Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ШУВАЛОВА ТАТЬЯНА ВИТАЛЬЕВНА

ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2008

003451272

Работа выполнена па кафедре высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор Репин Олег Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Килбас Анатолий Александрович какЛиЗат физико-математических наук, доцент Ситник Сергей Михайлович

Ведущая организация:

научпо-исследовате-гъский институт прикладной математики и автоматизации при Кабардино-Балкарском научном центре Российской академии наук

Защита состоится 11 ноября 2008 г. в 15 часов 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете, расположенном по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан ХЖТЯЗ^.ппяг

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

Прядиев В.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, в теории бесконечно-малых изгибаний поверхностей, в безмомептной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и во многих других областях.

Изучение краевых задач для уравнений смешанного типа находится в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям с частными производными благодаря глубокому математическому содержанию этих задач и наличию многочисленных приложений. Эта теория включает рассмотрение ряда трудных и интересных задач. К их числу относятся краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя лилиями вырождения. Такими задачами занимались A.M. Нахушев, М.М. Зайпулабидсв, В.Ф. Волкодавов,

B.В. Азовский, О.И. Маричсв, A.M. Ежов, Н.И. Поливанов, Хе Кап Чер, С.И. Макаров,

C.С. Иеамухамедов, Ж. Орамов, М.С. Салахитдинов с учениками, К.Б. Сабитов, O.A. Репин и другие авторы.

В последние годы большое внимание уделяется задачам, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области. Нелокальные задачи такого типа для различных классов дифференциальных уравнений изучали

A.B. Бицадзе, A.A. Самарский, В.А. Ильин, Б.И. Моисеев, A.M. Нахушев, В.И. Жега-лов, М.М. Салахитдинов, Т.Д. Джураев, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, А.Н. Зарубин,

B.Ф. Волкодавов, В.А. Елеев, A.A. Килбас, С.А. Кумыкова, O.A. Репин, A.A. Андреев, их ученики и последователи.

Исследования диссертационной работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений смешанного типа, а с другой - к направлению, связанному с теорией дробного иптегродаффереяцировалия.

Благодаря исследованиям A.M. Нахушева, в теорию краевых задач прочно вошли интегралы и производные дробного порядка. Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Рлмана-Лиувилля. В(|ге-ствеппым обобщением этих операторов стали операторы, введенные Э. Л&вом (E.R. Love, Австралия), А. Мак-Ерайдом (A.C. McBride, Англия), М. Сайго (М. Saigo, Япония). \

При исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа с необходимостью возникает проблема изучения свойств и законов композиции обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с одинаковыми и различными началами, ядра которых содержат гипергеометрические функции Гаусса и Мейера,

В работах М.С. Салахитданова и Б. Исломова, O.A. Репина и Л. Гайсиной найдены различные свойства и законы композиции операторов обобщенного интегродифференцирования дробного порядка, которые широко применяются при изучении краевых задач.

Исследованием нелокальных задач с обобщенными операторами в краевых условиях занимались многие математики. Д. Аманов, Б. Исломов, А. Хасанов, С.И. Макаров изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э. Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен. O.A. Репин и его ученики исследовали задачи, характерной особенностью которых является наличие в краевых условиях операторов М. Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения.

Интерес к исследованиям в этом направлении поддерживается как потребностью в теоретическом обобщении классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению новых нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Поставленные и исследоваппые в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях обобщенные операторы дробного интегродифферепцирования в смысле М. Сайго с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости нелокальных задач со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения с операторами М. Сайго в краевых условиях.

Методика исследований. При доказательстве единственности и существования решений поставленных в работе задач широко используется аппарат специальных функций и преобразования Меллина, методы теории интегральных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

во-первых, в работе изучены задачи, краевые условия которых содержат пе классические операторы, а операторы более сложной структуры - операторы М. Сайго. Во-вторых, при получении функциональных соотношений между функциями п(х) и принесенных из областей гиперболичности, используется формула композиции обобщенных дробных производных в смысле М. Сайго. В-третьих, при доказательстве существования решения поставленных задач применен метод редукции краевых задач со смещением к вопросу разрешимости интегральных уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром и непрерывной правой частью.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнения.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Изучение композиционных свойств для обобщенных дробных производных в смысле М. Сайго, полученных на основании аппарата специальных функций и преобразования Медлила.

2. Постановка и исследование новых нелокальных задач со смещением для уравнений смешанного типа с одним оператором М. Сайго в краевом услоиии и с двумя операторами в смысле М. Сайго в краевых условиях. При этом найдены условия на параметры операторов, содержащихся в краевых условиях, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения этих задач.

3. Доказательство однозначной разрешимости исследуемых задач с помощью принципа экстремума и метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям.

Апробация работы. Результаты исследования, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук" , посвященной 75-летию Орловского государственного университета (г. Орел, 2006 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" , посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (г. Новосибирск, 2007 г.), на V школе молодых ученых "Нелокалъ-ные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" , посвящепной 50-летию Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова и

15-летию Адыгской (Черкесской) Международной академии наук (г. Нальчик - п. Эльбрус, 2007 г.), на 12-ой международной научной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, 2008 г.), на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 2008 г.), на международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2008 г.), на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям (Белгородский государственный университет, руководитель - д.ф.-м.н., проф. А.П. Солдатов).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ [1] и [4] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. O.A. Репину принадлежит постановка задач и идея доказательства, а автору диссертации точные формулировки и доказательства утверждений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 12 параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 129 страниц. Список использованных источников на 10 страницах содержит 87 наименований, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена изучению свойств обобщенных операторов дробного интегродифференцирования и получению различных формул композиций для них.

В параграфе 1.1, носящем вспомогательный характер, приведены дробные интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре: ' ß х

тгт [(х - + & -ч; 1 - >0. Д ч € С);

г<о) 1п х (1)

I ¿^-""'"fW, (а < 0.Ä4 6 С,п = [—а] + 1),

введенные японским математиком М. Сайго, а также различные понятия и утверждения математического анализа и теории специальных функций, выписаны простейшие свойства и формулы преобразования Меллина.

В параграфе 1.2 установлены формулы композиций обобщенных операторов

(/ЙМЯ5?л47)М)(*) при а < 0. Лемма 1.1. Если некоторая функция имеет преобразование Меллина вида

то эту функцию можно выразить через обобщенный оператор дробного интегродиффе-ренцирования:

ф) = х'-ч^'+ч-^-Ььа.-сЛ-с^+а,- 1/(<))(аг).

В параграфе 1.2 показано, что композиция операторов при а < 0

имеет преобразование Меллина следующего вида:

Г{6 +1 - д)Г(с + 1 - д)Г(1 -г Р - Л + Ь - я)Г(1 + т; - й + Ь - а)

На основании леммы 1.1 получены 32 формулы для композиций операторов

Эти композиционные свойства представляют самостоятельный интерес, а также находят применение при решении задач с обобщенными операторами дробного ищ-егродиф-ференцнровапия в краевых условиях.

В параграфе 1.3 найдены преобразования Меллина некоторых ннтегродифференциаль-пых операторов, что дгит возможность воспользоваться ими при получении интегральных уравнений.

Во второй и третьей главах диссертационной работы исследованы нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа. В параграфе 2.1 рассматривается уравнение

хихх + уиуу + аих + 0иу = 0, ^ < а, /? < 1 (2)

в области О, ограниченной при х > 0, у > 0 кривой Жордана а с концами в точках Л(1; 0) и В{0; 1) и отрезком ОВ(х = 0,0 < у < 1); при х > 0, у < 0 характеристиками уравнения (2): ОС : х + у = 0, АС : у/х + у/=у = 1.

Обозначим через Д) — О Л {х > 0, у > 0} эллиптическую часть области £> и через Г>1 = О П {х > 0, у < 0} гиперболическую часть области О.

X X

Пусть &о(х) = 1 ~ - точка пересечения характеристик уравнения (2), выходящих из точек 0 < х < 1, с характеристикой ОС.

Для уравнения (2) поставлена и изучена краевая задача 1.

Задача 1. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и(х,у) является решением уравнения (2) в области I);

2) и(х, у) € С(П) П С\И) П С2(Д, и А);

3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям:

и(х,у)\„ = <p(s), 0 < s < I;

(3)

"(0;у) = ^(у),0<у <1;

(4)

(1 a H-g-c» »40-1 . , \ ftj-fl-з

2 ^и[в0Щ(х) = Ах~т~а(х)и(х,0) + Ь(х), 0 < х < 1; (5)

4) и(х, у) удовлетворяет условию сопряжения

у—о+о

1Л9«,,(х,у) = lim (-yfuy{x,y), 0 < х < 1,

—♦О+О у—»0—0

(6)

где I - длина кривой а: <и - заданные непрерывные функции; А - отрицательная действительная константа; а(х) £ С(0,1], а(х) - положительная, неубывающая на отрезке [0; 1] функция; Ь{х) £ ЯА[0; 1], 0 < А < 1.

Вторая глава диссертации, состоящая из пяти параграфов, посвящена доказательству однозначной разрешимости задачи 1.

В параграфе 2.2 рассматривается вспомогательная задача (Дирихле-Неймана).

Задача 014. Найти в области Д, рехулярное решение уравнения (2), непрерывное в замкнутой области £>о , удовлетворяющее краевым условиям (3), (4) и

где € С(0; 1) и может обращаться в бесконечность на концах интервала (0; 1) порядка меньше 1 — /3.

Определение 2.1. Регулярным решением уравнения (2) в области Do будем называть функцию и(х, у), имеющую непрерывные производные до второго порядка в области Ц) и удовлетворяющую уравнению (2) во всех точках области Do-

Будем рассматривать область По, ограниченную "нормальной кривой"а0 : х + у = 1.

Определение 2.2. Область íl¡), ограниченную отрезком [0; 1] оси абсцисс, отрезком [0;1] оси ординат и "нормальной кривой" , будем называть "нормальной областью".

На основании известного решения задачи DN получено первое соотношение между функциями Т\[х) — и(х, 0) и vi(x), принесенное из области эллиптичности Do на отрезок

lim yí3us{x,y) = ¡/i(i),0 < х < 1,

ОЛ, которое имеет вид

тг{х) = -kA2r(2-2ß)x1-°(I20;2l3-e-aß-1v1 (<))(х)-

dt~

-kA2xß~a u^f-^t - хУ-'#р(а - ß, 1 - ß\ 2 - 2/3; 1 -

г

1

-Mji1^^ | viWi0-1^^ + о - \,ß\ 2ß\ 1 -о

i

+fcA1|i/1(t)tQ~1i'(/3 + а - l,ß\2ß\ l-tx)dt+ о

^(ty^il - tx)1~2j3F(a -ß,l-ß;2-2ß;l- tx)dt + J(x),

(7)

+M2

где

г

Дх) = fc(l - а).- J - Ä + /О (X),

о L J

l

/о(я) = (1+ ß - a)kx1~°|^[V2(l - t)](l - t)fi~\l + x +

xF^ß - ü + 2,^ — a;3 — 2a; ■

2 %/tx+x+i; А Г(2-а)Г(1-2/3) , Г(2-а)Г(2/3-1) 1 Щ-да-а-/?)' 2 Г(/3-а + 1)Г(/3)'

-ajr(ß- i)r(/? - о + 1)

тгГ(3 - 2а)Г(2/3 - 1) '

Лемма 2.1. Если решение и(х, у) уравнения (2) достигает максимума (минимума) в

точке (х0;0), 0 < х0 < 1, то lim у/3иу(х0,у) < 0 ( lim ysuy{xa,y) > 0) при условии, что

10 ¡/—0+0

этот предел существует.

В параграфе 2.3 уравнение (2) исследовано в гиперболической области D\. Этот параграф посвящен доказательству единственности решения задачи 1.

В качестве вспомогательной задачи в области £>i для уравнения (2) рассматривается задача Коши с данными:

и(х, 0) = r2(x),x е [0; 1], Ит (-y)ßuy(x,y) = v2{x),x е (0;1). у—о-о

На основании решения задачи Коши и краевого условия (5) получено второе функциональное соотношение между функциями т2(х) и ¡^(х), принесенное из области гипербо-

личности на отрезок О А :

= " ъягь*1^«*). О)

где

2°-'?Г(2/3 - 1) _ 2°+33~3Г(2 - 2/3)

Важно отметить, что при получении этого функционального соотношения использовалась формула композиции для обобщенных дробных производных

прн а < 0, доказанная в параграфе 1.2.

В параграфе 2.3 приводятся доказательства следующих утверждений. Лемма 2.2. Если решение и(х,у) уравнения (2) такое, чтои{х, 0) = Тг(х) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке Хо, О < х0 < 1 (при этом Ь{х) = О,), то г/2(ха) > 0 (^г(хо) < 0).

Теорема 2.1. Если решение задачи 1 существует, то оно единственно. Доказательство теоремы 2.1 непосредственно следует из лемм 2.1 и 2.2 и условия сопряжения (6).

В параграфе 2.4 доказано существование решения задачи 1 в случае, когда кривая а совпадает с "нормальной кривой". Исключая т(х) = г^х) = г2(х) из (7) и (8), применяя преобразование Меллина и методику, разработанную О.И. Маричевым, можно получить интегральное уравнение

Кт\0-аг 1 ¿/'-а т 1

<) [гп-ггг]"^-^' (9>

о

где „(х) = ц(х) = «*(х), Р! = ~ + 2А2Г(2 - 2/3) соз2 тг/З, П = Г(2 ~ ^ ,

Ла(х) — hi Аа(х) — '

Здесь и в дальнейшем для уменьшения громоздкости вычислений будем считать, что о(х) = С] = const, причем

Аа{х) -ki~ Асх - h ¿ 0, (10)

а также

V>i(s) = iVo(i), í > 1 - a, Ы*) € С[0; 1], V{x), f{x) e 0; 1], а < ¡3. (11)

10

Лемма 2.3. Пусть 0 < -а < А < 1, 0 < тгп(0,т) + 1). Если <р(х) € Ял[0; 1], то

Опираясь на лемму 2.3 и условие (11), можно сделать вывод о том, что функция F(x) удовлетворяет условию Гельдера на интервале (0; 1), при х = 0 обращается в ноль порядка ¡3 — а н ири I —* 1 ограничена.

Методом регуляризации Карлемана-Векуа уравнение (9) редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи 1.

Основным результатом второй главы диссертации является следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть {у), Ъ(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем

справедливы условия (10) и (11), А - отрицательная константа, | < а < /3 < 1. Тогда уравнение (9) имеет единственное решение, а задача 1 для уравнения (2) однозначно разрешима.

В параграфе 2.5 рассмотрен частный случай задачи 1 для уравнения (2) при а = /3.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, рассматривается уравнение

хихх + уиуу + а{х,у)чх + Р{х,у)иу = 0, ^ < а{х,у),/3(х,у) < 1 (12)

в области <3, ограниченной при х > 0, у > 0 кривой Жордана а с концами в точках А(1; 0) и Б(0; 1); при х > 0, у < 0 характеристиками уравнения (12): ОС : х + у = 0, АС : л/х + \/—У = 1; при х < 0, у > 0характеристиками: ОГ>: х+у = О, В£> : -/—х+^/у — 1.

Обозначим через С?о = С П {1 > 0, у > 0} эллиптическую часть области й и через

= й П {х > 0, у < 0}, С?2 = С П {х < 0, у > 0} гиперболические части области б, через По - "нормальную область" , ограниченную отрезками ОЛ, ОБ и прямой х + у = 1.

Предполагается, что функции а(х,у) и @{х,у) кусочнопостояпные: а(х, у) = а„ /3(х, у) = Д, (х, у) = 0,1,2, § < аи Д < 1, причем аг < /Зь 02 <

Пусть в\{х) — | — !| - точка пересечения характеристик уравнения (12), выходящих из точек (х;0), 0 < х < 1, с характеристикой ОС; Ог(г/) = 4 — - точка пересечения характеристик, выходящих из точек (0; у), 0 < у < 1, с характеристикой ОС.

В параграфе 3.1 для уравнения (12) поставлена задача 2.

Задача 2. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и(х, 1/) является решением уравнения (12) в области С?;

2) и(х, £) е С(5) П С1 (С?) П С2(С0 и С! и С2);

3) u(x, у) удовлетворяет краевым условиям:

«Or,y)l<T = ¥>(s),0<s<J; (13)

> ' * iA-1«[e1(i)]J(x) = Ах-^-а{х)и{х,Ъ) + Ъ{х),Ъ<х< 1; (14) , ■ , ta*-,4[9M)(y) = By^?z-c(y)u(0,S) + d(V),0<y<l-, (15)

4) и(х, у) удовлетворяет условиям сопряжения:

lim^Uyix^) - Птв(-у)01иу(х,у),О < х < 1; (IG)

lim i^Mx, у) = lim l-x)a2vz{x, у), 0 < у < 1; (17)

х-»+0 х-*—С '

где функции у^иу(х, y)lj,=+o и з?*их{х, 2/)|i=+o могут обращаться в бесконечность порядка не выше 1 - ßa и 1 — а0 соответственно на концах интервала (0; 1); I - длина кривой сг; tp{s), а(х), b[x), с{у), d{y) - заданные непрерывные функции, причем a(i) и с(у) - положительные, неубывающие на отрезке [0; 1] функции, b(x),d(y) £ Ял[0; 1], 0 < Л < 1; А и В -отрицательные константы.

В параграфе 3.2 рассматривается вспомогательная задача N (Неймана). Задача N. Найти в области Gt> регулярное решение уравнения (12), непрерывное в замкиутой области G0 и удовлетворяющее краевым условиям (13) и

lim ye°Uy(x, у) = v\ (х), 0 < х < 1;

ümx0,°uI(i, у) = и2(у),0< у< 1;

где Pi(t) и fj(i) - непрерывные в интервале (0; 1) функции, которые могут обращаться в бесконечность на концах интервала (0; 1) порядка меньше 1 — ßa и 1 — а^ соответственно.

В параграфе 3.2 получены два функциональных соотношения между функциями ¡/¡(t) и Tj(t), г = 1,2 (т^я) = и(х,0), т2(у) - и(0:у)), принесенные из области эллиптичности на отрезки О А и OB соответственно. Также в этом параграфе сформулированы две леммы о знаке функций и и2(у) в области эллиптичности на линиях вырождения.

Лемма 3.1. Если решение и{х, у) уравнения (12) в области Gg достигает максимума (минимума) в точке (zo;0), 0 < хо < 1, то Ит.ауА'иу(х0,у) < 0 (limay^°Uy(x0,y) > 0) при условии, что этот предел существует.

Лемма 3.2. Если решение и(х, у) уравнения (12) о области Gq достигает максимума (минимума) в точке (0;т/0), 0 < у0 < 1, то lim хО0их(х,уц) <0 (lim xacuz(x,yn) > 0)

х—.+0 j"—.4-0

при условии, что этот предел существует.

Параграф 3.3 посвящен исследованию уравнения (12) в гиперболических областях 0\ и С'г. На основании решения задачи Коши в области с условиями:

и(х,0) = п(х),0 < х < 1; Ито(~р)Аиу(х,у) = ^(х),0 < х < 1

и в области Ог с условиями:

"(О, У) = т-2(у), 0 < у < 1; Пто(~х)а2их(х,у) = ¡/2(у), 0 < у < 1

получены еще два функциональных соотношения между функциями г<(4) и г = 1,2, принесенные из областей гиперболичности на отрезки О Л и ОВ соответственно.

Доказаны следующие утверждения.

Лемма 3.3. Если и(х,у) - решение уравнения (12) в области такое, что и(х, 0) =71(1) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке хс, 0 < х0 < 1 (при этом Ь{х) = 0), то ^¡(х0) > 0 (^(хо) < 0).

Лемма 3.4. Если и{х, у) - решение уравнения (12) в области С?2 такое, что и(0, т/) = т2(у) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке у0> 0 < уа < 1 (при этом ¿(у) ^ 0), то ^{уа) > 0 {^(Уо) < 0).

Теорема 3.1. Если решение задачи 2 существует, то оно единственно.

Доказательство теоремы 3.1 непосредственно следует из лемм 3.1, 3.3 и условия сопряжения (16), из лемм 3.2, 3.4 я условия (17).

В параграфе 3.4 приводится доказательство существования решения задачи 2 в случае, когда "нормальная кривая" х + у = 1 содержится в эллиптической части области <?. Это доказательство основано на следующем. С помощью преобразования Меллина вопрос разрешимости задачи 2 сводится к вопросу разрешимости системы даз'х сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций ^(х) и ^(у):

0

1

| [г"»^(ао, 1; Д; - |) - ^-^(ао, 1; Д; -**)] А =

(18)

0

1

+Яу''°-1 |«/,(*) 1;а0; - 1;<*о; = №(г/),

о

где ВД = - 6'(i)])(z),

Ш = - «ГШ»),

1

Л(аг) = к(аа + А - 1)(х - - t)0"'1 [1+1 + 2^/(1- t)*]-04-А х

1

Ш = t(ao + А - 1)(к -1) J V>[v5(l - t)]t^"l(l ~ «УМ* + У + 2чДГ=1)^]-«•-* х

о _

xf(Q0 + д.,д. - -1; -

к, кх, ki, P, P, Q, Q - известные постоянные.

Регуляризуя каждое уравнение этой системы методом Карлемаиа- Векуа, можно получить систему уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром и непрерывной правой частыо, безусловная разреапшостъ которой следует из единственности решения задачи 2.

Основным результатом третьей главы диссертации является утверждение.

Теорема 3.2. Пусть <p{s), b{x), d(y) - заданные достаточно гладки,е функции, Аа(х) - h = Ас, - h ф 0, Вс(у) -Yl = Bc2-~ïfci ^ О, ip(t) = i5Vo(i), S > 1 - а0, S > 1 - А, tpo[t) £ С[0; 1], fi{x), b'(x), /г(у), d"(y) 6 #Л[0; 1], А, В - отрицательные действительные константы. Тогда система уравнений (18) имеет единственное решение, а задача 2 для уравнения (12) однозначно разрешима.

При доказательстве существования и единственности решений краевых задач 1 и 2 для уравнений (2) и (12) соответственно существенно использован аппарат обобщенного интегродифференцирования, изложенный в первой главе, а также методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными.

Заключение. Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие достигнутые результаты:

1. С помощью аппарата специальных функций а преобразования Меллина получены важные формулы композиций обобщенных дробных производных в смысле М. Сайго. Даны приложения композиционных свойств этих операторов при решении краевых задач для уравнений смешанного типа.

2. Для уравнений смешанного типа поставлены и исследованы две новые задачи со смещением с обобщенной дробной производной в краевом условии и с двумя обобщенными

дробными произодными в смысле М. Сайго в краевых условиях. Доказана однозначная разрешимость этих задач с помощью принципа экстремума и метода редукции, позволяющего свести эти задачи к сингулярным интегральным уравнениям.

Методы и результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук O.A. Репину за постановку задач, цениые и полезные советы в ходе исследования, а также за поддержку и постоянное внимание к этой работе.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Научные статьи в изданиях перечня, рекомендуемого ВАК

1. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / O.A. Репин, Т.В. Шувалова // Дифференц. уравнения. - 2008. -Т. 44. - №6. - С. 848-851.

2. Шувалова Т.В. Некоторые, композиционные свойства обобщенных операторов дробного дифференцирования. / Т.В. Шувалова // Вестник Самарского государственного технического университета. Выпуск 42, Серия "Физико-математические пауки". - 2006. -С. 45-48.

3. Шувалова Т.В. Доказательство формул обращения некоторых интегродифферея-циальщдх операторов с помощью преобразования Меялина. / Т.В. Шувалова // Вестник Самарского государственного технического университета. Выпуск 43, Серия "Физико-математические науки". - 2006. - С. 15-19.

Научные статьи в других изданиях

4. Репин O.A. О единственности решения нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / O.A. Репин, Т.В. Шувалова //Труды международной конференции "Современные методы физико-математических наук". -Орел, 2006. - Т. 1. - С. 105-110.

5. Шувалова Т.В. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго в краевом условии. / Т.В. Шувалова // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Тезисы докладов международной конференции. - Новосибирск, 2007. - С, 382-383.

6. Шувалова Т.В. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для уравнения смешанного типа. / Т.В. Шувалова // Нелокальные краевые задачи и проблемы сопрсмен- , того анализа и информатики: Материалы V школы молодых ученых. - Нальчик-Эльбрус, 2007. - С. 149-151.

7. Шувалова Т.В. Об одном эффективном методе получения сингулярного интегрального урапения. / Т.В. Шувалова // Материалы 12-ой международной научной конференции имени академика М. Кравчука. - Киев, 2008. - С. 869.

8. Шувалова Т.В. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / Т.В. Шувалова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. - Стсрлитамак, 2008. - Т. 2. - С. 189-194.

9. Шувалова Т.В. К вопросу о единственности решения задачи со смещением для урав-

(

нения смешанного типа. / Т.В. Шувалова // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. - 2008. - Т. 10. - №1. - С. 87-91.

Подписано в печать 7.10.08. Тираж 110 экз. Заказ № 68. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объем -1,0 усл. п. л. Формат 60 х 84/16

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» ул. Сов. Армии, 217; тел.: 926-07-51

Введение.

Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Вывод формул-композиций обобщенных операторов laof'cxdf{t)\x) при а < 0.

1.3 Таблица преобразований Меллина некоторых интегральных операторов.

Глава 2. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Задача Дирихле-Неймана.

2.3 Исследование уравнения (2.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи 1.

2.4 Доказательство существования решения задачи 1.

2.5 Частный случай задачи 1 (ос - р).

Глава 3. Задача со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырояедения.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Задача Неймана.

3.3 Исследование уравнения (3.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи 2.

3.4 Доказательство существования решения задачи 2.

Изучение краевых задач для уравнений смешанного типа находится в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям с частными производными благодаря глубокому математическому содержанию этих задач и наличию многочисленных приложений при исследовании проблем математической физики. Эта теория включает рассмотрение ряда трудных и интересных задач. К их числу относятся краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения.

Исследования диссертационной работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений смешанного типа, а с другой - к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, который интенсивно развивается. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. Возникшая в начале 20-ых годов прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в магнитной гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории оболочек, в прогнозировании уровня грунтовых вод и других областях науки и техники (см. JI. Берс [6], И.Н. Векуа [7], М.Н. Коган [20], Ф.И. Франкль [64]).

Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта [61, 62, 67], систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, И.Н. Векуа, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волкодавова, С.П. Пуль-кина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова, А.Н. Зарубина, К.Б. Сабитова и других математиков.

В 60-ые годы прошлого столетия А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.

Исследования A.M. Нахушева и В.И. Жегалова сыграли важную роль при решении данной проблемы. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [28, 29], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличии от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья на линии вырождения уравнения.

Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [32].

В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [30-33], В.И. Жегалова [13], М.М. Смирнова [57-59], Е.И. Моисеева [26], О.А. Репина [36, 38, 41, 43] их учеников и последователей.

Классические и современные результаты теории дробного интегродиффе-ренцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [55]. Среди математических объектов дифференциальные и интегральные уравнения и интегральные преобразования являются наиболее близкими к конструкциям дробного интегроднфференцирования. А поскольку дифференциальные и интегральные уравнения имеют многочисленные приложения в естественных науках, то и дробное интегродифференциро-вание находит важные приложения. Например, в математической биологии, что нашло отражение в монографии A.M. Нахушева [32].

Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов стали операторы, введенные Э. Лавом (E.R Love, Австралия) [69, 70], А. Мак-Брайдом (А.С. McBride, Англия) [71], М. Сайго

M.Saigo, Япония) [72].

Отметим, что при исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа с необходимостью возникает проблема изучения свойств и законов композиции обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с одинаковыми и различными началами, ядра которых содержат гипергеометрические функции Гаусса и Мейера.

В работах М.С. Салахитдинова и A.M. Нахушева [53], Б. Исломова [17], О.А. Репина и Л.Р. Гайсиной [42] найдены различные свойства и законы композиции операторов обобщенного интегродифференцирования дробного порядка, которые широко применяются при изучении краевых задач.

Исследованием нелокальных задач с обобщенными операторами в краевых условиях занимались многие математики.

Д. Аманов [2], В. Исломов [16], А. Хасанов [65], С.И. Макаров [23, 24] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э. Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.

О.А. Репин [45], Е.В. Филимонова [63] исследовали задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных дробных интегродифференциальных операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. О.А. Репиным получен явный вид решения такой задачи.

В работах О.А. Репина [44], С.В. Ефимовой [12], А.В. Ефимова [11] поставлены и изучены задачи, характерной особенностью которых является наличие в краевых условиях операторов Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения.

Заметим, что подобные операторы широко используются в работах М.С. Салахитдинова и его учеников [48-52, 54].

Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М. Сайго [72-76], О.А. Репин [35, 37, 39, 40], А.А. Килбас [18, 19].

В работе А.А. Андреева и Е.Н. Огородникова [3] получены законы композиций для операторов М. Caxtro на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго в матричном представлении.

В совместных работах М. Сайго, А.А. Килбаса, О.А. Репина [68, 76] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле Сайго, для уравнения Бицадзе-Лыкова,и параболо-гиперболических уравнений.

Отметим некоторые статьи, связанные с тематикой нашего исследования.

В работе [23] доказаны единственность и существование решения задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа хихх + yiiyy + аих + риу = 0, ^ < а < (3 < 1.

Проблема однозначной разрешимости исследуемой задачи сводится к вопросу о разрешимости эквивалентного интегрального уравнения Фредгольма II рода с регулярным ядром и непрерывной правой частью.

В работе [65] исследованы две задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения гиперболического типа

Утихх — хпиуу = 0, га > п > 0.

В статье [44] доказана однозначная разрешимость задачи для уравнения гиперболического типа

1 3 хихх + уиуу + аих -1- fitly = 0, - < а, /3 < с операторами М. Сайго в краевом условии.

Вопрос об однозначной разрешимости задачи эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

В работе [8] для уравнения I ихх

Щ+уЩ У > о, 0 < а < 1, \ ихх - (-у)тиуу, у < 0, 0 < т < 1, где Dq+v - частная производная Римана-Лиувилля порядка а от функции и(х, у) по второй переменной, изучена нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов в смысле

М. Сайго. Решение исследуемой задачи получено в явном виде через специальную функцию Миттаг-Леффлера.

Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях обобщенные операторы дробного интегродифферен-цирования в смысле М. Сайго с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, включающих двенадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 129 страниц. Список использованных источников на 10 страницах содержит 87 наименований, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка.

Заключение

Настоящая диссертационная работа является продолжением исследований задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Характерной особенностью поставленных и изученных в работе задач является наличие в краевых условиях обобщенных операторов дробного ин-тегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, введенных японским математиком М. Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения. Выполненные в диссертации исследования позволяют сформулировать следующие достигнутые результаты.

1. С помощью аппарата специальных функций и преобразования Меллина получены важные формулы композиций обобщенных дробных производных в смысле М. Сайго.

1. Азовский В.В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости. / В.В. Азовский // Волжский математический сборник. - Куйбышев, 1971. - Выпуск 9. - С. 3-7.

2. Аманов Д. Краевая задача для уравнения sgny\y\muxx + хпиуу = 0 в неограниченной области. / Д. Аманов j j Известия АН Уз.ССР. Серия физ.-мат. наук, 1984. №2. С. 8-10.

3. Андреев А.А. Матричные интегродифференциальные операторы и их приложение. / А.А. Андреев, Е.Н. Огородников // Вестник СГТУ. Самара. Выпуск 7. Серия "Физико-математические науки". 1999. - С. 27-37.

4. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. М.: Наука, 1969. - Т. 1. - 343 с.

5. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1973. - Т. 1. - 294 с.

6. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. / А. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

7. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. / И.Н. Векуа. М.: Фитматгиз, 1959. - 628 с.

8. Вирченко Н.А. О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода. / Н.А. Вирченко, О.А. Репин // Долов1д1 НАН Укршни, 2007. №10. - С. 15-23.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

10. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / A.M. Гордеев // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1968. - Вып. 6. - С. 56-61.

11. Ефимов А.В. О постановке и разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с дробной производной. / А.В. Ефимов // Труды

12. Международной научной конференции "Современные проблемы математической физики и информационной технологии". Ташкент, 2003. -Т. 1. - С. 27-33.

13. Жегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешано-составного типа. / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика, 1982. МО. - С. 15-18.

14. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. / М.М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - №1. - С. 91-99.

15. Зайнулабидов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения. / М.М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6. - №1. С. 99-108.

16. Исломов Б. Краевые задачи типа задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / Б. Исломов // Известия АН Уз.ССР. 1985. - Т. 6. - С. 12-17.

17. Исломов Б. Свойства операторов обобщенного интегродифференцирова-ния дробного порядка с одинаковыми и различными началами. / Б. Исломов // Дифференц. уравнения и их приложения. Сборник научных трудов. Самара, 2002. - С. 412-416.

18. Килбас А.А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. / А.А. Килбас // Дифференц. уравнения. 1986. - т. 24. - №10. - С. 1764-1777.

19. Килбас А.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения. // А.А. Килбас, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1998. -Т. 34. - №6. - С. 799-805.

20. Коган М.Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа. / М.Н. Коган // Прикладная математика и механика. 1961. - Т. 25. -С. 132-137.

21. Макаров И.А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения. / И.А. Макаров // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. - Вып. 2. -С. 145-155.

22. Макаров С.И. Вычисление композиций и формулы обращения некоторых интегродифференциальных операторов. / С.И. Макаров. Деп. в ВИНИТИ 1.10.86, №6942-886. - 12 с.

23. Макаров С.И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / С.И. Макаров // Вестник ЛГУ. Серия 1. Выпуск 1. - 1987. - С. 117-118. '

24. Макаров С.И. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / С.И. Макаров // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений. Куйбышев: Издательство КГУ, 1988. С. 105-111.

25. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. / О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1978. - 310 с.

26. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа. / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28. - №1.-С. 110-121.

27. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике / Н.И. Мусхелишвили // М.: Наука, 1968. 511 с.

28. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - №1. - С. 44-59.

29. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уранвения. / A.M. Нахушев // ДАН СССР. 1969. - Т. 187.- №4. С. 736-739.

30. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями. / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения.- 1985. Т. 21. - т. - С. 92-101.

31. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. / A.M. Нахушев.- Нальчик, 1992. 155 с.

32. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

33. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уранвений в частных производных. / A.M. Нахушев. М.: Наука, 2006. - 287 с.

34. Прудников А.П. Интегралы иряды. Дополнительные главы. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1986. - 800 с.

35. Репин О.А. О задаче типа Бицадзе-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения. / О.А. Репин // Математическая физика. Межвузовский сборник. Ленинград, 1987. - С. 71-74.

36. Репин О.А. Краевая задача со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. / О.А. Репин // Саратовский государственный университет, 1992. 161 с.

37. Репин О.А. О краевой задаче со смещением для вырождающегося уравнения гиперболического типа. / О.А. Репин // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Сборник трудов всесоюзной конференции. Владивосток, 1992. - С. 92-97.

38. Репин О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения . / О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34. - №1. - С. 110-113.

39. Репин О.А. О смешанной задаче для вырождающегося нагруженного ин-тегродифференциального уравнения второго порядка. // О.А. Репин // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1998. - С. 161-162.

40. Репин О.А. Задача со смещением для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения. / О.А. Репин // Вестник Самарской государственной экономической академии. 1999. - №1. - С. 208-213.

41. Репин О.А. Об одной задаче со смещением с оператором М. Сайго и Римана-Лиувилля. / О.А. Репин, Е.В. Филимонова // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2003. - Т. 6. - №2. - С. 74-77.

42. Репин О.А. О задаче с обобщенными операторами дробного интегродиф-ференцирования для уравнения гиперболического типа. / О.А. Репин // Вестник СамГТУ. № 30. - Серия "Физико-математ. науки". - 2004. -С. 70-72.

43. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. / К.Б. Сабитов, Г.Г. Шара-футдинова // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39. -№6. - С. 788-800.

44. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / К.Б. Сабитов, Г.Г. Бикулова, А.А. Гималтдинова. -Уфа: Гилем, 2006. 150 с.

45. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

46. Салахитдинов М.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / М.С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - №1. С. 110-119.

47. Салахитдинов М.С. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. /М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Доклады АН СССР. 1986. - Т. 289. - №3. - С. 549-553.

48. Салахитдинов М.С. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения. / М.С. Салахитдинов, 3. Кадыров // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №1. - С. 103-114.

49. Салахитдинов М.С. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения {—у)тихх + хпиуу — \2хп(—у)ти = 0. / М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент. ФАН, 1988. - С. 24-34.

50. Салахитдинов М.С. О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными началами. / М.С. Салахитдинов, A.M. Нахушев // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 299. - С. 1313-1316.

51. Салахитдинов М.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения. /М.С. Салахитдинов // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 316. - №5. - С. 1051-1054.

52. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

53. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

54. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

55. Смирнов М.М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения. / М.М. Смирнов. Изв. вузов. Математика. - 1982. - №3. - С. 68-75.

56. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. / М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

57. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений вырождающихся на границе. / С.А. Терсенов. Новосибирск: НГУ, 1973. - 144 с.

58. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. / Ф. Трикоми. МЛ. - Гостехиздат, 1947. -192 с.

59. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. / Ф. Трикоми. М.: Наука, 1957. - 443 с.

60. Филимонова Е.В. Краевая задача с оператором М. Сайго для параболо-гиперболического уравнения. / Е.В. Филимонова // Вестник СамГТУ. -Серия "Физико-математ. науки": 2004. - №30. - С. 78-82.

61. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. / Ф.И. Франкль. М.: Наука, 1973. - 771 с.

62. Хасанов А. О некоторых задачах типа Бицадзе-Самарского для уравнения гиперболического типа. / А. Хасанов // Краевые задачи для уравнений математической физики и их приложения. Ташкент, ФАН, 1983. -С. 45-49.

63. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения. / Хе Кан Чер // Дифференц. уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. -С. 64-67.

64. Gellerstedt S. Quelques problems michtes pour l'equation ymzxx + zyy — 0./ S. Gellerstedt // Arciv Math., Astr. och. F>sik. 1938/ - B. 26 A. - № 3. -P. 1-32.

65. Kilbass A. A. Solution in closed form of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type. / A.A. Kilbas, O.A. Repin, M. Saigo // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. - Vol. 36. - №2. - P. 261-273.

66. Love E.R. Two more hypergeometric integral equations. / E.R. Love // Proc. Combridge Phil. Soc. 1967. - Vol. 63. - №4. - P. 241-259.

67. Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions. / E.R. Love // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967. - Vol. 15. - №3. - P. 169-198.

68. McBride A.C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalized functions. / A.C. McBride // Proc Edinbourgh Math. Soc. 1975.- Vol. 19. №3. - P. 265-285.

69. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions. / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ 1978. - Vol. 11. - №2. -P. 135-143.

70. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. 1979. - Vol. 24. - №4. - P. 377-385.

71. Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives. / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ. 1980. - Vol. 12. - №2.- P. 55-62.

72. Saigo M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces. / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94. (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. Singapore. -1995. P. 282-293.

73. Saigo M. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type. / M. Saigo, O.A. Repin, a,A, Kilbas // International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. - Vol. 5. - №1. -P. 104-117.

74. Saigo M. More generalization of fractional calculus. / M. Saigo, N. Maeda // Transform. Methods. Functions. Varna. 1996. - P. 386-400.

75. Srivastava H.M. Multiplication of Fractional Calculus Operators and Boundary Value Problems involving the Euler-Darboux equation. / H.M. Srivastava, M. Saigo // J. Math. Anal, and Appl. 1987. - Vol. 121. - №2. -P. 325-369.

76. Шувалова T.B. Некоторые композиционные свойства обобщенных операторов дробного дифференцирования. / Т.В. Шувалова // Вестник Самарского государственного технического университета. Выпуск 42, Серия "Физико-математические науки". 2006. - С. 45-48.

77. Шувалова Т.В'. Об одном эффективном методе получения сингулярногоинтегрального уранения. / Т.В. Шувалова // Материалы 12-ой международной научной конференции имени академика М. Кравчука. Киев, 2008. - С. 869.

78. Шувалова Т.В. К вопросу о единственности решения задачи со смещением для уравнения смешанного типа. / Т.В. Шувалова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10. - №1. -С. 87-91.

79. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / О.А. Репин, Т.В. Шувалова // Дифферент уравнения. 2008. - Т. 44. - №6. - С. 848-851.