Априорные оценки и разрешимость общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в соболевских классах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

С** т» (-'7

* ^^Г

сз

С;*

3

министерство науки-академия наук су, республики казахстан

институт теоретической и прикладной математики

На правах рукописи удк 517. 936. 6

курмушев иляу

априорные оценки и разрешимость общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в соболевских классах

01.01.02-дифференциальные уравнения

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

алматы. 1997

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казахского химико-технологического института, на кафедре высшей математики Международного Казахско-Турецкого университета им- А- Ясауи и в Лаборатории уравнений математической физики Института теоретической и прикладной математики МН-АН Республики Казахстан

Научные руководители: М-А-Абдрахманов-доктор физ--мат- наук.ГНС.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А-Б-Тунгатаров кандидат физико-математических наук, доцент Ш-С-Сахаев Ведущая организация:

Алматинский Государственный Университет имени Абая

Защита диссертации состоится__1997г в_часов

на заседании диссертационного совета Д-53 -04 - 01 при Институте

теоретической и прикладной математики Министерства науки - ' Академии наук РК

по адресу: 480021. г-Алматы. ул- Пушкина. 125 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ МН-АН РК Автореферат разослан "_"_ 1997г

Ученый секретарь диссертационного совета Д- 53-04.01

Л-Жумабеков-канд- физ--мат- наук, проф-

кандидат физико-математических

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ- Теория параболических уравнений благодаря своим многообразным приложениям является одним из основных разделов современной теории уравнений в частных производных и начало исследований по ней восходит еще к Фурье- Можно утверждать.

что создание разумной и стройной теории краевых задач дл^линей-

!

ных параболических уравнений и систем с гладкими коэффициентами и в гладких областях к настоящему времени получило свое завершение, в связи с чем можно упомянуть известные монографии и работы И-Г-Петровского. А-Н-Тихонова. М-С-Аграновича. М-И-Вишиика. О-А-Ладыженской. С-Д-Эйдельмана. В-А-Солонникова. В-П Михайлова. О-А-Олей^ылк- А-Фридмана. Т-Сирота и другие- Но как указано в докторской диссертации М-А-АбдрахманоЕа. многие прикладные задачи математической физики приводят к необходимости исследования принципиальных вопросов установления априорных оценок и разрешимости краевых задач для уравнений и систем, имеющих смешанную параболо-эллиптическую структуру- К таким уравнениям и системам относятся прежде всего система уравнений Навье-Стокса. системы уравнений теории фильтрации, псевдопараболические уравнения и другие- Так., начально-краевая задача с данными Дирихле на границе для уравнения вида

I 1Ц + Пи (*,*>

гдеЬ и 14 эллиптические операторы порядков Ы и соответственно-имеет приложение при описании движений вязкой жидкости в вихревой камере-

Рассматриваемое в данной диссертации уравнение также входит в вышеназванный тип уравнений и является псевдопараболическим

уравнением высокого порядка.краевые условия для которого имеют наиболее общий вид ЗЬ'^СМ > гг »О' - Ь

ЦЕЛЬ РАБОТЫ- Получение¿соболевских Ь ^ классах оценок решения модельных начально-краевых задач для псевдопараболического уравнения с помощью использования лиувиллевского обобщенного дифференцирования и метода мультипликаторов, установление априорной оценки решения общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в ограниченной области и разрешимости этой задачи-

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ- В работе используетсятехника получения оценок норм решений модельных задач в пространствах с лиувил-левскими обобщенными производными, введенных П-И-Лизоркиным- С помощью теории мультипликаторов, преобразования Фурье применяется метод установления априорных оценок и разрешимости краевых задач, основанный на локальном принципе Шаудера и заключающийся в том. что решение краевой задачи в произвольной точке области зависит от исходных данных в достаточно малой окрестности этой точки- что приводит к необходимости сначала изучить задачу Коши. полупространственную краевую и смешанную задачу, после чего априорные оценки и разрешимость устанавливаются путем разбиения единицы и построения регуляризующего оператора-

НАУЧНАЯ НОВИЗНА- В работе рассмотрена начально-краевая зад ча с общими краевыми условиями для псевдопараболического уравнения высокого порядка, для которой получены априорные оценки решения и установлена разрешимость в соболевских классах-

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЯ- Работа носит те< ческий характер- Результаты диссертации могут быть использованы в

-

теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, а также при изучении математических вопросов движения вязкой жидкости-

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ- Основные результаты докладывались на семинарах член-корр НАН РК Е-И-Ким и член-корр НАН РК С-Н-Харина. на семинаре, руководимом член-корр НАН РК Н-К-Блиевым. на семинаре, руководимым член-корр НАН РК М-О-Отелбаевым и акад- ИАН РК Ш-С-Смагуловым. на семинаре, руководимом член-корр НАН РК Т-Ш-Кальме-новым, на семинаре, руководимом член-корр НАН РК Д-У-Умбетжано-вым. на семинаре, руководимом д-ф--м-н- проф- С-И-Темирбулатовым и д-ф--м-н- проф- С-А-Алдашевым и на конференции "Задачи для параболических уравнений и ихприложения ". Алма-Ата- 1991.на конференции "Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики". Алматы .1993. на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников аспирантов, посвященной 150-летию со дня рождения Абая Кунанбаева-Туркестан. 1994.на 1-съезде математиков Казахстана- Шымкент. 1996-

ПУБЛИКАЦИИ-По теме диссертации опубликованы 9 работ.перечень которых приложен в конце автореферата-

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РА60ТЫ- Диссертационная работа объемом 108 стр- машинописи и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащий 60 наименований-

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ-Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации и приведены основные результаты диссертации-

В первой главе получены оценки решений задачи Коши и полупр-

~ь

остранственной задачи" для псевдопараболического уравнения, где при получении оценки решения полупространственной задачи устанавливаются в классе функций пространства Соболева с лиувиллевск-ой обобщенной производной, которая является естественным продолжением соболевских пространств с целыми показателями производных на дробные производные, теоремы вложений и теоремы о мультипликаторах- По этой причине в §1-1 приведены необходимые сведения об этих пространствах, а также формулировка теорем С-Г-Михлина и Л-Р-Волевича о мультипликаторах пробразования Фурье-В параграфе §1-2. рассматривается краевая задача

УЦ + чр»ч**з ъфдтрЪтф™* ; __

где -постоянные числа и.кроме того

Преобразование Фурье по переменным зс^,*^ и Лапласа по^ после продолжения всех функций в задаче с 1 э-сЛ э нулем для £ < о превращает ее в задачу для обыкновенного дифференциального уравнения по переменной

где |'=(.5 5 | ^ '= • причем должно выполняться условие

17г.,

Решение У-^'г^) имеет вид

где ^ ^цг. и неизвестные коэффициенты С^

на основании краевых условий определяются из системы линейных алгебраических уравнений по формуле:

- * -

где определитель системыф(5',-?,-(^н) является однородным полиномом относительно своих аргументов, причем для него имеют место равенства

и для любого Л > о ч

Ж^'г^гМГ!)^ + & ' 2Н?',-*,-/?'!)

т-е- степень однородности полинома ) равна числу

_ . и Лвдлйто!

Условие Ф- о при ЯвддехйЯ м. 5 |

вием дополнительности для задачи (¿) ~(3) ■ Доказывается. что

алгебраические дополнения удовлетворяют равенствам _ л /\-/-> /пМ^Д'Л'/л ^ - [ £> асм^ л - нхглцлно АуП-и-М) Ас;*- >, шйи*

Условие дополнительности можно написать также в виде

и 1«=оФ 0ш Л

И-с

Можно также написать

ф однородные функции своих аргументов степени М ; -причем

<м1 + =ю + х: ^, л, \>,о .

Если через с{(дг1-,Р'1) обозначить максимальную степень, с которой входит в полином и= .

Далее потребуем,чтобы а^все корни Функции К'|)удовлетворяли нера-

- г-

венству ¡П^^0

Доказываются две леммы, о мультипликаторах М^(') • необходимые для доказательства основной теоремы-В параграфе §1-4 доказывается теорема ••

Теорема 1-е.Если удовлетворяет с?о,а:>и вэ и е((1, ) <

то для решения с£э-сЗз справедлива оценка . ,

«»; *<■*>■» и«?1 +

4 « ® v», у и с Ы;»Л- *■'•"- т '

I-'1

Эта теорема доказывается подробно-В параграфе §1-5 сформулирована задача Коши

Предполагается.что имеет место представление

4^,+)- 21 (5)

1+14 4

Имеет место теорема-

Теорема 1-7. Решение задачи Коши подчиняется оценке а если же для 4 имеет место, представление с 9 э. то В параграфе §1-6 ставится задача:

чЧр-Ч-*?}

Для решения этой задачи имеет место

Теорема 1-8-Пусть выполнены условия теоремы 1-6. Тогда для решения задачи с(оэимеет место неравенство

а в случае представления функции равенством с5 э имеет

место\/равенство о,/¿о „ (Ч£ч-ч.{+£)

Доказательства теорем 1-7 и 1-8 основывается на леммах, которые можно доказать применением теории мультипликаторов, а в случае представления с $ ^оценивается с использованием слабой особенности потенциала ({р^&^Г* 4) ) эллиптического уравнения-

Вторая глава посвящена априорной оценке о-бщей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в ограниченной области;

^ ЦП

здесь //; ^^^^

= К "б ■

Решение задачи оценивается по обычной схеме Шаудера. причем оказалось, что класс функций, в котором устанавливаются априорные оценки.зависит.кроме естественных требований.вызванных условиями дополнительности.также от расположения операций дифференцирования по ■% и 6 в краевых операторах $ ' (7> т?) В частности, когда имеет место равенство

¿"м I-Л)

и для > о , Е-з и комплексном скаляре р

(43)

н и: >,Ч -то априорные оценки устанавливаются в классе функций

и сумма норм оценивается через сумму норм функций/, Ио и^• Если же в операции дифференцирования расположено произвольным образом, то априорные оценки устанавливаются в классе функций <-' Ь * ¿?т и норма решения оценивается, кроме норм функции /,Цв и ^ • также через норму функций й. (*,-()' связанных с функцией 4- представлением $ п.

Для задачи кроме выполнений условий, сформулиро-

ванных вьше . мы потребуем, чтобы, она была "хорошо" поставлена-Именно. при должна однозначно определяться функция Ш*,!) и

все ее производные—•■,£) } где < -некоторое натуральное число.для чего будем считать, что в двух краевых операторах из 3' порядок производных по переменной *

не превышает единицы- Тогда, введя обозначения ■[

и дифференцируя с1Ь нужное число раз. будем иметь

¿ХЧ^'^^ 11С1=е,4,...,Р-1) ¿14)

Уравнение сЯ/э с условиями сЮ представляют собой реккурентные эллиптические краевые задачи, откуда и определяются (х^). Будем говорить, что задача с И > " явл^я Сдачей с

нулевыми начальными условиями, если выполняются условия

^^ U t i ^ ^Xil^l =О, (fc^i, - tf

в случае выполнения условий ^¿э-азэ. а в случае представления в виде с9 з

' =(? ( 1С-О с,.

Условие ссэ-В каждой точкебоковой поверхности

оператор с постоянными коэффициентами ),

записанный в местной системе координат4удовлетворяет условию

теоремы i-e.

Тогда имеет место

Теорема 2- 2-Пусть задача с Из является с нулевыми

о />чш

начальными условиями-- левая часть с^з удовлетворяет условию ссэ, коэффициенты оператораимеют ограниченные производные вида Ч)^¿^,4-j^ где {sl-t-ff

во всякой T04Ke(pfo,-fe,)é-ST в местной системе координат оператор ¿f^) удовлетворяет условию с Уз сто есть выполняю ся условия теоремы i-ез.

Тогда в частном случае задания краевых операторов, удовлетворяющих равенствам саз, спз для решения задачи при конечном Т имеет место оценка w .ЛЧЛ.е^ /-,, D „(W.t) ,

тл»: ««ь^+

Затем доказывается теорема г. з в случае наличия представления

с 9з. в этом случае оценка имеет,вид ч , (чш.иг) г цП nlW+v,^) 4-J/v/l о

-а-

В параграфе §2-4 решение задачи оценивается при ненулевых краевых условиях-Здесь же указаны, в какой форме должны выполняться условия согласования и доказана

Теорема 2.4.. Пусть в формулировке теоремы 2. г условие, которое предполагает задачу сИ'з- задачей с нулевыми условиями, заменено условиями согласования между известными функциясми- Тогда при выполнении наряду с перечисленными, также остальных

условий теоремы 2 2 решение задачи ^¿з подчиняется оценке I. и II "41, / II >;% + * I, ь „ +

¡¿1£Ч >> ^^

В последней третьей главе доказывается разрешимость общей

начально-краевой задачи для псеЕдопараболическсго уравнения в соболевских классах- Сначала разрешимость доказывается при Цо1х)=0 и малом Т-Т ■ Для этого задача записывается в операторной форме

и е но.»

и утверждается, что решение задачи имеет вид

ц - К Ь(и\ ^"^л^изул^ш.« сперпгер (¿¿)

у,-о о

и этот ряд сходится по норме И (С{гУДля доказательства этого утверждения достаточно установить.что

с

(I) ряд С1£3 сходится В в

щ) оператор А непрерывен.т-е- если .то

' и

$ и ® при п во (¿СС) о ПРИ И •

Утверждение / с I) легко доказывается с помощью обратных теорем вложений- А для доказательства утверждений со и сио опять как во второй главе используется разбиение единицы и строится регул-

- АЪ-

яризирующий оператор ¡1 формулой

к/т г £ »^(Х^Г&Ч*,*)

к. 1

где

Здесь /МЛ -множество номеров внутренних подобластей Ц,.«^^. а множество номеров граничных подобластей • 2 ^ оператор распрямления границ-

Далее используются свойства разбиений единицы, теоремы продолжения. эквивалентность норм, интерполяционные неравенства, лемма Гронуолла-

Для задачи с нулевыми начальными условиями при малом "С доказаны

Теорема з. 1. При выполнении условий"теоремы 2-г при достаточно малом % задача с1£э имеет единственное решение,для которого имеет место неравенство

4 -I

И

Теорема з.з Пусть выполнены все условия теоремы з. 1 и вместо

выполнения условий сИ э-Ыто требуется представимость функции

формулой тогда при достаточно малом т" задача сиз при

ц ы)-0 имеет единственное решение и ее решение подчиняется ° ч (чУ-, )•) (ЧШН/ьЛ 7

I ч -

Применяя последовательно разрешимость в малом разрешимость доказывается для всего промежутка (С^Т"1 )■

Теорема з.г Пусть выполнены все условия теорема з. 1, где предположения о том. что удовлетворяют нулевым

начальным условиям, 'заменены выполнениям условий согласования-Тогда задача с-Ц^ имеет единственное решение, для которого

(т о

* гляи^ I -

В заключение сформулирована^гаорема для ненулевых начальных условий & случае пр«зетА«имоети ^укци,** й ^9).

Список опубликрванных работ по теме диссертации :

1- Курмушев И-К-Оценка решения общей полупространственной задачи для псевдопараболического уравнения в лиувиллевских классах-25с.Деп-в ВИНИТИ 11.06.91, 2452-8.91.

2- Курмушев И-К-Оценка решения общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в лиувиллевских классах-Тезисы докладов конф- "Задачи для параболических уравнений

и их приложения "Алма-Ата 1991.

3- Курмушев И-К-Оценки решения полупространственной неоднородной общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения высокого порядка в соболевских классах.//Изв-АН Республики Казахстан сер-физ--мат-1992,№5;с-14-19.

4- Курмушев И-К-.Абдрахманов М-А- Априорные оценки решения общей начально-краевой задачи для псевдопараболического урав-

нения в ограниченной области-34=.Деп.ВИНИТИ №739-8-92.

5- Курмушев И-К-.Жумабеков Л-Ж-Оценка решения неоднородной полупространственной задачи для псевдопараболического уравнения //Тезисы докладов "(Гылым жЗне технология-93"АН РК Шымкент 1993,1с-

6- Курмушев И-К-Априорные оценки решения общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения //Тезисы докладов конф."Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики"Алматы 1993-

7-Курмушев И-К-Разрешимость общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в соболевских классах -^Сборник трудов II -научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов.посвященная к 150-летию со дня рождения Абая Кунанбаева-Туркестан. 19948- Курмушев И-К-Разрешимость общей начально-краевой задачи для

псевдопараболического уравнения в соболевских классах-Деп-в КазгосНИИНТИ, 04.06.96г. №7046-Ка96, 32 с. 9- Курмушев И-К-, Абдрахманов М.А. Разрешимость общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в соболевских классах- //Тезисы докладов I-съезда математиков Казахстана (11-14 сентября 1996 г) Изд-во Рылым, Шымкент, 1996, с.120-121.

Автор считает своим приятным долгом выразить признателтность своим научным руководителям М- А-Абдрахманову и Л.Жумабекову за постановку задачи, советы и консультации-

Югрмышев Елеу Псевдопараболалык тендеу ш!н Соболев класында жалпы бастапкы-шетт1к есепт1н априорлык багалаулары жэне шеш1мдШг!

Жогары ретт! псэвдопараболалы тендеу ушн жалиы бастапкы-шетт1к вс8п зерттелш. онын inemiMiHlH Соболев ^ -класындагы априорлык багалауы алынган жэне онын шеш1вд1л1г! аныкталкан.

Kurf<[ushev Jlyau A Priori Estimates and the Solvability of the Common Jnitially-Boudary Problem for the Pseudo-Parabolic Equation in Sobolev's Classes

Jnitially-boudary problem with common boundary conditions for pseudo-parabolic equation of high order is reseavched, for which a'priori estimates are received and solvablity in h~ Sobolevs classes is estalished.

Подписано в печать 1997 г.

Тираж 100 экз. Формат 60x84 1/16. Бумага типографская А х. Объем 1,0 д.л. Заказ # 526 Цена договорная

Издание Казахского национального технического университета, пачатно-иножитальнцй участок КазНТУ, Алматы, Сатпаева, 22