Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода

Егорова, Ирина Петровна

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Егорова, Ирина Петровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода»

Автореферат диссертации на тему "Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода"

На правах рукописи

004603818 _

ЕГОРОВА ИРИНА ПЕТРОВНА

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание учёной степени кандидата физико - математических наук

Казань - 2010 1 " ИЮН 2010

004603818

Работа выполнена на кафедре высшей математики Самарского государственного архитектурно - строительного университета и в лаборатории дифференциальных уравнений Института прикладных исследований АН Республики Башкортостан (г. Стерлитамак)

Научные руководители: доктор физико - математических наук, профессор

Волкодавов Виктор Филиппович. доктор физико - математических наук, чл.-корр. АН РБ, профессор Сабитов Камиль Басирович

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук, профессор

Солдатов Александр Павлович,

доктор физико - математических наук, профессор _ Хайруллин Равиль Сагитовгп

Ведущая организация: Башкирский государственный университет

Защита состоится 17 июня '2010 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертадионного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете (федеральный) по адресу: г. Казань, ул. Профессора М.Т.Нужнна, дом 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 11 мая 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Е.К. Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода в классической и прямоугольной областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, К. И. Бабенко, М.А. Лаврентьева, А.В.Бицадзе, М.М. Смирнова, В.Ф. Волкодавова, С.П. Пулькина, К.Б. Сабитоьа, А.И. Кожанова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, P.C. Хайруллина, O.A. Репина, А.П. Солдатова и других математиков.

Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода или с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.

Первые исследования по уравнениям смешанного типа второго рода принадлежат И.Л.Каролю. Для уравнения

Lu = ихх + (sgny)\y\mumi - 0, т > 0, (1)

в области G, ограниченной простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках 0(0,0) и /1(1,0), и характеристиками ОС и АС уравнения (1), расположенными в полуплоскости у < 0, он доказал существование и единственность решения задачи Трикоми (задача Т) при 0 < m < 1 в случае, когда граница Г эллиптической части смешанной области G совпадает с так называемой "нормальной"кривой Г0: {x-lfif+i^^y^)1 — 1/4. Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. К.Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Т для уравнения (1) при любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < тп < 1. Им показано, что задача Трикоми для уравнения (1) при m > 2 поставлена некорректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения хтихх + +(sgny)ufm — 0 при всех т > 0.

Ф.И. Франкль свел прямую задачу теории сопла Лаваля к новой задаче для уравнения (1) с показателем тп — 1/2, где на линии перехода вместо классического условия непрерывности щ(х, 0+0) = щ(х, 0—0), 0 < х < 1, ввел требование разрывности иу(х, 0 + 0) = — — 0), 0 < х < 1.

И. Л- Кароль исследовал также уравнение смешанного типа второго рода

Lu = ихх + уиЮ1 + au„ — 0, а = const, (2)

в области аналогичной G. При 0 < а < 1 он изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, т. е. на линии изменения типа вместо обычного требования непрерывности производной по нормали: иу(х, +0) = uv(x, —0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом

lim (—у)ащ — lim у"щ, 0 < х < 1.

W-+0-0 »-+0+0

Когда а < 0 при условии существования равенства ихх{х, 0) + Щ/(я, 0) — 0, 0 < х < 1, им доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле.

Задача Т для уравнения (2) при о < 0 становится корректно доставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С. Исамухамедов для уравнения (2) в области G при а = —п + а о, 2 < oq < 1, п — 1,2,..., поставил задачу Т со следующими условиями склеивания:

«(£,+0) = и(х, —0) = т(х), 0 < а; < 1,

lim<-yy[uv + At{4)) = (-1)* lim (-2^¡u-А~п(т)} =V(r),0 < x < 1, где

An(r) = f^ Nk(-y)k f r2k(z)(t(l - ffi^-idt, fci Jo " . Я2 к

z = x-2y/=y(l-2t),

Nk{k — 0,n), Mk{k — T/ri) - определенные постоянные.

Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го - методом интегральных уравнений.

ЧО.М. Крикуновым изучен случай ао = 1/2 для некоторых специальных областей.

Хайруллин P.C. для уравнения (2) в случае а < —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В случае общей области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (2), им показана фредгольмовость задачи Трикоми при тех же а < -1/2.

Щ.х + Щ], = 0, у > О,

V(u) —

v 1 иху — 0, у < 0,

в области П, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках Л(0,0), В(1,0), и отрезками прямых АС (х + +у — 0) и С В (х — 1) в полуплоскости у < 0, с условиями: и(х,у) € С(П), V(u) = 0 на U ,

w|r = Ф), s € [0,/], и\св = д(у), у € [-1,0],

H+(x) = b(x)H4x), хе (од),

где </j(s), д(у), Ь{х) - заданные функции, I - длина кривой Г, з - длина дуги кривой Г, отсштываемая от точки В( 1,0),

Н+{ х)= f (x-t)-pT(t)dt,0<p<l, т{х) = и(х,0), х € [0,1], Jo

Я_(х) - UrnoJ (х - t)~xu{x, —t)dt, 0 < Л < 1, п+ = ппу>о, гг_ = апу<о.

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой для уравнения смешанного типа

0 _ / итх + и,ш -Ли, у > 0,

\ uxv + Ли, Л = const, у < 0.

Б.А. Варовой изучены краевые задачи с сопряжением производной по нормали с дробной производной для двух классов уравнений смешанного типа

£ _ J Uxx + %/ = 0> У > 0,

, _ Г Чи

I ит-1)

+ q [In а (ж)]' uv = 0, q > 0, а{х) > 0, у < О,

их.х + Uy,/ + -их - 0, 0 < р< 1, у > 0,

Lu = { р 1 х

Ux»+ о "Г" (Ux + - °> У < £, X ~г У

Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после известных работ Ф.И.Франкля, в которых впервые обращено внимание на то, что задачи трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа.

На некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева: ихх + +{sgny)um = 0 в смешанной области, гиперболическая часть у границы которой лежит в характеристическом треугольнике Q <х + у < х — у <1, впервые обратил внимание А.В Бицадае. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенный между 7 и у — 0. Результат А.В Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

В работах А.П. Солдатова доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева -Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < О соответственно гладкими дугами с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

Е.И.Моисеев исследовал нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения

утихх += 0, т > -2, 0 < х < 1, у > 0,

с данными: и(0,2/) = и(1,у), их{0,у) = 0, у >0, и(я,0) = f(x), 0 < х < 1, в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

Сабитов К.Б. исследовал задачу Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода

{sgny)\y\muXJ + uw,-b2{sgny)\y\mu = Q , т > 0, b > 0, (3)

в прямоугольной области D — {(.г, у)\0 < х < 1,—а < у < 3}, - заданные действительные числа. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

К.Б. Сабитовым и А.Х. Трегубовой (Сулеймановой) для уравнения смешанного типа второго рода

Щ.х + (sSn&)|y|m4w/ ~ = 0, 0 < m < 2, b = const > 0,

исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения.

М.Е. Лернером и O.A. Репиным для уравнения смешанного типа

{s9ny)\y\muxx + ti»,, = Q, т > О,

в области, эллиптическая часть которой есть полуполоса {0 < х < 1, у > 0}, а гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) - и(1,у) ~ ipi(y), ux(Q,y) - ih{l,y) - р2{у), У > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.

В работах Сабитова К.Б. и Сидоренко О.Г. изучена краевая задача с условиями периодичности для уравнения (3) в прямоугольной области D. Методом спектральных разложений установлен критерий единственности решения. При этом решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи.

Целью работы является исследование на корректность нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением в классической и прямоугольной областях.

Методы исследования. В первой главе широко используются аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: методы Римана, Римана - Адамара и Грина , принцип экстремума, методы теории интегральных уравнений. Во второй главе при доказательстве единственности и существования решения нелокальных задач для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области использован метод спектрального анализа и теория специальных функций.

Научная новизна.

1) Установлены принципы экстремума ддя уравнений гиперболического и смешанного эллиптико - гиперболического типов.

2) Доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач для уравнений смешанного типа с нелокальным условием сопряжения, содержащим производную дробного порядка.

3) Показано, что корректность постановки краевой задачи с условиями периодичности (нелокальной задачи) для уравнения смешанного типа второго рода (1) в прямоугольной области существенным образом зависит от показателя степени т вырождения. Установлены промежутки изменения параметра т:0<т<1,1<т<2,в которых нелокальная задача или видоизмененные нелокальные задачи поставлены

корректно. При 0 < т < 1 установлен критерий единственности решения нелокальной задали, которое построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. Когда 1 < тп < 2 доказаны теоремы единственности и существования решения видоизмененных задач. Решения построены в виде суммы рядов и установлены достаточные условия сходимости рядов в соответствующих классах решений уравнения (1).

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д. ф.-м. н..

проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2004 - 2005 гг.), научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.В. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.), на научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета (науч. рук. - д.ф.-м.н., проф. В.И. Жегалов, 2010 г.), а также на следующих научных конференциях: четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (29 - 31 мая 2007г., Самара, СамГТУ), международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (28 мая - 2 июня 2007г., Новосибирск, НГУ), международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (24 - 28 июня 2008г., Стерлитамак, СФ АН РБ), международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (30 марта - 02 апреля 2009 г., Москва, МГУ), международном Российско - Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (17 - 22 мая 2009 г., Нальчик - Эльбрус), международной школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100 - летаю БашГУ (02 -05 октября 2009 г., Уфа, БашГУ), II - ой всероссийской научно - практической конференции "Интегративный

характер современного математического образования", посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова (26 - 28 октября 2009 г., Самара, ПГСГА).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе работы в издании из перечня ВАК [4], [11], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 0 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 106 страниц. Библиография - 92 наименования.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава посвящена изучению краевых задач для уравнения смешанного типа

I = ( Uxx +

uxv —

г С \ - ) уШщт = 0 < гтг < 1, у > О,

на множестве D = D- U D+, где D_ = {(я,у)\ — 1 < —х < у < 0}, а £)+ ограничена кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках /1(0,0) и #(1,0), и отрезком [0, 1] оси у — 0.

В § 1.1 для уравнения (4) на множестве D ставится следующая краевая задача с нелокальным интегральным условием сопряжения с данным на характеристике х — 1 при —1 < у < 0.

Задача Vj. На множестве D найти функцию и(х,у). удовлетворяющую следующим условиям:

и{х,у) € сф) nC2{D+),u(x,y) € C\DJ),ux„ € C(D_); (5)

Lu{x,y) = 0, (x,y)e D+ULL; (6)

u(i(e),y(e)) =v(e), 0 < s < i; (7)

«l*=j =фы> —1 ^ у ^ 0; (8)

!/+(*) = -».(*), 2 6(0,1), (9)

где x = x(s), у = y(a) - параметрические уравнения кривой Г, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки (1,0) против часовой стрелки, I - длина кривой Г, i/>(s), ф(у) - заданные достаточно гладкие функции, причём <р(0) — ф(0),

v+(x) = lim щ(х,у), х €(0,1), S-+040

«л-(аО = х)~пМ*>°) & + J (х- г)"''2и2(ж, -0 <&, 0 < гь г2 < 1,

I о

щ(х, у) - решение задачи Гурса для уравнения (4) в области с данными: ^(х, 0) = т(ж), 0 ^ х < 1, их(1, у) = О, -1 ^ у ^ 0, г(1) = О, а щ(х, у) - решение задачи Гурса для уравнения (4) в области £>_ с данными: и2(х, 0) = 0, 0 < х ^ 1, «¡¡(1, у) = ф{у), -1 < у ^ 0, ^¿>(0) = 0.

Для доказательства единственности решения поставленной задачи (5) -(9) установлен принцип экстремума в областях гиперболичности и в целом смешанной области £>.

Лемма 1. Пусть и(х,у) € С (£>_) является решением уравнения (4) в области £)_ и ы(1, у) = 0, — 1 < у < 0. Тогда если и(х, 0) = т (х), г (а:) € С [0, 1] П С1 (0, 1), т' (х) 6 ¿1[0,1], достигает на сегменте [0, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в тоже $ € (0, 1), то V_ (О <0 («_(£)> 0).

Лемма 2. Пусть функция и(х, у) удовлетворяет условиям (3), (б),

(9) и ц(1, у) = 0, — 1 < у < 0. Тогда если тах и (х, у) = и(/3) > 0

о+

(ют и (х, у) — и ((}) < 0), то этот максимум (минимум) достигается па кривой Г.

Из данных утверждений следует единственность решения задачи Ц,. Доказательство существования решения задачи (5) - (9) для простоты вычислений проводится для случая, когда кривая Г = Го. В этом случае доказательство существования решения задачи (5) - (9) эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения

т(х) = 1г(8)К(х,8)<1з + Р(х)> (10)

Лемма 3. Функция К(х, в) непрерывна в квадрате [0, 1] х [0, 1], кроме линий х = 0, 5 = 0 и з — х, и справедлива оценка

' Сх [ж2'"1 + (х + 5 - 2хе)*-1] 4- С2з-Г1, п < 2д, С3 (ж2*-1 + а"^) |ь |1 - | + С4(® + а - 2хз)2<>-\

П = 2 q,

С5 (х^1 + в"2') \а - х\2°~Т' + Сб{х + 2а*)2«"1,

П > Ч

IК{х, в)| <

где С,- - положительные постоянные.

Лемма 4. Если ф(у) € С[-1, 0]ПСг(—1, 0). ф'{у) € LJ-1, 0], ф{0) =

ф(х) € С[0, 1], 7 > 0, то функция F(x) £ С[О, 1]ПС°(0, 1), Р(х) € li[0, 1].

Из лемм 3 и 4 следует, что интегральное уравнение (10) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода со слабой особенностью. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи (5) - (9). При этом решение уравнения (10) Т{х) е С[0,1] ЛСНОД) И Г'(ж) е Li[0,l].

Теорема 1. Если Г = Го, функции ф(у) и ¡р(х) удовлетворяют условиям леммы 4, то существует единственное, решение задачи (5) -

(Я

В § 1.2 для уравнения (4) на множестве D изучена краевая задача с сопряжением производной дробного порядка из области гиперболичности с данным на нехаряктеристической линии у — — х, 0 < х < 1.

Задача V<¿. На множестве U найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (5), (6), (7) и

i'+(x) = v-(x), 16(0,1), (И)

lim (х + у)-Qu(x, у) = 0, 0 i sí 1, (12)

И-4-Х+0

где

а:

v-(x) t)~ru(t, в) dt, 0 < г < 1.

Исследование задачи Vг проводится аналогично §1.1. Здесь в качестве вспомогательной задачи в области £>_ используется задача типа Дарбу с данными (5), (6), (12) и с условием u(a:,0) = т(х),0 < х < I, где т(х) -заданная достаточно гладкая функция, т(0) = 0.

Единственность решения задачи 14 доказана на основании принципа экстремума, а существование сведено к однозначной разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Теорема 2. Если Г = Г0, функция tp{x) - 1р(х)[х( 1 — .

<р(х) 6 С[0, 1], 7 > 0, г < q, mo существуем единственное решение задачи (5), (б), (7), (11), {12).

В главе 2 для уравнения смешанного типа второго рода

ижх + (едпу)\у\тща = 0, 0 < т, < 2, (13)

в прямоугольной области О — {(а;,у)|0 < х < 1, — а < у < /?} в зависимости от значений параметра тп установлены классы корректности следующих задач.

Задача 2.1. Пусть 0 < пг < 1. Найти в обмети О функцию и(х, у),

удовлетворяют,ую условиям:

«(1,у)еС1(5)ЛС2(1)+иО.); (14)

Щх, у) = 0, (х, у) <= £>+ и (15)

«(О, у) = а(1, у), м*(0, у) = 11.(1, у), -а <у<0\ (16)

и(х,/3) = /(х), и(х, —а) = д(х), 0 < х < 1, (17)

где /(х), д(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) =

/(1), 9(0) = д(1), /'(0) = /'(!) .• ЗЧО)^^!).

Задача 2.3.1. Пусть 1 < т < 2. Найти в области I) функцию и(х,у). удовлетворяющую условиям (14) - (16) и

и(х,0)=/(х), 0<х<1. (18)

Задача 2.3.2. Пусть 1 < га < 2. Найти в области Б функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (14) - (16) и

иу(х,/3) = ¡р(х), 0 < х < 1, (19)

где ¡р(х) - заданная достаточно гладкая функция.

Задача 2.4.1. Пусть 1 < т < 2. Найти в области В функцию и{х,у), удовлетворяющую условиям (15) - (17) и

и{х, у) б С(5) П С2(Я+ и £>-); (20)

итп2/т-,«1)(а;,2/) = - Кт (-у)т'\(х,у), т > 1, 0 < х < 1. (21)

—»-0 4 0 ' г/—Ю-0

Задача 2.4.2. Пусть т = 1. Найти в области О функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (15) - (17), (20) и

цга = „ нга ЪЩ, тв1, 0 < ж < 1. (22)

¡/->0+0 1пу ]п {-у) ~

При построенш решении этих задач применяется система собственных функций одномерной спектральной задачи:

Х"{х) + XX (х) = 0, 0<х< 1,

которая имеет вид:

Хк(х) : 1,^/2

cosAfcX, V2 sin Хкх, (23)

здесь Хп(х) ~ 1, Л = А2 — (2irk)2, к — 1,2.....Система собственных

функций (23) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве ¿[0,1].

Используя систему (23), решение задачи (14) - (17) построено в виде суммы ряда Фурье

сс эс

и(х, у) = щ(у) + щ(у) cos\kx + V2^2 ч{у) sin \кх, (24)

k=i к=1

где функции щ(у), ик(у), vk(y) определены соответственно по формулам:

/ ч /о ~ ffO , «/о + PffO ^ ^ а щ{у) = + -а < у < р, (25)

щ(у) = <

' ík^hja, у) + Р)

fkV^Fkja, -у) + gks/45ySk{-y,P) „ SkMrftf ' у<и'

fky/ay¿k(a, у) + Ъу/РуЫу, Р) „ - --■ У > о,

fky/-ayFk(a, -у) + gkV-PySk(-y, Р) Sk{a,P)^

(26)

(27)

У<0,

где

6к(а, у) = J i fea«) Jf i fey<) + fea") /1 fes,«),

i-i

^(t/,/3) = n (pkF) Kí Сpaíí') - ^ Cpfcií*) -

¿4 ¿4

Fk(a, -y) = Fi fea') Jx (p*(-»)«) - Ff fe(-y)<) Jx fea"),

Jf/ <!ry ¿r/

/3) = Jx Ы-у)<) fe/35) + Yx {pk{-y)q) Ix W>),

Ы-У)4) = (Pk(-y)q) + J-tL ,

2i¡

/fc и flfc ~ коэффициенты разложения функций f(x) и p(x) соответственно по системе {-\/2cos Хкх} , /о и до - коэффициенты разложения функций fk и дк по системе {1}, а Д, и дк- коэффициенты ряда Фурье функций fk и дк по системе {\/2sm \кх], Ix(z) и K^(z) - модифицированные функции

Бесселя соответственно первого и третьего рода, - функция Бесселя первого рода.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 3. Если существует решение задачи (14) - (-77), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех к й N

бк(а, ß) = Jx (ptfifl) Kx (Pkßq) + Fi (рюР) Iл. fa?) ф 0. (28)

¿<1 2q ¿q

Если при некоторых а, /3 и к — I нарушено условие (28), т. е. ¿/(а,/?) = 0, то однородная задача (14) - (17) (где /(х) = д(х) = 0) имеет нетривиальное решение

где Xi(x) = С\ cos \[кх + С? sin Л;х + С3, С\. С2, Сз - произвольные постоянные.

При доказательстве единственности решения задачи (14) - (17) используется только полнота системы функций (23) в пространстве ¿2(0,1]- Отметим, что ранее такой метод применялся в работах В.А. Ильина при доказательстве единственности решения первой начально-граничной задачи для уравнений гиперболического типа в цилиндрической области.

Лемма 5. Если выполнено одно ш следующих условий: 1) aq — aq/q -любое натуральное число; 2) ач — п/т - любое дробное число, где п um- взаимно-простые натуральные числа и т ф 4, то существует постоянная Со > 0 такая, что при любом фиксированном ß > 0 и больших к справедлива оценка

Теорема 4. Если функции f(x), g(x) € С2[0,1] и W, .этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную третьего vapadna , /(0) -

/(1), /(0) = /'(1), /"(0) = /"(1), 9(0) = S(l), fl'(O) = g'( 1), „''inl - n'Vn „,toe\ ton\

д"(0) = д"( 1), выполнены условия (28), (29), то существует единственное решение задачи (Ц) ~ (11), и оно представимо в виде суммы ряда (24), где щ(у) I ик(у) , Ук(у) определены соответственно формулами (25) - (27).

Решение нелокальной задачи (14) - (16), (18) построено в виде суммы ряда (24), где

|V*7*(a,/?)|>Co>0,

(29)

где %.(a,ß)=Sk(a,ß)/1±(р^).

Uo(i/) = ао(у ~ ß) + /о, ßo — произвольная постоянная , (30) 14

¡к у/У

щ(у) = '

щ(у) = <

у>0,

2ч

4 (Л2/4)-

у>о,

'л.

1к\/Ч)

(31)

(32)

4 Ы-у)7)< у < О-

Теорема 5. ¿"ми существует решение задачи 2.3.1, то оно единственно с точностью до слагаемого линейной функции по переменной у.

Теорема 6. Если /(х) 6 С2[0,1) и на этом сегменте имеет кусочно -непрерывную производную третьего порядка, выполнены условия /(0) — /(1), /'(0) = /'(1), /"(0) = /'(1), то существует решение задачи (Ц) - (10), (18), которое определяется рядом (24) с точностью до слагаемого линейной функции по переменной у. Коэффициенты этого ряда находятся по формулам (30) - (32).

В задаче 2.3.2 решение также определяется в виде суммы ряда (24), в котором

щ(у) = <РоУ + Ьо, Ьо — произвольная постоянная ку/У

щ(у) ■

ч{у) ■

(РкУя

__/кУ-у^

7к\/У

2/>0,

^ Ы-у)"). у < 0.

(33)

(34)

1±(РкУ"), У> 0,

(35)

^ Ы-у)"). У < о.

Теорема 7. Если существует решение задачи (14) - (10) и (19), то оно единственно с точностью до постоянного слагаемого.

Теорема 8. Если функция <р(х) € С2[0,1], ^(0) = уз(1), </(0) = <р'(1), то существует решение, задачи (14) - (10) и (19), которое определяется рядом (24) с точностью до постоянного слагаемого. Коэффициенты ряда (24) находятся по формулам (3,3) - (35).

В случае задач 2.4.1 и 2.4.2 установлены необходимые и достаточные условия единственности решения с точностью до слагаемого линейной функции. Решения этих задач построены в виде суммы ряда (24), у которого коэффициенты определяются по формулам

МУ) = |

Г к^/У 1±(РМ")

ч(у) -

дкуД-у) ^Ы-уУ)

7ку/у ¡^(рку4) &л/Н0 ¿хЫ^УУ)

щ(у) ■■

^(Рка^х/а

/о -Ьо

, Р

Ьо~9о

2/ < О

У> О,

»<0.

(36)

у + ьо у + ьо

у > 0, У < 0 ,

(37)

(38)

где Ьо - произвольная постоянная.

Установлена справедливость следующих утверждений. Теорема 9. Если существуют решения задач (15) - {11), (20), (21) и (13) - (11), (20), (22), то они единственны с точностью до слагаемого линейной функции по переменной у только тогда, когда при всех к € N

Цк(<*) = * 0

(39)

Лемма 6. Существуют положительные числа а и т € [1,2), и постоянная Со > 0 такие, что при больших к справедлива оценка

\^к(а)\ > С0 > 0. (40)

Теорема 10. Пусть_[(х) € С3[0,1], д(х) € С3[0,1], /^>(0) = /(0(1), <?^'(0) = 1), г = 0,2 и выполнены условия (39), (40). Тогда задачи (15) - (11), (20), (21) и (Щ - (11), (20), (22) разрешимы и решения определяются рядом (24) с точностью до слагаемого линейной функции по переменной у, где коэффициенты щ(у), Ук(у), «о(у) этого ряда находятся соответственно по формулам (36) - (38).

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1) Принципы экстремума для уравнений гиперболического и смешанного эллиптико - гиперболического типов.

2) Теоремы единственности и существования решения краевых задач с нелокальным интегральным условием сопряжения для уравнений смешанного типа с характеристической линией изменения типа в классической области.

3) Классы корректности краевых задач с условиями периодичности для уравнения смешанного типа второго рода (13) в прямоугольной области. В каждом из этих классов в зависимости от параметра т устаноачены теоремы единственности и решения задач построено в виде суммы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соответствующим обоснованием сходимости рядов в указанных классах решений данного уравнения.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям:

д. ф,- м. н., проф. Виктору Филипповичу Волкодавову ; проф., д. ф,-

м. н. Камилю Басировичу Сабитову за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и помощь при выполнении данной работы.

Публикации по теме диссертации

1. Егорова, И.П. Единственность краевой задачи для уравнения смешанного типа со специальным условием сопряжения / И.П. Егорова, H.A. Куликова // Тезисы докладов международной конференции "Дифференц. уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100 - летаю со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г.). Новосибирск. НГУ. - 2007. - С. 144 - 145.

2. Егорова, И. П. Краевая задача для уравнения смешанного типа с условием сопряжения, содержащим производные и интегралы дробного порядка / И.П. Егорова, H.A. Куликова // Математическое моделирование и краевые задачи : Труды IV Всерос. научн. конф. с междунар. участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. СамГТУ. - Самара, 2007. - С. 82 - 83.

3. Егорова, И. П. Задача Дарбу для уравнения Эйлера-Дарбу с равными отрицательными параметрами ,/ И.П. Егорова Ц Труды международной конференции "Дифферен. уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилеям академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (24-28 июня 2008 г., г. Стерлитамак). - Уфа : Гилем, 2008. - Т. II. - С. 94 - 99.

4. Егорова, И. П. Задача типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / И.П> Егорова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №2(61). - С. 69-76.

5- Егорова, И. П. Задача с нелокальным условием сопряжения для уравнения смешанного типа второго рода / И.П. Егорова // Материалы

международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" .посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (30 марта - 02 апреля 2009 г.). Москва: МГУ, 2009. - С.142.

6. Егорова. И. П. Построение решения нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области / И.П. Егорова // Материалы международного Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" и VII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". -Нальчик - Эльбрус, 2009. - С. 276 - 277.

7. Егорова, И. Я. Задача с нелокальным интегральным условием сопряжения для уравнения смешанного типа второго рода / И.П. Егорова Ц Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия "Физико - математические и технические науки",-Уфа: Гилем. - 2009,- Выпуск 6. - С. 29 - 38.

8. Егорова, И. П. Натокальная задача для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области /' И.П. Егорова /',/ Тезисы докладов международной школы-конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100 - летию БашГУ. - Уфа: РИД БашГУ, 2009. - С.14.

9. Егоров а, И. П. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области / И.П. Егорова // Труды докладов международной школы-конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", посвященной 100 - летию БашГУ. - Уфа: РИД БашГУ. Математика. T.I. - 2009. - С.146 - 154.

10. Егорова, И. П. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / И.П. Егорова // Материалы 11-ой всероссийской научно - практической конференции "Интегративный характер современного математического образования", посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова (26 - 28 октября 2009 года). - Самара: ПГСГА, 2009. - С. 10 - 16.

11. Егорова, И.П. Задача с условиями периодичности для уравнения / смешанного типа с характеристическим вырождением / И.П. Егорова //

Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2009. - №8(74). - С. 15 - 27.

Подписано в печать 04.05.10. Формат 60 х 84/16 Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объем - 1,0 усл. п. л. Заказ № 01. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии «Инсома-пресс» ул. Сов. Армии, 217, р. тел. 926-07-51

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Егорова, Ирина Петровна

Введение.

Глава 1. Задачи с нелокальным условием сопряжения для уравнения смешанного типа второго рода.

§ 1.1. Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на характеристике.

§ 1.2. Краевая задача с нелокальным условием сопряжения с данным на нехарактеристической линии.

Глава 2. Задачи с нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного типа второго рода.

§ 2.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа, удовлетворяющих условиям периодичности.

§ 2.2. Задача с условиями периодичности при 0 < т < 1.

§ 2.3. Нелокальные задачи с неполными граничными данными при 1 < т < 2.

§ 2.4. Нелокальные задачи с весовым условием сопряжения при 1 < т < 2.

Введение диссертация по математике, на тему "Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода"

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа, что объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и наличием их практических приложений в газовой динамике трансзвуковых течений [70], [75], [15], [34], магнитной гидродинамике [24], в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [3], в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.

Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были изложены в известных работах Ф. Трикоми [67], С. Геллерстедта [77], [78], К. И. Бабенко [1], [2], Ф.И. Франкля [70], [71], М.А. Лаврентьева [32], А. В. Бицадзе [8], [9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики [28], [31].

A.B. Бицадзе [32], [6] впервые сформулировал принцип экстремума для уравнения Лаврентьева иХх + (sgny)uyy — 0. (0.1)

Позднее он был доказан для других уравнений смешанного типа [2], [76], [43], [44], [14], [60], [62], [50].

Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появились новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе [8], A.A. Самарского [59], М.М. Смирнова [62], Ю.М. Крикунова [30], В.Ф. Волкодавова [14], С.П. Пулькина [43] - [45], К.Б. Сабитова [49] - [51], А.И. Кожанова [25], В.И. Жегалова [18], [19], A.M. Нахушева [39], [40], Е.И. Моисеева [35], P.C. Хайруллина [72] - [74], A.M. Ежова [17], М.Е. Лернера [33], O.A. Репина [33], [47], А.П. Солдатова [63], [64], Л.С. Пулькиной [46], J.R. Cannon [79], D. Dunninger [80], [81] и других математиков.

Остановимся на работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации, посвященной обоснованию корректной постановки нелокальных задач для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением.

В работе [22] И.Л. Кароль представил одно из первых исследований для уравнения смешанного типа второго рода ихх + (8дпу)\у\тиуу = 0, т > 0, (0.2) в области С, ограниченной простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках 0(0,0) и Л(1,0), и характеристиками ОС и АС уравнения (0.2), расположенными в полуплоскости у < 0. Он доказал существование и единственность решения задачи Трикоми (задача Т) при 0 < т < 1 в случае, когда граница Г эллиптической части смешанной области С? совпадает с так называемой "нормальной"кривой Го:

Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе [53] К.Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Т для уравнения (0.2) при любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < m < 1. В работах [54, 55] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.2) при m > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения xmuxx-\-(sgny)uyy — 0 при всех га > 0.

Ф.И. Франкль свел прямую задачу теории сопла Л аваля к новой задаче для уравнения (0.2) с показателем m = 1/2, где на линии перехода вместо классического условия непрерывности гл2/(ж, 0-Ь0) = -^(ж, 0—0), 0 < х < 1, ввел требование разрывности щ(х, 0 + 0) = — иу(х, 0 — 0), 0<ж<1.

И.Л. Кароль исследовал также уравнение смешанного типа второго рода

Lu = ихх + уиуу + аиу = 0, а = const, (0-3) в области аналогичной G. При 0 < а < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии изменения типа вместо обычного требования непрерывности производной по нормали: иу(х, +0) = иу(х, — 0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом lim {—y)auv = lim yauv, 0 < x < 1. у->0—0 yJ У y->0+0

Когда а < 0 при условии существования равенства ихх{х, 0) + аиу(х, 0) = 0, 0 < х < 1, им доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле.

Задача Т для уравнения (0.3) при а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по - иному. С.С. Исамухамедов [21] для уравнения (0.3) в области G при а = —п + ао> |<ао<1, п — 1,2,., поставил задачу Т со следующими условиями склеивания: и(х,+0) = и(х,-0) = т(х), 0<х<1, г\

Дт {-yf[uy + ¿¿H] = (—l)k]im^(—y)a—[u - А~{т)} = и(х), 0 < * < 1, где

JV*(-y)fc Л

Г^ J о

Л~(г) = 2J Ы-уУ I r2k(z)(t( 1 - t))k+a^di, к—0

П f)2kii кы = Е ^=ж - 1 -к=1 Х

Nk(k = 0,n), Mk{k — 1,п) - определенные постоянные.

Ю.М. Крикуновым [29], [30] изучен случай ао = 1/2 для некоторых специальных областей.

Хайруллин P.C. [72] для уравнения (0.3) в случае а < —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В другой работе [73] в области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.3), им показана фредгольмовость задачи Трикоми при тех же а < —1/2.

В последние годы жизни В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа, для которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова, О.Ю. Наумова [11], где решена краевая задача для уравнения ихх + иуу = 0, у > О, иху = 0, у < О, в области ÇI, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А(0,0), 5(1,0) и отрезками прямых АС (х + у — 0) и С В (ж = 1) в полуплоскости у < 0, с условиями: и(х, у) G C(fi), V{u) = 0 на Î2+ U и\г = (p(s), s g [o, Z], и\св — g{y), y e [-1, o],

H+(x) = b{x)H(x), X e (0,1), где ip(s),g(y),b(x) - заданные функции, I - длина кривой Г, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки 1?(1,0), рх

Н+(х) = (х- t)-pux(t, 0 )dt, 0<р<1, х G [0,1],

J о lim [ (х- t)~xu(x, -t)dt, 0 < A < 1, Q П y > 0, = ft П y < 0.

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой [42] для уравнения смешанного типа р. J Uxx ^уу

А и, у > 0, иху + Агг, А = const, у < 0.

Е.А. Баровой [4] исследованы краевые задачи с сопряжением производной по нормали с дробной производной для двух классов уравнений смешанного типа

Lu = и ихх 4- иуу = 0, у > 0, иху + Я. [In а (ж)]' иу = 0, q > 0, а(ж) >0, у < 0, Р

ILxx tLyy ~Их ~ 0, 0<р<1, у> 0,

Ьи= { р 1Х иху + 2 х~+у + = У <

С аналогичными условиями сопряжения изучены краевые задачи О.В. Фадеевой [69] для уравнения смешанного типа с двумя линиями сингулярности

Uxx + Щу H--ux Н--Uy = 0, у > 0, 0 < 2р < 1, х у 2 р , ч иХу--2 2 \Уих - = 0> У < 0,0 < 2q < 1.

2р

Lu = х

2 р У

Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после известных работ Ф.И.Франкля [70], [71], в которых впервые обращено внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для линейных уравнений смешанного типа.

На некорректность задачи Дирихле для уравнения (0.1) в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0<х+у<х— у < 1, впервые обратил внимание А.В Бицадзе [10]. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенный между 7 и у = 0.

Результат А.В Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

В работе J.R. Cannon [79] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в прямоугольных областях обладающих специальными свойствами.

Нахушев A.M. [41] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.

В работах А.П. Солдатова [63, 64] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

Е.И.Моисеев [36] исследовал нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения

Утихх + иуу = 0, т > —2, 0 < х < 1, у > 0, с данными: и{0,у) =и{1,у),их{0,у) = 0, у> 0, u(x,0) = f(x), 0<х<1, в предположении, что и(х, у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

В работе Сабитова К.Б. [57] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода sgny)\y\muxx + umj-b2{sgny)\y\mu = 0 , т > О, Ь > О, (0.4) в прямоугольной области D = {(ж, ?/)|0 < х < 1, —а < у < ß}, а, ß - заданные действительные числа. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

К.Б. Сабитовым и А.Х. Трегубовой (Сулеймановой) [56], [66] для уравнения смешанного типа второго рода ихх + (sgny)\y\mUyy — Ь2и = 0, 0 < га < 2, b = const > 0, исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения.

М.Е. Лернером и O.A. Репиным в работе [33] для уравнения смешанного типа sgny)\y\muxx + иуу = 0, т> 0, в области, эллиптическая часть которой есть полуполоса {0 < х < 1, у > 0}, а гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) - и(1,у) = (р!(у),их(0,у) - их(1, у) = ip2(y), У > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума,-существование - методами интегральных преобразований и уравнений.

В работе Сабитова К.Б. и Сидоренко О.Г. [58] рассмотрена краевая задача с условиями периодичности для уравнения (0.4) в прямоугольной области D. Методом спектральных разложений установлен критерий единственности решения. При этом решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи.

Общая методика исследования. В первой главе широко используются аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: методы Римана, Римана - Адамара и Грина , принцип экстремума, методы теории интегральных уравнений. Во второй главе при доказательстве единственности и существования решения нелокальных задач для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области использован метод спектрального анализа и теория специальных функций.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы, которая состоит из введения и двух глав.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Егорова, Ирина Петровна, Самара

1. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 2 (54). - С. 160.

2. Бабенко, К. И. О приципе максимума для уравнения Эйлера-Дарбу / К.И. Бабенко //ДАН СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777 - 782.

3. Бакиевич, Н. И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения / Н.И. Бакиевич // Успехи матем. наук. -1960. Т. 15. Вып. 1(91). С. 171-176.

4. Барова, Е. А. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения / Е.А. Барова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань:КГУ, 2007. - 16 с.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.

6. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах смешанного типа / A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. Т. 70, №4. С. 561-564.

7. Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / A.B. Бицадзе // М.: Наука, 1966. 204 с.

8. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе // М.: Изд. во АН СССР, 1959. - 164 с.

9. Бицадзе, А. В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задая / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // ДАН СССР. 1969. Т.185. -Ш. - С. 739 - 740.

10. Бицадзе, A.B. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа / A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1953. - Т. 122. -№ 2. - С. 167 - 170.

11. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида / Неклассические уравненияматематической физики // В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов. -Новосибирск: Изд во Института математики СО РАН, 2002. - С.41 -49.

12. Волкодавов, В. Ф. Метод Римана Адамара для уравнения Эйлера -Дарбу и его применение / В.Ф. Волкодавов, В.Е. Жуков. - Самара.: СГПУ. - 2002. - 32с.

13. Волкодавов, В. Ф. Таблицы некоторых функций Римана, интегралов и рядов / В.Ф. Волкодавов и др.]. Куйбышев.: КГПИ. - 1982. - 52с.

14. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс. . доктора физ.-мат. наук. -Куйбышев, 1968. - 187с.

15. Гудерлей, Г. Теория околозвуковых течений / Г. Гудерлей // М.: ИЛ.- 1960. 421 с.

16. Гушин, А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений второго порядка / А.К. Гушин, В.Г. Михайлов // Матем. сборник. 1994. Т. 185. - №1. - С.121 - 160.

17. Еэюов, A.M. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа / A.M. Ежов, С.П. Пулькин // ДАН СССР, 1970. Т. 193. - №5. - С.978 - 980.

18. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Учёные записки. Казань: 1962. - Т. 122. - № 3.- С. 3 16.

19. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. - 1985. - С. 168 - 172.

20. Ильин, В.А. Единственность и принадлежность W\ классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В.А. Ильин //Мат. заметки. 1975. - Т. 17. - № 1. - С. 91- 101.

21. Исамухамедов, С. С. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения смешанного типа втрого рода / С.С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физико-мат. наук. 1974. - №1. - С. 9 - 15.

22. Каролъ, И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода / И.Л. Кароль // ДАН СССР. 1953. - Т. 88. - №2. - С. 197 - 200.

23. Каролъ, И.Л. Краевые задачи для уравнений смешанного эллиптикогиперболического типа /И.Л. Кароль // ДАН СССР. 1955. - Т. 101. - №5. - С. 793 - 796.

24. Коган, М. М. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа / М.М. Коган // Прикл. матем. и мех. 1961. Т. 25, №1. - С. 132-137.

25. Кожанов, А. И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Дифференциальные уравнения.- 1989. Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

26. Корэюавина М. В. Решение некоторых краевых задач для уравнения S в неограниченных областях. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Куйбышев: КГПИ, 1978. 122 с.

27. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области /М.В. Кельдыш // ДАН СССР. 1951. - Т. 77. - № 2. - С. 181 - 184.

28. Коул, Дж. Трансзвуковая аэродинамика / Дж. Коул, Л.Кук. М.: Мир. - 1989. - 360 с.

29. Крикунов, Ю.М. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения ихх уиуу -I- ( —п + 2)иу = 0 /Ю.М. Крикунов // Известия вузов. Математика. 1979. - №9. - С. 21 - 28.

30. Крикунов, Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд - во Казанского государственного университета, 1968. - 148 с.

31. Кузьмин, А. Г. Модифицированная задача Франкля Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А. Г. Кузьмин // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т.40. -№10. - С. 1379 -1384.

32. Лаврентьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, A.B. Вицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, №3. - С. 373 - 376.

33. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, O.A. РенинСибирский математический журнал 1999. Т. 40, №6. - С. 1260 -1275.

34. Мизес, Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости / Р.Мизес. М.:ИЛ. - 1961. - 588 с.

35. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. — М.: МГУ, 1988. — 150 с.

36. Моисеев, Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. - №8. - С. 1094 - 1100.

37. Моисеев, Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. - №11.- С. 1565 1567.

38. Мухлисов, Ф.Г. Решение краевых задач вырождающегося эллиптического уравнения второго рода / Ф.Г. Мухлисов, А.М.Нигмедзянова// Известия вузов. Математика. 2009. - № 8. - С. 57-71.

39. Нахушев, A.M. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения 2001- Т.37. №11. - С. 44-53.

40. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев // М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

41. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. -С. 190 - 191.

42. Плотникова Ю. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Автореферат. . канд. физ.-мат. наук Стерлитамак: СГПА, 200514 с.

43. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева -Бицадзе / С.П. Пулькин // ДАН СССР 1958. - Т.118. - №1. - С.214- 225.

44. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта / С.П. Пулькин // Известия вузов. Математика. 1960.- №6(19). С.38 - 41.

45. Пулъкин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу + ^их = 0 / С.П. Пулькип // Ученые записки КГПИ. Куйбышев. -1958. - Выпуск21. - С. 3 - 41.

46. Пулькина, Я. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №12. С. 887 - 892.

47. Репин, О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / O.A. Репин // Докл. РАН. 1999. - Т.365. - №5. - С.593 - 595.

48. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К.Б. Сабитов // Учебное пособие для вузов. М.:Высшая школа, 2003. - 255с.

49. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. -1990. Т.26. -№6. С. 1023 - 1032.

50. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. -1988. Т.24. - №11.- С. 70 -80.

51. Сабитов К. Б. Задачи Коши Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения / К.Б. Сабитов, Г.Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. - 2003. -№5. С. 21 - 29.

52. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения. М.: Высшая школа, 2005. - 671 с.

53. Сабитов, К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка на границе бесконечной области / К.Б. Сабитов // Сибирский математический журнал. 1980. - Т. 21.- т. С. 146 150.

54. Сабитов, К. Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20. - №2. - С. 333 - 337.

55. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной обласи / К.Б. Сабитов, А.Х. Сулейманова // Известия вузов. Математика. 2007. - №4. - С.45 -53.

56. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // ДАН. 2007. - Т. 413. № 1. - С. 23 -26.

57. Сабитов К. Б. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т.46. -№1. - С. 105 - 113.

58. Самарский А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1980. Т. 16. - № 11. - С. 1925 - 1935.

59. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов // М.: Наука, 1970. 296 с.

60. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

61. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. / М.М. Смирнов // М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

62. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. 1993.- Т. 332. № 6. - С. 696 - 698.

63. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. 1993.- Т. 333. № 1. - С. 16 - 18.

64. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1962. 724 с.

65. Трегубова (Сулейманова), А.Х. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением. Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / А.Х. Трегубова (Сулейманова) . - Казань. 2009. - 18 с.

66. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1947. 192 с.

67. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1962. 351 с.

68. Фадеева, О. В. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения. Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / О.В. Фадеева. - Стерлитамак. 2007. -16 с.

69. Франклъ, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. №2. С. 121-142.

70. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль // М.: Наука, 1973. 711 с.

71. Хайруллин, P.C. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае нормальной области / P.C. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. - №8. - С. 1396 - 1407.

72. Хайруллин, P.C. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода /P.C. Хайруллин // Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35. - №4. - С. 927 - 936.

73. Хайруллин, Р. С. Задача Трикоми в классе функций, неограниченных на характеристике / P.C. Хайруллин, Г.Н. Аглямзянова // Известия вузов. Математика. 2004. - №4. - С. 3 - 7.

74. Чаплыгин, С. А. О газовых струях / С.А. Чаплыгин // М.-Л.: ГИТА, 1949. 144 с.

75. Agmon, S. A maximum principia for a class of hyperbolic equationsd and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Communs Pure and Apple. Math. - 1953. VolVI. - №. - P. 455 - 470.

76. Gellerstedt, S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux derives particielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt // These, Uppsala, 1935. 92 с.

77. Gellerstedt, S. Sur une equation lineaire aux derives particielles de type mixte / S. Gellerstedt // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25A.29. P. 1-23.

78. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. 1963.- V. 62. P. 371 - 377.

79. Dunninger, D. The condition for uniquencess of solution of the Dirichlet problrm for the wave equation in coordinate rectanglrs / D. Dunninger, E. Zachmanoglou //J. Math. Anal, and Appl. 1967. - V. 20. - № 1. - P. 17- 21.

80. Dunninger, D. The condition for hyperbolic equtions in cylindrical domains / D. Dunninger, E. Zachmanoglou // J. Math, and Mech. 1969. - V. 18. - № 8. - P. 763 - 766.

81. Егорова, И. П. Задача типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / И.П. Егорова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2008. №2(61). - С. 69-76.

82. Егорова, И. П. Задача с условиями периодичности для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / И.П. Егорова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2009. №8(74). - С. 15 - 27.