Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Плеханова Марина Васильевна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ, НЕ РАЗРЕШЕННЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ - 2006

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Федоров Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Короткий Александр Илларионович доктор физико-математических наук, профессор Чистяков Виктор Филимонович

Ведущая организация:

Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН

Защита состоится 2004? года

в ^/"3 ч. О-О мин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан

¿4 " fytMXjjufl^ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

в г Пименов

Mi l Ш933

zwfb

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию различных задач оптимального управления для линейных уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени.

Теория оптимального управления является одной из основных областей практического использования математики. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума JI.C. Понт-рягина, методов динамического программирования Р. Беллмана, с результатами H.H. Красовского и его научной школы, касающимися классической /-проблемы моментов, теории игр и др.

В то же время многие реальные объекты управления приходится рассматривать как системы с распределенными параметрами. О многообразии сфер применения теории управления распределенными системами, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами (работы А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, К.А. Лурье), с теорией игр и задачами позиционного управления, с обратными задачами динамики управляемых систем (работы Ю.С. Осипова, А.Б. Куржанского, A.B. Кряжимского, А.И. Короткого, В.И. Максимова и др.) Большой вклад в развитие теории управления распределенными системами внесли Ж.-JI. Лионе, Г. Фатторини, Ф.П. Васильев и другие математики.

Задачи управления для систем с вырожденным оператором при производной в уравнении состояния в конечномерных пространствах исследуют в своих работах Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Г.А. Курина, Ф.Л. Льюис, Л. Пандолфи. И если теория управления вырожденными системами с сосредоточенными параметрами далека от завершения, то теория управления вырожденными распределенными системами находится на начальном этапе своего развития.

Цель работы. Пусть X, У и U - гильбертовы пространства, операторы L £ ЦХ;У), kerL ф {0}, М € С1(Х\У), В € С(И;У). Рассмотрим задачу оптимального управления

®(0) = хо, (1)

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Ьх(г) = Мх(Ь) + у^)+Ви{Ь), (2)

и е Не, (3)

1 N о

Ах, и) = — Цт №||//т"1 (О,Г,Л") + уИ^-^оЦя'г^Г.Ы) (4)

где г\ е {0,1}, гг € N0, Жо € Л" заданный вектор, у, ад, ыо - заданные функции, и - функция управления, константа N > 0, Ид -непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений НГ2{0,Т-,Ы).

Управляющее воздействие может входить в исследуемую систему в качестве начального значения, и тогда рассматривается задача стартового управления

х{0) = и, (5)

ь±(г) = Мх(г) + у(г), (6)

« € Не, (7)

Ах, и) = \\\х - ™\\2НгЧ0 Т.х) + у||и-ио||£ь -» и*. (8)

В этом случае Но - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Но С Ы = X.

Кроме того, в приложениях часто возникают системы, описываемые в начальный момент времени не условием Коши (1), а так называемым обобщенным условием Шоуолгпера

Рх{ 0) = Рх о, (9)

где Р - проектор вдоль ядра разрешающей полугруппы однородного уравнения (2). Для задачи стартового управления это условие есть

Рж(0) = и. (10)

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач оптимального управления при различных Г\.Г2 в случаях N > 0 и N -- 0 (случай жесткого управления) и нахождение

для них необходимых и достаточных условий экстремума в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства.

Методы исследования. В диссертации использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах А. Фавини и А. Яги, И.В. Мельниковой, Г.А Свиридюка, В.Е. Федорова. В работе предполагается, что оператор М сильно (L,p)-радиален, что означает в частности существование сильно непрерывной разрешающей полугруппы однородного уравнения (6) (параметр р - максимальная длина цепочки М-присоединенных векторов оператора L, содержащейся в ядре этой полугруппы). Это позволяет редуцировать уравнение (6) к системе двух уравнений

x(t) = Sx(t) + LixQy(t),

Gx(t) = x(t) + Mö4l ~ Q)y(t), (11)

заданных на взаимно дополнительных подпространствах X1 и Х° соответственно. При этом оператор S = L^'Mi порождает Со-полугруппу, а оператор G — Mq 1 Lq нильпотентен степени не больше р, что позволяет установить однозначную разрешимость в смысле сильных решений задачи Коши или Шоуолтера для уравнения (6).

Исходная задача оптимального управления, например, (1) - (4), исследуется с использованием предложенной ранее в работах Ж.-Л. Лионса, A.B. Фурсикова схемы исследования задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается некорректными задачами. Она позволяет, используя лишь условие нетривиальности для рассматриваемой системы и свойства минимизируемого функционала, не выражая функции состояния х через функции управления и, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления. При нахождении необходимых и достаточных условий экстремума используется принцип Лагранжа.

Новизна полученных результатов. Ранее задача (1) - (4) с ?'i = 1 и Г'2 — р + 1 рассматривалась в работах Г.А. Свиридюка и A.A. Ефремова при условиях сильной (L, р)-секториальности или

(L, ^-ограниченности оператора М, каждое из которых является более ограничительным, чем условие сильной (L. р)-радиальности, используемое в данной диссертации. Тем самым даже для упомянутой задачи в диссертационной работе исследуется более широкий класс систем. Задачи (1) - (4) с другими значениями Г\. г2, с обобщенным условием Шоуолтера, а также задачи стартового, жесткого управления, задачи с терминальным функционалом для распределенных систем вида (2) ранее, по-видимому, не исследовались.

Кроме того, используется другой подход к исследованию задач оптимального управления для вырожденных уравнений, позволяющий снять многие ограничения на начальные данные задачи и на используемые пространства управлений. Известно, что задача (1), (2) разрешима лишь при выполнении условия

р+1

(I-P)xo = -YiGkMö\l~Q)(BuikHo) + y{k)(0)). (12)

к-О

В отличие от работ Г.А. Свиридюка и A.A. Ефремова в диссертационной работе исследуются задачи оптимального управления при произвольном начальном значении задачи Коши хо, а пространство управлений берется, вообще говоря, более широким, вплоть до ¿г(0, Т;Ы), без ограничений на функции управления в начальный момент времени. При этом достаточным условием существования решения задачи (1) - (4) является упомянутое ранее условие нетривиальности, которое в данном случае заключается в принадлежности множеству допустимых управлений хотя бы одного достаточно гладкого управления, удовлетворяющего (12).

В работе также впервые получен критерий разрешимости уравнения (11) с нильпотентным оператором G, показывающий, что сильное решение такого уравнения существует не при всякой правой части класса ¿2(0, Т; X). Построен соответсвующий пример.

В случае, когда оператор М сильно (L, р)-секториален, для всех рассмотренных в диссертации задач впервые получены необходимые и достаточные ус ловия на оптим"альное управление и соответствую-

щее ему состояние системы в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства.

Абстрактные результаты реализованы в задачах для некоторых новых классов уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы о разрешимости задач оптимального управления в различных постановках и необходимые и достаточные условия оптимальности решения этих задач. Полученные результаты использованы при рассмотрении задач оптимального управления для класса уравнений с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов, содержащего многие уравнения теория фильтрации, задачи для линеаризованной системы Навье - Стокса, для линеаризованной системы уравнений фазового поля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Отдела прикладных задач Института маг тематики и механики УрО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф. А.И. Короткий), на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Г.А. Свири-дюк) и на следующих конференциях: Всероссийская научная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 2001, 2004 гг.; Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002 г.; Воронежская зимняя математическая школа, 2003 г.; Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", Екатеринбург, 2003 г.; Международная конференция "Общие проблемы управления и их приложения", Тамбов, 2003 г.; Международная научная конференция ИФАК "Моделирование и анализ логически управляемых динамических систем", Иркутск, 2003 г.; Международная школа-семинар по геометрии и анализу, Абрау-Дюрсо, 2004 г.; IV Всероссийская конференция

"Математика, информатика, управление", Иркутск, 2005 г.

Данное исследование поддержано грантами Правительства Челябинской области и Министерства образования РФ для аспирантов, шифр 03-01-6 (2003), шифр 009.01.05-04.БМ (2004), шифр 006 01.05-05.БХ (2005), грантом Министерства образования РФ для аспирантов, шифр А04-2.8-337 (2004), стипендией Правительства Российской Федерации (2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 154 страницы. Библиография содержит 143 наименование работ российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе приведены вспомогательные результаты. В первом параграфе определены пространства Лебега - Бохнера и Соболева - Бохнера. Второй параграф содержит абстрактные теоремы A.B. Фурсикова, используемые далее при исследовании задач оптимального управления. В третьем параграфе определяются относительные резольвенты, относительно присоединенные векторы и соотношения между ними. Четвертый параграф содержит определение и свойства относительно р-радиальных операторов. В пятом параграфе собраны аналогичные результаты об относительно р-сек-ториальных операторах.

Вторая глава содержит новые результаты о существовании и единственности решений задач оптимального управления для си-

стем, описываемых начальными задачами Коши или Шоуолтера для уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной. В первом параграфе второй главы приведен критерий разрешимости сингулярного уравнения (11), во втором параграфе доказана теорема о существовании и единственности сильного решения задачи Коши (1) для уравнения (6) с сильно (Ь, р)-радиальным оператором М. В третьем параграфе найдены достаточные условия однозначной разрешимости задачи оптимального управления (1) - (4) с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М в случае N > 0, г\ — 1, гг € {0,... ,р + 1}. При любых хо € с1отМ, у е Нр+1(0,Т;У) множество управлений и € Нр+}(0,Т;Ы), удовлетворяющих условию (12), обозначено через Но(хо,у), кроме того, используется обозначение

2г = {ге Н1 (О,Г;Х):Ы-Мг€ Нг(О,Г;У)}, г € {0,...,р+ 1}.

Теорема 1. Пусть Нд Л Нд(хо,у) ф 0. Тогда существует единственное решение (х,й) € Егг х Нг*(0,Т;Ы) задачи (1) - (4).

В четвертом параграфе доказана теорема о существовании единственного сильного решения обобщенной задачи Шоуолтера для уравнения (б) и получен результат, аналогичный теореме 1, для задачи (2) - (4), (9). Необходимость в условии Ид П Нд(хо,у) ф 0 при этом исчезает в силу особенностей задачи Шоуолтера. Пятый параграф посвящен рассмотрению случая гг = р +1 - задачи с гладкими функциями управления. При этом возможно рассмотрение задач с Г1 = 0 или с терминальным функционалом стоимости, зависящим от финального наблюдения состояния системы. В этих случаях ко-эрцитивность функционала стоимости получается за счет усиления нормы функции управления.

В шестом параграфе рассмотрены задачи стартового управления (5) (8) с Г1 = I, Ц0 = и или с Ыо = с1отМ (при этом возможны случаи г\ = 0 или терминального функционал стоимости) и задачи вида (6) - (8), (10) для случаев г\ = 1, Но = Ы или Ко = (Зот^ с нормой графика оператора 5 =

Теорема 2. Пусть Яд П Л4У ф 0. Тогда существует единственное решение (х,й) £ 2р+х х Ы задачи (5) - (8).

Здесь Му = ¡х е йошМ : (/ - Р)х = - £ С*М0_1(/ - Я)у(к)(0)} ■

В седьмом параграфе рассмотрены задачи с управлением в правой части уравнения в случае, когда константа Аг = 0 в функционале стоимости - задачи с жестким управлением, а восьмой параграф содержит задачи жесткого стартового управления. Коэрцитивность функционала стоимости в этих задачах получается за счет ограниченности множества допустимых управлений. Введем обозначение шг е ЦНг(иу,Нг(У), (Ви)(<) = Ви(г), I е (о, Г).

Теорема 3. Пусть Ид - ограниченное в пространстве Нг2 (О, Т; Ы) множество, причем 51дПНд(хо, у) ф 0. Тогда существует непустое множество решений задачи (1) - (4) при N = О, имеющее вид {хх} х ((«1 + кег?ВГ2) ПЯа) = {(я,и) € 2Г2 х йэ '■ х — Хг,й = щ + и,и е кег<8Г2}.

В девятом параграфе второй главы содержатся комментарии по поводу возможных улучшений полученных результатов в случае, если условие сильной (£, р)-радиальности оператора М заменить на более жесткое условие сильной (Ь,р)-секториальности.

Третья глава содержит приложения результатов второй главы к исследованию задач оптимального управления для уравнений или систем уравнений, не разрешенных относительно производной по времени, которые возникают при моделировании реальных процессов. В первом параграфе рассмотрен класс начально-краевых задач для дифференциального уравнения с многочленами от эллиптических дифференциальных по пространственным переменным операторов высокого порядка. Во втором параграфе исследованы различные задачи оптимального управления для соответствующей системы с управлением в правой части и с условием Коши, а в третьем - с условием Шоуолтера. В четвертом параграфе рассмотрены задачи стартового управления системами, описываемыми начально-

краевыми задачами для уравнений с многочленами. Далее исследуется модельная алгебро-дифференциальная система уравнений в частных производных. В пятом параграфе показано, что рассматриваемая начально-краевая задача для нее редуцируется к абстрактной задаче Коши с сильно (Ь, 1)-секториальным оператором. В шестом параграфе рассмотрены задачи с управлением в правой части алгебро-дифференциальной системы, а в седьмом - задачи стартового управления системой. В восьмом параграфе проведена редукция линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса к задаче (б), (9) с сильно (Ь, 1)-секториальным оператором М. В девятом параграфе исследованы задачи с управляющим внешним воздействием в правой части системы уравнений, в десятом - задачи стартового управления для линеаризованной системы Навье - Стокса. Одиннадцатый параграф содержит редукцию начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля к задаче Шо-уолтера с сильно (Ь, 0)-секториальным оператором. В двенадцатом параграфе рассмотрены задачи с управлением в правой части системы уравнений, а в тринадцатом - задачи стартового управления.

В четвертой главе сначала найден критерий оптимальности для задач управления уравнениями соболевского типа в сепарабель-ных гильбертовых пространствах с сильно (Ь, р)-секториальным оператором М, а затем полученные результаты применены к конкретным начально-краевым задачам. Первый параграф посвящен системам оптимальности для задач с негладким управлением в правой части уравнения, снабженного условием Коши, либо Шоуолтера.

Теорема 4. Пусть Ид П Нэ(х0,у) ф 0, М(Иа - й) П На{0,0) ф 0, оператор ®о сюръективен и выполняется условие

зрап{1тСкМо1(1 - <Э)Б, 0 < к < р) = Х°. (13)

Пара (х,й) £ Яо х ¿2(0, Т; Ы) является решением задачи (1) - (4) в том и только в том случае, когда существует Ь, £ Н2{0, Т\ Н), для которого

+ М'И = х-го, Ь'ЦТ) = 0,

сгс

ЛГ(й - и0,и- й)ьг(о,тм) ~ (В(и " й)'Ь)нцо,Т;Х) >0 Ми е На-

Здесь У - сопряженное пространство к И относительно скалярного произведения в X, V, М' - сопряженные операторы к Ь,М. Отметим, что при рассмотрении задачи с условием Шоуолтера исчезает необходимость в условии (13), а в критерии оптимальности появляется дополнительное условие Ь'1г(0) ± Х°. Во втором параграфе получены системы оптимальности для аналогичных задач с функциона- ' лом стоимости, использующим сильную норму функции управления. Гладкость управления позволяет в частности рассмотреть задачу с > терминальным функционалом. Третий параграф содержит результаты о системах оптимальности для задач стартового управления с условием Коши и с условием Шоуолтера.

Теорема 5. Пусть 1пШд Ф 0. Пара (х,й) € 2р+\ х X1 является решением задачи (6) - (8), (10) в том и только в том случае, когда существует к е (#р+1(0, Т: т Ху для которого

Ь'Н е Я^О,Г; X), -^Ь'к+М'к = х-ги, (Ь'Ь)(Т) = 0, (Ь'к)(0) ± Х°, аЬ

{И{й - гю) - (Ь'К)(0), и-й)и> 0 Уи € Яэ-

В четвертом параграфе рассмотрены задачи жесткого управления. В частности получен критерий оптимальности для задачи (1) - (3) с терминальным функционалом

Лх) = \\\х{Т)-г»\\2х-^Ы. (14)

Теорема 6. Пусть - ограниченное в пространстве Нр+1 (0, Т; Ы) *

множество, На П На{хо, у) Ф 0, Гп^Из — и) П На{0,0) ф 0, оператор 03р+1 биективен и выполняется условие (13). Пара (х,й) € 2р+\ х Нр+1(0,Т\Ы) является решением задачи (1) - (3), (14) в том и только в том случае, когда существует к £ (#р+1(0, Г; т х)>

для которого ЬЧг е Н1 (0. Т] X) и выполняется

—Ь'И + М'Н = 0, {Ь'Ъ)(Т) + х{Т) = го,

{.В (и - и), Н)ь2{0,т,х) <0 V« € На.

В пятом параграфе сформулированы условия экстремума в задаче с распределенным управлением для уравнения Дзекцера. Шестой параграф содержит систему оптимальности для задач с гладкими функциями управления для уравнения Дзекцера, седьмой - систему оптимальности для задач стартового управления, восьмой - для задач с жестким управлением. Все эти результаты получены прямым применением теорем из первых четырех параграфов. В параграфах с девятого по двенадцатый аналогичным образом получены системы оптимальности для задач оптимального управления решениями начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля. Для обеих рассмотренных систем упомянутые выше условия перпендикулярности, возникающие при использовании начального условия Шоуолтера , выполняются автоматически. Тринадцатый параграф содержит пример системы, в которой условие перпендикулярности нетривиально.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Теоремы существования и единственности решения задач оптимального управления с функционалами стоимости со слабой и сильной нормой функций управления, в том числе с терминальным функционалом, для систем, описываемых линейным уравнением первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной и с условием Коши или Шоуолтера.

2. Теоремы о разрешимости задач стартового и жесткого управления с различными функционалами стоимости для вырожденного уравнения с условием Коши или Шоуолтера.

3. Необходимые и достаточные условия оптимальности для перечисленных задач в гильбертовых пространствах с различными начальными условиями и функционалами стоимости.

4. Приложения абстрактных результатов к исследованию задач оптимального управления для уравнения с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов, уравнения Дзекцера, линеаризованной системы Навье - Стокса, линеаризованной системы урав-

нений фазового поля.

Публикации автора по теме диссертации

1. Плеханова. М.В. Задача оптимального управления с относительно р-радиальным оператором / М.В. Плеханова // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т.- 2002 - С.206-214.

2. Плеханова, М.В. Совокупность соотношений, характеризующих оптимальное управление для уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова // Вестник Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика - 2003 - № 1- С.108-118.

3. Плеханова, М.В. Критерий оптимальности управления для линейных уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова // Вестник МаГУ. Математика - 2003 - Вып.4 - С.100-110.

4. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004.- № 5.-С.40-44.

5. Федоров. В.Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Вычислительные технологии.- 2004,- Т.9, № 2.- С.92-102

6. Федоров, В.Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения - 2004,- Т.40, №11.- С.1548-1556.

7. Федоров. В.Е. Исследование одной задачи оптимального управления / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова// Вестник ЧГПУ. Сер.4. Естественные науки.- 2005.- №6.- С.23-31.

8. Fedorov, V.E. Problem of optimal control for a class of degenerate equations / V.E Fedorov, M.V. Plekhanova // Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems. IFAC Workshop. Irkutsk, Russia.- 2003.- P.215-221.

9. Плеханова, M.В. Задачи стартового управления для линейных уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Физика. Химия.- 2005.-№3(43), Вып.4.- С.11-19.

10. Плеханова, М.В. Оптимальное управление уравнениями соболевского типа с относительно р-радиальными операторами / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф. - Екатеринбург, 2001.- - С.173-174.

11. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления с неотрицательным функционалом для уравнений Соболевского типа / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели: тез. докл. Междунар. науч. конф. -Челябинск, 2002 - С.82.

12. Плеханова, М.В. Оптимальное управление и относительно р-ограниченные операторы / М.В. Плеханова // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. Во-ронежск. зимн. матем. школы. - Воронеж, 2003.- С.180-181.

13. Плеханова, М.В. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления для уравнения соболевского типа / М.В. Плеханова // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф.- Екатеринбург, 2003-С.60.

14. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления для одного класса начально-краевых задач / М.В. Плеханова // Студент и

»25247]

научно-техн. прогресс. Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: Че-ляб. гос. ун-т, 2003.- С.4.

15. Плеханова. М.В. О задаче нейных уравнений Соболеве: Федоров // Вестник Тамбов. 2003.- Т.8, вып.З.- С.432-433

16. Плеханова, М.В. Задача от ного уравнения соболевскоп курс грантов студентов, аспкж бинской области: Сборник рефератов научно-исследовательских работ аспирантов. - Челябинск: изд-во ЮУрГУ, 2003.- С.12-13

17. Плеханова, М.В. Оптимальное управление слабыми решениями уравнения соболевского типа / М.В. Плеханова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. конф.- Екатеринбург, 2004 - С.212.

18. Плеханова. М.В. Проблема квадратического регулятора для одной вырожденной системы / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Тез. докл. Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу, Абрау - Дюрсо, 2004 - Ростов-наг-Дону, 2004 - С. 135-136.

РНБ Русский фонд

2006-4 28186

Подписано в печать 27.10.05. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ Г. ■ Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок издательского центра

Челябинского государственного университета 454021, г. Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Обозначения и соглашения

Введение

Глава I. Предварительные сведения

1.1. Функциональные пространства

1.2. Линейная задача управления

1.3. Относительные резольвенты и относительно присоединенные векторы.

1.4. Относительно р-радиальные операторы.

1.5. Относительно р-секториальные операторы.

Глава II. Существование решений задач оптимального управления для абстрактных уравнений

2.1. Критерий разрешимости сингулярного уравнения.

2.2. Сильное решение задачи Коши

2.3. Условие Коши. Распределенное управление

2.4. Задача с обобщенным условием Шоуолтера.

2.5. Задачи с сильной нормой функции управления.

2.6. Стартовое управление.

2.7. Задачи с жестким управлением.

2.8. Жесткое стартовое управление

2.9. Случай относительно р-секториального оператора

Глава III. Задачи оптимального управления для вырожденных систем уравнений математической физики

3.1. Уравнение с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов

3.2. Задачи оптимального управления для уравнения с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов

3.3. Задачи с начальным условием Шоуолтера.

3.4. Задачи стартового управления для уравнения с многочленами

3.5. Алгебро-дифференциальная система уравнений в частных производных

3.6. Задачи оптимального управления алгебро-дифференциальной системой.

3.7. Стартовое управление алгебро-дифференциальной системой.

3.8. Линеаризованная система Навье - Стокса.

3.9. Распределенное управление для линеаризованной системы Навье - Стокса.

3.10. Стартовое управление для линеаризованной системы Навье - Стокса

3.11. Начально-краевая задача для системы уравнений фазового поля

3.12. Распределенное управление для системы уравнений фазового поля.

3.13. Стартовое управление системой уравнений фазового поля

Глава IV. Системы оптимальности

4.1. Система оптимальности для абстрактной задачи. —

Распределенное управление.

4.2. Система оптимальности для задач с сильной нормой функции управления.

4.3. Системы оптимальности для задач стартового управления

4.4. Системы оптимальности для задач с жестким управлением

4.5. Система оптимальности для уравнения Дзекцера.

4.6. Уравнение Дзекцера и функционалы с сильной нормой функции управления.

4.7. Системы оптимальности для уравнения Дзекцера.

Стартовое управление.

4.8. Системы оптимальности для уравнения Дзекцера.

Жесткое управление.

4.9. Система оптимальности для линеаризованных уравнений фазового поля

4.10. Линеаризованные уравнения фазового поля. Системы оптимальности для задач с гладкими функциями управления

4.11. Линеаризованные уравнения фазового поля.

Системы оптимальности для задач стартового управления

4.12. Линеаризованные уравнения фазового поля.

Системы оптимальности для задач жесткого управления

4.13. Система оптимальности для алгебро-дифференциальной системы.

Постановка задачи

Пусть X, У иU - гильбертовы пространства, операторы L Е С(Х;У), ker L ф {0}, М Е С1(Х\У), В Е ЦК] У), функции и : [0,Т] U, у : [0, Г] —> У, Т Е Рассмотрим задачу оптимального управления

0) = а;0, (0.1)

Lx{t) = Mx(t) + y(t) + Bu(t), (0.2) и E йд, (0.3)

J(x,u) = ^\\x - wfHn{x) + у||и - щ\\2НГ2[ы) inf, (0.4) где r\ Е {0,1}, Г2 Е No, xq Е X - заданный вектор, у, w, щ - заданные функции, константа N > 0, Н^ - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Нг2 (ZY).

Назовем сильное решение х Е Н1{Х) задачи (0.1), (0.2) состоянием системы (0.1), (0.2). При фиксированных xq и у воздействие на систему (0.1), (0.2) производится с помощью варьирования функции и, назыве-мой управлением или функцией управления. Естественные ограничения на функцию и приводят к появлению некоторого множества Цд, называемого множеством допустимых управлений.

Пара (х,и) называется допустимой для задачи (0.1) - (0.4), если она удовлетворяет условиям (0.1) - (0.3). Множество всех допустимых пар обозначим через 22J. Задача оптимального управления заключается в отыскании такой допустимой пары (ж,й), для которой выполняется соотношение

J(x,u) = inf J(x.u).

V У (х,и)бШ) 4 '

Минимизируемый функционал J при этом будем называть функционалом стоимости.

Управляющее воздействие может входить в исследуемую систему в качестве начального значения, и тогда рассматривается задача стартового управления х(0) = щ (0.5)

Lx(t) = Mx(t) +y(t), (0.6) u 6 На, (0.7)

1 N

J(x,u) = 2 И* ~ w\Wn{x) + —\\u - щ\\2Ый inf. (0.8)

В этом случае itg - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Uq С U = X.

При некоторых естественных предположениях на операторы L и М, гарантирующих существование сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения Lx(t) = Mx(t), система (0.1), (0.2) является абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике. При этом заметим, что в приложениях часто более естественным оказывается вместо условия Коши (0.1) рассматривать так называемое обобщенное условие Шоуолтера [85, 122]

Рх{ 0) = Pxq, (0.9) где Р - проектор, являющийся единицей упомянутой полугруппы операторов. Задача стартового управления в таком случае вместо условия (0.5) содержит условие

Рж(0) = и. (0.10)

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач оптимального управления при различных п,Г2 в случаях N > 0 и N = 0 (случай жесткого управления) и нахождение необходимых и достаточных условий экстремума в этих задачах в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства. При этом взаимосвязанные параметры Г\ и Тч берутся по возможности минимальными в целях ослабления требований на гладкость функций состояния и, соответственно, управления. Увеличение одного из этих параметров в рассмотренных задачах позволяет уменьшить другой без потери функционалом стоимости свойства коэрцитивности. Особенности же вырожденного уравнения (0.2) таковы, что взять одновременно г\ = 0 и г2 = 0 без потери коэрцитивности не представляется возможным.

Полученные результаты используются при исследовании задач оптимального управления не разрешенными относительно производной по времени линейными распределенными системами, встречающимися в математической физике, такими, как линеаризованная система Навье -Стокса, линеаризованная система уравнений фазового поля, уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости и ДР

Историография вопроса

В настоящее время одной из основных областей практического использования математики является теория оптимального управления. С развитием науки и техники люди имеют дело со все более сложными системами и процессами, которыми необходимо управлять. Вместе с этим растет сложность задач математической теории оптимального управления.

Некоторые управляемые объекты можно характеризовать в каждый момент времени конечным набором параметров. Это так называемые объекты с сосредоточенными параметрами, они описываются системами обыкновенных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума JT.C. Понтрягина [69], методов динамического программирования [2], с результатами Н.Н. Красовского и его учеников, касающимися классической /-проблемы моментов, теории игр и др. [41, 42, 43, 47].

В то же время большинство реальных объектов управления можно рассматривать как объекты с распределенными параметрами, то есть объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями распределения. Для эффективного управления многими системами приходится рассматривать именно такие объекты, и в этом случае возникают задачи оптимального управления для систем дифференциальных уравнений в частных производных - распределенных систем. Дать хоть сколько-нибудь полный обзор по теории управления распределенными системами не представляется возможным. О многообразии сфер применения этой теории, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами [6, 7, 18, 19, 55], с теорией игр и задачами позиционного управления [33, 37, 59, 60, 62, 63], с обратными цр задачами динамики управляемых систем [28, 35, 36, 45, 46, 61].

В монографии Ж.-Л. Лионса [53] исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Ада-мару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Для этого состояние системы выражается через управление, и коэрцитивный функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Работы [54, 100, 101] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.

В данной диссертации исследуются задачи оптимального управления с различными квадратичными функционалами для систем, описываемых задачей Коши (0.1) или обобщенной задачей Шоуолтера (0.9) для уравнения (0.6) с сильно (Ь,р)~радиальным оператором М, то есть в случае существования сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения

Lx(t) = Mx(t). (0.11)

Поэтому важным моментом в диссертационной работе является исследование однозначной разрешимости задач (0.1), (0.6) и (0.6), (0.9) в смысле сильных решений.

Заметим, что исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной, во многом обусловленные интересом к системе Навье - Стокса, встречаются еще в работах Пуанкаре, Озина [118], Jlepe, Шаудера [113, 114]. Но первые, по-настоящему глубокие результаты, касающиеся начально-fP краевых задач для таких уравнений, получены С.Л. Соболевым [88, 89], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), часто называют "уравнениями соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева" [14, 66, 77, 121]. Перечислим некоторые из наиболее существенных на наш взгляд результатов, касающихся уравнений соболевского типа.

Задача (0.1), (0.6) в конечномерном случае (X = У = Rm, L,M -постоянные квадратные матрицы) исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и Л. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [11, гл. XII]. (Пучок квадратных матриц М + цЬ называется регулярным, если определитель |М 4- цЬ| не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)

Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [3, 5, 4, 102, 103, 104] продолжены исследования конечномерной задачи в случае X = Еп, У = Шт. При этом используются различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (m ^ п) матриц. Исследуются также уравнения с матрицами, зависящими от t.

М.И. Вишиком [8] исследована задача (0.1), (0.6) в случае, когда У - сепарабельное гильбертово пространство, пространство X плотно и и непрерывно вложено в операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркина - Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана его непрерывная зависимость от y{t) и от начального значения xq.

А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [40, 107] установили разрешимость задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, в классе экспоненциально растущих функций.

R.E. Showalter и T.W. Ting в работе [123] рассматривают уравнение (0.6) с дифференциальными операторами жЕЙС Rn, fi- ограниченная область, domL и dom М плотны в гильбертовом пространстве 1^2(0) — X — У. Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.

Однородную задачу (0.1), (0.2) изучали математики из школы С.Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейерштрассу и JI. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + цЬ [22, 23, 44].

А.П. Осколковым [64, 65] исследована разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи п п п w(x, 0) = Wо(х), X G fi, w(x, t) = О, (я, t) е дП х (0, Т), для системы уравнений в цилиндре Q х (0, Т)

Л - V2)^t - v у2 w + VP = /, V * w = 0.

Здесь w : ft x (О,T) Rn, р : ft х (О, Г) R, v > О, Л > -Ль Ai -наименьшее собственное число спектральной задачи

Av + VP = Аг>, V • v — 0> v = 0 на 5ft.

Отметим работы Н.А. Сидорова и его учеников - О.А. Романовой, М.В. Фалалеева, B.C. Шароглазова [85, 86, 87, 105]. Н.А. Сидоров [85] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.1), (0.6) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредголь-мов. Н.А. Сидоров и М.В. Фалалеев [87] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева (0.6) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М, банаховыми пространствами X, У; domL С domM. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жорданов набор, a y(t) - достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения (0.6) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

Заметим также что R.E. Showalter [122] и Н.А. Сидоров [85] независимо друг от друга рассматривали начальную задачу

Lx( 0) = Lx о (0.12) для уравнений соболевского типа. Задача (0.6), (0.12) в точности совпадает с задачей (0.6), (0.9) в случае, когда оператор М сильно (L, 0)-радиален, то есть когда разрешающая полугруппа уравнения (0.11) вырождается только на ядре оператора L.

В работах В.Н. Врагова и его учеников [9, 15] исследуется разрешимость начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа. А.И. Кожанов [29], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида

I-A)ut = Bu + f(x,t), где А, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В. В работе [30] А.И. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Ви = f(x,t), где А, В - эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.

Монография Г.В. Демиденко и С.В. Успенского [14] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В частности с использованием методов построения приближенных решений и получения £р-оценок решений [12, 13] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского # типа.

С задачей (0.1), (0.6) тесно связана задача исследования спектра пучка операторов fiL — М или, другими словами, L-спектра оператора М аь(М) = С \ {д G С : (цЬ - M)~l <Е C(F\U)}. Спектральная задача fiLu = Ми исследовалась С.Г. Пятковым [20] в случае, когда М неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, L самосопряженный невырожденный оператор. В работах [73, 74] найдены достаточные условия базисности по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [74] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых М - дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, a L - оператор умножения на функцию. В работе [75] такие результаты были получены в случае самосопряженных операторов М, L. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Рисса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора.

А.А. Шкаликовым [106] спектральная задача уЬи = Ми рассматривалась в случае, когда оператор L симметричен и равномерно положителен, а М - самосопряженный положительный оператор, возмущенный оператором, подчиненным оператору L в смысле квадратических форм. Рассматриваемый линейный пучок операторов является абстрактной моделью для известной в гидромеханике задачи Орра - Зоммерфельда. В шкале соболевских пространств, связанных с заданными операторами, пучку операторов fiL — М ставится в соответствие оператор Т = L^M, где Lp - расширение по Фридрихсу оператора L. Область определения оператора Т подобрана таким образом, чтобы его спектр совпадал со спектром пучка. Исследован вопрос базисности Рисса корневых векторов оператора Т.

Современное состояние области исследования

Одними из наиболее завершенных на данный момент представляются результаты, касающиеся задач оптимального управления, снабженных квадратическим функционалом стоимости, и касающиеся линейных систем, описываемых корректными краевыми задачами. В то же время предлагаемая для исследования задача (0.1), (0.2) с вырожденным оператором L является, вообще говоря, некорректной. Эти соображения во многом стали определяющими при выборе объекта исследования данной работы.

Необходимость в исследовании задачи (0.1) - (0.4) с вырожденным оператором L и с конечномерными пространствами X, У, U часто возникает при моделировании некоторых процессов в механике и технике. При этом соответствующая система называется дескрипторной (D.G. Luenberger [116], D. Cobb [108], E. Jonckheere [112]) или алгебро-дифференци-алъной (Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков [5]). Задачи управления алгебро-дифференциальными системами также исследуют в своих работах L. Рап-dolfi [119, 120], Г.А. Курина [48, 49, 50, 51], F.L. Lewis [115].

L. Pandolfi в работе [120] получены условия существования оптимальных решений конечномерной задачи (0.1) - (0.3) с функционалом стоимости управления J(£(0),w) и вычислено его значение на оптимальных траекториях.

Г.А. Курина [48] рассмотрела задачу минимизации функционала С(и), заданного в матричном виде, на траекториях системы

4(Ls(t)) = M(t)x{t) + B{t)u{t), at

Lx(to) = жо, где x(t) G Rm, u(t) € причем допустимые управления u{t) являются непрерывными функциями на фиксированном конечном интервале времени to < t < Т, переводящими систему из состояния, удовлетворяющего начальному условию, в произвольную точку пространства Rm. Матрица D предполагается вырожденной. Г.А. Куриной доказано равенство, которое определяет оптимальное управление в виде обратной связи, а также найдено минимальное значение функционала стоимости. Аналогичный результат для случая бесконечного интервала времени получен Г.А. Куриной в более поздней работе [50].

Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [5] рассмотрена конечномерная задача (0.1), (0.2) с компромиссным квадратичным функционалом стоимости общего вида. При этом матрицы L и М являются квадратными, начальное значение хо берется из аффинного многообразия, определяемого значениями функций и их производных в правой части уравнения. Найдены необходимые и достаточные условия оптимальности пары (состояние, управление) в терминах сопряженной системы. Кроме того, в [4] показано, что задача Lx{0) = xq для уравнения (0.6) в Еп разрешима тогда и только тогда, когда разрешима некоторая задача минимизации квадратичного функционала на решениях краевой задачи для вспомогательной алгебро-дифференциальной системы.

В работах Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [21, 79, 80] исследована задача минимизации квадратичного функционала (0.1) - (0.4) с г\ — 1, r2 = р + 1 в бесконечномерных пространствах. Рассмотрены случаи существования аналитической в С группы и аналитической в секторе полугруппы, разрешающей уравнение (0.11). Заметим, что для разрешимости задачи Коши ж(0) = а?о для неоднородного уравнения (0.6) с вырожденным оператором L необходимо выполнение некоторого условия согласования между проекцией начального значения xq этой задачи на ядро разрешающей полугруппы и проекцией вектора Ви(0) 4- у(0) [5, 77, 124]. Другими словами, начальное значение должно принадлежать некоторому аффинному многообразию, определяемому вектором Ви(0) + у(0). Это обстоятельство вынудило авторов работ [21, 79, 80] существенно сузить как множество начальных значений задачи Коши xq, так и пространство функций управления. А именно, ими используется пространство управлений {и Е НР+1(Ы) : 0) = 0, к = 0,р+1}, а начальные значения задачи Коши берутся из множества

1хеХ:(1-Р)х = -^2 GkMv\l - Q)y^{ 0) 1, (0.13)

I к=о J где Р - единица упомянутой разрешающей полугруппы (или группы) операторов, Q - единица разрешающей полугруппы уравнения, эквивалентного уравнению (0.11), но заданного на пространстве У, а р -наибольшая длина цепочки относительно М-присоединенных векторов оператора L, на которых вырождается проектор Р. Г.А. Свиридюком и А.А. Ефремовым установлена однозначная разрешимость рассмотренных задач, полученные абстрактные результаты приложены к исследованию задач оптимального управления для уравнения Баренблатта -Желтова - Кочиной и для уравнения свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости.

Актуальность темы исследования

Как уже было замечено, математическая теория оптимального управления является весьма востребованной с точки зрения ее практического применения. Это касается и задач управления линейными системами, поскольку с одной стороны часто изучение линейных систем становится первым шагом на пути изучения нелинейных объектов, а с другой стороны линейные системы могут представлять и самостоятельный интерес в смысле приложений - например, при моделировании в экономике.

С другой стороны системы вида (0.1), (0.6) или (0.6), (0.9), не разрешенные относительно производной по времени, часто встречаются при моделировании различных процессов в естественных и технических науках. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или алгебро-дифференциальные системы), так и о распределенных системах. И если даже исследования задач оптимального управления дескрипторными системами в настоящее время весьма далеки от завершения, то исследование задач управления вырожденными распределенными системами находится только в начальной стадии развития. Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется весьма актуальной.

Методы исследования задачи

А.В. Балакришнан подчеркивал [1], что удобным инструментом исследования задач оптимального управления распределенными системами, описываемыми линейными эволюционными уравнениями с постоянными коэффициентами, является теория полугрупп операторов. В то же время в настоящее время весьма популярным подходом к исследованию разрешимости абстрактной задачи (0.1), (0.6) является подход, основанный на идеях и методах теории полугрупп операторов. Особо отметим, что характерной чертой полугруппы, разрешающей однородное уравнение (0.11) с вырожденным оператором L, является наличие у ее единицы нетривиального ядра.

Вырожденные полугруппы операторов исследуются в работах A. Favini и A. Yagi [109, 110], И.В. Мельниковой и ее учеников [56, 57, 58]. В данной работе будут использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [77, 84, 93, 124]. В работе предполагается, что оператор М в уравнении (0.11) сильно (L, р)-радиален (или в частном случае - сильно (L,p)~ секториален). Выполнение такого условия, как уже было сказано, влечет существование сильно непрерывной (или, соответственно, аналитической в секторе) разрешающей полугруппы однородного уравнения, вырождающейся не только на ядре оператора L, но и на его М-присоединенных векторах высоты не больше р. Кроме того, отсюда следует представление пространств Х,Ув виде прямых сумм ядра и образа единиц полугрупп операторов и расщепление действий операторов L, М вдоль этих подпространств. При этом на одном подпространстве непрерывно обратим оператор М, а на другом - оператор L. Все это позволяет редуцировать исходное уравнение (0.6) к системе, двух уравнений ж(£) = Sx(t) + L^Qy (t), (0.14)

Gx{t) = x{t) + Mq\I - Q)y(t), (0.15) заданных на взаимно дополнительных подпространствах X1 и Х° соответственно. При этом оператор S = L^Mi порождает Co-полугруппу и поэтому задача Коши для уравнения (0.14) является корректно поставленной и для исследования задачи оптимального управления системой (0.14) могут быть использованы классические методы [1, 53].

Возникающий в уравнении (0.15) оператор G является нильпотент-ным, что позволяет получить однозначную разрешимость уравнения (0.15) без какого бы то ни было начального условия. По этой причине задача Коши для уравнения (0.15), а значит и для всего уравнения (0.6), разрешима лишь при начальных значениях Xq из аффинного многообразия (0.13). Поэтому, чтобы пара (ж,и) была допустимой, надо, чтобы выполнялось условие р+1

I - Р)х о = - ОкМц\1 - Q){BvSk\0) + 2/(fc)(0)) (0.16) fc=0 на управление и. В отличие от упомянутых работ [21, 79, 80] мы ищем оптимальное управление при любом начальном значении задачи Коши жо, а пространство управлений, вообще говоря, берем более широким, вплоть до L2(U). Достигается это за счет использования удобной для систем, описываемых некорректными краевыми задачами, схемы исследования задач оптимального управления, предложенной в монографии А.В. Фурсикова [101]. Эта схема позволяет, не выражая функции состояния х через функции управления it, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления при выполнении условий ограниченности снизу, полунепрерывности снизу и коэрцитив-ности функционала стоимости и так называемого условия нетривиальное™. Последнее означает условие существования хотя бы одной пары функций (х,и), удовлетворяющей условиям (0.1) - (0.3), например, существование достаточно гладкой функции управления, для которой выполняется условие (0.16) с заданными в задаче а^о и у. При этом для остальных функций управления задача (0.1), (0.2) может вообще оказаться неразрешимой.

Все трудности, связанные с согласованием начального значения xq с правой частью уравнения, исчезают при рассмотрении обобщенного условия Шоуолтера (0.9) вместо условия Коши (0.1). В этом случае условие нетривиальности для задачи, скажем, (0.2) - (0.4), (0.9) означает лишь существование хотя бы одного достаточно гладкого управления класса НР+1(Ы) без других дополнительных условий.

Новизна полученных результатов

В диссертационной работе исследуются задачи оптимального управления с квадратичными функционалами стоимости для систем, описываемых уравнением (0.6), не разрешенным относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. Заметим, что условие сильной (L, р)-радиальности оператора М является более слабым, чем условие сильной (L, р)-секториальности или (L,cг)-ограниченности с несущественной особой точкой у L-резольвенты оператора М в бесконечности. Тем самым охвачен более широкий класс систем, чем рассмотренный в работах [21, 79, 80]. Но даже для случая сильно (£,р)-секториального оператора полученные в данной работе результаты являются более общими, чем результаты упомянутых работ (см. предыдущий раздел). Кроме того, в работе рассмотрены различные варианты функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального наблюдения состояния системы, а также задачи с жестким управлением и задачи стартового управления, которые ранее для бесконечномерных систем вида (0.6), по-видимому, не рассматривались.

Задачи оптимального управления для бесконечномерных систем с обобщенным условием Шоуолтера ранее в общем виде также не рассматривались. При этом условие Шоуолтера естественным образом возникает при рассмотрении различных систем уравнений математической физики и даже часто является более "физичным", как, например, при рассмотрении линеаризованной системы Навье - Стокса или системы уравнений фазового поля (см. третью главу).

Особо отметим, что впервые получен критерий разрешимости уравнения (0.15) с нильпотентным оператором G, показывающий, что такое уравнение разрешимо не при всякой правой части д = Mq1{I — Q)y G 1/2(0, Т]У). Гарантирует же разрешимость уравнения лишь принадлежность функции д пространству Нр+1(0,Т',У). Это согласуется с утверждением Р.С. Muller [117] о том, что в общем случае управление дескрип-торными системами осуществляется не только функцией управления, но и ее производными.

В отличие от упомянутых ранее результатов о задачах оптимального управления для распределенных систем соболевского типа почти для всех рассмотренных в данной работе задач в случае, когда оператор М в уравнении (0.2) сильно (£,р)-секториален, получены так называемые системы оптимальности, то есть необходимые и достаточные условия на оптимальное управление и соответствующее ему состояние системы в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства.

Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для линеаризованной системы Навье -Стокса, линеаризованной системы уравнений фазового поля, а также для уравнения (0.6), в котором операторы L и М являются многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка. Частными случаями такого уравнения являются уравнение Баренблатта -Желтова - Кочиной, уравнение Дзекцера и многие другие уравнения математической физики.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа содержит Введение, четыре главы и Список литературы.

1. Валакришнан, А.В. Прикладной функциональный ана-4 лиз / А.В. Валакришнан - М.: Наука, 1980 - 384 с.

2. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман.- М.: Иностр. лит., I960 333 с.

3. Вояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев.-Новосибирск: Наука, 1988.- 158 с.

4. Вояринцев, Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Вояринцев- Новосибирск: Наука, 2000 223 с.

5. Вояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю.Е. Вояринцев, В.Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998 224 с.

6. Вутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Вутковский М.: Наука, 1975.- 568 с.

7. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач /Ф.П. Васильев.- М.: Наука, 1981- 400 с.

8. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик // Мат. сб.- 1956 Т.38, вып.1 - С.51-148.

9. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н.Врагов Новосибирск: НГУ, 1983- 179 с.

10. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас- М.: Мир. 1978 336 с.И. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер.- М.: Наука, 1967.- 576 с.

11. Демиденко, Г.В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г.В. Демиденко // Сиб. мат. журн.- 1997.- Т.38, № 6.- С.1251-1266.

12. Демиденко, Г.В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши Ковалевской / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Тр. ин-та математики СО РАН.- 1994,- Т.26.- С.42-76.

13. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998.- 438 с.

14. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев.- Ташкент; ФАНГ 1979.- 155 с.

15. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР.- 1972.-Т.202, № 5.- С.1031-1033.

16. Дубовицкий, А.Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений / А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин // ЖВМиМФ 1965 - Т.5, № 3-С.395-453.

17. Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров.- М.: Наука, 1978.- 463 с.

18. Егоров, А.И. Основы теории управления / А.И. Егоров.- М.: Физ-матлит, 2004 502 с.

19. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов Новосибирск: Наука, 2000.- 336 с.

20. Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнения типа Соболева: 01.01.02 / А.А. Ефремов; Челяб. гос. ун т.- Челябинск, 1996.- 102 с.

21. Зубова, С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве / С.П. Зубова // ДАН СССР.- 1982.- Т.264, вып.2.- С.286-291.

22. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чер-нышов // Дифференц. уравнения и их применения.- Вильнюс, 1976 Т. 14.- С.21-39.

23. Ильин, A.M. О поведении решения одной краевой задачи при t —» оо / A.M. Ильин // Мат. сб.- 1972.- Т.87, № 4.- С.529-553.

24. Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / A.M. Ильин.- М.: Наука, 1989.- 336 с.

25. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / A.M. Ильин, А.С. Калашников, О.А. Олейник // Успехи мат. наук.- 1962.- Т.17, № 3.- С.3-146.

26. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров М.: Наука, 1974 - 479 с.

27. Ким, А.В. Оратные задачи динамики параболических систем / А.В. Ким, А.И. Короткий, Ю.С. Осипов // Прикл. матем. и механ.-1990.- Т.54, № 5.- С.754-759.

28. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов.- Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1990.- 132 с.

29. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН СССР.- 1992.-Т.326, № 5.- С.781-786.

30. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн- 1994 Т.35, № 2-С.359-376.

31. Короткий, А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами / А.И. Короткий // Изв. ВУЗов. Математика.- 1995.- № 11- С.101-123.

32. Короткий, А.И. Восстановление множества управлений по измерениям состояний эволюционной системы / А.И. Короткий // Прикл. матем. и механ 1997 - Т.61, Вып.З - С.440-446.

33. Короткий, А.И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности / А.И. Короткий // Известия РАН. Теория и системы управления.- 2000.- № 1.- С.21-24.

34. Короткий, А.И. О позиционном управлении в системах с распределенными параметрами / А.И. Короткий, Ю.С. Осипов // Прикл. матем. и механ.- 1980.- Т.44, № 4 С.611-617.

35. Корпусов, М.О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 1997.- Т.37, № 5.- С.617-620.

36. Корпусов, М.О. К задаче о колебаниях двустороннего отрезка в стратифицированной жидкости / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 1997.- Т.37, № 8.- С.968-974.,Щ

37. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения Соболева Гальпер-на / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Труды Моск. мат. о-ва.- 1961.-Т.Ю.- С.273-284.

38. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский М.: Наука, 1968 - 359 с.

39. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский М.: Наука, 1985 - 520 с.

40. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин М.: Наука, 1974- 456 с.

41. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов.- Новосибирск, 1979 18 е.- (Препринт / АН СССР, СО, ИМ).

42. Кряжимский, А.В. О моделировании управления в динамическойсистеме / А.В. Кряжимский, Ю.С. Осипов // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернет- 1983 № 2 - С.51-60.

43. Кряжимский, А.В. О позиционном моделировании в динамических системах / А.В. Кряжимский, В.И. Максимов, Ю.С. Осипов // Прикл. матем. и механ.- 1983 Т.47, № 6.- С.883-889.

44. Куржанский, А.В. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.В. Куржанский.- М.: Наука, 1977.- 392 с.

45. Курина, Г.А. Управление с обратной связью для линейных систем, не разрешенных относительно производной / Г.А. Курина // Автоматика и телемеханика.- 1984.- № 6 С.37-41.

46. Курина, Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной / Г.А. Курина // Обзор. Изв. РАН. Сер. техн. киберн- 1992 № 4-С.20-48.

47. Курина, Г.А. О регулировании дескрипторной системой на бесконечном интервале / Г.А. Курина // Изв. АН. Тех. кибернет.- 1993-№ 6.- С.33-38.

48. Курина, Г.А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г.А. Курина // Мат. заметки.-2001 Т. 70, вып. 2 - С.230-236.

49. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская,- М.: Наука, 1970.— 288 с.

50. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972.- 412 с.

51. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987 - 456 с.

52. Лурье, К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье М.: Наука, 1975 - 478 с.

53. Мельникова, И.В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сиб. мат. журн.- 2001.- Т.42, № 4.- С.892-910.

54. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алыпанский // ДАН.- 1994.- Т.336, № 1- С.17-20.

55. Мельникова, И.В. Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах / И.В. Мельникова, А.В. Гладченко // ДАН.- 1998.- Т.361, № 6.- С.17-20.

56. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами / Ю.С. Осипов // ДАН СССР.- 1975.-Т.223, № 6.- С.1314-1317.

57. Осипов, Ю.С. Позиционное управление в параболических системах / Ю.С. Осипов // Прикл. матем. и механ. 1977.- Т.2, № 6.-С.195-201.

58. Осипов, Ю.С. Динамическое моделирование параметровв гиперболических системах / Ю.С. Осипов, А.И. Короткий // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернет- 1991.- № 2.- С.154-164.

59. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в параболических системах / Ю.С. Осипов, С.П. Охезин // ДАН СССР.- 1976.- Т.226, № 6.- С.1267-1270.

60. Осипов, Ю.С. К теории позиционного управления в гиперболических системах / Ю.С. Осипов, С.П. Охезин // ДАН СССР.- 1977.-Т.233, № 4.- С.551-554.

61. Осколков, А.П. О некоторых линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР 1976.- Т.59.-С.133-177.

62. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР.- 1988 - Т.179 - С.126-164.

63. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравненийтипа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ.-1991.- Т.198 С.31-48.

64. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн.- 2001 Т.42, № 3.- С.651-669.

65. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовой-тов // Дифференц. уравнения 1993.- Т.29, № 3.- С.461-471.

66. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко М.: Наука, 1976 - 392 с.

67. Прилепко, А.И. Обратные задачи теории потенциала, эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса / А.И. Прилепко // Мат. заметки 1973 - Т. 14, № 5 - С.755-767.

68. Прилепко, А.И. Обратная задача с финальным переопределением для абстрактного эволюционного уравнения в упорядоченном банаховом пространстве / А.И. Прилепко, И.В. Тихонов // Функц. анализ и его приложения 1993 - Т.27, № 1- С.81-87.

69. Прилепко, А.И. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении / А.И. Прилепко, И.В. Тихонов // Изв. РАН. Сер. Мат.- 1994.- Т.58, № 2.- С.167-188.

70. Пятков, С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / С.Г. Пятков // Сиб. мат. журн 1989.- Т.ЗО, № 4 - С.111-124.

71. Пятков, С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков / С.Г. Пятков // Мат. заметки.- 1992.- Т.51, вып.1.-С.141-148.

72. Пятков, С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков / С.Г. Пятков // Мат. сб.- 1994.- Т.185, № 3.- С.93-116.

73. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения,- 1987.- Т.23, № 12.- С. 2168-2171.

74. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук 1994 - Т.49, № 4 - С.47-74.

75. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк // ДАН.- 1994.- Т.337, № 5.- С.581-584.

76. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Дифференц. уравнения.- 1995.Т. 31, № И С. 1912-1919.

77. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Изв. вузов. Матем 1996 - № 12 - С. 75-83.

78. Свиридюк, Г.А. Об относительной р-секториальности дифференциальных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.- С.49-57.

79. Свиридюк, Г.А. Об относительно сильной р-секториальности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // ДАН-1999.- Т. 365, № 6.- С. 736-738.

80. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.В. Плеханова // Дифференц. уравнения 2002.- Т.38, № 7 - С.997-998.

81. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн.- 1998.-Т.39, № 3.- С.604-616.

82. Сидоров, Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н.А. Сидоров.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1982.- 211 с.

83. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения.- 1983.- Т.19, № 9-С.1516-1526.

84. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987 - Т.23, № 4.-С.726-728.

85. Соболев, C.J1. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных / С.Л. Соболев // ДАН СССР 1951.- Т.81, № 6.-С.1007-1009.

86. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1954.- Т.18 С.3-50.

87. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998.- № 3.-С.47-54.

88. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000 - Т.36, № 8 - С.1106-1112.

89. Трибель, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель- М.: Мир, 1980664 с.

90. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ.- 2000.- Т.12, вып.З.-С.173-200.

91. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения.- 2001.- Т.37, № 12.- С.1646-1649.

92. Федоров, В.Е. Единицы вырожденных аналитических полугрупп операторов и относительная р-секториальность / В.Е. Федоров // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.- С.138-155.

93. Федоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Мат.- 2003.- Т.67, № 4.- С.171-188.

94. Федоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения.- 2004 Т.40, № 5 - С.702-712.

95. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб.- 2004 Т.195, № 8.- С.131-160.

96. Федоров, В.Е. Обобщение теоремы Хилле Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн - 2005.- Т.46, № 2.- С.426-448.

97. Фурсиков, А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье Стокса и Эйлера / А.В. Фурсиков // Мат. сб.-1981.- Т.115, № 2.- С.281-307.

98. Фурсиков, А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков.- Новосибирск: Научная книга, 1999.- 350 с.

99. Чистяков, В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / В.Ф. Чистяков // Функции Ляпунова и их применения: сб. науч. тр.- Новосибирск: Наука, 1987.- С.231-239.

100. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1996.— 278 с.

101. Чистяков, В.Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков // Уравнения соболевского типа: сб. науч. тр.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.- С.156-177.

102. Шароглазов, B.C. О некоторых свойствах решений вырожденных дифференциальных уравнений / B.C. Шароглазов // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: сб. науч. тр.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1993.- 214 с.

103. Шкаликов, А.А. Как определить оператор Орра-Зоммерфельда? / А.А. Шкаликов // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика 1998 - № 4 - С.36-43.

104. Эскин, Г.И. О единственности решения задачи Коши для уравнений не типа Ковалевской / Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва.- 1961.-Т.Ю.- С.285-295.

105. Cobb, D. Descriptor variable systems and optimal state regulation / D. Cobb // IEEE Trans. Autom. Control 1983.- Vol. 28.- C.601-611.

106. Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. Pur. et Appl 1993-Vol.CLXIII.- C.353-384.

107. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi- New York etc.: Marcel Dekker Inc., 1999 324 c.

108. Fedorov, V.E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary value problems / V.E. Fedorov // Contemporary Mathematics and Its Applications 2003.- Vol.9.- C.215-223.

109. Jonckheere, E. Variational calculus for descriptor problems / E. Jonckheere // IEEE Trans. Autom. Control.-1988.- Vol. 33.- C.491-495.

110. Leray, J. Essai sur mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray //J. Math. Pures Appl. Ser. IX 1934 - Vol.13, fasc.4.- C.331-418.

111. Leray, J. Topologie et equations fonctionnelles / J. Leray, J.Schauder // Ann. Sci. Ecole Norm. Super Ser. 3 1934.- Vol.51.- C.45-78.

112. Lewis, F.L. A survey of linear singular systems / F.L. Lewis // Circuits, Systems and Signal Processing 1986 - T. 5, № 1- C.3-36.

113. Luenberger, D.G. Dynamic equations in descriptor form / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Autom. Control 1977 - Vol. 22-C.312-321.

114. Miiller, P.C. Linear control design of linear descriptor systems / P.C. Muller // 14th Triennial World Congress.- 1999 Beijing, P.R. China.- C.31-36.

115. Oseen, C.W. Neuere methoden und ergebnisse in der Hydrodynamik / C.W. Oseen Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., 1927.-C.353.

116. Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi //J. Optimiz. Theory and Appl.- 1980.- Vol. 30, № 4.- C.601-620.

117. Pandolfi, L. On the regulator problem for linear degenerate control systems / L. Pandolfi // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1981.- V. 33, № 2,- C.241-254.

118. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E Showalter // Appl. Anal.- 1975.- Vol.5, № 1.- C.15-22.

119. Showalter, R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R.E Showalter // SIAM J. Math.Anal.- 1975.- Vol.6, № 1.- C.25-42.

120. Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations / R.E Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal.- 1970 Vol.1, № 1- C.l-26.

121. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov.- Utrecht etc.: VSP, 2003.- C.216.

122. Yagi, A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators / A. Yagi // Osaka J. Math 1991- Vol.28.- C.385-410.Основные публикации по теме диссертации

123. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления с относительно р-радиальным оператором / М.В. Плеханова // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т.- 2002.-С.206-214.

124. Плеханова, М.В. Совокупность соотношений, характеризующих оптимальное управление для уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова // Вестник Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика 2003.- № 1.- С.108-118.

125. Плеханова, М.В. Критерий оптимальности управления для линейных уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова // Вестник МаГУ. Математика 2003 - Вып.4- С. 100-110.

126. Плеханова, М.В. Задачи стартового управления для линейных уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Физика. Химия.- 2005.- № 6 (46).- С.43-49.

127. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления 2004 - № 5 - С.40-44.

128. Федоров, В.Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Вычислительные технологии 2004 - Т.9, К0- 2 - С.92-102

129. Федоров, В.Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения 2004 - Т.40, №11- С.1548-1556.

130. Федоров, В.Е. Исследование одной задачи оптимального управления / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Вестник ЧГПУ. Сер.4. Естественные науки.- 2005.- №6.- С.23-31.

131. Плеханова, М.В. Оптимальное управление уравнениями соболевского типа с относительно р-радиальными операторами / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф.- Екатеринбург, 2001.- С.173-174.

132. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления с неотрицательным функционалом для уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения.Мат. модели: тез. докл. Междунар. науч. конф.- Челябинск, 2002.-С.82.

133. Плеханова, М.В. Оптимальное управление и относительно <т-ограниченные операторы / М.В. Плеханова // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. Воронежск. зимн. матем. школы.- Воронеж, 2003.- С.180-181.

134. Плеханова, М.В. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления для уравнения соболевского типа / М.В. Плеханова // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф.- Екатеринбург, 2003.- С.60.

135. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления для одного класса начально-краевых задач / М.В. Плеханова // Студент и научно-техн. прогресс. Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003.- С.4.

136. Плеханова, М.В. О задаче оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Вестник Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки.- 2003.- Т.8, вып.З.- С.432-433.

137. Плеханова, М.В. Оптимальное управление слабыми решениями уравнения соболевского типа/ М.В. Плеханова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. конф Екатеринбург, 2004 - С.212.

138. Плеханова, М.В. Проблема квадратического регулятора для одной вырожденной системы / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Тез. докл. Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу, Абрау Дюрсо, 2004 - Ростов-на-Дону, 2004.- С. 135-136.