Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

0. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

0.1. Задача факторизации Винера - Хопфа.

0.2. Задача дробной факторизации.

0.3. Аппроксимации Паде.

0.4. Теплицевы и ганкелевы операторы и матрицы.

0.5. Основные нерешенные задачи

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА

1.1. Определение индексов и существенных многочленов

1.2. Критерий существенности.

1.3. Пополнение системы существенных многочленов

1.4. Связь с задачей факторизации Винера - Хопфа

1.5. Согласование систем существенных многочленов.

1.6. Обобщенное обращение блочных теплицевых матриц

1.7. Обращение блочных теплицевых матриц.

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К ЗАДАЧЕ ДРОБНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ

2.1. Минимальные решения уравнений Безу.

2.2. Индексы и существенные многочлены последовательности из коэффициентов Тейлора.

2.3. Построение дробных факторизации.

2.4. Применение к обобщенному обращению ганкелевых операторов конечного ранга.

3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К ЗАДАЧЕ ФАКТОРИЗАЦИИ

ВИНЕРА - ХОПФА

3.1. Дробная факторизация и факторизация Винера - Хопфа

3.2. Явное построение факторизации Винера - Хопфа для аналитических матриц-функций.

3.3. Приближенная факторизация Винера - Хопфа аналитических матриц-функций.

3.4. Явное построение факторизации Винера - Хопфа для меро-морфных матриц-функций

3.5. Классы матриц-функций, факторизация которых приводится к аналитическому случаю

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ СКАЛЯРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ

4.1. Аппроксимации Паде и существенные многочлены.

4.2. Аппроксимации Паде и факторизация Винера - Хопфа

4.3. Существенные многочлены последовательности для рациональной функции.

4.4. Построение группы параметров.

4.5. Асимптотика знаменателей аппроксимаций Паде рациональных функций для m = А —

4.6. Подготовительная теорема

4.7. Асимптотика знаменателей аппроксимаций Паде мероморф-ных функций для т = А — 1.

4.8. Геометрия множества предельных точек.

4.9. Области равномерной сходимости.

4.10. Гипотеза Бейкера - Грейвс-Морриса при условии Rm < Rm+i

5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ МАТРИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ

5.1. Определение матричных аппроксимаций Паде и существенные многочлены.

5.2. Матричные аппроксимации Паде и задача факторизации Винера - Хопфа.

5.3. Теорема Монтессу де Болора для матричных аппроксимаций Паде. I случай устойчивости.

5.4. Теорема Монтессу де Болора для матричных аппроксимаций Паде. II случай устойчивости

В различных разделах математики естественно возникают всевозможные факторизационные задачи для матриц-функций. Так, например, в теории линейных дифференциальных уравнений берет начало задача разложения матричного многочлена на множители (спектральная факторизация матричных многочленов), впервые рассмотренная Я.Б. Лопатинским [66].

Одной из главных задач теории линейных конечномерных динамических систем является задача представления переходной функции системы в виде "отношения" матричных многочленов (дробная факторизация рациональных матриц-функций) [137].

Наконец, фундаментальное значение имеет задача факторизации Винера - Хопфа матриц-функций или равносильная ей задача построения канонической матрицы краевой задачи Римана для вектора. Появившись в связи с проблемой построения системы линейных дифференциальных уравнений типа Фукса с заданной группой монодромии (21 проблема Гильберта) , она стала основным инструментом при решении систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и систем уравнений Винера - Хопфа [31, 45]. Эта задача является одним из существенных этапов при интегрировании нелинейных эволюционных уравнений методом обратной задачи рассеяния [47], составляет основу для решения обратной задачи рассеяния для матричного дифференциального оператора [104] и используется в обратной задаче теории монодромии для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [53]. Уже традиционным является приложение краевой задачи Римана к проблемам механики твердого тела [31].

Оказывается, что эти три факторизационные задачи тесно связаны между собой. Связь между задачей спектральной факторизации аналитических матриц-функций и задачей канонической факторизации Винера -Хопфа лежит на поверхности и потому она давно уже используется. Метод канонической факторизации - это основной метод построения регулярных спектральных делителей аналитических оператор-функций [67]. А с другой стороны, первое явное решение задачи факторизации Винера - Хопфа для матричных многочленов было получено после построения для них спектральной теории [130, 128].

Существует также достаточно простая связь между дробной факторизацией рациональных и факторизацией Винера - Хопфа аналитических матриц-функций. Однако она не столь очевидна и не была до последнего времени сформулирована. Была отмечена лишь определенная аналогия между такими важными инвариантами этих задач как частные индексы в факторизации Винера - Хопфа и индексы Кронекера (или индексы наблюдаемости и управляемости) в теории систем [127].

В терминах дробной факторизации легко решается одна из основных задач теории линейных конечномерных динамических систем - задача минимальной реализации [137]. Ее обобщением является задача частичной минимальной реализации, которая фактически является задачей построения матричной аппроксимации Наде в бесконечно удаленной точке. Кроме того, нетрудно заметить формальную аналогию между задачей отыскания аппроксимации Паде и краевой задачей Римана для вектора. Оказывается, что эта аналогия имеет глубокие корни: далее мы увидим, что нахождение матричных аппроксимаций Паде равносильно решению задачи факторизации Винера - Хопфа для блочно-треугольной матрицы-функции специального вида (см. раздел 5.2). Таким образом, в факторизационную проблематику естественно включается и эта аппроксимационная задача, которая на самом деле является частным случаем задачи факторизации Винера -Хопфа.

Задача факторизации Винера - Хопфа и аппроксимации Паде и являются основными объектами нашего исследования.

Центральной нерешенной проблемой в теории факторизации Винера - Хопфа матриц-функций является проблема явного построения факторизации и вычисления частных индексов. Известно, что в скалярной случае факторизация строится в замкнутой форме. Впервые это было сделано (для краевой задачи Римана в классе гёльдеровских функций) Ф.Д. Гаховым (см., например, монографию [35]). Факторизация функций из алгебры Винера в явном виде была построена М.Г. Крейном [56]. Для матриц-функций решения задачи факторизации Винера - Хопфа в замкнутой форме в общем случае нет, а частных случаев, когда это сделать можно, очень немного. Поэтому отыскание новых классов матриц-функций, для которых возможно явное построение такой факторизации представляет значительный интерес. Решение этой проблемы и является одной из главных задач нашего исследования. Здесь под явным решением мы понимаем сведение задачи факторизации к решению конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых выписываются в замкнутой форме (в квадратурах). Число систем также должно быть определено заранее. Первым случаем, когда задача факторизации Винера - Хопфа была явно решена в этом смысле, является случай матричных многочленов [130]. Кажется естественным предположить, что явное решение возможно и для класса мероморфных матриц-функций, поскольку в этом случае один из факто-ризационных множителей является рациональной матрицей-функцией, т.е. определяется конечным числом параметров. Далее мы убедимся что это действительно так.

Что касается второго центра наших исследований - аппроксимаций Паде - то, без сомнения, здесь главной проблемой является построение теории сходимости.

Аппроксимации Паде являются обобщением многочленов Тейлора для аналитических функций. Но, как указано в работе [72], ". если про ряд Тейлора известно, что его область сходимости - максимальный круг голоморфности приближаемой функции, то получить столь простой результат для аппроксимаций Паде нельзя. Изучение их сходимости наталкивается на существенные трудности." До недавнего времени первые результаты, достигнутые в конце 19-го века А. А. Марковым для диагональных аппроксимаций Паде марковской функции меры с носителем на отрезке (см., например, [72]) и в начале 20-го века Монтессу де Болором для одной строчной последовательности аппроксимаций Паде мероморфной функции [27], являлись почти единственными общими результатами о равномерной сходимости.

Начиная с 70-х годов, школой А. А. Гончара было получено много глубоких и важных результатов по прямым и обратным задачам в теории аппроксимаций Паде. В частности, практически окончательные результаты получены по равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для марковских функций, возмущенных рациональной добавкой [38, 81, 93]. В некоторых случаях удалось описать множество предельных точек полюсов аппроксимаций Паде, которое, как оказалось, содержит, помимо полюсов аппроксимируемой функции и другие, дополнительные, точки.

Для строчных последовательностей таблицы Паде мероморфной функции множество предельных точек полюсов аппроксимаций Паде также может содержать дополнительные точки. Однако никаких общих результатов по описанию указанного множества до сих пор нет. Имеются только отдельные примеры, показывающие, что асимтотическое поведение полюсов может быть очень сложным [27, 143].

Возникает естественный вопрос: можно ли хотя бы для одной строки таблицы Паде произвольной мероморфной функции явно найти эти дополнительные предельные точки? Мы дадим на этот вопрос ответ - да. Это -одна из главных целей нашего исследования.

Теория сходимости матричных аппроксимаций Паде не является хоть сколь-нибудь полной." - было написано в начале 80-х годов в монографии [27]. С тех пор положение мало изменилось. Отметим только один результат. А.И. Аптекарев [24] в связи с изучением асимптотики ортогональных многочленов с матричными коэффициентами попутно доказал матричный аналог теоремы Маркова. Сделать тоже самое для второго центрального результата теории сходимости - теоремы Монтессу - не удавалось. Трудности возникают уже на стадии определения: классическое определение можно дословно перенести на матричный случай, но при этом матричные аппроксимации Паде, в отличии от скалярного случая, существуют не всегда.

В теории матричных аппроксимаций Паде наша цель - предложить разумное определение таких аппроксимаций и получить аналог (или аналоги) теоремы Монтессу.

Мы уже говорили о взаимосвязи рассматриваемых нами задач. Однако главным объединяющим их обстоятельством является то, что все они могут быть исследованы единым методом - методом существенных многочленов, предложенным автором данной работы. Этот метод впервые по9 явился в начале 80-х годов в связи с построением в явном виде факторизации Винера - Хопфа для треугольных матриц-функций второго порядка. Оказалось, что он эффективен во всех задачах, где появляются теплицевы или блочные теплицевы матрицы. По этой причине метод оказался хорошо приспособлен для решения перечисленных выше факторизационных и аппроксимационных задач.

По сути своей существенные многочлены конечной последовательности комплексных чисел или матриц являются обобщением многочленов, ортогональных относительно числовой последовательности. Обычно требуется, чтобы эта последовательность была позитивной или хотя бы невырожденной. Мы отказываемся от этих ограничений и рассматриваем произвольную числовую или матричную последовательность. Оказалось, что и в этом случае можно развить достаточно глубокую алгебраическую теорию, имеющую многочисленные применения.

Итак, цель данной диссертационной работы - предложить новый метод, который позволил бы явно решить вышеупомянутые факторизацион-ные задачи и исследовать равномерную сходимость скалярных и матричных аппроксимаций Паде.

ГЛАВА О ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

В этой вспомогательной главе мы дадим обзор литературы по теме диссертационной работы и приведем те сведения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Нас будут интересовать факторизационные задачи (факторизация Винера - Хопфа, дробная факторизация) прежде всего с точки зрения их явного решения. В разделе, посвященном аппроксимациям Паде, мы проанализируем классические определения для того, чтобы попытаться правильно перенести их на матричный случай. Из теории сходимости мы в основном рассмотрим результаты по сходимости строк таблицы Паде, так как в диссертации будут исследоваться только такие последовательности. В обзоре будут приведены некоторые сведения по блочным теплицевым и ганкелевым матрицам и операторам, поскольку основной метод диссертации - метод существенных многочленов - основан на тщательном анализе структуры ядра блочных теплицевых матриц. В последнем разделе обзора будут сформулированы нерешенные задачи, которые предполагается исследовать в диссертации.

0.1. Задача факторизации Винера — Хопфа

Начнем с определения однородной краевой задачи Римана для вектора (или, в другой терминологии, однородной задачи линейного сопряжения). Для наших целей достаточно ограничиться самой простой постановкой задачи.

Пусть Г - простой гладкий замкнутый контур в комплексной плоскости С, ограничивающий область Х).,. Дополнение Вл У Г в расширенной комплексной плоскости С = С 1Лоо} обозначим через .О-. Можно считать, и что О G D+, оо е D-. Пусть a(t) - непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция порядка р.

Однородной краевой задачей Римана для вектора называется задача отыскания двух векторов (p+{z) ж <p-(z), аналитических соответственно в Вл, непрерывных в D+ 1J Г, D 1J Г, и всюду на контуре Г удовлетворяющих условию сопряжения

Вектор <£>-(£) может иметь на бесконечности полюс.

В скалярном случае, когда коэффициент задачи а{€) принадлежит классу гельдеровских функций, впервые полное решение этой задачи, причем в квадратурах, дал Ф.Д. Гахов (см., например, [35]). В матричном случае экзистенциальная часть теории этой задачи также полностью исследована [31]. Оказалось, что всегда существует (для гельдеровского коэффициента а(£)) каноническая система из р частных решений такая, что матрицы Ф+(г), Ф-(^), составленные из этих решений, удовлетворяют на контуре Г условию сопряжения, обратимы всюду в £), кроме, быть может, бесконечности, где определитель матрицы Ф(.г) имеет конечный порядок. Кроме того, для канонической системы матрица-функция Ф-(^) должна иметь нормальную форму на бесконечности. Последнее означает, что на бесконечности сумма порядков ее столбцов равна порядку определителя. Кусочно-аналитическая матрица-функция Ф±(г), которая удовлетворяет этим условиям, называется канонической матрицей-функцией задачи. Порядки столбцов Ф (г) на бесконечности не зависят от выбора канонической системы и называются частными индексами задачи (или коэффициента а(£)). Каноническую систему решений всегда можно выбрать так, что частные индексы будут упорядочены, например, по убыванию.

В настоящее время задачу нахождения канонической матрицы-функции для замкнутого контура принято формулировать в виде следующей эквивалентной факторизационной задачи.

Для непрерывной и обратимой на контуре Г матрицы-функции а(£) требуется отыскать ее представление в виде p+(t) = a(t)y(i), te Г.

0.1) a{t) = l+{t)dl{t)l-{t), ter,

0.2) где l±(t) - непрерывные на Г матрицы-функции, аналитически продолжи-мые в область D± и обратимые там, di(t) = diag[iAl,., tXp). Это представление называется левой факторизацией Винера - Хопфа матрицы-функции a(t). Здесь Ai,., ХР - целые числа, называемые левыми факторизаци-онными индексами a(t), причем их можно считать упорядоченными по убыванию: Ai > . > Ар. Ясно, что пара матриц-функций (l+(t), IZ1 {t)^1 (t)) является канонической матрицей-функцией задачи, и наоборот, по любой канонической матрице-функции легко восстановить левую факторизацию Винера - Хопфа коэффициента a(t). При этом частные индексы тождественны с левыми факторизационными индексами. Если все индексы равны нулю, то факторизация называется канонической.

Аналогично определяется правая факторизация a{t): a(t) = r-{t)dr(t)r+(t), t e Г, (0.3) dT(t) = diag[£Pl,., tPp], pi < . < pp - правые частные индексы a(t). Ясно, что Y^j=iPj = DU = где к, — indr det a(t) - индекс Коши определителя a(t).

Известно, что факторизация Винера - Хопфа существует не только для матриц-функций с гельдеровскими на контуре Г элементами. Факторизацию допускают матрицы-функции a(t), элементы которых принадлежат распадающейся коммутативной банаховой /i-алгебре, в частности, алгебре Винера W [45]. В скалярном случае факторизацию в винеровском классе функций впервые построил в явном виде М.Г. Крейн [56]. Произвольная непрерывная на контуре Г матрица-функция может не допускать факторизации с непрерывными на Г факторизационными множителями. Однако, если элементы непрерывной матрицы-функции a(t) мероморфно продолжаются в область D+, то легко показать (аналогично доказательству первой части теоремы 2.1, гл. VIII, из [45]), что для a(t) существует факторизация Винера - Хопфа с непрерывными на контуре множителями. Факторизация непрерывных функций и матриц-функций в обобщенном смысле (с факторами из Нр(Т)) была построена И.Б. Симоненко [84, 85, 87] (случай измеримых матриц-функций см. в [86, 142]).

Отметим особенность задачи факторизации в матричном случае, делающей крайне трудной проблему ее приближенного решения. В общем случае частные индексы неустойчивы при малом возмущении, а факториза-ционные множители при этом не зависят непрерывно от возмущения [142]. Необходимым и достаточным условием устойчивости индексов Л1,., Лр является условие Боярского: Ах — Хр < 1. Аналогично - для правых индексов. Мы обращаем на это внимание потому, что соображения устойчивости будут играть основную роль в нашем подходе к изучению сходимости аппроксимаций Паде.

Главной нерешенной проблемой в теории факторизации Винера - Хоп-фа матриц-функций (и краевой задачи Римана для вектора) является отсутствие явных формул для индексов и факторизационных множителей. Многолетние усилия математиков, работающих в этой области, были направлены на отыскание различных частных случаев, когда возможно явное решение задачи факторизации или хотя бы явное вычисление частных индексов. Перечислим основные немногочисленные достижения в этой области.

Однако прежде договоримся о терминологии. Принято говорить, что задача решается эффективно, если существует алгоритм ее решения за конечное число шагов (заранее неизвестное, а определяемое в процессе вычислений). Например, давно известно, что задача факторизации аналитических матриц-функций решается в этом смысле эффективно (см., например, [71, §126], где изложен прием, принадлежащий Дж. Биркгофу и Ф.Д. Гахо-ву, построения нормальной системы из фундаментальной). Под решением в замкнутой форме или в квадратурах понимается решение в виде формулы типа формулы Гахова в скалярном случае. Впрочем, термин "решение в замкнутой форме" часто используется как синоним явного в каком-нибудь смысле решения. В данной работе под явным решением мы понимаем сведение задачи факторизации к решению конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых выписываются в замкнутой форме (в квадратурах). Число таких систем также должно быть определено заранее.

1. Первый результат в проблеме решения задачи факторизации в замкнутой форме был получен в 1952 г. Ф.Д. Гаховым [36], который заметил, что его формула для решения скалярной задачи непосредственно переносится на матричный случай, если матрица-функция a(t) является функционально-коммутативной, т.е. если для любых ii, ¿2 £ Г выполняется a(ti)a(t2) = a(t2)a(ti). Частные индексы в этом случае - это индексы Коши собственных значений, как функций параметра t, матрицы a(t). Г.H. Чеботарев показал, что формула Гахова справедлива не только для функционально-коммутативных матриц, но и еще в некоторых случаях [100].

2. Матрица-функция a(t) — Ip — b(t), Н&Ци' < близкая к единичной с элементами из алгебры Винера имеет нулевые правые и левые частные индексы. При этом факторизационные множители строятся явно в виде схооо дящихся по норме алгебры WT'yp = ^ Yh ajV i 1^1 = aj £ Cpxp f рядов: j=-oo r-l{t) = 5X= £ь!о№)> где bf(t) определяются рекуррентным образом

Г OO )

Здесь Р+ проектор из Wpxp на подалгебру Wpxp = < ŒjP > , параллельj=o J

Г -1 1 но (W^xp)о = < ( 1 ж Р- дополнительный проектор. Аналогичные j=-oo J формулы справедливы для множителей lZl(t), l+l{t)

Это утверждение (часто называемое леммой Мазани) неоднократно переоткрывалось многими математиками (см., например, [45, гл. I, лемма 5.1] и литературные указания к этой лемме).

3. Ряд статей был посвящен частным индексам матрицы-функции с различными ограничениями на ее числовую область. Открывает этот ряд работа Ю.Л. Шмульяна 1953 года [105]. Он обнаружил, что положительно определенная гельдеровская матрица-функция имеет относительно единичной окружности нулевые частные индексы. Оказалось, что доказательство этого факта сохраняется, если от матрицы-функции потребовать знакоопределенность только ее действительной или мнимой части [43].

И.М. Спитковский показал, что если числовая область матрицы-функции a(t)

W(a) = {x*a(t)x \хеСр, х*х = 1} не содержит нуль, то, после умножения a(t) на некоторую скалярную функцию, она превращается в матрицу-функцию с положительно определенной действительной частью [88]. Следовательно, все частные индексы a(t) совпадают с индексом Коши скалярного множителя.

Проблема явного построения факторизационных множителей для вышеуказанных матриц-функций остается открытой. Отметим в связи с этим статью И.Т. Хабибуллина [98]. В ней показано, что задача факторизации для матрицы-функции с положительно определенной действительной частью эффективно (т.е. за конечное, но заранее неизвестное число шагов) сводится к факторизации матрицы-функции, близкой к единичной. На этой основе в [99] предложен способ численного решения краевой задачи Римана с положительно определенной действительной частью. Работа [98] еще интересна и тем, что в ней впервые в факторизационной задаче используется метод продолжения по параметру, возникший в методе обратной задачи рассеяния [104, 97]. Дальнейшее развитие этого метода приведено в наших работах [108, 109].

4. Матрицы-функции с положительно определенной действительной частью или с числовой областью, не содержащей нуль, принадлежат классу строго невырожденных матриц-функций, т.е. матриц-функций, у которых все угловые миноры отличны от нуля на контуре Г.

В механике сплошной среды и в геометрии находит применения краевая задача Маркушевича [65], т.е. задача отыскания функции (y?+(z), (p-(z)}, кусочно-аналитической на плоскости с линией скачков Г, по краевому условию где Сх(^), /(¿) - заданные на контуре функции, причем 6а(£) Ф 0. Для случая, когда контур Г представляет собой единичную окружность Т, задача Маркушевича приводится к краевой задаче Римана с эрмитовым коэффициентом см. [65]). Ясно, что решение этой задачи также является частным случаем факторизации строго невырожденной матрицы-функции. = + G2(t)ip.{t) + f(t), t e г,

В работе [55] показано, что задача факторизации строго невырожденной матрицы-функции второго порядка эквивалентна решению некоторого уравнения Фредгольма.

Случай строго невырожденных матриц-функций произвольного порядка рассмотрен K.M. Расуловым в статье [79]. Им были разработаны методы решения краевых задач для полианалитических функций [80]. Одним из важных приложений этих методов и стал конструктивный способ решения краевой задачи Римана для вектора. K.M. Расулов свел краевую задачу Римана для строго невырожденной матрицы-функции к системе из одной обычной скалярной и р — 1 обобщенных скалярных задач Римана. Решение обобщенной скалярной задачи Римана в общем случае сводится к решению уравнения Фредгольма. В некоторых важных случаях обобщенную задачу Римана можно решить в замкнутой форме. Так, если элементы всех строк матрицы-функции кроме, быть может, одной, являются рациональными функциями, то ядра в уравнениях Фредгольма будут вырожденными и задача сводится к решению обычной скалярной задачи Римана и системы линейных алгебраических уравнений. Тем самым в данном случае краевая задача Римана решается в явной форме. Этот же метод был в дальнейшем использован для решения в замкнутой форме некоторых случаев задачи Маркушевича и задачи Маркушевича со сдвигом [147].

5. Первой работой, в которой был предложен способ вычисления ненулевых частных индексов, была работа Г.Н. Чеботарева 1956 года [101]. В ней, с помощью разложения в непрерывную дробь явно найденной аналитической в D- матрицы-функции, получено правило вычисления частных индексов треугольной матрицы-функции второго порядка. С помощью подходящих дробей для вышеуказанной непрерывной дроби можно получить и факторизационный множитель l+(t). По нашей терминологии данное решение задачи факторизации следует отнести к эффективному. Для треугольных матриц-функций произвольного порядка найдены небхо-димые и достаточные условия совпадения частых индексов с индексами диагональных элементов [77, 73], а также сделана попытка обобщить алгоритм Г.Н. Чеботарева [95]. Эти результаты Л.П. Примачука, A.M. Ни-колайчука и П.М. Тишина также являются лишь эффективными.

Впервые явное (в указанном выше смысле) решение задачи факторизации для треугольной матрицы-функции второго порядка было получено в нашей статье [1]. Эта работа стала отправной точкой данного исследования. В ней впервые возникли понятия индексов и существенных многочленов конечной последовательности, играющие центральную роль в диссертации.

6. До сих пор мы рассматривали факторизацию непрерывных матриц-функций. В связи с применениями в механике и в теории линейных дифференциальных уравнений [53, 75] представляет интерес факторизация кусочно-непрерывных (и даже кусочно-постоянных) матриц-функций. В некоторых частных случаях для матриц-функций из этого класса также удается явно вычислить частные индексы и построить каноническую функцию.

Иногда векторную краевую задачу Римана на плоскости с кусочно-непрерывной матрицей удается свести к скалярной задаче на подходящей римановой поверхности. Эта идея была предложена в статье Э.И. Зверови-ча [49], где показано как задачу матричной факторизации, рассмотренную Г.П. Черепановым [102], можно свести к скалярной задаче на п-листой римановой поверхности. Обобщение этого подхода на значительно более общие задачи дано в работе Э.И. Зверовича и Л.И. Померанцевой [51]. На этом пути в некоторых случаях удается получить и явные или эффективные результаты. В основном это касается случая кусочно-постоянных матриц-функций подстановочного типа, т.е. матриц-функций значения которых являются матрицами подстановок (в каждой строке и столбце содержится только один ненулевой элемент, равный 1). Матрица подстановок определяет закон, по которому производится склеивание листов вдоль разреза по линии, на которой факторизуемая матрица-функция совпадает с данной матрицей подстановок. Полные результаты получены В.Е. Круг-ловым, когда подстановки порождают абелеву группу [57, 58]. В некоторых неабелевых случаях конструктивные результаты получены Л.П. Примачу-ком [78], И.Ю. Дмитриевой [46] и С.Л. Штиным [106].

Отметим также статью Н.Г. Моисеева [69], в которой с помощью перехода на риманову поверхность предложен эффективный способ построения N факторизации матрицы-функции вида 1(¿). Здесь - заданк= 1 ные гельдеровские функции и А(£) - матричный многочлен порядка N. Факторизация рассматривается на простом гладком замкнутом контуре.

7. Все рассмотренные нами результаты носят скорее эффективный, чем явный характер. Первой работой, в которой задача факторизации была решена явно, была статья И. Гохберга, Л. Лерера и Л. Родмана 1978 года [130]. В ней были анонсированы явные формулы для левых частных индексов матричного многочлена. Метод основан на спектральной теории матричных многочленов, разработанной в основном этими же авторами [128]. Индексы вычисляются (см. теорему 3.1 в цитированной работе) в терминах рангов блочных ганкелевых матриц В-! 2 . \

В-2 £-3 • . В-3-1 . . . , 3 = 1,2,.,8. В-З В-3-1 • • • -В-^-а-И /

Здесь 5 - степень матричного многочлена Ь(А) и - моменты матрицы-функции Ь~1{\) относительно простого замкнутого контура Г:

Таким образом, для нахождения частных индексов требуется конечная последовательность МОМенТОВ B-2s+l, B2s+2, ■ • ■ 1 В-1

Полные доказательства вместе с явными формулами для вычисления факторизационных множителей появились в 1980 г. в практически недоступной для широкого круга читателей статье [131], выполненной в виде технического отчета Тель-Авивского университета. Авторы отмечают, что отчет носит предварительный характер (это видно по довольно многочисленным огрехам; так, например, в формулировках основных теорем 3.1 и 3.6 присутствуют неопределенные величины qo, Wo), но окончательной публикации похоже не последовало, так как в своих дальнейших работах они ссылаются именно на эту статью. (Отметим, что работы [130, 131] были малоизвестны в бывшем СССР. Они не реферировались в РЖМат, не были отмечены даже в энциклопедической монографии по этому вопросу [142]. Автор данной работы ознакомился с полными доказательствами по работе [131] благодаря любезности проф. М.А. Кашука в 1990 г. уже после окончания собственных исследований в этой области.) Другим способом формулы для частных индексов матричных многочленов были получены в [129], [5], [6], [9].

В отчете [131] был предложен также способ явного вычисления левых частных индексов для аналитической в области и непрерывной в замкнутой области матрицы-функции А(Х). Индексы вычисляются (см. теорему 4.1 в цитированной работе) в терминах рангов блочных ганкеле-вых матриц

Я, 1 В2 ••• В-» ^

В-2 з . В^-1

V В-з В-з~ 1 • • • В)

7 = 1,2

Здесь V - любое натуральное число, которое не меньше числа к, нулей (Ы А(\), В- моменты матрицы-функции Л-1(£), а и) - любое натуральное число такое, что ранги матриц Н.^ и 1 совпадают.

Однако, эти результаты вряд ли могут рассматриваться как явные. Приведем основные возражения к предложенному доказательству.

Первое возражение касается класса рассматриваемых авторами матриц-функций. В начале доказательства утверждается, что теорему достаточно доказать для матрицы-функции, аналитической в области и на контуре Г, для чего нужно лишь слегка продеформировать контур Г внутрь области При этом неявно предполагается, что частные индексы будут устойчивыми при малой деформации контура. В скалярном случае это действительно так [103]. Однако в матричном случае этот вопрос не исследован. Авторы не приводят ни доказательства устойчивости, ни ссылок на работы, где это сделано. По этой причине их дальнейшие рассуждения должны быть отнесены только к классу матриц-функций, аналитических в замкнутой области П+.

Второе возражение значительно серьезнее. Доказательство теоремы 4.1 основано на сведении ее к теореме 3.1. Для этого используется аппроксимации и интерполяции аналитической в матрицы-функции А (А) некоторым матричным многочленом М(Л). Этот многочлен строится таким образом, чтобы используемые моменты для Л1(Л) и М-1(А) совпадали. Утверждается, что факторизационные индексы Л(А) и М{А) также совпадают и потому достаточно применить теорему 3.1. Явной формулы для многочлена М(А) не предъявлено, но она, кажется, и не нужна. Однако, для применения теоремы 3.1 необходимо знать степень 5 многочлена М{А), поскольку она дважды используется в этой теореме: в количестве столбцов матриц и в количестве матриц ННикаких аргументов в пользу того, что первый раз вместо з можно взять любое V > к, а второй раз эту степень заменить на к; в работе не приводится. Варианта теоремы 3.1, в котором бы использовались числа 1/ и и] также нет. Если в теореме 3.1 степень 5 может считаться формальной (указаний на это в работе нет), то действительно вместо 5 можно взять но при условии, что к > degM(X). Поскольку многочлен М{А) явно не построен и нет никаких оценок его степени, то ясно, что это условие нельзя проверить, и потому теорема 4.1 не дает явного решения задачи.

В заключение отметим еще работы В.И. Новокшенова [74], А.Р. Итса и В.И. Новокшенова [53], А.Б. Лебрэ [141], 3. Пресдорфа и Ф.-О. Опека [146], в которых для некоторых специальных классов матриц-функций удалось вычислить частные индексы или построить каноническую факторизацию.

Подведем итог обзора литературы в этой области. Основная часть полученных результатов относится к эффективному построению факторизации. Явный метод предложен только для матричных многочленов. Наша цель в этой области предложить новый метод явного решения задачи факторизации, который был бы применим к аналитическим матрицам-функциям и матрицам-функциям, для которых факторизация явно сводится к факторизации аналитических.

0.2. Задача дробной факторизации

Дробная факторизация возникла и имеет основные применения в математической теории систем (теории линейных конечномерных стационарных динамических систем). Приведем некоторые элементарные сведения из этой теории в той мере, в какой это будет использоваться в нашей работе. За подробностями мы отсылаем к монографии [137], однако мы будем пользоваться удобными для нас обозначениями.

Дискретной линейной конечномерной стационарной динамической системой называется тройка матриц (А, С) размером тгхтг, пхд, р х п с элементами из С вместе с уравнениями системы Аху + Ви:1 Уз = Схг

Здесь и3 £ С9, ж,- Е Сп, у^ 6 Ср, принадлежат конечномерным комплексным пространствам, которые называются соответственно пространством входных сигналов, пространством состояний и пространством выходных сигналов.

Переходной матрицей-функцией системы (0.4) называется правильная рациональная матрица-функция (т.е. матрица, элементы которой правильные рациональные дроби) размером р х д

00 ф) = СА1~1Вг~1 = С{г1 - А)~1В. (0.5)

1=1

В матрице-функции г(г) или, что то же самое, в последовательности коэффициентов г 1, г 2,. ряда Лорана для г (г), называемых марковскими параметрами системы, содержится вся информация об отображении вход-выход.

Одной из основных задач теории таких систем является задача моделирования системы по данным вход-выход, т.е. задача построения дискретной системы (0.4), генерирующей эти данные. С формальной точки зрения задача реализации состоит в отыскании для заданной бесконечной последовательности г1,г2,.- матриц размером р х д с элементами из поля вещественных или комплексных чисел тройки матриц (А, В, С) подходящих размеров такой, что

СА^~1В — г^-, ¿ = 1,2,. . (0.6)

Эта тройка матриц называется реализацией последовательности г 1, г2, • • • • Представление (0.5) также называется реализацией г (г). Если порядок п матрицы А будет наименьшим возможным, то реализация (А, В, С)

0.4) называется минимальной. Минимальная реализация рациональной матрицы-функции всегда существует и единственна с точностью до изменения базиса в пространстве состояний системы. Размерность п минимальной реализации г (г) называется степенью МакМиллана г (г) и соответствующей системы. Она совпадает с рангом бесконечной ганкелевой матрицы, составленной из последовательности г1,г2,. . Хорошо известен классический алгоритм Хо решения этой задачи реализации [54]. Этот алгоритм требует априорного знания степени МакМиллана и основан на приведении конечных блочных ганке левых матриц, составленных из марковских параметров системы, к диагональному виду.

С другой стороны, известно, что задачу минимальной реализации можно решить, если известна так называемая взаимно простая дробная факторизации г (г). Дробная факторизация г (г) - это естественное обобщение на матричный случай представления рациональной дроби в виде отношения двух многочленов.

Определение 0.1. Левой взаимно простой дробной факторизацией правильной рациональной матрицы-функции г (г) называется ее представление в виде ф) = (0.7)

Здесь - взаимно простые слева матричные многочлены от х и Де,(2) - несингулярный (т.е. detDL(z) ф 0) матричный многочлен.

Взаимная простота слева матричных многочленов АТ1(г) означает, что эти многочлены имеют в качестве общих левых полиномиальных делителей только матричные многочлены с постоянным ненулевым определителем (унимодулярные матричные многочлены). Условие взаимной простоты Оь(г), Мь(г), как известно, равносильно разрешимости следующего матричного левого уравнения Везу

Дьфгэд + АШУьМ = Гр- (о-»)

Здесь иь{х) и Уь(г) - матричные многочлены от 2.

Подобным образом определяется правая взаимно простая дробная факторизация г (г): г(2) = Кн(г)П-\2), (0.9) где Nr(z),Dr(z) - взаимно простые справа матричные многочлены, DR(z) - несингулярный р х р матричный многочлен. Условие взаимной простоты справа Nr(z) и Dr(z) равносильно разрешимости матричного правого уравнения Безу

Ur(z)Dr{z) + VR{z)NR{z) = (0.10) где UR(z) и VR(z) - матричные многочлены от z.

Известно, что любая правильная рациональная матрица-функция допускает представления (0.7), (0.9). Алгоритм эффективного построения этой факторизации и одновременного решения соответствующих уравнений Безу (0.8), (0.10) с помощью элементарных строчных (столбцовых) операций над полиномиальными матрицами см., например, в книге [139].

Обычно на знаменатели дробных факторизаций помимо несингулярности налагаются дополнительные условия. Сформулируем их.

Хорошо известно [137], что для любого несингулярного матричного многочлена L(z) существует унимодулярный матричный многочлен S(z) такой, что

L{z) = S(z)L(z) имеет правильную по строкам форму. Последнее означает, что постоянная матрица Lro";, составленная из коэффициентов при старшей степени каждой строки L{z), является обратимой матрицей. Поэтому, умножая, если это необходимо, числитель и знаменатель в левой дробной факторизации на подходящий унимодулярный многочлен S(z), мы можем считать, что знаменатель в представлении (0.7) имеет правильную по строкам форму, причем степени строк Aj матричного многочлена DL(z) упорядочены по убыванию. Ясно, что такое домножение не нарушает взаимной простоты слева факторизационных множителей.

В теории систем показано, что строчные степени Ai,., Хр правильного по строкам знаменателя в дробной факторизации (0.7) однозначно определяются r{z). Они называются левыми минимальными индексами или левыми индексами Кронекера матрицы-функции r(z). Если r(z) является переходной матрицей-функцией линейной стационарной конечномерной системы и тройка (Л, В, С) является любой минимальной реализацией этой системы, то строчные степени Ai,.,Ap являются индексами наблюдаемости пары (А, С). Сумма 6 этих степеней совпадает со степенью Мак-Миллана r(z). Легко видеть, что 5 совпадает со степенью определителя знаменателя DL(z) из левой дробной факторизации r{z).

Аналогичным образом знаменатель DR(z) правой дробной факторизации r(z) может быть приведен в правильную по столбцам форму, причем столбцовые степени pj можно считать упорядоченными по возрастанию. Обратимую матрицу, составленную из старших коэффициентов столбцов Dr(z), будем обозначать Dc°l. Числа р\,., рч называются правыми минимальными индексами или правыми индексами Кронекера матрицы-функции r(z). Они также являются индексами управляемости пары (Д В). Их сумма совпадает с степенью det DR(z) и равна S.

Оказывается, что знаменатели DL(z), DR(z) могут быть приведены к форме, которая является одновременно правильной и по строкам, и по столбцам. Это форма знаменателей называется формой Попова или полиномиально-эшелонной формой. Алгоритм приведения матричного многочлена к такой форме описан в [137, раздел 6.7.2]. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем предполагать, что знаменатели дробных факторизаций взяты в форме правильной и по строкам, и по столбцам.

Легко показать, что для любых взаимно простых дробных факторизаций r(z) все нули det DL(z) и det DR(z) являются полюсами r(z) и наоборот. В частности, если r(z) - аналитическая в z = 0 рациональная матрица-функция, то знаменатели DL(z) и DR(z) обратимы в точке z = 0. Отметим, что кратность полюса может быть меньше, чем кратность соответствующего нуля.

П. Фурману и Дж. Уиллемсу [127] принадлежит простое наблюдение, что столбцовые степени pj, j = l,.,q, знаменателя Dn(z) правильного по столбцам являются факторизационными индексами в левой факторизации Винера - Хопфа матричного многочлена DR(z) относительно любого контура Г, лежащего во внешности круга достаточно большого радиуса (левыми частными индексами на бесконечности по их терминологии). Аналогично, строчные степени Aj, j = 1,. .р. знаменателя DL(z) правильного по строкам являются правыми частными индексами на бесконечности этого матричного многочлена. Таким образом, имеется определенная связь между дробными факторизациями и факторизациями Винера - Хоп-фа. Кроме того, X. Бартом, И. Гохбергом и М.А. Кашуком [121] построена факторизация Винера - Хопфа рациональной матрицы-функции \¥(г) такой, что ТГ(оо) = /, в терминах реализации переходной матрицы-функции г (г) = — I. Эти результаты носят эффективный характер.

В нашей работе дробные факторизации будут играть очень важную роль, но не сами по себе, а как инструмент для получения явной факторизации Винера - Хопфа и для исследования сходимости аппроксимаций Паде. По этой причине для нас будут актуальны следующие задачи: указать явный способ построения дробных факторизаций и установить связь между дробными факторизациями и факторизациями Винера - Хопфа.

0.3. Аппроксимации Паде

Рациональные функции как аппарат приближения широко используются как в теоретической математике, так и в прикладных исследованиях. В последние десятилетия значительно вырос интерес к рациональным приближениям со свободными полюсами, в частности, к аппроксимациям Паде. Основные преимущества таких аппроксимаций заключаются в том, что они осуществляют эффективное аналитическое продолжение функции, заданной локально, и позволяют распознавать особенности аналитических функций. Аппроксимации Паде являются локально наилучшими рациональными аппроксимациями. Построение наилучших рациональных приближений является чрезвычайно сложной задачей, явных формул не существует, имеются лишь алгоритмы приближенного решения. Для аппроксимаций Паде есть как явные формулы, так и хорошо разработанные приближенные методы их нахождения. Вышеуказанные преимущества аппроксимаций Паде, вместе с простотой их построения, и обусловили их разнообразные применения в теории приближений, теории чисел, теории операторов, численном анализе [23, 25, 27, 72, 99].

Обзор состояния исследований в той области аппроксимаций Паде, которая представляет для нас интерес, мы начнем с напоминания классических определений в скалярном случае. Аппроксимации Паде могут быть определены в любой конечной точке и в бесконечно удаленной точке. Мы ограничимся рассмотрением аппроксимаций Паде в нуле. Начнем с формальной теории этих аппроксимаций.

00

Определение 0.2. (Фробениус, [27]) Пусть a(z) = Yhaiz\ a>i е С, г=о формальный) степенной ряд. Классической аппроксимацией Паде типа (п,т) для ряда a(z) называется рациональная функция 7гП)ТО(^) = | такая, что многочлены Pn,m{z) и Qn,m{z) удовлетворяют условиям:

1■ Яп,т{г)Ф 0, degQn,m(z) < т,

2. deg Pn,m(z)<n,

3. a{z)Qn,m(z) - Рщт(г) = ö(zn+m+1), z 0.

Легко видеть, что для нахождения коэффициентов qo,. ,qm знаменателя Qn,m(z) надо решить следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений с теплицевой матрицей размером га х (т + 1): п . „ „ . \ /?0 \ /0\

41 О ап+1 0"П «п+2 О-п+1

0"п—т+1 0>п—тп-|-2

У 0"п+т 0"п+т-1 • • • ап } \ Чт } \ 0 /

Максимально возможный порядок п + т, касания и выбирался таким образом, чтобы система всегда имела ненулевое решение.) После этого многочлен Рп,т(х) легко находится из условия 3. Таким образом, аппроксимация Паде типа (п, т) всегда существует. Так как ранг матрицы системы может быть меньше га, многочлен С}п,т{2)-, а значит и Рп,т{г), находится вообще говоря не единственным образом. Несмотря на это, легко показать, что дробь тгщгп{х) условиями 1-3 определяется однозначно. Эти рациональные дроби принято располагать в виде таблицы т=0 г , которая называется таблицей Паде ряда а^). Аппроксимации Паде тхп.т{^) при фиксированном т образуют ш-ю строку таблицы Паде.

Из условия 3 также следует, что а(г) — — <9(1г71+т<5п'т+1), г ^ О, где ¿щт > 0 - индекс дефекта аппроксимации типа (п, т), который, вообще говоря, не равен нулю, т.е. порядок касания ттгит(г) и а(г) может быть меньше чем п + т. В монографии [27] это рассматривается как один из недостатков классического определения и для его устранения Дж. Бейке-ром добавлено дополнительное условие, которое обеспечивает максимально возможный порядок касания 7гп>т(2) с а(г) в г = 0.

Определение 0.3. (Бейкер, [27]) Если многочлен €}п,т{%) дополнительно удовлетворяет условию

4а. 0)^0, то рациональная дробь 7Тп^т(г) называется аппроксимацией Паде - Бей-кера типа (п,т).

Ясно, что в этом случае дП)ГП = 0. Однако, аппроксимация Паде - Бей-кера приобретает другой недостаток - она не всегда существует. Достаточным условием существования аппроксимации Паде - Бейкера является условие неравенства нулю определителя Адамара

Дга,т-1 = II || г = п,п + 1,., п +т - 1 • з = 0,1,. .,т- 1

Более существенным недостатком классического определения и определения Бейкера является то, что, хотя дробь тгп^т(г) находится однозначно, многочлены Рп?т(г) и С}п,т(г) условиями 1-3 определяется неединственным образом.

Для того, чтобы знаменатель С2П)ГП(г) был единственным с точностью до постоянного множителя, многие авторы к условиям 1-3 классического определения добавляют требование, чтобы знаменатель имел наименьшую возможную степень.

Определение 0.4. ([72], [123]) Если многочлен удовлетворяет дополнительному условию

4■ имеет минимальную степень, то рациональную дробь тгщгп(г) будем называть аппроксимацией Паде типа (п, т).

Именно это определение мы будем использовать в дальнейшем. Мы увидим, что условие 4 и приведет естественным образом к появлению существенных многочленов в теории аппроксимаций Паде. Отметим, что все вышеприведенные уточнения классического определения имеют смысл в случае, когда индекс (п, га) не является нормальным, т.е. когда некоторые из определителей Адамара Au+ljmi, Дга)ТО, AU!TOi обращаются в нуль. В случае же общего положения можно ограничиться классическим определением, так как тогда все индексы нормальны и deg Рп,т — п, deg Qn%m — ^ нормированный знаменатель Qn.m находится единственным образом, а порядок касания не ниже п Л- т. Однако наш подход к аппроксимациям Паде на основе существенных многочленов полезен не только для формальной теории аппроксимаций Паде, но и для теории их сходимости.

Перейдем к обзору результатов о равномерной сходимости строк таблицы Паде. Нас будут интересовать только так называемые прямые теоремы, т.е. теоремы, в которых на основании известной информации об аппроксимируемой функции делаются выводы о сходимости аппроксимаций Паде. Что же касается глубоких результатов обратного характера, полученных в основном школой A.A. Гончара, то мы отсылаем к таким работам как [39, 90, 93], где можно найти дальнейшие ссылки.

Исторически первый результат о сходимости строк таблицы Паде принадлежит Монтессу де Болору и был получен в 1902 году (см., например, [27]). Приведем формулировку этого результата в форме, удобной для нас.

Теорема 0.1. (Монтессу де Болор) Пусть функция a(z) мероморфна в круге \z\ < R и имеет там ровно X полюсов с учетом их кратностей. Пусть D(z) - многочлен степени X с единичным старшим коэффициентом, корни которого совпадают с полюсами a(z). Тогда:

1. Для всех достаточно больших п знаменатели Qn,x(z) аппроксимации Паде 7Tnj\(z) типа (п, А) имеют степень А. Если их нормировать условием, что старший коэффициент равен 1, то существует lim Qn,x{z) = D(z). п—»oo

2. На любом компакте К, лежащем в круге \z\ < R и не содержащем полюсов a(z), существует равномерный предел lim 7гП)а(z) = a(z). га-» оо

Таким образом, в условиях теоремы Монтессу де Болора полюсы аппроксимаций Паде тХщх(г) стремятся к полюсам 0.(2), причем каждый полюс а^) "притягивает" столько полюсов какова его кратность. Предельные точки множества полюсов тг^д^) - это полюсы й(-г), т.е. "лишних" предельных точек не появляется. Это идеальная ситуация. Известно, что помимо строки с номером А это осуществляется еще в некоторых случаях. А. Сиди [148] получил достаточные условия для сходимости некоторых промежуточных строк таблицы Паде. Чтобы описать эти результаты, введем необходимые обозначения.

Пусть а(2) - функция, мероморфная в круге Дд = € С \г\ < /21 и аналитичная в начале координат. Пусть ,., z^ - ее различные полюсы кратностей $1,., эе, соответственно, и пусть А = 51 + . + в£ - число ее полюсов в Предположим, что р = \г\\ = . = \zll\ > > . > \г(\.

Полюсы г\,. максимального модуля упорядочим таким образом, что 51 > . • • > вц. Если т = ^=1 (т = т0 по теореме Монтессу

7гп>т(г) сходится к а(г) равномерно на любом компактном подмножестве множества Вк \ ., 2£) (йр \ Если

Sj,

Г sj < т < ]Г

3=ц-\-1 j=l то 77г-я строка таблицы Паде называется промежуточной строкой. В [148] показано, что lim^oo Qn,m(z)

И НШ/г—>оо Т^п.т (z) для т-й промежуточной строки существуют, если имеется единственное решение следующей целочисленной задачи программирования: максимизировать ^2(sj<Jj — о]) по (<ji, . ,<тм) (0-11)

3=1 при условии 1 °з ~ sj-> пРичем 0 < (7:¡ < Sj, dj - целые числа.

В частности, легко видеть, что для т = sj ~ 1 (для последней промежуточной строки) единственное решение задачи (0.11) существует тогда и только тогда, когда s 1 > 52. Поэтому, если функция a(z) имеет только один полюс максимальной кратности среди всех полюсов максимального модуля, то существуют Нт^«, Qn,m[z) и Ит^ю Trn¿-i(z).

В работе X. Лю и Е.Б. Саффа [144], была исследована сходимость промежуточных строк таблицы Уолша - аналога таблицы Паде для наилучших рациональных аппроксимаций мероморфной функции. Авторы получили также критерий единственности и явные формулы для единственного решения задачи (0.11).

Для промежуточных строк, не удовлетворяющих критерию единственности ("плохие" промежуточные строки по терминологии X. Лю и Е.Б. Саф-фа) X. Лю [143, § 5] привел пример, демонстрирующий сложное предельное поведение аппроксимаций Паде. Он исследовал асимптотическое поведение полюсов irn,i(z) для функции, имеющей точно два различных полюса на единичной окружности. Оказалось, что множество предельных точек нулей Qn,i{z) может заполнять некоторую дугу окружности в области \z\ < 1.

К сожалению, в общем случае асимптотическое поведение полюсов аппроксимаций Паде тгп,m(z) может быть очень запутанным. В книге [27] приведен пример, принадлежащий О. Перрону, целой функции, для которой множество полюсов 7гпд(г) всюду плотно в комплексной плоскости. Таким образом в этом примере множество предельных точек полюсов аппроксимаций Паде совпадает со всей комплексной плоскостью, причем оно состоит только из "лишних" точек, т.е. из предельных точек, которые не совпадают с особенностями аппроксимируемой функции. В англоязычной литературе такие точки иногда называют "spurious". Ясно, что сколь-нибудь полная теория равномерной сходимости не может быть построена без описания множества "лишних" предельных точек. Однако это чрезвычайно сложная задача и в настоящее время в данной области имеются только отдельные результаты. Полного описания множества предельных точек полюсов, кроме описанных выше случаев, нет ни для одной строки.

Для диагональных последовательностей аппроксимаций Паде в задаче описания "лишних" предельных точек результатов значительно больше благодаря, в основном, работам A.A. Гончара, Е.А. Рахманова и С.П. Су-етина. В работе [38] была сформулирована следующая Задача (Гончар A.A.). Ответить на вопрос о том, как влияет на сходимость аппроксимаций Паде переход от аналитической функции b(z) к мероморфной функции a(z) = b(z) -hr(z), где r(z) - рациональная функция.

Там же отмечено, что в общем случае задача не поддается анализу ввиду того, что конструкция аппроксимаций Паде является нелинейной.

Однако, если b(z) является марковской функцией конечной положительной борелевской меры с носителем, компактно принадлежащем вещественной оси, то, при некоторых ограничениях на меру, A.A. Гончаром эта задача была полностью исследована [38]. При r{z) = 0 имеется теорема о равномерной сходимости последовательности аппроксимаций Паде в окрестности бесконечности для b(z) - это классическая теорема Маркова (см., например, [72]). Добавление рациональной функции r(z) можно рассматривать, как своего рода возмущение b(z). Оказалось, что, если носитель меры есть отрезок вещественной оси и производная меры относительно меры Лебега положительна почти всюду на этом отрезке, а r(z) не имеет полюсов на нем, то каждый полюс a(z) в D "притягивает" столько полюсов аппроксимаций Паде 7rn(z), какова его кратность; остальные полюсы 7rn(z) "притягиваются" отрезком Л.

В условиях теоремы Маркова все полюсы 7rn(z) принадлежат к минимальному отрезку А вещественной оси, содержащему носитель меры. Если этот носитель состоит из нескольких отрезков, то известно, что предельные точки множества полюсов диагональных аппроксимаций Паде для b(z) могут принадлежать лакунам между отрезками. Более того, при выполнении некоторых условий "общего положения" (подробнее см. [91, 93]) множество предельных точек совпадает с А.

Е.А. Рахманов показал [81], что теорема Гончара остается справедливой, если снять ограничение на меру, но наложить условие вещественности коэффициентов r(z). Для комплексных возмущений r(z) ситуация значительно сложнее. Подробно был исследован случай, когда носитель меры Sß состоит из двух непересекающихся отрезков Ei и Е<2. Оказалось, что множество дополнительных предельных точек полюсов аппроксимаций Паде либо совпадает с Ei U Е2 U Г, где Г - аналитическая дуга, которая зависит только от Ei U 1?2 и полюсов г (z) и концы которой принадлежат отрезкам Ei, Е2: либо предельные точки множества полюсов ^rn(z) совпадают с полюсами r(z) или лежат на EiöE2 и лишь конечное число предельных точек лежит на дуге Г. Это направление исследования множества "лишних" предельных точек для диагональных аппроксимаций Паде в настоящее время продолжает интенсивно развиваться в работах С. П. Суетина [92] - [94], [41].

Отметим важную особенность данных исследований. В них для изучения асимптотических свойств знаменателей аппроксимаций Паде используется специальная краевая задача Римана на римановой поверхности. Этот подход берет начало в работах Н.И. Ахиезера, а затем был существенно развит Дж. Наттолом и С. П. Суетиным (подробности см. в [41]).

Вернемся к рассмотрению строчных последовательностей. Для функции из примера Перрона последовательность 7гn,i{z) не может сходиться ни в каком открытом множестве. В такой ситуации приходится ограничиваться изучением сходимости подпоследовательностей аппроксимаций Паде. После того, как в 1968 г. А. Бирдоном было показано, что в первой строке таблицы Паде для аналитической функции а(z) содержится подпоследовательность равномерно сходящаяся к a(z) (см., например, [27], стр. 232), Дж. Бейкером и П. Грейвс-Моррисом была высказана гипотеза, что это справедливо для любой строки таблицы Паде мероморфной функции. Сформулируем гипотезу более точно.

Пусть Dm = {z £ С \z\ < Rm} - круг т-мероморфности функции a(z), т.е. максимальный открытый круг с центром в нуле, в который a(z) продолжается как мероморфная функция, имеющая не более т полюсов. Тогда предполагается, справедливость следующей гипотезы. Гипотеза (Бейкер - Грейвс-Моррис). Для любых a(z) и т существует подпоследовательность 7in^m(z), п £ Л С N, т-й строки таблицы Паде для a{z), равномерно сходящаяся к a(z) на компактах, принадлежащих Dm и не содержащих полюсов a(z).

Оказалось, что в такой постановке гипотеза неверна. В.И. Буслаевым, A.A. Гончаром и С.П. Суетиным [29] показано, что она справедлива для всех мероморфных функций при Rm — оо. В общем же случае предположение неверно, как показывает следующий контрпример В.И. Буслаева, приведенный в этой работе.

Пусть a(z) = Тогда Rq = R2 = 1 и при т = 2 полюсы £„, аппрок

-ГТ / 1 ^ V3 симаций Паде irn,2{z) легко вычисляются: (п —-— при п = 0(mod3),

2д/2

1 ± 3 —1 ± 3 п ~ —— при п = l(mod3), и (п = —¡7=— при п = 2(mod3). Таким

2у2 V 2 образом, при любом п функция TTn^{z) имеет хотя бы один полюс, модуль которого не превосходит -щ. Поэтому не существует подпоследовательностей 71*^2(2), равномерно сходящихся в круге \z\ < компактно принадлежащем Dq = D2 = ^z |;zj < lj. Аналогичные примеры были построены В.И. Буслаевым для любого т > 1.

В вышеупомянутой статье [29] показано, что имеет место ослабленный вариант гипотезы Бейкера и Грейвс-Морриса с заменой круга \z\ < Rm на круг \z\ < CmRm, где 0 < ст < 1 - константа, зависящая только от т. Задача о вычислении этой константы или о как можно более точной ее оценке, а также задача описания класса функций, для которых предположение Бейкера и Грейвс-Морриса выполняется, пока еще не решены.

Тем более ни для одной строки таблицы Паде мероморфной функции (кроме строки с номером Л, соответствующей теореме Монтессу де Бо-лора) нет полной теории сходимости. Под полной теорией мы понимаем теорию, которая позволяла бы явно в терминах аппроксимируемой функции находить все сходящиеся подпоследовательности 7гn>m(z) для данной строки и определять открытые множества, внутри которых имеет место равномерная сходимость всей строки. Ясно, что для этого необходимо найти все частичные пределы для последовательности знаменателей Qn,m{z), т.е. найти все предельные точки множества полюсов фунций тгn,m(z). Как уже выше отмечалось, это трудная задача и на первый взгляд кажется, что построение такой теории вряд ли возможно. Однако в диссертации мы покажем, что по крайней мере для одной строки (последней промежуточной строки) такая теория действительно существует.

Отметим, что при построении полной теории сходимости для данной строки, мы решим задачу A.A. Гончара для этой строки. Но в нашем случае, в отличии от работ A.A. Гончара, Е.А. Рахманова и С.П. Суетина, естественно считать аналитическую функцию b(z) возмущением r(z), поскольку картина сходимости полностью определяется арифметической природой полюсов r(z).

Перейдем теперь к обзору теории матричных аппроксимаций Паде.

00

Пусть а(z) = J2aiz\ ai £ Cpxq, - степенной ряд с матричными коэфi=о фициентами. Аппроксимации Паде таких матричных рядов представляют большой интерес в связи с многочисленными применениями. Эти применения в основном относятся к теоретической физике [27], особенно к ядерной физике и физике элементарных частиц; в математической теории систем задача минимальной частичной реализации эквивалентна задаче построения матричных аппроксимаций Паде в бесконечно удаленной точке [54]; в численном анализе матричные аппроксимации Паде используются для ускорения медленно сходящихся векторных и матричных последовательностей [27, часть 2, §1.5].

Формальный перенос классического определения аппроксимаций Паде и определения Бейкера на матричный случай не представляет труда и был проделан в ряде работ (см., например, [151]). Некоммутативность умножения особых проблем не доставляет и приводит лишь к необходимости различать правые и левые аппроксимации Паде. Принципиальным отличием от скалярного случая является то, что для р ф д классическая аппроксимация Паде (в смысле Фробениуса) не всегда существует, поскольку соответствующая однородная система для определения знаменателя С?п1т(г) может не иметь ненулевого решения. Однако, если правая и левая аппроксимации Паде типа (п, т) существуют, то они единственны и совпадают. Матричная аппроксимация Паде в смысле Бейкера может не существовать и в случае р = д. Необходимые и достаточные условия ее существования и единственности получены в [150, 151].

В вышеприведенных работах при определении аппроксимации Паде использовалась только одна степень - степень матричного многочлена. Это означает, что все элементы числителя Рп,т{%) и знаменателя рассматривались как скалярные многочлены одной и той же формальной степени п или тп, соответственно. Другой крайний случай - когда все элементы этих матриц имеют индивидуальную степень - осуществляется в определении совместных аппроксимаций Паде (см., например, [72]).

Разумный компромисс между этими двумя крайними случаями был предложен в работе А. Бултхила и М. ван Барела [123], в которой предлагалось фиксировать степени строк (или столбцов) матричных многочленов и В ней подробно изучен матричный алгоритм Евклида для получения аппроксимаций Паде, расположенных на антидиагоналях таблицы Паде.

Определение, которое будет предложено в нашей работе, близко (но не тождественно) определению А. Бултхила и М. ван Барела.

Перейдем к вопросу о связи между аппроксимациями Паде и задачей факторизации Винера - Хопфа (краевой задачи Римана). Для одного частного случая (для ортогональных многочленов) такая связь была установлена в работе [96]. Как мы уже ранее отмечали, она была использована как инструмент исследования сходимости аппроксимаций Паде и асимптотики ортогональных многочленов (см., например, [23, 91, 41]). В случае аппроксимаций Паде явно эта связь еще не сформулирована. Формальная аналогия между аппроксимациями Паде и краевой задачей Римана усматривается сразу же: нужно условие 3 классического определения 0.2 переписать в виде a(z)Qntm(z) = Pn,m{z) (mod zn+m) , где равенство по модулю zn+m означает совпадение коэффициентов при 1, z,., zn+m. Таким образом, задачу нахождения пары (Pn,m(z), Qn,m(z)) можно рассматривать как конечномерный аналог однородной векторной краевой задачи Римана. При определении матричных аппроксимаций Паде мы будем иметь в виду эту аналогию. В разделе 5.1 мы определим матричные аппроксимации Паде с помощью канонической системы решений некоторой задачи векторной аппроксимации. Эта каноническая системы будет полным аналогом канонической системы краевой задачи Римана. Более того, формальная аналогия имеет на самом деле глубокие корни, поскольку оказывается, что задача аппроксимации Паде является частным случаем краевой задачи Римана с матрицей блочно-треугольного вида, что до сих пор не было известно. Одной из наших задач будет установить это.

Что касается теории сходимости матричных аппроксимаций Паде, то в этом направлении почти нет результатов. Отметим результат А.И. Апте-карева [24], который в связи с исследованием асимптотики матричных ортогональных многочленов доказал матричный аналог теоремы Маркова. Этот результат относится к диагональной последовательности аппроксимаций Паде (в бесконечно удаленной точке). Имеются аналоги теоремы Монтессу для совместных аппроксимаций Паде и для векторнозначных аппроксимаций Паде [134, 133]. Других результатов по сходимости строчных последовательностей нет. В частности, пока не получен матричный аналог теоремы Монтессу де Болора - центральной теоремы в теории равномерной сходимости строчных последовательностей.

0.4. Теплицевы и ганкелевы операторы и матрицы

Определение существенных многочленов возникнет в процессе изучения структуры ядра блочных теплицевых матриц. Поэтому такое изучение будет первоочередной задачей нашего исследования. Кроме того, в теории сходимости аппроксимаций Паде мы будем использовать формулы обращения и обобщенного обращения блочных теплицевых матриц. Получение таких формул - наша вторая задача. Эти две задачи и определяют тот круг результатов, которые представляют для нас интерес в данном разделе обзора. Мы часто будем рассматривать конечные блочные теплицевы матрицы как конечные усечения теплицевых операторов с матричным символом. Напомним основные определения и введем обозначения. Через Wpxq мы обозначим множество р х q матриц с элементами из алгебры Вине

00 ра W. Если a(t) £ Wpxq, то a{t) = J2 «ktk, ak £ Cpxq, |£| = 1, где k~—oc

00 a&| < со. Здесь | • | - любая норма на множестве Cpxq всех матриц к=—оо размером р х q. Через Wpxq(Q), где il С Z, обозначим подпространство Wpxq, состоящее из матриц-функций вида a{t) = Yhk^çi aktk, = 1- Для краткости мы будем использовать обозначение W±xq для Wpxq{Z±), где Z± есть множество всех неотрицательных/неположительных целых чисел. Очевидно, что матрицы-функции из W+Xg (Wixq) являются аналитическими в D+ = {z £ С \z\ < 1} (D- = {zeCU {оо} \z\ > 1}).

Через Egxi мы будем обозначать любое из следующих банаховых пространств двусторонних бесконечных последовательностей (%к G Cqxl): lsgxl( 1 < s < оо), с°х1, cqxi, mqxl. Пусть Eqxi(fi) (Q С Z) - подпространство Egxi, состоящее из последовательностей для которых Хк = 0, если Очевидно, что Eqxi = Eqxi(Z+)+Eqxi(Z*L). Здесь ZI -множество всех отрицательных целых чисел.

Пусть Q+ - проектор из Eqxi на Eqxi(Z+) параллельно EqKi(ZI) и - дополнительный проектор. Аналогично, обозначим Р+ проектор из Ерх\ на Ерх параллельно и Р дополнительный проектор. Если ак£к € \¥рх<1, то мы будем использовать обозначение а для оператора свертки, действующего из ЕЧУ \ в ЕруЛ по формуле:

00 ах)( = г <ЕЪ. з=-ос

Напомним определение теплицева оператора. Оператор Теплица (или дискретный оператор Винера - Хопфа) с символом а(£) е ]Урхд определяется следующим образом:

Eqx i(Z+),

0.12)

Та = Р+а£+ то есть, = ХЗ^о а1-зх]1 ¿ = 0,1,2,. . Таким образом, оператор

Та из Едхв ЕРуl(Z+) определяется бесконечной блочной теплицевой матрицей а0 а1 а2

31 ао а1 а-2 «4 ао

V : У

Как известно [45], для теплицева оператора имеется следующее свойство частичной мультипликативности:

ЧГаа+ = ТаТа+, ТГаа = ТаТа. (0.13)

Здесь a+{t) G Wq+X\ a.(t) G Wlxp.

Мы будем также использовать оператор Винера - Хопфа относительно пространства Eqxi(Z*) : Т'а = P-âQ- Eqx\(Ъ*). Для таких операторов справедливо т^ = тг;х, т;+а = т^т;.

В разделе 3.5 мы применим результаты по дробной факторизации к обобщенному обращению ганкелевых операторов конечного ранга. Напомним определение. Оператором Ганкеля с символом a(t) G Wpxq называется оператор, действующий из Eqxi(Z+) в Ерх\{Ж*) по формуле

Еа = P-âQ

Eqx i(Z+).

Значит, = ^7=о а1-зхз-> ¿ = —1,—2,—3,.,и этот оператор определяется бесконечной блочной ганкелевой матрицей. Нам также потребуется ганкелев оператор Н^ = Е^ \{Ъ*).

Часто мы будем рассматривать конечные прямоугольные блочные те-плицевы матрицы Та = \\аг-3|| ? = 01п как конечные усечения теплицева э = 0,1,., т п оператора Та с матричным символом a(t) = ^ ajP. Это означает, что Та j=-m является матрицей конечномерного оператора Pn+iTaPTO+i ImPm+i. Здесь Pn+i = 1 — ТГ4п+1/ T^-n-ij - проектор из Epxi(X+) на первые п + 1 блочных координат. Так как блочные ганке левы матрицы получаются из блочных теплицевых перестановкой блочных строк и столбцев, в дальнейшем мы ограничиваемся рассмотрением только класса блочных теплицевых матриц.

Основной задачей в теории (блочных) теплицевых матриц является задача их обращения. Дело в том, что учет специфики теплицевой матрицы позволяет резко снизить вычислительные затраты на обращение таких матриц. Если для нахождения обратной к матрице порядка п общего вида требуется решить п систем со специальными правыми частями, то для теплицевых матриц достаточно двух систем. Эти системы можно выбирать многими способами и существует огромное количество работ, в которых предлагаются разные методы обращения. Мы упомянем только основные из них. За подробностями можно обратится к обстоятельному обзору [32].

В первых работах на эту тему речь шла о восстановлении при определенных условиях обратной к теплицевой матрицы по ее первому и последнему столбцу. Вначале на обращаемую матрицу были наложены лишние дополнительные условия и доказательства использовали не только алгебраические аргументы. Этот этап связан с именами Г.Бэкстера, И.Хиршмана и И.Ц.Гохберга, A.A. Семенцула (см., например, [45]). В дальнейшем лишние дополнительные условия были сняты и дано чисто алгебраическое доказательство формулы обращения, получившей название формулы Гохберга -Семенцула (см., например, [52]).

При определенных дополнительных условиях обратную матрицу можно найти и по ее первому и второму столбцу (формула Гохберга - Крупника [52]). Простые примеры показывают, что без дополнительных условий обратная матрица не может быть восстановлена по каким-либо двум ее столбцам. Чтобы получить формулу обращения произвольной теплицевой матрицы без дополнительных условий, необходимо отказаться от использования систем, определяющих столбцы обратной матрицы. Впервые это было сделано А.И. Сахновичем [83] в 1973 г. Он нашел способ обращения теплицевой матрицы по решениям двух систем со специальными правыми частями (формула Сахновича). Позже Ли-Гюн-Б1 использовал для этого более простые системы, одна из которых определяет первый столбец обратной матрицы [64] (формула Ли-Гюн-Ы). Это и есть основные формулы обращения в скалярном случае. Имеются и другие формулы обращения. Например, можно восстановить обратную матрицу без всяких дополнительных условий по трем столбцам [122].

Вышеуказанные основные формулы были обобщены и на случай блочных теплицевых матриц. При этом первоначально использовались уже не две системы, а четыре матричных системы (или 4р векторные системы, где р - порядок блоков). Так, например, формулы Гохберга - Хайнига при определенных условиях позволяют восстановить обратную к блочной теплицевой матрице по ее первым и последним блочным столбцам и строкам. В скалярном случае в силу антисимметричности теплицевой матрицы можно ограничиться только столбцами и получается формула Гохберга - Семенцула. Имеются также блочные аналоги формул Гохберга - Крупника и Сахновича (см., например, [32]). Наконец, в 1989 г. эти основные формулы были обобщены И.Ц. Гохбергом и Т. Шаломом на случай прямоугольных блоков [132]. При этом ими было показано, что для построения обратной матрицы можно ограничиться только двумя матричными системами вместо четырех.

Отметим еще работу Н.Я. Крупника и И.А. Фельдмана [59]. Хорошо известно (см. работы М.П. Ганина [33] и В.Ю. Новокшенова [74]), что исследование интегрального уравнения типа свертки на конечном интервале может быть сведено к задаче факторизации Винера - Хопфа с треугольной матрицей-функцией. Н.Я. Крупник и И.А. Фельдман впервые проделали это для теплицевых матриц, которые являются дискретными аналогоми интегральных операторов типа свертки на конечном интервале. Они показали, что теплицева матрица Тп = обратима тогда и только то t~n о \ n-1

E aktk tn имеет гда, когда треугольная матрица-функция A(t) = к=^п+1 / нулевые правые частные индексы. При этом обратная к Тп матрица строится в терминах факторизации Винера - Хопфа A(t). Факторизация матрицы-функции вида A(t) естественно возникает и в методе существенных многочленов. Далее мы обобщим результат Н.Я. Крупника и И. А. Фельдмана на случай обобщенного обращения блочных геплицевых матриц.

Имеется тесная связь между задачей обращения (блочных) теплице-вых матриц и описанием ядра этих матриц [4]. Оказывается, что всегда существует два многочлена, в терминах которых описывается ядро тепли-цевой матрицы или, в случае обратимости, ее обратная матрица. При этом получается семейство формул обращения, которое содержит все вышеупомянутые основные формулы. Указанные два многочлена называются существенными многочленами для конечной числовой последовательности, определяющей данную теплицеву матрицу. Впервые существенные многочлены были введены нами в 1982 г. в связи с задачей явного построения факторизации Винера - Хопфа треугольных матриц-функций [1]. Несколько позже (в 1984 г.) аналогичные понятия также в скалярном случае были определены Г. Хайнигом и К. Рост [136]. Случай блочных теплицевых матриц был рассмотрен нами почти одновременно со скалярным случаем в 1985 г. [2]. В этой работе мы ввели понятия индексов и существенных многочленов конечной последовательности квадратных матриц и применили их к задаче описания ядра блочных теплицевых матриц и получению семейства формул обращения. Аналогичные определения были проделаны Г. Хайнигом с соавторами значительно позднее в 1992 г. [135] в связи с задачей минимальной частичной реализации уже после того, как появились наши работы по применению метода существенных многочленов к задаче факторизации Винера - Хопфа матричных многочленов и мероморфных матриц-функций [5, 6, 107, 7].

Идея одновременного изучения структуры ядра и обращения [4] была применена A.C. Лалаяном и А. Б. Нерсесяном [61, 62] к классам матриц, являющихся обобщением теплицевых. Они ввели в этом случае понятие существеннных многочленов и применили их к обращению этих матриц.

Метод существенных многочленов может быть применен и к задаче обобщенного обращения (блочных) теплицевых матриц. Мы сделали это в скалярном случае в работе [3], независимо от несколько более ранней работы Г. Хайнига и К. Рост [136]. Блочный случай был рассмотрен нами в [111]. Эта итоговая работа по алгебраическим применениям метода существенных многочленов продемонстрировала полную аналогию между конечномерным (теплицевы матрицы) и бесконечномерным (теплицевы операторы) случаями. Поэтому можно считать, что метод существенных многочленов есть аналог метода Винера - Хопфа.

0.5. Основные нерешенные задачи

Подведем итог обзора литературы и сформулируем основные нерешенные фундаментальные задачи, которые будут исследоваться в диссертации.

1. Найти явное решение задачи факторизации Винера - Хопфа для аналитических и мероморфных матриц-функций. Под явным решением мы понимаем сведение задачи факторизации к решению конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых выписываются в замкнутой форме (в квадратурах). Число таких систем также должно быть определено заранее.

2. Построить полную теорию равномерной сходимости хотя бы для одной строки таблицы Паде мероморфной функции, отличной от строки, соответствующей теореме Монтессу де Болора. Полная теория должна включать нахождение всех предельных точек множества полюсов аппроксимаций Паде и областей, внутри которых имеет место равномерная сходимость всей строки.

3. Получить аналоги теоремы Монтессу де Болора - центральной теоремы в теории сходимости строчных последовательностей - для матричных аппроксимаций Паде.

4. Главной задачей диссертации является разработка подхода, который позволял бы единым методом решать все вышеупомянутые задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе развит новый метод исследования фактори-зационных и аппроксимационных задач для матриц-функций - метод существенных многочленов [1]-[14], [ЮТ]—[118]. Этот метод является алгебраическим обобщением метода ортогональных многочленов. Решены основные задачи, сформулированные в разделе 0.5.

Получены следующие результаты.

1. Впервые в явном виде построена факторизация Винера - Хопфа аналитических матриц-функций, впервые для этого класса матриц-функций предложен также алгоритм приближенного решения задачи факторизации Винера - Хопфа, который позволяет находить полиномиальный множитель и любое число коэффицентов Тейлора аналитического множителя в факторизации Винера-Хопфа [5]-[7], [9]-[11], [107], [113], [114], [117].

2. Впервые в явном виде построена факторизация Винера - Хопфа для различных классов матриц-функций (мероморфных; треугольных; специального вида блочно-треугольных; матриц-функций второго порядка, имеющих мероморфную строку; строго невырожденных матриц-функций с одной немероморфной строкой), факторизация которых сводится к аналитическому случаю [1], [111].

3. Предложено новое определение (матричных) аппроксимаций Паде, впервые установлена связь между задачей (матричной) аппроксимации Паде и задачей факторизации Винера - Хопфа (блочно-)треугольных матриц-функций специального вида, впервые получены аналоги теоремы Монтессу де Болора для матричных аппроксимаций Паде [12], [115], [116].

4. Впервые построена полная теория равномерной сходимости еще для одной строки таблицы Паде мероморфной функции, помимо строки, соответствующей теореме Монтессу де Болора [13], [14], [118]. Для этой строки найдены области равномерной сходимости [119]. Одновременно для данной строки решена задача A.A. Гончара, указаны достаточные условия, при которых справедлива гипотеза Бейкера и Грейвс-Морриса, и способ построения контрпримеров к ней [15, 19]. Показано, что метод может быть

286 также применен и для исследования сходимости других промежуточных строк [18].

5. В качестве дополнительных приложений метода найдены формулы обобщенного обращения блочных теплицевых матриц, ганкелевых операторов конечного ранга с рациональными матричными символами, получено семейство формул обращения блочных теплицевых матриц, которое содержит все основные хорошо известные формулы обращения, предложен новый способ явного построения дробной факторизации рациональных матриц-функций [2]-[4], [8], [10], [110]-[112], [114], [117].

1. Адуков, В.М. Факторизация треугольных матриц-функций второго порядка / В.М. Адуков; Челябинский политехи, ин-т- Челябинск, 1982.14 е.- Библиогр.: 6 назв. Деп. в ВИНИТИ 01.12.1982, №5930-82.

2. Адуков, В.М. Структура ядра и обращение блочных теплицевых матриц / В.М. Адуков; Ред. Сиб. мат. журн- Новосибирск, 1985 20 с. Библиогр.: 7 назв. Деп. в ВИНИТИ 29.12.85, №9030-В.

3. Адуков, В.М. Об индексах и существенных многочленах / В.М. Адуков // Изв. вузов. Математика- 1986.- N-6.- С.47-49.

4. Адуков, В.М. Структура ядра и обращение теплицевых и ганкелевых матриц /В.М. Адуков// Изв. вузов. Математика ~ 1986 N^7 - С.З- 8.

5. Адуков, В.М. Факторизация Винера Хопфа матричных многочленов / В.М. Адуков // Прикладные задачи математического анализа: сб. науч. тр.- Челябинск, 1986 - С.4-8.

6. Адуков, В.М. Факторизация Винера Хопфа матричных многочленов / В.М. Адуков // Тезисы докладов XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 26-30 мая 1986,- Челябинск, 1986.- С.9.

7. Адуков, В.М. Факторизация Винера Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ- 1992.- Т.4, вып. 1С. 54-74.

8. Адуков, В.М. Обобщенная обратимость теплицевых матриц/ В.М. Адуков // Вестник Челябинского университета. Сер. Математика. Механика.- 1994.- №1,- С.3-12.

9. Адуков, В.М. О факторизации Винера Хопфа матричных многочленов / В.М. Адуков // Вестник Челябинского университета. Сер. Математика. Механика. - 1996 - N-1. - С.3-14.

10. Адуков, В.М. О факторизации аналитических матриц-функций / В.М. Адуков // Теор. и машем, физика.- 1999,- Т. 118, Na3.- С.324-336.

11. Адуков, В.М. О теореме Монтессу для матричных аппроксимаций Паде / В.М. Адуков // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы "Современный анализ и его применения", Воронеж, 28 янв.-4 февр. 2000.- Воронеж, 2000.- С.38-39.

12. Адуков, В.М. О равномерной сходимости подпоследовательностей (Л — 1)-й строки таблицы Паде / В.М. Адуков // Известия Челябинского научного центра 2001.- Вып. 1- С. 3-7.

13. Адуков, В.М. О геометрии множества предельных точек полюсов (Л — 1)-й строки таблицы Паде / В.М. Адуков // Известия Челябинского научного центра 2001.- Вып. 1- С.8-11.

14. Адуков, В.М. О существовании сходящихся подпоследовательностей строки таблицы Паде для мероморфной функции /В.М. Адуков // Известия Челябинского научного центра2002- Вып. 3.- С.3-7.

15. Адуков, В.М. Матричная задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия- 2003,-Вып. 3, N-6(22).- С.20-35.

16. Адуков, В.М. Задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Весцг HAH Беларус1. Сер. Ф1згка-матэм. навук-2004,- №4,- С.55-61.

17. Адуков, В.М. Об асимтотическом поведении знаменателей аппроксимаций Паде для предпоследней промежуточной строки /В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия 2005.- Вып. 5, N-2(42).- С.3-8.

18. Адуков, В.М. Об оценке константы в теореме Буслаева Гончара -Суетина / В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия- 2005.- Вып. 6, № 6(46).- С.4-10.

19. Адуков, В.М. О структуре ядра блочных теплиц+ганке левых матриц / В.М. Адуков, О.Л. Ибряева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия 2001-Вып 1, №7(07).- С.3-12.

20. Адуков, В.М. Об асимпотическом поведении полюсов аппроксимаций Паде (А — 1)-й строки таблицы Паде / В.М. Адуков, Д.Н. Микушин // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия 2001.- Вып 1, N-7(07).- С. 13-23.

21. Аптекарев, А.И. Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочки Тода / А.И. Аптекарев // Мат. сб.- 1984,- Т.125, №2.- С.231-258.

22. Аптекарев, А.И. Асимптотика ортогональных многочленов с матричными коэффициентами / А.И. Аптекарев // М., 1988.- 28 с.-(Препринт / Акад. наук СССР. Ин-т прикл. матем. им. М.В. Келдыша; № 71.)

23. Аптекарев, А. И. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля / А.И. Аптекарев, Е.М. Никишин // Мат. сб.- 1983. -Т. 121, №3.- С.327-358.

24. Березин, И.С. Методы вычислений, Т.1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков.-М.: Физматгиз, 1962 464 с.

25. Бейкер, Дж., мл. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, мл., П. Грейвс-Моррис.- М.: Мир, 1986,- 502 с.

26. Бурбаки, Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства / Н. Бурбаки.- М.: Наука, 1969.- 392 с.

27. Буслаев, В.И. О сходимости подпоследовательностей га-й строки таблицы Паде / В.И. Буслаев, A.A. Гончар, С.П. Суетин // Мат. сб-1983.- Т. 120, №4.- С.540-545.30. ван дер Варден, Б.Л. Алгебра / Б.Л. ван дер Варден.- М.: Наука-1976,- 648 с.

28. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа.- М.: Наука, 1970.- 380 с.

29. Воеводин, В.В. Вычисления с теплицевыми матрицами / В.В. Воеводин, Б.Е. Тыртышников // Вычислительные процессы и системы. Сб. науч. тр. под редакцией Г.И. Марчука- М.: Наука, 1983 Вып. 1. -С. 124-266.

30. Ганин, М.П. Об интегральном уравнении Фредгольма с ядром, зависящим от разности аргументов / М.П. Ганин // Изв. вузов. Математика.- 1963,- №2.- С.31-43.

31. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц Ф.Р. Гантмахер- М.: ГИТТЛ, 1953492 с.

32. Г ахов, Ф.Д. Краевые задачи. / Ф.Д. Гахов.- М.: ГИФМЛ, 1963.- 640 с.

33. Гахов, Ф.Д. Краевая задача Римана для системы п пар функций / Ф.Д. Гахов // Успехи мат. наук 1952.- Т.7, вып. 4.- С.3-54.

34. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1952,- 480 с.

35. Гончар, A.A. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций / A.A. Гончар // Мат. сб.- 1975.- Т. 97, №■ 4,- С.607-629.

36. Гончар, A.A. Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций/ A.A. Гончар // Мат. сб.- 1981.- Т. 115, №4.- С.590-613.

37. Гончар, A.A. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде / A.A. Гончар // Мат. сб.~ 1982,- Т. 118, №4.- С.535-556.

38. Гончар, A.A. Об аппроксимациях Паде мероморфных функций марковского типа/ A.A. Гончар, С.П. Суетин // Соврем, пробл. математики. Мат. ин-т РАН. М- 2004,- Вып. 5,- С.3-65.

39. Гохберг, И.Ц. Задача факторизации в нормированных кольцах, функции от изометрических и симметрических операторов и сингулярные интегральные уравнения / И.Ц. Гохберг // Успехи мат. наук.- 1964.Т. 19, вып. 1,- С.71-124.

40. Гохберг, И.Ц. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящами от разности аргументов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Успехи мат. наук 1958 - Т. 13, вып. 2.- С.3-72.

41. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов / И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник.- Кишинев: Штиинца, 1973.- 427 с .

42. Гохберг, И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман М.: Наука, 1971. - 352 с.

43. Дмитриева, И.Ю. Построение конструктивной факторизации некоммутативных подстановочных матриц 2п-го порядка на плоскости / И.Ю. Дмитриева // Изв. вузов. Математика.- 1989.- №10 С.70-73.

44. Захаров, В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат. // Функц. анализ и его прил 1979 - Т. 13, вып. 3.-С. 13-22.

45. Зверович, Э.И. Построение аналогов ядра Коши и решение в замкнутой форме краевой задачи Римана для сложного контура на римановых поверхностях / Э.И. Зверович // Доклады АН СССР.- 1971,- Т. 198, №1.- С.31-34.

46. Зверович, Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гель-деровских классах на римановых поверхностях / Э.И. Зверович // Успехи мат. наук 1971- Т. 26, вып. 1- С. 113-179.

47. Зверович, Э.И. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций / Э.И. Зверович, Г.С. Литвинчук // Изв. АН СССР, сер. матем.- 1964.- Т. 28, №5.- С.1003-1036.

48. Зверович, Э.И. Задача Римана для п пар функций с матрицами подстановочного типа / Э.И. Зверович, Л.И. Померанцева // Доклады АН СССР.- 1974.- Т. 217, №1,- С.20-23.

49. Иохвидов, И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы/ И.С. Иох-видов- М.: Наука, 1974 264 с.

50. Итс, А.Р. Об эффективных достаточных условиях разрешимости обратной задачи теории монодромии для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Р. Итс, В.Ю. Новокшенов // Функц. анализ и его прил1988.- Т. 22, вып. 3 С.25-36.

51. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб М.: Мир, 1971. - 400 с.

52. Кравченко, В.Г. О частных индексах задачи Римана для пары функций / В.Г. Кравченко, A.M. Николайчук // Доклады АН СССР- 1974Т. 215, N-1.- С.53-56.

53. Крейн, М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов / М.Г. Крейн // Успехи мат. наук-1958.- Т. 13, N-5.- С.3-120.

54. Круглов, В.Е. Частные индексы, абелевы дифференциалы I рода и уравнение поверхности, заданные конечной абелевой группой подстановок / В.Е. Круглов // Сиб. мат. жури.- 1981.- Т. 22, №6.- С.87-101.

55. Круглов, В.Е. О структуре частных индексов задачи Римана с матрицами подстановочного типа / В.Е. Круглов // Мат. заметки.- 1984.Т. 35, №■ 2.- С. 169-176.

56. Крупник, Н.Я. О связи между факторизацией и обращением конечных теплицевых матриц / Н.Я. Крупник, И.А. Фельдман // Известия АН MC СР. Сер. физ-техн. и машем, наук 1985- N-3 - С. 20-26.

57. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош.- М.: Наука, 1967. 648 с.

58. Лалоян, A.C. Обращение обобщенной теплицево-ганкелевой матрицы / A.C. Лалоян // Доклады АН Армении.- 1990.- Т. 91, №5 С.195-198.

59. Лалоян A.C., Нерсесян A.B. Структура ядра и обращение некоторых обобщений теплицевых матриц / A.C. Лалоян, A.B. Нерсесян; АН Республики Армения. Ин-т Математики Ереван, 1990 - 18 е.- Библиогр. 7 назв. Деп. в АрмНИИНТИ 28.11.90. - № 53-Ар90.

60. Ландер, Ф.И. Безутианта и обращение ганкелевых и теплицевых матриц / Ф.И. Ландер // Мат. исследования 1974 - Nü2- С.69-87.

61. Ли-Гюн-Ы. Об обращенный и восстановлении теплицевой матрицы / Ли-Гюн-Ы // Мат. методы и физ.-мех. поля 1980. - Nfill. - С. 21-28.

62. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук.- М.: Паука, 1977 448 с.

63. Лопатинский, Я.Б. Разложение полиномиальной матрицы на множители / Я.Б. Лопатинский // Научн. зап. Лъвовск. политехи, ин-та. Сер. физ.-матем 1957. - Na2.- С.3-7.

64. Маркус, А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А.С. Маркус Кишинев: Штиинца, 1986. - 260 с.

65. Маркушевич, А. И. Теория аналитических функций, Т.1 /А.И. Мар-кушевич.- М.: Наука, 1967.- 488 с.

66. Моисеев, Н.Г. О факторизации матриц-функций специального вида / Н.Г. Моисеев // Доклады АН СССР.- 1989.- Т. 305, №1.- С.44-47.

67. Моррис, С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп J С. Моррис М.: Мир, 1980 - 102 с.

68. Мусхелешвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Му-схелишвили. М.: Наука, 1968 - 512 с.

69. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность / Е.М. Никишин, В.Н. Сорокин,- М.: Наука, 1988.- 256 с.

70. Николайчук, A.M. Некоторые оценки для частных индексов краевой задачи Римана / A.M. Николайчук // Укр. мат. журн 1971- Т. 23, Na 6,- С.793-798.

71. Новокшенов, В.Ю. Уравнения в свертках на конечном отрезке и факторизация эллиптических матриц / В.Ю. Новокшенов // Мат. заметки.-1980,- Т. 27, Nfi6.- С.935-945.

72. Новокшенов, В.Ю. Анзац Бутру для второго уравнения Пенлеве в комплексной плоскости / В.Ю. Новокшенов // Изв. АН СССР, сер. матем,- 1990.- Т. 54, Na6.- С. 1229-1251.

73. Привалов, И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов,- М.: Гостехиздат, 1950 336 с.

74. Примачук, JI.П. О частных индексах задачи Римана с треугольной матрицей / Л.П. Примачук // Доклады АН БССР.- 1970.- Т. 14, №1,-С.5-7.

75. Примачук, Л.П. Об одном интегрируемом случае задачи Римана с подстановочной матрицей / Л.П. Примачук // Доклады АН БССР.- 1978.Т. 22, №4.- С.310-313.

76. Расулов, K.M. Об одном методе решения векторной задачи Римана / K.M. Расулов // Доклады АН Беларуси.- 1994,- Т. 38, №2,- С.23-26.

77. Расулов, K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов.- Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998.- 344 с.

78. Рахманов, Е.А. О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций / Е.А. Рахманов // Мат. сб.- 1977,- Т. 104, №2.- С.271-291.

79. Сабитов, И.Х. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности / И.Х. Сабитов // Сиб. мат. жури- 1964,- Т. 5, №1.-С.124-129.

80. Сахнович, А.Л. Об одном методе обращения конечных теплицевых матриц / А.Л. Сахнович // Мат. исследования- 1973.- Т. 8, вып. 4.-С.180-186.

81. Симоненко, И. Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом / И.Б. Симоненко // Доклады АН СССР.- 1959.- Т. 124, №2,-С.278-281.

82. Симоненко, И. Б. Краевая задача Римана для п пар функций с непрерывными коэффициентами / И.Б. Симоненко // Изв. вузов, Математика,- 1961.- Nfil.- С. 140-145.

83. Симоненко, И. Б. Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Ьр с весам / И.Б. Симоненко // Изв. АН СССР, сер. матем,- 1964,- Т. 28, Na2.- С.277-306.

84. Симоненко, И. Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана / И.Б. Симоненко // Изв. АН СССР, сер. матем 1968.- Т. 32, N-5 - С.1138-1146.

85. Спитковский, И.М. Устойчивость частных индексов краевой задачи Ри-мана со строго несингулярной матрицей / И.М. Спитковский // Доклады АН СССР.- 1974.- Т. 218, Nfil.- С.46-49.

86. Суетин, С.П. О полюсах га-й строки таблицы Паде / С.П. Суетин // Мат. сб.- 1983.- Т. 120, №4,- С.500-504.

87. Суетин, С.П. Об одной обратной задаче для m-ой строки аппроксимаций Паде / С.П. Суетин // Мат. сб.- 1984,- Т. 124, Na2.- С.238-250.

88. Суетин, С.П. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций / С.П. Суетин // Мат. сб-2000.- Т. 191, №9.- С.81-114.

89. Суетин, С.П. Об асимптотических свойствах полюсов диагональных аппроксимаций Паде для некоторых обобщений марковских функций / С.П. Суетин // Мат. сб.- 2002.- Т. 193, №12,- С. 105-133.

90. Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // Успехи мат. наук 2002.Т. 57, вып. 1.- С.45-142.

91. Суетин, С.П. О динамике "блуждающих" нулей полиномов, ортогональных на нескольких отрезках / С.П. Суетин // Успехи мат. наук-2002.- Т. 57, вып. 2,- С. 199-200.

92. Тишин, П.М. О частных индексах краевой задачи Римана с треугольной матрицей / П.М. Тишин // Материалы науч. конф. молодых ученых Одесского госуниверситета, сер. "Матем." Одесса, 29-30 марта 1984.- Одесса, 1984.- С. 152-157.

93. Фокаш, A.C. Изомонодромный подход в теории двумерной квантовой гравитации / A.C. Фокаш, А.Р. Итс, А. В. Китаев // Успехи мат. наук- 1990,- Т. 45,- С. 135-136.

94. Хабибуллин, И.Т. Дискретная система Захарова Шабата и интегрируемые уравнения / И.Т. Хабибуллин // Записки научных семинаров ЛОМИ. Дифф. геом., группы Ли и мех. VII- 1985,- Т. 146,- С. 137-145.

95. Хабибуллин, И.Т. О задаче линейного сопряжения на единичной окружности / И.Т. Хабибуллин // Мат. заметки. 1987.- Т. 41, N23 - С. 342-347.

96. Хабибуллин, И.Т. Численное решение задачи аналитического сопряжения Римана / И.Т. Хабибуллин, А.Г. Шагалов А.Г. // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1989. - Т. 29, №3. - С. 382-391.

97. Чеботарев, Г.Н. К решению в замкнутой форме краевой задачи Римана для системы п пар функций / Г.Н. Чеботарев // Уч. зап. Казанск. ун-та.~ 1956,- Т. 116, кн. 4.- С.31-58.

98. Чеботарев, Г.Н. Частные индексы краевой задачи Римана с треугольной матрицей второго порядка / Г.Н. Чеботарев // Успехи мат. наук,-1956.- Т. 11, вып. 3.- С. 199-202.

99. Черепанов, Г. П. Об одном интегрируемом случае краевой задачи Римана для нескольких функций / Г.П. Черепанов // Доклады АН СССР,- 1965.- Т. 161, Na6.- С.1285-1288.

100. Чикин, JI.A. Об устойчивости краевой задачи Римана / Л.А. Чикин // Доклады АН СССР.- 1956.- Т. 111, №1,- С.44-46.

101. Шабат, А.Б. Обратная задача рассеяния / А.Б. Шабат // Дифференц. уравнения.- 1979,- Т. 15, вып. 10,- С.1824-1834.

102. Шмульян, Ю.Л. Задача Римана с положительно определенной матрицей / Ю.Л. Шмульян // Успехи мат. наук 1953.- Т.8, вып. 2.- С. 143145.

103. Штин, С.Л. Явное решение одной однородной задачи Римана для пятимерного вектора / С.Л. Штин // Вестник Белорус, ун-та. сер. 1 — 1992.- №2.- С.56-59.

104. Adukov, V.M. On Wiener Hopf factorization of meromorphic matrix functions / V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory.-1991,- Vol.14, №6.- P.767-774.

105. Adukov, V.M. On factorization indices of strictly nonsingular 2x2 matrix function / V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory.-1995.-Vol.21, №1.- P. 1-11.

106. Adukov, V.M. On invertibility of matrix Wiener Hopf operator on a discrete linearly ordered Abelian group / V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory.- 1995.- Vol.23, Na4.- P.373-386.

107. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // The 6th Conference of ILAS, Chemnitz, 1996: abstr.-Chemnitz, 1996.- P.l.

108. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl- 1998.- Vol.274 P.85-124.

109. Adukov, V.M. Generalized inversion of finite rank Hankel and Toeplitz operators with rational matrix symbols / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl- 1999.- Vol. 290,- P.119-134.

110. Adukov, V.M. On connection between fractional factorizations and Wiener Hopf factorizations / V.M. Adukov // Известия Челябинского научного центра.- 2000. - Вып. 3(8).- С.3-7.

111. Adukov, V.M. On the row convergence of matrix Pade approximants / V.M. Adukov // Тр. междунар. конф. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. I. Комплексный анализ", Уфа, 2000.- Уфа, 2000.- С.210-214.

112. Adukov, V.M. The essential polynomial approach to convergence of matrix Pade approximants / V.M. Adukov // Contemporary Math 2001 -Vol.280 - P.71-87.

113. Adukov, V.M. Fractional and Wiener Hopf factorizations / V.M. Adukov 11 Linear Algebra Appl- 2002.- Vol.340.- P. 199-213.

114. Adukov, V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table / V.M. Adukov //J. Approx. Theory.-2003.- Vol.122, N-2.-P. 160-207.

115. Adukov, V.M. On the Set of Uniform Convergence for the Last Intermediate Row of the Pade Table / V.M. Adukov // East J. on Approx-2005,- Vol.11, №4,- P.375-380.

116. Van Barel, M. A canonical matrix continued fraction solution of the minimal (partial) realization problem / M. Van Barel, A. Bultheel // Linear Algebra Appl- 1989.- Vol. 122/123/124,- P.973-1002.

117. Bart, H. Wiener Hopf factorization and realization /H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek// Lect. Notes Contr. and Inf. Sci.- 1984.- Vol.54.- P.42-62.

118. Ben-Artzi, A. On inversion of block Toeplitz matrices /A. Ben-Artzi, T. Shalom // Integral Equation and Operator Theory 1985.- Vol. 8, N-6.-P. 751-779.

119. Bultheel, A. A matrix euclidean algorithm and the matrix minimal Pade approximation problem / A. Bultheel, M. Van Barel // Continued Fractions and Pade approximants: coll. of papers.- 1990. P. 11-51.

120. Campbell, S.L. Generalized Inverses of Linear Transformations / S.L. Campbell, C.D. Meyer, Jr.- London: Pitman, 1979. 272 p.

121. Feinstein, J. The solution of the matrix polynomial equation A(s)A"(s) 4-B(s)Y(s) = C(s) /J. Feinstein, Y. Bar-Ness // IEEE Trans. Automat. Contr.- 1984.- Vol. AC-29, №1.- P.75-77.

122. Fuhrmann, P.A. On symmetric rational functions / P.A. Fuhrman // Linear Algebra Appl.- 1983. Vol.50.- P.167-250.

123. Fuhrmann, P.A. Factorization indices at infinity for rational matrix functions / P.A. Fuhrmann, J.C. Willems // Integral Equations and Operator Theory.- 1979. Vol.2, №3,- P.287-301.

124. Gohberg, I.C. Matrix polynomials / I.C. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman.- New York: Academic Press, 1982- 404 p.

125. Gohberg, I.C. Factorization indices and Kronecker indices of matrix polynomials / I.C. Gohberg, L. Lerer // Integral Equations and Operator Theory.- 1979. Vol.2, №2,- P.199-243.

126. Gohberg, I.C. Factorization indices for matrix polynomials /I.C. Gohberg, L. Lerer, L. Rodman // Bull. Amer. Math. Soc.- 1978. Vol.84, Nfi2.-P. 275-277.

127. Gohberg, I.C. On factorization indices and completely decomposable matrix polynomials / I.C. Gohberg, L. Lerer, L. Rodman Tel-Aviv, 198072 c - (Tech. Rep. №80-47, Tel-Aviv Univ.)

128. Gohberg, I.C. On inversion of square matrices partitioned into non-square blocks / I.C. Gohberg, T. Shalom // Integral Equations and Operator Theory.- 1989.- Vol.12- P.539-566.

129. Graves-Morris, P.R. Row convergence theorems for vector-valued Pade approximants / P.R. Graves-Morris, J. Van Iseghem //J. Approx. Theory.-1977.-Vol.90.- P. 153-173.

130. Heinig, G. Kernel structure of block Hankel matrices and partial realization /G. Heinig, P. Jankowski // Linear Algebra Appl- 1992.- Vol. 175.-P.l-32.

131. Heinig, G. Algebraic method for Toeplitz-like matrices and operators / G. Heinig, K. Rost.- Berlin: Akademia-Verlag, 1984. 212 p.

132. Kailath, T. Linear Systems / T. Kailath.- New York: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1980,- 593 p.

133. Kalderon, A., Spitzer F., Widom H. Inversion of Toeplitz matrices / A. Kalderon, F. Spitzer, H. Widom // Illinois Journ. Math 1959 - Vol.3.-P.490-498.

134. Kucera, V. Discrete Linear Control f V. Kucera.- Prague: Academia, 1979.- 347 p.

135. Labahn, G. Matrix Pade fraction and their computation / G. Labahn, S. Cabay // SI AM J. Comput- 1989.- Vol.18, Na4.- P.639-657.

136. Lebre, A.B. Factorization in the Wiener algebra of a class 2x2 matrix functions / A.B. Lebre // Integral Equations and Operator Theory .- 1989.-Vol.12- P.408-423.

137. Litvinchuk, G.S. Factorization of measurable matrix functions / G.S. Litvinchuk, I.M. Spitkovski.- Berlin: Akademie-Verlag, 1987 372 p.

138. Liu, X. Generalizations of Montessus's theorem on the row convergence of rational interpolations / X. Liu // Methods and Applications of Analysis -1995,- Vol.2.- P.442-465.

139. Liu, X. Intermediate rows of the Walsh array of best rational approximants to meromorphic functions / X. Liu, E.B. Saff // Methods and Applications of Analysis.- 1995.- Vol.2.- P.269-284.

140. Mikhailov, A.V. The Riemann-Hilbert problem for analytic description of the DM solitons / A.V. Mikhailov, V.Yu. Novokshenov // Теор. и матем. физика.- 2003,- T.137(3).- С.168-179.

141. Prossdorf, S. A factorisation procedure for two by two matrix functions on the circle with two rationally independent entries / S. Prossdorf, F.-O. Speck / / Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 1990.- Vol.115A-P.119-138.

142. Rasulov, K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the case of analytic functions /К.М. Rasulov // Math. Modelling and Analysis. 2004. - Vol.9, Na3. -P. 223-228.

143. Sidi, A. Quantitative and constructive aspects of the generalized Koenig's and de Montessus's theorems for Pade approximants / A. Sidi // J. Comput. Appl. Math.- 1990.- Vol.29.- P.257-291.

144. Wolovich, W.A. The canonical Diophantine equations with applications / W.A. Wolovich, P.A. Antsaklis // SIAM J. Control and Optimization-1984,- Vol.22, №5,- P.777-787.

145. Xu Guo-liang, Generalized matrix Pade approximants / Xu Guo-liang, Li Jiakai // Approx. Theory Appl.- 1989.- Vol.5, Na4.- P.47-60.

146. Xu Guo-liang, Matrix Pade approximation: Definition and properties / Xu Guo-liang, A. Bultheel // Linear Algebra Appl- 1990.- Vol. 137/138-P.67-137.

147. Young, N.J. The singular-value decomposition of an infinite Hankel matrix / N.J. Young // Linear Algebra Appl- 1983.- Vol.50.- P.639-656.