Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка

Бештоков, Мурат Хамидбиевич

Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Бештоков, Мурат Хамидбиевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка»

Автореферат диссертации на тему "Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Бештоков Мурат Хамидбиевич

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

1 2 гоп

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003482894

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математического факультета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Шхануков-Лафишев Мухам ед Хабалович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Сухинов Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Ионкин Николай Иванович

Ведущая организация: Южный математический институт Владикавказского

научного центра Российской академии наук.

Защита диссертации состоится 25 ноября 2009 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г.Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « 13 » октября 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43 ^ ,

доктор физико-математических наук, профессор \ Е.В.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют уравнения третьего и более высоких порядков. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопереноса в почвогрунтах приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка. Поэтому изучение краевых задач для уравнений третьего и высокого порядков привлекали внимание многих исследователей: Аллер М., Ахиев С.С., Бицадзе A.B., Виноградова М.Б., Гусейнов О.М., Жегалов В.И., Кожанов А.И., Колтон Д.Л., Мамедов И.Г., На-хушев A.M., Ранделл В., Руденко О.В., Самарский A.A., Солдатов А.П., Сухоруков А.П., Хилькевич Г.И., Чудновский А.Ф., Шовальтер P.E., Шхануков М.Х., Тинг Т., Янгарбер В.А. и многие др.

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач по краевым условиям и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.

К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы J.R.Canon1, Л.И. Камынина2 и А.Ф. Чудновского3,4. Современное естествознание, в основном физические приложения, потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечается в работе В.А.Стеклова5.

Особый интерес в теории дифференциальных уравнений представляют краевые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена данная диссертационная работа. Заметим, что из физических соображений условия такого вида совершенно естественны и возникают при математическом моделировании в тех случаях, когда невозможно получить информацию о происходящем процессе на границе области его протекания с помощью непосредственных измерений или же когда возможно измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы, при изучении движения почвенной влаги в капиллярно-пористых средах. На задачи подобного типа, как качественно новые и возникаю-

1 Canon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. -Quart. Appl. Math. 1963, 21, -2, ]?.l 55-160.

" Камынин Л.А. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. //ЖВМ и МФ. 1964. T.4. №б. С. 1006-1024.

3 Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве. // Сб. трудов АФИ. 1969. №23. С. 41-54.

* Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука. 1976. 352 с.

5 Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 432 с.

щие при решении современных проблем физики, указывает в своей обзорной статье

A.A. Самарский6 и приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач.

В настоящее время весьма активно изучаются и вызывают большой практический и теоретический интерес исследования локальных и нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений из-за того, что прикладные задачи физики, механики, биологии сводятся к таким уравнениям.

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка исследуются в работах М.Х. Шханукова7. В одной из его работ построен аналог функции Римана для уравнения

¿(и) s иа +d(x,t)u, + т]{х,1)и„ + a(x,t)ux+b(x,t)u = -q(x,t) (*) с достаточно гладкими коэффициентами. С помощью метода функции Римана решена задача Гурса, на основе которого решаются как уже известные, так и новые граничные задачи. Отметим, что в данной диссертации используется этот метод для решения нелокальных краевых задач.

Методу Римана для псевдопараболических уравнений также посвящены работы

B.А. Водаховой, В.И. Жегапова, А.Н. Миронова, В.З. Канчукоева, В.И. Макеева, К.Б. Сабитова, A.B. Дорофеева, В.А. Севастьянова.

A.M. Нахушев указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влаго-переноса в пористых средах и в задачах математической биологии.

Нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка также были рассмотрены в работах А.И. Кожанова, В.З. Канчукоева, А.Ф. Напсо, а в работе А.П. Солдатова и М.Х. Шханукова построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений высокого порядка и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием A.A. Самарского.

Теории устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальным условием посвящены работы Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, A.B. Гулина и В.А. Морозовой, Д.М. Довлетова, B.JI. Макарова, А.Ю. Мокина, В.А. Ионкина и Н. Зидова и др.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами и разработке разностных методов их решения. Отдельно рассмотрены случаи одномерных и многомерных нелокальных краевых задач. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изученный А.И. Ко-жановым8. В его работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения

к (и) = и, -и„ - vuM + c(x,t)u = q(x,t), удовлетворяющее условиям

«(О,/) = a(t)u( 1,f) + ¡h(t,T)u{\,T)dT, 0 < t < T, 0

* Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // ДУ. 1980. Т. 16. №11. С. 19251935

7 Шхаиукав М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнения третьего порядка. - Докл. АН СССР, 1982, Т.265, №6, С. 1327-1330.

8 Кожаное А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Адлера. //ДУ. 2004. Т.40. №6. С. 1ЬЪ-ПЬ.

ИД1,0 = 0, О<КТ, и(х,0) = и0(х), 0 < л < 1.

Заметим, что данное уравнение при V >0 есть уравнение Аллера, при V -0 -уравнение теплопроводности. Подобные задачи встречаются при изучении обратных задач, а также при изучении физических процессов с учетом эффекта памяти.

Общая методика исследования. В работе используется метод функции Рима-на для гиперболических уравнений третьего порядка, теория интегральных уравнений, метод априорных оценок в дифференциальной и разностной трактовках.

Научная новизна. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с переменными коэффициентами как в одномерном, так и в многомерном случаях. Для рассматриваемых краевых задач построены разностные схемы, получены априорные оценки, откуда следует устойчивость, а также сходимость разностных схем. Для первой краевой задачи для псевдопараболических уравнений с переменными коэффициентами построены векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации, доказана устойчивость разностных схем по начальным данным и правой части.

Научные положения, выносимые на защиту:

Доказано существование и единственность регулярных решений нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка методом функции Римана.

Получена априорная оценка для решения третьей краевой задачи с нелокальным условием, откуда следует единственность решения, а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных. Построена разностная схема и доказана устойчивость схемы по правой части и начальным данным, откуда следует сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью о(и2 +г2), где А, г - параметры сетки.

Получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решения локальных и нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области, откуда следует единственность, а также устойчивость решения по начальным данным и правой части в сеточной норме IV'(в) на слое. Для первой краевой задачи для псевдопараболических уравнений с переменными коэффициентами построены векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации, доказана устойчивость разностных схем по начальным данным и правой части.

Доказана сходимость (в малом) итерационного процесса для решения третьей краевой задачи с нелокальным условием для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области.

Практическая и теоретическая значимость. Несмотря на то, что диссертационная работа носит в основном теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию, могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для псевдопараболических уравнений, а также для решения прикладных задач, описывающих процессы водно-солевого режима почвогрунтов.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 15 научных работ, которые отражают ее основные результаты. Работа [1] выполнена в соавторстве с научным руководителем М.Х. Шхануковым - Лафишевым.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы автор освещал в своих докладах на международных и всероссийских конференциях [1,5,7-10,12]: III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2006), Труды Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006), Труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007), Материалы I форума молодых ученых Юга России и 1 Всероссийской конференции молодых ученых «Наука и устойчивое развитие» (Нальчик, 2007), Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007), Материалы Международного конгресса студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива - 2007» (Нальчик, 2007), V Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2007), VI Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2008).

Результаты диссертационной работы [1-15] неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по вычислительной математике и математической физике математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Шханукова-Лафишева М.Х. с 2005 по 2008гг.

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется корректным использованием математического аппарата, современных численных методов (сеточных методов), сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе, и вычислительными экспериментами.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 160 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор результатов исследовании по теме диссертации, кратко изложено содержание диссертационной работы и методика исследований, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе диссертационной работы исследованы нелокальные краевые задачи для уравнения (*). Для решения задач воспользовались методом функции Римана.

Таким образом, изучена следующая нелокальная задача.

Найти регулярное в области D = {(jr,i):0<.x</,0</<7'} решение u(x,t) уравнения L{u) = w.„, + d {х, t)u,+rj{x, t)u„ + a(x,t)ur+b(x, t)u = -q(x,t), (1) удовлетворяющее условиям

u(0,t) = ßl(t)u(U)+lp(t,T)u(l,T)dr, 0 üt<T, (2)

м,(0,/) = 0, 0<i<T, (3)

«(^,0) = KoW, 0<д:<,!, (4)

где коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2) - (4) удовлетворяют следующим условиям гладкости:

q(x,t), b(x,t), ax(x,t), d,(x,t), П„Ш) « C(Z>), и,(х)еС*[0,П, A(0, Р((,/,)еС[0,Г], 0<t,<t. (5)

Для уравнения (1) рассмотрены краевые задачи, где граничное условие (3) заменяется последовательно следующими условиями:

и,(0.0 = А(0»(0,0 + М'), ДМ* О, 0<1<Т, (За)

/7(0,0 = А(0"(0,0 + М0. 0it<T, (36)

»,(/,/) = 0, 0<С£7\ (Зс)

-М'.0 = Рг(0«('.0+МО. ACOSïO, о<;*<7\ (3d)

-n(l,t) = p1(t)u{l,t) + n(t), 0<1йТ, (Зе)

где П(х,1) = иа +rt(x,t)u< -полный поток, /?2(0. eCfO,?1].

Здесь под регулярным в области D решением уравнения понимается действительная функция u(x,t), обладающая в D всеми непрерывными частными производными, входящими в уравнение, и обращающая его в тождество.

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2) -(4) удовлетворяют условиям гладкости (5). Тогда, если d(x,t)< 0 для любого (x,t)sD и Д(г)е (0,1) при 0й1<Т, то задача (1) - (4) имеет единственное регулярное в области D решение.

Аналогичный результат имеет место, когда условие (3) заменяется одним из условий (За), (ЗЬ).

В случае, когда условие (3) заменяется последовательно условиями (Зс), (3d), (Зе) условия однозначной разрешимости имеют вид:

d(x,t)<0 для любого (x,t)eD и fl,(t)£\ для любого /е[0,7"].

Далее в этой главе были рассмотрены следующие нелокальные задачи, для решения которых в предположении существования регулярного решения получены априорные оценки.

Задача 1.1. В цилиндре QT ={(*,/) 0 <,1<Т) рассмотрим задачу с не-

локальным краевым условием

dit д(1Г чди\ д д( , ,ди\ , sdu , . ,, . , ч _ .,.

— = — \k(x,t) — + —— \T](x,t)— + r(*,0~—q(x,t)u + f(x,t), (x,t) eQr, (6)

3< дх V дх) д1 дх дх) дх

1/(0,0 = Д(0"(1.0+|р(Лг)и(1.г)£/г, 0 </ < Г, (7)

«,(1,0 = 0, О <1<Т, (8)

и(х,0) = и„(х), 0<*<1, (9)

где

0<са <г) (х,1)<с1, | Д(0| ^ р0 <1 для любого /£[0,7"], |*(*.0|, ы*,0|, \к,Ш)\, |г(*,г)|, |?(*,0|, |р(<>0|, \р,(и,)\<сг, (10) <2Т = {(х,1):0<х<1, 0 <!<Т), са, с,, сг-положительные постоянные, 0<*,<л Будем считать, что коэффициенты уравнения (6) и граничных условий (7) - (9) удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости.

В дальнейшем всюду предполагается, что регулярное решение рассматриваемых задач существует, коэффициенты уравнения и граничных условий обладают достаточным количеством непрерывных производных, необходимых для обеспечения нужной по ходу изложения гладкости решения u(x,t) в цилиндре QT.

В предположении существования регулярного решения получена априорная оценка

где M{t) - зависит только от входных данных задачи (6) - (9),

IMI,2,,to.n=INlU +IMU«» ии=

Заметим, что полученная априорная оценка имеет место, если в задаче (6) — (9) заменить краевое условие (8) условием ux(0,t) = 0, 0<t<,T и если \ßt(t)\>ß0 >1 для любого fe[0,7'].

Задача 1.2. Для уравнения (6) в цилиндре QT рассматривается задача

¿(0,0^(0,0 = Д(/)«(1,0+Jp(/,rMl,r)rfr, 0SIST, (11)

СХ 0

«,(1,0 = 0, 0<1£Т, (12)

и(*,0) = и0(*), 0<^<1, (13)

где

0<с0 <rj (x,t)<,cl, 0<сг<,к(х,1)<с„ \n,{x,t)\, |А,(*,0|, \r(x,t)\, \q{x,t)\, \ß,(t)\, |p,(r,f,)|<;c4, (14)

с,, /' = 0,4 - положительные постоянные, 0<l, < I. В предположении существования регулярного решения получена априорная оценка

IMU = }li",l!o dx, U ) 0

где M(l) - зависит только от входных данных задачи (6), (11) — (13).

Задача 1.3. Для уравнения (6) в цилиндре Qr={(x,t)\Q<x<.\, 0<t<,T] рассматривается следующая задача

/7(0,0 = Д(0"(/,0+ )р(1>r)dr, 0<1<Г, (15)

«,(/,/) = 0, 0 <1<т, (16)

M(jc,0) = M0(jr), 0 <*</, (17)

где Q < с0 <т) (x,t)<cl, |т7,(л,0|, \k(x,t)\, |г(*,0|> |<7(*,0|, |Д(0|, \р{1^)\<,сг,

rj(x,i) = k(x,t)—(x,t) + —\ii(x,t)—(x,t)) - полный поток, например, влаги через сече-дх dt \ дх J

ние в единицу времени, с0, с,, с2-положительные постоянные, Oit, it.

В предположении существования регулярного решения получена априорная

оценка

jм^ и! и0 (*)||;;,(о;1

где М(1) - зависит только от входных данных задачи (6), (15)-(17).

Из априорной оценки следует единственность решения рассматриваемой задачи, а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства ^'(О,/).

Во второй главе данной работы рассматривается третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с нелокальным условием.

В цилиндре 0,. = {(л-,/):0<*21, О<.1<Т] рассмотрим задачу с нелокальным краевым условием

д! дх{ дх) д!дх{' дх) дх т

Л(0,0 = Д (/)«(/,<)+ ¡Р(1,ф(1,г)с1т, О И<Т, (19)

-/7(/,0 = А(/)и(/,О-//«, О</<Г, (20)

и(х,0) = иа(х), 0 (21)

где

#•(0,0 = #ь <0, /■(/,/) = гу >0, 0<с0 ¿77 (дг,Г)<С|, 0<сг$к(х,1)<с,, (22)

!#•(*,0|, |<?ио|, Ы, |*,Иг,|. |А(«)|. |А(0|,

£?г = {(^,0:0<л</, 0<г<Г), с„ /=0,4-положительные постоянные, 0</,</. Будем считать, что коэффициенты уравнения (18) и граничных условий (19) -(21) удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости, обеспечивающей нужный порядок аппроксимации разностной схемы. Заметим, что при построении разностных схем требуется более высокая гладкость решения и коэффициентов уравнения.

В прямоугольной области И для уравнения (1) рассмотрим задачу (19) - (21), где коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (19) - (21) удовлетворяют следующим условиям гладкости:

q(.x,t), Ь(х,1), ах(х,1), с1,(х,1), #?„(*, 0 б С{Б), МоМеС2[0,/], Д(0. А(0. Р('.<|). М0еС[0,Г], 0<1, <1. (23)

0 = {(х,1):0<х<1,0<1 <Т} - область, в которой ищется решение рассматриваемой задачи. Л(х,0 = их, +#7 (ж,0", - полный поток.

Методом функции Римана данная задача редуцируется к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена в работе М.Х. Шханукова.

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (I) и граничных условий (19) -(21) удовлетворяют условиям гладкости (23). Тогда, если с1(х,1) < 0 для любого (х,1)ей, то задача (1), (19) - (21) имеет единственное регулярное в области й решение.

Далее в предположении существования регулярного решения задачи (18) - (21) получена следующая априорная оценка

Н<>,0,, +^,(т))л+11и.МС1.10Л

где М(() - зависит только от входных данных задачи (18) - (21).

Из априорной оценки следует единственность решения исходной задачи (18) -(21), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства ^2'(0,/).

В качестве одного из способов решения нелокальной краевой задачи (18) - (21) рассмотрим итерационный метод, который сводит решение нелокальной краевой задачи к решению последовательности локальных задач.

Итерационный процесс будем строить следующим образом:

»♦I

~ = Ьи + Дх,1), (*,/)б0г, (24)

Я(0,0 = Д(0«(/,0+ )р(1,т)и(1,т)е1т, 0 <1йТ, (25)

-Щ/,0 = Д(/)и(/,0-М0. 0<1<т, (26)

«♦I

и(х,0)=ио(х), 0 <х<1, (27)

где

, д(., ,ди\ д д( , .диЛ , .ди , . 0<со <Т] (х,0<с„ 0 <с2<к(х,1)<с„

^(хД И*.0|. |А(0|. IА(0|. (28)

с,, ; = 0,4 -положительные постоянные, О<1, </.

5 = 0, 1, 2, ... - итерационный индекс. В качестве нулевого приближения и можно взять, например, значение решения в начальный момент времени м0(х).

В предположении существования регулярного решения получена следующая оценка погрешности метода (24) - (27)

тах11 и- ^^(пУ*1 тах11и-«1а.,.„ -

Из этой оценки следует, что при Т2М{Т)<\ итерационный метод (24) - (27) сходится в норме Ж2'(0,/). Сходимость итерационного процесса может быть обеспечена за счет малости времени Г, то есть сходимость будет только в малом. Очевидно, что исходную задачу на каждой итерации можно решать обычным методом прогонки.

Для решения задачи (18) - (21) применим метод конечных разностей. В замкнутой области Qr введем равномерную сетку:

=0)|Х(В, = {(.*,,(,), хеа>1,, I Е СОг } , т ={х, =/А, ( = 0,1,..., /V, № = /}, а г ={/; = у г, у=0,1,...,т, тт = Т).

На сетке a in дифференциальной задаче (18) — (21) поставим в соответствие разностную схему:

Уи-ШуГНгу^^+Ъ, {x,t)ecohz, (29)

*,ХаУ% Нг,у..о), tea,, (30)

j-0 I

+ (ГУ:),„у) = М°'+ +dllyF-p„), tea,, (31)

где

y(x,0) = uo(x), xecoi,, МОУГ = X (ayfh, + Ь;аму% + bja,y% - ¿,уГ, ' = U.....N -1,

(32)

1 + Л, ■

R, = - разностное число Рейнольдса,

2 к.

Хо '

hr.

1 + ——, если г„> 0, 2к0,'

если г0 < 0,

1 +

h\rtV

2*м

Xn =

если

2^-0.5 1

1+-

2к„

Ь* =7± +0(И2), г = г*+Г, \г\=г*-Г.

Пусть и(х,Г) - решение задачи (18) - (21), у',- решение разностной задачи (29) - (32), тогда обозначим через г = у-и погрешность аппроксимации. Подставляя у = г + и в (29) - (32) и считая и(х,0 заданной функцией, получим задачу для г и покажем, что схема (29) - (32) сходится и имеет порядок аппроксимации 0(И2 + тт°) на слое:

*„=*.«% + (Г*;)«, +Ь;ам2^+Ь;а,г1{; -d,z?

(33)

wlXrs.A =М" +£(*,. о(34)

«.О i

-+ (г = Рг'У

(35)

г(х,0) = 0. (36)

При выполнении условий гладкости

А(_*,/)еСы(ёг). »7(*.')еС»(бг). ФЛ *(*,<), С"(ёг), (37)

где С"'"'(£?г) - класс функций, имеющих непрерывные на производные до порядка п по л: и до порядка т по / включительно, с помощью разложения по формуле Тейлора убеждаемся, что разностная схема (33) - (36), в силу построения оператора Л, имеет погрешности аппроксимации = 0(И2 + т",<г), V, = 0(А2 + г""),

у2 = 0(И2 +г'"'7) на решении исходной задачи, если выполнены условия (37) при каждом фиксированном /.

При сг = 0.5 для решения задачи (33) - (36) при малом г < г0 получена априорная оценка

I [*'"] I2 + II +± I [И' Г < М± (| [Г'■] |2 +уГ+УГ)Т.

Из этой априорной оценки следует справедливость следующей теоремы

Теорема 3. Пусть выполнены условия (22), тогда в классе достаточно гладких коэффициентов уравнения и граничных условий решение разностной задачи (29) - (32) при малом г < г„ (с0, с,, с2) сходится к решению дифференциальной задачи (18) - (21) в смысле нормы |[г]|^= |[г/+']|2 +И+,]|! +£ |[(г;ч1 +гг};]|2 г на

/.о

каждом слое так, что справедлива оценка

\[у'*х -и'*[]\т< М(И2 +т2), где М- положительная постоянная, не зависящая от Ь и т.

Отметим, что нелокальное условие в граничном условии приводит к нарушению трехдиагональной структуры матрицы коэффициентов разностной схемы. Поэтому для решения полученной системы разностных уравнений можно использовать либо итерационные методы решения, либо метод окаймления, позволяющий, в данном случае, свести решение системы линейных уравнений с "нарушенной" трехдиагональной структурой матрицы коэффициентов к решению двух систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

В третьей главе диссертации рассматриваются локальные и нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с переменными коэффициентами в многомерной области.

В параграфе 3.1. рассматривается первая начально-краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области.

В цилиндре ¡2Г = С7 х [0 < / й Г], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед й = {х = (хи х2,—,хр): 0<*а <1а,а-\,р} страницей Г, й = Сиг рассматривается первая начально-краевая задача

^ = Ьи + ДхЛ (38) от

ы(х, 0 = 0, хеГ, 0 <1<т, (39)

и(*,0) = «„(*)> хев, (40)

где 1и = 2^Ьаи,

дх„

, ч ди Л

КШ)—

дх„

д д +--

д( дх„

дх.

дх„

0<с, <Г!а (х,1)<с,, 0<с2<ка (*,/)<с3, (41)

()т =Сх[0<1£Т], с,,/ = 0,4-положительные постоянные, а = 1,2,...,р. В предположении существования регулярного решения получена следующая априорная оценка

II и lli.ce, + II««Над * Л/(0 [ )\\/IIо II и0 М (0.

где ГуВД - зависит только от входных данных задачи (38) - (40)

Из априорной оценки следует единственность решения исходной задачи (38) -(40), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства W^ (G).

В замкнутой области QT вводится равномерная сетка:

а>1„ = <Oh хсо, = {(xntj), xecui,, teco,},

со, =П®''.. ш'<» ='Л> =0,1,...,//„, N„ha =/„},

ст=|

a>'={tj=jT, J = 0,1,...,ш, тх = Т].

На сетке соих дифференциальной задаче (38) - (40) поставим в соответствие разностную схему с весами, порядка аппроксимации 0(|Л|2 +т"°):

y,=\(i)y™+Sy + q>, (x,t)ecalir, (42)

j»|n=0, у(х,0) = гф), (43)

где А(/) = £л.( i), Л„(0У" = XÁWlíX +b:a?y™ + b;aey%-d.yM,

o=l

^о^л- ^^try+a-ffjy. j>=y+1, j/=y,

o-l

1 „ AJr| n „

r„ =-, /?„ = ° ° - разностное число Реинольдса,

1 + V 2k„

Имеет место следующая

Теорема 4. Пусть выполнены условия (41), тогда в классе достаточно гладких коэффициентов уравнения и граничных условий для решения разностной задачи (42), (43) при малом х <г0(с0, с,, с2) справедлива априорная оценка

и/*' икс +í иИ' \w ||!г+ц/ )

/-о ч/=о )

на каждом временном слое, где М - положительная постоянная, не зависящая от \h\ и г.

Таким образом, доказана устойчивость решения разностной задачи (42) - (43) по начальным данным и правой части в смысле нормы |[Я1ш= 1[У*']|2 +

llrf']|! +¿|[(yy,+'+/');]|2r на слое.

/-О

Пусть n(x,t) - решение задачи (38) - (40), yJ¡- решение разностной задачи (42) - (43), тогда обозначим через z¡ = у] - и{ погрешность аппроксимации. Подставляя у{ = z¡ +м/ в (42)-(43) и считая u(xntj) заданной функцией, получим для г задачу:

z, = A(í)z(ff)+5z+y/, (44)

z |ft = 0, z(x,0) = 0, (45)

где y/¡ = ¿¿Va - 0(1 А |2 +г"'") - погрешность аппроксимации на решении исходной

а=1

задачи при каждом фиксированном t, в силу построения оператора А.

Применяя полученную априорную оценку к задаче для погрешности, получим оценку

/-0 /-0 Из априорной оценки следует сходимость схемы (44) - (45) со скоростью 0(| А |2 +т"'°), где | А |2 = А,2 + А2 +... + А2.

Для задачи (38)-(40) рассмотрим векторные аддитивные схемы, где

д(дх„

ди

аГ

, 0<с0£ка (х)<сг

Задачу (38) - (40) перепишем в виде абстрактной задачи Коши

Аи + Ли, = /(Г),

(46)

и(0) = «0,

где А

= ¿4, л.-Ми.

„., дха ^ дха;

Краевые условия учитываются включением н(г) с £>(Л), где й(А) - область определения оператора/!. Вместо одного скалярного решения и(1) вводится вектор решений {У(0 = (и,(0> и2(0,.....«,('))•

Вместо задачи (46) рассмотрим систему однотипных подзадач:

"а(0) = "о, а =1.2,..., р.

Имеет место следующая

Теорема 5. Задача (47), полученная в результате перехода от скалярного решения задачи (46) к вектор-решению Щ(), поставлена корректно, причем "„(') - "(О > а = 1.2,.„,р для любых I е [О,Г] и справедлива оценка

НЛОЩй +

где || к ||2= \игсЬ, || и ||'а = ||«||2</г.

а о »

Для приближенного решения задачи (47) будем использовать трехслойную векторную аддитивную схему

-±« + £ +1 + 1 = й». - (48)

У"?-У'

г Ч,

где у,, - приближенное решение на момент времени ¡„=пт, г - шаг равномерной сетки по времени, /7 = 0,1..... А''р - дискретный аналог оператора Л. Будем считать, что задача (46) дополнена еще одним условием

у1'\т) = щ{х), а = 1,2,...,р, й,(.х) = «„(.*) +г «,(*), н,(*) = и,(*,0). Значение и,(х,0) ищем исходя из дифференциального уравнения (38).

Итак справедлива следующая

Теорема 6. Пусть для неявных схем (Е + т Ла + г Аау-°^х = y'J" + т <р¡¡°Ц верна оценка

ll^illSll^'ll + rll^ll.

Тогда векторная аддитивная схема (48) устойчива по начальным данным и правой части и для разностных решений верны оценки

го"" - г/>">

II N1 у!Г II + г II и, WII+Г £ г II Vt II. « = 0,1,..., а = 1,2,..., Р.

В параграфе 3.2. для уравнения (38) рассматривается третья краевая задача

n_a(x,t) = p_a{x,t)u(x,t)-p_a(x,t), при ха=0, Q<t<T, (49) -(x,t) = (x,t)u(x,t)~(x,t),^при *„=/„, 0<t<T, (50) фг.О) = «„(*), is G, (51)

где 0<c0^j]a{x,t)ict,

I*.(*.')I. \la,(x,t)|, \ra(x,t)|?„(-М)|. \Р-Л*М |A„(*.0| (52)

na(x,t) = ka(x,t)-^- + ^-\tja(x,t)-^-\ -полный поток, дха dt ^ дха)

c0, с,, c2 - положительные постоянные, a = 1,2,...,p.

В предположении существования регулярного решения получена следующая

априорная оценка

ii<jie,5 JI n/112+ i (rf +ti)dx' IdT+ Ii».wiii,.(<

V» 4 G' J

где M{t) - зависит только от входных данных задачи (38), (49) - (51).

На сетке a)/,r дифференциальной задаче (38), (49) - (51) поставим в соответствие разностную схему, порядка аппроксимации OQ h\ +г):

y- = \(t)y + <p, (x,t)ecoht, (53)

cux,,„ + (г'Уу,Л, = Р-.у*"Я.. ха=0, (54)

~ (а*ау-,,к + (у .„у;. );,*„ ) = рюу*. - л» > xa=la< (55)

у(х,0) = и„(х), хесоь, (56)

где л(7) = £ла(7),

e=i

К$)Уы=(<г.У-Хт),т + (КУХ.)ХШ; +'■>,„ +r;y-Xi -d„y.

Имеет место следующая

Теорема 7. Пусть выполнены условия (52), тогда в классе достаточно гладких коэффициентов уравнения и граничных условий для решения разностной задачи (53)-(56) при малом г < г0(с0, с,, с2) справедлива априорная оценка

\ VW)

Ь' Н^о*" I (ll^" II2 +мГ+иГ)т+\\у° II,2,,((

на каждом временном слое в сеточной норме (С?), где М - положительная постоянная, не зависящая от | А| и т.

Таким образом, доказана устойчивость решения разностной задачи (53) - (56) по начальным данным и правой части в сеточной норме (в) на слое.

Пусть и(х,{) - решение задачи (38), (49) - (51), = у{ - решение разно-

стной задачи (53) - (56). Обозначим через г/ = у/ - и/ погрешность аппроксимации. Тогда, подставляя у = г + и в (53) - (56), получим задачу для г:

гг = Л(7)г + 1//, (х,1)еа>„г (57)

=0, (58)

«=;.);= *«='„. (59)

г(х,0) = 0, хеа>1,, (60)

где (у = 0(|А|+г), =0(|/г|+г), = 0(| /г | +т) - погрешности аппроксимации на решении задачи (38), (49) - (51).

Применяя полученную априорную оценку к решению задачи (57) - (60), полу-

чаем

И2' 1Цчо

где М — положительная постоянная, не зависящая от [ А | и г.

Из априорной оценки следует сходимость схемы (57) - (60) со скоростью 0(| h | +г) в сеточной норме (G).

В параграфе 3.3 для уравнения (38) рассматривается нелокальная краевая задача

П_а (0, х', /) = (0, л', t)u[la, *', 0 + Jp(f, r)n(í., л', r)dr, 0 <t<T, (61)

= 0á/¿7\ (62)

w(x,0) = u0(x), xeG, (63)

где

0<c0á7„(j,OSc„ (64)

\rjx,t)\, |qa(x,t)\ K'i>I

c0, с,, c2-положительныепостоянные, Oá^Sí, a = 1,2,...,/?. В предположении существования регулярного решения получена следующая априорная оценка

(i с \

ll"lli¿l0,SAÍ(f) Í И/нг+^'л' ^г+И«,^)!^,,

V» ч о1 ) где M(t) - зависит только от входных данных задачи (38), (61) - (63).

В качестве одного из способов решения нелокальной краевой задачи (38), (61) -(63) рассмотрим итерационный метод, который сводит решение нелокальной краевой задачи к решению последовательности локальных задач.

Итерационный процесс для задачи (38), (61) - (63) будем строить следующим образом:

~- = Ьи+Дх, 0, (х,1)е<2г, (65)

от

'п~а (0, х'а) = р^ (О, У, о «(/„, х\ Г) + |р(<, г) «(/„,*', (66)

- Й «(/., х', о = А. ('..*'. О «('.,*', О - Р« О, о *«^ Г, (67)

а(лг,0) = «„(*), дгеО, (68)

где 5 = 0, 1, 2, ... - итерационный индекс. В качестве нулевого приближения и можно взять, например, значение решения в начальный момент времени и0(х).

В предположении существования регулярного решения получена следующая оценка погрешности метода (65) - (68):

шах11»II,г- ¿(т2м (Г))"' тах11«•

п2 1

Из оценки следует, что при т м(т) < 1 итерационный метод (65) - (68) сходится в норме (Ст). Сходимость итерационного процесса может быть обеспечена за счет малости времени т, то есть сходимость будет только в малом.

Для решения задачи (38), (61) - (63) применим метод конечных разностей. Тогда на сетке со/п дифференциальной задаче поставим в соответствие разностную схему, порядка аппроксимации <9(| й| +г):

У; = ЧОУ + <Р, (*,0 есо/п, (69)

+ (^Ч.,); = Р-„у». ~ = (70)

1-0

) = Р^У».-Р™' ха=1о (71)

у[х,0) = и„{х), хеаи, (72)

где Л(Г) = £л„(Г),

Пусть «Ос,0 - решение задачи (38), (61) - (63), у(х,,1= у{ - решение разностной задачи (69) - (72). Тогда, подставляя у = г + и в (69) - (72), получим задачу для ::

2; =Л(7)г+у, {х,1)чщг, (73)

я';'"Ч.о + *<,=<>, (74)

-+ ^ «ъ> -^' х°=1°> (75>

ф-,0) = 0, хеш/,, (76)

где у/ = 0(\И\+т), =0(|/г|+г), =0(|/г|+г) - погрешности аппроксимации на решении задачи (38), (61) - (63).

Для решения задачи (73) - (76) справедлива следующая априорная оценка

+ (77)

/-1

Тогда справедлива следующая

Теорема 8. Пусть выполнены условия (64), тогда в классе достаточно гладких коэффициентов уравнения и граничных условий решение разностной задачи (69) - (72) при малом г < т0(с0, с(, с2) сходится к решению дифференциальной задачи (38), (61) - (63) со скоростью 0(|/г]+г) в сеточной норме IVI (О) так, что справедлива априорная оценка

где М- положительная постоянная, не зависящая от | Л | и г.

Автор выражает глубокую благодарность и искреннюю признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Шханукову-Лафишеву Мухамеду Хабаловичу за предложенную тематику исследований, постоянную помощь и внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Шхануков-Лафишев, М.Х., Бештоков, М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка. / М.Х. Шхануков-Лафишев, М.Х. Бештоков // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара.: Изд-во СамГТУ, 2006. -С. 62-65.

2. Бештоков, М.Х. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. / М.Х. Бештоков // Тематический сборник научных трудов "Математическое моделирование и краевые задачи". -Нальчик, 2006. -С. 4-8.

3. Бештоков, М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка. / М.Х. Бештоков // Сборник научных трудов Молодых ученых. -Нальчик, 2006. -С. 339-341.

4. Бештоков, М.Х. О сходимости разностной схемы нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. / М.Х. Бештоков II Известия КБНЦ РАН. -Нальчик, 2006. №2. (16). -С. 86-93.

5. Бештоков, М.Х. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. / М.Х. Бештоков // III Международная конференция. Материалы. "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". -Нальчик, 2006. -С. 64-66.

6. Бештоков, М.Х. О сходимости разностных схем для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами в многомерной

области. / М.Х. Бештоков // Исследования по математическому анализу, математическому моделированию и информатике. -Владикавказ, 2007. -С. 106-114.

7. Бештоков, М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка. / М.Х. Бештоков // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения". -Новосибирск, 2007. -С. 92-93.

8. Бештоков, М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. / М.Х. Бештоков // Материалы Международного конгресса студентов, аспирантов и молодых ученых "Перспектива - 2007". -Нальчик, 2007. -Т2. -С. 167-169.

9. Бештоков, М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих первую начально-краевую задачу для псевдопараболического уравнения в многомерной области. / М.Х. Бештоков // Материалы I форума молодых ученых Юга России и I Всероссийской конференции молодых ученых "Наука и устойчивое развитие". -Нальчик, 2007. -С. 137-141.

10. Бештоков, М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка в многомерной области. / М.Х. Бештоков // Труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ, 2007. -С. 35-37.

11. Бештоков, М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для псевдопараболического уравнения третьего порядка в многомерной области. / М.Х. Бештоков // V Школа молодых ученых. Материалы. "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". -Нальчик-Эльбрус, 2007. -С. 24-27.

12. Бештоков, М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения гиперболического типа в многомерной области с нелокальным краевым условием. / М.Х. Бештоков // Известия КБНЦ РАН. -Нальчик, 2007. №3 (19).-С. 88-96.

13. Бештоков, М.Х. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. / М.Х. Бештоков // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -Нальчик, 2007. -Т.9. №1. -С. 22-25.

14. Бештоков, М.Х. Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. / М.Х. Бештоков // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. - Ростов,

2007. №5.-С. 6-9.

15. Бештоков, М.Х. О сходимости итерационного процесса для псевдопараболического уравнения третьего порядка общего вида с нелокальным условием. / М.Х. Бештоков // VI Школа молодых ученых. Материалы. "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". -Нальчик-Эльбрус,

2008.-С. 192-193.

Напечатано с готового оригинал-макета. Формат30х42 1/8. Усл. печ. л 1 Бумага офсетная. Подписано в печать 10.10.2009 г. Заказ №65. Тираж 100 экз. ЧП «Полиграфия». Лицензия № 15 ог 22.01-2003г. КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 131

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Бештоков, Мурат Хамидбиевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Метод функции Римана и априорные оценки для решения краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с нелокальным краевым-условием

§1.1. Метод функции Римана для решения краевых задач.

1.1.1. Постановка нелокальных краевых задач.

1.1.2. Доказательство существования и единственности регулярных решений нелокальных задач методом функции Римана.

§1.2. Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида.

ГЛАВА 2. Третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с нелокальным условием

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Доказательство существования и единственности регулярного решения задачи методом функции Римана.

§2.3. Априорная оценка в дифференциальной форме.

§2.4. Сходимость итерационного процесса.

§2.5. Построение разностной схемы.

§2.6. Погрешность аппроксимации.

§2.7. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

ГЛАВА 3. Краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области

§3.1. Первая начально-краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

3.1.3. Построение разностной схемы.

3.1.4. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

3.1.5. Устойчивость векторных аддитивных схем для уравнения влаго-переноса.

§3.2. Третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

3.2.3. Построение разностной схемы.

3.2.4. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

§3.3. Краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области с нелокальным условием

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

3.3.3. Сходимость итерационного процесса.

3.3.4. Построение разностной схемы.

3.3.5. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

Введение диссертация по математике, на тему "Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка"

К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы J.R.Canon [86], Камынина Л.И. [25] и Чудновского А.Ф. [71,72]. Современное естествознание, в основном физические приложения. потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечается в работе В.А.Стеклова [64].

Особый интерес в теории дифференциальных уравнений представляют краевые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена данная диссертационная работа. Заметим, что из физических соображений условия такого вида совершенно естественны и возникают при математическом моделировании в тех случаях, когда невозможно получить информацию о происходящем процессе на границе области его протекания с помощью непосредственных измерений или же когда возможно измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины (см. например, [71]). Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы, при изучении движения почвенной влаги в капиллярно-пористых средах. На задачи подобного типа, как качественно новые и возникающие при решении современных проблем физики, указывает в своей обзорной статье А.А. Самарский [56] и приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач.

Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах [7,10—18,20—29,36,39—42, 44,45,47-51,62,69,70,77-79]

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка исследуются в работах Шханукова М.Х. [73—77]. В одной из его работ [73] построен аналог функции Римана для уравнения

L(u) = urxt + d(x, t)ut + 7](х, + а(х, t)uT + Ъ(х, t)u = -q(x, t) (0.1) с достаточно гладкими коэффициентами. С помощью метода функции Римана решена задача Гурса, на основе которого решаются как уже известные, так и новые граничные задачи. Отметим, что в данной диссертаций используется этот метод для решения нелокальных краевых задач.

Методу Римана для псевдопараболических уравнений также посвящены работы [10-12.19,26,28,37,38,52,60].

А.М.Нахушев [43—46| указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии.

Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [14,15] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.

Нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка также были рассмотрены в работах [26—29,41,42,75], а в работе [62] построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений высокого порядка и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского.

Теории устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальным условием посвящены работы Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, А.В. Гулина и В.А. Морозовой, Д.М. Довле-това, B.J1. Макарова, А.Ю. Мокина, В.А. Ионкина и Н. Зидова и др.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами и разработке разностных методов их решения. Отдельно рассмотрены случаи одномерных и многомерных нелокальных краевых задач. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях нслокаль-ность по времени, впервые изученный А.И. Кожановым [29]. В его работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения

Lv{v) = щ ~ ихх - vuxxt + с{х, t)u = q(x, t) удовлетворяющее условиям u(0, t) = cx(t)u( 1, t) + h(t, т)и( 1, r)dr, 0 < t < T, о х(М) = о, о<t<T, u(x, 0) = щ(х), 0 < x < 1.

Заметим, что данное уравнение при и > 0 есть уравнение Аллера, при v = 0 — уравнение теплопроводности. Подобные задачи встречаются при изучении обратных задач, а также при изз^чении физических процессов с учетом эффекта памяти.

Общая методика исследования. В работе используется метод функции Римана для гиперболических уравнений третьего порядка, теория интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, метод априорных оценок в дифференциальной и разностной трактовках.

Научная новизна. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с переменными коэффициентами как в одномерном; так и в многомерном случаях. Для рассматриваемых краевых задач построены разностные схемы, получены априорные оценки, откуда следует устойчивость, а также сходимость разностных схем. Для первой краевой задачи для псевдопараболических уравнений с переменными коэффициентами в многомерной области построены векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации, доказана устойчивость разностных схем по начальным данным и правой части.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Бештоков, Мурат Хамидбиевич, Нальчик

1. Абрашин В.И. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики // ДУ. 1990. Т. 26. №2. С. 314-323.

2. Абрашин В.Н., Вабишевич П.Н. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // ДУ. 1998. Т.34. С. 1666-1674.

3. Абрашина Жадасва М.Г., Романова Н.С. Многокомпонентные векторные схемы расщепления для решения многомерных задач математической физики // ДУ. 2006. Т. 42, №7.С. 883-894.

4. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8. т. С. 1218-1231.

5. Ахаев С. С., Гусейнов О.М. О фундаментальном решении одной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка. // —Азерб. унив-т. Баку. 1983. —9 с.

6. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1982. -336 с.

7. Бицадзе А.В. К теории нелокальных краевых задач, j j ДАН СССР. 1984. Т.277. Ж. С. 17-19.

8. Бицадзе Л.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. // ДАН СССР. 1969. Т.185. №4. С. 739-740.

9. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. —М.: Наука. 1990. -432 с.

10. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Нахуше-ва для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса. // ДУ. 1982. Т.18. Ш. С. 280-285.

11. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М.Нахушева.//ДУ. 1983. Т.19. №1. С.163-166.

12. Водахова В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. // Сборник научных трудов (межведомственный) "САПР и АСПР в Мелиорации". -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 74-80.

13. Гайсина Л.Р. Нелокальная задача с интегральным условием. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. —Самара: Изд. СамГТУ. 2004. С. 54-56.

14. Гордезаани Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. // Препринт института прикладной математики при ТГУ. -Тбилиси. 1981.

15. Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи. // ДУ. 2001. Т.37. №7. С. 926-932.

16. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения теплопроводности. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 99 -101.

17. Довлетов Д.М. О нелокальной краевой задаче первого рода в дифференциальной и в разностной трактовках. // ДУ. 1989. Т.25. j\r-8. С. 12971307.

18. Жегалов В.И. Миронов А.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. // —Казань.: Изд. Казанское математическое общество. 2001. —226 с.

19. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода. // ДУ. 1988. Т.24. №5. С. 795-804.

20. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. // ДУ. 1977. Т.13. №2. С. 294-304.

21. Ионкин Н.И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи. //Актуальные вопросы прикладной математики. —М.: Изд-во МГУ 1989. —240 с.

22. Ионкин Н.И., Зидов И. Устойчивость в С разностных схем для одной неклассической задачи. // Вест. Моск. ун-та. Сер.15. Выч. матем. и ки-берн. 1982. Ш. С. 8-16.

23. Ионкин И.И., Моисеев Т.И. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями. // Доклады РАН. Математика. 2005. Т.400. №5. С. 592-595.

24. Камынин Л.А. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. // ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. №6. С. 1006-1024.

25. Канчукоев В.З., Шхануков М.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения. // ДУ.

26. Кирсанова Ж. Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 31-37.

27. Кожлтов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. // ДУ. 2004. Т.40. т. С. 763-774.

28. Ко'жанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка. // ДАН СССР. 1979. Т.249. №3. С. 536-540.

29. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка. // ДУ. 1980. Т. 16. т. С. 86-92.

30. Кошляков Н. С. Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. —М.: Физматгиз. 1962. —767 с.

31. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. —М.: Наука. 1975. —304 с.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир. 1964. —632с.

33. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. —М.: Наука. 1973. -407 с.

34. Макаров В.Л. Разностные схемы для квазилинейных уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями в классе обобщенных решений. // Численные методы и приложения 84. София, 1985. С. 82-90.

35. Макеев В.И. Построение функций Римапа для дифференциальных уравнений третьего порядка и их применение. // Труды тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2003. Ч.З. С. 114-117.

36. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве. // Изв. Вузов. Математика. 1999. №7. С. 78-80.

37. Митрополъский Ю.А., Шхануков М.Х., Березовский А.А. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения, j j Укр. мат. журнал. 1995. Т.47. т. С. 790-801.

38. Мокин А.Ю. Согласованность норм при исследовании разностных схем для задачи Самарского-Ионкина. // ДУ. 2006. Т.42. №7. С. 969-978.

39. Напсо А.Ф. Задача с внутренними условиями для псевдоиараболическо-го уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2001. Т.З. №4. С. 36-39.

40. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. №2. С. 44-49.

41. Haxyuiee A.M. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа. 1995. -301 с.

42. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978. Т.242. №5. С. 1008-1011.

43. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро- дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДУ. 1979. Т.15. №1. С. 96-105.

44. Нахушев A.M. Об некоторых способах идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги. // Сборник научных трудов (межведомственный) "САПР и АСПР в Мелиорации". -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 3-20.

45. Олисаев Э.Г., Лафишева М.М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. .№2. С. 50-56.

46. Пулъкина Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. // ДУ. 2000. Т.36. .№2.

47. Пул ъкина Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". —Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 190-192.

48. Пулькина Л.С., Климова Е.Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебания струны. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 192-195.

49. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. —М.: Высшая школа. 2003. -255 с.

50. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа. // ЖВМ и МФ. 1963. Т.З. №2. С. 266-298.

51. Самарский А А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // ДУ. 1980. Т.16. №11. С. 1925-1935.

52. Самарский А. А., Вабишевич П.Н., Мат ус П.П. Устойчивость векторных аудитивных схем // Докл. РАН. 1998. Т. 361. №6. С. 746-748.

53. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. —М.: Наука. 1973. -415 с.

54. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука. 1978. -589 с.

55. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка. // Изв. Вузов. Математика. —Казань. 1997. №5. С. 69-73.

56. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. —Нальчик: Изд. КБНЦ РАН. 2002. -144 с.

57. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А.А. для псевдопараболических уравнений высокого порядка. // ДАН СССР. 1987. Т.297. №3. С. 547-552.

58. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. —М.: Наука. 1964. —206 с.

59. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. —М.: Наука. 1983. -432 с.

60. Соболев С.JI. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1992. -431 с.

61. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1966. -724 с.

62. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз. 1960. -656 с.

63. Хилькевич Г.И. Аналог принципа Сен-Венапа, задача Коши и первая краевая задача в неограниченной области для псевдопараболических уравнений. // УМН. 1981. Т.36. №3. С. 229-230.

64. Худалов М.З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа, j j Владикавказский математически й журнал. 2002. Т.4. т. С. 59-64.

65. Чудновскии А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве. // Сб. трудов АФИ. 1969. №23. С. 41-54.

66. Чудновскии А.Ф. Теплофизика почв. —М.: Наука. 1976. —352 с.

67. Шхануков М.Х. Исследование краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка методом функции Римана. // Сообщения АН СССР. 1983.

68. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений. // ДУ. 1983. Т. 19. №1. С. 145-152.

69. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. // ДУ. 1982. Т.18. №4. С. 689-699.

70. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнении третьего порядка. // ДАН СССР. 1982. Т.265. №6. С. 1327-1330.

71. Шхануков М.Х. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского. // Докл. АМАН. 1994. С. 38-43.

72. Шхануков М.Х., Абрегов М.Х. О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач и их приложения к автоматизированным системам. // -Нальчик. 1989. С. 275-283.

73. Шхануков М.Х. Олисаев Э.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности в сферической и цилиндрической системах координат // Вестник СОГУ. Серия — Естественные науки. 1999. Т.1. №1. С. 70-71.

74. Янгарбер В.А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса. // Докл. BACXHHJI. 1966. №8.

75. Hallaire М. L'eau et la production vegetable. // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. №9.

76. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip. // Arch. Rat. Mech. Anal.,

77. Cotton D.L. Pseudoparabolic equations in one space variable. // J. Different, equations. 1972. Vol.12, p. 559-565.

78. Cotton D.L. Integral operators and the first initial-boundary value problems for pseudoparabolic equations with analytic coefficients. // J. Different equations. 1973. Vol.13, p. 506-522.

79. Calistry N. On the existence and asymptotic behavior of the solution of a boundary value problem, j j Analele stiinfiface ale Universitatis "Al. J.Cuza". Jaci Tomul. 24, S.J. a.f. 1978. p. 135-140.i

80. Canon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy, // Quart. Appl. Math. 1963, 21, -2, p.155-160.

81. Lanckau Eberhard Zur behandlung pseudoparabolisher differential gleichun-gen mit functionen theoretischen Methoden. "Beitr. Anal". 1981. Vol.16., p. 96-97.

82. Stecher M., Rundell \V. Maximum principles for pseudoparabolic partial differential equations. // J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol.57, p. 110-118.

83. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations non-cylindrical domains. // J. Different equations. 1978. Vol.28, p. 394-404.

84. Showalter R.E., Ting T. Pseudoparabolic partial differential equations. // Siam. J. Math. Anal. 1970. Vol.1, p. 1-26.

85. Бештоков М.Х. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. // Тематический сборник научных трудов "Математическое моделирование и краевые задачи". —Нальчик. 2006. С. 4-8.

86. Бештоков М.Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Сборник научных трудов молодых ученых. —Нальчик. 2006. С. 339-341.

87. Бештоков М.Х. О сходимости разностной схемы нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. // Известия КБНЦ РАН. —Нальчик. 2006. №2. (16). С. 86-93.

88. Бештоков М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения гиперболического типа в многомерной области с нелокальным краевым условием. // Известия КБНЦ РАН. -Нальчик. 2007. №3 (19). 4.1. С. 88-96.

89. Бештоков М.Х. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. // Доклады АМАН. —Нальчик. 2007. Т.9. №1. С. 22-25.

90. Бештоков М.Х. Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. — Ростов. 2007. Ш. С. 6-9.