Разностные методы решения нелокальных краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса с детерминированными и случайными данными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА.

1.1. Существование и единственность решения краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальным граничным условием.

1.2. Нелокальная краевая задача для модифицированного уравнения влагопереноса. априорная оценка.

1.3. Краевая задача для псевдопараболического уравнения с нелокальным условием = + .■■■•

1.4. Краевая задача для псевдопараболического уравнения в дивергентной форме. Априорная оценка.

1.5. Метод Ротэ решения нелокальных краевых задач для уравнения влагопереноса.

1.6. Сходимость метода Ротэ.

Глэвз

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ.

2.1. Построение разностных схем для краевых задач с нелокальным условием.

2.2. Устойчивость и сходимость разностных схем.

2.3. Разностные схемы для краевых задач с нелокальным условием.

2.4. Решения сеточных уравнений, возникающих при разностной аппроксимации нелокальных задач.

2.4.1. Метод итерации.

2.4.2. Об одном варианте метода циклической прогонки решения краевых задач с нелокальными граничными условиями.

Глава

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО

УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Определение математического ожидания решения уравнения Аллера.

3.3. Определение среднеквадратического отклонения решения модифицированного уравнения Аллера.

3.4. Алгоритм численного определения корреляционной функции решения уравнения Аллера. Контрольный пример.

При изучении процесса фильтрации жидкости в пористых средах [6], [17], [18], влагопереноса в почве [68], [66] приходим к нелокальным задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. К первым работам по нелокальным (неклассическим) задачам следует отнести работы Камынина Л. И. [25], [26]. Появление работы [7] способствовало развитию исследований в этом направлении.

Различные классы нелокальных задач для параболических уравнений изучались в работах Самарского А. А. [42], Ионкина Н. И., [23], Ионкина Н. И., Моисеева Е. Н. [24], Ильина В. А., Моисеева Е. И. [21], Шополова [53] и др.

В работе [66] Чудновский А.Ф. подверг критике классические формулировки граничных условий к теории влагопереноса. "О влажности почвы, в отличие от температурного хода, можно говорить только отнеся ее к некоторому слою. Последний может быть достаточно тонким, но не бесконечно тонким", -отмечает Чудновский А. Ф. в работе [66]. В этой работе предлагается в качестве нового граничного условия на верхнем слое нелокальное условие где IV - влажность почвы в долях единицы, а - глубина активного слоя почвы, В - коэффициент диффузивности.

Следует отметить, что задачи, возникающие в биологии, как правило, нелокальные. Как показано в [12] плотность численности популяции и(х,1) удовлетворяет уравнению и(+их- /г(х,0> 0<х<£, ^ > О, с дополнительным условием вида а

0.1) w

0 ,t)= jc(x,t)u(x,t)dx,

0.2) 0 где с(х,г) - коэффициент рождаемости, а само условие (0.2) называется законом рождаемости.

Нелокальное условие вида (0.2) возникает также при математическом моделировании процесса очистки кремниевых плит от примеси, а также в теории соле- и влагопереноса [32].

В работах [25], [26] рассматривается краевая задача для параболических уравнений 2-го порядка общего вида с неклассическими граничными условиями вида где xi(t), X2(t), E(t) - известные функции.

Задачи с условиями типа (0.3) возникают в теории тепломассопереноса.

В работе Самарского А. А. [42] рассмотрены нелокальные условия общего вида ахи{ 0, t) + а2и{1, t) + аъих (0, t) + а^их (£, t) = (рх (t), [Ди(0,0 + ß2u(£,t) + Аз"* (0,0 + ß4ux(£,t) = <p2{t).

В работах [21], [22] для обыкновенных дифференциальных уравнений изучены нелокальные условия вида

0.3) т и(1 ) =

0.4) т

П(1) = 2ХП(£д

0.5) к=\

П(х) = -к(х)--поток через сечение х. dx t,k - фиксированные точки интервала (0,1), такие, что 0 < <. < <1.

Здесь же получены априорные оценки в нормах С,Я^2\Ж22. В работе [23] построена равномерно сходящая схема для решения задачи

Щ ="«+/(*> О» о,о = о, Ых(о,0 = ",(1,0, ы(х, 0) = <р(х).

В работах [2] - [4], [61] изучены нелокальные задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с условиями вида (0.3), (0.5).

Гордезиани Д. Г. в работах [14] - [16] использовал для решения нелокальных задач иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью метода итерации. В работе [33] указано на связь нелокальных задач с локальными задачами для нагруженных уравнений [19].

В диссертации исследуются некоторые нелокальные краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса (уравнения Аллера) дм д дt дх дх д3м> дх2д( 0 0<х<£, 0 <г<Т, (0.6) где Б - коэффициент диффузивности, А - коэффициент Аллера.

В работе получены априорные оценки в норме И/2'(0,£) в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следует сходимость разностных схем в сеточной норме на временном слое.

Так как задачи с нелокальными условиями для уравнения (0.6) порождают несамосопряженную задачу, а соответствующие операторы не являются знакоопределенными, то общая теория устойчивости Самарского А. А. к таким задачам неприменима.

Вопрос определения вероятностно-статистических свойств решения уравнения Аллера заслуживает отдельного изучения. Наблюдения показывают, что исходная информация, используемая в модели Аллера, не является детер6 минированной, а носит вероятностный характер [52]. Другими словами, функции, входящие в граничные и начальные условия правой части уравнения, являются случайными и коррелированными. Это значит, что отклонение одной из них от среднего значения (математического ожидания) немедленно приводит к изменению другой. Изложенное обстоятельство делает необходимым искать решение задачи Аллера методами корреляционной теории случайных процессов. Подобный подход к прогнозированию уровня грунтовых вод в стохастических условиях впервые изучался в работе [30].

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказаны теоремы существования и единственности решения нелокальных задач типа (0.1)-(0.2) для модифицированного уравнения Аллера (0.6). Для рассмотренных нелокальных задач получены априорные оценки в норме

2. Доказана сходимость метода Ротэ в норме Ж^(0,£) на слое.

3. Построены разностные схемы второго порядка точности по к и т, где к, т - шаги сетки по пространственной и временной координате, получены при малом шаге по времени г < т0 априорные оценки для решения разностных задач в норме (V21(0,£) на слое. Откуда следует сходимость разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью о(/?2 +т2\

4. Построена и исследована стохастическая модель для модифицированного уравнения Аллера. В рамках корреляционной теории случайных процессов составлен алгоритм определения математического ожидания и среднеквадрати-ческого отклонения решения указанного уравнения.

5. На основе метода конечных разностей и метода прогонки предложен алгоритм численной реализации стохастической задачи, приведены расчеты.

Перейдем теперь к более подробному изложению диссертации, состоящей из трех взаимосвязанных глав.

1. Абрамов A.A., Андреев В.Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений// ЖВМиМФ, 3, №2, 1963. С. 377-381.

2. Абрегов М.Х. Об однозначной разрешимости одной нелокальной задачи для уравнения третьего порядка // В сб. "Нелинейные краевые задачи матем. физики". Институт математики HAH Украины. Киев, 1990. С. 5-6.

3. Абрегов М.Х. Об одной нелокальной задаче типа Бицадзе-Самарского для уравнения третьего порядка // В сб. Методы матем. моделирования и вы-числ. эксперементы в системах автоматизированного проектирования и планирования. Нальчик, 1989. С. 24-30.

4. Абрегов М.Х., Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи для модифицированного уравнения влаго-переноса. Там же. С.4-6.

5. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем с расщепляющим оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболических уравнений// ЖВМиМФ, 1969, т.9, №2. С.337-349.

6. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах// ПММ, 1960, 25, вып. 5. С. 852-864.

7. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обощениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969, 4. С.739-740.

8. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., 1965. 279 с.

9. Бондаренко Н.Ф. и др. Расчетные методы прогноза водного режима и его регулирование // В сб. "Физика, химия, биология и минералогия почв СССР", М., 1964.

10. Бэр Я., Заславский Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации вод. М.: Мир, 1971.

11. Воеводин А.Ф., Шугрин Ц.М. Численные методы расчетов одномерных систем. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1981, 208 с.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

13. Годунов С.К., Рябеньский B.C. Теория разностных схем. М.: Наука, 1973.

14. Гордезиани Д.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач // Препринт института прикл. математики им. И.Н.Венуи. Тбилиси, 1981.

15. Гордезиани Д.Г. О разностных схемах для решения одного класса нелокальных краевых задач// В сб. "Нелокальные задачи и их приложения к моделированию сложных систем". Нальчик, 1986. С. 112-113.

16. Гордезиани Д.Г. Об одном методе решения краевой задачи типа Бицадзе-Самарского// Семинар института прикл. математики, аннотации докладов, 1970. С. 39-41.

17. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР, 1972, т. 202, №5. С. 1031-1033.

18. Дзекцер Е.С. Уравнение движения грунтовых вод со свободной границей в многослойных средах // ДАН СССР, 1975, т. 220, №3. С. 540-543.

19. Дикинов Х.Ж., Керефов A.A., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // ДУ, 1976, 12, №1. С. 177-179.

20. Зальцберг Э. А. Статистические методы прогноза естественного режима уровня грунтовых вод. JL: Недра, 1976.

21. Ильин В.А. Моисеев Е.И. Нелокальная задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // ДАН СССР, 1986, т. 291, №3. С. 534-539.

22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения, 1987, №8. С. 14221431.

23. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // ДУ, 1977, т. 13, №2. С. 294-304.

24. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // ДУ, 1979, т.15, №7. С. 1284-1295.

25. Камынин Л.И. Метод тепловых потенциалов для параболического уравнения с разрывными коэффициентами/ / Сиб. матем. ж., 1963, т.4, №5. С. 10711105.

26. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями // ЖВМиМФ, 1964, т.4, №6. С. 1006-1024.

27. Кожанов А.Н. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка// ДАН СССР, 1979, т. 249, 3. С. 536-540.

28. Кожанов А.Н. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка//ДУ, 1980, 16, №1. С. 86-92.

29. Кулик В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инва-риантости относительно непрерывных групп преобразований // В сб. "Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух". Л.: Наука, 1972.

30. Культербаев Х.П., Шхануков М.Х. Прогноз уровня грунтовых вод в стохастических условиях // Отчет о НИР по теме "Прогнозирование уровенного и солевого режимов грунтовых вод в почво-грунтах", книга 5, КБГУ, 1977. С. 113

31. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

32. Муравей JI.A., Филиновский А.Ф. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения // Матем. сб., 1991, №10. С. 1479-1512.

33. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения // ДУ, 1983, т. 19, №1. С. 86-94.

34. Нерпин с. В., Юзефович Г. И. О расчете нестационарного движения влаги в почве // Докл. ВАСХНИЛ, № 6, 1966.

35. Николаенко Н. А. Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. 368 с.

36. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз, 1962. 351 с.

37. Понтрягин J1.A., Андронов A.JL, Витт А. О статистическом рассмотрении динамических систем // "Журнал экспериментальной и теоретической физики", т. 3, вып. 3, 1933.

38. Роде А. А. Основы учения о почвенной влаге. JL: Гидрометеоиздат, 1965.

39. Романенко А. Ф., Сергеев Г. А. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов. М.: Энергия, 1974. 176 с.

40. Ромм Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. Недра, 1966.

41. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

42. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений//ДУ, 1980, т.16, №11. С. 1925-1935.

43. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 736 с.

44. Самарский A.A., Гулин В.А. Теория устойчивости разностных схем. М.: Наука, 1978.

45. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 591 с.

46. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. Изд. 2-е доп. М.: Наука, 1968. 463 с.

47. Случайные колебания. Под ред. с. Кренделла (Пер. с англ. под ред. А. А. Первозванского). М.: Мир, 1967. 356 с.

48. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка// ДАН СССР, 1987, т. 297, №3. С. 547-552.

49. Темботова М.М. Модифицированное уравнение влагопереноса в стохастических условиях // Сб. н.т. СОГУ /Серия физико-математические науки, 1999.

50. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. 392 с.

51. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 656 с.

52. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976.

53. Шополов H.H. Некоторые краевые задачи для уравнения теплопроводности// Докл. Болг. АН, 1980, т.ЗЗ, №1. С. 47-50.

54. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Советское радио, 1962. 550 с.

55. Шхануков М.Х. Исследование краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка методом функции Римана // Сообщение АН ГССР, 1983.

56. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка. Доктор, диссертация. Москва: МГУ, 1985.

57. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах// Дифференц. уравнения, 1982, 18, №4. С. 689-699.

58. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнения третьего порядка // ДАН СССР, 1982, т. 265, №6. С. 1327-1330.

59. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка и экстремальные свойства его решений // ДАН СССР, 1982, т. 267, №3. С. 567-570.

60. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа// ДУ, 1977, 13, №1. С. 163-167.

61. Шхануков М.Х., Абрегов М.Х. О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач типа Бицадзе-Самарского // В сб. "Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам". Нальчик, 1989. С. 275-283.

62. Юзефович Г. И., Янгарбер В. А. Исследование нелинейного уравнения вла-гопереноса// Сб. "Труды по агрофизике", вып. 14, "Колос", 1967.

63. Якобе А.И. Расчет годового хода влажности почв и грунтов // Вестник с-х наук, №8, 1961.

64. Янгарбер В. А. Корректность вычислительного метода решения задач вла-гоперноса в почве // Сб. трудов "Математические методы в исследованиях по агрофизике и биологии". Д.: Гидрометиздат, вып. 23, 1969.

65. Янгарбер В.А. О смешанной задаче для моделирования уравнения влагопе-реноса // ЖПМиМФ №1, 1967.

66. Янгарбер В.А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса//Докл. ВАСХНИЛ, №8, 1966.

67. Colton D. Pseudoparobolic equations in One Space Variable. — J. Differential equations., 1972, 12, p. 559-565.

68. Hallaire M. Jeau et la production vegetable. — Institut National de la Recherahe Agronomique, 1964, №9.

69. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations noncylindrical domains. — J. Differential equations, 1978, 28, p. 394-404.

70. Showalter R.E., Ting Т. Pseudoparobolic partial differential equations. — Siam. J. Math. Anal., 1970, 1., p. 1-26.

71. Stecher M., Rundell W. Maximum principles for pseudo parabolic partial differential equations. — J. Math. Anal. Appl., 1977, 57, p. 110-118.

72. Zanckan E. Zur behanlung pseudoparabolisher Differential gleichungen mit functionen theoretischen. "Methoden. "Beitr. Anal.", 1981, 16, p. 96-97.

73. Ошхунов M.M., Шхануков M.X., Темботова M.M. Прогноз уровня напряженно-деформированного состояния упругих систем в стохастических условиях // Тез. XII Международной конф. "Воздействие интесивных потоков энергии на вещество". Терскол, 1997.

74. Темботова М.М. Стохастическая модель одномерного неустановившегося движения грунтовых вод // Сб. н.т. "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Киев: Ин-т математики НАЛ Украины, 1997. С.254-255.

75. Темботова М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Об одной нелокальной задаче, возникающей при математическом моделировании соле- и влагопереноса в почвогрунтах // Доклады АМАН, 1998, т.З, №2. С. 19-22.

76. Темботова М.М. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих нелокальную задачу для модифицированного уравнения влагопереноса // Сб. н.т. III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии", т.З, 1999. С.27-29.

77. Темботова М.М. Определение статистических свойств решения уравнения Аллера // Сб. н.р. КБГУ, Нальчик, 1999. С.22-24.

78. Темботова М.М. Модифицированное уравнение влагопереноса в стохастических условиях // Сб. н.т. СОГУ / Серия физико-математические науки/, 1999.