Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

□□3493323

На правах рукописи

МАКАРОВ Павел Александрович

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010 год

1 7 МАР 2010

003493323

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

М.О. Корпусов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.М. Попов

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор М.Л. Гольдман

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

/г. с '5

Зашита состоится О- 2010 г. в ' ^ часов на заседании

Диссертационного Совета Д501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, г. Москва, Воробьёвы горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан

п/Яп ¿/-¿//ис^х

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена вопросам локальной разрешимости различных смешанных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений соболевского типа в классическом и обобщенном смыслах и вопросам разрушения решений нелинейных уравнений типа Соболева за конечный промежуток времени. Большое внимание уделено нахождению достаточных и необходимых и достаточных условий разрушения решения, а также получению двусторонних оценок на время разрушения, если таковое происходит.

Актуальность темы

Исследованию уравнений псевдопараболического типа посвящено большое число работ. Следует отметить работы российских математиков Баренблатта Г.И., Желтова Ю.П., Кочиной И.Н., Демиденко Г.В., Успенского C.B., Свиридюка Г.А., Кожанова А.И., Шишмарева И.А., Габова С.А. и др., а также зарубежных математиков Лионса Ж.-Л., Showalter R.E., Ting T.W., Levine H.A., Гаевского X., Грегера К., Захариаса К., Rosenau Р. В то же время, вопросам разрушения решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа посвящено достаточно мало научных трудов. Подобные вопросы, имеющие весьма актуальные физические приложения (такие, как теоретическое описание явления пробоя в полупроводниках в рамках различных моделей), рассматривались в работах математиков Levine H.A., Кожанова А.И., Самарского A.A., Похожаева С.И. и др. В работах Корлусова М.О. и Свешникова А.Г. достигнут значительный прогресс в исследовании вопросов разрешимости и разрушения решений для целого спектра модельных уравнений псевдопараболического типа с нелинейными операторами эллиптического типа при производной по времени. В указанных работах задачи рассмотрены в абстрактном (операторном) виде, что обеспечило общность полученных результатов. Тем не менее, класс псевдопараболических уравнений в целом изучен мало. Широкий круг вопросов требует дальнейшего развития теории. В частности, открыты вопросы о нахождении необходимых и достаточных условий разрушения решений, об исследовании задач для систем уравнений относительно векторных величин. Кроме того, малоизученными остаются задачи в ограниченной области в постановке с нелинейными граничными условиями.

Цель работы.

Развитие методов доказательства разрешимости смешанных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений типа Соболева, проистекающих из конкретных задач физики полупроводников и гидродинамики, в классическом, сильном обобщенном, или слабом обобщенном смысле, и исследование вопросов разрушения обобщенных решений нелинейных уравнений за конечное время.

Научная новизна.

В диссертации предложена схема доказательства локальной разрешимости

смешанных краевых задач для нелинейных псевдопараболических уравнений .в постановке с нелинейным граничным условием Неймана, основанная на применении метода Галёркина.

Метод доказательства локальной разрешимости и разрушения решения, развитых для смешанных краевых задач относительно скалярных функций, развит и обобщен для применения к задачам относительно векторных функций. Обобщение проведено на примере задачи для одной системы нелинейных уравнений, описывающих динамику жидкости.

В задаче для одного нелинейного нелокального уравнения, возникающего при рассмотрении полупроводника с нелокальной зависимостью тока проводимости от электрического поля, исчерпывающе изучен вопрос о локальной разрешимости и условиях разрушения решения. Построен оригинальный метод вывода необходимых и достаточных условий разрушения сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени.

Предложен метод доказательства существования классических решений смешанных краевых задач для линейных псевдопараболических уравнений при ненулевом начальном условии, рассмотренный для конкретного линейного уравнения, описывающего переходные процессы в полупроводнике.

Научная и практическая значимость.

Полученные в работе результаты могут быть использованы для:

а) теоретического описания явления пробоя в полупроводнике при рассмотрении последнего, в рамках определенных моделей, а также вычисления оценок сверху и снизу для времени возникновения указанного явления в зависимости от геометрии области, в которой рассматривается задача, и начальных условий;

6} исследования свойств течений вязкоупругих жидкостей;

в) разработки численных алгоритмов построения решений задач для линейного псевдопараболического уравнения, описывающего эффект стратификации объемного заряда в полупроводнике.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах ВМиК по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством И.А. Шишмарева, на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством А.Н. Боголюбова и на семинаре МИАН по нелинейному анализу для студентов и аспирантов под руководством В.А. Кондратьева и С.И. Похожаева.

Публикации. Основные результаты опубликованы в [3] работах, список которых приведен в конце автореферата (на момент подачи всех публикаций в печать диссертант носил фамилию Чубенко).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, заключения, и списка литературы, включающего 135

наименование, и изложена на 80 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор работ, относящихся к исследованию уравнений

соболевского типа и описания основных результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена вопросам разрешимости смешанных краевых

задач для линейного уравнения типа Соболева, описывающего так называемый эффект

стратификации объемного заряда в полупроводнике. Рассматривается трехмерный

случай. Физическая модель, в рамках которой рассматривается полупроводниковая

среда, описывается следующими уравнениями:

* „ др" по-п еуз

Д з¥, =--р, р°=р-е (по-п), -яГ = е-, п = п0ехр—-, (1)

£ 01 Т Мс

где - потенциал электрического поля, р - плотность объемного заряда в кристалле, р"

- плотность объемного заряда, связанного на примесных центрах полупроводника, по

- равновесная концентрация электронов, п - концентрация свободных электронов, т -характерное время жизни свободных электронов, е - диэлектрическая проницаемость полупроводника, Тс - температура свободных электронов. Система уравнений (1) при определенных дополнительных условиях и принадлежности функции электрического потенциала р{т, ¿) классу гладкости С(1)([0,+оо); С(2'(П)), где П - односвязная пространственная область, в которой рассматривается полупроводник, редуцируется к одному линейному уравнению в частных производных

^(Ди-«)-« = 0. (2)

относительно функции и(х, £) безразмерных переменных х и ¿, имеющей физический смысл потенциала электрического поля.

В диссертации исследованы внутренняя и внешняя смешанные краевые задачи для уравнения (2) в постановке с граничным условием первого рода (т. е., когда на границе области задано распределение электрического потенциала). Данные задачи имеют вид

|(Ди - и) - и = 0, х £ Д < 6 (О, Т],

< и(М) =3(М). я £5", ге(о,Т],

и(х,0) =0x0(1), х 6 О,

где Р - внутренняя или внешняя односвязная область в пространстве К3 с границей 5 класса Ляпунова.

Основной результат первой главы формулируется в виде трех теорем.

Теорема 1. Если щ(М) непрерывно дифференцируема, а д(Р,Ь) непрерывна по Р, непрерывно дифференцируема по Ь и д(Р, 0) = ио(Р), то существует классическое решение внутренней смешанной краевой задачи с граничным условием Дирихле для уравнения (2).

Теорема 2.

Если щ{М) непрерывно дифференцируема и ограниченна на бесконечности, a g(P, t) непрерывна по Р, непрерывно дифференцируема по t, g(P, 0) = и0(Р), то существует классическое, ограниченное на бесконечности, решение внешней смешанной краевой задачи с граничным условием Дирихле для уравнения (2).

Теорема 3. Внутренняя (внешняя) смешанная краевая задача с граничным условием Дирихле для уравнения (2) имеет не более одного классического (классического, ограниченного на бесконечности) решения.

Доказательство теорем существования основано на так называемом методе динамических потенциалов, позволяющем получить утверждения теорем для случая иа(М) = 0, а также использовании свойств фундаментального решения уравнения (2) для обобщения результатов на случай ненулевых начальных данных. В доказательстве теоремы единственности в широкой степени использованы свойства функции Грина задачи Дирихле для безволнового уравнения Гельмгольца.

Во второй главе изложены результаты исследования вопросов локальной разрешимости и разрушения решений смешанной краевой задачи для нелинейного псевдопараболического уравнения, описывающего процессы в полупроводнике при наличии сильной пространственной дисперсии и нелокальной зависимости тока проводимости от электрического поля, в рамках приближения нелинейной оптики. Исходная система уравнений электродинамики, описывающая свойства такого полупроводника, в квазистационарном приближении выглядит следующим образом:

div D = —4тгеп, rot Е = 0, D = E + 4?rP,

e$ = divj, j = a0E-<T1^/dz|E|^ Е, (3)

Р = Pt + Р2, Pi = -ДЕ, Р2 = |Е|"-2Е.

В ограниченной поверхностно-связной области система уравнений (3) сводится к уравнению псевдопараболического типа в безразмерных переменных:

+ Ди + Дри) + Ди- ||Vu||^Ati = 0, (4)

где Др - псевдолапласиан (Дри = div(|Vu|p~2Vu)), а функция и имеет смысл потенциала электрического поля. Смешанная краевая задача для уравнения (4), рассмотренная в диссертации, поставлена в виде

I Jj(—Д2и + Ди + Лри) + Ди — IJVujj^Ди = 0, 1 = g||an = 0, u(i,0) = u0(z)-

Здесь х € fi е К", П - ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей, р > 2, q > 0.

Локальная разрешимость задачи (5) и условия разрушения её решения за конечный промежуток времени изучены для сильных обобщенных решений.

Определение. Сильным обобщенным решением задачи (5) называется функция и{х,£) класса С^([0,Т); удовлетворяющая условиям

(£>(и),и») = 0 УшбН^(П)), Уг£[0,7о), и(0) = и0 € Н^(П)),

где £>(и) s ^(-Д2ы +Ли + Ари) + Ли - ЦУиЦ^Ли,

где через {•, ■) обозначены скобки двойственности между гильбертовыми пространствами Нд(П) и Н-2(П).

Теорема 4. Пусть либо N < 2 , либо N 2 3 и р < - 2). Тогда У«0 € Щ(0))

найдется такое Т0 = То(ио) > 0, что существует сильное обобщенное решение задачи (5) класса С^'([0,Т0);Ио(^))> причем либо Т0 = +оо, либо Т0 < +оо и в последнем случае выполнено предельное равенство

Пт ||Ди||2 = +оо. ¿ТТо

Доказательство данной теоремы основано на сведении исходной задачи (5) к некоторому абстрактному интегральному уравнению, для которого применим метод сжимающих отображений. Такой подход позволяет утверждать, что исходная задача имеет решение класса Н-°°([0,Т0); Но(0)). Дальнейшее доказательство принадлежности решения классу гладкости С<1}([0, Т0); Н^(Г2)) производится с применением спектральных представлений линейных ограниченных операторов.

Далее в диссертации рассмотрен вопрос об условиях разрушения сильного обобщенного решения за конечное время. Исследование основано на методе энергетических неравенств. Данный метод позволяет свести задачу о нахождении условий, при которых за конечное время обращается в бесконечность функция

= + (6)

к рассмотрению обыкновенного дифференциального неравенства относительно этой функции:

ФФ" - а(Ф')2 ^ О, си = 2(д + 1 )/р.

Следует подчеркнуть, что в итоге получены необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения задачи (5), что является относительно редким результатом в исследованиях свойств решений псевдопараболических уравнений. Результат сформулирован в виде теоремы.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4■ Тогда

1. Если ||Уи0|| < 1, то Т0 = +оо.

2. Если ||Угг0|| > 1, то

(а) при р ^ 2д + 2 илюет место То = +оо,

(Ь) при р < 2д + 2 имеет место двухсторонняя оценка на время разрушения решения:

1 < т <_5о_

- 0 ^ (2Й2 - 1)(||у«о||? - 1)]|Уио||Г

где Фо = Ф(0), определяемой согласно (6).

Отметим, что разрушение решения данной задачи имеет конкретный физический смысл: в момент разрушения решения происходит пробой полупроводника. Теорема 5, таким образом, - имеет не только теоретическое, но и прикладное значение: с её помощью при известном начальном распределении электрического потенциала можно предсказать, произойдет ли пробой полупроводника, а также вычислить временной интервал, в пределах которого лежит момент возникновения пробоя.

Третья глава диссертации посвящена обобщнию методики нахождения условий разрушения решений нелинейных уравнений типа Соболева, развитой для одного уравнения относительно скалярной функции, для систем уравнений относительно векторной функции. Обобщение проведено на примере системы нелинейных псевдоиараболических уравнений, проистекающей из теории жидкости Кельвина-Фойгта (понятие жидкости Кельвина-Фойгта является одной из моделей описания вязкоупругих неныотоновых жидкостей). А именно, исходная система представляет собой одну из £-аппроксимаций уравнений жидкости Кельвина-Фойгта, при этом в физическую модель введены сильная пространственная дисперсия и источники с кубической нелинейностью. Отметим, что сами уравнения жидкости Кельвина-Фойгта выглядят следующим образом:

дч

VI - хДуг - 1/ДУ + г^---1-Ур=1?, СНуу = 0,

дхк

где V = — вектор скорости, р = р(х, — давление, V > 0 — кииетический

коэффициент вязкости, н> 0 — время ретардации, характеризующее упругие свойства жидкости Кельвина-Фойгта, { = f(xít) — вектор объемных внешних сил.

Течение жидкости Кельвина-Фойгта (в рамках указанной физической модели) рассматривается в ограниченной области с условиями прилипания на границе области. Исходная смешанная краевая задача, таким образом, имеет вид

' |(-А2и + Ли + и) - и)+

+Ди + У(У,и) + (и,У)и+|и(У,и) +|и|2и = 0, (7)

и|ап = ^и = 0, и(х,0) = ио(х),

где х 6 и 6 Ж1*, Г2 - ограниченная область с достаточно гладкой границей. Функция и(ж, ¿) имеет физический смысл скорости частиц жидкости.

Определение. Сильным обобщенным решением задачи (1) называется решение класса и 6 С^'^О.Т^Н^П)), удовлетворяющее условиям

(£>(и),-иг)2 = 0 У4е[0,Го), и(0) = и0 6 ЙЗ(П),

д 1 где Г)(и) з —(-Д2и +Ди +и) - ц) + Ди ++ (и,У)и +^и^.и) + |и|2и.

Под ИР^П) понимается декартово произведение НР(П) х НР(П) х ... х ЫР(П) п гильбертовых пространств, а через (•, -)р обозначены скобки двойственности между гильбертовыми пространствами и Н_,,(П).

Справедлива теорема о локальной разрешимости задачи (7).

Теорема 6. Пусть N = 1, 2, 3. Тогда Уи0 6 Ио(^) найдется такое Т0 — 7о(ио) > О, что существует сильное обобщенное решение задачи (7) класса €'''([0,То); Иц(П)), причем либо Та — +оо, либо То < +оо и в последнем случае выполнено предельное равенство

1Ы||Ди||2 = +оо.

М-Го

Схема доказательства сформулированной теоремы аналогична схеме доказательства теоремы существования решения из предыдущей главы диссертации.

Вывод условий разрушения сильного обобщенного решения задачи (7) производится на основе метода энергетических неравенств. Однако, в данном случае задача сводится к более сложному, нежели в предыдущей главе, дифференциальному неравенству

ФФ" - а(Ф')2 + £Ф2 + 7<&3 ^ О,

относительно функции

.¡=1 1

Результатом исследования вопроса о разрушении решений задачи (7) является

(8)

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда, если функция ио(х) удовлетворяет условиям

1\\<Цуио\\1 - ^ о

(ф')2__2ф0

где $о = Ф(0) из формулы (8), а Фц определяются по формуле

г

£о < 1/2 - оптимальная константа, зависящая от Фо, к = С+ С1 -константа наилучшего вложения пространства Н2(П) е С2 - константа

наилучшего вложения пространства Н2(П) в то сильное обобщенное решение

задачи (7) разрушается, за конечное время То, причем имеет место двусторонняя оценка

_!_ < т < Ггфм2 - 2Ф° _

Ф0С2 " 0 " 1 - во V ео(1 - <ч>(1 - 2е0)

Постоянная ео выбирается оптимальным образом в том смысле, что при выбранном значении £ц класс функций ио, удовлетворяющих (9) является максимально широким.

В четвертой главе рассмотрены вопросы локальной разрешимости и разрушения решений задачи для нелинейного псевдопараболического уравнения 3-го порядка, в постановке с нелинейным граничным условием Неймана. Указанное уравнение проистекает из рассмотрения полупроводниковой среды с нелинейной зависимостью концентрации свободных зарядов и вектора поляризации среды от электрического потенциала. Процессы в таком полупроводнике в квазистационарном приближении описываются системой уравнений

сНу Б =-4тгега, го1Е = 0, П = Е + 4тгР, сЦуР = + \А<р,

= а1уЛ + Л2М®<^ 3 = о Е, Е = -Х?1р

Условие на границе полупроводника, приводящее к нелинейному граничному условию Неймана, имеет вид

(Е,п) = Л1И"¥', (П)

п - вектор внешней нормали к границе области. Коэффициенты Л; подчинены условиям Л1 > 0, Аз > 0, Аз > 0, Аг < 0, параметры ^ > 0, г = 1,2,3. Система уравнений (10) и условие (11), при заданном распределении электрического потенциала в некоторый начальный момент времени, редуцируются в ограниченной односвязной области к начально-краевой задаче относительно функции и(х,{), имеющей физический смысл электрического потенциала:

{^(Ди — и— \и\чзи) + Ли + \и\Ч2и — О,

(я + 1«Ы1г = 0, (12)

и(г,0) = и0(аО,

где х € П 6 К", П - ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей. Уравнение в задаче (12) является одним из обобщений уравнения Буссинеска. Вид данного уравнения не позволяет провести доказательство локальной разрешимости в сильном обобщенном смысле методом, использованном в второй и третьей главах. Поэтому, для данной задачи в диссертации доказана теорема о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле.

Определение. Слабым обобщенным решением задачи (12) на интервале (О,Т) называется функция и(х,Ь) класса Н1((0,Г);Н1(0)), удовлетворяющая условию

т / N \

/сИ/ёх! + их<ух{) + и'и + (73 4- 1)|и|«и'и - \и\пиу +

о п \<=1 ' /

т

+ /Л/<гв(Н?1и + (?1 + 1)|г1|51и> = О

о г

Уф,г) 6 Ь2((0,Т,);Ш1(Г2)), ц(а;,0) = и0(х) е Н^П).

Теорема 8. Пусть либо N ^ 2, либо 51 ^ 2/(^-2), д2 < 4/(N-2), qi ^ 4/{N-2). Тогда найдется такое максимальное То = То(щ, ¡72, ?з) > 0, что на любом интервале < € (О, Г), Г < Г0) существует слабое обобщенное решение и(х, ¿) задачи (12) с начальным условием и(г,0) = ио(х) £ Н^П).

Теорема 9. Пусть либо N < 2, либо дх < 2/(Лг - 2), ?2 < - 2). Тогда слабое обобщенное решение задачи (12) на интервале (О, Т) с начальным условием и(х, О) = «0(1) € Н^О) единственно.

Доказательство существования слабого обобщенного решения основано на методе Галёркина в сочетании с методом компактности, доказательство единственности — на некоторых вспомогательных неравенствах и лемме Гронуолла.

Вывод условий разрушения слабого обобщенного решения заключается в применении метода энергетических неравенств для тг-го галеркинского приближения с последующим предельным переходом при п —» оо. Результат сформулирован в виде теоремы о достаточных условиях разрушения решения.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 8 и, кроме того <?2 < 4/(Лг — 1) при N > 3, 52 > шах{91,93} и Ф'0 > у/РЦа - 1)Ф„, где

Фо = + \\Ы\1 + + ^ / *1«о|«+2,

г

=¡¡^ыгй - - ^ /

г

где

= (1 — е)(Я2 + 2) I / д1 1?1-д2|2(д1+2)\

тах{д1,9з} + 2' Р £ 1.91 + 2 ' + 1)2(?2 + 2)) ' е = (й-тах{51,дз})/(2?2 + 4).

Тогда существует слабое обобщенное решение задачи (12) с начальным условием и(х,0) = и0(х) е Н^П) на интервале t е (0,Т), УГ < Т0 < оо, при этом при Ь | То происходит разрушение решения, и имеет место двусторонняя оценка

2ФоиЛ/92С Фа{а - 1)-^2[(а - 1)(Ф'0)2 - /ЭФ2]"1'2,

гдеС = 2''2+2"2С'п+2, а С - константа наилучшего влооюения Н^П) в 1,'2+2(Л).

Выводы.

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

. 1. Доказано существование классического решения внутренней и внешней смешанных краевых задач для одного линейного псевдопараболического уравнения в постановке с ненулевыми начальным и граничным условиями.

2. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, найдены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи для нелинейного нелокального уравнения типа Соболева и получена двусторонняя оценка на время разрушения.

3. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, получены достаточные условия разрушения решения задачи для системы нелинейных уравнений типа Соболева и двусторонняя оценка на время разрушения.

4. Доказана локальная разрешимость задачи для обобщенного уравнения Буссинеска в постановке с нелинейным граничным условием Неймана, получены достаточные условия разрушения слабого обобщенного решения за конечный промежуток времени и двусторонняя оценка на время разрушения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A.B. Алынин, П.А. Чубенко. Первая начально-краевая задача для уравнения

стратификации объемного заряда в полупроводнике // Вестник МГУ. Физика, 2007 г., Ж, С. 8-12.

2. П.А. Чубенко. Разрушение решения одного нелинейного нелокального уравнения

соболевского типа // Дифференциальные уравнения, 2009 г., т. 45, №2, С. 211219.

3. П.А. Чубенко. Разрушение решения одной нелинейной системы уравнений

соболевского типа // Журн. выч. матем. и матем. физики., 2009 г., т. 49, №4, С. 1-9.

Подписано к печати 16.02.10. Тираж 65. Заказ 16.

Отпечатано в типографии ООО «Петит»

Введение

Список обозначений

1 Глобальная разрешимость смешанной краевой задачи для линейного уравнения типа Соболева

1.1 Постановка задачи.

1.2 Существование классического решения.

1.2.1 Вспомогательная лемма.

1.2.2 Задача с нулевым начальным условием

1.2.3 Задача с ненулевым начальным условием.

1.3 Единственность классического решения

2 Разрушение решения нелинейного нелокального уравнения соболевского типа

2.1 Постановка задачи.

2.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле

2.3 Необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения.

3 Разрушение решения нелинейной системы уравнений типа Соболева

3.1 Постановка задачи.

3.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле

3.3 Разрушение сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени.

4 Разрушение решения смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием

4.1 Постановка задачи.

4.2 Локальная разрешимость в слабом обобщенном смысле.

4.3 Единственность слабого обобщенного решения

4.4 Разрушение слабого обобщенного решения за конечный промежуток

Заключение 75

Введение

Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнений типа Соболева посвящено большое количество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. Л. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями типа Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости

Исследования С.Л. Соболева были продолжены Р. А. Александряном [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеленяком [5], Н. Д. Копачевским [6, 7], С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым [8, 9]. Среди работ, продолживших исследования С. Л. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальперна [11, 12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.

Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта "квазифронта". В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна.

Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляций и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет места.

Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13], С. Т. Симакова [14], П. А. Крутицкого [15]. В этих работах, при помощи фундаментальных и сингулярных решений операторов внутренних волн, т. е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с помощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу С. Я. Секерж-Зеньковича [16], где впервые, на основе преобразования Фурье, было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, уравнение которых имеет вид д2 (А3и - (32и) + ш2 А2и = О, где (3 - параметр стратификации, ш0 - частота Вейсяля-Брента.

В работах Ю. Д. Плетнера [17] - [19] была обнаружена тесная связь между уравнениями типа Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, в ходе исследования частных начально-краевых задач для уравнений внутренних волн было замечено, что свойства их решений как функций пространственных переменных близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, речь идет о таком свойстве, как аналитичность по пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних волн близка к классической системе Коши-Римана. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по временной переменной необходимое число раз представить в следующем виде з ' Ф 1*и = ! (18Ф{г-з)и(з), ф(г) еС(2)([0,+оо).

1 г 0

Из данного вида и важного свойства вольтерровских операторов — равенства нулю спектрального радиуса — следует, что указанное интегродифференциальное уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтерровскими операторами эллиптическое уравнение

Е3 д2и згг^0г=1 1

Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн в случае областей с негладкой границей [20] - [23]. Кроме того, в работе [24] были обнаружены модельные уравнения тина Соболева высокого, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых волн во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем интегродифференциальных уравнений второго порядка. Отметим также, что в работе [25] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первого порядка, т. е. так называемые уравнения псевдопараболического типа [26].

Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравнений типа Соболева — псевдопараболических уравнений [26]. Все уравнения, для которых поставлены рассматриваемые в данной диссертации задачи, относятся именно к этому типу соболевских уравнений. Здесь следует уточнить терминологию. Под псевдопараболическими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не тина Коши-Ковалевской высокого порядка с производной но времени первого порядка вида (А(и)) + В(и) = 0, где А(и) и В(и) - это эллиптические, и, вообще говоря, нелинейные операторы.

В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [27], по всей видимости, впервые математически строго было получено линейное псевдонараболическое уравнение (Аи + си) + Ли = 0, се Кх\{0} описывающее нестациоиарный процесс фильтрации в трещиновато - пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [28] , Е. С. Дзекцера [29], Ю. Н. Работнова [30, 31] и Г. А. Свиридюка [32, 33] были получены новые уравнения псевдопараболического типа. Следует упомянуть также работы [34, 35] где были выведены самые разнообразные уравнения псевдопараболического типа: линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков и т. п.

Перечень работ, посвященных изучению нелинейных уравнений псевдопараболического типа, весьма обширен. Волновые уравнения третьего порядка исследовались в работах [36] - [51]. В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, для которых исследовались вопросы глобальной во времени разрешимости и разрушения. В случае глобальной во времени разрешимости исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных так и для многомерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса: д (ихх -и)+их + иих + ихх = 0. дЬ

Изучению волновых уравнений псевдопараболического типа пятого порядка Розенау и Розенау-Бюргерса посвящены работы [52] - [58]: д и) — их- иих ^хх — от

В этих работах исследованы вопросы глобальной во времени разрешимости, асимптотического поведения при больших временах и устойчивочти решений типа бегущих волн.

С другой стороны, немало работ посвящено исследованию диссипативных нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Приведем некоторый обзор результатов.

Применение полугруппового подхода к общей теории сингулярных уравнений типа Соболева получило глубокое и широкое развитие в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [59, 60]. Используя полугруппы операторов с нетривиальными ядрами и образами, а также некоторые обобщения понятий ограниченных, секториальных и радиальных операторов в сочетании с понятием фазового пространства удалось свести изучение линейных и полулинейных сингулярных уравнений типа Соболева к изучению структур соответствующих ядер, образов и фазовых пространств полугрупп операторов.

Исследованию псевдопараболических уравнений с незнакоопределенным или необратимым оператором при старшей производной во времени посвящена работа И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [61]. В данной монографии авторы исследовали уравнения, в абстрактной постановке имеющие вид где ЬиВ - самосопряженные (или диссипативные) операторы в данном гильбертовом пространстве. И основная цель работы, реализованная авторами, это связанная с этим операторно-дифференциальным уравнением спектральная задача

Ьи = АВи, для которой изучены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов в некоторых семидифинитных Гильбертовых пространствах.

Кроме того, в абстрактной постановке вырождающиеся уравнения псевдопараболического типа рассматривались в работе А. Раунп, А. Уа^ [62]. В этой работе в законченном виде был предложен метод редукции сингулярных уравнений типа Соболева к дифференциальному включению

Iи е А и ей с многозначным линейным оператором

А : V —► 2¥.

Данный метод основан на хорошо разработанном методе многозначных линейных операторов и основной результат - это теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных сингулярных уравнений типа Соболева.

Широкий спектр результатов для уравнений и систем уравнений, неразрешенных относительно старшей производной рассматривается в работе Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [63]. В монографии изучаются некоторые аспекты задачи Коши и смешанных задач для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Устанавливаются условия разрешимости в весовых соболевских пространствах, доказываются теоремы единственности, выводятся априорные НУ — оценки решений. Изучаются асимптотические свойства решений некоторых задач гидродинамики.

Отметим также работу X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [26], где рассматриваются вопросы локальной разрешимости для уравнений псевдопараболического типа. В данной монографии центральное место занимает исследование операторных и онераторно-дифференциальных уравнений. Для псевдопараболических операторно-дифференциальных уравнений изучаются вопросы Си!.2 - разрешимости. Рассматривается обоснование методов конечномерной апроксимации, в частности, метода Галеркина.

Исследованию псевдоиараболических включений с двойной нелинейностью посвящена работа II. Stefanelli [64]. Метод, используемый в данной работе является развитием метода многозначных линейных операторов предложенный в работе А. Гаупп, А. Yagi [62].

Псевдонараболические уравнения с монотонной нелинейностью рассматривались в работе Я. Е. Showalter [65]. В данной работе в развернутом виде рассматривается классический метод монотонности в приложении к разнообразным классам уравнений математической физики и, в частности, к нелинейным уравнениям типа Соболева с монотонными нелинейностями.

Задачи оптимального управления линейных задач для уравнений псевдопараболического типа исследовались в работе С. И. Ляшко [66] (см. также библиографию к этой работе).

Вопросы разрушения решения за конечное время и существования глобального во времени ограниченного решения нелинейного уравнения Буссинеска с источником щ — Аф(и) — Ащ + ц(и) = О исследовалось в работах А. И. Кожанова [67, 68]. В данных работах для доказательства разрушения используется полученный в работе принцип сравнения решений первой краевой задачи для данного уравнения. В частности, в работе доказано, что имеет место разрушение положительного решения задачи, и получены результаты типа теорем существования-несуществования.

Накопед, в работе A. JI. Гладкова [69] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа: ut = сАщ + (р(и) в классе растущих функций <р(и), где и принадлежит некоторому классу корректности.

Доказательству принципа максимума для уравнений псевдопараболического типа посвящена работа Е. Di Benedetto и M. Pierre [70]. Исследованию псевдопараболических уравнений методами функций комплексного переменного посвящены работы Н. Begehr и D. Q. Dai [71, 72]. Отметим также, что исследованиям задач для квазилинейных уравнений типа Соболева посвящены работы С. Г. Пяткова [73] и С. Guowang и W. Shu-bin [74].

Перейдем к обзору результатов и методов доказательства теорем о несуществовании-несуществовании и разрушении решений, применимых для уравнений псевдопараболического типа. Здесь необходимо пояснить, что понимается под термином "разрушение решения". Под этим термином мы понимаем существование момента времени to < оо, при котором происходит выход решения эволюционной задачи из класса гладкости, которому данное решение принадлежало на интервале (0,io) (класса гладкости, для которого формулируется и доказывается теорема о локальной разрешимости). Забегая вперед, отметим, что во всех рассмотренных в диссертации задачах для нелинейных уравнений разрушение решения сопровождается обращением нормы последнего в бесконечность (в том пространстве, где мы ищем решение), однако такое поведения решения при t —> ¿о вовсе не является обязательным в самом понятии "разрушение". В монографии М. О. Корпусова, А. Г. Свешникова, А. Б. Алынина и Ю. Д. Плетнера [75] было показано, что явление разрушения решений псевдопараболических уравнений, описывающих нестационарные процессы в полупроводниковых средах, соответствует физическому процессу — пробою полупроводника.

Итак, прежде всего отметим классическую работу Фуджиты о несуществовании положительного решения для полулинейного уравнения параболического типа [76]. В данной работе, помимо доказательства разрушения, впервые был получен оптимальный результат типа теоремы существования-несуществования ограниченного решения, понимаемого в классическом смысле. В этой работе, используя известные свойства фундаментального решения оператора теплопроводности, автор вывел необходимые и достаточные условия разрушения положительного решения задачи Коши для полулинейного параболического уравнения ди . ,„ = А« + и dt

В другой, также классической, работе Н. A. Levine [77] был предложен энергетический подход к исследованию вопроса о разрушении сильного и слабого обобщенного решений для достаточно больших начальных данных задачи. Эта работа посвящена исследованию глобальной во времени неразрешимости задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения вида du , . , „

А— + Lи = ¥(и), n(0) = it0,

CLL где существенно использовалось то, что операторы А и L - линейные, положительно определенные и самосопряженные, а оператор F(«) (вообще говоря, нелинейный) имеет симметричную производную Фреше.

В работе Н. Amann Н. и М. Fila [79] была предложена новая задача, для которой удалось получить оптимальный результат Фуджиты.

Широкий спектр результатов по исследованию неограниченных решений был получен в работе А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова и

A. П. Михайлова [80]. В данной монографии исследуются вопросы разрушения решений квазилинейных параболических уравнений. Причем в ходе изучения указанных вопросов используется самая разнообразная техника. Для одних задач применяются признаки сравнения с помощью которых, а также верхних и нижних решений доказываются теоремы существования-несуществования. Для других задач применяется метод неограниченных коэффициентов Фурье. Получены достаточные условия разрушения решений классов квазилинейных уравнений параболического типа. Заметим, что методика развитая для доказательства разрушения решений параболических уравнений может быть применена и при исследовании вопросов разрушения для псевдопараболических уравнений. Отметим также работы В. А. Галактионова [81] - [83].

Кроме того, интересные результаты по получению оценок сверху и снизу для скорости разрушения решения были достигнуты в работе J. D. Rossi [84].

Метод доказательства несуществования решения некоторых классов краевых задач, основанный на использовании принципа максимума развит в работах Ю. В. Егорова,

B. А. Кондратьева [85, 86].

Принципиально новый подход, называемый методом пробных функций, предложен в работах С. И. Похожаева и Э. Митидиери [87]. В этой работе в законченном виде был предложен общий метод исследования дифференциальных неравенств в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов.

При этом оказалось, что с точки зрения доказательства разрушения нет никакой разницы в типе дифференциального неравенства в частных производных. Отметим, что по всей видимости разработанная методика может быть применена к исследованию псевдопараболических неравенств в неограниченных областях. Отметим также работы С. И. Похожаева [88, 89], в которых рассматрвались вопросы разрушения решений дифференциальных неравенств в частных производных, и работу Г. Г. Лаптева [90].

Вопросам разрушения решений уравнений псевдопараболического типа, помимо уже цитированных работ Н. А. Ьеуте [77, 78] (а также [91] - [97]) и А. И. Кожанова [68], посвящены публикации [98] - [102] группы китайских математиков, в которых исследовались вопросы разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной во времени.

Вопросами разрешимости задач для уравнений с двойными нелинейностями посвящены работы [103] - [110]. Причем в работе [110] был рассмотрен случай нелинейного эллиптического оператора при производной во времени, в частности, такое дважды нелинейное уравнение л (сМ|Уи|р-2Уи)) - Д(|Ди|*Ди) = 0. с/с

Техника доказательства локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле дважды нелинейных псевдопараболических уравнений, используемая в данной диссертации, близка к технике работы [110].

Наконец, значительный прогресс в исследовании вопросов разрешимости и разрушения решений нелинейных псевдонараболических уравнений, по мнению автора данной диссертации, был достигнут в работах М. О. Корпусова и А. Г. Свешникова [111] - [118] (см. также упомянутую монографию [75]). В указанных работах, помимо разнообразных результатов для конкретных уравнений, получены важные результаты общего характера. Именно, рассмотрены пять классов псевдопараболических уравнений: первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации, второй — сильно нелинейные уравнения с источниками и линейной диссипацией, третий — сильно нелинейные уравнения с источником и нелинейной диссипацией, четвертый — волновые сильно нелинейные уравнения с источником, пятый '— волновые диссипативные сильно нелинейные уравнения с источником. При этом все смешанные краевые задачи для данных сильно нелинейных уравнений сводятся к задачам Коши для дифференциальных уравнений с нелинейными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Для поставленных задач доказаны теоремы о локальной разрешимости в сильном обобщенном и слабом обобщенном смыслах, достаточных, а также необходимых и достаточных условиях разрушения обобщенных решений за конечное время, получены оценки на время и скорость разрушения. Отметим, что техника доказательства несуществования глобальных во времени решений абстрактных задач в [111] - [118] является развитием энергетического метода Н. А. Levine. Подход Н. А. Levine обобщен в следующих направлениях: во-первых, рассмотрен случай нелинейного оператора А и оператора В более общего вида, чем в работах H.A. Levine, и получены двусторонние оценки времени разрушения, во-вторых, в случае линейного оператора А получены оптимальные двусторонние оценки не только времени, но и скорости разрушения. В работе [75] показано, что к расмотренным классам относится весьма обширный круг модельных уравнений из физики полупроводников, магнитной гидродинамики, нелинейных гравитационных волн и т. п. Следует отметить, что техника доказательства локальной разрешимости и разрушения обобщенных решений (метод энергетических неравенств), примененная в настоящей работе, во многом сходна с техникой, развитой в работах [111] - [118] и [75]. Вместе с тем, нелинейные задачи, рассмотренные в настоящей работе, не сводятся ни к одной из пяти абстрактных задач Коши, изученных в указанных работах.

Перейдем к краткому описанию данной диссертационной работы.

Диссертация посвящена развитию методов доказательства разрешимости смешанных краевых задач для линейных и нелинейных псевдопараболических уравнений, проистекающих из конкретных задач физики полупроводпиков и гидродинамики, в классическом, сильном обобщенном, или слабом обобщенном смысле, и вопросам о разрушении обобщенных решений нелинейных уравнений за конечное время.

По результатам диссертации опубликовано 3 работы [119] - [121] (на момент подачи всех публикаций в печать автор носил фамилию Чубенко).

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 86 страниц, включая список литературы, содержащий 135 работ.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Доказано существование классического решения внутренней и внешней смешанных краевых задач для одного линейного псевдопараболического уравнения в постановке с ненулевыми начальным и граничным условиями.

2. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, найдены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи для нелинейного нелокального уравнения типа Соболева и получена двусторонняя оценка на время разрушения.

3. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, получены достаточные условия разрушения решения задачи для системы нелинейных уравнений типа Соболева и двусторонняя оценка на время разрушения.

4. Доказана локальная разрешимосгь задачи для обобщенного уравнения Буссинеска в постановке с нелинейным граничным условием Неймана, получены достаточные условия разрушения слабого обобщенного решения за конечный промежуток времени и двусторонняя оценка на время разрушения.

1. Соболев С. Л, Об одной новой задаче математической физики // Известия АН СССР, Сер. мат. 1954. N 18. С. 3-50.

2. Александрян Р. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева// Тр. Моск. мат. об.-ва. 1980. N 9. С. 455-505.

3. Масленникова В. Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы С. Л. Соболева // Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: 1971.

4. Маслов В. П. О существовании убывающего при £ —> +оо решения уравнения С. Л. Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. N 6. С/ 1351-1359.

5. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ, 1970.

6. Копаческий Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей // Препринт/ФТИНГ АН УССР. Харьков, 1978. N 38 71. 54 с.

7. Копаческий Н. Д., Темнов А. Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы // ЖВМ и МФ. 1986. Т 26. N 5. С. 734-755.

8. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990.

9. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. М.: наука, 1998.

10. Вишик М. И. Задача Коши для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб. 1956. Т. 39. N 1. С. 51-148.

11. Гальиерн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. Моск. мат. об-ва. 1990. N 9. С. 401-423.

12. Гальперн С. А. Задача Коши для уравнения С. Л. Соболева // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4. N 4. С. 758-773.

13. Плетнер Ю. Д. О колебаниях плоского двустороннего диска в стратифицированной жидкости // ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. N 2. С. 278-290.

14. Симаков С. Т. К вопросу о малых колебаниях в стратифицированной жидкости // ПММ. 1989. Т. 23. N 1. С. 66-74.

15. Крутицкий П. А. Нестационарные планетарные волны в полуограниченных каналах // ЖВМ и МФ. 1987. Т. 27. N 12. С. 1824-1833.

16. Секерж-Зенькович С. Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн // ДАН СССР. 1979. Т. 246. N 2. С. 286-288.

17. Плетнер Ю. Д. О построении решений некоторых уравнений в частных производных // ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 5. С. 742-757.

18. Плетнер Ю. Д. О свойствах решений некоторых уравнений в частных производных // ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 6. С. 890-903.

19. Плетнер Ю. Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторые начально-краевые задачи // ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 12. С. 1885-1899.

20. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Нестационарные волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке//ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. N 9. С. 1112-1121.

21. Алыпин А. В., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Разрешимость одной внешней начально-краевой задачи для уравнения ионно-звуковых волн // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. N 10. С. 180-189.

22. Алыпин А. В., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Однозначная разрешимость задачи Дирихле для уравнения ионно-звуковых волн в плазме // ДАН. 1998. Т. 361. N 6. 749-751.

23. Альшин А. Б. Начально-краевые задачи для уравнения составного типа с движущимися границами // ЖВМ и МФ. 2002. Т. 42. N 2. С. 171-184.

24. Корпусов M. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О нестационарных волнах всредах с анизотропной дисперсией // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. N б. С. 968-984.t

25. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии // ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40. N 8. С. 1237-1249.

26. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

27. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // ПММ. 1960. Т. 24. N 5. С. 58-73.

28. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды МИАН. 1988. Т. 179. С. 126164.

29. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнений движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т. 202. N 5. С. 1031-1033.

30. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1967.

31. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

32. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика. 1988. N 1. С. 74-79.

33. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкоети//Изв. вузов. Математика. 1988. N 1. С. 62-70.

34. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики // ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. N 12. С. 1835-1869.

35. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики. 2. // ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 11. С. 2041-2048.

36. Karch G. Asymptotic behavior of solutions to some pseudoparabolic équations // Math. Methods Appl. Sci. 1997. V. 20. N 3. P. 271-289.

37. Biler P. Long time behavior of the generalized Benjamin- BonarMahony équation in two space dimensions // Differential and Intégral Equations. 1992. V. 5. N 4. P. 891901.

38. Goldstein J.A., Kajikiya R., Oharu S. On some nonlinear dispersive equations in several space variables // Differ, and Integral Equat. 1990. V. 3. N 4. P. 617-632.

39. Zhang L. Decay of solutions of generalized BBMB equations in n-space dimensions // Nonlinear Analysis T.M.A. 1995. V. 20. P. 1343-1390.

40. Naumkin P.I., SMshmarev I. A. Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of Waves. Translations of Mathematical Monographs 133 (Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1994).

41. Naumkin P.I. Large-time asymptotic behaviour of a step for the Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equation // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1996. V. 126. N 1. P. 1-18.

42. Avrin J., Goldstein J.A. Global existence for the Benjamin-Bona-Mahony equation in arbitrary dimensions // Nonlinear Anal., TMA. 1985. V. 9. N 8. P. 861-865.

43. Jeffrey A., Engelbrecht J. Nonlinear dispersive waves in a relaxing medium // Wave Motion. 1980. V 2. N 3. P. 255-266.

44. Albert J.P. On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 141. N 2. P. 527-537.

45. Pereira J.M. Stability of multidimensional traveling waves for a Benjamin-Bona-Mahony type equation // Differ. Integral Equ. 1996. V. 9. N 4. P. 849-863.

46. Hagen T., Turi J. On a class of nonlinear BBM-like equations // Comput. Appl. Math. 1998. V. 17. N 2. P. 161-172.

47. Medeiros L.A., Perla M.G. On global solutions of a nonlinear dispersive equation of Sobolev type // Bol. Soc. Bras. Mat. 1978. V. 9. N 1. P. 49-59.

48. Guo B., Miao Ch. On inhomogeneous GBBM equations //J. Partial Differ. Equations. 1995. V. 8. N 3. P. 193-204.

49. Mei M. L9-decay rates of solutions for Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equations // J. Differ. Equations. 1999. V. 158. N 2. P. 314-340.

50. Li Z. On the initial-boundary value problem for the system of multi-dimensional generalized BBM equations // Math. Appl. 1990. V. 3. N 4. P. 71-80.

51. Chen Yu. Remark on the global existence for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equations in arbitrary dimension // Appl. Anal. 1988. V. 30. N 1-3. P. 1-15.

52. Liu L., Mei M. A better asymptotic profile of Rosenau-Burgers equation //J. Appl. Math. Comput. 2002. V. 131. N 1. P. 147-170.

53. Chung Sang K., Pani Amiya K. Numerical methods for the Rosenau equation// J. Appl. Anal. 2001. V. 77. N 3-4. P. 351-369.

54. Lee H. Y., Ohm M. R., Shin J. Y. The convergence of fully discrete Galerkin approximations of the Rosenau equation// Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 6. N 1. P. 1-13.

55. Mei M. Long-time behavior of solution for Rosenau-Burgers equation. II // J. Appl. Analys. 1998. Y. 68. N 3-4. P. 333-356.

56. Chung S.K., Ha S.N. Finite element Galerkin solutions for the Rosenau equation // J. Appl. Anal. 1994. V. 54. N 1-2. P. 39-56.

57. Park M. A. On the Rosenau equation in multidimensional space // J. Nonlinear Analys., Theory Methods Appl. 1993. V. 21. N 1. P. 77-85.

58. Park M. A. Pointwise decay estimates of solutions of the generalized Rosenau equation// J. Korean Math. Soc. 1992. V. 29. N 2. P. 261-280.

59. Свиридкж Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49. N 4. С. 47-74.

60. Свиридкж Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 5. С. 1130-1145.

61. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск.: Наука, 2000.

62. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. Marcel Dekker, Inc. New York Basel - Hong Kong. 1999.

63. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск.: Научная книга. 1998.

64. Stefanelli U. On a class of doubly nonlinear nonlocal evolution equations // Differential Integral Eq. 2002. V. 15. N 8. P. 897-922.

65. Showalter R.E. Monotone operators in Banach space and nonlinear differential equations, volume 49 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. 1997.

66. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. Киев: Наукова думка, 1998.

67. Кожанов А. И. Параболические уравнения с нелинейным нелокальным источником // Сиб. матем. ж. 1994. Т. 35. N 5. С. 1062-1073.

68. Кожанов А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником // Матем. заметки. 1999. Т. 65. N 1. С. 70-75.

69. Гладков А.Л. Единственность решения задачи Коши для некоторых квазилинейных псевдопараболических уравнений // Матем. заметки. 1996. Т. 60. N 3. С. 356-362.

70. Di Benedetto Е., Pierre М. On the maximum principle for pseudoparabolic equations // Indiana University Mathematical Journal. 1981. V. 30. N 6. P. 821-854.

71. Begehr H., Dai D.Q. Initial boundary value problem for nonlinear pseudoparabolic equations // Complex Variables, Theory Appl. 1992. V. 18. N 1-2. P. 33-47.

72. Begehr H. Entire solutions of quasilinear pseudoparabolic equations // Demonstratio mathematica. 1985. V. 18. N 3. P. 673-685.

73. Пятков С.Г. Краевые задачи для некоторых уравнений и систем, возникающих в теории электрических цепей // Актуал. вопр. совр. мат. 1995. N 1. С. 121-133.

74. Guowang С., Shubin W. Existence and non-existence of global solutions for nonlinear hyperbolic equations of higher order // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1995. V. 36. N 3. P. 475-487.

75. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов M. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Наука, 2007.

76. Fujita Н. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for щ = Д и + u1+a 11 J. Fac. Univ. Tokyo. 1966. Sect. IA. V. 13. P. 109 124.

77. Levine H. A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Put — —Au + F(u) // Arch. Rational. Mech. Analys. 1973. V.51. P. 371-386.

78. Levine H. A., Park S. R., Serrin J. Global existence and nonexistence theorems for qusilinear evolution equations of formally parabolic type //J- Differential equations. 1998. V. 142. pp. 212-229.

79. Amairn H., Fila M. A fujita-type theorem for the laplace equation with a dynamical boundary condition // Acta Math. Univ. Comenianae. Vol. LXVI. 2(1997). P. 321-328.

80. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

81. Галактионов В. А. Об одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения ut = Au1+cr + vP // Дифференциал, уравнения. 1981. Т. 17. N 5. С. 836-842.

82. Галактионов В. А. Об условиях отсутствия глобальных решений одного класса квазилинейных параболических уравнений // ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. N 2. С. 322-338.

83. Галактионов В. А. О неразрешимых в целом задачах Коши для квазилинейных параболических уравнений // ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N 5. С. 1072-1087.

84. Rossi J. D. The blow-up rate for a semilinear parabolic equation with a nonlinear boundary condition // Acta. Math. Univ. Comenianae. 1998. V. LXVII. N 2. P. 343 -350.

85. Egorov, Yu. V.; Galaktionov, V. A.; Kondratiev, V. A.; Pohozaev, S. I. Global solutions of higher-order semilinear parabolic equations in the supercritical range. // Adv. Differential Equations 9 (2004), no. 9-10, 1009-1038. MR2098064.

86. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений дифференциальных неравенств в частных производных. Труды МИАН. 2001.

87. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решений для квазилинейных эллиптичексих неравенств // Доклады РАН. 1998. Т. 359. N 4. С. 456-460.

88. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в RN // Труды МИАН. 1999. Т. 227. С. 192222.

89. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств // Труды МИАН. 2001. Т. 232. С. 223-235.j

90. Levine Н. A., Payne L. Е. Some nonexistence theorems for initial-boundary value problems with nonlinear boundary constraints // Proc. of AMS. 1974. V. 46. N. 7. pp. 277-281.

91. Levine H. A. Quenching and beyond: A survey of recent rezults, GAKUTO Internat. Series, Math. sci. appl. nonlinear math, problems in industry Vol. 2 (H. Kawarada et al., eds.), Gakkotosho, Tokyo. 1993. pp. 501-512.

92. Levine H. A., Payne L. E. Nonexistence theorems for the heat equation with nonlinear boundary conditions and for the porous medium equation backward in time //J. differ, equations. 1974. V. 16. pp. 319-334.

93. Levine H. A., Serrin J. Global nonexistence theorems for qusilinear evolution equations with dissipation // Arch. rat. mech. anal. 1997. V. 137. pp. 341-361.

94. Levine H. A., Fila M. On the boundedness of global solutions of abstract semilinear parabolic equations. // J. Math. Anal. Appl., 1997, V. 216. pp. 654-666.

95. Levine H. A., Park S. R., Serrin J. Global existence and global nonexistence of solutions of the Cauchy problem for a nonlineary damped wave equation. //J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 228. pp. 181-205

96. Levine H. A. The role of critical exponents in blowup problems. // SIAM Rev., 1990. V. 32. pp. 262-288.

97. Liu, Yacheng; Wan, Weiming; Lu, Shujuan Nonlinear pseudoparabolic equations in arbitrary dimensions. // 1997, Text.Article, Acta Math. Appl. Sin., Engl. Ser. 13, No.3, 265-278 (1997).

98. Fan, En Gui; Zhang, Jian. Blow-up of solutions to a class of nonlinear pseudoparabolic equations. (Chinese) Sichuan Shifan Daxue Xuebao Ziran Kexue Ban 18 (1995), no. 4, 21-26.

99. Zhi Jian; Chen, Guowang. Blow-up of solutions to a class of quasilinear pseudoparabolic equations. (Chinese) Gaoxiao Yingyong Shuxue Xuebao Ser. A 9 (1994), no. 3,228-236. MR1328063 (95m:35108)

100. Tian, Ying Hui. The blow-up properties of generalized nonlinear pseudoparabolic and pseudohyperbolic equations. (Chinese) Sichuan Shifan Daxue Xuebao Ziran Kexue Ban 16 (1993), no. 4, 61-68. MR1250599 (94j:35092)

101. Shang, Yadong; Guo, Boling Initial-boundary value problems and initial value problems for nonlinear pseudoparabolic integro-differential equations. (Chinese. English summary) J] Math. Appl. 15, No.l, 40-45 (2002). [ISSN 1001-9847]

102. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

103. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

104. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Совр. нробл. матем. Т. 9. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 89-166.

105. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. Т. 90. N 1. С. 3-22.

106. Иванов А. В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. N 6. С. 114-130.

107. Лаптев Г. И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью // Матем. сб. 1997. Т. 188. N 9. С. 83-112.

108. Лаптев Г. И. Эволюционные уравнения с монотонным оператором и функциональной нелинейностью при производной по времени // Матем. сб. 2000. Т. 191. N 9. С. 43-64.

109. Кузнецов А. В. О разрешимости дважды нелинейных эволюционных уравнений с монотонными операторами // Дифференц. уравн. 2003. Т. 39. N 9. С. 1176-1187.

110. Корпусов М. О. Глобальная разрешимость и разрушение за конечное время решений нелинейных уравнений нсевдопараболического типа // ЖВМ и МФ, т.42, 2002, N 6, с. 849-866.

111. Корпусов М. О. К вопросу о разрушении за конечное время решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения, т. 38, 2002, N 12, с. 1-6.

112. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрешимости сильно нелинейного уравнения псевдопараболического типа с двойной нелинейностью // ЖВМ и МФ, т. 43, N 7, 2003 с. 944-962.

113. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости задачи Коши для полулинейного уравнения псевдопараболического типа // ЖВМ и МФ, 2003, т.43, N 8, с. 1159-1172.

114. Корпусов М. О. О разрушении решений класса сильно нелинейных уравнений типа Соболева // Изв РАН, 2004. Т. 68. N 4. С. 151-204.

115. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений абстрактных задач Коши для нелинейных операторно-дифференциальных уравнений // ДАН, 2005. Т. 401. N 1. С. 1-3.

116. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений полулинейных уравнений псевдопараболического типа с быстро растущими нелинейностями // ЖВМ и МФ, 2005. Т. 45. N 1. С. 145-155.

117. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева с источниками // Изв. Ран. 2005. Т. 69. N 4.

118. A.B. Алынин, П.А. Чубенко. Первая начально-краевая задача для уравнения стратификации объемного заряда в полупроводнике // Вестник МГУ. Физика, 2007 г., №6, С. 8-12.

119. П.А. Чубенко. Разрушение решения одного нелинейного нелокального уравнения соболевского типа // Дифференциальные уравнения, 2009 г., т. 45, №2, С. 211-219.

120. П.А. Чубенко. Разрушение решения одной нелинейной системы уравнений соболевского типа // ЖВМ и МФ, 2009 г., т. 49, №4, С. 1-9.

121. Астратов В. Н., Ильинский А. В., Киселев В. А. Стратификация объемного заряда при экранировании поля в кристаллах. // Физика твердого тела, 1984, т. 26, N9, с. 2843-2851.

122. Фурман А. С. О стратификации объемного заряда при переходных процессах в полупроводниках. // Физика твердого тела, 1986, т. 28, N7, с. 2083-2090.

123. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О квазистациопарных процессах в проводящих средах без дисперсии. // ЖВМ и МФ, 2000, т. 40, N8, с. 1237-1249.

124. Васильева А. В., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. Наука. М., 2002.

125. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Наука. М., 1977.

126. Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников М.: Наука, 1990.

127. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1956.

128. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

129. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

130. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

131. Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

132. Осколков А.П. Гладкие сходящиеся е-аппроксимации первой начально-краевой задачи для уравнений жидкостей Кельвина-Фойгта. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. Т. 219. С. 186-212.

133. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. М.: Наука, 2008.

134. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.