Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений

Алиханов, Анатолий Алиевич

Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Алиханов, Анатолий Алиевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах иукописи

^О-—

Алиханов Анатолий Алиевич

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

12 [■: о п

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003482895

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математического факультета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кабардино - Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Гулин Алексей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Радченко Владимир Павлович

Ведущая организация: Южный математический институт

Владикавказского научного центра РАН

Защита диссертации состоится 25 ноября 2009 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « Л9 .» октября 2009 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43 доктор физико-математических наук,

профессор / Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме влаги в почвогрунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нагруженным дифференциальным уравнениям и нелокальным задачам для дифференциальных уравнений математической физики.

В работе Нахушева A.M.1 впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики.

К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Cannon J.R.2 и Камынина Л.И.3. После появления работы Бицадзе A.B. и Самарского A.A. , внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Самарского A.A., Иоикина Н.И., Ильина В.А., Моисеева Е.И., Чудиовского А.Ф., Шополова H.H., Гордезиани Д.Г., Нахушева A.M., ШхануковаМ.Х., Керсфова A.A., Митрополь-ского Ю.А., Березовского A.A., Муравей Л.А., Филиновского A.B., Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д., Солдатова А.П., Гулина A.B., Марозовой В.А. и др.

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильнопористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O'Shaughnessy5, S. Mandelbrojt 6. В работах М.А. Bassam, A.Z.Al. Abedeen, H.L. Ai-ora, получены ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка

1Нахуши) А.М. Нагруженные уравнения. Диффсрснц. уравнения. 1983. Т. 19. №5. С. 86-94.

2Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the spccificationof energy. Quart. Appl. Math. 21(1963). Pp. 155-160.

3Камынин JI.A. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с некласспческимп граничными условиями. ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. еб. С. 1006-1024.

4Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач- ДАН СССР. 1969. T.185. с4. С. 739-740.

5 O'Shaughnessy L., Problem 433. Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172-173.

5Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del caicolo delie variazione Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend CI. sei. fis. mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151-156.

посвящены работы Головизнина В.М., Кисилцва В.П., Короткина И.А., Юркова Ю.П.7. Локально - одномерным схемам для уравнения дробного порядка посвящена работа Лафишевой М.М. и Шханукова М.ХА

Цель работы. Постановка и исследование краевых задач для нагруженного уравнения теплопроводности в дифференциальной и разностной трактовках, нелокальных краевых задач типа Бицадзе - Самарского и Самарского - Ион-кина для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами в дифференциальной и разностной трактовках; краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени в дифференциальной и разностной трактовках, сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса. Выполнение основной цели работы потребовало получение аналогов теорем вложения, построение разностного аналога регуляризованной дробной производной порядка а, 0 < а < 1, со вторым порядком аппроксимации.

Методы исследования. В работе используется метод энергетических неравенств и свойства функции Грина при получении априорных оценок для решений рассматриваемых дифференциальных и разностных задач, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегро- дифференцирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Для решений краевых задач нагруженного стационарного и нестационарного уравнения теплопроводности с конвекцией получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следует устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем.

2. Для решений нелокальных краевых задач первого и второго рода (типа Бицадзе-Самарского и Самарского-Ионкина) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках.

3. Для решений краевых задач волнового уравнения с дробной производной по времени получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Построен разностный аналог регуляризованной дробной производной второго порядка аппроксимации.

4. На основе общей теории устойчивости трехслойных разностных схем получены условия сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса (уравнения "быстрой "диффузии). Построены трехслойные факторизованные схемы для двумерной задачи.

'Головизпнн В.М., Кисилев В.П., Коротки« И.А., Юрков Ю.П. Некоторые особенности вьгтслительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии: Препринт 1В11АЕ -2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002.

'Лафншева М.М., Шхануков М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка ЖЕМ и МФ. 2008. Т. 48. .ЧНО. С. 1878-1887.

На защиту выносятся:

1. Доказательство единственности и непрерывной зависимости от правой части и начальных условий решений краевых задач нагруженного стационарного и нестационарного уравнения теплопроводности с конвекцией. Устойчивость и сходимость разностных схем.

2. Доказательство единственности и непрерывной зависимости от входных данных решений нелокальных краевых задач первого и второго рода (типа Бицадзе-Самарского и Самарского-Иопкина) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Устойчивость и сходимость разностных схем.

3. Доказательство единственности и непрерывной зависимости от правой части и начальных условий решений краевых задач волнового уравнения с дробной производной по времени. Устойчивость и сходимость разностных схем.

4. Устойчивость и сходимость разностных схем для обобщенного уравнения переноса.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Является продолжением развития теории нагруженных уравнений и нелокальных краевых задач для стационарного и не стационарного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

Методы исследования могут быть применены для решения широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа. Разностные схемы построенные для рассматриваемых задач могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации представлены в виде докладов:

• на третьей школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2005 г.);

• на второй научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи "(Самара, 2005 г.);

• на третьей международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2000 г.);

• на международной конференции "Анализ и особенности" посвященной 70-ти летиго Владимира Игоревича Арнольда (МИАН, Москва, 2007г.);

• на пятой школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2007 г.);

• на семинарах НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН в 200G-2009 гг. (руковод. - д. ф.-м. п., проф. Нахушев A.M.);

• на семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 200G-2009 гг. (руковод. - д. ф.-м. н., проф. Шхануков-Лафишев М.Х.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[14]. Из них [И] и [12] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 103 страницах и состоит из введения, двух глав, списка литературы, состоящий из 118 наименований.

Основное содержание работы.

Глава 1 посвящена исследованию краевых задач для нагруженного стационарного и нестационарного уравнения теплопроводности, исследованию нелокальных краевых задач первого и второго рода для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

1. Первая краевая задача для стационарного нагруженного уравнения диффузии.

Рассмотрена первая краевая задача

Lu = lx ~ яОФЫ = -ДзО, 0 < ж < 1, (1)

и{0) = и{1) = 0, к{х) > а > 0, q{x) > 0, (2)

где io-фиксированная точка интервала (0,1).

Здесь предполагается, что коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям гладкости, к(х) е CW[0,1], q{x), f{x) s С<2>[0,1], где CW[o, 1]-класс функций, имеющих непрерывные на отрезке [0,1] производные до порядка п включительно.

Для решения задачи (1)-(2) получена априорная оценка

IMkj(<M><Wllo- (3)

Из априорной оценки следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (1)-(2) от входных данных.

На отрезке [0,1] введем равномерную сетку йи — {ж, = Ш,г = 0,1, ...,Л,}1 с шагом /1 = 1/^, 1/,-сеточная функция, заданная на й/,.

Дифференциальной задаче (1)-(2) поставим в соответствие разностную схему второго порядка аппроксимации

Ь\ = {ау,и - = -<РгА = 1,2.....^ - 1, (4)

Уа — Уи — 0, £,-„ <ха< Жг0+1,аг = 1/2, = д(а:»), у»,- = /(я,-). Для решения задачи (4) получен дискретный аналог априорной оценки (3):

1Ы1 < А/|М1о. (5)

Из априорной оценке (5) следует сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи (1)-(2) со скоростью 0(И2).

2. Первая краевая задача для нагруженного стационарного уравнения теплопроводности с конвекцией.

Рассмотрим первую краевую задачу для нагруженного уравнения

+ г(х)—(хо) - q(x)u(х) = -/(ж), 0 < х < 1, (6) ах

u(0) - и(1) = 0, (7)

где жо-фиксированная точка интервала (0,1), к{х) > > 0, 0 < q(x) < ci, |ф)| < с3.

Будем считать, что коэффициенты уравнения (G) удовлетворяют условиям гладкости, к{х) 6 С3[0,1], r(x),q(x),f(x) 6 С2[0,1].

С3 / С2 \

Если выполнено условие 1--1-1— I >0, то для решения задачи (С)

ci V С1/

справедлива априорная оценка

Mwim ^ (8)

Из априорной оценки следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (G)-(7) от входных данных.

Дифференциальной задаче (G)-(7) поставим в соответствие разностную схему второго порядка аппроксимации

rh , \ ( ^¿o+l-^O . x0-xio\

LVi = (ay.U - п -^-+ 2/|io+1 ^ ) ~

Lu =

к(х)

-с^; = -щ,г = 1,2,..., ЛГ — 1,

Уо - Уи = О,

, , ^ ^ Уг+1 - г/г-1 где <ц = Щ = qi, х<0 < х'0 < £¿„+1, у» =-^-

Если выполнено условие сз < с\/2, то справедлива оценка

(9)

1Ы1 < М|М1о- (Ю)

Из априорной оценке (10) следует сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи (6)-(7) со скоростью О {к2).

3. Третья краевая задача для нагруженного стационарного уравнения теплопроводности с конвекцией.

Рассмотрим третью краевую задачу:

ах

к(х)

с£е

(¿и

+ г(х)—(хо) - д{х)и(х) = -/(ж), 0 < х < 1, ах

, ¿и,

йц

-Л(1)—(1) =/%«(!)-Д2,

(И)

где ф) > С1 > 0, > 0, А, А > 0, |г(а:)| < с2, х0 6 (0,1). Поставим в соответствие задаче (И) разностную схему второго порядка аппроксимации.

Ь,1у - (ау±)х + П (у*

хг0+\ ~

+ У° ■

у Т 1.

¿,¿0+1 /г

«ИМ + 0.5/гго (у^^*^ + ) = ~ <12>

+ 0.5/гглт +

= Р2УМ~

где & = Д + 0.5/гдо, /32 = /32 + 0.5%/, Д1 = /¿1 + 0.5/г/о, = № + 0.5/г/лг,

№+1 - . , ?Уо = - Г; < Тп < Т,- , ,

ьх,г0 2к ~ ~!о+1'

du _ д dt дх

k{x,t)fx

Если выполнено условие 1 - 2М2сз > 0, где М2 = ^ (jt cï) / (ß~+ ъ)' ßi > /3* > 0, то для решения задачи (12) справедлива априорная оценка

Ш\с<мМс, М> о.

Откуда следует сходимость разностной схемы в равномерной метрике со скоростью О (h2).

4. Первая краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с конвекцией.

Рассмотрим первую краевую задачу

ôxi

+ r(x,t)—(x0,t)-q(x,t)u+f(x,t), 0 <х <1,0 <t<T, ох

(13)

u(0, i) = u(l,t) = 0, 0<i<T, (14)

U(X,Q) = uq(X), 0<X<1, (15)

где k(x,t) > ci > 0, |r|, |g|, |gx|, Ifcl, \kx\, \k„\ < C2, - фиксированная точка (0,1).

Для решения задачи (13)-(15) справедлива априорная оценка

1|и»11о + 1Ы12,Qr < M(t) (\\f\\lQr + |К(1)||^(011)) , (16)

где |Н1Дг = ilMßdr, M(t)> 0. о

Из априорной оценки (1С) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (13) - (15) от входных данных.

В Qt введем сетку = щ х ыт, йд = {a/j = ih, г = 0,1,..., JV}, Qr = {tj = jrj = 0,1, ...,io} с шагами h = 1/N, т = T/j0.

Дифференциальной задаче (13)-(15) поставим в соответствие разностную задачу

yt = 0.5 Л(у + у) + у, Уо = Vn = 0, у(х, 0) = ий{х),

где Ау = (a(t)yî)x + r(t) + ~ d(ï)y, У = У*1,

У ~ У3, Ч> - f(x,ï),t = ij+1/2, Vt = (y-y)/r, y°x i - (yi+i-yi-i)/2h. Справедлива

Теорема 1. Пусть выполнены условия a(t) > Ci > О, |r|, |d|, |ах(£)| < Сг. Тогда при всех т < го(сь С2) справедлива априорная оценка

Нг4+1]1о + HU W&1 + ^ м (ZU НЛ1" + l^llo) • (1?)

где М > о - не зависит от h и т.

Из оценки (17) следует сходимость решения разностной задачи (17) со скоростью 0(h2 + г2) в сеточной норме \\у\Ц = ||i4+1]lo + £ ||?4х+1 + vLWlr на

у=о

слое.

5. Нелокальная краевая задача первого рода.

В прямоугольнике Qr = {(a,-,í) : 0 < х < 1,0 < t < Т} будем изучать краевую задачу

¥ = J¿(fc(!C,í)Í0 ~9{x,t)u + f{x,t), 0 <х<1, 0 <í<t, (18) идо, t) = 0, и{1, t) = q(í)u(0, f), 0 < t < Т, (19)

и{х, 0) = uq{X), 0 <х<1, (20)

где 0 < ci < k{x,t) < од, q{x,t) > 0, \kx(x, í)|, \kt{x, í)|, q(x,t) < c3, всюду на

Qt, |ot(í)l < <*Q.

В дальнейшем будем предполагать существование решения и(х, t) е Ci,3(Qr) задачи (18)-(20); k(x,t) € Сзд(0г); q{x,t) и /(x,í) е C2'°{QT); a(i) 6 С[0,Т]. Для решения задачи (18)-(20) справедлива априорная оценка

MlQt<M(\\f\\lQt + \\u0(x)\\l). (21)

Из априорной оценки (21) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (18) - (20) от входных данных.

Дифференциальную задачу (18)-(20) заменим разностной схемой

yt = 0.5ЛУ + (р, i = 1,2,...,TV - 1, j = 1,2.....jo-1, (22)

Vt,o — — 0.5g(0, t)Yo + /(0, t), YN = a(t)Y0, (23)

y(x,0) = u0(:c), ie¡üh (24)

ГДеу1 = {у -у)/т, У = у + у, у = уЗ+\ Ау = (аух)х - ¿у, у? =/(я,*), й = q(x, Г), а.{ = к(Хг-1/2, 4 = ¿¿+1/2- Справедлива

Теорема 2. Если выполнены условия 0 < с\ < к{х,Ь) < сц, д(х^) > О, \кх(х,г)\, д(ж,< сз, всюду на ¿¿т, |а(<)| < ао> ^о при т < т0 для решения у(х^) разностной задачи (22)-(24) справедлива априорная оценка

± |[/+1 + /]1о2- <м[± |ИВг + 1Ы*)||02 , (25)

/=о у'=о /

где М > О - известное число не зависящее от Кит.

Из оценки (25) следует устойчивость и сходимЪсть разностной схемы (22) -

(24) к решению дифференциальной задачи (18) - (20) со скоростью 0(Д2 + г2) / • •/ ., \ 1/2 в смысле нормы \\у|| = (£у=о |[у3 +1 + у1 ]\1т) .

6. Нелокальная краевая задача второго рода.

Рассмотрим краевую задачу

^ = + 0<х<1, О <Ь<Т, (26)

и(о, г) = о, их{1,г) = а(*К(о,¿), о < г < т, (27)

и(а;,0) = и0(я), 0 < х < I, (28)

Для решения задачи (26)-(28) справедлива априорная оценка

11«11о + КИвд < м (||/|ЦЛ( + 1М*)И^(о,о) , (29)

Из априорной оценки (29) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (26)-(28) от входных данных.

Дифференциальной задаче (26)-(28) поставим в соответствие разностную схему

2Л = 0.5ЛУ - ОЫУ + <р, г = 1,2,..., N — 1, з = 1,2, ...,л>, (30)

г/о = 0, = — (а(4) + -¿щ-) Гх,о - - ^щ-) У^ -

- 0.5д(№ + ЯМ") + /(0Л (31)

у(х,0) = и0(х), хеши, (32)

где Ау = (ауц)х.

Разностная схема (30)-(32) имеет порядок аппроксимации 0(112 + т2). Справедлива

Теорема 3. Если выполнены условия 0 < с\ < к(х, £) < с%, д(х, £) > О, \кх(х^)\, \к((х,1)\, < сз, всюду на Qт) |а(£)1 — ао> к = 0(т), то при

т < го для решения у{х,Ь) разностной задачи (30)-(32) справедлива априорная оценка

У=о \/=0 )

где М > 0 - известная постоянная не зависящая от Н и т.

Глава 2 посвящена исследованию краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени в дифференциальной и разностной форме, исследованию сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса.

1. Первая краевая задача для волнового уравнения с дробной производной по времени.

В прямоугольнике Qт = {(а;,$ : 0 < х < 1,0 < Ь < Т} рассмотрим первую краевую задачу

д2и д / ди\

< х < 1,0 < 4 < т, (34) г) = о, и{1,4) = о, о < 4 < т, (35)

и(х,0) — щ(х), щ(х,0) - щ(х), 0 <2:<1, (30)

где 0 < С1 < к{х,г) < (>2,д{х^) >тп> 0, \Ь{х,Ь)\,д{х,г), |д((М)|, \/3{х,г)\ < с3, 1 ^ и ('х т)

д§{и(х,т) = щ—^у —-производная Капуто порядка а, 0 < а < 1.

В дальнейшем будем предполагать существование решения и(х, £) 6 С^(С}т) задачи (34)-(30), а также , что коэффициенты уравнения (34) и функции /(ж, щ(х), щ(х) удовлетворяют условиям гладкости необходимым для построения разностных схем второго порядка аппроксимации. Для решения задачи (34)-(36) справедлива априорная оценка

Ы1 + К||§ + \Ы\1 < М 11/(1,г)||'0йг + |Мх)1|2 + (37)

где М > 0 - известное число.

Из априорной оценки (37) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (34)-(36) от входных данных.

Построен дискретный аналог дробной производной второго порядка аппроксимации

д^г1 = А*, и+ 0(т*), 1 •>'

д» и = ——г - й:?)и. +

4 '

¿(^1 - - - Км* ' 5=1

Задаче (34)-(36) поставим в соответствие разностную схему

уп = К{ау + (1 - 2а)у + ау) - ЬА°.у - ^¿{у + у) + (38)

1 < г < N - 1,1 < Ь < за - 1;

1/(0,0 = 0, у(1,4) = о, 0 <1<Т, (39)

у(х,0) = ио{х), у^х,0) = щ{х), 0 <х<1, (40)

где Ау = (аух)х, а = к(х,^), Ь = й = р = ¡(х,^), щ{х) =

щ(х) + 0, 5т(Лко(х) - ц{х, 0)ад(х) + /(а;, 0)).

Для решения задачи (38)-(40), при т <то справедлива априорная оценка

(41)

где М > 0 - известное число не зависящее от /г и т.

Из оценки (41) следует устойчивость разностной схемы (38)-(40) и сходимость к решению дифференциальной задачи (34)-(36) со скоростью 0(т2 + Л.2) в смысле нормы

112/11. = (1Ы1о + (<*- тт2\Ш\1 + Ъх + Ы\1 + 11г/11о + \\у%)1/2.

где а > 1/4.

2. Третья краевая задача для волнового уравнения с дробной производной по времени.

В прямоугольнике <2т = {(^М) : 0 < х < 1,0 < Ь < Т} рассмотрим третью краевую задачу

д^и д ( ди\ и [к(х,г)-£)-р(х,г)д&и-д(х,1)и+/(х,г),0<х<1,0<г<Т, (42)

-к{1,1)их(1,г) =/32(г)и{1,г)-о<г<т, (43)

и(х, 0) = ио(х), щ(х, 0) = щ(х), 0 < х < I, (44)

где 0 < С1 < к(х,{) < с2) > тп > 0, /3$), &(*) > Д, > 0 Ы^М Я(х,Ь),

Ых,г)\, Щх,г)\ \0и\, № < сз, ад®,г) = —^о < а < 1.

Ч1 - а) о -

Для решения задачи (42)-(44) справедлива априорная оценка

1М1о + 1М1о+ Но ^

(\\Нх,т)\\1 + &(т) + ц\т(т))йт + [4(1) + ^ +

+^(||«1(®)11о+И«о(®)11и'|(ол)- (45)

где М > 0 - известное число.

Из априорной оценки (45) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (42)-(44) от входных данных.

Задаче (42)-(44) поставим в соответствие разностную схему

ун = Ау- ЬАао.у + ^p,l<i<N-l,l<t<j0-l, (46)

Ш = 1а1У*Г] - Ьо^Уо - 1^У{о"а2) + |дх, V<t< ¿0,

у(®,0) = ио(®), №(г,0) = Ох(1), 0 < х < Ы, (48)

где Лу = (аух)х-йу, а = /с(МД 6 = у^г) = сг^ + (1 -^-с72)у + сг2у,

й = ф,*,), у? = ДМ,), 01 = &(*/) + Л/2<?(0,^-), А = /ВД + Н/2д(1,Ь), к = + Л/2/(0. Д2 = М^) + Л/2/(1. Й1(®) = «1(®) +0,5т(Ли0(х) -

д(х,0)и0(х) +/(х,0)).

Пусть выполнены условия

сг1 + а2 1 + е ( 1 (1 ~а)Ь \ 1

Ст1>£72' > ~Г~ а)т°)Щ'

где £ > 0 не зависит от Л и т, А = —Л, тогда для решения задачи (46)-(48) справедлива априорная оценка

||У0 + т)||(() <М1||У(т)||(г) + М2тах ||<Ж)11, (49)

где М\ > 0, М2 > 0 не зависят от Н и г,

х>£"н - - (2 -

4 ' Я=1

- -V- < = 1. -- л -1.

1 ^ ~ а> 5=1

- - (2 - «Ц^-

т* + г)||?„ = \(А(ШЬ + т) + у(г)), ¡,(4 + т) + »(«))+

\\ym\U) = - г)(у(«) + - т)), + !/(< - т))+ +г2((Л(<-г)№(<))•

3. Сходимость разностных схем для обобщенного уравнения

переноса.

В области Qт ~ {(х,Ь) : 0 < х < 1,0 < t < Т} рассмотрим краевую задачу

= ш + Пх' *)>0<Х<1>0<^Т< (5°)

ы(0,4)=0, и(1,Ь) = 0, (51)

и(х, 0) = щ(х), щ{х, 0) = щ(х), (52)

где

у... 1 [ Щ^'У)^ 1 < I/ < 2 о

Г(2 — Г(1-«/)«"'

1 92 [ и{х,п)йг}

иии -

Г(2 - г/) Й»

Г и(х,г1)<1т]

У (г-ч)*-1"

Дифференциальной задаче (50)-(52) поставим в соответствие семейство разностных схем

Г(2^.а) - = У + (1 - 0-1 - + + V, (53)

2/(0,4) = 0, у(1,1) = 0, (54)

у(х, 0) = и0(ж), Уг(х,0) = щ(х), (55)

где Ау = (аух)х, У = У*"1"1. У = У*, У = У3~1, V = Дя.,^), сг2 некоторые положительные числа. ^ ^

Пусть выполнены условия ах > <т2, 171 2 °г > - - щцГ(2 _ а)т1+а' где

А = -Л, В — (а1 - аг)тА, тогда для решения задачи (53)-(55) справедлива ■ априорная оценка

н^п^тнч^гн^т-,, (56)

где

11^+1 II2 = \ {А{Уп+х + Уп),Уп+1 + Уп) + т2 ^(Д - ^А)УиУ1 11ПЦ2 = 7 Нгм + Уп-1),Уп + Уп-х) + Г2 ^(Д - к) ,

Уп = уп+1 = у{1 + г)

4. Трехслойные факторизоваиные схемы.

Рассмотрим в цилиндре <3т — '■ х £ С, 0 < £ < Т}, где С = (х =

(хх,..., хр), 0 < Хк < 1к, к = 1, —,р} прямоугольный параллелепипед, задачу

а0> = ¿и + }{х, ¿), 4) € (Зт, (57)

и|г = 0, (58)

и(х, 0) = ио(х), ^(#,0) = гл(а;), (59)

р д2и

Ьи=^,Ьки, Ьки = —-2, к = 1,...,к.

Для задачи (57)-(59) построена факторизованная разностная схема, при р = 2. Факторизованная схема устойчива в смысле (56).

Автор вырао/сает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических паук, профессору Шханукову - Лафишеву Мухамеду Хабаловичу за поддержку и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Алиханов, A.A. Об одной априорной оценке решения третьей краевой задачи для волнового уравнения с дробной производной по времени./ А.А Алиханов // Вестник Кабардино-Балкарского государственного университета. Серия математические науки. Выпуск 4. Нальчик 2004 - С. 11-13.

[2] Алиханов, A.A. Первая краевая задача для уравнения колебания струны с учетом трения в среде с фрактальной геометрией./ A.A. Алиханов // Материалы III школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус 25-29 мая 2005 - С. 5-8.

[3] Алиханов, A.A. К вопросу об аппроксимации дифференциального уравнения дробного порядка разностным уравнением./ A.A. Алиханов // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара 1-3 июня 2005 - С. 21-24.

[4] Алиханов, A.A. Априорные оценки для параболических уравнений с подвижной нагрузкой./ A.A. Алиханов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды третьей Всероссийской научной конференции. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2006 - С. 22-25.

[5] Алиханов, A.A. Априорные оценки для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического типа./ A.A. Алиханов // Актуальные проблемы современной науки: Труды 2-го Международного форума (7-й Международной конференции молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: Издательство СамГТУ . 2006. -С. 20-24.

[6] Алиханов, A.A. Априорная оценка для уравнения колебания струны с подвижной нагрузкой./ A.A. Алиханов // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: материалы III Международной конференции. - Нальчик, 2006 - С. 26-27.

[7] Алиханов, A.A. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации. /A.A. Алиханов, М.Х. Шхануков - Лафишев // Актуальные вопросы современного естествознания. Выпуск 4, г. Нальчик, 2006 - С. 6-18.

[8] Алиханов, A.A. Априорные оценки решений уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Бицадзе - Самарского и Самарского - Ионки-на./ A.A. Алиханов // Тезисы докладов международной конференции "Анализ и особенности"посвященной 70-летию Владимира Игоревича Арнольда. МИАН, Москва 2007 - С. 24-26.

[9] Алиханов, A.A. Об устойчивости и сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальным граничным условием./ A.A. Алиханов

// Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы V Школы молодых ученных. - Нальчик - Эльбрус, 2007 - С. 12-13.

[10] Алиханов, A.A. Априорная оценка решения нелокальной краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности./ A.A. Алиханов // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. -Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008 - С. 18-22.

[11] Алиханов, A.A. Нелокальные краевые задачи в дифференциальной и разностной трактовках./ A.A. Алиханов // Дифференц. уравнения. Т. 44. №7. 2008. С. 924 -931.

[12] Алиханов, A.A. Краевые задачи для некоторых классов нагруженноых дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации./ A.A. Алиханов, А.М. Березгов , М.Х. Шхануков - Лафишев // ЖВМ и МФ. т. 48. №9, С. 1619 - 1628.

[13] Алиханов, A.A. Нелокальные краевые задачи первого и второго родов для уравнения теплопроводности в дифференциальной и разностной трактовках./ A.A. Алиханов // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология "посвященная 100 - летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина. - Москва 2008. - С. 89-90.

[14] Алиханов, A.A. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени./ A.A. Алиханов // Веста. СамГТУ. Сер.Физ - мат. науки. №2(17). 2008. С. 13 - 20.

Напечатано с готового оригинал-макета. Формат 30x42 1/8. Усл. печ. л 1 Бумага офсетная Подписано в печать 10.10.2009 г. Заказ №64. Тираж 100 экз. ЧП «Полиграфия». Лицензия № 15 от 22.012003 г. КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 131

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Алиханов, Анатолий Алиевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с конвекцией , , *

1.1. Первая краевая задача для стационарного нагруженного уравнения диффузии.

1.2. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость.

1.3. Первая краевая задача для нагруженного стационарного уравнения теплопроводности с конвекцией.

1.4. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость.

1.5. Третья краевая задача для нагруженного стационарного уравнения теплопроводности с конвекцией.

1.6. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость.

1.7. Первая краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с конвекцией.

1.8. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость.

1.9. Нелокальная краевая задача первого рода.

1.10. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость.

1.11. Нелокальная краевая задача второго рода.

1.12. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость.

ГЛАВА 2. Краевые задачи для волнового уравнения с дробной производной по времени

2.1. Первая краевая задача для волнового уравнения с дробной производной по времени.

2.2. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость.

2.3. Третья краевая задача для волнового уравнения с дробной производной по времени.

2.4. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость.

2.5. Сходимость разностных схем для обобщенного уравнения переноса.

2.6. Трехслойные факторизованные схемы.

Введение диссертация по математике, на тему "Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений"

Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме влаги в почвогрунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нагруженным дифференциальным уравнениям и нелокальным задачам для дифференциальных уравнений математической физики.

В работе Нахушева A.M. [49] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам, для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики (см., например, [85]).

К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Cannon J.R. [93], Камынина Л.И. [34] и Чудновского А.Ф. [79], [80]. После появления работы Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [8], внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [30], [31], Самарского A.A. [63], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [33], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [28], [29], Шополова H.H. [83], Гордезиани Д.Г. [13] - [15], Нахушева A.M. [48], [49], Шханукова М.Х. [86], Керефова A.A. [37], Митропольского Ю.А., Шхану-кова М.Х., Березовского A.A. [43], Муравей Л.А., Филиновского A.B. [44], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д. [27], Солдатова А.П., Шханукова М.Х. [69], Гулина A.B., Ионкина Н.И., Морозовой В.А. [16]-[21] и др.

Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний.

Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью dw д

D{w)^-K{w) f(x,w),0 < х < 1,0 < t < Т, (0.1) д1 дх где т(х,1) - объемная влажность почвы; В{т) - коэффициент диффузивно-сти; К (и)) - коэффициент влагопроводности.

Чудновский А.Ф. в работе [79] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: а х=о = J wdx, (0.2) dw, , 0, (0.3) w(x, 0) = ip(x), 0 < X < а. (0.4)

Нелокальные условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а.

Камынин Л.И. в работе [34] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида

J g(x, t)u(x, t)dx = E(t), 0 < t < Т, xi(t) где (i), % — 1, 2; g(x,t), E(t) - известные функции.

В работе [64] Самарский A.A. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: ai(i)it(0,i) + a2{t)u{l,t) + a3(t)ux(0, t) + a4{t)ux(l,t) = y?i(i), ß!{t)u(0,t) + ß2{t)u{l,t) + /%(tK(0, t) + ßi(t)ux(l,t) = ^(i).

При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий.

Пусть u(x,t) - плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [10], u(x,t) является решением нелокальной задачи ut + ux = h(x,t), 0 <х<1, t> 0, (0.5) и(я,0) = р(а;), " (0.6) i u(0,t) = J c(x,t)u(x,t)dx, (0.7) о где ip(x) - начальное возрастное распределение, а условие (0.7) называется законом рождаемости. Здесь следует заметить, что задачи, возникающие в математической биологии, как правило, нелокальные (см. [46]).

В работе [30] методом Фурье доказано существование и единственность решения нелокальной задачи щ = а2ихх, 0 < х < I, t > 0, w(0,i) =u(l,t), ux(0,t)=g(t), и(0, t) = щ(х).

К результатам работы [64] близко примыкают результаты Шоповалова H.H. [83]. В работах [28], [29], [86] для обыкновенного дифференциального уравнения

Г - й

Ьи= — ах

• д(х)и = —/(ж), 0 < х < I изучены нелокальные краевые задачи: т к=1 где - фиксированные точки интервала (0,1); т и{ 0) = 0, П(1) = 53а*П(&), к=1 где П(ж) = ~к(х)^ - поток через сечение ж, о>к - постоянные числа. В этих же работах получены априорные оценки в нормах С, И^1, в дифференциальной и разностной трактовках.

Равномерно сходящиеся разностные схемы построены в работе [31] для нелокальной задачи щ = а2ихх + /(х, 0 < х < I, 0 <t <Т, и{о,*) = о, их{0,г) =их(1,г), о <г<т, и(0,£) = 1р(х), 0 <х<1.

В работе [32] построены схемы повышенного порядка точности (0(/г4)) для решения нелокальной задачи

Ьи = — ах д(х)и — —/(ж), 0 < х < I, и( 0) = 0, к(0)и'(0) = к{1)и'(1).

Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [13]-[15] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка [53], [81], [82], [5], [24], [25], [26].

Сама идея обобщения понятия дифференцирования на. нецелые р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления, первые работы в этом направлении принадлежат Г. Лейбницу, Я. Вернулли, JI. Эйлеру и Ж. Фурье [91], [92], [95].

В 1832-1837 г.г. появляется серия работ Лиувилля [95]-[101], сделавших его по праву создателем теории дробного исчисления. В работах Б. Римана, X. Хольмгрена, А. Летникова, А. Грюнвальда [94] было продолжено изучение производных любого порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O'Shaughnessy, S. Mandelbrojt [104], [102]. Задачу типа Коши для уравнения D®xy = f{x,y) рассмотрели Е. Pitcher, W.E. Sewell в работе [103], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах М.А. Bassam, A.Z.A1. Abedeen, H.L. Arora [90]-[92], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе A.M. Нахушева [50] изучена задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка т

Ly = у"{х) + aQ{x)y'{x) + ^ ak{x)D^k(wk{x)y{x)) + am+l{x)y(x) = f(x), к=1

О < OLk < 1, ooW, a>m+i(x), akfa), wk(x), к = 1,2, .,m; f(x) - непрерывные на [0,1] функции, Dqx - оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля дифференцирования порядка а. К задаче Штурма-Лиувилля

Роу'( 0) + qoy(0) = r0, Piy'(l) + qiy(l) = П, для этого уравнения редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В работах [1], [2] Т.С. Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения и"{х) + а(х)Щхи = /(¿), 0 < ж < 1, 0 < а < 1.

Им показано, что задача гг(0) + (Зи'{0) = гг(1) = 0, Р > 0, /(ж) = 0, а(х) — А не имеет отрицательных собственных значений.

Еще раньше A.M. Нахушевым в [50] показано, что число А является собственным значением задачи и{ 0) = 0, гг(1) = 0, а{х) = А для этого уравнения тогда и только тогда, когда А/0 является нулем функции Миттаг-JIеффлера (—А).

В монографиях [67], [47], [57] дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография [47] посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегро-дифференцирования, и их применения к дифференциальным уравнениям дробного порядка. Разностным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы Головизнина В.М.,

Кисилева В.П., Короткина И.А., Юркова Ю.П. [11]-[12], Шханукова - Ла-фишева М.Х. [88]. Локально - одномерным схемам для уравнения дробного порядка посвящена работа Шханукова - Лафишева М.Х. [89].

Цель работы. Постановка и исследование краевых задач для нагруженного уравнения теплопроводности в дифференциальной и разностной трактовках, нелокальных краевых задач типа Бицадзе - Самарского и Самарского - Ионкина для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами в дифференциальной и разностной трактовках; краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени в дифференциальной и разностной трактовках, сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса. Выполнение основной цели работы потребовало получение аналогов теорем вложения, построение разностного аналога регуляри-зованной дробной производной порядка а, 0 < а < 1, со вторым порядком аппроксимации.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

3. Для решений краевых задач волнового уравнения с дробной производной по времени получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Построен разностный аналог регуляризовапной дробной производной второго порядка аппроксимации.

4. На основе общей теории устойчивости трехслойных разностных схем получены условия сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса (уравнения «быстрой» диффузии). Построены трехслойные факторизаванные схемы для двумерной задачи.

На защиту выносятся:

2. Доказательство единственности и непрерывной зависимости от входных данных решений нелокальных краевых задач первого и второго рода (типа Бицадзе-Самарского и Са.марского-Ионкина) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Устойчивость и сходимость разностных схем.

4. Устойчивость и сходимость разностных схем для обобщенного уравнения переноса.

Методы исследования могут быть применены для решения широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа. Разностные схемы, построенные для рассматриваемых задач могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации представлены на: третьей школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус 2005 г.); второй научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара 2005 г.); третьей международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик 2006 г.); международной конференции «Анализ и особенности» посвященной 70-ти летию Владимира Игоревича Арнольда (МИАН, Москва 2007г.); пятой школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус 2007 г.); семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 2006-2009 гг. (ру-ковод. - д. ф.-м. н. проф. Шхануков-Лафишев М.Х.); семинарах НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН в 2006-2009 гг. (руковод. - д. ф.-м. н. проф. Нахушев A.M.);

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 14 работах [105]-[118]. Из них [115] и [116] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 103 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, состоящий из 118 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Алиханов, Анатолий Алиевич, Москва

1. Алероев Т. С. Задачи Штурма - Лиувилля для дифференциального уравнения первого порядка с дробными производными в младших членах. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №6. С. 341.

2. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. №1. С. 171-172.

3. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8. №6. С. 1218-1231.

4. Ахиев С.С., Гусейнов О.М. О фундаментальном решении одной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка. // — Азерб. унив-т. Баку. 1983. —9 с.

5. Березовский A.A., Шхануков М.Х., Керефов A.A. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации. Укр. мат. журн. 1993. Т. 45. т. С. 1289-1298.

6. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1982. -336 с.

7. Бицадзе A.B. К теории нелокальных краевых задач. // ДАН СССР. 1984. Т.277. т. С. 17-19.

8. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. // ДАН СССР. 1969. Т. 185. №4. С. 739-740.

9. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. —М.: Наука. 1990. -432 с.

10. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений. М.: Наука. 1982. 304 с.

11. Головизнин В.М., Кисилев В.П., Короткий И.А. Численные методы решения уравнения диффузии с дробной производной в одномерном случае: Препринт IBRAE -2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002.

12. Головизнин В.М., Кисилев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.П. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии: Препринт IBRAE -2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002.

13. Гордезиани Д.Г. Об одном методе решения задачи Бицадзе Самарского. - Семинар института прикладной математики, аннотации докладов. Тбилиси. 1970. С. 39-41.

14. Гордезиани Д.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. // Препринт института прикладной математики при ТГУ. -Тбилиси. 1981.

15. Гулин A.B., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной разностной краевой задачи // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, №7. С. 912-917.

16. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Исследование нормы в задачах об устойчивости нелокальных разностных схем // Дифференц. уравнения. 2006. Т.42, №7. С. 914-923.

17. Гулин A.B., Удовиченко Н.С. Нелокальный разностный оператор с комплексным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43, №7. С. 923-928.

18. Гулин A.B., Удовиченко Н.С. Разностная схема для задачи Самарского-Ионкина с параметром // Дифференц. уравнения. 2008. Т.44, №7. С. 963-969.

19. Гулин A.B., Морозова В.А. Семейство самосопряженных нелокальных разностных схем. // Дифференц. уравнения. 2008. Т.44, №9. С. 1247г 1254.

20. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость нелокальных разностных схем. -М.: Издательство ЛКИ, 2008.-320 с.

21. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения теплопроводности. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 99 -101.

22. Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки. // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8, №3. С.679-684.

23. Доюарбашян М.М. Интегральные преобразования функции в комплексной плоскости. М.: Наука. 1966. 671 с.

24. Дснсарбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв. АН Арм. ССР. мат. 1970. Т. 5. №2. С. 71-97.

25. Дснсарбашян М.М., Нерсесян A.B. Дробные производные и задачи Копта для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. АН Арм. ССР. мат. 1968. Т. 3. т. С. 3-29.

26. Житарашу Н.В., Эйделъман С.Д. Об одной нелокальной параболической граничной задаче. // Матем. исслед., Кишенев. 1970. С.85-100.

27. Ильин В. А., Моисеев Е.И. Нелокальная задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках //Докл. АН СССР. 1986. Т.291, №3. С.534-540.

28. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №8. С.1422-1431.

29. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. т. С. 294-304.

30. Ионкин Н.И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи. //Актуальные вопросы прикладной математики. —М.: Изд-во МГУ. 1989. —240 с.

31. Ионкин Н.И. Разностные схемы повышенного порядка точности для одной неклассической краевой задачи. //Актуальные вопросы прикладнойматематики. МГУ. 1989. -240 с.

32. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями. // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1284-1295.

33. Камынин Я.А. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. // ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. №6. С. 1006-1024.

34. Канчукоев В.З., Шхануков М.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения. // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. №1. С. 68-73.

35. Карсанова Ж. Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 31-37.

36. Керефов A.A. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений. // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. №4. С. 74-78.

37. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. // Дифферент уравнения. 2004. Т.40. №6. С. 763-774.

38. Кошяяков Н.С. Глинер 9. Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения*математической физики. — М.: Физматгиз. 1962. —767 с.

39. Курант Р. Уравнения с частными производными. —М.: Мир. 1964. —632с.

40. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. —М.: Наука. 1973. -407 с.

41. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. —736 с.

42. Митрополъский Ю.А., Шхануков М.Х., Березовский A.A. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения. // Укр. мат. журнал. 1995. Т.47. №6. С. 790-801.

43. Муравей A.A., Филиновский A.B. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. // Матем. сб. 1991. Т. 182. №10. С. 1479-1512.

44. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 44-49.

45. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа. 1995. -301 с.

46. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. —М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2003. -272 с.

47. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса. для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978. Т.242. №5. С. 1008-1011.

48. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения. // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №5. С. 86-94.

49. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложения. Нальчик. 1995. 50 с.

50. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро- дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. №1. С. 96-105.

51. Нахушев A.M. Об некоторых способах идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги. // Сборник научных трудов (межведомственный) "САПР и АСПР в Мелиорации". -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 3-20.

52. Нигматулин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs. stat. Sol. b. 133. 1986.

53. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды. // Успехи физических наук. 1993*. Т.163. №12. С. 1-50.

54. Олисаев Э.Г., Лафишева М.М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 50-56.

55. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.

56. Пулъкина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. т.

57. Пулъкина Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". —Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 190-192.

58. Пулъкина Л. С., Климова E.H. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебания струны. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 192-195.

59. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. —М.: Высшая школа. 2003. -255 с.

60. Самарский A.A. Теория разностных схем. —М.: Наука. 1983. —616 с.

61. Самарский A.A. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа. // ЖВМ и МФ. 1963. Т.З. №2. С. 266-298.

62. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // ДУ. 1980. Т.16. №11. С. 1925-1935.

63. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука. 1973. -415 с.

64. Самарский A.A. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука. 1978. -589 с.

65. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторие их приложения. Минск. "Наука и техника". 1987. -688 с.

66. Сербина JIM. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. —Нальчик: Изд. КБНЦ РАН. 2002. -144 с.

67. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского A.A. для псевдопараболических уравнений высокого порядка. // ДАН СССР. 1987. Т.297. №3. С. 547-552.

68. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — М.: Наука. 1964. —206 с.

69. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. —М.: Наука. 1983. -432 с.

70. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука. 1992. -431 с.

71. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука. 1966. -724 с.

72. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. —М.: Физматгиз. 1960. —656 с.

73. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука. 1969. Т.2. -800 с.

74. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука. 1966. Т.З. -656 с.

75. Худалов М.З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. т. С. 59-64.

76. Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве. // Сб. трудов АФИ. 1969. №23. С. 41-54.

77. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. —М.: Наука. 1976. —352 с.

78. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные. ЖЭТФ. 1995. Т. 108. вып. 5(11). С. 1875-1884.

79. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х., Обобщенное уравнение переноса и дробные производные. // Докл. АМАН. 1996. Т. 2. №1. С. 43-45.

80. Шоповалов H.H. Некоторые краевые задачи для уравнения теплопроводности. // Докл. Волг. АН. 1980. Т. 33. №1. С. 47-50.

81. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. // ДУ. 1982. Т.18. №4. С. 689-699.

82. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №1. С. 163-167.

83. Шхануков М.Х. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского. // Докл. АМАН. Т. 1. М. 1994. С. 38-43.

84. Шхануков М.Х., Абрегов М.Х. О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач и их приложения к автоматизированным системам. // -Нальчик. 1989. С. 275-283.

85. Шхануков М.Х., Таукенова Ф.И. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // ЖВМ и МФ. 2006. Т. 46. №10. С. 1871-1881.

86. Лафишева М.М., Шхануков М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. С. 1878-1887.

87. Al-Abedeen A.Z., Arora H.L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of generalized order. // Canad. Math. Bull 1978. Vol. 1. 21. №3. P. 267-271.

88. Al-Abedeen A.Z. Existence theorem on differential equations of generalized order. // Rafidam J. Sci. Mosul. Univ. Iraq. 1976. Vol. 1. P. 95-104.

89. Al-Bassan M.A. Of fractional calculus and its application to the theory of ordinary differential equation of generalized order. // Lect. Notes in Pure and Appl. Math. Dekker. New York. 1982. Vol. 80. P. 305-331.

90. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specificationof energy. Quart. Appl. Math. 21(1963). Pp. 155-160.

91. Grunwald A.K. Uber "bergenzte"Derivationen und deren Anwendung // Я. angew. Math, und Phys. 1867. Bd 12. S. 441-480.

92. Liouville J. Memoire sur le calcul des differentielles a indices quelconques 11 Ibid. P. 71-162.

93. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable indepenante dans le calcul des differentielles a indices quelconques //J. I'Ecole Roy. Polytechn. 1835. T. 15. sent. 24. P. 17-54.

94. Liouville J. Memoire sur le theoreme des fonctions complémentaires // J. fur reine und angew. Math. 1834. Bd. 11. S. 1-19.

95. Liouville J. Memoire sur l'intégration des équations différentielles a indices fractionnaires // Ibid. 1837. T. 15. Na 55. P. 58-84.

96. Liouville J. Memoire sur l'usage l'on pent faire de la formule de Fourier, dans le des différentielles a indices quelconques // Ibid. 1835. Bd. 13. S. 219-232.

97. Liouville J. Memoire sur une formule d'analyse // Ibid. 1834. Bd. 12. №4. S. 273-287.

98. Liouville J. Memoire sur quelques de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions // J. l'Ecole Roy. Polytechn. 1832. T. 13. sect. 21. P. 1-69.

99. Mandelbrojt S. Sulla gener alizzazione del calcolo delie variazione // Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. sei. fis. mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151-156.

100. Pitchel E., Sewell W. Existence theorems for solutions of differentialequations ■ of non-integral order. Ibid. 1938. Vol. 44. №2. P. 100-107.

101. O'Shaughnessy L., Problem 433. // Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172-173.

102. Алиханов A.A. Об одной априорной оценке решения третьей краевой задачи для волнового уравнения с дробной производной по времени. // Вестник Кабардино-Балкарского государственного университета. Серия математические науки. Выпуск 4. Нальчик 2004 105с.

103. Алиханов А.А. К вопросу об аппроксимации дифференциального уравнения дробного порядка разностным уравнением. Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 1-3 июня 2005г. г. Самара 143с.

104. Алиханов A.A. Априорная оценка для уравнения колебания струны с подвижной нагрузкой. Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: материалы III Международной конференции. Нальчик, 2006 - 336с.

105. Алиханов A.A., Шхануков Лафишев М.Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации. Актуальные вопросы современного естествознания. Выпуск 4, г. Нальчик, 2006 - 87с.

106. Алиханов A.A. Априорная оценка решения нелокальной краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности. Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008 - 376с.

107. Алиханов A.A. Нелокальные краевые задачи в дифференциальной и разностной трактовках.// Дифференц. уравнения. Т. 44. №7. 2008. с. 924 -931.

108. Алиханов A.A., Березгов A.M., Шхануков Лафишев М.Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженноых дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации.// ЖВМ и МФ. т. 48. т, с. 1619 - 1628.

109. Алиханов A.A. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени.// Вести. СамГТУ. Сер.Физ мат. науки. №2(17). 2008. с. 13 - 20.