Интегральные уравнения Винера-Хопфа с вырождающимся символом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГЛАВА I. Введение. Формулировка результатов.

§ I. Введение.

§ 2. Основные определения и формулировка результа

ГЛАВА 2. Факторизация символа и некоторые вспомогатель ные результаты.

§ I. Факторизация символа.

§ 2. Некоторые вспомогательные предложения об аналитических функциях.

ГЛАВА 3. Случай, когда Jm (o¿ro(2)=0.

§ I. Доказательство теоремы 1,2,

§ 2. Случай симметрического ядра.

ГЛАВА 4. Случай, когда Лт(о^-о<2) ФО.

§ I. Jm(o(L-o(2)>0 .■.

§ 2. ЗтСо^-ОС^СО

1°. В работе рассматривается уравнение о

Здесь к€/.Ч-°0)00) », ^^ , решение ср ищется в том же классе ¿Т(0,ьо) , которому принадлежит функция ^ . Исследуется также соответствующее однородное уравнение:

ОО ср^)- 5 к(г-2)ср(5)с15 = о ь>о (2)

Уращения такого типа впервые возникли в астрофизике. Для определения, например, интенсивности излучения фотосферы звезды в случае, когда коэффициент поглощения лучистой энергии не зависит от частоты, получаем интегральное уравнение Милна:

5(Т)-^УЕ1(|Т-Т'|35(Т'ЫТ'=О ?>о> О где г. ( ес||

Ей = ) —г— ' 1 а 5>(Т) - искомая функция, через которую выражается интенсивность излучения. При наличии источников излучения приходим к неоднородному уравнению

Оо О

В 1931 г. в работе Н.Винера и Э.Хопфа [8] было рассмотрено однородное уравнение (2) при условии, что ядро этого уравнения к00 экспоненциально убывает при больших значениях |х| . Решение ищется в классе функций, которые возрастают при больших X медленнее, чем показательная функция с показателем меньшим, чем противоположная величина показателя экспоненты, мажорирующей ядро К(Х) .

Эта работа положила начало изучению уравнений типа свертки, и метод, разработанный в ней, стал основным методом для изучения таких уравнений. Исследование уравнения (2) в [8] проводится по следующей схеме. С помощью преобразования Лапласа (2) приводится к "полосной" задаче теории функций, а именно:

О - Л^(А))Ф(/М =Т(А) > где 1 -3((Х) аналитична в полосе I ЙгЛ1 < 1 (так как Ск!(А)-преобразование Лапласа ядра к(х) ), аналитична при $ а решение Ф(А) ищется в классе функций, аналитических при А < (X (решение (2) ищется в классе функций, допускающих оценку (р(х) = 0(€ых) , где <Х - произвольная фиксированная постоянная, меньшая, чем единица). Далее А) цредставляется в виде: где 0+ (Т) не обращается в нуль и аналитична при , а (5(Т) - регулярна и не имеет нулей при » х^ нули функции в полосе |£еТ[4{Ь)о1<[Ъ<{ , С помощью этой факторизации I - ^ (т) , используя теорему Лиувилля, оцределяется функция Ф(Х) . При этом зависимость между Ф(X) и ^(А) должна выполняться во всех точках полосы — о(<йг.Х<ОС. Именно из-за этого, рассуждения, использованные в этой статье, сцраведливы лишь в том случае, когда 4 ~ в полосе имеет четное число нулей (см.[12]). При этих же ограничениях на ядро В.А.Фок в [43] решил неоднородное уравнение (I). Случай, когда символ уравнения имеет цроизвольное число нулей в полосе, был полностью рассмотрен И.М.Рапопортом в [39, 40].

В этих работах впервые уравнение Винера-Хопфа цриводится к щшевой задаче Римана, которая далее решается стандартными методами. В большинстве дальнейших исследований 1фаевая задача Римана. или некоторые ее обобщения, является основным инструментом при решении уравнения типа (I).

Именно используя этот метод, в работах [10,11,49,503 решается уравнение (I) в случае, когда символ: сю не обращается в нуль. При этом были существенно ослаблены ограничения на ядро кМ. В работе М.Г.Крейна [.35], которая подвела итог этим исследованиям, на ядро к накладывается единственное условие абсолютной интегрируемости. При этом уравнение (I) будет нётеровым в широком классе функциональных пространств при условии отличия от нуля символа уравнения.

В этой работе, а также в работе [15], посвященной системам уравнений Винера-Хопфа, широко используются общие теоремы о линейных операторах, полученные в статье И.Ц.Гохберга и М.Г.Крейна [16]. В дальнейшем исследования идут в различных направлениях.

В монографии [17] И.Ц.Гохберг и И.А.Фельдман, используя функциональное исчисление для односторонне обратимых изометрических операторов, распространили основные результаты статьи [35] на широкий класс уравнений в свертках (сингулярные интегральные уравнения на окружности, дискретные уравнения Винера-Хопфа и т. д).Пространства, в которых уравнение (I) с произвольным абсолютно интегрируемым ядром А.(х) остается нетеровым при условии отличия от нуля символа уравнения, описаны в статье М.И. Хайкина [ 44 ] .

Работы Дудучава Р.В., Каралетянца Н.К., и Самко С.Г. [18-21, 33, 34] посвящены исследованию уравнений Нц> ~ ^ в различных функциональных пространствах, где И -оператор более общий, чем оператор Винера-Хопфа. Изучаются условия, при которых оператор Н является нетеровым и вычисляется индекс. Во всех этих работах исследуемые операторы или предполагаются нетеровыми, или ищутся условия, при которых они являются не-теровыми в различных пространствах. Однако в практических задачах условие нетеровости редко выполняется. При решении, например, задачи теории массового обслуживания об определении асимптотической функции распределения случайной величины, равной времени пребывания требования в системе обслуживания, приходим к уравнению (2), в котором ядро к(х) - плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины. Следовательно, в этом случае символ обращается в нуль, а при этом условии оператор Винера-Хопфа не может быть нетеровым (см. [ 17 ] , [ 37 ] ) в пространстве (0,°°) , в котором ищется решение. Другие задачи теории вероятностей ( [ 7 ] ) приводятся к неоднородным уравнениям Винера-Хопфа, где ядро также является плотностью распределения вероятностей.

Именно поэтому большой интерес представляет исследование уравнений (I), (2), когда символ обращается в нуль. В работах Чеботарева Г.Н. ,Дыбина В.Б., Каралетянца Н.К. ,Гахова Ф.Д., Сма-гиной В.И. [ 9,22,24,26,46,47,48] изучается случай, когда символ имеет конечное число нулей целого порядка на действительной оси. В этом случае эффективно строятся пары пространств

X, и 3<Г0 , такие, что оператор Винера-Хопфа, рассматриваемый 1 ^ как оператор, действующий из Х2 в Хьуже является нетеровым ( Х^СЕсХ2 } где Е -то пространство, в котором этот оператор первоначально рассматривался). В работе [ 30 3 при тех же предположениях о характере нулей символа: рассмотрены возможности применения метода редукции при решении уравнения (I) в пространстве ¿/(О,оо) . Результаты, относящиеся к этому случаю, рассмотрены в [ 12 3 , [ 38 ]

В случае, когда символ имеет нули дробного поряди пространства Х^ и Х2 имеют достаточно сложную структуру, поэтому в этом случае желательно получить некоторые достаточные условия на правую часть уравнения (I), при которых это уравнение имеет решение в , С . или других функциональных пространствах. Решению этих вопросов посвящены работы Дыбина В.Б., Ка-ралетянца Н.К., Товмасяна Н.Е. и других авторов £23, 25, 31, 42, 4, 13] .

При решении уравнений (I), (2) существенно используется возможность факторизации символа (представление символа в виде произведения функций, аналитически продолжающихся в Т)"4" =

С/т2 ^ ). В работе Хайкина М.И. [45 ] доказывается, что если аргумент символа 1-3<^(А) ограничен, и существует Ук>0 такое, что & : 11-[=0(ЛХ)/го множители ( А) ( (X) (А)д(А}) являются преобразованиями Фурье-Лапласа обобщенных функций класса , и, опираясь на эту теорему, решается однородное уравнение (2).

Во всех перечисленных выше работах в той или иной форме использовалась граничная задача Римана для решения уравнений (1)-(2). В работах [1,2,3,27,28,29,36 ] используются иные методы.

Работа Асплунда [ 3 ] посвящена изучению уравнения

1) при условии, что ядро уравнения принадлежит алгебре Бьёр-линга. Решение ищется в сопряженном этой алгебре пространстве. В 1958г. появилась работа Спицера [ 41 Ц , которая положила начало изучению уравнений вида (I) с вырождающимся символом, при условии, что ядро уравнения - неотрицательное. В этой работе вероятностными методами исследовалось однородное уравнение

2) в пространстве ) . Теоретико-функциональными методами результаты этой статьи были обобщены в работе М.Г. Крейна и Ю.Й.Шмульяна [36] .

В работах Н.Б.Енгибаряна, Л.Г.Арабаджяна, А.А.Арутюняна [1,2,27,28,29 3 уравнение (I) решается методом факторизации. Сомножители, входящие в факторизацию символа, удовлетворяют системе нелинейных функциональных уравнений. Доказывается, что эта система решается методом последовательных приближений, когда ядро уравнения (I) неотрицательно.

Во всех работах [1,2,27,28,29,36,41] существенно используется неотрицательность ядра уравнения (I).

2°. Актуальность темы и цель работы.

Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является исследование уравнений (I), (2), в пространствах , когда обращение в нуль символа уравнения имеет произвольный степенной характер. Символ вырождается в конечном числе точек.

3°. О практической и теоретической ценности результатов

Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку I) получены в явном виде линейно независимые решения однородного уравнения (2); в случае, когда этих решений бесконечное множество, получены условия, при выполнении которых бесконечная линейная комбинация этих решений р, оо принадлежит , 4 р ^

2) получены необходимые и, в некотором, достаточно широком классе, достаточные условия, при выполнении которых уравнение (I) имеет решение в ¿?(0,оо) , { ^ . Преобразование

Фурье решения записывается в явном виде.

4°. Новизна полученных результатов.

В работе подробно исследуется ранее не рассматривавшийся случаи: символ ¿-Х( А) допускает оценку: х I сил!*1 , ^Н <|АГ*> , А — о при СГ/п - Ы2) ф о • Результаты, относящиеся к исследованию неоднородного уравнения (I) при ч7/г) (о^-= О, (Ы.^-Ы.г) О также являются новыми.

5°. Применяемая методика.

С помощью преобразования Фурье уравнение (I) приводится к обобщенной граничной задаче Римана, которая далее решается методами теории аналитических функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4 - 6 , 51] .

1. Арабаджян Л.Г. 0 консервативном уравнении Винера-Хопфа,- Изв. АН Арм.ССР,сер.Математика 1981г. 16 $ 1.с.65-80.

2. Арутюнян A.A. О факторизации одного интегрального оператора.-"Дифференциальные и интегральные уравнения" Ереван 1979г.

3. Асплунд (Asplund Е.) The Wiener-Hopf equation in an algebra of Beurling,-Acta Math. v.1o8 p.89-11 1962.

4. Бабаян A.O. Интегральные уравнения Винера-Хопфа с вырождающимся символом.-ДАН Арм.ССР т.73, № 1,1981г.с.24-28.

5. Бабаян А.О. Особый случай уравнения Винера-Хопфа.-Изв.АН Арм. ССР,сер.Математика, 17, №5,1982г. с.387-404.

6. Бабаян А.О. Особый случай однородного уравнения Винера-Хопфа.-ДАН Арм.ССР, т.76, М, 1983г.с.155-159.

7. Боровков A.A. Некоторые теоремы о нерешетчатом случайном блуждании.-Теория вероятностей и ее приложения, 1962,т.7,2. с.170-184.

8. Винер Н., Хопф Э. (Wiener N, Hopf Б.) Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1931. 696-706.

9. Гахов Ф.Д. Смагина В.И. Исключительные случал интегральных уравнений типа свертки и уравнения первого рода.-Изв.АН СССР 1962г. 26:3,с.361-390.

10. Гахов Ф.Д.»Черский Ю.И. Интегральные уравнения типа свертки.-ДАН СССР, 99,2,1954г.с.197-199.

11. Гахов Ф.Д.,Черский Ю.И. Особые интегральные уравнения типа свертки,-Изв.АН СССР,сер.Математика, 20,1,1956.,с.33-52.- 101

12. Гахов Ф.Д. .Черский Ю.И. Уравнения типа свертки.М."Наука" 1978г.

13. Говорухина A.A.»Парадоксова И.А. О нетеровости некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов на оси и полуоси.-Сб."Мат.анализ и его приложения" Изд-во Ростовск.ун-та, 7,1975г.с.I6I-I69.

14. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций, М. Ж, 1963г.

15. Гохберг И.Ц. Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов.-УМН, 1958,т.13,2,с.3-72.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах: линейных операторов,-УМН 1957,т.12,2,с.44-118.

17. Гохберг И.Ц. Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проэк-ционные методы их решения. М."Наука" 1971.

18. Дудучава Р.В. Об интегральных уравнениях Винера-Хопфа,-Math. Nachr. I975.65,c.59-82.

19. Дудучава P.B. Об интегральных операторах в свертках с разрывными коэффициентами,-ДАН СССР 1974. 218,2,с.264-267.

20. Дудучава Р.В. Об интегральных операторах типа свертки с разрывными коэффициентами.-Math. Nachr. 1977,79.с.75-98.

21. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения типа свертки с разрывными коэффициентами.-Сообщ. /АН Груз.ССР, 1978.92,№2, с.281-282.

22. Дыбин В.Б. Исключительный случай интегральных уравнений типа свертки в классе обобщенных функций.-ДАН СССР,1965. 161:4, с 753-756.

23. Дыбин В.Б.»Гапоненко В.Н. Интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа с аннулирующимся символом.-Матем.исследования, Кишинев,1972г.7,4,с.50-59.

24. Дыбин В.Б. Интегральный оператор Винера-Хопфа в классах функций со степенным характером поведения на бесконечности-ИАН Арм.ССР,сер.Матем. 1967г.2,4,с.250-270.,

25. Дыбин В. Б. Нормализация оператора Винера-Хопфа .-ДАН СССР, 1970г.т.191,4,с.759-762.

26. Дыбин В.Б. »Карадетянц Н.К. Об интегральных уравнениях типа свертки в классе обобщенных функций.-Сиб.мат.журн. 1966г. т.7.№3,с.531-545.

27. Енгибарян Н.Б.Об одном классе симметрических интегральных операторов .-Изв. АН Арм.ССР,сер.Математика,1972г.М. с.275-286.

28. Енгибарян Н.Б.»Арутюнян А.А. Интегральные уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные функциональные уравнения.-Матем.сб.97 (139) Ш, 1975г. с. 35, 58.

29. Енгибарян Н.Б. Арабаджян Л.Г. 0 нелинейных уравнениях факторизации операторов Винера-Хопфа.-Препринт ЕГУНИИФКС,79, I,Ереван,1979г.

30. Зильберман Б., Рост К.,(Silberraann В., Rost К.) Das Reduktions-verfahren fur eine Klasse ausgearteter Integrodiffe-renzengleichungen. "Wiss. Z. Techn. Hochsh, Karl-Marx-Stadt" 1978. 2o K.6 c.689-691.

31. Карапетянц Н.К. Дискретное уравнение типа свертки в одном исключительном случаеСиб.матем.журн.II,1,1970.с.80-90.- 103

32. Карапетянц H.K. Интегральные уравнения Винера-Хопфа с символом, имеющим нуль дробного порядка.-Дифф.уравн.т.13,Д977г.с.I47I-I479.

33. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об одном классе интегральных уравнений типа свертки и его приложения.-Изв.АН СССР,сер. матем.,35,3,1971г.с.714-726.

34. Карапетянц Н.К.,Самко С.Г. Об индексе некоторых классов интегральных операторов-Изв.АН Арм.ССР,Математика, 8,1. 1973г. с.26-40.

35. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргумента.-УМН, 1958г.тЛ3,5,с. 3-120.

36. Крейн М.Г. »Шмульян Ю.Л. Уравнения Винера-Хопфа, ядра которых допускают интегральное представление через экспоненты -ИАН Арм.ССР,сер.Математика, 1982г.,т.17,№4,5.

37. Лайтерер Ю. Критерии нормальной разрешимости систем сингулярных уравнений и уравнений Винера-Хопфа ¡-Мат. сборник,т.83.№,1970г.с.390-406.

38. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.М."Мир", 1979г.

39. Рапопорт И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений .-ДАН СССР 59,8,1948г.с.1403-1406.

40. Рапопорт И.М. О некоторых "парных"интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях.-Сб.тр. Ин-та матем. АН УССР 12, I949,c.I02-II8.

41. Спицер Ф. (Spitzer Р.) The Wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density I,II.~Duke Math. J. 24,p.327-343, 19бо, 27, p.363-372.- 104

42. Товмасян Н.Е. Особый случай интегрального уравнения Винера-Хопфа Сиб. мат. журнал, т. 19., М, 1978г. с. 902-922.

43. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики .-Матем.сб.1944г.,14,(56) 1-2, 3-50.

44. Хайкин М.й. Уравнение Винера-Хопфа в пространствах основных и обобщенных функций.-Изв.вузов "Математика", 1967г.$10,с.83-91.

45. Хайкин М.И. Однородное уравнение Винера-Хопфа в классе функции умеренного роста .-Изв. вузов, "Математика", 8,1978г.,с.91-103.46. !еботарев Г.Н. Об одном уравнении типа свертки первого рода-Изв.вузов. "Математика" 1967г. Ш,с.80-92.

46. Чеботарев Г.Н. Об одном особом случае уравнения Винера-Хопфа в пространстве ограниченных функций.-Изв.вузов, математика, 1967г. МО.с.92-101.

47. Чеботарев Г.Н. О нормальной разрешимости уравнений Винера-Хопфа в некоторых особых случаях.-Изв. вузов, Математика, 1968г.,ЖЗ,с.ПЗ-П8.

48. Черский Ю.И. Общее сингулярное уравнение и уравнения типа свертки.--Мат.сб.,41,3, 1957г. с.277-296.

49. Черский Ю.И. Об уравнениях типа свертки .-Изв. АН СССР, сер. Матем., 22, 1958г.с.361-378.

50. Бабаян А.О. Об уравнении Винера-Хопфа.-Тезисы докладов республиканской научно-технической конференции " Применение математических методов в технике" Ереван, 1982г.