Некоторые задачи качественной теории функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Основные обозначения

I Инвариантная производная функционалов на С"[и.Ь}

1 Функциональные производные

1.1 ПрОИЗВОДНаЯ Фреше.2Г)

1.2 Производная Га,то.

2 Классификация функционалов на С[а, Ь]

2.1 Регулярные функционалы

2.2 Сингулярные функционалы

2.3 Специальные функционалы

3 Вычисление функционала вдоль линии

3.1 Операторы сдвига.

3.2 Суперпозиция функционала и функции

3.3 Производные Диип

4 Обсуждение двух примеров

4.1 Производная функции вдоль кривой

4.2 Производная функционала, вдоль кривой.2!)

5 Инвариантная производная

5.1 Инвариантная производная.

5.2 Инвариантная производная в классе В[а,Ь]

5.3 Примеры

6 Свойства инвариантной производной

6.1 Правила вычисления инвариантных производных.

6.2 Инвариантная дифференцируемость и инвариантная непрерывность

6.3 Инвариантные производные высшего порядка.

6.4 Разложение в ряд.

7 Многомерный случай

7.1 Обозначения.

7.2 Оператор сдвига.

7.3 Частная инвариантная производная.

8 Обобщенные производные нелинейных функционалов

8.1 Введение

8.2 Распределения (обобщенные функции).

8.3 Обобщенные производные нелинейных распределений.

8.3.1 ()сповпые определения .К)

8.3.2 Обобщениям производная как инвариантная производная

8.4 Свойства обобщенных производных.1]

8.5 Обобщенные, производные (п мерный случай).

8.6 Пространство ЯО нелинейных распределений.

8.6.1 Сходимость в ви

8.С.2 Произведеш-к: в ЗБ

8.7 Базис по сдвигу

8.8 Первообразная.

8.9 Обобщенные решения нелинейных дифференциальных уравнении

8.10 Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами

II Инвариантная производная функционалов на 11 х И" х (,}[--г. 0)

9 Функционалы на (}[—т, 0)

9.1 Регулярные функционалы

9.2 Сингулярные функционалы

9.3 Специальные функционалы

9.4 2 Струк тура функционалов.

10 Функционалы на II х II" х Ц[—т, 0)

10.1 Регулярные функционалы

10.2 Сингулярные функционалы

10.3 Функционалы типа Вольтерра.

11 Инвариантная производная

11.1 Инвариантная производная функционалов.

11.2 Примеры

11.3 Инвариантная непрерывность и инвариантная дпффереицпруемость

11.4 Инвариантная производная на В[—г, 0].

12 Коинвариангная производная

12.1 Коинвариантпая производная функционалов

12.2 Коинвариантпая производная в классе В[—т, 0].

12.3 Свойства коинварнаитной производной

12.4 Частные производные высших порядков.

12.5 Формулы г-гладкого исчисления для отображений.

III Функционально-дифференциальные уравнения

13 Фазовое пространство и условная запись ФДУ

13.1 Фазовое пространство ФДУ

13.2 Условные обозначения ФДУ.

14 Существование и единственность решений

14.1 Основные теоремы.

14.2 О продолжимости решений и их .'зависимости от начальных данных

14.3 О методе шагов

15 Гладкость решений

15.1 Гладкость решении в начальный момент.

15.2 Гладкость решений па интервале

15.3 Плотность специальных начальных функций

16 Процедура склейки

16.1 Общий случай

16.2 Модификация многочленами.

16.3 Процедура склейки второго порядка.

16.4 Процедура склейки второго порядка для линейного ФДУ.

17 Разложение решений ФДУ в ряд Тейлора

17.1 Общая формула.

17.2 Применение к нахождению порядка аппроксимации чпелеппы.х методов

18 Об инвариантной дифференцируемое™ решений но начальным данным

18.1 Линейные ФДУ

18.2 Нелинейные ФДУ.

19 Первые интегралы ФДУ

20 Уравнения нейтрального типа

20.1 Фазовое пространство и пространство состояний

20.2 Условная запись.ЮЗ

20.3 Уравнения в полных дифференциалах.

20.4 Уравнения с полным дифференциалом.

21 Операторы запаздывания. Структура ФДУ.

21.1 Операторы запаздывания.

21.2 Структура ФДУ.

IV Устойчивость ФДУ

22 Постановка задачи

22.1 Основные определения .ПО

22.2 Об устойчивости относительно возмущений из Н, С[—г, 0] и Ырк[-т, 0]

22.3 Теорема о равномерной устойчивости.

23 Функционалы Ляпунова. Полная производная функционала в силу системы

23.1 Функционалы Ляпунова.III

23.2 Полная производная функционалов Ляпунова в силу системы

23.2.1. Полная производная в терминах производи ых Дни и.

23.2.2 Полная производная в терминах инвариантной производной . . I Iв

23.3 Положительная определенность функционалов.

23.3.1 Определения.

23.3.2 О знакоопределенности функционалов па Li-pk\-т. 0].

24 Метод функционалов Ляпунова

24.1 Устойчивость и асимптотическая устойчивость.

24.1.1 В терминах ппвариаптно дифференцируемых па 11 функционалов Ляпунова.

2-1.1.2 В терминах инвариантно дифференцируемых на /.///'[ г. ()| функционалов Ляпунова.

24.1.3 Примеры

24.2 Асимптотическая устойчивость периодических и автономных систем

24.2.1 Аналоги классических теорем.J

24.2.2 Модифицированные теоремы.

24.3 Теоремы об обратимости.

24.3.1 Теорема об обратимости в терминах производной Дини.

24.3.2 Теорема обратимости в терминах инвариантной производной

24.4 Дополнительные замечания

24.4.1 О структуре функционалов Ляпунова.

24.4.2 Об устойчивости в интегральной норме.

25 Устойчивость линейных систем

25.1 Некоторые общие замечания.

25.2 Конструктивный критерий устойчивости в терминах фундаментальной матрицы.Ill

25.3 Квадратичные функционалы Ляпунова.1

25.3.1 Структура квадратичных функционалов Ляпунова.

25.3.2 Элементарные функционалы и их свойства

25.3.3 Полная производная в силу системы

25.3.4 Знакоопределенность квадратичных функционалов.

25.3.5 Примеры.

26 Метод функций Ляпунова

26.1 Функции Ляпунова

26.2 Устойчивость и асимптотическая устойчивость.

26.3 Асимптотическая устойчивость автономных и периодических систем

27 О неустойчивости ФДУ 162 27.1 Теоремы о неустойчивости.1G

27.1.1 Функционалы .Ляпунова .1G

27.1.2 Функции Ляпунова.

27.1.3 Одно общее замечание .1G

27.2 Примеры

V Метод динамического программирования

28 Функционал Беллмана

29 Уравнение Беллмана. Достаточные условия оптимальности

30 Задача линейно-квадратичного управления

30.1 Постановка задачи.

30.2 Специальные функционалы качества.

30.2.1 Конечномерный функционал качества.I

30.2.2 Вырожденным функционал качества.

30.3 Явные решения ОУР

30.4 Доказательство Теоремы 30.1 (Вывод обобщенных уравнении Риккши) 17!)

31 Задача уклонения

32 Оптимальный синтез для одной нелинейной системы

33 Системы с запаздыванием в управлении

33.1 Постановка задачи.

33.2 Инвариантная дифферепцируемость но управлению.

33.3 Уравнение Беллмана. Достаточные условия оптимальности.

33.4 Линейно-квадратичная задача управлении.

33.5 Задача оптимального быстродействия.

VI Стабилизация систем с последействием

34 Управление на неограниченном интервале времени. Оптимальная стабилизация

34.1 Постановка задачи.

34.2 Теорема об оптимальной стабилизации.

35 Линейно-квадратичная задача управления

35.1 Постановка задачи.

35.2 Вывод обобщенных уравнений Риккати.

36 Явные решения обобщенных уравнений Риккати 213 ЗС.1 Вариант 1.

3G.1.1 Основная теорема.

36.1.2 Вспомогательная лемма.

36.1.3 Доказательство основной теоремы.

36.2 Вариан т 2.

36.2.1 Основная теорема.

36.2.2 Вспомога.тельная лемма.

30.2.3 Доказательство основной теоремы.21(

37 Анализ регулятора

37.1 Явный вид управления с обратной связью.

37.2 Анализ устойчивости замкнутой системы.2.

37.3 Решение »кспопепциа.ныюго матричного уравнения.

38 Примеры

38.1 Приме]) 1.2 И)

38.2 Пример 2.

38.3 Пример 3.

38.4 Пример -1.

38.5 Пример 5.

38.0 Пример 0.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Основой построения общей теории функционально дифференциальных уравнений (ФДУ) является предложенная Н.Н.Красовеки.м [77| - |83| функциональная трак-тонка решении таких систем. В отмеченных работах были определены бесконечномерные фазовые пространства систем ФДУ, введено соответствующее обобщение функций Ляпунова функционалы Ляпунова, доказаны теоремы об обратимости. В работах Н.П.Красовского и его учеников были развиты новые функциональные методы исследования и решения задач теории устойчивости и управления для ФДУ.

Настоящая диссертация продолжает исследования в этом направлении.

Существенный вклад в становление и развитие теории функционально дифференциальных уравнений внесли Н.В.Азбелев, Р.Габаеов, Л.М.'Зверкин. Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова. В. Б. К олм ано век и й, Н.Н.Красовский, А.В.Кряжнмский. А.Б.Кур-жанский, А.А.Мартышок, В.М.Марченко, Г.И.Марчук. Ю.А.Митропольскнй. А.Д. Мышкис, С.Б.Норкип, В.Р.Носов, К).С.Осипов, Л.С.Поптрягии, Б.С.Разумихин, Ю.М.Репин, А. Л. С'куба1 icbck и й, В.Е.Третьяков, А.А.Шестаков, С.Н.Шп.маиов, Г. Л. Харатитвили, Л.Э.Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, H.Т.Banks, R.Bellman, T.A.Burl.on, K.Cooke, C.Cordmieauu, M.I M four. R.Driver, .J.Haddock, A.Halanav, J.Ilale. L.Hatvani. J.Kato, H.Knsliner, Y.La.kshmikanlham, K.Uchida, V.Volt,erra и другие авторы.

В настоящее время имеется обширная литература, посвященная различным аспектам теории ФДУ (см., например, книги и обзоры ¡1, 9, 15, 25, 20, 1-5, 10, 17, 77, 116, 137, 101, 103, 175, 182, 191, 203, 208, 210, 215, 230, 231. 245| и библиографию к ним). Однако даже в обзорных работах трудно отразить все стороны данного направления в математике, которое продолжает интенсивно развиваться в теоретическом и прикладном аспектах.

Данная диссертация посвящена дальнейшей разработке функционального подхода в качественной теории ФДУ и развитию соответствующих новых методов функционал ы i о го а п ал и з а.

Первый круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, связан с разработкой нового математического аппарата исследования и описания функционалов и функционально-дифференциальных уравнений. Соответствующий аппарат основывается на введении нового понятия производной нелинейных функционалов инвариантной производной (/-производной). В дальнейшем, для краткости, инвариантно дифференцируемые функционалы будем также называть i-гладкими.

Гладкость функций и отображений в постановках различных математических задач имеет принципиальное значение, так как позволяет упрощать выкладки, получать конструктивные алгоритмы и конечные формулы. Однако, бесконечномерность фазовых пространств вызывает существенные трудности при интерпретации is классе функционально дифференциальных уравнений тех методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые требуют дифференцируе-мости тех или иных функций по фазовой переменной.

В отличие от ОДУ, для динамических систем в бесконечномерных фазовых пространствах при исследовании гладкости применяемых функционалов могут быть нспользованы более разнообразные понятия производных. В случае ФДУ наиболее часто используются производная Фреше соответствующих функционалов и отображений, а также производные отображении вдоль решений (правое верхнее производное число функционала вдоль решений).

Использование производной Фреше позволяет достаточно полно нееледовать рассматриваемы*1 задачи, однако круг таких задач ограничен, гак как Фреше дифференцирусмость накладывает жесткие ограничения как на сами функционалы, так и на решения ФДУ (которые должны быть в этом случае непрерывно ди фферен цн | >уе м ы м и).

Правое верхнее число функционала вдоль решений (производная Дннн) существует всегда, что придаст этому тину гладкости определенную универсальность. Однако, при этом теряется элемент конструктивности, так как требуется, по крайней мере формально, находить решения ФДУ и осуществлять соответствующий предельный переход.

Используя отмеченные тины гладкости были проведены исследования широкого круга задач; однако, даже в этих случаях данные производные по позволяют зачастую получать простые аналоги соответствующих результатов теории ОДУ. В частности, »го относится к формуле полной производной функционалов в силу ФДУ. численных алгоритмов для ФДУ общего вида.

Для преодоления этих трудностей в дайной работе вводится понятие инвариантно]") производной нелинейных функционалов.

Введение понятия инвариантной производной дает возможнос ть развить соответствующую технику дифференциального исчисления нелинейных функционалов и, в частности, заменить в теории ФДУ вычисление правого верхнего производного числа вдоль решений па более простые и наглядные конструкции, основанные па инвариантной производной 1 .

Введение нового понятия гладкости позволяет исследовать новые качественные свойства ФДУ.

Отметим, что класс инвариантно дифференцируемых функционалов достаточно широк и свойство инвариантной дифферспцируемостн является естественным и достаточно просто проверяемым для практически всех функционалов, встречающихся на практике.

При этом, для линейных непрерывных функционалов над соотве тствующими пространствами достаточно гладких функций инвариантная производная совпадает (с точностью до знака) с обобщенной производной теории распределений.

В первой части диссертации: - вводятся понятия инвариантной и коинвариантиой производных и исследуются их свойства для различных классов функционалов;

Такое упрощение связано с тем, что для "дифференциального или интегрального исчисления характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто алгебраического характера (в том смысле, что сам этот алгоритм уже не содержит в явном виде предельных переход,сиз). Благодаря этому, современные способы вычисления с дифференциалами и интегралами успешно соединяют в себе строгую логическую обоснованность с простотой и наглядностью." (А.Н.Колмогоров).

- показана связь инвариантной производной с обобщенной производной теории распределений и предложен один из возможных подходов к построению обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Второй круг вопросов, исследованных в диссертации, связан с использованием / гладких функционалов в рамках качественной теории ФДУ (существование и единственность решений, инвариантная дифферепцируемость решений по начальным данным, интегрируемые типы ФДУ, метод функционалов Ляпунова, метод динамического программирования) и имеет своей целью показать возможный круг задал, который может быть исследован на их основе.

При этом и 15 рамках ранее рассмотренных задач и подходов применение техники г~гладкого анализа позволяет получить ряд новых результатов.

В частности, в работе показана инвариантная дифферепцируемость но начальным данным решений ФДУ; исследуется структура и некоторые свопа ва уравнений нейтрального типа; на основе конструкций инвариантной производной вводится понятие обобщенной производной нелинейного функционала и разрабатывается соответствующий подход к понятию обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Особо следует отметить, что в диссертации принципиальным является использование концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре функционалов и ФДУ. В дальнейшем будем использовать юрмпп / ■гладкий шиш т. включающий в себя совокупность методов исследования ФДУ и функционалов основывающихся на использовании:

- конструкций инвариантной производной функционалов;

- концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре функционалов и ФДУ.

К настоящему времени теоретические аспекты прямого метода Ляпунова для ФДУ разработаны с достаточной полнотой, и основное внимание специалистов сосредоточено па исследовании структуры функционалов Ляпунова и конструктивных правилах построения подходящих функционалов Ляпунова для достаточно широких классов систем.

С этой точки зрения использование инвариантно дифференцируемых функционалов позволяет исследовать ряд принципиальных вопросов. Прежде всего следует отметить, что при вычислении полной производной инвариантно днфференцируемо-го функционала в силу ФДУ, правое верхнее производное число вдоль решений может быть заменено на более простые конструкции (при этом выражение для полной производной имеет вид, аналогичный полной производной конечномерной дифференцируемой функции в силу ОДУ). Это придает методу функционалов Ляпунова определенную долю конструктивности 2.

Свойство инвариантной дифференцируемое™ присуще практически всем функционалам Ляпунова, встречающимся в приложениях, поэтому разработка соответствующих аспектов теории инвариантно дифференцируемых функционалов позво

2Как писал А.М.Ляпунов: "к другой [второй методе] мы причислим все те [способы исследования устойчивости), которые основываются на принципах, не зависящих от разыскания каких либо решений дифференциальных уравнений возмущенного движения". ляет классифицировать структуру функционалов Ляпунова, дать рекомендации дли конструктивных правил их построения, а также получить ряд новых результатов. В частности, показана обратимость в терминах инвариантно дифференцируемых функционалов теоремы о равномерной асимптотической уетойчпвоети.

Отдельный раздел диссертации посвящен описанию структуры уравнения Белл-мана для ФДУ в терминах инвариантных производных, разработке соответствующих подходов к методу динамического программирования и исследованию инвариантной дифференцируемости функционалов Беллмана в некоторых задачах оптимального управления.

В рамках теории оптимального управления системами, описываемыми ОДУ, одним из основных направлений исследований является построение и исследование аналогов уравнения Беллмаиа для педифферепцируомых функций Беллмана [32, 6G, 143|. В то же время, для общих управляемых ФДУ неизвестен вид сравнения Беллмана, имеющего локальный характер и аналогичного классическому уравнен ню Беллмана теории ОДУ.

Как известно, классический вариант уравнения Беллмана в методе динамического программирования для ОДУ основы вается па предположении дифференцируемое i и функции Беллмана. При »том, при построении уравнения Беллмана. существенно используется формула полной производной функции в силу системы.

В рамках метода динамического программирования для ФДУ проблема состоит в нахождении конструктивного общего вида уравнения Беллмаиа: в развитых ранее подходах |9, 68, 70, 73, 83, 187, 272] требуется вычислять функционал Беллмана вдоль допустимых нроцессои, т.е. формально необходимо вычислить соответствующие решения. В настоящей диссертации показано, что инвариантная диффсренцируемость функционалов Беллмана. позволяет получить конструктивный аналог классического уравнения Беллмана для ФДУ, не требующий нахождения решений: обоснован метод динамического программирования в терминах г гладких функционалов Беллмаиа. Исследуется инвариантная дпфференцируемость функционалов Беллмаиа в ряде задач оптимального управления.

Третий круг вопросов, рассмотренных в диссертации, связан с исследованием линейно-квадратичных задач управления для ФДУ (ЛКЗУ-ФДУ).

Для конечномерных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), линейно-квадратичная теория играет особую роль среди различных подходов к построению стабилизирующих управлений, так как коэффициенты матрицы усиления легко вычисляются на основе решения алгебраического уравнения Риккати (АУР), и соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Однако теория линейно-квадратичных задач для систем с запаздыванием, инициированная статьёй Н.Н.Красовского |77), и продолженная в работах (70, 258, 259, 233, 187, 188, 193, 197, 48, 238, 266, 268, 230], не является до сих пор завершенной. Одна из основных проблем состоит в решении специальной системы матричных обобщённых ■уравнении Риккати (ОУР), представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными.

Предложенные в 1258, 193, 70, 259, 2G4] приближенные численные методы решения ОУР являются слишком сложными для практической реализации.

Поэтому уже и первых работах, где были получены ОУР |208. 2э!)|. были поставлены две принципиальные задачи:

Задача А: нахождение явных решений ОУР ;

Задача В: разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

В работе1 |26С] был разработан алгоритм построения точных решении ОУР при некоторых дополнительных ограничениях на систему и функционал качепва. в ЛКЗР-ФДУ. Отличительной особенностью данной работы является введение обобщённого квадратичного критерия качества, включающего функциональные составляющие в квадратичный функционал качества. Такое обобщение увеличивает число свободных параметров в систем*! и, при соответствующем их выборе, позволяет построить специальную процедуру нахождения явных решений ОУР и построения стабилизирующего управления. Трудности реализации описанного в |2GG| подхода связаны с необходимостью нахождения неустойчивых полюсов разомкнутой системы и построении специальной вспомогательной системы функций.

В данном разделе диссертации также используется обобщённый квадратичный критерий качества. Разработан метод, позволяющий на основе подходящего выбора коэффициентов критерия качества, найти явный вид решений ОУР. При этом, для нахождения явного решения полной системы ОУР достаточно репппь только одно матричное уравнение: либо классическое АУР, либо специальное :т:попе.пц-Ш1Лъпос. матричное. yjMumenue. ('-)МУ). Данный подход позволяет репппь ЗчОпчц /1 нахождения явных решений ОУР.

Следует отметить, что для ФДУ, в отличие от конечномерных систем, линейное управление с обра тной связью, построенное на основе явных решений ОУР, не всегда является стабилизирующим. Поэтому в диссертации используется под,ход к исследованию стабилизирующих свойств построенных управлений [Задача В) па основе исследования свойств фундаментальной матрицы замкнутой системы. Цель работы состоит в разработке:

1) нового дифференциального исчисления (/ глад,кого исчисления) нелинейных функционалов, основывающегося па понятии инвариантной и копнвариаптпой производных;

2) новых подходов и методов в рамках качественной 'теории функционально -дифференциальных уравнений, основывающихся па использовании аппарата /гладкого исчисления функционалов и на концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре функционалов и функционально -дифференциальных уравнений;

3) аналитических методов решения и анализа задач управления и устойчивости ФДУ. Научная новизна. Введено понятие инвариантной (коинвариантиой) производной функционалов и развита техника соответствующего дифференциального и интегрального исчисления функционалов (¿-гладкий анализ). Разработан подход к качественной теории функционально-дифференциальных уравнений, основанный на применении инвариантно дифференцируемых функционалов и ¿-гладкого анализа. Предложенные и развитые подходы позволяют получить новые результаты о динамике ФДУ и свойствах используемых функционалов.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенный и развиты!! в диссертации подход, основанный па применении инвариантно дифференцируемых функционалов, позволяет исследовать ряд принципиальных вопросов качественной теории функционально -дифференциальных уравнений, получить новые результаты и конструктивные формулы.

Разработанные в диссертации методы и установленные результаты могут глужить основой для дальнейшего изучения динамики и качественных свойств функционально дифференциальных уравнений, а также использованы при ¡«ммсимп прикладных задач.

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете прикладных программ Time-delay System Toolbox |223|.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па IV и VII Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Москва, 1982: Свердловск, 1990); III Всесоюзной школе "Метод функций Ляпунова н его прнложения"(Иркутск. 1985); VI н VII Всесоюзных конференциях но качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 198G; Рига. 1989): Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально дифференциальных уравнений (Душанбе. 1987); Международном советско польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их нрпложения"(Минск, 1989); Всесоюзном семинаре "Математическое программирование в экстремальных задачах движения" (Таруса, 1990); V Всесоюзной Чстаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением"(Казань, 1991); VII и VIII Всесоюзных съездах но теоретической и прикладной механике (Москва, 1991: Пермь, 2001): Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Владивосток, 1991); World Congress on Nonlinear Analysis (USA, Tampa. 1992): Colloquium он the Qualitative Theory of Differential Equations (Hungary. Szeged, 1998); International Conference on Functional Differential Equations and Applications (Moscow, 1994); I MACS Symposium on System Analysis and Simulation ((¡епнаиу. Berlin. 1995): CISL Winter Workshop (Korea. Hong Chon, 1998); International Conference on Electrical Engineering (Korea, Kyung-ju, 1998); Korea Automatic Control Conference. International Session (Korea, Pusan, 1998); CISL Winter Workshop (Korea, Seoraksan. 1999): International Conference on Differential Equations and Applications (USA. Atlanta, 199!)); Korea-Japan workshop on Predictive Control of Time-delay Systems (Korea. Seoul. 1999); Fifth International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications (Korea, Masan, 1999); Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации"(Челябипск, 1999); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения "(Воронеж, 2000); научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН (Екатеринбург); научных семинарах в Уральском государственном университете им А.М.Горького (Екатеринбург); научном семинаре кафедры оптимального управления (факультет вычислительной математики и кибернетики) в Московском государственном университете; научных семинарах кафедры кибернетики Московского государственного института электроники и математики; научных семинарах в Сеульском национальном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 32 публикациях, в том числе в 4 монографиях. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка

1. Азбелвв П.В. Максимов В.П. Рахмитуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М. Наука. 1991. 280 с.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М. Мир. 1967. 480 е.

3. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М. Высшая школа. 1989. 264 с.

4. Альбрехт Э.Р. Об экстремальных стратегиях в нелинейных дифференциальных играх // Прикл. матсм. и механ. 1986. Т.50. №3. С. 339 345.

5. Ананьев Б.И. О двойственности задач оптимального наблюдения и управления для линейных систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. №7. С. 1960 1967.

6. Андреев A.C. Об устойчивости неавтономного функционально-дифференциального уравнения // Доклады РАН. 1997. Т. 356. №2.

7. Андреев A.C., Хусанов Д.Х. К методу функционалов Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости и неустойчивости /,/ Дифференц. уравнения.1998. Т. 34. т.

8. Андреев A.C., Павликов С.В. Об устойчивости по,части переменных неавтономного функционально-дифференциального уравнения //' Прикл. матем. и механ.1999. Т. 63. Вып. 1. '

9. Андреева Е.А., Колмановекий В.Б., Шайхелп Л.Е. Управление системами с последействием. М. Наука. 1992. 336 с.

10. Андреева И.Ю., Сесекии А.Н. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизация с запаздыванием по времени // Автоматики и телемеханика. 1997. № 7. С. 43-54.

11. Авербух В.И., Смоляное О.Г. Различные определения производной в линейных топологических пространствах // Усн. матем. наук. 1968. Т. 23. JV® 4. С. 67-116.

12. Ахмеров Р.Р., Кам.енский A4.П., Потапов A.C. и др. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ. 1982. Т. 19. С. 55 126.

13. Бабский В.Г. и Мыт,кис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия //В кн. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М. Мир. 1983. С. 383 394.

14. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86. С. 453 456.4

15. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. Мир. 1967. 254 с. :.16| Боголюбов H.H., Логунов A.A., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука. 1969.

16. Болтянский В.Г. Математические методы оптимальною управления. М.: Наука. 19G6.

17. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования // Изв. АН СССР. Математика. 1964. Т. 28. Л'?,. С. 481 514.

18. Брыкалов С. А. Непрерывные обратные связи в задачах конфликтного управления .-'/ Докл. АН. 2001. Т. 376. .N»4. С. 442-444.20| Брыкалов С.А. Разрешимость операторных включений в фиксированном множестве функций /7 Докл. АН. 2001. Т. 376. №2. С. 155-157.

19. Варга Длс. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М. 1977. 624 с.

20. Васильев Ф.11. Методы решения экстремальных задач. М. Наука. 1981. 400 с.

21. Вежбицкий А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления // Автоматика и телемеханика. 1970. ЛМ0. С. 13-20.

22. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М. Наука. 1976. 286 с.

23. Габасов Р., Кирилова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск. 1974. 272 с.

24. Габасов Р., Кирилова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1976. 506 с.

25. Гайшун ИВ. Асимпч'отическаи устойчивость одной системы с запаздыванием. Дифф. уравнения. 1972. Т. 8. Л'"5. С. 906-908.

26. Гельфанд И.М., Шилов P.E. Обобщенные функции. М.: Физмачгиз. 1958. Вып.Д

27. Гребенщиков Б. Г. Об устойчивости стационарных систем линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа с запаздыванием, линейно зависящим от времени // Изв. вузов. Математика. 1991. № 7. С. 69-71.

28. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение. 1974. 328 с.

29. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970.

30. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидпфферен-циальное исчисление. М.: Наука. 1988.

31. Долгий Ю.Ф. Асимптотика собственных чисел оператора монодромии для пе-. риодических дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов.Математика. 1994. .NH1.

32. Зверкин, A.M. (19G8) Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом / / Пятая летняя матем. школа. Киев. 1908.

33. И.ванов В.К. Васин В.В. Таиаиа В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М. Наука. 1978. 206 с.

34. Ива,нов В.К., Псрминов В.В. Нелинейные опера тор!,! в свертках: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Свердловск: Уральский гоеупиверситет. 1989.

35. Ильин. A.M. Согласование1 асимптотических разложений решений краевых задач. М. Наука. 1989. 336 с.

36. Калган,ский Г.А., Скубачсвский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально разностных уравнений. М.: МАИ, .1992.

37. Канторович Л.В., Акилов Г.II. Функциональный анализ. М. Наука. 1977. 744 с.

38. Квон О.В., Пименов В.Г. Неявные методы типа Рунге-Кутты для фукнционально-дифференциальных уравнений /7 Изв. УрГУ. 1998. №10. С. 69 79.

39. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Уральский госуниверситет, 1992.

40. Ким A.B. г-Гладкий анализ и функциональнее-дифференциальные1 уравнения. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1996:, 236 с.

41. Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием // Дифф. уравн. 1985. Т. 21. №3. с. 385- 391.

42. Ким A.B. О; методе (функционалов Ляпунова для систем с последействием // Автоматики и телемеханика. 1990. № 2. С. 24-31.

43. Ким A.B. К методу функций Ляпунова для систем с последействием // Метод функций Ляпунова в анализе динамических систем. Новосибирск. 1987, С. 7983.

44. Ким A.B. Метод динамического программирования и оптимальный синтез в системах с последействием // Некоторые методы позиционного и программного управления.'Свердловск. 1987. с. 12-21.

45. Ким A.B. Об обратимости теорем метода функционалов Ляпунова для систем с последействием // Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск. 1989. с. 12- 26.

46. Ким A.B. Инвариантно дифференцируемые функционалы Ляпунова для систем с последействием // Задачи оптимизации и устойчивости в управляемых системах. Свердловск. 1990. с. 33 46.

47. Ким A.B. Об уравнении Беллмана для систем с последействием // Изв. АН СССР: Техн. киберн. 1991. №2. с. 54-69.

48. Ким A.B. Обобщенные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математ ика. 1987. № 5.с. 58-63.

49. Ким, A.B. К проблеме умножения линейных функционалов и обобщенных функций // Изв. вузов. Математика. 1988. №6. с. 69-71.

50. Ким A.B. О первых интегралах функционально-дифференциальных уравнений // Дифф. уравн. 1997. №4.

51. Ким A.B., Короткий А.И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1989. №6. С. 78 84.

52. Ким A.B., Короткий, А.И. О конечномерной аппроксимации обратных задач динамики // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск. 1991. С. 64 -89.

53. Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикл. матем. механ. 1990. №4. С. 754 -- 759.

54. Ким A.B., Ложииков А.Б. i-Гладкий анализ и интегрируемые типы функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов. ЧГУ, Челябинск. 22-26 июня 1999 г. С. 62.

55. Ким A.B., Ложииков А.Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнения Риккати // Автоматика и телемеханика. 2000. №7. С.

56. Ким A.B., Пименов В.Г. О применении i-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 104 126.

57. Клейменов А.Ф. Неантоганистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург. УИФ. "Наука", 1993. 232 с.

58. Колмановский В.Б., Майземберг Т.Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. .N'"J .'С. 47 62. s

59. Колмановский В.Б., Майзеиберг Т.Л. Оптимальное оценивание систем и задача управления системами с запаздыванием // Прикл. мат. и мех. 41. В. 3. 1977. С. 446 456.

60. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М. Наука. 1981. 448 с.

61. Колмановский В.Б., Носов В/Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. 1984. №1. С. 5-35.

62. Колмогоров A.B., Фомин PB. Элементы теории функций и (функционального анализа. М. Наука. 1972. 496 с. ,

63. Кордуняну К., Лакшмикантам В. Уравнения с неограниченным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1985. № 7.

64. Красовский A.A. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. М. Наука. 1973. 560 с.

65. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. Гоете-хиздат. 1959. 211 с.

66. Красовский H.H. Теория управления движением. М. Наука. 1968. 476 с.

67. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М. Наука. 1970. 420 с.

68. Красовский H.H. Управление динамической системой. М. Наука. 1985. 520 с.

69. Красовский H.H. О применении второго метода А.М.Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. Матем. Механ. 1956. Т. 20. №3. с. 315-327.

70. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // Прикл. Матем. Механ. 1956. Т. 20. №4. с. 513-518.

71. Красовский H.H. Об аналитическом конструировании оптимального, ругелятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. Матем. Механ. 1962. Т. 26. №1. с. 39-51. '85 |8688 189 90 [91 [92 [9394