Задачи смешанного управления для линейных распределенных систем соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Исламова Анна Фаридовна

ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ "СИСТЕМ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДПР 2012

Екатеринбург — 2012

005019965

005019965

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Челябинский госздарственный университет" на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Плеханова Марина Васильевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Максимов Вячеслав Иванович

доктор физико-математических наук Чистяков Виктор Филимонович

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева

СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 25 апреля 2012 года в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д.006.004.01 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан £. марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Н. Ю. Лукоянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Высокий уровень развития современных технологий свидетельствует о важности использования систем управления различными процессами в промышленности и о необходимости исследования соответствующих задач управления. Поэтому теория оптимального управления является современным и актуальным направлением науки. О многообразии сфер применения теории управления распределенными системами, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами (работы А.Г. Бутковского, К.А. Лурье), с теорией игр и задачами позиционного управления, с обратными задачами динамики управляемых систем (работы H.H. Красовского, А,Б. Куржанского, Ю.С. Осипо-ва, А.И. Субботина и др.) Большой вклад в развитие теории управления распределенными системами внесли Ж.-Л. Лионе, Ф.П. Васильев, Г. Фат-торини и др.

Практическое исследование задач оптимального управления для различных систем многие исследователи зачастую проводят с помощью нахождения численного решения. Однако, для полного исследования необходимо выяснить при каких условиях на параметры задачи существует решение. Данная работа посвящена рассмотрению вопросов разрешимости задач оптимального управления для линейных распределенных систем, не разрешенных относительно производной по времени, а также нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности для таких задач. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или дифференциально-алгебраические системы), так и о распределенных системах.

Задачи управления для дифференциально-алгебраических систем исследуют в своих работах Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Г.А. Курина, Ф.Л. Льюис, Л. Пандолфи. Управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени, исследовалось в работах Г.А. Свиридюка, A.A. Ефремова, М.В. Плехановой, В.Е. Федорова. Однако никто из перечисленных авторов не рассматривал ранее задачи с одновременным действием распределенного и стартового управления, Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется актуальной.

Цель работы. Пусть Ы, X, У - гильбертовы пространства, операторы L € £(A";}0 (линейный и непрерывный), kerL ^ {0}, В 6 С(Ц\У), оператор М е С1(Х\У) (линейный, замкнутый плотно определенный в X). Предполагается, что оператор М сильно (Ь,р)-секториа.яен1, т. е пара операторов L, М порождает разрешающую аналитическую полугруппу уравнения Lii(t) = Mu[t). Поскольку ядро оператора L нетривиально, эта полугруппа является вырожденной и параметр р € {0}UN является харак-

'Свпридюк, Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журя. 1008. T.39, № 3. C.6D4-616.

теристикой ее вырожденности (максимальная высота М-присоединенных векторов оператора Ь, попадающих в ядро единицы полугруппы). Рассмотрим задачу оптимального управления

где 2 ~ пространство X или подпространство в нем, снабженное другой нормой, непустое выпуклое замкнутое подмножество На пространства Я = ¿2(0, Т1;х 2 - множество допустимых управлений, пара {и, V) задает управление, N1, > 0, гг £ {0,1}, г2 6 {0,1,... ,р + 1},

у е Яр+1(0,Г;^), X е НГ1(0,Т]У), й е Нт*{0,Т,У), V е 2- заданные

функции.

Множество 2Я троек (х, и, у) 6 2Т хН, удовлетворяющих условиям (1) -(3), назовем множеством допустимых троек задачи (1) - (4). Решение задачи (1) - (4) состоит в нахождении троек [х,й,ь) е 237, минимизирующих функционал стоимости .7:

Рассматриваются задачи с различными функционалами (4): с компромиссными функционалами (N^N2 > 0, п = 1, Я - X), с жесткими функционалами (не зависящими явно от функции управления, т. е. N1 = N2 — 0), с функционалами со слабой ио í нормой функции состояния (гх = 0), с функционалами с нормой графика оператора М (2 = ¿отМ) и др. Каждый из рассмотренных классов функционалов требует особенных методов исследования разрешимости соответствующих задач. Например, при рассмотрении задачи жесткого управления приходится требовать ограниченности множества допустимых управлений, переход к слабой норме по £ в компромиссном функционале приводит- к необходимости усиления нормы управления V по пространственным переменным в нем.

Таким образом, рассматриваемые в данной работе задачи управления предполагают одновременное управляющее воздействие двух типов -стартовое, т. е. управление процессом за счет выбора начальных данных V в условии (2), и распределенное, т. е. внешнее воздействие на систему посредством выбора функции и в уравнении (1). Назовем такое управление смешанным.

ыц) = Мх{г) + уф + Ви{г), х(0) = г,

(и, у) е На,

= ^Цж - г||яг1(0)Г;ЛГ)+

+у - Щнчтх) + у II" - Н

(4)

(1) (2) (3)

J(xtй,v) — шГ J(x,u,v).

(х,и,г1)е2В

В приложениях часто возникают системы, описываемые в начальный момент времени не условием Коши (2), а так называемым обобщенным условием Шоуолтера

Рх{ 0) = v, (5)

где Р - проектор вдоль ядра разрешающей полугруппы однородного уравнения (1). Для уравнений, не разрешенных относительно производной по времени, это условие часто является более "физичным", так как предполагает задание начального состояния только для динамически изменяющейся части системы (1).

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач смешанного оптимального управления вида (1) - (4) и (1), (3) - (5).

Методы исследования. В диссертации использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г. А. Сви-ридюка, В.Е. Федорова. В основной части работы рассматривается случай сильно (¿,р)-секториального оператора М. Это позволяет установить однозначную разрешимость в смысле сильных решений х 6 Ях(0,Т;Х) задачи Коши (2) и Шоуолтера (5) для уравнении (1).

Задачи смешанного оптимального управления (1) - (4) исследуются в данной работе с использованием предложенной ранее в работах Ж.-Л. Ли-онса, A.B. Фурсикова схемы исследования задач оптимального управления для распределенных систем, состояние которых описывается некорректными начально-краевыми задачами. Она позволяет, используя лишь условие нетривиальности для рассматриваемой системы и свойства минимизируемого функционала, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления. При этом важно, что нет необходимости выражать функции состояния х через функции управления и и v, поскольку для рассматриваемых систем, не разрешимых относнтааьно производной по времени, это возможно лишь для функций управления из неплотного множества в пространстве управлений.

Новизна полученных результатов. В данной диссертационной работе, по-видимому, впервые исследуются задачи смешанного оптимального управления с различными функционалами стоимости для вырожденных распределенных систем, описываемых уравнением (1), не разрешимым относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. При этом, в отличие от работ других авторов, касающихся систем, не разрешенных относительно производной по времени, в работе рассмотрены различные классы функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального состоянии системы, задачи с жестким управлением.

Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач смешанного оптимального управления для линеаризованной системы Буссинеска, линеаризованной системы фазового поля с нулевым временем релаксации, для содержащего многие уравнения теории фильтрации

и теории полупроводников класса уравнений вида (1), в котором операторы Ь и М являются многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального по пространственным переменным оператора высокого порядка.

Помимо исследования разрешимости задач смешанного управления для вырожденных распределенных систем в диссертационной работе для ряда конкретных задач осуществлен вывод систем оптимальности - необходимых и достаточных условий экстремума.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. Они дают решения некоторых актуальных проблем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. И в то же время результаты диссертационной работы предоставляют методы исследования и поиска решений (с помощью систем оптимальности) задач оптимального управления для систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В.Е. Федоров), на семинаре Лаборатории дифференциальных и разностных уравнений Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф. Г.В. Демиденко, д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанов) и на следующих научных конференциях: Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", г. Стерлитамак, 2008 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г. Суздаль, 2008 г.; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна, 2010 г.; IX Международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", г. Челябинск, 2010 г., Международная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", г. Екатеринбург, 2011 г.

Данное исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-96007-р_урал_ а, и Фонда помощи молодым ученым ЧелГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 работы - в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий. Список публикаций автора диссертации приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановки задач и некоторые идеи доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 129 страниц. Библиография содержит 155 наименований работ российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе приведены результаты других авторов, которые используются при доказательстве основных утверждений диссертации во второй, третьей и четвертой главах. В первом параграфе определены пространства Лебега - Бохнера и Соболева - Бохнера, обозначенные для краткости ¿2(0, Г; X) = Ь2(*)> Нк(0, Т\ X) = Нк{Х), к е N. Второй параграф содержит определения и свойства относительно р-секториальных и относительно р-радиальных операторов.

При р е {0} U N ведем обозначения Х° = кег{{цЬ - M)~1L)p+l, У0 = кег{L[fiL - M)~1)p+1, через Xх и У1 обозначим замыкания образов im ((/iL - M)_1L)p+i и im {L(/iL - M)_1)p+1 в норме пространства X н У соответственно. Дальнейшее изложение будет использовать эти обозначения и следующий результат.

Теорема 1.2 Пусть р € {0}UN, оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Тогда

(i) Х = Х°еХ1,У = У° © у1;

(п) Lk = Lb* б С{Хк;Ук), Мк = М\йотМк б С1(Хк-,Ук), где dornМк = domM П Хк, к = 0,1;

(iii) существуют операторы М0-1 е £(У°; Xй), Lj"1 е £.{У1\Х1)\

(iv) оператор G — M0_1Lo € £(Л"°) нилъпотентен степени не больше

р;

iv) существует аналитическая разрешающая полугруппа операторов {X* € С(Х) : t > 0} уравнения Lx(t) = Mx{t).

Проектор вдоль Х° на X1 обозначим через Р, а вдоль У* па [У1 - через

Q-

В третьем параграфе приведены результаты о разрешимости задач с начальным условием Коши и обобщенным условием Шоуолтера дли неоднородного уравнения соболевского типа. Четвертый параграф содержит абстрактные теоремы о линейной задаче управления, используемые далее при исследовании задач смешанного оптимального управления.

Вторая глава содержит новые результаты о существовании и единственности решений задач смешанного оптимального управления для систем, описываемых уравнением первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной и с заданным начальным условием Коши или Шоуолтера. В первом параграфе второй главы рассматривается задача смешанного оптимального управления (1) - (3) с

2Sviridyuk. G.A. Linear Sobolev ТУре Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

компромиссным функционалом

J(x, u,v) = i||i - wfm(x) + у ||u - й\\12(и) + - Ц2Х inf, (6)

где iX = L2(l() x X - пространство управлений, заданы у 6 НР+1[У), w е Нг(Х), й € L2{U), V е X, константы Nh N2 > 0.

Условие согласования стартового управления и неоднородности в уравнении (1) в начальный момент времени задается множеством Нд{у), которое состоит из пар (и, -и) б Hp+l(U) х X, при заданном у £ НР+1(У)

удовлетворяющих равенству

р р

Y,GkMz\l - Q)BuW( 0) + (/ - P)v = - £ GkM^{I - Q)y^(O). fc=0 *=0

С использованием пространства ZT = {z e Я^Л") : Lz - Mz G #ГСУ)} получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, ttg - непустое, выпуклое, замкнутое подмножество пространства L^lu) х X, НаПНд(у) ф 0. Тогда существует единственное решете {x,H,v) £ ZqxSI задачи (1) - (3), (6).

Аналогичный результат получен для задачи (1), (3), (5), (6). Необохо-димость в условии iXg П Нд(у) ф 0 при этом исчезает в силу особенностей задачи Шоуолтера.

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, idg - непустое, выпуклое, замкнутое подмножество пространства ¿г(^) х X, Яэ П (НР+1(Ы) х X) ф 0. Тогда существует единственное решение (x,u,v) £Z0xtt, задачи (1), (3), (5), (6).

Во втором параграфе рассмотрены задачи смешанного оптимального управления с функционалом

Jx(x, и, v) = J0(x) + у ||ы ~ й|1яр*чи)+

+f ll«-^ + yl|5t;-St;||^inf, (7)

где й e Hp+i{U), S = L\lM\ e CliU1), V e domS - заданы, функционал J0 - выпуклый, неотрицательный на линейном нормированном пространстве 2), полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в 2), причем предполагается непрерывное вложение Zp+i с Щ.

Введем в рассмотрение пространство T>s = domS = domAib которое в силу замкнутости оператора S является гильбертовым относительно скалярного произведения (•, = {•, -)х + (S-, S-)x.

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секгпоршлеп, На - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства НрН(Ы) х Т>$ На П Нв{у) ф 0. Тогда существует единственное решение (£, й, £>) € 2р+1 х 11 задачи (1) - (3), (7).

Как частные случаи функционала 7] рассмотрены функционал со слабой нормой функции состоянии = - йЦ^д.) и терминальный функционал 70(ж) = ¿^(Г) - ю\\\.

Здесь же доказаны аналогичные теоремы о разрешимости задачи управления с функционалом качества ^ в случае обобщенного условия Шоуолтера (5).

В третьем параграфе в пространстве управлений Я = Ь2(14) х X рассматриваются задачи с жестким управлением, когда функционал в явном виде не зависит от управления

/(ж) - -Пп^ (8)

Существенным для разрешимости таких задач является требование ограниченности множества допустимых управлений, а для единственнсти решения - условие инъективности оператора В в уравнении (1).

В данном параграфе рассмотрен случай (¿,р)-секториального оператора М, поскольку в некоторых приложениях, например, для рассмотренной в третьей главе линеаризованной системы Буссинеска. условие сильной (£,р)-секториальности оператора М не выполняется.

Ослабление условий на операторы приводит к отсутствию непрерывности у оператора Ь^1 : \тЬ\ ч- Ы1 л необходимости изменения множества Нд(у). Для у £ НР+1(У) через Нд(у) обозначим множество пар (и, и) £ И, таких, что

Я{ВиЦ) + у(0) € Шъ при I £ (О, Т),

Ь?сави + у)ен1{х), (I - С}){Ви + у) е нр+1(У),

(/ _ Р)У = _ £ скм0-\(1 - д)(ви + г/)Я(0).

к=О

Определим для к £ N и {0} оператор 25* 6 С(Нк(Ы)\Нк(у)), (¡8ки)(0 = ВиЮ^е(о,т).

Теорема 5. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, Иэ - замкнутое, выпуклое и ограниченное в ¿2(14) х X множество, причем Яэ П Нд(у) ф 0. Тогда существует непустое множество решений задачи (1) - (3), (8) имеющее вид {(х,й,ь) £ Е0 х Яз : х = х\, г) = €1гй- щ + и,и £ кег<80}, где (х\, «1, г>1) - одно из решений задачи.

Исследование той же задачи с начальным условием Шоуолтера, после выбора подходящих пространств и доказательства коэрцитивности функционала приводит к утверждению.

Теорема 6. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, üg - замкнутое, выпуклое и ограниченное в L2{U) х X множество, йд П (НР+1(Ы) х X) ф 0. Тогда существует непустое множество решений задачи (1), (3), (5), (8), имеющее вид {(£, ü, i¡) 6 Zq х Я : х = xi, v = vi, ü = щ + и, и 6 ker 23o}, где (ii, «1,1)1) - одно из решений задачи.

Для задачи жесткого управления с абстрактным функционалом

Jo (ж) inf, (9)

удовлетворяющим тем же условиям, что и во втором параграфе, получены следующие результаты.

Теорема 7. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, Jo - ограниченный снизу на линейном нормированном пространстве 2), полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в 2) функционал, имеет место непрерывное вложение Zv+i в 2), ííg - выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений ii = HP+1(U) х T>s множество, причем Яд П Нд{у) ф 0. Тогда существует решение (x,ü,i>) € Zp+\ х Я задачи (1)-(3), (9).

Теорема 8. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, у е #р+ (У), Qy(t) Е im¿i при t £ (0,Т), LilQy G Hl{X), Jo ~ ограниченный снизу на линейном нормированном пространстве 2), полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в 2) функционал, имеет место непрерывное вложение Zp+1 в 2), Ug - непустое, выпуклое, замкнутое и ограниченное в пространстве управлений il = HP+1(U) х T>s множество. Тогда существует единственное решение (х, ü, й) 6Е Zp+1 х Я задачи (1), (3), (5), (9).

Как следствие получены результаты для терминального и со слабой нормой функции состояния функционалов стоимости.

В пятом параграфе рассмотрена задача (1) - (3) для функционала с нормой графика

J{x,u,v) = Jo(íc) + "^"IW —

+у 11« - ñx + ~ inf' (1°)

где й e Hp+l(U) и ye Hp+1 (y) - заданные функции, v € VM = domM -заданный вектор, константы Ni,Nz> 0.

Теорема 9. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, Яэ - непустое, выпуклое, замкнутое подмножество пространства HP+Í(U) хТ>м,

функционал Уо выпуклый, неотрицательный па линейном нормированном пространстве 2), полунепрерывный снизу, На П На(у) ф 0. Тогда существует единственное решение [х,й,Ь) <Е 2рП х И задачи (1) - (3),

В шестом параграфе второй главы содержатся комментарии по поводу рассмотренных задач в случае, если оператор М удовлетовряет более общему условию сильной (£,р)-радиальности.

Третья глава содержит приложения результатов второй главы к исследованию задач оптимального управления для уравнений или систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, которые возникают при моделировании реальных процессов. В первом параграфе проведена редукция задачи

(\-А)и;1{х,1)=аи)(х,1) + и(х,г), (х,Ь) 6 П х (О, Г), (11)

ш{хЛ)=0, (1,«)бй!х(0 ,Т), (12)

11){х, 0) = у{х), хе£1, (13)

описывающей переходные процессы в полупроводнике в ограниченной области П, к задаче (1), (2). Здесь А, а е К. Во втором параграфе доказана теорема о разрешимости задачи смешанного управления системой (11) -(13) в случае компромиссного функционала стоимости

и, у) = ± ||и, - ш||2н1(01Т;Я2(П)) + - й||^,(01ТЛ(П)) + ^ ||г; - г)||2я2{п) и задачи жесткого управления с терминальным функционалом

УИ = 1|КТ)-«;||2/2(П)->т£. (14)

Рассмотрению начально-краевой задачи для уравнения Дзекцера {\-А)ы^х,{) = аАи){х,г)-рА2у)(з:,1) + и(хЛ), {хЛ) е Пх(0,Т), (15)

д О

*) = ^Ых, *) = 0, (х, 1)€дПх (0, Т), (16)

ы(х,0) = ь(х), хбП, (17)

посвящен третий параграф главы. Показано, что при редукции к задаче (1), (2) получается уравнение с сильно (Ь, 0)-секториальным оператором М, если А, а е К, Р > 0, А ф 0, А ф а/р. В следующем параграфе исследованы задача смешанного управления системой (15) - (17) в случае функционала

•М™,«, у) = - й||^(0,Г;н2(П)) + у 11« - «И^одуда» + у II" ~ ЙИя2(П)

и задачи жесткого управления для функционалов

= т)-т\\2т[п),

М*) = \ № - й11ячо,г тп)) ■

В пятом параграфе исследуется задача оптимального управления решениями начально-краевых задач для дифференциального уравнения с многочленами от эллиптических дифференциальных по пространственным переменным операторов высокого порядка. В данном параграфе показано, что рассматриваемая начально-краевая задача для нее редуцируется к абстрактной задаче Коши с сильно (Ь, 0)-радиальным оператором.

К задаче для уравнения (1) с условием Шоуолтера (5) сводится рассмотренная в шестом параграфе начально-краевая задача

д

—г(х,г) = Аг{х,{)-Ае(х,Ь) + и1{х,г), {х,Ь) е П х (0,Т), (18)

Сь

Д 6{х, 0 + (а - 1)в{х, *) + г(х, ¿) + и2{х, I) = 0, [х, г)еПх (О, Т), (19)

Л Я

—г{х,1) = —в{х,1) = 0,{х,1)едПх(0 ,Т), (20)

г{х, 0) = у(х), хеП, (21)

для уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации. Доказана разрешимость задач смешанного оптимального управления системой (18) - (21) с функционалом со слабой нормой функции состояния

Цг, 0, и, им») = - г\\12{й<т.мщ + \\\в- ^||!2(о.г^2(п))+

+у||«1 - Й1||я1(0.тх2(п)) + у||и2 - й2||я1(о,т-мт + у11и ~ ЙНя2(П)

и задача жесткого управления

■/(*,<?) - - Щ12{о,тМп)) + ¿11* " П1г(о.т-Мп)) ^ • (22)

В седьмом параграфе начально-краевая задача для линеаризованной системы уравнений Буссинеска

дг(х О

^ ' ' = иАг(х, г) - г{х, *) - а0(х, *)е3 + щ(х, *), (х, ()еПх (0, Г),

V-2(1,0 = 0, (М) е П х (0,Г), 12

дв(х t)

~^ = /3A0{x,t) + z3{x,t) + u2(x,t), fat) еПх (О,Г),

z{x, t) = 0, 0(®, f) = 0, (яг, t)edfi x (0, T),

z(x,0) = v1(x), r(x,0) = v2(x), в(х,0) = v3(x), x<=Q,

редуцируется к задаче Коши с (L, 0)-секториальным оператором при а € R, > 0. Далее приведены условия разрешимости задачи жесткого смешанного управления для системы Буссинеска с функционалом

J(z,r, 0) J-ll* - \\\г - г0||?/1(0№)+ ^ - 0о||^(о,:г;£2(П))-

Здесь L12 = {Li(fi))3. Существование единственного решения следует из ограниченности множества допустимых управлений и инъективности оператора В.

Выводу необходимых и достаточных условий оптимальности в рассматриваемых задачах посвящена четвертая глава. В первом параграфе главы для задачи жесткого управления системой, описываемой уравнением переходных процессов в полупроводнике, с терминальным функционалом получена сопряженная задача

(А - ù)${x,t) =(x,t) е fi x (О, Г), (23)

•ф1{х, t) = 0, {x, t) е дП х (0, Т), (24)

{Х-А)ф\х,Т) = -ш{х,Т) + ш(х), х£П, (25)

(А - Д )<ф\х, 0) = ф2{х), iefi, (26)

и показана ее однозначная разрешимость. Во втором параграфе описаны множества Нд(0) и Z\, соответствующие рассматриваемой задаче, и доказан критерий оптимальности. Обозначим Яд(П) = {w S H2(Cl) : w(x) = 0,хЕ Ш).

Теорема 10. Пусть A, а ф 0, ilg - пепуст.ое, выпуклое, замкнут.ое, ограниченное множество из пространства Ях(0,T;L2(fi)) х На П Ид{0) ф 0, [ф\ф2) £ H\Q,T-H2{Q)) х ¿2(fi) - решение задачи (23) -(26). Тройка (щ й, v)EZiX Ях(0, Т; £2(fi)) х Я02(П) является решением задачи (11) - (14) в том и только в том случае, когда для всех (и, v) Gilg выполнено неравенство

т

J j ^l[x,t){u{x,t) - û(x,t))dxdt + J ф2{х)(у(х) - v(x))dx > 0, 0 f! fi

которое в случае (û,v) 6 intlfo превращается в равенство.

Третий параграф посвящен нахождению сопряженной задачи для задачи жесткого смешанного управления системой уравнений фазового поля с функционалом со слабой нормой функции состояния. Доказана однозначная разрешимость сопряженной задачи

ф}{х, *) = -Аф\х, Ь) - ф\х, + г(х, *) - г(х,¿), (27)

Аф1 (х, Ь) - Аф2{х, о - (1 - а)ф\х, Ь) 4- 9{х, 0 - 0(х, 0 = 0, (28)

^ф\х, I) = ^ф\х, 0 = 0, (х, 0 е От х (О, Т), (29)

^1(®,Т) = 0, хбП, (30)

= хбЙ, (31)

которая также является задачей для системы, не разрешенной относительно производной по времепи, но с конечным условием типа Шоуолтера. В четвертом параграфе выведены необходимые и достаточные условия оптимальности для исследуемой задачи управления. Обозначим Ахи = А», аошЛ = Н\ (О) = {ше Н2{П) : £ги(х) = 0,® 6 ОТ} С Ь2{П).

Теорема 11. Пусть I — а ф сг{А), Дз - непустое выпуклое замкнутое ограниченное множество пространства Я1(0, Т;Ьг(П)) х Я20 (П),

дп

(ф\ф2) е Я1 (0,Т;Ьг(П)) * - решение задачи (27) - (31). Тройка

(ш, й, и) 6 х Н1(0, Т, х Н\ (П) является решением задачи (18) -

5й

(22) в том и только в том случае, когда выполнено неравенство т т

I! ф1{х^){и{х,1)-й{х,\))4х(И + 11 ф2(х,1){и>{х, Ь) - ь>{хЛ))(Ь<И+ 0 П СП

+ J ф3{х){ь{х) - й(х))сЬ > 0, (и, ш, и) £ Не, «

которое в случае (й, и), Ъ) 6 Ид превращается в равенство.

Следует заметить, что результаты четвертой главы получены для абстрактных функционалов и вкупе с предлагаемым алгоритмом вывода сопряженной задачи могут быть использованы при исследовании других задач оптимального управления для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной.

Результаты, выносимые на защиту: I. Теоремы существования и единственности решения задач смешанного оптимального управления с различными функционалами стоимости для систем, описываемых линейным уравнением первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной и с условием Коши или Шоуолтера.

II. Теоремы существования и единственности решения задач смешанного управления для уравнения с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка, уравнения, описывающего переходные процессы в полупроводнике, уравнения Дзекцера свободной поверхности фильтрующейся жидкости, линеаризованной системы уравнений фазового поля, линеаризованной системы уравнений Буссинеска.

III. Необходимые и достаточные условия оптимальности для задач смешанного управления системой, описываемой уравнением переходных процессов в полупроводнике, линеаризованной системой уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации.

Публикации автора по теме диссертации

1. Плеханова, М.В. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени / М.В. Плеханова, А.Ф. Ис-ламова // Известия вузов. Математика. - 2011. - № 7. - С. 37-47.

2. Исламова, А.Ф. Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения / А.Ф. Исламова // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. - 2011. - Вып. 8 - № 17 (234) - С. 37-46.

3. Плеханова, М.В. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска / М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т.48, № 4 - С. 565576.

4. Исламова, А.Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа / А.Ф. Исламова, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Тр. международ, науч. конф. - Стерлитамак, 2008. - С. 111-115.

5. Плеханова, М.В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Вып. 11. - С. 62-70.

6. Исламова, А.Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа / А.Ф. Исламова // Тр. Воронежем зимн. мат. школы. - Воронеж, 2010. - С. 69-74.

7. Плеханова, М.В. Задача со смешанным управлением для одного класса линейных уравнений соболевского типа /' М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Вып. 23. - С. 49-58.

8. Исламова, А.Ф. Смешанное оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / А.Ф. Исламова, М.В. Плеханова // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам. - Владимир, 2008. - С. 123.

9. Иыамова, А.Ф. Смешанное управление системой уравнений, описывающей переходные процессы в полупроводнике /' А.Ф. Исламова // Тез, докл. Воронежск. зимн. мат. школы. - Воронеж, 2010. - С. 68.

10. Исламова, А.Ф. Жесткое смешанное управление решениями обобщенной задачи Шоуолтера для уравнения соболевского типа / А.Ф. Исламова // Физика и технические приложения волновых процессов. Тез. докл. международ, науч.-техн. конф. - Челябинск, 2010. -С. 201.

11. Исламова, А.Ф. Задача смешанного управления для уравнения Дзек-цера / А.Ф. Исламова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Междунар. конф., посвященной памяти В.К. Иванова. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. - С. 235.

Подписано в печать 13.03.2012 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,97. Бумага офсетная. Тираж 120 экз. Заказ

ФГБОУ ВПО ''Челябинский государственный университет" 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Издательство ЧелГУ 454021, г. Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57 б

61 12-1/1064

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования "Челябинский государственный университет"

На правах рукописи

ИСЛАМОВА АННА ФАРИДОВНА

ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент М.В. Плеханова

Челябинск - 2012

Содержание

Обозначения и соглашения 4

Введение 5

Глава I 27

1.1. Функциональные пространства ...............27

1.2. Относительно р-секториальные и р-радиальные операторы 29

1.3. Сильное решение задачи Коши ...............33

1.4. Линейная задача управления ..................38

Глава II 41

2.1. Задачи управления с компромиссным функционалом ... 41

2.2. Задачи управления с функционалом со слабой нормой функции состояния......................45

2.3. Задачи с жестким управлением...............51

2.4. Задачи жесткого управления со слабой нормой функции

состояния...........................54

2.5. Смешанное управление для функционала с нормой графика 58

2.6. Случай относительно р-радиального оператора ...... 63

Глава III 67

3.1. Начально-краевая задача для уравнения переходных про-

цессов в полупроводниках....................................67

3.2. Смешанное управление уравнением, описывающим пере-

ходные процессы в полупроводнике ............69

3.3. Начально-краевая задача, для уравнения Дзекцера .... 70

3.4. Задачи оптимального управления для уравнения Дзекцера 73

3.5. Задачи оптимального управления для уравнения с много-

членами от эллиптического самосопряженного оператора 75

3.6. Линеаризованная система уравнений фазового поля с ну-

левым временем релаксации................. 78

3.7. Задачи управления для линеаризованной системы урав-

нений фазового поля.....................82

3.8. Линеаризованная система уравнений Буссинеска.....83

3.9. Задача смешанного управления для линеаризованной си-

стемы Буссинеска........................ 90

Глава IV 92

4.1. Сопряженная задача для уравнения переходных процес-

сов в полупроводнике ....................92

4.2. Критерий оптимальности для уравнения, описывающего

переходные процессы в полупроводнике..........96

4.3. Сопряжённая задача для системы уравнений фазового поля 101

4.4. Критерий оптимальности для системы уравнений фазо-

вого поля...........................105

Список цитированной литературы................110

Обозначения и соглашения

1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами каллиграфического шрифта латинского алфавита, кроме:

N - множество натуральных чисел, 1Чо = {0} U N;

R - множество действительных чисел;

М+ = {а е К : а > 0}; Ш+ = {0} U К+;

С{Х\У) - банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство У',

С1(Х;У) - множество линейных замкнутых плотно определенных в пространстве X операторов, действующих в пространство У;

с(х- x) = с(х), cl{x; x) ее с1(х).

2. Область определения оператора А обозначается через domA, его ядро - через ker А, образ - через im А. Символом span В обозначается линейная оболочка множества В.

3. Пространства Соболева Т; X) функций х : (0, Т) —> X для краткости будем обозначать как Wlq(X).

4. Символом s- lim обозначается предел последовательности операторов в сильной топологии.

5. Символами / и О обозначаются соответственно тождественный и нулевой операторы, области определения которых ясны из контекста.

8, Символ □ лежит в конце доказательства.

ВВЕДЕНИЕ Постановка задачи

В гильбертовых пространствах X, У и Ы будут рассмотрены задачи оптимального управления системами, состояние которых описывается уравнением

Ьх(е) = Мх{Ь)+у(Ь) + Ви(г)у (0.1)

не разрешенным относительно производной по времени, и определяется начальным условием

ж(0) = v. (0.2)

Здесь Ь £ £(Х;У), кет Ь ф {0}, М е С1(Х;У), В е С(Ы;У), функции и : [0,Т] -> 14, у : [0,Т] Т £ М+. Назовем сильное решение х <Е Нг(Х) задачи (0.1), (0.2) состоянием системы (0.1), (0.2). При фиксированном у воздействие на систему (0.1), (0.2) производится с помощью варьирования функций и, у, назывемых управлением или функциями управления. Поскольку управляющее воздействие входит в управляемую систему в качестве начального значения (стартовое управление) и функции в правой части уравнения (0.1) (распределенное управление), то такое управление назовем смешанным. Возникающие в задачах естественные ограничения на функции и, у приводят к появлению некоторого множества Яд, называемого множеством допустимых управлений, и соответствующего условия задачи управления

{щу)еИд. (0.3)

Условие минимизации функционала качества (или стоимости) в задаче управления запишем в виде

и, у) т£. (0.4)

Тройка (х,и,у) называется допустимой для задачи (0.1) - (0.4), если она удовлетворяет условиям (0.1) - (0.3). Множество всех допустимых пар обозначим через 2П. Задача оптимального управления заключается в отыскании такой допустимой тройки (х, й, г)), для которой выполняется соотношение

J(x,й,v) = ш£ Лх,и,у).

(х,и,у)€%В

В работе рассматриваются различные функционалы стоимости вида

т/ \ 1|| ~ м2 II ~и2 и ~п2

3{х, и, v) = -\\х - х\\нгчх) + —\\и - и\\нг2{и) + —\\у - у\\х,

где п £ {0,1}, г2 £ N0, V £ X - заданный вектор, ж, и - заданные функции, N1, N2 > 0, Из ~ непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений НГ2(Ы) х X.

При некоторых естественных предположениях на операторы Ь и М, гарантирующих существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы уравнения Ьх{Ь) = Мх({), задача (0.1), (0.2) является абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике [18, 80, 126]. При этом заметим, что в приложениях часто более естественным оказывается вместо условия Коши (0.2) рассматривать так называемое обобщенное условие Шоуолтера [140, 142]

Рх{ 0) = V, (0.5)

где Р - проектор, являющийся единицей упомянутой полугруппы операторов.

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач оптимального управления при различных п, г2 в случаях N^N2 > 0 и N1 — N2 — 0 (случай жесткого управления). При

этом взаимосвязанные параметры Г\ и Г2 берутся по возможности минимальными в целях ослабления требований на гладкость функций состояния и, соответственно, управления. Увеличение одного из этих параметров в рассмотренных задачах позволяет уменьшить другой без потери функционалом стоимости свойства коэрцитивности. Особенности же вырожденного уравнения (0.1) таковы, что взять одновременно П = 0 и Г2 = 0 без потери коэрцитивности не представляется возможным.

Отметим, что задача смешанного управления не сводится к обычной задаче распределенного управления с ограниченным оператором В при управлении. Действительно, после замены, скажем, Х\{{) = х(1)—у мы получим из (0.1), (0.2) начальное условие £1(0) = 0 и уравнение Ьх\{Ь) = Мх\{1) -\-yit)+ Би(£) + Му, в котором распределенное управление Ви(Ь) + Му можно привести к виду В\{и(Ь), у), где матричный оператор В\ = (В, М) является на используемом в большинстве случаев пространстве управлений НР+1(Ы) х X неограниченным в силу неограниченности оператора М.

Полученные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для неразрешенных относительно производной по времени линейных распределенных систем, встречающихся в математической физике, таких, как линеаризованная система Бусси-неска, линеаризованная система уравнений фазового поля с нулевым временем релаксации, уравнение переходных процессов в полупроводнике, уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др.

Историография вопроса

В настоящее время одной из важных областей практического ис-

пользования математики является теория оптимального управления. С развитием науки и техники люди имеют дело со все более сложными системами и процессами, которыми необходимо управлять. Вместе с этим растет сложность задач математической теории оптимального управления.

Некоторые управляемые объекты можно характеризовать в каждый момент времени конечным набором параметров. Это так называемые объекты с сосредоточенными параметрами, они описываются системами обыкновенных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума JI.C. Понтрягина [77], методов динамического программирования [3, 94], с результатами H.H. Красовского и его школы, касающимися классической ¿-проблемы моментов, теории игр и др. [1, 43, 44, 45, 49, 97, 99, 143].

В то же время для эффективного управления многими реальными объектами необходимо их рассматривать как объекты с распределенными параметрами, то есть объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями распределения. В этом случае возникают задачи оптимального управления для систем дифференциальных уравнений в частных производных - распределенных систем. Дать хоть сколько-нибудь полный обзор по теории управления распределенными системами не представляется возможным. О многообразии сфер применения этой теории, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами [8/9, 20, 21, 57], с теорией игр и задачами позиционного управления [33, 37, 64, 65, 67, 68], с обратными задачами динамики управляемых систем [28, 35, 36, 47, 48, 58, 59, 60, 61, 66]:

В монографии Ж.-Л. Лионса [55] исследованы различные зада-

чи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Адамару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Для этого состояние системы выражается через управление, и коэрцитивный функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Работы [56, 114, 115] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.

В данной диссертации исследуются задачи смешанного оптимального управления с различными квадратичными функционалами для систем, описываемых задачей Коши (0.2) или обобщенной задачей Шо-уолтера (0.5) для уравнения (0.1) с сильно (£,р)-секториальным оператором М, то есть в Случае существования аналитической в секторе разрешающей полугруппы уравнения !/£(£) = Мх({), кет Ь ^ {0}. Поэтому важными для диссертационной работы являются вопросы однозначной разрешимости задач (0.1), (0.2) и (0.1), (0.5) в смысле сильных решений.

Заметим, что исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно старшей производной, во многом обусловленные интересом к системе Навье - Стокса, встречаются еще в работах Пуанкаре [138], Озин [135], Лере, Шауде-ра [130, 131]. Первые систематические исследования начально-краевых задач для таких уравнений были осуществлены С.Л. Соболевым [92, 93], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.1), часто

называют "уравнениями соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева" [18, 71, 82, 139]. В контексте данной работы уравнение (0.1), снабженное начальным условием, будем называть распределенной системой управления соболевского типа.

Перечислим некоторые из наиболее существенных на наш взгляд результатов, касающихся уравнений соболевского типа.

Задача Коши для уравнения (0.1) в конечномерном случае (X = У = Rm, L, М - постоянные квадратные матрицы) исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и JI. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [13, гл. XII].

Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [4, 5, 6, 116, 117, 118] продолжены исследования конечномерной задачи в случае X — Rn, У = Rm. При этом, вообще говоря, L = L(t), М = M(t). Используются различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (т Ф п) матриц, понятия левого регуляризующего оператора и индекса системы (см. также [7, 119, 120]).

М.И. Вишиком [10] исследована задача (0.1), (0.2) в случае, когда У - сепарабельное гильбертово пространство, пространство X плотно и непрерывно вложено в У, операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галерки-на - Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того, описана его непрерывная зависимость от данных задачи.

Задачу (0.2) для однородного уравнения (0.1) изучали математики из школы С.Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейер-штрассу и JI. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + ¡iL [24, 46].

А.П. Осколковым [69, 70] исследована разрешимость в простран-

ствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи

w(x,0) = и>о(х), iGfi, w{x,t) = 0, (x,t) едйх (О,Т),

для системы уравнений

(Л - А )wt - vA w + ур = /, V • w = О

в цилиндре Q х (О, Т). Здесь Мп, р:Пх (О, Т) М,

I/ > О, А > — Ai, Ai - наименьшее собственное число спектральной задачи

—Av = Xv, • v = 0, v =0.

dfl

Отметим работы H.A. Сидорова и его учеников - O.A. Романовой, М.В. Фалалеева и др. [89, 90, 91, 100]. В них исследуется задача Ко-ши. для уравнения (0.1) в банаховом пространстве с замкнутым фред-гольмовым оператором L, замкнутым оператором М в предположении, что оператор L имеет полный М-жорданов набор. Обобщенное решение уравнения (0.1) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

Заметим также что R.E. Showalter [140] и H.A. Сидоров [89] независимо друг от друга рассматривали начальную задачу

Lx(0) = Lx0 (0.6)

для уравнений соболевского типа. Задача (0.1), (0.6) в точности совпадает с задачей (0.1), (0.5) в случае, когда оператор М сильно (L, 0)-секториален, то есть когда разрешающая полугруппа однородного уравнения (0.1) вырождается только на ядре оператора L.

А.И. Кожанов [32], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частно-

сти рассматривает уравнения вида

(I-A)ut = Bu + f(x,t),

где А, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах Л и Б. В работе [29] А.Й. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Bu = /(х, t), где А, В - эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А 4- В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности. Отметим также работы [30, 31].

Монография Г.В. Демиденко и C.B. Успенского [18] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В частности, с использованием методов построения приближенных решений и получения Lp-оценок решений [16, 17] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа.

В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [22] на основе результатов исследования соответствующих спектральных задач изучается разрешимость некоторых классов уравнений вида (0.1) с самосопряженными операторами L, М.

Нельзя не упомянуть о работах А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова и их соавторов ([38, 39] и др.). Монографии [40, 41, 80] (см. многочисленные ссылки там же) посвящены исследованию проблем глобальной по времени разрешимости и разрушения за конечное время решений на-

чальных и начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа.

Современное состояние области исследования

В монографии [124] исследованы задачи оптимального управления для невырожденных распределенных систем (0.1), т. е. в случае бесконечномерного пространства X — У — U, L = В = I. Рассмотрены задачи быстродействия и минимизации нормы управления в Loo((0,T);W) при заданном финальном условии х(Т) = хт- При этом используются методы теории полугрупп операторов, в частности, предполагается, что оператор М порождает Co-непрерывную полугруппу.

Необходимость в исследовании задачи (0.1) - (0.4) с вырожденным оператором L и с конечномерными пространствами Х,У,Ы часто возникает при моделировании некоторых процессов в механике и технике. При этом соответствующая система называется дескрипторной (D.G. Luenberger [133], D. Cobb [123], Е. Jonckheere [129]) или алгебро-дифференциалъной (Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков [6, 118]). Задачи управления алгебро-дифференциальными' системами также исследуют в своих работах L. Pandolfi [136, 137], Г.А. Курина [50, 51, 52, 53], F.L. Lewis [132].

L. Pandolfi в работе [137] получены услов