1958, вып. 21, с.3-54.

80. Раджабов Н. Теоремы единственности и аналоги формулы Пуассона в первом октанте для уравнения типа Гельм-гольца с сингулярной гиперплоскостью.- Докл. АН

81. СССР, 1978, т.238, Jß 4, с.804-807.

82. С а к с P.C. Краевые задачи для эллиптических системдифференциальных уравнений.- Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1975.- 164 с.

83. Салахитдинов М.С., М е н г з и я е в Б.

84. Краевые задачи для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.- Изв.АН УзССР, сер. физ.-мат. наук, 1975, В 5, с.П-18.

85. Салахитдинов М.С. ,Менгзияев Б.0 задачах типа задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.- Сб. тр. Краевые задачи для дифф. уравнений и их приложения.-Ташкент: ФАН, 1976, с.3-17.

86. Салахитдинов М.С., Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения.- Дифф. уравнения, 1983, т.19, I, с.110-119.

87. Салахитдинов М.С., У р и н о в А.К. Ободной краевой задаче для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения.- Докл. АН СССР, 1982, т. 262, Л 3, с.539-541.

88. Салахитдинов М.С., У р и н о в А.К. Аналог ' задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения.- Докл. АН УзССР, 1983, $ I, с.3-4.

89. С а м к о С.Г. Об обобщенном уравнении Абеля и операторах дробного интегрирования.- Дифф. уравнения, 1968, т.4, № 2, с.298-314.

90. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения.- М.: Наука, 1966.- 292 с.

91. С м и р н о в М.М. Уравнения смешанного типа.- М.: Наука, 1970.- 295 с.

92. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.- Минск: Высшая школа, 1977, 158 с.

93. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе.- Новосибирск, БГУ, 1973,-144 с.

94. Т е р с е н о в С.А. Об аналитичности решений одногокласса дифференциальных уравнений, вырождающихся на границе.- Дом. АН СССР, 1976, т. 228, №6, с. 1294 -1297.

95. Трикоми Ф. 0 линейных уравнениях смешанного типа.- М,- Л.: Гостехиздат, 1947.- 190 с.

96. У р и н о в А.К. Краевые задачи типа задачи Трикомидля уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения.- Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1982, № 6, с.18-23.

97. Франкль Ф.И. О задаче Коши для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с начальными данными на переходной линии.- Изв. АН СССР, сер.математ., 1944, 8, J& 5, с.195-224.

98. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике.1. ГЛ.: Наука, 1973.- 711 с.

99. Хасанов А. Об одной смешанной задаче для уравнения Цел ^"yf ~ 0 Изв* Ш УзССР>сер. физ.-мат.наук, 1982, JS 2, с.28-32.

100. Ш а й д у к о в Г.М. О решениях системы линейных уравнений.- Тр. Казанского с/х ин-та, Казань, 1961, вып. 45, с.96-103.

101. Я н у ш а у с к а с А.И. Аналитическая терия эллиптических уравнений.- Новосибирск: Наука, 1979.- 190 с.

102. Я н у ш а у с к а с А.И. Аналитические методы в теорииэллиптических уравнений.- Новосибирск: Наука, 1982.177 с.

103. J-ffmoa <yLtenêet(j L, Ttoihez ЖЖ jfftzùrtcipPe foi a of~ kypetSo&cсшс/ ap¿¿ca¿¿o-K6 h? е^иаНопл of mixed e#&p¿¿c -k¿/petSo£cc type. &>rr?/7iu/7. pt/тг ¿иге/ o4/<z.¿kt/95\ VJ, к, p. w-rn.

104. Сорлоп. é.T. û/г л S¿*p</£a<t fo&ndat^proêàm. fot an- eyj/a&em of- k^petéû&c type, ct/'cckt&e fat- td/ecÁ a/rct Jsta^-Í958, ¿, p. 344- 356.

105. Ccpwn g.T, О/г ék& fäemann въеек f¿//?cbeoft. Jrck. J&zétûK, Л/еаМ ¿fyü? JÛS8, ¿, ЛЬ, p,ÔZ4-348.

106. ЮЗ. Coptort &.Т, êsccteâft J. On a, pavtcccJ atcf-jezettllat ey¿¿cU¿<?-/t¿ fofori&b. Jtckc-ôe f#t J¿a¿¿o/ra¿ cdfecka/u'cô . &mc¿ dffî, V. г, Ж, р. 76 -вб.104. êzcféfyt </?> of (fzn&taá'zjzcí

107. QûCÀaPàf Mf/ff/ff&á^c potenèla/б, ¿Ь/я>/?г.1. JppZ. 403-4M.

108. Ge№et/>íec¿¿ S. Sut test pcœSééwe au/a?fftiteb pe¿¿* <¿¿ae ép¿¿a.t¿0K, ¿¿/геси'^? ахгзс cteié&eeó p(vc£te£ëeô ¿tc/te ¿¿etype m¿ac¿e.~ Tkeó.; Z¿pp4a^a,106. Ge£leAyy¿eM S. we1.b póuz g'épœcUcûn + tfyp = 0.

109. Jtkt<r. f. M. J?. о.7., 25J, 1936, -6.dOf p. .

110. GeiÙAyytedl S. Qaje£y¿ce6 pK?¿¿e/xeó /b>¿c¿espowc ¿'¿fiu&ttm y™Zw f Zpy ~ û. Jtkcû-§>.JC.J.o.F.7 26, J, ¿ЯЗЯ, -L.3, p.J-52.

111. GcPSet-é % . Som pv¿?pe<t¿¿eó of fenetüßzedxcaê&f. ¿¿f/rzweéttc. patent c^e^:.

112. Som ¿ateftct£ e^aédo/tó -a&éÁ. (f&y/v/ve^sfanctùowb àt -the k&caeâ). Cajta,a¿. utâzéA. . f>a¿e.7 JÛTJ, ¿4, p. 3âi - m.111. 5^^Û6Î(ZCÎÛL G.rSatan S, 1f/vbefZ<y£ittcrtß. УСамре c/e $ee¿e¿ Œuncùlesz., .Z. f ¿967, 98, p. ¿I9 - ¿25.

113. Watzacki ^nef et west ¿a £ -сяк,а с££алб of efaaÁ<am -a£¿¿/c ле&ессг ZLrtjM-tafc a?effce¿e/¿é,s. If. J<vs¿t&¿. $oc.f ¿968, 8, ЛЗ, p. $75-583.

114. Y/e¿?tóte¿K J. jD¿<beú/zt¿/?¿/0ix¿ ¿/tiefteta fid yevezû&zec/ p&é&tt¿a¿ tk&y&f,

115. Ttan4. J/n. J/aM, Sac., ¿Ш, V, £3,р. Ш-&4.

116. У/еспкЬ&сп Л. Tke. rwetkooL of аязсаХ

117. Ьс^ ¿к pcrvtiat dcffeTmtiai ерг/а^^охл. -¿cU'&lorU &a?/770rt£4£, Лома, d&tt, p. d

118. WoPfevbdorf- ti Ufct еске ßezlekv^

119. Zai<9>ckm tf/LtejKQ&a fu'ckt^as/zetz-Math. Z., М5,аО, p. 24-28.

120. Ц ы m б а л Т.Е. Об одной краевой задаче для вырождающейся системы дифференциальных уравнений гиперболического типа.- Дифф. уравнения: сб. тр. мат. кафедр, пединститутов РСФСР.- Рязань: РГПИ, 1976, вып. 8, с. 226231.

121. Цымбал 'Т.Б. О принципах экстремума для некоторыхсистем уравнений гиперболического типа.- Дифф. уравнения: сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР,- Рязань; РГПИ, 1978, вы.12, с.163-170.

122. Цымбал Т. Б. Решение задачи и/ для вырождающейся системы уравнений эллиптического типа с двумя линиями вырождения.- Сб.: Вычислительная и прикладная математика, Киев, 1982, вы.48, с.10-15.