Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Попов Николай Сергеевич

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ПСЕВДОГИПЕРВОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 7 ОКТ 2015

005562966

Казань - 2015

005562966

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова», на кафедре математического анализа Института математики и информатики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, главный научный сотрудник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Логинов Борис Владимирович, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет» (г. Ульяновск), профессор кафедры высшей математики

доктор физико-математических наук, профессор Федоров Владимир Евгеньевич, ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» (г. Челябинск), заведующий кафедрой математического анализа

Ведущая организация: ФГБОУ ВО «Московский государственный

университет имени М.В. Ломоносова» (г. Москва)

Защита состоится 29 октября 2015 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Россия, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Кремлевская, д.35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета и на сайте kpfu.ru.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент ¿/" --е.К. Липачев

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений. В качестве первых работ в исследовании нелокальных краевых задач отметим работы В.А. Стеклова (1896), Ф.И. Франкля (1956), В.И. Жегалова (1962).

Новый импульс теории нелокальных краевых задач придала работа A.B. Бицадзе и A.A. Самарского (1969). Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Г.М. Кесельмана, A.JI. Скубачевского, A.A. Шкаликова. Исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений математической физики были посвящены работы В.И. Жегалова и его учеников.

Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных, являются работы J.R. Cannon, Л.И. Камынина, опубликованные в 1963 и 1964 годах. Среди последующих работ отметим работы Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и A.B. Филиновского, С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука, А. Bouziani и N-E. Benouar, A. Bouziani, Н.И. Иванчова, J.R. Cannon и Van der Hoek, З.А. Нахушевой, Ю.Т. Сильченко, N. Lazetic, А.И. Кожанова, JI.C. Пулькиной, Г.А. Лукиной, в которых изучались задачи с интегральными условиями для уравнений параболического и гиперболического типов, для некоторых неклассических дифференциальных уравнений.

Цель работы. Основной целью работы является исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

Методы исследования. Доказываются теоремы существования и единственности решений пространственно нелокальных краевых задач для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, основанный на методе априорных оценок, а также метод Фурье.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

• доказаны новые теоремы разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского для одномерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. Для псевдопараболических уравнений доказана однозначная разрешимость краевых задач с нелокальными интегральными краевыми условиями;

• доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с интегральными граничными

условиями для многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка;

• доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с нелокальными условиями для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений методом Фурье.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут быть применены в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре при кафедре дифференциальных уравнений Казанского федерального университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Жегалова (Казань, 2015), на объединенном семинаре кафедры математического анализа СВФУ (Якутск, 2014, 2015), НИИ математики СВФУ «Неклассические дифференциальные уравнения, управляемые процессы и их приложения» под руководством д.ф.-м.н., профессора И.Е. Егорова, на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2012-2014), на Всероссийской научной конференции и Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2012), на XVI-XVIII Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (2009-2011, Москва), на II Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2009), на Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск, 2010), на III Международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2011), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), на Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - аль-Хорезми 2012» (Ташкент, Узбекистан, 2012), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире» (Мирный, 2014), на XLVII-LII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009-2014), на VI и VII Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2011, 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах: 8 статьях [1-8], 16 тезисах докладов [9-24]. В совместных работах [2,3] постановка задач, идея доказательств теорем разрешимости краевых задач I—III принадлежат научному руководителю А.И. Кожанову. 7 статей [1-7] опубликованы в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий ВАК, в том числе 4 статьи [1-4] (2 статьи переводные), входят в международные реферативные базы данных и систем цитирования Web of Science, Scopus.

Работа выполнена при поддержке гранта ректора СВФУ на проведение научных исследований студентов и молодых ученых (2009, 2014), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (коды проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607), при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект 4402) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. мероприятия 1.3.2 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (Соглашение 14.132.21.1349).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 102 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, а также кратко описывается содержание работы.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию разрешимости нелокальных краевых задач для одномерных псевдопараболических уравнений третьего порядка.

Пусть П — интервал (0,1) оси Ox, Q = Q х (0,Т), 0 < Г < +оо.

В параграфе 1.1 рассмотрена пространственно нелокальная краевая задача для уравнения

щ — а(х, t)uxx + с(х, t)u - uxxt = f(x, t), (x, i) 6 Q, (1)

с нелокальными интегральными условиями

i

J Hi(x,t)u{x,t)dx = 0, г = 1,2, (2)

о

где a(x,t), c(x,t), f{x,t), #¡(x, t) (i = 1,2) — заданные функции определенные при х 6 П= [0,1], í€ [0,31.

Краевая задача 1: найти функцию и(х, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1), и такую, что для нее выполняются условия (2), а также начальное условие

tt(x,0) = 0, хеП. (3)

В случае локальных краевых условий теоремы разрешимости для уравнения (1), называемого псевдопараболическим или же уравнением Адлера, были доказаны в работах С.Я. Якубова (1999), А.И. Кожанова (1999).

Если умножим исходное уравнение (1) на Щ{х, 4) и проинтегрируем по области П, то с учетом условий (2) и выполнения условия

-Я1(0|4)Я2(1,*) + Д1(11«)Я2(0,0?«0 ге [О, Г], (4)

вместо нелокальных краевых условий (2) получим условия вида

«*( 0, ¿) = О1(0«х(0, *) + а2(*К( 1, Ь) + а3(*М0,*) + а4(«Ы1.0+

1 1 +в5(4)и(0,0+а⹫(1,*) + / К1(х,г)и(х,$(1х + / ^(х, Ь)щ(х, г) <1х,

о о

иЖ г) = /ШМО, г) + *) + &(*Мо, *) + ШМ1- *)+

1 1

(5)

(б)

где а*;(£), (А; = 1,..., 6), К^х, ¿), Л/}(х, <) (? = 1,2)— заданные функции определенные при х е П, £ 6 [0, Т]. Считаем, без ограничения общности,

J Щx,t)f{x,t)dx = 0, ¿ = 1,2.

Краевая задача 2: найти функцию и(х, являющуюся в прямоугольнике <2 решением уравнения (1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (5), (6), а также начальное условие (3). Пусть У0 есть пространство

Ц> = (ф,*) : у{х,г)!у1(х^),ухх(х^),ухх1{х,1) 6 Ь2(<Э), Ух{Х,1) 6 ¿¡»(О,Т;Ж}(П)}.

Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия

а(М) 6 С1^), с(х,г) еС1®), а{х,г)>а0> 0, с(ж, 4) > со > 0 при (ж, 4) е <Э;

£»,{«) ес^ао,!]), /адесЧр.т]), ¿ = 1,...,б;

еС^Ю), лЦх.ОеС1^), р = 1,2; (7)

а4(<) + Р^) Ф 2, 1

/ хА/^х, *)[(в4(*) - + 2) - 2(а4(4) - 1)х] ¿г + а4(*) + Ш) Ф 2 о

при 4 € [0,71;

i(£i.6,t) = <*i(t)8 + (a«(t) - - ß4(t)tf > 0

при t € [О, T], ({,,€,) 6 R2,

f(x,t)eL2(Q).

(9)

Тогда существует единственная функция и{х, ¿) из пространства Уо, являющаяся в прямоугольнике С} решением краевой задачи 2.

Замечание 1.1.1. Последние два условия в (7) выполняются, если заданные функции °ч(I), ^(х, {) малы по абсолютной величине.

Для доказательства теоремы 1.1.1. рассматривается краевая задача 3, имеющее самостоятельное значение.

Краевая задача 3: найти функцию и(х, <), являющуюся в прямоугольнике <3 решением уравнения (1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

а также начальное условие (3).

Используемые методы основаны на переходе от задачи для «хорошего» уравнения с «плохими» граничными условиями к задаче с «хорошими» граничными условиями, но для «плохого» уравнения — так называемого нагруженного уравнения, доказательстве разрешимости полученной задачи с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок. Ранее подобные методы в близкой ситуации эффективно использовались в работах А.И. Кожанова (2008, 2010).

Параграф 1.2 представляет собой исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничным условием A.A. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

В области Q рассматривается уравнение

и*(( 0, t) = ai(i)ux(0, t) + a2(i)«x(l.+ a3(t)wi(0, t)+

(10)

+a4(i)«t(M) + a5(i)u(0,t) + ae(t)u(l,t)

«x«(l, t) = Ä(t)«x( 0, t) + ft(t)«x( 1, t) + ß3(t)ut{ 0, t)+

(И)

+ß4(t)ut( 1, t) + ß5(t)u(0, t) + ße(t)u{ 1, t),

Utt ~ a(x, t)uxx + c(x, t)u - uxxt = f(x, t), (x, t) € Q,

(12)

с нелокальными краевыми условиями 1

ux(0,t) = ai(t)u(0,t) + a2(t)u{l,t), MM) = ßi(t)u{0,t) + ß2{t)u(l,t),

с нелокальными краевыми условиями 2

и(0, Ь) = ах (г)их{0,0 + а2(<К(1, ¿),

а также с нелокальными краевыми условиями 3

«ЛО, <) = ах(()«(0,+ а2(<К(1,0,

«(1, г) = /Ши(о, ¿) + &(*)«,( 1, 1

где а(х, 4), с(х,<), }{х, Ь), «1(4), а2(<), ^(4), /32(4) — заданные функции определенные при хеП = [0,1], < € [0,Т].

Краевая задача 4: найти функцию и(х, *), являющуюся в прямоугольнике С? решением уравнения (12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

1 (13), а также начальные условия

и{х, 0) = 0, щ(х, 0) = О X е П. (16)

Краевая задача 5: найти функцию и{х,£), являющуюся в прямоугольнике <3 решением уравнения (12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

2 (14), а также начальные условия (16).

Краевая задача 6: найти функцию и(х, 4), являющуюся в прямоугольнике <2 решением уравнения (12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

3 (15), о также начальные условия (16).

Отметим, что в работе А.И. Кожанова (2009) методом регуляризации и продолжения по параметру была исследована разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения

иа - ихх + с(х, г)и = Дх, г) (17)

с краевыми условиями 1, 2 или 3. В случае локальных краевых условий (13) или (14) или (15) — т.е. при выполнении условий а2(<) = 5 0 - теоремы разрешимости

аналогичных краевых задач для уравнений (12) были доказаны в работах С.Я. Якубова, А.И. Кожанова.

Определим пространство Ц:

V! = Мх, г): у(х, г) е МО, т; и^п)),

щ{х, ¿) 6 £2(О, Г; Ж|(П)) П 1^(0, Т; И^П)), уи(х, 4) € ¿2(<?)}■ и введем обозначения

«ф, г) = ~ - и0)2 + + (1 - ц,)а4(*)](х - "о), ¿=1,2,

А(4) = [1 - 01 (0, *)][1 - а2(М)] - ах(1,£)а2(0, *),

где и0 6 [0,1].

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия

а{х,г),с(х,г) е С1 {Я), а<(*) е с3([о,т]), Д(0еС3([0,Т]), ¿ = 1,2; |Л({)| > 50 > 0 при ге[0,Т];

(19)

Тогда существует единственная функция и(х^) из пространства являющаяся в прямоугольнике <3 решением краевой задачи 4.

Замечание 1.2.1. Условие |Д(1)| > 80 > 0 при любых ( е [О, Г] очевидно будет выполнено, если заданные функции а¡(¿), (г = 1,2) малы по абсолютной величине.

Теорема 1.2.2. Пусть выполняются условия

а{х,г),с{х,г) € С2(Я), а{(*),Д(4) е С3([0,Т]), г = 1,2; (/ад-а1(*) + 1)2<4(а2(<)/Щ при * 6 [0,71; (20)

&(«) + аг(г) = 0 при 4 €[0,Г]; аШ1 + 2а2№&& - /ШЙ > 0 при t € [О,Т], £ 6 Е2;

Э/^о 6 (0; 3/2) :

[ро + ба^«)] Й + 4а4(0«2 + 1»о ~ ЩЖ1 > 0 (21)

при 4 6 [0,71, £6К2;

/(*,*)€ 1а(<г), /«(*,*) € Ь2(<Э), /х(ОМ)еЬ2(<Э), /(ж, 0) = 0 при и /х(0,0) = Л(1,0) = 0.

Тогда существует единственная функция и(х, ¿) из пространства Уи являющаяся в прямоугольнике С? решением краевой задачи 5.

Замечание 1.2.2. Условия (20) очевидно будут выполнены при любых £ € [О, Т], если для заданных функций выполняется а1(<)/32(<) < 0 и Дг(£) — +1> «ли малы по абсолютной величине.

Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия

а{х,1),с{х,Ь) € С2(д), 0,(0, А(4) € С3([0, Т]), г = 1,2; а2(<)>-1, < 0 при «€[0,71;

Ш<0, а2(Ь) = Ш при 4 €[0,71;

(23)

1{хл)еЬ2{Я), 61а(0),

/(ж, о) = о при хеТг и /1(1, о) = о.

Тогда существует единственная функция и(х, t) из пространства Vlt являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 6.

В параграфе 1.3 исследуется разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для одномерных линейных псевдопараболических уравнений с граничным условием, представляющим собой комбинацию нелокальных граничных условий A.A. Самарского с переменными коэффициентами и граничных условий интегрального вида. Подобные нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений ранее изучались лишь в частных случаях (см. работы А.П. Солдатова, М.Х. Шханукова (1987), А.И. Кожанова (2004)). В области Q рассматривается уравнение

щ - а(х, t)uxx + с(х, t)u - uxxt = f{x, í), (x, t)eQ (25)

с нелокальными краевыми условиями 1

i

«x(0,í) = Qi(í)«(0,í) + a2(í)u(l,í) + f Kx{x)u(x,t)dx,

! (26) «x(l, t) = ßi(t)u{0, t) + ß2{t)u(\, t) + f K2(x)u(x, t) dx,

o

с нелокальными краевыми условиями 2

i

u*(0, í) = oi(t)«(0, f) + a2(t)ux( 1, í) + / K^xMx, t) dx,

(27)

«(1, t) = ßx(t)u{0, í) + &(í)ux( 1, í) + / K2(x)u(x, t) dx,

o

а также с нелокальными краевыми условиями 3

i

u(0, t) = ai (i)ux (0, í) + a2 (t)ux (1, í) + / Kx {x)u(x, t) dx,

Í (28) w(l,i) = ßi(t)ux{Q,t) + ß2{t)ux{\,t) + ¡K2(x)u{x,t)dx,

0

где a(x, t), c(x, t), I<x{x), K2{x), f(x, t), on(t), a2(t), ßi(t), ß2{t) — заданные функции определенные при х € fi = [0,1], í 6 [0,Т].

Краевая задача 7: найти функцию u{x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

1 (26), а также начальные условия

и(х, 0) = 0, х 6 П. (29)

Краевая задача 8: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

2 (27), о также начальные условия (29).

Краевая задача 9: найти функцию и(х, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 3 (28), а также начальные условия (29).

Определим пространство

V2 = {v(x,t) : v(x,t) е Ьоо(0,Г; W*(il)),

vt(x, t) € L2{О, Т; И?(П)), vxxt(x, t) е L2(Q)}.

Приведены теоремы 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 однозначной разрешимости краевых задач 7, 8, 9 соответственно [2,3].

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость многомерных пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений. В многомерном случае исследования подобных задач ранее относились к параболическим и гиперболическим уравнениям, многомерные псевдопараболические, псевдогиперболические задачи с интегральным условием на боковой границе ранее не изучались.

В §2.1 рассматриваются псевдопараболические уравнения. Пусть — ограниченная область пространства R" с гладкой (для простоты, бесконечно-дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр Г2 х (О, Т) (0 < Т < +оо), S = Г х (0,Т) — его боковая граница, a{x,t), c{x,t) и f{x,t) — функции, заданные в цилиндре Q, u0(z) — функция, заданная на множестве П, К(х, у, t) — функция, заданная при х 6 П, у € П, t б [О, Г].

Краевая задача 10: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lu = ^(u- Auj - а(х, t)Au + с(х, t)u = f{x, t), (30)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х, 0) = ио(х), xeU, (31)

«(z,i)l(*,i)es = J K{x,y,t)u{y,t)dy\ix<ms- (32)

!1

Краевая задача 11: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (30), и такую, что для нее выполняются условия (31) и условие

ди(х, t) Г . , ,

где и(х) = (fi,..., ип) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке.

(33)

(i ,t)es

Пусть

Определим оператор М по формуле

(.Ми)(х, 4) = м(х, 4) - J К(х, у, г)и{у, г)йу. п

Пусть оператор М однозначно и непрерывно обратим как оператор из £2(П) в ^(П) при всех < е [О, Г], и существуют положительные постоянные ггсь т2 такие, что выполняются неравенства

7711J и2(х, £) (1х < У [Ми(х, <)]2 сЬ <тп2 у и2(х, <) <±с (34)

!! и и

при любых г 6 [0, Т] и и(х,4) 6 £оо(0,Г; Введем обозначения

Р0 = птах Г Г (Д1А')2(х, у, 4) ¿хйу,

<Эо = шах / / /<"2(х, у, 4) <£Ыу. «е(о.гг]

Теорема 2.1.1. Пусть выполняются условие (34), а также условия

(35)

а(х,г), с(хД) е с1^), а(х, <) > а0 > 0, с(х, 4) > со > 0 при (х, <) € <?; (36)

К(х,у,г) ес3(ПхПх [о,г]),

(37)

/(х, г) € ¿2(<9). Ио(х) 6 (38)

Тогда краевая задача 10 имеет решение и(х, <), принадлежащее пространству Уз, и это решение единственно.

Пусть К^х, у, 4) — функция, определенная на множестве Г2 х П х [0, Т] и такая, что при (х, у, <) € Г х П х (0, Т) выполняется равенство

дК!{х,у,г)

ди(х)

С помощью Кх(х, у, 1) определим оператор

= К(х,у,г)

(М1и)(х, I) = и(х, 4) - У ^(х, у, «)и(у,

Пусть оператор Мл однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2{9) в Ь2{0) при всех Ь е [0,Т] и существуют положительные постоянные т3, т4 такие, что выполняются неравенства

го3 J и2 (ж, г) ¿х < J[Мг^х, г)]2 Лх < т4 J и2(х, 1) ¿х (39)

« !1 1! при любых { е [О, Т] и и(х, ¿) е ¿„(О, Г; Ь2(П)). Введем обозначения

= тах / / (АхК^х, у, г) ¿тЛд п п

= / / У, 0 ¿х^у. Теорема 2.1.2. Пустпь выполняются условие (39), а также условия

(40)

а(м), с{х,г)

а(х,4) > а0 > О, с(х,4) > с0 > 0 при (х,«) е ¡3; (41)

•К'и^У,*) 6 С3(П х П х [0,Т]),

/(®,0 е £з(<?), (43)

Тогда краевая задана 11 имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству У3, и это решение единственно.

Замечание 2.1.1. В теореме 2.1.1 условия малости на функции К(х, у, £), ДхК(х, у, ¿) можно заменить на условия симметричности А"(х, у, г) = /«"(у, х, и обращения в нуль на границе:

К(х,у, <) = ЯуДх,у,г) = 0 (1 = 1,...,п) при у € Г.

Аналогичное верно для функции для функции К\{х, у, 4) в случае теоремы 2.1.2.

Замеч£1ние 2.1.2. В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 от условий а(х, () > а0 > 0, с(х,4) > со > 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функции а(х, 4), с(х, и их производные.

В §2.2 рассматриваются псевдогиперболические уравнения.

Краевая задача 12: найти функцию и(х,4) являющуюся в цилиндре <2 решением уравнения

Ьи=^(щ- Аи\ - Ви = /(х,«),

а (44)

¡¿=1 4

и такую, что для нее выполняются условия

и(ж,0) = ио{х), щ{х, 0) = ^(х), (45)

иОМ)|(х,()ез = J К{х,у,г)и{у,1)йу\^1)^- (46)

Краевая задача 13: найти функцию и{х,€), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения (44), и такую, что для нее выполняются начальные условия (45) и условие ди(х, <)

ди(х)

= / К(х,у,г)и(у,

^..... .>

г)йу

(47)

где и{х) = (ух,..., ип) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке.

Предполагаем выполнение условия эллиптичности и симметричности на оператор В:

п

Ь'Чх) = £ &«(*)&$, > а(£ + + а> 0, £ е К". (48)

Определим оператор М по формуле

(Ми)(х, <) = и(х, <) - j к{х, у, ()м(г/, г)Лу.

!!

Пусть оператор М однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2(0.) в Ь2(П) при всех 4 6 [0, Г], и существуют положительные постоянные тп\, тп2 такие, что выполняются неравенства

гп\ J и2(х,г)сЬ< ![Ми{х,г)\2 <Ь < тп2 J и2{х,г)йх (49)

!! и и

при любых г е [о, Т\ и и(х, г) е ¿^(о, Т; Ь2(П))-Определим пространство У4:

(50)

У4 = {»(*, ¿) : 4) б ¿¡¡(О, Т; И?(П)) П Ьте(0, Т; И^(П)), и(х, г) 6 ¿„(О, Т; И^(П)), щ(х, 4) 6 !*(<?)}.

Введем обозначение

(?о = тах / / К2{х,у,г)(1хйу. (51)

«ем JJ а п

Теорема 2.2.1. Пусть выполняются условия (48), (49), а также условия

&(*,<) ес^о), ь«(1)ес0'й (г,; = 1,...,п),

-6(х,*)>Ьо>0 при (х,4)€<3; (52)

К{х,у,Г) еС3(П хПх [0,Т]),

Яо . „ __ х ^ Л \/2

1-^>0 при ¿0е(0,-^-); (53)

/(x,t) 6 L2{Q), щ(х) e w^njy^), ux(x) e (54)

Тогда краевая задача 12 имеет решение и(х, t), принадлежащее пространству V4, и это решение единственно.

Введем обозначение

Qi = max I I K2(x,y,t)dydSx. (55)

<€[0,Т] J J Г Я

Теорема 2.2.2. Пусть выполняются условия Ь*(х) = Ь>'(х),

i=1 (56)

< £ <ßY, a,ß > 0, i = ...,*»)€ R",

<j=i i=i

кроме того

b(x,t)eC\Q), 6«(х)еС»(П) (»j=j1,...,п),

-b(x,t)>bo>0 при (x,t)eQ; (57)

K(x,y,t)eC3(UxUx [0,Т]),

1 - 4Qi > 0, 2 - ¿2 - > 0 при д"2 S (о, ^g) ! (58)

и0(х) eH^(ii)rw£(fi), щ(х) e wj(ii), f{x,t)eL2{Q). (59)

Тогда краевая задана 13 имеет решение и(х, t), принадлежащее пространству V4, и это решение единственно.

Замечание 2.2.1. В теоремах 2.2.1 и 2.2.2 от условий —6(х, i) > Ьо > 0 можно откгзать-ся, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию Ь(х, t) и их производные.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, но с общими нелокальными краевыми условиями A.A. Самарского и интегральными условиями с переменными коэффициентами.

В §3.1 проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с интегральными граничными условиями, условиями A.A. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдопараболических уравнений.

Пусть П — интервал (0,1) оси Ох, Q — прямоугольник П х (О, Т), 0 < Т < +оо. В области Q рассматривается уравнение

iH-uxxt-0Mxx = f(x,t), (x,t)eQ, (60)

с нелокальными краевыми условиями

«x(O.i) = ai(i)u(0,i) + a2(t)u(l,t) + / K1(x)u(x,t)dx,

ï (61) «*(1. t) = A(i)u(0, t) + fo{t)u{ 1- t) + J K2{x)u{x, t) dx,

0

где f(x,t), ai(i), a2(t), 0i(t), fait), K'i(x), K2{x) — заданные функции определенные при х в О = [0,1], t € [О, Г], а - постоянная.

Краевая задача 14: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (60), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (61), а также начальные условия

и(х, 0) = 0, а; 6 fi. (62)

С помощью метода Фурье разрешимость краевой задачи 14 эквивалентно сводится к разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерры

Pi(t)${t) + Г G(t, т)ф(т)dr = F(t), ф{1) = Ш, ф№), (63)

J о

где Pi[t), G(t,r) — матрицы второго порядка с коэффициентами, определяемые через входные данные краевой задачи 14.

Теорема 3.1.1. Пусть выполняются условия

«iWeC'dO.T]), ft(i) eCHIO,Г]), ¿ = 1,2; Кр(х) е C»(fi), р — 1,2; det|Pi(i)| ф 0, Vie[0;T|, (64)

f(x,t)eL2(Q).

Тогда существует единственная функция и(х, t) из пространства V0, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи (60)—(62).

Замечание 3.1.1. Пусть an(t) = a2(t) = j3t(t) = /32(t) = 0, Кг(х) = 0. Вместо (64) имеем следующее интегральное уравнение

РЖ*) + / m(t, г)ф[т) dr = F2(t), (65)

о

ï

где условие pi ф 0 эквивалентно выполнению неравенства / К2(х) [| + dx ф 1.

о s

В §3.2 проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач, для простоты, с интегральными граничными условиями с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдогиперболических уравнений. В области Q рассматривается уравнение

ип ~ аихх - uxxt = f(x, t) (х, t) € Q, (66)

с нелокальными краевыми условиями

1 1 «1(0,{) = J Кх{х)и{хЛ)йх, их(М) = J К2(х)и{х,1)<1х. (67)

о о

где /(х, 4), К,(х), К2(х) — заданные функции определенные при г е 12 = [0,1], ; 6 [О, Г], а — постоянная.

Краевая задача 15. Найти функцию и(х, 4), являющуюся в прямоугольнике С? решением уравнения (66), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые ус.ювия (67), а также начальные условия

и(х, 0) = и0(х), щ(х, 0) = И1(х), х е П. (68)

Как и в параграфе 3.1 разрешимость краевой задачи 15 эквивалентно редуцируется к разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерры

2(<)<?№ + /' М(Т - 1)ф{т) dr = F(t), ${t) = Mi), V«), Jo

(69)

где P2{t), М(т — t) — матрицы второго порядка с коэффициентами, определяемыми через входные данные краевой задачи 15.

Теорема 3.1.2. Пусть выполняются условия

ВДеф), р = 1,2; det \P2(t)\ ф 0, Vi6[0;T]; а < 0, f{x,t) eLi{Q).

Тогда существует единственная функция u(x,t) из пространства Vlt являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи (66)—(68).

Замечание 3.2.1. Как в замечании 3.1.1 рассмотрим случай, когда Кг(х) = 0 Vx € [0; 1]. Имеем следующее интегральное уравнение

t

р2Ш + /т(т- 1)ф{т) dr = F2(t), (71)

о

1

где условие р2 ф 0 эквивалентно выполнению неравенства f К2(х) dx ф -¡j.

о

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Александру Ивановичу Кожанову за постановку задач, ценные советы, помощь в работе над диссертацией и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдогиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов // Дифференциальные уравнения. — 2015. - Т.51, № 3. - С. 359-372.

[2] Попов, Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов, Н.С. Попов // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2010. Т. 10, Выпуск 3. — С. 63— 75.

[3] Popov, N.S. Solvability of nonlocal boundary value problems for pseudo-parabolic equations / A.I. Kozhanov, N.S. Popov // Journal of Mathematical Sciences. - 2012. Vol.186, №. 3. - P. 438-452

[4] Popov, N.S. Solvability of a boundary value problem for a pseudoparabolic equation with nonlocal integral conditions / N.S. Popov // Differential Equations. - 2015. - V.51, № 3. - P. 362-375.

[5] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т.21, № 2. -С. 69-80.

[6] Попов, Н.С. О разрешимости пространственно нелокальной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения / Н.С. Попов // Математические заметки ЯГУ. - 2013. Т.20, Вып. 2. - С. 152-169.

[7] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Математические заметки ЯГУ. - 2012. Т.19, Вып. 1. -С. 82-95.

[8] Попов, Н.С. Об одной краевой задаче для псевдопараболического уравнения с нелокальными условиями типа Самарского / Н.С. Попов // Лучшие доклады общеуниверситетской научной конференции студентов СВФУ имени М.К. Аммосова (18 мая 2009 г.) -Якутск: Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2010. - С. 20-23.

[9] Попов, Н.С. Разрешимость задачи со смещением для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Тезисы докладов секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «Ломоносов-2009». — Москва: ММФ МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009. - С. 55-56.

[10] Попов, Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений / Н.С. Попов // Материалы Международного научного форума «Ломоносов-2010»: Математика / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев, A.B. Андриянов. Электронный ресурс. - М.: Макс Пресс, 2010. - Секция 14-1. №459822883. - С. 1-2.

[11] Попов, Н.С. О разрешимости нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения с интегральным смещением / Н.С. Попов // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. Часть И: Тез. докл. - Якутск, 10-13 ноября 2010

г. - С. 26-27.

[12] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи с нелокальными интегральными краевыми условиями для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / - Новосибирск: изд-во НГУ, 2011. - С. 58.

[13] Попов, Н.С. Об одной краевой задаче с нелокальными интегральными краевыми условиями для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2011»: Подсекция «Математика» / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Б.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2011. - С. 132.

[14] Попов, Н.С. Исследование краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными краевыми условиями / Н.С. Попов //VI Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, В.И. Васильева - Якутск: ОАО «Медиаг холдинг Якутия», 2011. - С. 55-57.

[15] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов // III Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач»: Тез. докл. - Новосибирск: изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2011. - С. 4748.

[16] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Материалы 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосибирск: изд-во НГУ, 2012. - С. 40.

[17] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для неклассических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями интегрального вида / Н.С. Попов // Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики». (Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.): Тез.докл. - Новосибирск: ЗАО «Сибирское научное изд-во», 2012. -С. 420.

[18] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдогиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов // IV Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». (Новосибирск, 5-15 августа 2012 г.): Тез.докл. - Новосибирск, Академгородок: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2012. - С. 99.

[19] Попов, Н.С. Краевые задачи для неклассических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями интегрального вида / Н.С. Попов // Тезисы докладов Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики

и информационных технологий - аль-Хорезми 2012»: Секция № 2 «Дифференциальные уравнения и динамические системы» / Гл. ред. М.М. Арипов - Ташкент, «НУУз им. М. Улукбека», 2012. - С. 34-35.

[20] Попов, Н.С. Разрешимость нелокальных краевых задач для псевдогиперболических уравнений / Н.С. Попов // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т.

- Новосибирск, 2013. - С. 98.

[21] Попов, Н.С. Исследование разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2013»: Подсекция «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2013. - С. 16.

[22] Попов, Н.С. Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для псевдогиперболических уравнений / Н.С. Попов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.): Тез. докладов / Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН. - Новосибирск, 2013. - С. 227.

[23] Попов, Н.С. О разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений третьего порядка / Н.С. Попов // VII Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, Ф.М. Федорова

- Якутск: ОАО «Компания Дани-Алмас», 2014. - С. 61-62.

[24] Попов, Н.С. Об одной нелокальной краевой задаче для многомерного псевдогиперболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2013. - С. 93.

Подписано в печать 01.09.2015 г. Формат 60x 84/16. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 0,3. Тираж 100 экз. Заказ № 205. Издательский дом Северо-Восточного федерального университета, 677891, г. Якутск, ул. Петровского, 5.

Отпечатано в типографии ИД СВФУ