Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КАРАМОВА АЛЬФИРА АВКАЛЕВНА

Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их применения

специальность 01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Казань - 2000

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Сабитов К.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Солдатов А.П.

кандидат физико - математических наук, доцент Бурмистров Б.Н.

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени М.В. Ломоносова

Защита состоится "20 " декабря 2000 г. в 16_ часов 00_ минут на заседании диссертационного совета К 053.29.27 при Казанском государственном университете по адресу: г. Казань, ул. Университетская, 17, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан НОЛ^/UIL 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ. - мат. наук,

профессор , Плещинский Н.Б.

bf6i.Gl€.4-f 03

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задан для уравнений смешанного типа в силу прикладной и теоретической значимости в последние годы стала одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".

В 40 - х годах Ф.И. Франкль [1] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Кроме того, в последние годы на важность уравнений смешанного типа указано в работах О.С. Рыжова, А.Д. Пилия и В.И. Федорова, Э.Г. Шифрииа, Г.Г. Черного, А.Г. Кузьмина в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.

В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля, A.B. Вицадзе, К.И. Бабенко было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джураев, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов,Ю.М. Крикунов, O.A. Ладыженская, М.Е. Лернер, В.П. Михайлов, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, С.М. Пономарев, С.П. Пулькин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитди-нов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Л.И. Чибрикова, P.C. Хай-руллин, Б.Н. Бурмистров и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L.Nirenberg, M.N.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г.Д. Каратопраклиев, H.И. По-пиванов, Г.Д. Дачев и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях

Л.В. Бицадзе, Л. Берса, К.Г. Гудерлея, М.М. Смирнова, М.С. Со лахитдииова, Т.Д. Джураева, Е.И. Моисеева.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с дву мя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов В.Ф. Волкодавов, В.В. Азовский, О.И. Маричев, A.M. Ежов, Н.И Пониванов, Т.Б. Ломоносова, Хе Кан Чер, С.И. Макаров, С.С. Ис мухамедов, Ж. Орамов, М.С. Салахитдинов, К.Б. Сабитов, Б. Ис. мов и другие авторы.

Основными целями работы являются: установление при ципа экстремума для общих уравнений смешанного типа с дву мя линиями изменения типа; исследование спектральной задач! Трикоми для оператора Лаврентьева - Бицадзе с двумя лини ями изменения типа и изучение свойств системы собственны: функций на полноту; применение метода рядов по собственньш функциям для решения задачи Трикоми для модельных урав нений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиям1 изменения типа.

Методы исследования. При установлении качественны) свойств решений уравнений смешанного типа используются из вестные принципы экстремума для эллиптических, гиперболи ческих и смешанных уравнений, метод бартерных функций. Пр! доказательстве единственности решения краевых задач исполь зуется установленный принцип максимума для уравнений сме шанного типа и метод интегральных тождеств, а при доказательстве существования применяется метод рядов по собствен пым функциям соответствующей спектральной задачи.

Научная новизна. 1. Установлены экстремальные свойства решений общих линейных уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа в более широком классе регулярные решений и при более слабых ограничениях на коэффициенты чем в [2], и показаны применения при доказательстве единственности решения задачи Трикоми.

2. Спектральная задача Трикоми для оператора Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями изменения типа сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на

собственные значения для оператора Лапласа. В случае, когда область эллиптичности - четверть круга, методом разделения переменных найдены собственные значения ^п 7;1 и соответствующие им собственные функции иП1т(х,у). Построенная система собственных функций исследована на полноту в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области.

3. На основании системы собственных функций {и„1т} построены регулярные решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа и уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром.

4. Построено решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями изменения типа в цилиндрической области.

5. Методом рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи построены регулярные решения краевых задач типа Трикоми и Трикоми - Неймана, имеющих газодинамическое приложение [1, 3], для уравнения смешанного тина с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес и могут найти практическое применение в газовой динамике.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института (научные руководители - профессор К.Б. Сабитов и профессор Ф.Х. Мукминов, 1997 - 2000 гг.), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (научные руководители - профессор Л.И. Чнбрикова и профессор В.И. Жегалов, октябрь 2000 г.), на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК Московского государственного университета им М.В. Ломоносова (научный руководитель - чл.-корр. РАН Е.И. Моисеев, октябрь 2000 г.), а также на следующих конференциях.

1. Международная научная конференция "Дифференциаль-

ные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции", посвященная 90-летию со дня рождения профессора Пуль-кина С.П. (г. Самара, 1997).

2. Всероссийская научная конференция "Физика конденсированного состояния" (г. Стерлитамак, 1997).

3. Международная научная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы", посвященная юбилею академика В.А. Ильина (г. Стерлитамак, 1998).

4. Всероссийская научно-практическая конференция "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (г. Магнитогорск, 1999).

5. Международная научная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Уфа, 2000).

6. Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", посвященная 40-летию механико-математического факультета КГУ (г. Казань, 2000).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [6] - [16], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц, включая список литературы, состоящий из 92 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 изучены экстремальные свойства решений уравнения

Lu = К(у)ихх -f N(x)uyy + Аих + Виу + Си = F, (1)

G

где уК(у) > 0 при у ф Q, xN(x) > О при х ф 0, в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области D в более широком классе регулярных решений уравнения (1) и при более слабых ограничениях на его коэффициенты, по сравнению с работой [2]. Приводятся применения экстремальных свойств при исследовании задачи Трикоми.

В § 1.1 приведена постановка задачи Трикоми для уравнения (1).

Рассмотрим уравнение (1) в области D, ограниченной:

1) простой кривой Жордана Г, лежащей в первой четверти плоскости с концами в точках А\ — (а,0) и Si = (0,6), а, 6 > 0;

2) характеристиками OCi и С\А\ уравнения (1) при х > 0 и у < 0, 3) характеристиками ОС2 и С2В\ уравнения (1) при х < 0 и у > 0, где О = (0,0), Сг = {a/2,yCl), Ус, < 0, С2 = (хСа,Ь/2), жс2 < 0.

Задача Т\. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) е C(D) n C\D) П C2(Do U Di и £>2); (2)

Lu{x,y) = F(x,y), (x,y)eD0UD1UDr, (3)

и(х,у) = <р(х,у), (®,у)€ Г; (4)

и(х,у) = ф!(х,у), (x,y)<=OC1UOC2,

где D0 = D П у > 0}, Dx = D П {у < 0}, D2 = D П {х < 0}, <р и ф 1 - заданные достаточно гладкие функции.

Задача Гг- Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (2) - (4) и

и(х,у) = ф2(х,у), (х,у) £ CiAi иС2Вь

где <р и ip2 ~ заданные достаточно гладкие функции, причем y>(Ai) = V;2(^i), v(Bi) =ih(Bi)-

В § 1.2 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке нормальной производной в точке максимума и вблизи точки максимума решения уравнения (1) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) С(х,у) < 0 в области Do, 2) и(х,у) е C(I?o)nC4A>UCMiUOBi)nCa(Do), Lu = F{x,y) > 0

(< 0) В D0;

3)тахи(х,у) = u(Q) > 0 (minit(x,i/) = u(Q) < 0),

Do Da

4) функция u(x,y) имеет изолированный максимум (минимум) u(Q) в точке О;

5) в малой окрестности топки О: а) функции и v?y суммируемы; б) производные Ах и Ву непрерывны вплоть до границы; в) 2С - Ах - Ву < 0, >1(0, у) > 0 и В(х, 0) > 0. Тогда в любой окрестности U С öDq точки О найдется точка Q' & U татя, что

д£т < о о о),

где

ди

— = НХПХ + Uylly,

п% и Пу — компоненты внутренней нормали к границе области

D0.

В § 1.3 для уравнения (1) в областях гиперболичности при некоторых ограничениях на его коэффициенты показано, что максимум решения и(х,у) по замкнутым областям Di и D-2 достигается на отрезках параболического вырождения.

В § 1.4 для уравнения (1) в смешанной области при определенных условиях доказано, что максимум решения и(х,у) по замкнутой смешанной области D достигается на эллиптической границе Г. Из этого утверждения следуют единственность решения задач Ti и Тг при произвольной эллиптической границе Г.

В § 1.5 приведены примеры модельных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения:

sgn у ■ ихх + sgn х ■ иуу = 0,

sgn у - |«/|"iixx + Sgn х- • |х|'%у = F(x,y), п, т > 0,

sgn У- \у\пихх + х'пиуу - 0, п > 0, т >--

п + 1

На этих примерах показано применение изложенной в главе 1 теории: получены принципы экстремума и на их основе доказаны теоремы единственности решения краевых задач Т\, Т-> и других.

В глапе 2 изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа и показаны их применения при построении решения задачи Трикоми.

В § 2.1 изучена спектральная задача Трикоми для оператора Лаврентьева - Бицадзе. Для уравнения

где А 6 С, в области В, ограниченной: 1) простой кривой Жор-дана Г, лежащей в первой четверти плоскости ХОУ с концами в точках Л(1,0) и В(О,1); 2) характеристиками ОС\ и С\А уравнения (5) при х > 0, у < 0; 3) характеристиками ОС2 и С^В при х < 0, у > 0, поставим следующую спектральную задачу.

Задача Уд. Найти значения комплексного параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям:

На основании решений задач Дарбу областях и £>2 [2, гл. II], получены функциональные соотношения между следом решения и(х, у) и следом нормальной производной решения на отрезках О А и ОВ, На основании этих соотношений задача Т\ сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на собственные значения для оператора Лапласа в области Дь найти значения параметра А и соответствующие им собственные функции и(х,у), удовлетворяющие в Д) условиям (б) - (8) и

Ьи = sgn х ■ ихх Н- sgn у ■ иуу + Аи = О,

(5)

и(®, у) 6 С("П) п С1 (О) П С2(Д> и 01 и Д>),

1и(х,у) = 0, (а:,у)е ДиДи Д>,

и(х,у) = о, (х,у)ес1с2иг.

(6)

(7)

(8)

X

!у(а;,0) = и:с(а:,0) + А J и(1, 0)

о

у

««(О,») = "у(0,2/) + АУ н(0,0

о

где Jц(^) - функция Бесселя, ч/А > 0 при А > О.

В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга единичного радиуса с центром в начале координат, методом разделения переменных найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции спектральной задачи Трикоми:

■ иП1т(х,у) -

Cn,mJ„n(^/bn,m(x2 + t/2)^(cOS/inV? + sin/tny>), (x,1j) € Dq,

= ^ c"'ra (ï^f) J,'n (7Л».».(*2 ~ (х'У)еПЬ

(-^""^■»»(jrf)'" (*, y) eD2,

У X (9)

где fin — 2n — 1, n € N, c„im - действительные числа, A„im - m-ll корень уравнения JM.(VÂ) =0.

Изучен вопрос о полноте системы собственных функций (9) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Результат сформулирован в виде теорем:

Теорема 2.2. Система собственных функций (9) задачи Т\ полна в Ьг(Оо)-

Теорема 2.3. Система собственных функций (9) задачи Т\ полна в L2(Di) и Ьг(1>2).

Теорема 2.4. Система собственных функций (9) задачи Т\ не полна в Ьг(-О)-

Так же показано, что задача Т\ не имеет присоединенных функций.

В §§ 2.2 - 2.4 на основании работ Е.И. Моисеева [4, 5] показаны применения системы собственных функций для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа.

В § 2.2 рассмотрены краевые задачи для уравнения

Lu = sgn x ■ ихх + sgn у ■ иуу — 0 (10)

в области D, ограниченной: 1) дугой Го единичной окружности с центром в начале координат при х,у > 0; 2) характеристиками

0С\ и С\А при х > 0, у < 0; 3) характеристиками ОС2 и С^В при х < 0,у > О, где А = (1,0), В = (0,1), = (1/2,-1/2), С2 = (-1/2,1/2).

Задача Трикоми (задача Т\). Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (6), (7) и

«(®,у)|Го=«(г1У»)|г=1= V 6 [0, т/2], (И)

иЦса =

где / - заданная достаточно гладкая функция.

Задача Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (6), (7), (11) и

Члс.ивсэ" причем ДО) = /(ж/2) = 0.

Полумены следующие утверждения.

Теорема 2.5. Если /(у) € Са[0, ж/2], 0 < а < 1, /(0) = /(ж/2) = 0, то существует единственное решение задачи Т\ и оно имеет вид

оо

Е /пГ2п-18Ш[(2П-1)^ + ?Г/4],

П = 1

оо

72 ЕЛ^ + у)2""1. (г.») 6 А, ^ >1=1

со

= 1

где /„ определяются по формулам [5]:

/п =У 1{ф)КШ<р, П = 1,2,...,

о

2 (2созу/2)~1 ^ . В/ = ЕСГ = «<-1)-'-(1-п + 1)

т-О

Теорема 2.6. Если /(у?) £ С"[0,7г/2], 0 < а < 1, /(0) /(тг/2) = 0, то существует единственное решение задачи 7 которое определяется по формуле

и(х,у) =

£ /»г2""1 ип[(2п - IV + тг/4], (х, у) € А,,

п=1

'1>

73 £/»<*-у)2""1. (*,»)€ А

оо

»=1

В § 2.3 для уравнения (5) в области Б найдено решеш следующей задачи.

Задача Трикоми. Найти функцию и(х,у), удовлетворят щую условиям (6), (7),

«(*, 2/)|р = «(г, у>)|г=1= №, V е [0. Ф),

и\с1с,= 0.

где / - заданная, достаточно гладкая функция.

На основании системы собственных функций задачи Т\ п> строено решение задачи Трикоми в области О.

Теорема 2.8. Если /(уу) € Са[0,7г/2], 0 < а < 1, /(0) /(7г/2) = 0, то существует решение задачи Т при всех А ф Л„ и оно имеет вид (соответственно в областях £>о> ^ь -02/'

и(х, у) =

(2п- 1)у> +

2и-1

1 у у + Ьп-МК^-у1))

ч 2п-1 --

у + аЛ 72п-1(ч/Л(2/2-^2))

В § 2.4 изучен пространственный аналог задачи Трикош для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями изменени типа

1Ж = sgn х ■ Wxx + б^п у- Шуу + \Угг - 0

<

в области О — .0 х (0, тг).

Задача Т. Найти функцию 1У(х,у,г), удовлетворяющую условиям:

у, г) е С (в) П С1^) П С2(Со и б! и С2), №(х,у,г)\3= У(г,<р,г)\г=1= Р^г), <р е [0, тг/2], 2 6 [О.тг],

где !•' - заданная достаточно гладкая функция, 5 - часть, цилиндрической поверхности х2 + у2 — 1, х,у > 0, 2 6 [0,7г]; С?о =• С П {х, у > 0}; вх = С П {х- > 0, у < 0}; С2 = С П {ж < 0, у > 0}.

На основании результатов § 2.3 получено следующее утверждение.

Теорема 2.9. Если функция г) по переменной <р удовлетворяет на отрезке [0,7г/2] условию Гелъдсра с показателем а 6 (0,1], а по переменной г на отрезке [0, тг] условию Гелъде-ра с показателем ¡3 £ (0,1], ^(^,0) = 7г) = 0, ^(0, г) — ^(тг/2,г) = 0, то существует решение задачи Т в области С и оно задается формулой (соответственно в областях во, Ст\,

Щх,У,г)\у=_х= 0, же ,гб[0,тг],

П(х,у,г)\г=о=\У(х,у,г)\г=ж=0,

С2):

№(х,у,г) =

С1П п * от

7Г1 12Ь-\{пг)

— А

2Л-1

4 Ы-1(п) '

Ьк-\(п\/х2 - у2) 12к-1{п)

21-1 г , Г

Ьк-\{п\/у2 - X2) 12к-\(п)

где коэффициенты f,¡к находятся из разложения функции Рп(<р) в ряд по системе синусов

оо

Рп{<р) = £ fnk sin [(Ы - 1)<р + , ye [о,

7Г

функция Pn(ip) определяется формулой Pn{tp) = §J F(<p,z) sin nzdz,

o

Ifi(-) - модифицированная функция Бесселя.

В главе 3 изучены краевые задачи, имеющие газодинамическое приложение [1, 3], для уравнения

Lu = sgn у\у\'пихх + a:mUj,¡, = 0, »7» > 0, (12)

в области D, ограниченной: 1) простой кривой Г, лежащей в первой четверти х,у > 0, с концами в точках Л(1,0), В{0,1); 2) отрезком О В оси Оу; 3) характеристиками ОС и С А при у < 0, где О = (0,0), С = ((1/2)1/°1-(1/2)1/°')) а = (771 + 2)/2.

В § 3.1 исследована задача TN : найти функцию н(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) G С( D ) П С\D) П C\D+ U £>_), (13)

Lu(x,y) = 0, (а:, у) £ D+ U D_, (14)

У) = f{x,y), {х,у) 6 Г, (15)

«Л0 + 0,у) = 0, у 6(0,1), (16)

и(х>у) — 0, (х, у) £ ОС, (17)

где D+ = Dfl{y > 0}, D_ = D(~\{y < 0}, / - заданная достаточно гладкая функция.

Аналогично главе 2 (§§ 2.2 - 2.4) задача TN сводится к нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда Г = Г0 : у2о _ ^ и /(ж, у)|р = /(у), с помощью метода рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи доказано следующее утверждение.

Теорема 3.2. Если /(<р) £ Сп[0,7г/2], функция /(у?) в малой окрестности, точек <р = 0 и <р = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема и /(0) = /'(0) = /(тг/2) = /'(7г/2) = 0, то с«/-ществует единственное решение задачи ТЫ и оно определяется формулой:

и(х,у) =

СО

—

/>»-1/2 п = 0

/ ч -2а оо

^ / г,-П

Л.Г(1-9) х

„=0 Г(1+А,)Г(9-/>П)

2 р

х - (-„)■) % ^ + 9, 1 + ) •

где<\ — Р» — п + | + Р(Ч") - модифицирования функ-

ция Лемсапдра, F(■) - гипергеометрическая функция Гаусса, коэффициенты /„ вычисляются по формулам:

= ^^/ы'М'М

о

ы(А)=втА / (/(^—Лвт2«"1^ (сад* - со8 0)-«Л,

В § 3.2 исследована задача, аналогичная задаче (13) - (17), только вместо (16) задано граничное условие

"1од= «(0,1/) = 0, у е[0,1]. (18) '

В § 3.3 изучена задача (13), (14), (16), (17),

Ш = = у),(*,у)еТ, (19)

где w - заданная достаточно гладкая функция.

В § 3.4 решена задача (13), (14), (17) - (19).

Аналогично § 3.1 при некоторых ограничениях на граничную функцию получены представления решений задач в виде суммы рядов по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю профессору Сабитову Камилю Басиро-вичу за постановку задач, внимание к работе и поддержку.

Литература

1. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1945. - Т. 9, № 2. - С. 121-142.

2. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис. ... д-ра физ,-мат. наук. - М., 1991.

3. Гу дер лей К.Г. Теория околозвуковых течений. - М.: ИЛ, 1960. - 421 с.

4. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 1. - С. 93103.

5. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 1- С. 177-179.

6. Карамова A.A. К вопросу о единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа // Тезисы Международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения С.П. Пулькина. -Самара, 1997. - С. 33.

7. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Принцип максимума для вырождающихся уравнений второго порядка // Материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции. - 4.2. - Уфа, 1997. - С. 40-41.

8. Карамова A.A. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения

типа // Физика конденсированного состояния: Труды Всерос. науч. конф.- Т. 1. Математические методы физики. - Стерлитамак, 1997. - С. 69-72.

9. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Принцип максимума для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ). - Ч. 4. - Новосибирск, 1998. - С. 36-37.

10. Шарафутдинова Г.Г., Карамова A.A. Задача Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы: Сборник науч. трудов Междунар. науч. коиф.- 4.1. -Стерлитамак, 1998. - С. 87-95.

11. Сабитов К.Б., Карамова A.A. О задаче на собственные значения для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа // Проблемы физико- математического образования в педвузах России на современном этапе: Материалы Всеросс. науч.- практ. коиф. - Ч. 2. - Магнитогорск, 1999. - С. 28-29.

12. Сабитов К.Б., Карамова A.A., Шарафутдинова Г.Г. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Известия вузов. Математика. - 1999, № 11. - С. 70-80.

13. Карамова A.A. Решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа методом разделения неременных // Дифференциальные уравнения и их приложения в физике: Сборник науч. трудов. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал АН РБ, 1999. - С. 31-38.

14. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Задача Трикоми для пространственного уравнения смешанного типа с двумя плоскостями изменения типа // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: Тезисы докл. науч. конф. - Воронеж, 2000.- С. 196.

15. Карамова A.A. Пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями изменения типа // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. III. Анализ и дифференциальные уравнения: Труды Междунар. науч. конф. - Уфа, 2000. - С. 112-116.

16. Карамова A.A., Сабитов К.Б. Решение одной газодина мической задачи для уравнения смешанного типа с двумя лини ями вырождения // Труды Математического центра имени Н.И Лобачевского. Том 5. Актуальные проблемы математики и меха ники: Материалы Междунар. науч. конф. - Казань: УНИПРЕСС 2000. - С. 100-102.

Работы [7], [9], [И], [12], [14], [16] выполнены в соавторств! с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому прииадле жит постановка задач. В работах [10], [12] результаты получень совместно с Шарафутдиновой Г.Г. независимо друг от друга.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке Мини стерства Образования Российской Федерации, код гранта 22, i Российского фонда фундаментальных исследований, код грант! 99-01-00934.

Введение

1. Экстремальные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения

§ 1.1. Постановка задач Т\ и Т-2.

§ 1.2. Экстремальные свойства решений в области эллиптичности

§ 1.3. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности

§ 1.4. Экстремальные свойства решений в смешанной области

§ 1.5. Примеры.

2. Спектральные свойства решений уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева — Бицадзе с двумя линиями изменения типа и их применения

§ 2.1. Построение системы собственных функций и исследование на полноту.

§ 2.2. Построение решения задачи Трикоми для уравнения с оператором Лаврентьева - Бицадзе

§ 2.3. Решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева

Бицадзе с комплексным параметром.

§ 2.4. Пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного тина с двумя плоскостями изменения типа

3. Решение краевых задач для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения

§3.1. Решение задачи ТА1.

§ 3.2. Решение задачи Т.

§ 3.3. Решение задачи ТН\.

§ 3.4. Решение задачи ТМ

Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Поэтому в последние десятилетия краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного тина было положено в известных работах Ф. Трикоми [79, 80] и С. Гел-лерстедта [91], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Гел-лерстсдта".

В 40 - х годах Ф.И. Франкль [82, 83] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Кроме того, в последние годы на важность уравнений смешанного типа указано в работах O.G. Рыжова [53], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [48], Э.Г. Шифрина [89], Г.Г. Черного [87], А.Г. Кузьмина [32] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и д р у г и м и в о п р о с а м и.

В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [84], A.B. Бицадзе [4] -[10], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми н Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джураев, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, O.A. Ладыженская, М.Е. Лернер, В.П. Михайлов. Е.И. Моисеев. А.М. Нахушев, С.М Пономарев, С.П. Пулькиы, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солда-тов, Л.И. Чибрикова, P.C. Хайруллин и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L.Nirenberg, M.N.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г.Д. Каратопраклиев, Г.Д. Дачев, H.И. Поииваиов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [10, 11], Л. Берса [2], К.Г. Гудерлея [16], М.М. Смирнова [7-3] - [75], М.С. Салахитдинова [67], Т.Д. Джураева [17], Моисеева Е.И. [43].

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов [19] - [21],

B.Ф. Волкодавов [14], В.В. Азовский, О.И. Маричев [36], A.M. Ежов [18], Н.И. Поливанов [50], Т.Б. Ломоносова [33], Хе Кан Чер [86, 85],

C.И. Макаров [34], С.С. Исамухамедов, Ж. Орамов [22], М.С. Салахитдинов с учениками [68] - [71], К.Б. Сабитов [55] и другие авторы.

Зайнулабидов М.М. [19] - [21] для уравнений

У ихх + х иуу = 0 (0.1) и ихх + sgn (ху) ■ иуу = О (0.2) в области D, ограниченной кривой Жордана Г с концами в точках Ai(l.O), ßi(0,l) при х, у > 0, характеристиками ОС i, С\А\, ОС? и В\С'-2 уравнения (0.1) или (0.2), исследовал задачи Трикоми (задачу Т\ с данными на Г U C\C<i и задачу Тч с данными на Г U B\C<i U А\С\). Им доказаны единственность и существование решений задач Т\ и Т2 для уравнений (0.1) и (0.2), когда дуга Г - ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками "нормальной" кривой. Доказательство единственности решения задачи Т\ для уравнений (0.1) и (0.2) проведено на основании принципа экстремума A.B. Бицадзе, а при доказательстве единственности решения задачи Т2 использовался метод интегральных тождеств Франк ля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений. A.M. Ежов [18] для уравнения sgiiy ■ \y\mvxx + sgiix ■ \x\mvyy + sgn (xy) ■ \xy\mvzz = 0, m > 0, (0.3) в бесконечной трехмерной цилиндрической области G, ограниченной при —оо < ^ < оо поверхностями: So (х2а + у2а = 1, х, у > 0), S\ (х + у — 0, х > 0, у < 0), S2 (х + у = 0, х < 0, у > 0), 53 {ха + (-у)а = 1, х > 0, у < 0), S4 (yQ + (-х)а = 1, ж < 0, у > 0), где 2cv = т + 2, изучал следующую пространственную задачу ТС : найти регулярное решение уравнения (0.3), удовлетворяющее краевым условиям: v\s0 = Ф(х,г), u|5l = Ф](ж,2), v\s2 = ф2(y,z), lim v(x,y,z) = Hm = 0.

Методом преобразования Фурье задача ТС сводится к плоской задаче Т для уравнения

Н[и] = sgi1 у ■ \у\тихх + sgn х ■ \x\muyy - A2sgn {xy) ■ \xy\mu = 0, (0.4) где Л G R, в области D = G Г\ {z = 0}: найти регулярное решение уравнения (0.4) по данным: г;|Го = Л), = ф\{х, Л), м|г2 - ^¿(у, А), где Г, = Si П {z = 0}. При доказательстве единственности решения задачи Т используется принцип экстремума. Доказательство существования решения задачи Т проводится методом интегральных уравнений.

Ю.П. Карпухин [31] для уравнения смешанного типа второго рода

Lu ее |х|а,ихх + sgn (xy) ■ \у\аиуу = 0, 0 < а < 1, (0.5) в области D (см. с. 5) изучал следующую задачу Франкля (задачу F): найти функцию и(х,у) € C(D), удовлетворяющую условиям: 1) и Е C2(Dq) и Ьи = 0 в Do, 2) и(х,у) - обобщенное решение уравнения (0.5) в Di и D2 из некоторого класса В, 3) w|r = u\oCi = Ф\{х)-> и\ос2 =

My)- 01 (0) = '02(0), 4) и?/(я,+0) = -иу(х,-0), 0 < X < 1, ur(+0,y) = б

-М-0,г/), 0 < у < 1, где D0 = D П {х,у > 0}, А = D П {у < 0}, D-2 = D П {х < 0}. Доказана единственность решения задачи F на основании лемм о знаке нормальной производной на отрезках ОА\ и ОВ[ из областей эллиптичности и гиперболичности. Существование решения задачи F проводится методом интегральных уравнений.

Хе Кан Чер [85, 86] изучал задачу Т\ и задачу T<i для уравнения второго рода хихх + уиуу + а(х, у)их + Р(х, у)иу = 0 (0.6) с кусочно - постоянными коэффициентами ос(х,у) и j3(x,y) в области D. Пусть а(х, у) = сц, (3(х, у) = fa, если (ж, у) £ Д-, г — 0,1, 2. В случае \ < А < 1 и ^ < «2 < 1, доказана единственность решения задачи Т[ при а.\ < Pi, 6<2 < «2- Если от» + Д- > 1, доказана единственность решения задачи Т-) при а 1 < ¡3\. fa < «2, при этом должно быть Г £ С'2. В случае, если | < с*,- = Д < 1, г = 0,1, 2, а^ > а?о, г = 1, 2, и Г : х + у = 1, х,у > 0, методом интегральных уравнений доказано существование решения задач Г и '/•.•.

Салахитдиновым М.С., Хасановым А. [71] в области Q = Dn{x > 0} для уравнения sgny\y\muxx + = 0, m, п = const, т > п > 0, (0-7) изучена задача Трикоми с условиями Дирихле па Г, ()В\ и ОС\.

Единственность решения доказана методом интегралов энергии. Существование решения сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода,

К.Б. Сабитов [55, 57] изучал краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Для уравнения

Lu = К{у)ихх + Иуу + А(х, у)их + В(х, у)иу + С(х, у)и = F(x, у), (0.8)

1 i где у К {у) > 0 при уф О, в области Г), ограниченной при у > 0 жор-даповой кривой Г с концами в точках 0(0,0) и Ai(a.O),« > 0, и при у < 0 характеристиками 0С\ и С\А\ уравнения (0.8), была изучена задача Трикоми. На основании установленного принципа экстремума по 'замкнутой смешанной области D была доказана единственность решения задачи Трикоми и разработан аналог альтернирующего метода типа Шварца для доказательства существования обобщенного решения задачи Трикоми. Для уравнения

Lu ее К{у)ихх + N(x)uyy + Аих + Виу + Си = F, (0.9) где у К (у) > 0 при у ф 0, хК(х) > 0 при х ф 0, в области D. ограниченной при х,у > 0 кривой Г с концами в точках Ai(a,,0), B(Q,b), a, b > 0, при х > 0, у < 0 характеристиками ОС\ и С\А\ уравнения (0.9), при х < 0,у > 0 - характеристиками ОС'2 и С-¿В. были изучены задачи Т\ и Были установлены принципы экстремума для решений задач Т] и Т2, при этом предполагалось, что уравнение (0.9) является слабо вырождающимся. На основе принципа экстремума при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.9) были доказаны единственность решения задач /и '/•;.

Моисеев Е.И. [38] - [42] предложил другой метод построения решения краевых задач для уравнений смешанного типа, который основав: на теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи. Им были решены задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике. С помощью метода разделения переменных краевая задача для уравнений смешанного типа сводилась к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение искалось в виде суммы ряда, были доказаны равномерная сходимость полученных рядов п возможность почленного I! i ф <J) ер енци]) ования.

Спектральные задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа изучались Моисеевым Е.И., Пономаревым С.М. [49], Кальмеиовым Т.Ш. [23, 24], Сабитовым К.Б., Тихомировым В.В. [65]. Мамедовъш Я.Н. [35], Вагаповым В.З. [12].

Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:

1) установление принципа экстремума для уравнений смешанного тшга с двумя линиями изменения типа в случае задачи Тг,

2) исследование системы собственных функций задачи Трикоми для оператора Лаврентьева - Бицадзе с двумя линиями изменения типа на полноту.

3) решение задачи Трикоми для .уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром на основании теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи,

4) построение решения краевых задач, имеющих газодинамическое приложение, для уравнений смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения методом рядов по собственным функциям.

В главе 1 изучены экстремальные свойства решений уравнения

Lu ее а"!//;//.,, + N{x)uyy + Аих + Виу + Си = F, (0.10) где у К (у) > 0 при у ф 0, xN{x) > 0 при х ф 0, в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области D в более широком классе регулярных решений уравнения (0.10) и при более слабых ограничениях на его коэффициенты, по сравнению с работой [57]. Приводятся применения экстремальных свойств при исследовании задач Трикоми.

В§ 1.1 приводятся постановки задач Т\ (с данными на внутренних характеристиках) и Т-j (с данными на внешних характеристиках).

Рассмотрим уравнение (0.10) в области D, ограниченной: 1) простой кривой Жордана Г, лежащей в первой четверти х, у > 0 с концами в точках Ai = (а.О) и B¡ = (0,b), а, Ь > 0; 2) характеристиками ОС \ и C\Ai уравнения (0.10) при х > 0 и у < 0, где О = (0, 0), С} = (a/2,yCl), ■ус\ < 0; 3) характеристиками ОС-¿ и C'-jBi уравнения (0.10) при х < 0 и у > 0, где С-2 - (хс2:Ь/2), хс., < 0.

Задача Т\. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х, у) £ C(D) Л C\D) Л С2 (Do UAU Д>); (0.11)

Ьи(хлу) = F(x,y), (х,у) £ Д) U UD2; (0.12) и(х, у) = ip(x, у), (х, у) G Г; (0.13) и(х,у) = г1>1{х,у), (х,у) Е ОС\ U OC¿, где D0 = D П {ж, у > 0}, Dx - D П {у < 0}, D-2 = D П {х < 0}, (р и фу -заданные достаточно гладкие функ'ции.

Задача T<¿. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.11) - (0.13) и и(х, у) = ф-2 (х,у), (х, у) G С у Ау U C2Bi, где ip и ф-2 - заданные достаточно гладкие функции, причем ^р(А\) = ^(Ai). <р(В1) = щ(В1).

В § 1.2 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке нормальной производной в точке максимума и вблизи точки максимума решения уравнения (0.10) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) С(х.у) < 0 в области 1)(,. 2) и.(х,у) Е С (Do) П С'1 (Д) U О Ai U ОВх) П С2 (Do), Lu = F(x,y) > 0 (< 0) в Do; 3)maxu(avy) = u(Q) > 0 (minw(.x, y) = u(Q) < 0), 4) функ Do ' ' Dq ция u(x\y) имеет изолированный максимум (минимум) u(Q) в точке О; 5) в малой окрестности точки О: а) функции и2 и и?у суммируемы: б) производные Ах и Ву непрерывны вплоть до границы; в) 2С - Ах - Ву < 0, А(0,у) > О и В(х, 0) > 0. Тогда в любой окрестности V С <9Д) точки О найдется точка С}' £11 такая, что 0 (> 0), где ди = ихпх + НуПу, дп пх и Пу - компоненты внутренней нормали к границе области /Л).

В § 1.3 для уравнения (0.10) в областях гиперболичности при некоторых ограничениях на его коэффициенты показано, что максимум решения и(х, у) по замкнутым областям Бу и 02 достигается на отрезках параболического вырождения.

В § 1.4 для уравнения (0.10) в смешанной области при определенных условиях доказано, что максимум решения и(х,у) по замкнутой смешанной области О достигается на эллиптической границе Г. Из этого утверждения следуют единственность решения задач Т\ и Т-2 при произвольной эллиптической границе Г.

В § 1.5 приведены примеры модельных уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения у ■ ихх + X ■ иуу - 0, а^-ц-д/ ■ \у\пиХх + sgnx' • \х\'пиуу — Т(х, у), п, т > 0, (0-14) п У ■ \у\пихх + У" II у = 0, п > 0, т >--—. п + 1

На этих примерах показано применение изложенной в главе 1 теории. Получены принципы экстремума и на их основе доказаны теоремы единственности решения краевых задач Т\, Т-2 и других.

Замечание. Для уравнения (0.14) в диссертациях [14], [34] при п т, > 0 доказан принцип экстремума задачи Т\ в иной формулировке. исходя из формулы решения задачи Дарбу для уравнения

0.14) в облает,и а в статье [36] аналогичный принцип доказан при т = п, ?71, п Е N. В работах [22], [69] доказана теорема единственности решения задачи Т\ при п = гп > 0 методом интегральных тождеств.

В главе 2 изучены спектральные свойства решений задачи Три-коми для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева - Би-цадзе с двумя линиями изменения типа и показаны их применения при построении решения задачи Трикоми.

В § 2.1 изучена спектральная задача Трикоми для оператора Лаврентьева - Бицадзе. Для уравнения

Ьи = sgпx ■ ихх + sgny • иуу + Хи = 0, (0.15) где А £ С, в области V, ограниченной: 1) простой кривой Жордаиа Г, лежащей в первой четверти плоскости х,у с концами в точках Л(1,0) и .¿3(0,1); 2) характеристиками ОС\ и С\А уравнения (0.15) при х > 0,у < 0; 3) характеристиками ОС2 и С^В при х < 0,у > 0, поставим следующую спектральную задачу.

Задача Т\. Найти значения комплексного параметра А и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям: и(х, у) е С( Л) П С1^) П С2(£>0 и а и Г>2), (0.16)

Щх,у) = 0, (ж.йбАиАиА, (0.17) и{х, у) = 0, (ж, у) е С1С2 и Г. (0.18)

Решая в областях и В-2 задачу Дарбу [56], получены функциональные соотношения между следом решения и(х,у) и следом нормальной производной решения на отрезках О А и ОВ. На основании этих соотношений задача Т\ сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на собственные значения для оператора Лапласа в области

А: найти значения параметра Л и соответствующие им собственные функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.16) - (0.18) и

В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга единичного радиуса с центром в начале координат, методом разделения переменных найдены собственные значения \П}т и соответствующие им собственные функции спектральной задачи Трикоми: где /.¿п = 2п — 1, п Е К, сп>т - действительные числа, Лп>т - т-й корень

Далее изучен вопрос о полноте системы собственных функций (0.19) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Результат сформулирован в виде следующих утверждений:

Теорема 2.2. Система собственных функций (0.19) задачи Т\ полна в 1/2(.Д))

Теорема 2.3. Система собственных функций (0.19) задачи Т\ полна в 1^2(^1) и (А)

Теорема 2.4. Систем,а собственных функций (0.19) задачи Т\ не полна в \j-2iD).

0.19) уравнения «/^„(л/Л) = 0.

Так же показано, что задача Тд не имеет присоединенных функций.

Отметим, что в [49] решены спектральные задачи для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с одной линией изменения типа и получены теоремы о полноте системы собственных функций.

В §§ 2.2 - 2.4 на основании работ Е.И. Моисеева [38] - [42] показаны применения системы собственных функций для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа.

В § 2.2 рассмотрены краевые задачи для уравнения в области И, ограниченной: 1) четвертью единичной окружности Г при х,у > 0; 2) характеристиками ОС\ и С\А при х > (). ,// < 0: 3) характеристиками ОСч и С2В при х < 0, у > 0, где А = (1, 0), В = (0,1).

Задача Трикоми (задача Т\). Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.16), (0.17) и где f - заданная достаточно гладкая функция.

Задача Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям

Теорема 2.5. Если /(р) е С'а[0,тг/2], 0 < а < 1, /(0) = /(тг/2) =

Ьи = х -ихх + sgn у ■ иуу — 0

0.20)

0.21) и = 0

С1С2

О, то существует единственное решение задачи Т\ и оно имеет вид оо

Е 1пГ2п~1 яп[(2п - 1)ср + тг/4], (г, <р) е А), п=1 и(х,у) = <

ОО П=1 оо fn приведены в диссертации (см. главу 2, § 2.2). Теорема 2.6. Если /(ср) Е Са[0,тг/2], 0 < а < 1, /(0) = /(тг/2) = 0, то существует единственное решение и(х,у) задачи Тч, которое определяется по формуле

Е /пг2"-Чт[(2п-1> + тг/4], (ж,у)е Дь

П=1

2п—1 Н1Е1 !п{х - уУп-\, (х,у) Е £>Ъ г=1

ОО * П=1

В § 2.3 для уравнения (0.15) в области 1} найдено решение следующей задачи.

Задача Трикоми. Найти функцию а(х, у), удовлетворяющую условиям (0.16), (0.17), щх у) и(г,¥>) =/(¥>), е [0, тг/2], и г г—1

С1С2

0, г<?е / - заданная достаточно гладкая функция.

На основании собственных функций задачи Т\ построено решение задачи Т в области И.

Теорема 2.8. Если /(у?) Е Са[0,тг/2], 0 < а < 1, /(0) = /(тг/2) = 0, то существует решение задачи Т при всех А ф \ПуГП и оно имеет вид

7Г

2п — 1)(р + — г,<р) е Аь и{х,у) = <

2 ^ з.п п=1 Лп-1 1 л/2 п=1 — У> 1

ЕИГ1/, (х,у)ео2.

В § 2.4 изучен пространственный аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями изменения типа

Ш = в^ж • И7^ + sgny • И7^ + И7"^ = О в области С = И х (0, тг).

Задача Т. Найти функцию IV(х, у, г), удовлетворяющую условиям:

Т¥(х, у,г) е С (Я)П С\в) П С2(Со и и С2), 1Ж{х,у,х) = 0, (ж, у, 2) Е Сои^иСз, 1¥(х,у,г) =У(г,<р,г) (Е [0, тг/2], * е [0, тг],

5 г=1

И7(ж, у, 2; о, х е у=-х у, г

1 11

2=0

2' 2\ ге [0,4 = 0, где Г - заданная достаточно гладкая фу Я - часть цилиндрической поверхности х2 + у2 = 1, ж, у > 0, г Е [0, тг]; Со — С П {ж, у > 0}; С Г) {х > 0, у < 0}; С2 = С П {ж < 0, у > 0}.

Используя результаты § 2.3, аналогично [38] получено следующее утверждение.

Теорема 2.9. Если функция г) по переменной (р удовлетворяет на отрезке [0, тг/2] условию Гелъдера, с показателем а Е (0,1], а по переменной г на отрезке [0,7г] условию Гелъдера с показателем

3 е (0,1], 0) = 7г) = 0, ^(0, г) = ^(тг/2, 2) = 0, гао существует, решение задачи Т в области С и оно задается формулой оо

Е /п^тпгяп сю

-7= Е и эт пг .

V 2 „ \х-у

2к - % +

7Г 4

Ьк-гЫг) 12к (ж,?/) е с0, з + У\2к 1 1^-1 (п Уж2 - у'2) 1^-1 (п) (ж, у, 2:) <Е <3Ь

Е (-!) /п^тпг ( --- ) -£-—-(ж, у, г) £ С2, где коэффициенты определяются в работе.

В главе 3 изучены краевые задачи, имеющие газодинамическое приложение [16, 83], для уравнения

Ьи = я^иу\у\ ихх + хтиуу = 0, т > 0,

0.22 в области X), ограниченной: 1) простой кривой Г, лежащей в первой четверти ж, у > 0, с концами в точках А(1,0), В( 0,1); 2) отрезком О В оси Оу; 3) характеристиками ОС и С А при у < 0, где О = (0,0), С = ((1/2)1/*, — (1/2)1//а), а - (т + 2)/2.

В § 3.1 решена задача ТАт : найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е С(Р ) П С!(^) П С2(£>+ и £>), 1>и(ж, у) = 0, (.г, у) е £>+ и £>, /V',:?/), (ж,у) € Г, пж(0 + 0,у) = 0, у е (0,1), и(х,у) = 0, (ж, у) е ОС,

0.23)

0.24 (0.25 (0.26) (0.27) где 1)+ = Б П {у > 0}, £> = I) П {у < 0}, / - заданная достаточно гладкая фунщия.

Аналогично главе 2 (§§ 2.2 - 2.4) задача TN сводится к нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда Г = Tq : х2а + у2а = 1, с помощью метода рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи доказано следующее утверждение.

Теорема 3.2. Если f((p) Е С1[0,7г/2], (функция f((p) в малой окрестности точек (р = 0 и (р = тг/2 дважды непрерывно дифференцируема и /(0) = /'(0) = /'(?г/2) = /'(7г/2) = 0, то существует единственное решение задачи TN и оно определяется формулой: и{х,у) = СО

Е Ur2pn-2q sin1/2"" 2у> Pjf"i/2(- cos 2у>), (я, у) Е D п=О

2\рГк[ Xa + (~У

-2q оо 1 Е пГ(1

0 Г(1 + pn)T(q - рп) X X

-у,

Рп

F pn + q,q, 1 + рп] хL

- (-у)' ж, г/) Е £>,

П1 С[ 1 где q = —-рп = п + - + Р^(-) - модифицированная функция

2{т + 2) 2 4

Лежандра, значения ]',, приведены в диссертации (см. главу 3, § 3.1).

В § 3.2 исследована задача, аналогичная задаче (0.23) - (0.27), только вместо (0.26) задано граничное условие и о в w(0,2/) = 0, з/е[0,1].

0.28)

В § 3.3 изучена задача (0.23), (0.24), (0.26), (0.27), г г п „. ди dy тди л бх[и] = i/'Vf - хт — = w(x,y), (ж, у) Е Г,

0.29 дх с1х ду где ш - заданная достаточно гладкая функция.

В § 3.4 решена задача (0.23), (0.24), (0.27) - (0.29).

Аналогично § 3.1 при некоторых ограничениях на граничную функцию получены представления решений задач в виде суммы рядов по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

1. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. - М., 19-52.

2. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

4. Бицадзе A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561-564.

5. Бицадзе A.B. О единственности решения общей граничной задачи для уравнения смешанного типа // Сообщ. АН Груз. ССР. -1950. Т. 11, № 4. - С. 205-210.

6. Бицадзе A.B. К общей задаче смешанного типа // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 78, А» 4. - С. 621-624.

7. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1951.

8. Бицадзе A.B. Об одной задаче Франк.ш // Докл. АН СССР. -1956. Т. 109, № 6. - С. 1091-1094.

9. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 112, № 3. -С. 375-376.

10. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959.

11. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981. - 448 с.

12. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. I. М: ИЛ, 1949.

13. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решен ию краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1969.

14. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона - Дарбу // Волжский математический сборник. - Куйбышев, 1968. Вып. 6. - С. 56-61.

15. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960. -421 с.

16. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно составного типов. - Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

17. Ежов A.M. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения // Дифференциальные уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1973. - С. 84-102.

18. Зайнулабидов М.М. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися .линиями гга/раболического вырождения: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1969.

19. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 91-99.

20. Зайнулабидов М.М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6, № 1. - С. 99-108.

21. Исамухамедов С.С., Орамов Ж. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № 2. - С. 324-334.

22. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения - 1977. - Т. 13, № 8. - С. 1718-1725.

23. Кальменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М. 1982.

24. Камынин Л. И. Теорема о внутренней производной для слабо вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка // Матем. сб. 1985. - Т. 126. - № 3. - С. 307-326.

25. Карамова A.A. К вопросу о единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции: Тезисы докл. Междуиар. науч. конф. Самара, 1997. С. 33.

26. Ка/рамова A.A. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа // Физика конденсированного состояния: Труды Всеросе. науч. копф. Стерлитамак, 1997. - Т. 1. Математические методы физики. - С. 69-72.

27. Карпухин Ю.П. Разрывная задача для уравнения второго рода с двумя линиями вырождения // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1973. - Вып. 19. - С. 116-124.

28. Кузьми/н А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.

29. Ломоносова Т.Е. Существование решения задачи Т для уравнения с двумя линиями сингулярности коэффициентов // Дифференциальные уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1977. - Вып. 10. - С. 88-96.

30. Макаров С. И. Применение обобщенных интегро дифференциальных операторов произвольного порядка к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Л, 1987.

31. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. -Т. 26, № 1. - С. 163-168.

32. Маричев О. И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970, № 5. - С. 21-29.

33. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 1.- С. 177-179.

34. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. - С. 93-103.

35. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, № 7. - С. 1.160-1172.

36. Моисеев Е.И. О решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональных рядов // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, Л® 1. - С. 94-103.

37. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, № 7. С. 1229-1237.

38. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1. -С. 110-121.

39. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

40. Надирашвили Н. С. Лемма о внутренней производной и единственность решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 261, № 4.С. 804-809.

41. Надирашвили Н.С. К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1983. - Т. 122. - С. 341-359.

42. На/и,марк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1954.

43. Оле/аник O.A. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа // Матем. сб. 1952. - Т. 30 (72), АГо 3. С. 695-702.

44. Пилия А.Д., Федоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журн. экспер. и теор. физики. 1971. Т. 60, вып.1. -С. 389-399.

45. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева- Бицадзе: Дне. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1981.

46. Поливанов Н.И. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения. Сердика. Бъл-гарско математическо списание, I, 1975, С. '295-310.

47. Прудников А.П. Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука,- 1983.- 752 с.

48. Расу лов Х.Р. Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент. - 1997.

49. Рыж:ов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Ла-валя. М.: ВЦ АН СССР. 1965. 236 с.

50. Сабитов К. Б. О задаче Трнкоми для уравнения Лаврентьева -Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 22, № 11. - С. 1977-1984.

51. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 11. - С. 19671976.

52. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, № 6.- С. 1023 1032.

53. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. -М., 1991.

54. Сабитов К. Б. Альтернирующий метод типа Шварца в теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1992. - Т. 322.- № 3. С. 476-480.

55. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Принцип максимума для вырождающихся уравнений второго порядка // Материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции.- 4.2. Уфа, 1997. - С. 40-41.

56. Сабитов К.Б. Карамова A.A. Принцип максимума для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ). Ч. 4. - Новосибирск, 1998. - С. 36-37.

57. Сабитов К.Б., Карамова A.A., Шарафутдинова Г.Г. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Известия вузов. Математика. 1999. - № 11. - С. 70-80.

58. Сабит,ов К.Б., Карамова A.A. Задача Трикоми для пространственного уравнения смешанного типа с двумя плоскостями изменения типа // Математическое моделирование в естественныхи гуманитарных науках: Тезисы докл. науч. конф. Воронеж, 2000,- С. 196.

59. Сабитов К.Б., Мукминов Ф.Х. О знаке производной по конорма-ли вблизи точки максимума решения вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 6. -С. 844-847.

60. Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Ма-тем. моделирование,- 1990,- Т. 2, № 10.- С. 100-109.

61. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения и их приложения в физике: Сборник науч. трудов. -Стерлитамак, Стерлитамакский филиал АН РБ, "1999. С. 68-82.

62. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно составного типа. -Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

63. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 3. - С. 549-553.

64. Салахитдинов М.С., Ис.ломов Б. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 5. - С. 1051-1054.

65. Салахитдинов М.С. Кадыров 3. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 22, № 1. - С. 103114.

66. Салахитдинов М.С. Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 110-119.

67. Самко С.Г. Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их при./южен и я. Минск: Наука и техника, 1987.

68. Смирнов М.М. Выроладаютциеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

69. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. -296 с.

70. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985. - 304 с.

71. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи A.B. Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, № 1. - С. 143-146.

72. Солдат,ов А.П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 2. - С. 325-332.

73. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.- М.: Наука. 1966.

74. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа: Пер. с итал. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

75. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

76. Уиттекер Э. Т. Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, Ч. II. Трансцендентные функции. М., Физматгиз. - 1963.

77. Франкль Ф.И. К теории сопел Л аваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9, № 5. - С. 387-422.

78. Франкль (Р.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений // ИзЬ. АН СССР. Сер. матем. 1945. -Т. 9. № 2. С. 121-142.

79. Франкль Ф.И. Об одной новой краевой задаче для уравнения yzxx + zyy = 0 // Учен, записки МГУ. 1951. - Вып. 152. Механика, 3. - С. 99-116.

80. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Препринт. ИМ СО АН СССР. 1976. - 16 с.

81. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения //В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. - 1980. - С. 64-67.

82. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.

83. Шифрин Э.Г. О единственности "в делом" решения прямой задачи . la на.1/1 // Жури, вычислит, мат. и матем. физики. 1978. - Т. 18, Л'а 2. - С. 509-512.

84. Адтоп S. Nirenberg L., Рrotter M.N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type // Comm. Appl. Math. - 1953. - V. 6, № 4. -P. 455-470.

85. Gellerstedt S.G. Sur on problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. Uppsala, 1935. - 92 p.

86. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3. - P. 791-793.