Применение метода факторизации в асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

§ i. замена переменных дифференциальных уравнений

§ 2. колеблемость решений линейных дифференциальных уравнений-.

§ з. факторизация Линейных дифференциальных уравнений.

§4. эквивалентность факт0ри30ванных уравнений.

§ 5. классификация факт0ри30ванных линейных дифференциальных уравнений.

§ 6. эквивалентность различных факторизации линейных дифференциальных уравнений

§ 7. асимптотическая эквивалентность линейных уравнений второго порядка

Основополагающей в теории преобразований обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка является классическая статья Е.Е.Куммера [55] . В основе исследований Куммера лежит дифференциальное уравнение третьего порядка, называемое в настоящее время уравнением Куммера.

Последователи Куммера изучали линейные дифференциальные уравнения высших порядков, в частности, в связи с так называемой проблемой эквивалентности (см., например, [l5] , Г39J , Г43] ). Эта проблема состоит в определении необходимых и достаточных условий для существования взаимного преобразования (заданного типа) двух уравнений. Изучение глобальных преобразований линейных дифференциальных уравнений П. -го порядка и, в частности, ответ на вопрос, когда и каким образом два уравнения с вещественными коэффициентами преобразуются на полном интервалеих определения, остается открытым.

В настоящее время часто приходится прибегать к некоторым преобразованиям, сохраняющим основные свойства исходного уравнения: линейность, устойчивость решений, ограниченность их коэффи-центов и т.д. В работах [18] , [21] , [ 22] , [24] , [26] , [271 , [29] , [30] , [40] , [41] приведены многие конкретные преобразования и доказаны для некоторых случаев необходимые и достаточные условия сохранения тех или иных свойств исходного уравнения при применении этих преобразований.

Весьма удобным средством как для целей задачи преобразования, так и для нахождения общего решения линейного или нелинейного уравнения второго порядка, является факторизация уравнения.

Как показано в [5l] - [56 ] , задача о приведении обыкно 4 венных линейных уравнений второго порядка

5c + a,u)cic + aoU)x = 0 d) с переменными коэффициентами, посредством преобразования зависимых и независимых переменных у = V"'(-t) ос . Ыг= U(-Ir) d-fc . (2) к линейным уравнениям наперед заданного вида у'+ £<,(*) (3) представляет определенный интерес. От того, насколько удается эффективно преобразовать данное уравнение к известному виду, интегрируемому в квадратурах или в специальных функциях, зависит решение многих фундаментальных задач механики и физики.

В работах [2] - [ 14} указано много необходимых и достаточных условий приводимости уравнения (I) к виду (3).

В некоторых случаях указаны явные виды преобразования вида (2).

Преобразование вида (2) часто называется преобразованием Куммера-Лиувилля [56 ] . Приведение уравнения (I) преобразованием Куммера-Лиувилля (2) к уравнению с постоянными коэффициентами связано с разрешимостью нелинейных уравнений для ядра U(V) и множителя V(4) преобразования (2), т.е. с разрешимостью уравнений типа Куммера-Шварца или Ермакова (см., например, ГвJ , Гп] , [25] ). Это сложная задача, ибо интегрирование указанных уравнений основано на отыскании какого-либо решения уравнения (I).

Основным приемом, восходящим к изучению линейного уравнения и систем уравнений, является метод факторизации, который был предложен Шредингером в [491 , и с тех пор существен

- 5 но обобщен в работах С 25 ] , 131J , [бо] .

Этот метод охватывает и унифицирует исторический подход к решению не только линейных уравнений, но и позволяет непосредственно преобразовать нелинейные автономные уравнения в линейные (см., например, [ 13 ] , [ 14] , [ 5 J , [ 6 ] , [ 19] , [ 20 ] , [25] ).

Преобразование вида (2) и, тем самым, метод факторизации являются удобными средствами не только для редукций заданного уравнения (I) к наперед заданному виду (3), но и для точной линеаризации нелинейных автономных уравнений второго порядка. Кроме того, этот метод указывает путь, который следует продолжить, чтобы достичь ту или иную цель. Этот путь состоит в разработке методов интегрирования уравнения Риккати ? уравнений Куммера-Шварца, Куммера-Лиувилля и уравнений, связанных с преобразованием Куммера-Шварца.

Используя результаты исследований [ i] , Г15] , [1б] , [17] , [28] , [29] , [30] , [31] , [34] , [ 43 J , [44] , [ 46 ] , в настоящей работе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, обладающие рядом свойств, значительно облегчающих построение и исследование решения. Большое внимание уделено преобразованиям Ляпунова и треугольным системам. Это оправдывается тем, что, с одной стороны, треугольные системы принадлежат к числу интегрируемых в квадратурах и поэтому допускают полное исследование, а с другой'стороны, как оказывается, к ним принципиально сводятся любые линейные системы и притом сводятся с помощью унитарных преобразований, сохраняющих важнейшие свойства систем, т.е. линейность, ограниченность коэффициентов, устойчивость и т.п. (см., например, [ 15] - [22] , [24] , [26] - [30] , [34] , [39] , [40 ] , [42] , [ 45 ] , [ 4б] ).

Цель настоящей работы состоит в исследовании асимптотического поведения линейных дифференциальных уравнений, допускающих факторизацию в предположении, что эти уравнения с помощью некоторого преобразования, могут быть приведены к уравнениям наперед заданного вида.

Диссертация состоит из введения, семи параграфов и списка цитируемой литературы.

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Харьков, "ОНТИ", 1939, ч.1, гл.5-6.

2. Беркович Л.М. Метод факторизации дифференциальных операторов и его применение к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.-Автореф. канд.дисо., Уральский госуниверситет, Свердловск, 1967. -13 с.

3. Беркович Л.М. О факторизации обыкновенных линейных дифференциальных операторов, преобразуемых в операторы с постоянными коэффициентами. "Известия высш.уч.зав. Математика", ч.I, 1965, № 4, с.8-16; ч.2, 1967, В 12, с.3-14.

4. Беркович Л.М. Метод линеаризации нелинейных автономных дифференциальных уравнений 2-го порядка. "Прикладная математика и механика", J® 4, 1979, с.629-640.

5. Беркович Л.М. О нелинейных дифференциальных операторах -го порядка, допускающих разложение на коммутативные операторы 1-го порядка. -"Учен. зап. Казан, ун-та", 1964, т.124, кн.6, с.37-42.

6. Беркович Л.М., Нечаевский М.Л. Метод преобразований обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые его приложения. "Дифференц. ур-ния" Куйбышев, гос.ун-та, 1976,с.3-18.

7. Беркович Л.М., Нечаевский М.Л. О математической интерпретации резонансных явлений в параметрических и нелинейных системах Всесоюзн. конф. по качествен, теории дифф.уравнений. Рязанский пед.ин-т. Тезисы докл., 1976, с.91-92.

8. Беркович JI.M., Нечаевский M.JI. Исследование телеграфного уравнения методом преобразования. "Труды семинара по дифференц. ур-ям", Куйбышев, гос.ун-т, 1975, с.117-119.

9. Беркович Л.М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Ж. "Дифференц. ур-я", 1971, т.7, В 2.

10. Беркович Л.М. Преобразование дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля. Ж."Дифференц. ур-я", 1982,т.16, вып.З, с.42-44.

11. Беркович Л.М. Функциональный анализ и теории функций. Сборник 2, Казань, 1964, с.32-42.

12. Беркович Л.М. Преобразование нелинейных дифференциальных уравнений. Ж."Дифференц. ур-я", т.7, 1971, № 2,с.353-356.

13. Беркович Л.М. Функциональный анализ и теории преобразования дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля и его применения. Ж."Дифференц. ур-я", 1982, т.16, вып.З,с.42-44.

14. Богданов Ю.С. Метод инвариантов в асимптотической теории дифференциальных уравнений. Мн.: Вестн. БГУ, cep.I, J6 I, 1969, с.10-14.

15. Богданов Ю.С., Сыройд Ю.Б. Дифференциальные уравнения. Мн.: Вышэйшая школа, 1983. -240 с.

16. Богданов Ю.С. Нормы Ляпунова в линейных пространствах ДАН СССР, ИЗ, J& 2, 1957, с.255-257.

17. Борувка 0. Теория глобальных свойств обыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка. "Дифференц.ур-я", 1976, т.12, № 8, с.1347-1383.

18. Бргано А.Д. Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев; Наукова думка, 1977, с.46-53.

19. Бргано АД. Асимптотика решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1962, т.143, № 4,с.763.

20. Бибиков Ю.Н. О приводимости систем двух дифференциальных уравнений к нормальной форме. "Дифференц. ур-я", 1971, т.7, }Гз 10, с.1899-1902.

21. Былов Б.Ф. и др. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.; Наука, 1966. -576 с.

22. Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1969. -576 с.

24. Ермаков В.А. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде. Киев, "Университетские известия", 1980, с 1-25.

25. Еругин Н.П. Приводимые системы. Труды матем.ин-та им.В.А.Стеклова", 1946, вып.13.

26. Еругин Н.П. "Прикладная математика и механика", т.16, вып.6, 1952, с.659-670.

27. Кругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника, 1979. -744 с.

28. Елыиин М.И. Качественные проблемы линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН СССР, 1948, т.68, № 2, с.221-224.

29. Елыиин М.И. К проблеме колебаний линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН СССР, 1938, т.18,Я 3, с.141-145.

30. Инфельд Л., Халл Т.Е. Метод факторизации. "Математика". Периодич. сб. переводов иностр. статей. М., 1966, & 3.

31. Кондратьев В.А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков. -"Труды Московского матем. об-ва", 1959, т.8, с.259-282.

32. Кондратьев В.А. О колеблемости решения уравнения. -"Труды Московского матем. об-ва", 196I, т.10, с.419-436.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.-М.: Гостехиздат, 1950.

34. Мохамед С.К. Эквивалентность факторизуемых дифференциальных уравнений. Рукоп. деп. в БелНИИНТЙ, I августа 1983 г., № 741 Бе-Д83.

35. Мохамед С.К. Асимптотическая эквивалентность факторизуемых дифференциальных уравнений. Мн.: "Вестник БГУ им. В.И.Ленина", сер Л, физ.,мат.,мех., 1984, № 3.

36. Мохамед С.К. Классификация факторизованных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Принята в печать в ж."Известия Еузов СССР".

37. Мохамед С.К. Асимптотическая эквивалентность линейных дифференциальных уравнений. Принята в печать в ж, Вестник БГУ им.В.И.Ленина", сер Л, физ.,мат.,мех.

38. Нейман Ф. Инварианты линейных дифференциальных уравнений 3-его порядка. "Дифференц. ур-я", 1973, т.15, № 3,с.405-416.

39. Петровский Г.Н. О свойстве аппроксимируемости правильных систем дифференциальных уравнений. "Дифференц. ур-я", 1976, т.12, В 2, с.359-361.

40. Петровский Г.Н. О допустимых заменах времени.Дифференц. ур-я", 1977, т.13, № 2, с.265-270.

41. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Изд-во технико-теорет. литературы, 1963. -560 с.

42. Сафронов В.И. Об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в конечном виде. "Сб. научных трудов Владимирского веч. политехи, ин-та", 1967,с.226-228.

43. Симбирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев: Штиница, 1976. -268 с. Р.Ж.Мат., 1977, ЗБ 246 К.

44. Сыроид Ю.Б. Геометрический критерий линейной приводимости дифференциальной системы к треугольному виду. Мн:: "Вестн. Б1У им.В.И.Ленина. Сер.1, физ. ,мат. ,мех.", .№ 2, 1973, с.16-17.

45. Сыроид Ю.Б. Треугольные и триангулируемые дифференциальные системы. "Дифференц. ур-я", 1971, т. 10, .№ 2,с.265-269.

46. Хартман Филип. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. -346 с. (Пер. с англ.).

47. Цирулик В.Г. О некоторых свойствах коммутативных дифференциальных операторов над функциональным полем характеристики нуль. Труды семинара по лифференц. ур-ям. Вып.З, Куйбышевского гос. ун-та, 1979, с.117-133.

48. Шредингер Э., Инфельд . Избранные труды по квантовой механике. -М.: Наука, 1976, с.239-247. (Матем. период, сбор, переводов иностр. статей).

49. Штифель Е., Шейфель Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. -347 с. (Пер. с англ.).

50. Boruvka О. Lineare differential transformationen2 ordnung veb heuther verlag der Wissentchaften, Berlin, 1967. 218 s (the English univ. Press, London, 1971).

51. Neuman F. Linear differential equations of the second order and their applications. "Rend, di Mat." (3), 1971, v.1,3, 4-S, 559-617.

52. Mammana G. Decompozizione delle expressioni differential! lineari omogene improdotti di factori simboloci e appli-cazione relativa alio studia della equazioni differenziali lineari. "Math Z ", 1931, 33, p.186-231.

53. Magiros D.G. Linearization of non linear models of the phenomens "General electric company. Re entry an environmental systems division". Philadelphia, P.о USA, 1976.