Краевые задачи для уравнения третьего порядка омешанного гиперболо-псевдопараболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений в частных производных третьего порядка.

§ I. Третья краевая задача для нагруженного псевдопараболического уравнения

§ 2. Разностный метод решения краевой задачи для нагруженного псевдопараболического уравнения

ГЛАВА II. Локальные краевые задачи для уравнения третьего порядка смешанного гиперболопсевдоларабодического типа с вырождением типа и.порядка на простой характеристической линии.

§ I. Краевая задача для модельного уравнения с волновым оператором в главной части

§ 2. Краевая задача для модельного уравнения с оператором Геллерстедта в главной части

ГЛАВА III. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка смешанного гиперболо-псевдолараболического типа с вырождением типа и порядка на кратной характеристической линии.

§ X. Краевая задача для модельного уравнения с оператором Геллерстедта в главной части.

§ 2. Краевая задача для общего уравнения третьего порядка с оператором

Геллерстедта в главной части

Известно, что решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [I], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [2], переноса влаги , тепла [5] и солей [б] в пористых средах, связано с необходимостью исследования краевых задач для уравнения третьего порядка

-<»= Ц^+аьуи,^* (I)

Например, рассмотрим процесс промывки засоленных почв на основе модели гетерогенной пористой среды [7~Ю] , учитывающей её фильтрационную неоднородность.

В рамках такой модели объём пор "^о почвогрунта можно представить в виде где ~ объём транзитных пор, занятых движущимся со скоростью IX раствором солей с величиной потока

50 ~ коэффициент, характеризующий дисперсию границы раздела промывная жидкость - почвенный раствор,

- объём тупиковых пор, заполненных неподвижным раствором.

Уравнение материального баланса солей в одномерном случае тогда запишется в виде дС 3} Гл |Мл ЬЫ где С » - соответственно концентрации солей в транзитных и тупиковых порах в точке х в момент времени -Ь , =

V* ■

При определенных предположениях из С2), следуя [б] , получим уравнение вида (I) для описания процесса переноса солей при промывке засоленных почв. Отметим, что в рамках модели гетерогенной пористой среды в [II—рассмотрены процессы тепловлагопере-носа, экстрагирования и движения не-ньютоновских жидкостей, которые описываются аналогичными ^2) системами уравнений и уравнениями вида С1).

Уравнение (I) не относится к уравнениям типа С.В.Ковалевской и по терминологии [15] называют псевдопараболическим уравнением.

Известно, что корректные для параболических уравнений в прямоугольных областях классические краевые задачи и задача Коши и О, о) = ^ + > ° Ф являются правильно поставленными и для псевдопараболических уравнений. Аналитические и приближенные методы решения указанных задач для уравнений вида С1) рассмотрены в [I, 15~50 ] .

Наряду с этим, как показано в [51] , корректная для параболических уравнений в области О. = : ^^ * О^Т} краевая, задача где (у) » (%) ~ монотонные достаточно гладкие функции, остается правильно поставленной для псевдопараболических уравнений лишь для сжимающихся областей. Различные краевые задачи для уравнений вида Ц) в не прямоугольных областях исследованы в [5153].

Для Ч) корректной является также характеристическая (по терминологии [20] ) задача Гурса и (0,2) = , - Т, и)

С5) у, (®,о)= к С«), ос. ± (б)

Заметим, что задача Коши (3) для псевдопараболических уравнений остается корректно поставленной и при у ^ О . Отмеченные свойства псевдопараболического оператора Ь позволяют использовать его в качестве регуляризующего оператора при исследовании некорректных для параболических уравнений [54] задач Коши ^3) при Гурса (4) - (6). Исследованию некоторых обратных задач для уравнений вида (I) и затронутых выше вопросов посвящены работы [49, 51» 55-613 . Характеристические задачи для псевдопараболических уравнений исследованы в [20, 48, 49, 51 ] .

А.А.Самарский в [62] отметил особую важность исследования нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных. Для модельного псевдопараболического уравнения А.М.Нахушевым в [33] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием, которое является обобщением хорошо известного нелокального условия Бицадзе-Самарского [63] , а в [64] указано на глубокую связь между нелокальными краевыми задачами и нагруженными [64, 65] уравнениями. Широкий класс нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения С1) исследован М.Х.Шхануковым в [48, 49., 51, 53] . Нелокальные краевые задачи с условиями [33] для уравнений вида(1) исследованы в [61, 66-68 ]. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений предыдущими авторами не. рассматривались. Между тем,задачи расчета тепломассообмена с сосредоточенными источниками (стоками) переносимой субстанции [61] и, подобно [69, 70] , задачи регулирования уровня грунтовых вод при орошении приводят к необходимости исследования краевых задач для нагруженных псевдопараболических уравнений.

С другой стороны,анализ свойств математических моделей вла-гопереноса, предложенных в [72-74] , позволяют заключить, что процессы влагообмена с учетом капиллярного гистерезиса [71] наиболее адекватным образом можно моделировать на основе уравнений третьего порядка смешанного гиперболо-псевдопараболического типа.

Приведенные выше обстоятельства делают актуальным задачу исследования краевых задач для нагруженных псевдопараболических уравнений и уравнений третьего порядка сметанного гиперболо-псевдопарабол ичес кого типов. Исследованию указанных краевых задач посвящена работа, которая состоит из введения и трех глав. Сформулируем ниже основные результаты диссертационной.работы.

1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных предс-тавлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. ПММ, I960, 25, вып.5, с.852-864.

2. Нерпин C.B., Чудновский А.Ф. Знерго и массообмен в системепочва растение-воздух.- Л.: Гидрометеиздат, 1975г360 с.

3. C/W Cwvtùk, M. Е. Он. си Tkuftg ¿>/ V&cU CvkscUoestcm,ihsiroCiHK^ Ttw Тели-реяоЛилеЛ. dé. Jhvfiettr. MaÂiv.P^ys. , 196$, 19, p. 6ZÏ.

4. Дворкин Л.Б. К теории конвективной диффузии солей в пористыхсредах. Конвективная диффузия солей с учетом влияния "тупиковых" пор. Журнал физической химии, 1968, т.42, № 4.

5. Пеньковский В.И. К вопросу о математическом моделированиипроцесса рассоления грунтов. ЖПМ и Т§, 1976,с. I86-I9I.

6. Моделирование водно-солевого режима на ЭВМ. М., Наука,1976, 124 с.

7. Канчукоев В.З. Монотонные схемы для параболических уравненийобщего вида, связанных с процессом солепереноса в поч-вогрунтах. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения, Нальчик, 1977, вып.1, с. 129-134.

8. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла вгетерогенных средах.- Изв. АН СССР, сер. географ.,1948, т. 12, № I, с. 27-45. Х2.Веригин H.H. Движение влаги в почве.- Докл. АН СССР, 1953, т. 89, № 2, с.

9. Жужиков В.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий. М.: Химия, 1971, - 440 с.

10. Голубев B.C. Уравнения движения жидкости в пористой среде сзастойными зонами. Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 6, с.

11. ШкоцуйМел, Я.Е.-, Тси^ Т. Ш. VsaulepQfLCLiolic. рагЛсоЛcU {(елш^ЬсаЛ ел^шх^саия. fccuuo. С/. МаЛк,. And. 7 <97 0, 1, p. 1-ZG.

12. Вишик М.И. Смешанные задачи для уравнений, содержащих первуюпроизводную и приближенные методы их решения. Докл. АН СССР, 1954, т. 99, с. 189-192.

13. Coie.nuut, Я. Я., buJfctL %.</., Hczel К у. 9luuc^uznßj ¿uui HjyPLexLftetveie -¿Ueote^tiS>- Atek. HaJ. Meek

14. Янгарбер В. А. Сеточная схема для решения модифицированногоуравнения влагопереноса. Докл. ВАСХНИЛ, 1966, Ш, с.

15. Янгарбер В. А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса. 1ПМ и ТФ, 1967, № I, с. 91-96.

16. CoUon, %.L. ЬгиЛо-усиъсьЬойс, EfytUbtCobS ertb One. fyaczот л Di 4¿í ■> P

17. Coito*ь &.L. Opv -tu*. cuMi&écc. 11июу ps-eLidopojLoJoé^e^uatcom. Quxivt. cf. Y9?s. г гз,р.rgz,22. to-Uovu Ъ. L. сгртл^оъз cutd ¿ke, ¿¿Ué¿a£- S^j^ctojig. vüfae, pz&S-éLtn,? $>ъ pse¿tc¿opctza#o&:<Lp. <f9Z.

18. Гилев В.Д., Шадрин Г. А. Построение фундаментального решениядля одной двумерной задачи теории фильтрации. В сб.: Вычислительная математика и программирование. Изд. МОТ им. В.ИЛенина, 1976, вып. 4, с.99-101.

19. Гилев В.Д., Шадрин Г.А. Построение фундаментального решениядля уравнения, описывающего движение жидкости в трещиноватых средах. В сб.: Вычислительная математика и программирование, изд. МГПИ им. В.И.Ленина, 1976, вып. 4, с. I02-1II.

20. Гилев В.Д., Шадрин Г.А. Решение одного дифференциальногоуравнения третьего порядка. В сб.: Математическая физика. Изд. МГПИ им. В.И.Ленина, 1976, вып. 3, с. 6581.

21. Гилев В.Д., Шадрин Г. А. Решение одной задачи теории фильтрации. В сб.: Математическая физика, Изд. МГПИ им. В.И.Ленина, 1976, вып. 3, с. 154-160.

22. Гилев В.Д., Шадрин Г. А. Решение смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинесиа третьего порядка. В сб.: Математическая физика, Изд. МГПИ им. В.И.Ленина, 1976, вып. 3., с.161-168.

23. Гилев В.Д. Представление решения одной краевой задачи теориифильтрации, через функцию Макдональда. «В сб.: Математическая физика, изд. МГПИ им. В.И.Ленина, 1976, вып. 3, с. 82-85.

24. Гилев В.Д. Решение задачи для уравнения третьего порядка.В сб.: Математическая физика, изд. МГПИ им. В.И.Ленина, 1976, вып. 3, с. 150-153.

25. Slk&vfaiK, /•/., £Lllim(M Ш. М&уиьшш- рИмсСрЕе^ <fot pretuloралльбойс. рж1са£ dif^e^e-nJ:ca£-У MculL. АшхЛ. ?f>. 1-f О H8.

26. Атаманов З.Р. О единственности и устойчивости решения многоточечной задачи для пседцопараболического уравнения. -В сб.: Вопросы корректности задач математической физики, Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1977, с. 12-22.

27. СаЛ';/^ № Он, ike. exist елее, ¿Uu£ arfwftottc fekavicrwz.of ike. Soiu-tcen, oj? cl ^и^иЛо/^. va£u£. pze-g&z^i.- AnxlA£e jJctc/cftce а£г Орщ^^ба^с „ У. fasi Гсуш,и£ ZV, s.xt.f, /9?<Р, p.

28. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. ~ Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № I, с. 96-105.

29. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравненийтретьего порядка. Докл. АН СССР, 1979, т. 249, 3, с. 536-540.

30. Coléo^ 2).} W¿n<f X ASL^W/OÚCC ife^ei&iouA. ¿/teu*uí(l4*a¿,HskcLJ¿ so-£u£¿cm, -éo еусса^Со-гсksta¿ co'puótoe.faей- ¿я- ézvo ■McuÓJu. Anal. O-ful 4pp^. ? <f9f9 , 69, Z, p. we.

31. Кожанов А.И. Краевая задача для, одного класса уравненийтретьего порядка. ~ Дифференц.уравнения, 1980, 16, № I, с. 86-92.

32. Шишатский С.П. 0 типе устойчивости решения задачи Коши с данными на полуоси времени для пс.евдопараболического уравнения. В сб.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач, Новосибирск,1980, с. 119-125.

33. Амиралиев Г.М. Об однозначной разрешимости одной краевойзадачи для одномерного псевдопараболического уравнения. Азерб. ун^г, Баку, 1980, 13 с. Рукопись деп. в ВИНИИТЙ 13 февраля 1981 г., № 502-81 Деп.

34. Намазов Т.к., Искандеров И.Т. Энергетическая оценка решениякраевой задачи для псевдопараболического уравнения. -Азерб. ун-т, Баку, 1981, 10 с. Рукопись деп. в ВИНИИТИ 13 марта 1981, № 974-81 Деп.

35. Ь. 7 МиЖеЛ Р. О-и, бке. м&яс'мше /><ипл.(/>€&ог />!Шс1оралмЛо£ос. е^гсаёсо-кл. УпЛса*^гшг#>. У, зо ? , р. ~

36. ЬомАш Е^аЫ. ¿¿иъ. ртегеЖ^алс^о&е.ЬклоглЛсуклм, Ме/Исо-с&п,. ~ . /¡яаХ. у т6 , />• 9& 99-,

37. Сувейка И.В. Смешанные задачи для одного нестационарногоуравнения.- Математ.исследов., Кишинев, Штиница, 1980, вып. 58, с. 99-123.

38. Сувейка И.В. 0 разрешимости смешанных задач для нестационарных уравнений с исчезающей.вязкостью. Математ. иссле-дов., Кишинев, Штиница, I981, вып. 63, с.121-141.

39. Хилькевич Г.И. Аналог принципа Сен-Венана, задача Коши ипервая краевая задача в неограниченной области для псевдопараболических уравнений. УМН, 1981, 36, вып. 3, с« 229-230.

40. Шхануков М.Х. 0 некоторых краевых задачах третьего порядка,возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. Дифференц.уравнения, 1982, т. 16,4, с. 689-700.

41. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач дляуравнения третьего порядка. Докл. Ж СССР, 1982, т. 265, № 6, с. 1327-1330.

42. Бакиевич Н.И. Выражение решений одного уравнения фильтрациижидкости со свободной поверхностью в многослойных средах через решения уравнения теплопроводности. Дифферент уравнения, 1982, т. 18, № II, с. 1977-1979.

43. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнениятретьего порядка и экстремальных свойствах его решений.- Докл. АН СССР, 1982, т.267, № 3, с. 567-570.52.- # -иг44,£са£. Еуцси-бс^а > 8 7 2,8 , р. 391/ —

44. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнениятретьего порядка и экстремальных свойствах его решений.- Дифференц.уравнения,1983,т.19, № I, с. 145-152.

45. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я» Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, - 285 с.55. (¿сшх&М- И/. о/ ¿¿^-Алюъо-ъ,рагЬсаА ¿¿//«^¿аЛ е^сш^оъ о^ср^АсЛ ¿¿оЛсь. /р£ . Лгг/^ЮГО, 40 , /О , р. £31-2^2.

46. Атаманов З.Р., Мамаюсупов М.М» Обратная задача для псевдопараболических уравнений, В сб.: Исследования по интег-ро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе,1982,вып.15,с.

47. Атаманов З.Р. О регуляризации задачи .Ко ши для уравнения теплопроводности с обратным ходом времени. В сб.: йсследования по интегро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1979, с. 224-227.

48. Атаманов З.Р. Единственность и оценка устойчивости решенияодной некорректной задачи для псевдопараболического уравнения. В сб.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1979, с. 218-224.

49. Нахушев А.М., Карданов Р.Г. О некоторых способах идентификации. математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги. В сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983, с. 3-20.

50. Тхагапсоев Х.Г., Шхануков М.Х., Хапачев B.C., Абрегов М.Х.Определение контактной температуры при правке абразивных кругов алмазным инструментом. Сверхтвердые материалы, 1983, № 4, с. 44-48.

51. Канчукоев В.З. Краевые задачи для уравнений псевдопараболического и смешанного гиперболо-псевдопараболического типов и их приложения к расчету тепломассобмена в поч-вогрунтах. В св.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983, с. 131-138.

52. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальныхуравнений. Дифференц.Уравнения, 1980, т. 16, № II, с. 1925-1935.

53. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач.- Докл. АН СССР, 1969, т. 185, f- 4, с. 739-740.

54. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с. 86^94.

55. Нахушев А.М. 0 задаче Дарбу для одного вырождающегося натруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Дифференц.уравнения, 1976,т.12,№ I, с.103-108.

56. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения вла-гопереноса. Дифференц.уравнения, 1982, т.18, № 2, о. 280-285.

57. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьегопорядка с нелокальным условием А.М.Нахушева.- Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с. 162-166.

58. Водахова В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. В сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983, с. 74-80.

59. Кочина Н.И. Вопросы регулирования уровня грунтовых вод приполивах. ~ Докл. АН СССР, 1973, т.213, № I, с. 51-54.

60. Нахушев А.М., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженныхпараболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод. Дифференц.уравнения, 1977, т. 13, № I, с. I05-II0.

61. Бондаренко Н.Ф. Физика движения подземных вод. Л.: Гидрометеоиздат, 1972, 215 с.

62. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976,- 352 с.

63. Кулик В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точкизрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований. В сб.: Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух. Л., Наука, 1972, с.

64. Лыков A.B. Применение методов.термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена. Инженерно-физический журнал, 1965, т. 9, № 3, с. 287-304.

65. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука,1972, 295 с.

66. Самарский A.A. Теория разностных схем. ~ М.: Наука, 1977,656 с.

67. Самарский A.A. Однородные разностные схемы на неравномерныхсетках для уравнений параболического типа. I. вычислит. матем. и матем.физ., 1963, т. 3, $ 2, с. 266-298.

68. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующихвторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. I. вычисл.матем. и матем.физ., 1968, т. 8, № 6, c« I¡218-1231.

69. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимсяоператором, апроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения. I. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, № 2, с. 337-349.

70. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженногоуравнения параболического типа. Дифференц.уравнения, 1977, т. 13, № I, с. 163-167.

71. G>eHwrtßsM S. Siot имв, ¿fyitcutco^ сисх desUv^spovtcellbs cU- type ^¿хЛе. ~ /ft&iv Afa.iL. y kdt. otL £¿$¿1 ü 9, /93? , В. 25 А.

72. Смирнов В.И. %рс высшей математики. М.: Наука, 1974, т. 4,ч. I, « 336 с.

73. Канчукоев В.З. Краевая задача для уравнения третьего порядкасмешанного гиперболо-псевдопараболического типа. -Дифференц.уравнения, 1980, т. 16, № X, с. Х77-Х78.

74. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1975, с.

75. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1977, - 736 с.

76. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: ИздательствоАН СССР, Х950, 164 с.

77. Елеев В. А. Аналог задачи Трикоми для смешанных парабологиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа. Дифференц.уравнения, 1977, т. 13, №1,с. 56-63.

78. Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М.Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик, 1972, - 290 с.

79. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент.: Издательство ФАН, 1974, - 156 с.

80. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанно-составного типов. Ташкент.: Издательство ФАН, 1979, - 238 с.

81. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981, - 448 с.

82. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.Минск, Вышейшая школа, 1977, 158 с.97. (Гг/йл^/г^Трикоми ф. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: Иностранная литература, 1957, - 443 с.

83. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963, 358 с.